第一章动态系统的状态空间描述
自动控制原理状态空间法
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。
现代控制理论知识点汇总
第一章控制系统的状态空间表达式１．状态空间表达式n 阶 DuCx y Bu Ax x +=+=&1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３．模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４．状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
动态系统的状态空间描述
输出 y 空间
2. 系统的状态空间
若以n个状态变量x1(t), x2(t), …, xn(t)为坐标轴, 就可构成一个n维 欧氏空间, 并称为n维状态空间, 记为Rn 状态向量的端点在状态空间中 的位置, 代表系统在某一时刻的 运动状态
x2
x(t0)
x(t1) x(t2) x(t)
二维空间的状态轨线
概述(1/4)
概 述
动态系统(又称为动力学系统), 抽象来说是指能储存输入信息 (或能量)的系统, 例如: 含有电感和电容等储能(电能)元件的电网络系统 含有弹簧和质量体等储能(机械能)元件的刚体力学系统 存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等 动态系统与静态系统的区别在于 静态系统的输出取决于当前的瞬时输入, 而动态系统的 输出则不仅依赖于系统当前的输入, 还与系统过去的输入 有关。如: 电阻器的端电压是当前电流与电阻值之乘积, 电容器 的端电压则是当前及过去的电流之积分值与电容值 之比
系统的状态空间模型(8/11)
对前面引入的状态空间模型的意义, 有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性,
决定系统状态变量的动态变化
输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,
主要决定系统的动态特性
输入矩阵B又称为控制矩阵, 表示输入对状态变量变化的影响 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系 直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响, 许多系统不 存在这种直联关系, 即直联矩阵D 0
线性系统状态空间模型的结构图(2/5)
x(t )
∫
x(t)
x1 x2
x1+x2
x
k
状态空间模型
状态空间模型状态空间模型是一种用于描述动态系统行为的数学模型。
在状态空间模型中，系统的行为由状态方程和观测方程确定。
状态方程描述系统状态如何随时间演变，而观测方程则描述系统状态如何被观测。
通过利用状态空间模型，我们可以对系统进行建模、预测和控制。
状态空间模型的基本概念状态空间模型通常由以下几个要素构成：1.状态变量（State Variables）：描述系统状态的变量，通常用向量表示。
状态变量是系统内部的表示，不可直接观测。
2.观测变量（Observation Variables）：直接观测到的系统状态的变量，通常用向量表示。
3.状态方程（State Equation）：描述状态变量如何随时间演变的数学方程。
通常表示为状态向量的一阶微分方程。
4.观测方程（Observation Equation）：描述观测变量与状态变量之间的关系的数学方程。
状态空间模型的应用状态空间模型在许多领域都有着广泛的应用，包括控制系统、信号处理、经济学和生态学等。
其中，最常见的应用之一是在控制系统中使用状态空间模型进行系统建模和控制设计。
在控制系统中，状态空间模型可以用于描述系统的动态行为，并设计控制器来实现系统性能的优化。
通过对状态方程和观测方程进行数学分析，可以确定系统的稳定性、可控性和可观测性，并设计出满足特定要求的控制器。
状态空间模型的特点状态空间模型具有以下几个特点：1.灵活性：可以灵活地描述各种复杂系统的动态行为，适用于各种不同的应用领域。
2.结构化：将系统分解为状态方程和观测方程的结构使得系统的分析更加清晰和系统化。
3.预测性：通过状态空间模型，可以进行系统状态的预测和仿真，帮助决策者做出正确的决策。
4.优化性：可以通过状态空间模型设计出有效的控制器，优化系统的性能指标。
在实际应用中，状态空间模型可以通过参数估计和参数辨识等方法进行模型的训练和调整，以适应实际系统的特性。
结语状态空间模型是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和分析动态系统的行为。
状态空间描述
状态空间描述
状态空间可以简单地理解为描述系统所处状态的一种抽象概念，它把一个复杂的系统抽象成多个独立状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化规律。
