第一章动态系统的状态空间描述
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控制系统的状态空间描述-106页精选文档
[术语]：
状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。 状态可以理解为系统记忆，t=t0时刻的初始状态能记忆系统在 t<to时的全部输入信息。
状态变量：完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。
完全描述：如果给定t=t0时刻这组变量值，和 t>=t0时输入的 时间函数，那么，系统在t>=t0任何瞬间的行为就完全确定。 最小个数：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不 完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。
Hale Waihona Puke Baidu
an1
an2
ann
b11 b12 b1r
B
b21
b22
b2
r
,nr维输入矩,表 阵征输入对每个 作变 用量的
bn1
bn 2
bnr
30.09.2019
6
输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之 间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因 果关系。方程形式如下：
状态空间：以状态变量 x1(t)x ,2(t),.x.n.(t,)为坐标轴构成的n
维空间。在某一特定时刻 t，状态向量X (t ) 是状态空间的一个
点。
状态轨迹：以 X(t)X(t0) 为起点，随着时间的推移，X (t)
状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。 状态可以理解为系统记忆，t=t0时刻的初始状态能记忆系统在 t<to时的全部输入信息。
状态变量：完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。
完全描述：如果给定t=t0时刻这组变量值，和 t>=t0时输入的 时间函数，那么，系统在t>=t0任何瞬间的行为就完全确定。 最小个数：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不 完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。
Hale Waihona Puke Baidu
an1
an2
ann
b11 b12 b1r
B
b21
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b2
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,nr维输入矩,表 阵征输入对每个 作变 用量的
bn1
bn 2
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30.09.2019
6
输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之 间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因 果关系。方程形式如下：
状态空间：以状态变量 x1(t)x ,2(t),.x.n.(t,)为坐标轴构成的n
维空间。在某一特定时刻 t，状态向量X (t ) 是状态空间的一个
点。
状态轨迹：以 X(t)X(t0) 为起点，随着时间的推移，X (t)
控制系统状态空间描述1
若要完全描述n阶系统 则其最小变量组必须由 个变量(即状 若要完全描述 阶系统,则其最小变量组必须由 个变量 即状 阶系统 则其最小变量组必须由n个变量 态变量)所组成 一般记这n个状态变量为 所组成,一般记这 个状态变量为x 态变量 所组成 一般记这 个状态变量为 1(t),x2(t), …,xn(t). 若以这n个状态变量为分量 构成一个 维变量向量,则称 若以这 个状态变量为分量,构成一个 维变量向量 则称 个状态变量为分量 构成一个n维变量向量 这个向量为状态变量向量,简称为状态向量 简称为状态向量,并可表示如 这个向量为状态变量向量 简称为状态向量 并可表示如 下: y1 u1 x1 x u2 y2 系 内 状 统 部 态 2 =[x x ... x ]τ x= 1 2 n x1,x2,… n ,x ... … … ur ym xn
值得指出的是,不同建模目的 采用不同数学工具和描述方式 值得指出的是 不同建模目的,采用不同数学工具和描述方式 不同建模目的 采用不同数学工具和描述方式, 以及对模型精度的不同要求,都会导致不同的数学模型 都会导致不同的数学模型。 以及对模型精度的不同要求 都会导致不同的数学模型。 因此,一个实际的系统也可以用不同的数学模型去描述。 因此 一个实际的系统也可以用不同的数学模型去描述。 一个实际的系统也可以用不同的数学模型去描述 例如,严格说来 大多数实际系统的动力学模型都具有非 例如 严格说来,大多数实际系统的动力学模型都具有非 严格说来 线性特性,而且系统是以分布参数的形式存在 而且系统是以分布参数的形式存在。 线性特性 而且系统是以分布参数的形式存在。 当然过多考虑系统的各种复杂因素的简化和近似,也必然 当然过多考虑系统的各种复杂因素的简化和近似 也必然 影响数学模型的精度,以及模型在分析、综合和控制中的 影响数学模型的精度 以及模型在分析、 以及模型在分析 应用效果。 应用效果。 因此,一个合理的数学模型应是对其准确性和简化程 因此 一个合理的数学模型应是对其准确性和简化程 度作折中考虑,它是在忽略次要因素 它是在忽略次要因素,在现实条件和可 度作折中考虑 它是在忽略次要因素 在现实条件和可 能下,在一定精度范围内的 尽可能抓住主要因素,并最 在一定精度范围内的,尽可能抓住主要因素 能下 在一定精度范围内的 尽可能抓住主要因素 并最 终落脚于实际应用的目标、条件(工具 与环境的结果。 工具)与环境的结果 终落脚于实际应用的目标、条件 工具 与环境的结果。 模型并不是越精确越好、越复杂越好。 模型并不是越精确越好、越复杂越好。
