系统的状态方程

第2章 系统的状态空间描述输入输出：可测量，欠全面§2.1 基本概念 例2.1 密封水箱 1()(),y t x t μ=1d [()()]d [()()]d c x u t y t t u t x t t μ⋅=-⋅=-⋅即μ2(m )c 3()(m /s)u t 3()(m /s)y t ()(m)x t11()()()x t x t u t c cμ'=-+.解tt ccx t x u c 001()e ()e d τμμττ-⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰.若()u t r ≡, 则0()e 1e ,()ttc cx t x r r t μμμμ--⎛⎫=+-⇒→∞ ⎪ ⎪⎝⎭, 若想()x h ∞=, 只要()hu t μ=.例2.2 LRC123()()();i t i t i t =+ ()()()()()L R L C u t v t v t v t v t =+=+选1()()C i t v t 和；则： 11()()()1()()()C C C Li t v t u t Cv t i t v t R '=-+⎧⎪⎨'⎪=-⎩ 其余2()()/,C i t v t R =()()(),()().L C R C v t u t v t v t v t =-=)(t v C )(t v L L R C )(1t i )(t u )(2t i )(3t i 2.2图1. 系统的状态变量状态变量: 完全表征系统,个数最少的一组变量 未来()x t ：由0()x t 和0t t ≥的()u t 完全确定. 对定常, 常取00t =. 2. 状态向量和状态空间 状态向量：12()(),(),()Tn x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间：()x t 取值范围 状态轨线：()x t 的轨迹(无时间轴) 3．几点说明(1) 0()x t 和0(),u t t t ≥决定()x t , 0t t ≥(2) n 阶’微分方程’可引出n 个状态变量, 不唯一. (3) 尽选可测量. 离散系统类似.列写方法：‘微方’,’差方’→状态方程； ‘传函’,’流程图’→状态方程.§2.2 线性连续系统的状态空间模型状态方程 + 输出方程;1．一般形式n 维状态()x t , r 维输入()u t , m 维输出()y t ,状态方程 ()()()x t Ax t Bu t =+ （2.3） 输出方程 ()()()y t Cx t Du t =+ （2.4）12()()()()n x t x t x t x t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12()()()()r u t u t u t u t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12()()()()m y t y t y t y t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212r r n n nr b b b b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 状态矩阵 输入矩阵111212122212n n m m mn c c c c c c C c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212r rm m mr d d d d d d D d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 输出矩阵 输入输出矩阵(1)若A 、B 、C 和D 都是常数阵, 则系统是定常的； 否则为时变的；(2)若1r =且1m =,则系统是单变量的;否则是多变量的 简记 {A , B , C , D } 如水箱系统:{}111,,,,,,0A B C D c c μμ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.如LRC 系统状态方程：1111()()()11()()()C C C i t v t u t L Lv t i t v t C C R ⎧'=-+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩,输出方程：311()()()C i t i t v t R=-,若1L R C ===,则有[]011,,11,0110A B C D -⎡⎤⎡⎤===-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.2. 由’微方’ 状态模型 设()(1)()(1)1101n n m m n m m ya ya y a yb ub u----++++=+10b u b u +++(1)若m =0, 则可(1)123,,,,n n x y x y x y x y-====,得 1223(1)1()01121,,,,n n n n n n n x y x x y x x y x x y a x a x a x u ---==⎧⎪==⎪⎪⎨⎪==⎪==----+⎪⎩即1122011010000()00101n n n x x x x u t x a a a x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, []12()100[,,,]Tn y t x x x =⋅.令12()n x x x t x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,01101000,,00101n A B a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]100C =,0D =,则有()()()x t Ax t Bu t =+, (2.6) ()()y t Cx t =. (2.7)例2.3 设5612y y y y u +++=,试写出状态模型. 