状态空间描述了系统之间状态的可能变化，从而表明了每个状态之间的连接情况。
1. 什么是状态空间
状态空间是描述系统所处状态的一种抽象概念，它能够将一个复杂的系统抽象成多个独立的状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化情况。
2. 状态空间的概念
状态空间是一种用于描述系统状态变化的空间，它通过多个状态表达了一个系统的演化情况，并将一个复杂的系统变化的规律映射到状态变化的空间中。
因此，它是表达某个系统演化情况的一种理想方法。
3. 状态空间的总体结构
状态空间是有限的，它由一个特定的状态集合构成，包括一组状态及其间的连接关系，这些连接关系通过不同的操作表示出来。
因此，状态空间的总体结构可以概括为包含了状态和连接情况的一维空间。
4. 状态空间变化
状态空间随着操作的不断变化，其所描述的系统也会不断变化，这就
形成了一个动态的状态空间，这里面存在着状态之间的连接关系，这
些连接关系是由可调整转移概率和操作决定的。
5. 对应建模
状态空间模型将状态空间中的各状态映射到离散时间模型，从而对模
型问题进行建模，通过状态空间模型可以计算出每个状态的概率，从
而能够较为准确地表述系统的状态情况，以找出问题的解决途径。
6. 状态空间可视化
状态空间可以使用可视化图像，将各状态之间的连接关系图示出来，
常见的可视化表示方法有马尔科夫网络图像，状态树图像和拓扑图像，这些可视化图像能够清晰地展示出状态空间的总体结构，从而简化问
题的解决过程。
第一章状态空间表达式第2讲
2021/2/22
2
1.状态变量及状态空间表达式
状态空间描述常用的基本概念：
1. 状态变量 足以完全表征运动状态的最小个数的一组变量。
2. 状态矢量 如果n个状态变量 x 1 (t)、 x2(t)、 ...、 xn(t)表示，并把这 些状态变量看作是矢量 x ( t )的分量，则 就称为状态矢量。
3
1.1 控制系统的状态空间表达式
状态变量应该是相互独立的，且其个数应等于微分方 程的阶数。 一般的，状态变量的个数等于系统储能元件的个数。
例题1-1，用图1-1所示的R-L-C网络电路，说明如何用
状态空间表达是来描述这一系统。
L
R
根据电路定律可列写如下方程：
u
i
C
uc
RiLddtiC 1idtu
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) . . . a 1 y a 0 y b m u ( m ) b m 1 u ( m 1 ) . . . b 1 u b 0 u 相应的传递函数为
W (s)U Y ((s s))b m y u (n ()m ) a n b m 1 y 1 u (n ( m 1 ) 1 ) .... .. a 1 b y 1 u a 0 b y 0 u 实现问题就是根据以上两个式子求出系统状态空间表达式。
y x2
x2C 1iR1C(x1x2)
其向量-矩阵形式为：
x1 x2
R1CRL 1
RC 2021/2/22
RR11C Cxx12RL0u
y 0
1
x1 x2
6
由上可见，系统的状态空间表达式不具有唯一性。 选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式， 但它们都描述了同一系统。可以推断，描述同一系统 的不同状态空间表达式之间一定存在着某种线性变换 关系。
现代控制理论 第1章 状态空间描述
得动态方程组 1 x2 x k b 1 x 2 y y u y m m m k b 1 x1 x2 u m m m y x 1
问题：到底有 何区别？
13
状态空间表达式为
1 0 x k x 2 m
如果将储能元件的物理变量选为系统的状态变量，则状态变量的个数 等于系统中独立储能元件的个数
5
基本概念
状态方程：系统状态方程描述的结构图如下图所示
假设：causal system ——现在的输出只取决 于现在和过去的输入， 而与将来的输入无关。
输入引起状态的变化是一个动态过程，每个状态变量的一阶导数与所有 状态变量和输入变量的数学表达(常微分方程ODE)称为状态方程，一般形式 为：
1896192019872006状态变量和状态空间表达式状态变量和状态空间表达式化输入化输入输出方程为状态空间表达式输出方程为状态空间表达式系统的线性变换对角线标准型和约当标准型系统的线性变换对角线标准型和约当标准型由状态空间表达式导出传递函数阵由状态空间表达式导出传递函数阵离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式从系统黑箱的输入输出因果关系中获悉系统特性传递函数描述属系统的外部描述系统的内部描述白箱系统完整地表征了系统的动力学特征状态空间表达式属系统的内部描述状态变量
x1 f1 ( x1 , x2 f 2 ( x1 , xn f n ( x1 , , xn , u1 , , xn , u1 , , xn , u1 , , um , t ) , um , t ) , um , t )
标量形式，繁琐!