第1章 状态空间描述1
1 f 1 ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t ) x x 2 f 2 ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t ) n f n ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t ) x
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u n an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu x
输出方程的一般形式为
0
特例：友矩阵情况
0 0 A 0 a n
其特征多项式为
1 0 0
0 1 0
a n 1 a n 2
0 0 1 a1
λI A λn a1 λn1 an1 λ an
以上矩阵为友矩阵。友矩阵的特点是主对角线上方 的元素均为1; 最后一行的元素与其特征多项式的系 数有一一对应关系;而其余元素均为零。(P27)
3 本质属性
1.2 状态空间模型
1.2.1 状态空间的基本概念 1 系统的概念 系统、静态系统、 动态系统 2 动态系统的两类数学描述 外部描述、内部描述、两者的关系
现代控制理论课后习题答案
绪论
为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。
根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。
本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！
这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。
第一章状态空间表达式第2讲
3. 状态空间 以状态变量 x1、 x2、 ...、xn为坐标轴所构成的n维空间。
4. 状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组。
5. 输出方程 在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函 数关系式。
6. 状态空间表达式 状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系 统完整的动态描述。
2021/2/22
2021/2/22
22
此时，可以选取状态变量为：
x1 y x2 y x3 y
x1 x2 x2 x3 x3 x4
x n y (n1)
xn a0 x1 a1x2 ... an1xn u
0 1 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
01
x
0
00
a0 a1
0 0
0
0
x 0u
1
an1 1
2021/2/22
xn1
0
0
0
...
1
x n2021/2/22 a0 a1 a2 ... an1
0
0
... 0
24
4.2 传递函数中有零点时的实现 如果传递函数有零点，则系统的微分方程为：
y(n)an1y(n1)...a1ya0y bmu(m)bm1u(m1)...b1ub0u
相应地系统的传递函数为：
W (s)y (s) b m sm b m 1 sm 1 ... b 1 s b 0;m n u (s) sn a n 1 sn 1 ... a 1 s a 0
4. 状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组。
5. 输出方程 在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函 数关系式。
6. 状态空间表达式 状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系 统完整的动态描述。
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此时，可以选取状态变量为：
x1 y x2 y x3 y
x1 x2 x2 x3 x3 x4
x n y (n1)
xn a0 x1 a1x2 ... an1xn u
0 1 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
01
x
0
00
a0 a1
0 0
0
0
x 0u
1
an1 1
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xn1
0
0
0
...
1
x n2021/2/22 a0 a1 a2 ... an1
0
0
... 0
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4.2 传递函数中有零点时的实现 如果传递函数有零点，则系统的微分方程为：
y(n)an1y(n1)...a1ya0y bmu(m)bm1u(m1)...b1ub0u
相应地系统的传递函数为：
W (s)y (s) b m sm b m 1 sm 1 ... b 1 s b 0;m n u (s) sn a n 1 sn 1 ... a 1 s a 0
第一章：状态空间描述2
x1 a0xn 0u x2 x1 a1xn 1u
xn1 xn2 an2 xn n2u xn xn1 an1xn n1u
系统输出方程为y xn
将上面的状态方程和输出方程写成向量矩阵形式，有
x1 0 0 0 0 a0 x1 0
x2
1
0
0
0
a1
x2
1
(2)然后根据所给状态方程和输出方程画出加法器和比例器；
(3)最后按信号传递关系把这些元件用箭头连接起来。
例6 一个二输入二输出系统
x1 x2
a11 a21
a12 a22
x1 x2
b11 b21
b12 u1