解 令123,,x y x y x y ===,则122231231265x x x x x x x x u=⎧⎪=⎨⎪=---+⎩ 所以11223301000010()12651x x x x u t x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, []123()100x y t x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) 1m n ≤< (设初始条件全为0) 拉变 ()()()Y s G s U s =, 即110()()()m m m m Y s b s b sb Y s --=+++(*)其中1101()()n n n Y s U s s a sa --=+++对应()(1)110,n n n ya ya y a y u --'++++=是情形(1), 故取(1)123,,,,n n x y x y x y x y-====可得状态方程. 改写(*)式得1101()()m m m m Y s Y s b s b s b --=+++(**)由初值性质110(0)lim ()1lim lim ()0(0)0s m m s s m m y sY s sY s y b s b s b →∞-→∞→∞-==⋅=⋅=+++同理(1)(0)(0)(0)0m y y y-====, 故对(**)作逆变换()(1)10m m m m y b yb yb y --=+++01121m m b x b x b x +=+++,由此得112211010000()00101n n n x x x x u t x a a a x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, ()[00][,,,,,]01121T y t b b b x x x x m n m =⋅+(3) 当m n = 传递函数为11100110()()()()n n n n n n n n n b b a s b b a Y s b U s s a s a -----⎡⎤-++-=+⎢⎥+++⎣⎦11100110()()()()n n n n n n n n n b b a s b b a b U s U s s a s a ------++-=++++12()()Y s Y s =+.其中1()()n Y s b U s =,111002110()()()()n n n n n n n n b b a s b b a Y s U s s a s a ------++-=+++. 为情形(2), 故200111112()[,,,]n n n n n Tn y t b b a b b a b b a x x x --=---⎡⎤⎣⎦⋅,综合得001111()n n n n n y t b b a b b a b b a --=---⎡⎤⎣⎦12[,,,]Tn n x x x b u ⋅+例2.4 求323y y y u u ''''++=-的状态空间模型. 解 2,1n m ==,1122()()010()()()231x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,[]12()()31()x t y t x t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦. 注 情形(3)是情形(1)和(2)的推广或说(1)和(2)都是(3)的特例.例2.5 设2y t y u +=. 试求状态模型. 解 令12,x y x y ==, 则{1221,2,x x x tx u ==-+即112201002x x u x x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,12[10]x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.注: 状态矩阵是时变的.2. 传递函数→状态模型 传递函数→微分方程→状态模型.例2.6 设22253()54s s G s s s ++=++,写出其状态模型.解 易得 54253y y y u u ''''''++=++, 由情形(3), 得1122()()010()()()451x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,[]12()()552()()x t y t u t x t ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦.3. 信号流程图→状态模型 设有下图将1s→⎰, s →t , 得注: 积分器出口是状态变量.⎰5)(t u )(t y +-2⎰++--1x 1x 2x2x s15)(s U )(s Y +-2s 1++--由前图得112122x x ux x x =-+⎧⎨=-⎩, 125y x x =-.注 状态模型不唯一. 如由前2图另得2153()11232s G s s s s s -⎛⎫=-= ⎪++++⎝⎭, 改为541/1/()542112/11/s sG s s s s s=-=⋅-++++,等价于下图5)(t u )(t y 2++--⎰1x 1x 2x 2x ⎰4+-易得1122d 25d d 4d x x u tx x ut⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩, 12y x x =-, 即2001A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,54B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,[]11C =-. 又有微分方程323y y y u u ++=-,是(2)的情形,故12212,23,x x x x x u ⎧=⎪⎨=--+⎪⎩ 123y x x =-+, 对应0123A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦,01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,[]31C =-. 故原系统可有3种数学模型 4．状态方程 传递函数 作拉变, 并设(0)0x =,则()()()sX s AX s BU s =+,()()()Y s CX s DU s =+,由(2.18)式得1()()()X s sI A BU s -=-代入(2.19),有()1()()Y s C sI A B D U s -⎡⎤=-+⎣⎦,从而传递函数阵()1()G s C sI A B D -=-+.当1m r ==, ()G s 是传递函数.小结n阶微分方程⇔传递函数⇔状态模型⇔状态流程图。