6
矢量形式
第一章：状态空间描述2
Y(s) N(s) U(s) D(s)
写成微分方程形式
y(n)
a y(n1) n1
L
a1y&
a0
y
u(n1) n1
u(n2) n2
L
1u&0u
y(n) an1y(n1) an2y(n2) L
a1y&a0
y
u(n1) n1
u(n2) n2
L
1u&0u
(9.14)
对式(9.14)两侧各进行n次不定积分，并整理有
an1
1
c 0 1 n1
x1 0 0 0 0 a0 x1 0
x2
1
0
0
0
a1
x2
1
x3
0
1
0
0
a2
x3
2
u
xn1
0 0 0
0
an2
xn1
n2
xn 0 0 0 1 an1 xn n1 (9.16)
0
s 1
1 0
0 1
1 s(s 2)
s 2
0
1 s
0 s2
§ 1-3 系统的实现问题
（G(s) 状态空间的表示）
1．实现问题的基本概念
给定一个单变量线性定常系统的传函
G(s)
bmsm bm1• sm1
sn
a
n
sn 1
1
b1s a1s a0
b0
mn
所谓实现问题，就是根据上式寻求如下式的状态空间表达式
(b1 a0
a1bn
)s
(b0
a0bn
)
0 1 0 0
0
A
第一章 状态空间表达式(2013)
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 W ( s) n U ( s) s a n 1 s n 1 a1 s a 0
cm sm cm1sm1 c1s c0 W (s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s 1
y
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
K1 T 1s 1
+
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
K4
K1 T1 +
开环和闭环、反馈
控制的性能指标：稳定性、快速、精度。最优控制
控制理论概述
学控制理论做什么？ 系统分析—分析系统的性能
系统设计—设计控制器
所谓系统分析就是在规定的条件下，对数学模型已 知系统的性能进行分析； 所谓系统设计，就是构造一个能够完成给定任务的系统， 这个系统具有希望的瞬态、稳态性能以及抗干扰性能。
f (s) f (t )e dt
0
f (s) sf (s) f (0)
传递函数：线性动态系统零初值条件下输出量的Laplace变 换像函数与输入量的Laplace变换像函数之比。 *线性系统：满足叠加和一致性， 如用线性方程或线性微分方程描述的系统 可以用于分解复杂系统 *定常系统：参数不随时间变化
J u i
x1 i
B
x2
R x1 L x K 2 a J
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
《状态空间描述法》课件
案例二：飞行器姿态控制系统设计
总结词
飞行器的姿态控制是保证飞行安全的关键环 节。通过状态空间描述法，可以建立飞行器 姿态控制系统的数学模型，为控制系统设计 提供依据。
详细描述
飞行器的姿态控制涉及多个动态变量，如角 速度、角位移、俯仰角、偏航角等。状态空 间描述法能够全面地描述这些变量之间的关 系，建立起飞行器姿态控制的数学模型。基 于这个模型，可以设计各种控制器，如PID 控制器、模糊控制器等，以实现对飞行器姿 态的精确控制。
PART 05
状态空间描述法的应用实 例
REPORTING
案例一：倒立摆控制系统设计
要点一
总结词
要点二
详细描述
倒立摆是一个不稳定的系统，其控制目标是使摆杆保持稳 定，避免倒塌。状态空间描述法在倒立摆控制系统中被广 泛应用，通过建立状态方程和输出方程，对系统进行精确 的数学描述，为控制系统设计提供基础。
状态空间图
• 状态空间图：以图形方式表示系统状态变量、输 入和输出的关系，有助于直观理解系统的动态行 为。
PART 03
状态空间描述法的实现
REPORTING
建立状态方程和输出方程
状态方程
描述系统内部状态变量的动态关系，通 常表示为x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)。
VS
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入的关系， 通常表示为y(t)=Cx(t)+Du(t)。
如何克服局限性
降维处理
并行计算和分布式计算
对于高维系统，可以通过降维处理来 降低系统的维度，从而简化状态空间 描述法的计算。
采用并行计算和分布式计算技术可以 降低大规模系统的计算复杂性，提高 计算效率。
状态和状态空间模型
其中
x
x1
x2
u [ui ]
y [uC ]
A
- R/L
1/C
-1/L
0
B
1/L
0
C [0
1]
• 总结出状态空间模型的形式为x Ax Bu Nhomakorabeay
Cx
Du
其中x为n维的状态向量;
u为r维的输入向量;
y为m维的输出向量; A为nn维的系统矩阵; B为nr维的输入矩阵;
– 系统的状态和状态变量 – 系统的状态空间
1. 系统的状态和状态变量
• 动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的 字面意思就是指系统过去、现在将来的运 动状况。
– 正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空 间分析方法十分重要。
– “状态”的定义如下。
• 定义2-1 动态系统的状态,是指能够完全描 述系统时间域动态行为的一个最小变量组。
• 可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态 变量的输出空间的投影,一个子集。
x
状态空间
空间映射
输出 y 空间
2. 系统的状态空间
• 若以n个状态变量 x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴, 就可构成一个n维欧氏空间, 并称为n维状态空间,记为Rn.