b22
u2
y1 y2
c11 c21
c12 x1
c22
当该实现的状态方程中A与b具有上式的形式时，称为能控规范型实现．这时
的A阵常称为友矩阵。
状态变量图
bn
u
1
- S
bn1 anbn
1
1
S
S
bn2 an2bn
1 S
b1 a1bn b0 a0bn
an1
an2
a1
a0
y
G(s)
bn
(bn 1
a n 1bn
) sn 1
(bn2 an2bn ) sn2 sn an1sn1 a1s
第一章 状态空间表达式(2013)
两个独立储能元件：电容和电感 两个状态变量： 电容的储能与其两端的电压相关 uc 电感的储能与流过的电流相关 i
1 状态空间表达式 写出状态空间表达式
1 u i c c 1 R 1 i u i u L c L L
状态变量用一般符号x1,x2,…,xn表示
0 x 1 x 1 2 L
& x 3
_
K1 1 T1 s 1 T1
传递函数 微分方程 模拟结构图
∫
T1
x3
1
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
+
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
d 11 d 12 d d D 21 22 d m1 d m 2 d 1r d 2r d mr
2 状态空间表达式的模拟结构图 系统方块图与模拟结构图：系统方块图注重表达功能关系，模拟 结构图为系统方块图的细化，详细的描述一个现实物理系统。
控制理论概述
控制：使某些物理量按照指定的规律变化 扰动 参考量 控制器 对象：如机械 臂，倒立摆等 传感器 输出量
+
基本概念：
如单摆
现代控制理论知识点复习
第一章 控制系统的状态空间表达式
１． 状态空间表达式 n 阶
Du
Cx y Bu Ax x
+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:
A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；
Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况； C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系， D 直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２． 状态空间描述的特点
①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 ⑥建立状态空间描述的步骤：
a 选择状态变量；
b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；
c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）
已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 ４． 状态空间表达式的建立
① 由系统框图建立状态空间表达式：
a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；
状态空间描述
C
Y(t)
A
系统的状态变量个数，仅等于系统包含的独立储能元件的个数， 因此，一个n 阶系统仅有n 个状态变量可以选择。
获得状态空间表达式有三个途径： ①根据物理化学机理用解析的方法进行建立；
② 根据传递函数或高阶微分方程演化求得； ③ 由传递函数的实极点建立；
④由系统方框图，根据各环节之间的连接建立。
y (n) an1 y (n1) ... a1 y a0 y b0u
系统的传递函数为： 形式1：
W (s)
sn
b0 an1s n1 a1s a0
若已知y(0), y(0),... y (n1) (0) 及t＞0时的输入,则系统的行为就可 唯一被确定。因此可选取x1=y,x2=y(1)…xn=y(n-1)作为状态变量, 则微分方程可表示为
xn
u(n1) n
u(n2) n 1
2u 1u
增加一个中间变量：xn1 令 xn1 xn 0u (5)
由式(5)和式(4)可求得：
y(n)
xn
nu(n)
u(n1) n 1
2u 1u
(6)
xn1
nu(n)
u(n1) n 1
2u
1u
0u
将式(4)和式(6)代入原始微分方程式中，根据左右等式 中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：0, 1,, n
第1章 系统的状态空间描述
1 1 1 2 n 1 2 r
y (t ) g [ x (t ), x (t ) x (t ); u (t ), u (t )u (t ); t ]
2 2 1 2 n 1 2 r
y (t ) g [ x (t ), x (t ) x (t ); u (t ), u (t )u (t ); t ]
1 11 1 12 2 1n n 11 1 12 2 1r r 2 21 1 22 2 2n n 21 1 22 2 2r r n n1 1 n2 2 nn n n1 1 n2 2 nr r
y (t ) c (t ) x (t ) c (t ) x (t ) c (t ) x (t ) d (t )u (t ) d (t )u (t ) d (t )u (t ) y (t ) c (t ) x (t ) c (t ) x (t ) c (t ) x (t ) d (t )u (t ) d (t )u (t ) d (t )u (t ) y (t ) c (t ) x (t ) c (t ) x (t ) c (t ) x (t ) d (t )u (t ) d (t )u (t ) d (t )u (t )
x (t ), x (t ) x (t )
1 2 n
(t ) a (t ) x (t ) a (t ) x (t ) a (t ) x (t ) b (t )u (t ) b (t )u (t ) b (t )u (t ) x x (t ) a (t ) x (t ) a (t ) x (t ) a (t ) x (t ) b (t )u (t ) b (t )u (t ) b (t )u (t ) (t ) a (t ) x (t ) a (t ) x (t ) a (t ) x (t ) b (t )u (t ) b (t )u (t ) b (t )u (t ) x
y (t ) g [ x (t ), x (t ) x (t ); u (t ), u (t )u (t ); t ]
2 2 1 2 n 1 2 r
y (t ) g [ x (t ), x (t ) x (t ); u (t ), u (t )u (t ); t ]
1 11 1 12 2 1n n 11 1 12 2 1r r 2 21 1 22 2 2n n 21 1 22 2 2r r n n1 1 n2 2 nn n n1 1 n2 2 nr r
y (t ) c (t ) x (t ) c (t ) x (t ) c (t ) x (t ) d (t )u (t ) d (t )u (t ) d (t )u (t ) y (t ) c (t ) x (t ) c (t ) x (t ) c (t ) x (t ) d (t )u (t ) d (t )u (t ) d (t )u (t ) y (t ) c (t ) x (t ) c (t ) x (t ) c (t ) x (t ) d (t )u (t ) d (t )u (t ) d (t )u (t )
x (t ), x (t ) x (t )
1 2 n
(t ) a (t ) x (t ) a (t ) x (t ) a (t ) x (t ) b (t )u (t ) b (t )u (t ) b (t )u (t ) x x (t ) a (t ) x (t ) a (t ) x (t ) a (t ) x (t ) b (t )u (t ) b (t )u (t ) b (t )u (t ) (t ) a (t ) x (t ) a (t ) x (t ) a (t ) x (t ) b (t )u (t ) b (t )u (t ) b (t )u (t ) x
第一章：状态空间描述3
2 1
0 2
都是约当矩阵.
当传函除含单极点以外还含有重实极点时，也可化为约当规
范型。其A阵是一个约当矩阵。
设D(s)可分解为D(s) (s 1)3(s 4 ) (s n ). 式中1为三重实
极点，4， , n为单实极点。传函可写成下列部分分式之和
G(s)
N(s) D(s)
(s
C11
X 6 11
6
X
0u
6 11 5 1
变换为对角线规范型
解：1)首先求系统特征值
1 1 I A 6 1 6 3 62 11 6 0
6 11 5
有( 1)( 2)( 3) 0
解得 １＝1, 2 2, 3 3
2)求系统特征向量 Pi和变换矩阵 P
先求对应 1 1的特征向量 P1
2 3
解得1,2 1, 3 2 (2)求特征向量
求1 2 1对应的特征向量
rank(1I A) 2,只有一个独立的实特征向量。
求1，2 1对应的广义特征向量p1, p2
1 p1 Ap1, 1 p2 Ap2 p1
0 1 0 p11 p11
1
0
0
1
p21
p21 , 解得p1
0
2,
P1
1 9
6
3
3
1 1 4
1 2 1
状态和状态空间模型
状态和状态 空间模型
状态和状态空间模型
• 系统的状态空间模型是建立在状态和状态 空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念 进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌 握和深入理解。
– 状态 – 状态变量 – 状态空间 – 状态空间模型
状态空间的基本概念
• 下面将给出动态系统的状态和状态空间的 概念,主要讲授内容为：
• 可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态 变量的输出空间的投影,一个子集。
x
状态空间
空间映射
输出 y 空间
2. 系统的状态空间
• 若以n个状态变量 x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴, 就可构成一个n维欧氏空间, 并称为n维状态空间,记为Rn.
• 状态向量的端点在状态空间 中的位置,代表系统在某一时 刻的运动状态。
x2 x(t0)
x(t1)
x(t2)
x(t) x1 图2-2 二维空间的状态轨线
➢ 随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状 态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。
➢ 状态轨线如图2-2所示。
系统的状态空间模型
• 状态空间模型是应用状态空间分析法对动 态系统所建立的一种数学模型,它是应用现 代控制理论对系统进行分析和综合的基础。
– 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感 和电容)的个数。
– 对本例
状态和状态空间模型
• 系统的状态空间模型是建立在状态和状态 空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念 进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌 握和深入理解。
– 状态 – 状态变量 – 状态空间 – 状态空间模型
状态空间的基本概念
• 下面将给出动态系统的状态和状态空间的 概念,主要讲授内容为：
• 可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态 变量的输出空间的投影,一个子集。
x
状态空间
空间映射
输出 y 空间
2. 系统的状态空间
• 若以n个状态变量 x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴, 就可构成一个n维欧氏空间, 并称为n维状态空间,记为Rn.