• 状态向量的端点在状态空间 中的位置,代表系统在某一时 刻的运动状态。
描述线性系统 的主要状态空 间模型,切记!
C为mn维的输出矩阵;
D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。
• 状态空间模型的意义,有如下讨论:
– 状态方程描述的是系统动态特性,
• 其决定系统状态变量的动态变化。
– 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的 关系。
现代控制理论-线性系统的状态空间描述
c11(t) c12 (t) c1n (t)
C
(t)
c21
(
t
)
c22 (t)
c2n (
t
)
,
m n维输出矩阵 表 征 输 出 和 每 个 状 态 量 变 的 关 系
cm1(t) cm2 (t) cmn (t)
d11(t)
D(t)
d 21 ( t )
d12 (t)
d22 (t)
最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用n阶微分方
程描述的含有n个独立变量的系统，当求得n个独立变量随时
间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于n，
必有变量不独立；若少于n，又不足以描述系统状态。
2021/8/24
电气信息学院《现代控制理论课程》
12
状态变量的选取具有非唯一性，即可 用某一组、也可用另一组数目最少的变量 （状态变量不唯一）。状态变量不一定要 象系统输出量那样，在物理上是可测量或 可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容 易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、 改善系统性能的需要。
常用符号： 积分器
比例器
ki
注：有几个状态变量，就建几个积分器
加法器
注:负反馈时为－
系统框图：
U
B
D
•
X
A
X C Y
X•
AX
BU
Y CX D U
2021/8/24
电气信息学院《现代控制理论课程》
22
线性时变系统状态空间描述：x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u
t)
b11(t) b12 (t) b1r (t)
B(t)
b21 ( t )
第一章-状态空间表达式
现代控制理论Model Control Theory前言1.胚胎萌芽期（1945年以前）•十八世纪以后，蒸汽机的使用提出了调速稳定等问题1765年俄国人波尔祖诺夫发明了锅炉水位调节器1784年英国人瓦特发明了调速器，蒸汽机离心式调速器1877年产生了劳斯稳定判据•十九世纪前半叶，动力使用了发电机、电动机促进了水利、水电站的遥控和程控的发展以及电压、电流的自动调节技术的发展•十九世纪末，二十世纪初，使用内燃机促进了飞机、汽车、船舶、机器制造业和石油工业的发展，产生了伺服控制和过程控制•二十世纪初第二次世界大战，军事工业发展很快飞机、雷达、火炮上的伺服机构，总结了自动调节技术及反馈放大器技术，搭起了经典控制理论的架子，但还没有形成学科。
2.经典控制理论时期（1940-1960）1945年美国贝尔实验室的Bode和Nyqusit提出频率响应法，奠定了控制理论的基础。
美国MIT的N. Wiener在研究随机过程的预测问题中，提出Wiener滤波理论.50年代趋于成熟.主要内容对单输入单输出系统进行分析，采用时域、频率法（频域）、根轨迹法（复数域）、相平面法、描述函数法；讨论系统稳定性的代数和几何判据以及校正网络等。
面临的挑战：被控对象日益复杂化、控制性能要求不断提高。
wiener3.现代控制理论时期（50年代末-60年代初）空间技术的发展提出了许多复杂控制问题，用于导弹、人造卫星和宇宙飞船上。
取得的成就1：1957年发射人造地球卫星；2：工业机器人产品；3：1961年载人航天；4：1969年登月；4.大系统和智能控制时期（70年代）各学科相互渗透，要分析的系统越来越大，越来越复杂。
例如：人工智能、模拟人的人脑功能、机器人等。
应用举例本课程内容•状态空间模型；•基于状态空间模型的系统分析（Analysis）：运动分析、能控性、能观性、稳定性•基于状态空间模型的系统综合（Synthesis）：极点配置、控制器设计、观测器设计、最优控制器设计。
第一章现代控制理论预览
［例1-4］：系统框图如下：
u
k1
k2
k3
y
T1s 1 T2s 1 T3s
k4
1、积分环节
u1
s
x1
1
u
y x1
y
u
1 x1
y x1
2、惯性环节
x1
1 T
x1
K T
u
y x1
uKy Ts 1
uK T
x1
1
TБайду номын сангаас
y x1
3、比例积分环节
x1
1
u
y Kx1 Ku
u K (s 1) y s
y1(t) g1(x1, x2 ,, xn , u1, u2 ,ur , t) y2 (t) g2 (x1, x2 ,, xn , u1, u2 ,ur , t)
ym (t) gm (x1, x2 ,, xn , u1, u2 ,ur , t)
向量形式:
y(t) g(x(t),u(t),t) m 1 输出向量
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
6 3 2 1
y 1 1 0x
系统
系统
1、3 状态变量及状态空间表达式得建立
建立状态空间描述得三个途径: 1、由系统框图建立 2、由系统机理进行推导 3 、由微分方程或传递函数演化而得
一、由系统框图建立状态空间描述
［关键］:将积分部分单独表述出来,对结构图进行等效变换
1 L
uc
(t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
即
x1 (t )
1 C
x2 (t)
状态方程