• 状态向量的端点在状态空间 中的位置,代表系统在某一时 刻的运动状态。
x2 x(t0)
x(t1)
x(t2)
x(t) x1 图2-2 二维空间的状态轨线
➢ 随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状 态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。
➢ 状态轨线如图2-2所示。
系统的状态空间模型
• 状态空间模型是应用状态空间分析法对动 态系统所建立的一种数学模型,它是应用现 代控制理论对系统进行分析和综合的基础。
– 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感 和电容)的个数。
– 对本例
现代控制理论复习
[ 第一章总结]
1 、状态变量和状态变量模型 2 、状态空间表达式的建立 3 、传递函数矩阵 4 、状态空间表达式的线性变换 5 、组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵
2 0 1 1 1 2 9
1
1 . 动力学系统数学描述的基本形式 1 ）外部描述：传递函数描述 2 ）内部描述：状态空间描述( 线性定常、线性时变)
Q1(1) , L , Q1( m ) 的求法如下 ：
( λ1 − A)Q1(1) = 0 ( 2) (1 ) ( λ1 − A)Q1 = −Q1 LL ( λ − A)Q ( m ) = −Q ( m −1) 1 1 1
由此求得： Q1(1) , L , Q1( m )
Qm +1 , L , Qn 互异特征根对应的特征向量求法见对角线标准型
2 0 1 1 1 2 9
n −1
= e λi t
1 1
4 ）状态转换矩阵
Φ ( t − t0 ) 的性质及求解方法
& ( t − t ) = AΦ ( t − t ) Φ 0 0 满足关系式 Φ (0) = I
A( t −t 对线性定常系统:Φ ( t − t0 ) = e
0)
状态转移矩阵的性质
e At
2 0 1 1 1 2 9
e λ1t = P 0
0 −1 O P e λnt
1 、状态变量和状态变量模型 2 、状态空间表达式的建立 3 、传递函数矩阵 4 、状态空间表达式的线性变换 5 、组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵
2 0 1 1 1 2 9
1
1 . 动力学系统数学描述的基本形式 1 ）外部描述：传递函数描述 2 ）内部描述：状态空间描述( 线性定常、线性时变)
Q1(1) , L , Q1( m ) 的求法如下 ：
( λ1 − A)Q1(1) = 0 ( 2) (1 ) ( λ1 − A)Q1 = −Q1 LL ( λ − A)Q ( m ) = −Q ( m −1) 1 1 1
由此求得： Q1(1) , L , Q1( m )
Qm +1 , L , Qn 互异特征根对应的特征向量求法见对角线标准型
2 0 1 1 1 2 9
n −1
= e λi t
1 1
4 ）状态转换矩阵
Φ ( t − t0 ) 的性质及求解方法
& ( t − t ) = AΦ ( t − t ) Φ 0 0 满足关系式 Φ (0) = I
A( t −t 对线性定常系统:Φ ( t − t0 ) = e
0)
状态转移矩阵的性质
e At
2 0 1 1 1 2 9
e λ1t = P 0
0 −1 O P e λnt
线性系统理论(第一章)
duC dt
和
d i L d t 为变量， 为变量，
duC 1 1 R1 = uC iL + e(t ) dt ( R1 + R2 )C ( R1 + R2 )C (R1 + R2 )C
diL R1 R1R2 R2 uC iL + e(t ) = dt L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 )
& x1 = f1 ( x1 , L , x n ; u1 , L , u p ; t ) t ≥ t0 LLL x = f ( x ,L , x ; u ,L , u ; t ) &n n 1 n 1 p
向量方程的形式： 向量方程的形式：
& X = f (x,u,t)
, t ≥ t0
第一章
第一章
例2：考虑人口分布问题，设某国1988年的人口分布为： 考虑人口分布问题，设某国1988年的人口分布为： 年的人口分布为
7 城市人口为 10 7 ，农村人口为 9 × 1 0 。人口的流动情况为： 人口的流动情况为：
每年有4%的上一年城市人口迁去农村，同时有2%的上一年 每年有4%的上一年城市人口迁去农村，同时有2%的上一年 的上一年城市人口迁去农村 农村人口迁到城市。整个国家的人口自然增长率为1%。 农村人口迁到城市。整个国家的人口自然增长率为1%。 解：确定状态变量：城市人口 x1 和农村人口 x2 。 确定状态变量： 建立人口按年分布方程：取1988年为k=0，则k+1年时城市 年为k=0， k+1年时城市 建立人口按年分布方程： 1988年为 人口和农村人口的分布方程，可以定为： 人口和农村人口的分布方程，可以定为：
《现代控制理论》习题册
第一章 控制系统的状态空间描述
1-1 求图示网络的状态空间表达式，选取C u 和i 为状态变量。
R
L +
1-2 已知系统微分方程，试将其变换为状态空间表达式。
（1）u y y y y 2642=+++
（2）u u y y
y 237+=++
（3）u u u y y y
y 23745++=+++
（4）u u u u y y y y 81786116+++=+++
1-3试画出如图所示系统的状态变量图，并建立其状态空间表达式。
1-4 已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。
（1）61161)(2
32+++++=s s s s s s G （2）6
51
3)(22++++=s s s s s G
（3）)3()1(4
)(2++=s s s s G （4）1
3332)(2
32+++++=s s s s s s G
1-5 已知系统
2
33
)()(2+++=s s s s U s Y ，试求其能控标准型和对角标准型。
1-6 已知系统传递函数，试用并联法求其状态空间表达式。 （1）61161)(23+++=
s s s s G （2）2
545
)(2
3+++=s s s s G