第1章 动态系统的状态空间描述
式(1-29)简记为 ( A, B,C, D) ,即
x Ax Bu y Cx Du
(1-30)
式中, x x1 x2 xn T 是n维状态向量;
y y1 y2 ym T 是m维输出向量;
u u1 u2 ur T 是r维输入向量;
a11 a12 a1n
(2)内部描述
状态空间描述是内部描述的基本形式，这种描述是基 于系统内部结构分析的一类数学模型。其由两个数学方程 组成:
一个是反映系统内部状态变量x1,x2,…,xn 和输入变量 u1,u2,…,ur间因果关系的数学表达式，称为状态方程，其 数学表达式的形式对于连续时x 间系统为一阶微分方程组， 对于离散时间系统为一阶差分方程组;
a22
a2n
an1
an2
ann
称为系统矩阵或状态矩阵;
b1
B
b2
称为输入矩阵或控制矩阵；
bn
C [c1 c2 cn ] 称为输出矩阵或观测矩阵；
D是标量，反映输出与输入的直接关联。
2.多输入多输出线性定常连续系统
对于有r个输入u1,u2,…,ur ,m个输出y1,y2,…,ym的多输人 多输出n阶线性定常连续系统，状态方程的一般形式为
化的动态过程信息。因此,式（1-4）、式(1-5)是图1-4所示电网
络系统的一种完全描述。
3.系统状态空间描述的基本概念
(1)动态系统的状态
动态系统的状态是完全地描述动态系统运 动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可 以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系 统运动信息的集合为状态。 (2)状态变量
现代控制理论复习
G ( s ) = G1 ( s )[ I + G2 ( s )G1 ( s )]−1 或 = [ I + G1 ( s )G2 ( s )]−1 G1 ( s )
2 0 1 1 1 2 9 8
[ 第二章总结] 1 .线性定常齐次状态方程的解 2 .矩阵指数函数 e At 3 .状态转移矩阵 Φ ( t − t0 ) Φ ( t , t ) 0 4 .线性定常非齐次状态方程的解 5 .线性时变系统状态方程的解 1 、线性定常系统运动分析 1 ）齐次状态方程的解：
2 0 1 1 1 2 9 2 2
4 、李氏第二法判稳 李氏第二法判稳思路：寻找李氏函数 李氏第二法判稳思路 李氏第二法稳定性定理
G11 G12 G G Y(s) G(s) = = C(sI − A)−1 B + D = 21 22 M M U(s) Gm1 Gm2 L G1r L G2r L M L Gmr
G( s ) 的每个元素的含义：
Yi ( s ) 表示第i 个输出中，由第j 个输入变量所引 Gij ( s ) = 个输入变量间的传递关系 U j ( s ) 起的输出和第j
e At
2 0 1 1 1 2 9
e λ1t = P 0
0 −1 O P e λnt
1 0
约当标准型法：当A 的特征值为 λ1（n 重根）
λ1t e = Q M 0 0 te λ1t L O O L 1 t n−1e λ1t ( n − 1)! −1 O M Q O te λ1t 0 e λ1t
x ( t ) = Φ ( t − t0 ) x ( t0 )
2 ）非齐次状态方程的解：
x( t ) = Φ ( t ) x( 0) + ∫ Φ ( t − τ ) Bu(τ )dτ
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拉氏变换法(6/12)
齐次状态方程的解描述了线性定 常连续系统的自由运动。
由解的表达式可以看出,系统 自由运动的轨线是由从初始 时刻的初始状态到t时刻的状 态的转移刻划的,如图所示。
x
x(t)=(t)x0
x0
1 (t)
0
t
图 状态转移特性
x(0)
x2 x(t1 )
0
x1
(t1 0)
的解(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。
矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2)
2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩 阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(Φ(t)为方阵A的 状态转移矩阵)
矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2)
x(t0 )
的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强 迫项(无外力)时的自由运动。
对上述齐次状态方程,常用的常 微分方程求解方法有
矩阵指数法和
拉氏变换法 2种。
线性定常齐次状态方程的解(2/2)
x(t) eA(tt0 ) x(t0 )
状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始 状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特
所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项 (u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。
研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力 作用下的自由(自治)运动。
所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用, 状态方程解对输入具有非齐次性。
研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用 下的强迫运动。
1) 对角线矩阵。 当A为如下对角线矩阵:
A=diag{1 2 … n}
则状态转移矩阵为
Φ(t) eAt diag e1t e2t ... ent
式中，diag{…}表示由括号内元素组成对角线矩阵。
基本定义(3/4)—几类特殊形式的状态转移矩阵
(2) 块对角矩阵。当A为如下块对角矩阵: A=block-diag{A1 A2 … Al}
其中Ai为mimi维的分块矩阵,则状态转移矩阵为
Φ(t) eAt block - diag eA1t eA2t ... eAlt
P51例2.5
2.1.3 状态转移矩阵的计算
课本P53例2.7
课本P52例2.6 课本P47例2.4
基本定义(2/4)—几类特殊形式的状态转移矩阵
当系统矩阵A为n×n维方阵时,状态转移矩阵Φ(t)亦为n×n维 方阵,且其元素为时间t的函数。 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵
t1
(t2 t1 )
x(t2 ) t
t2
拉氏变换法(7/12)
当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状 态转移矩阵所决定。 所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。
可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。
线性定常连续系统的状态转移矩阵(1/1)
2.1.2 线性定常连续系统的状态转移矩阵
矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2)
6.[Φ(t)]n=Φ(nt) 7 Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)
8 eAτt eAt τ
矩态转移矩阵的意义,有 x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1) =Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)] =[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0)
线性定常齐次状态方程的解(1/2)
2.1.1 线性定常齐次状态方程的解
什么是微分方程的齐次方程?
齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程 的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。
所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程 x’=Ax
齐次状态方程满足初始状态
x(t) t t0
性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数eA(t t0 )和初始状态x(t0)
所决定。
拉氏变换法(5/12)
为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续 系统的状态转移矩阵如下: (t)=eAt 因此,有如下关系式 (t-t0 ) e A(tt0 ) x(t)=(t)x0 x(t)= (t-t0)x(t0) 由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状 态转移矩阵有如下关系 (t)=L-1[(sI-A)-1]
下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
基本定义(1/4)—状态转移矩阵的定义
1. 基本定义
定义： 对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0时,满 足如下矩阵微分方程和初始条件: ’(t)=A(t), (t)|t=0=I
而 x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0)
x(t0 )
t0
x(t1) eA(t1t0 )x(t0 )
x(t2 ) e A(t2t1)x(t1) eA(t2 t0 )x(t0 )
t1
t2
t
图 系统的状态转移
因此，性质(7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的 一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状 态转移等效为一步状态转移,如图所示。
2.1 线性定常连续系统状态方程的解
本节需解决的主要问题 状态转移矩阵? 矩阵指数函数？ 状态转移矩阵和矩阵指数函数的性质 齐次状态方程的求解? 非齐次状态方程的求解? 非齐次状态方程解的各部分的意义？ 输出方程的解？
线性定常连续系统状态方程的解(3/4)
在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线 性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移 矩阵等概念。
概述(1/4)
概述
建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和 定性的分析。 定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问 题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问 题。 定性分析主要包括研究系统的结构性质,如 能控性、 能观性、 稳定性等。
线性定常连续系统状态方程的解(1/4)