1-7 试求下列状态方程所定义系统的传递函数。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212121211001101142510x x y y u u x x x x
1-8 试将下列状态方程化为对角标准型。
（1）u(t)x(t)(t)x
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拉氏变换法(6/12)
齐次状态方程的解描述了线性定 常连续系统的自由运动。
由解的表达式可以看出,系统 自由运动的轨线是由从初始 时刻的初始状态到t时刻的状 态的转移刻划的,如图所示。
x
x(t)=(t)x0
x0
1 (t)
0
t
图 状态转移特性
x(0)
x2 x(t1 )
0
x1
(t1 0)
所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项 (u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。
研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力 作用下的自由(自治)运动。
所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用, 状态方程解对输入具有非齐次性。
研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用 下的强迫运动。
概述(1/4)
概述
建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和 定性的分析。 定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问 题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问 题。 定性分析主要包括研究系统的结构性质,如 能控性、 能观性、 稳定性等。
线性定常连续系统状态方程的解(1/4)
而 x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0)
x(t0 )
t0
x(t1) eA(t1t0 )x(t0 )
x(t2 ) e A(t2t1)x(t1) eA(t2 t0 )x(t0 )
t1
t2
t
图 系统的状态转移
因此，性质(7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的 一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状 态转移等效为一步状态转移,如图所示。
x(t0 )
的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强 迫项(无外力)时的自由运动。
对上述齐次状态方程,常用的常 微分方程求解方法有
矩阵指数法和
拉氏变换法 2种。
线性定常齐次状态方程的解(2/2)
x(t) eA(tt0 ) x(t0 )
状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始 状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特
下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
基本定义(1/4)—状态转移矩阵的定义
1. 基本定义
定义： 对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0时,满 足如下矩阵微分方程和初始条件: ’(t)=A(t), (t)|t=0=I
线性定常齐次状态方程的解(1/2)
2.1.1 线性定常齐次状态方程的解
什么是微分方程的齐次方程?
齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程 的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。
所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程 x’=Ax
齐次状态方程满足初始状态
x(t) t t0
P51例2.5
2.1.3 状态转移矩阵的计算
课本P53例2.7
课本P52例2.6 课本P47例2.4
基本定义(2/4)—几类特殊形式的状态转移矩阵
当系统矩阵A为n×n维方阵时,状态转移矩阵Φ(t)亦为n×n维 方阵,且其元素为时间t的函数。 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵
性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数eA(t t0 )和初始状态x(t0)
所决定。
拉氏变换法(5/12)
为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续 系统的状态转移矩阵如下: (t)=eAt 因此,有如下关系式 (t-t0 ) e A(tt0 ) x(t)=(t)x0 x(t)= (t-t0)x(t0) 由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状 态转移矩阵有如下关系 (t)=L-1[(sI-A)-1]
矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2)
6.[Φ(t)]n=Φ(nt) 7 Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)
8 eAτt eAt τ
矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(4/2)
由状态转移矩阵的意义,有 x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1) =Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)] =[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0)
1) 对角线矩阵。 当A为如下对角线矩阵:
A=diag{1 2 … n}
则状态转移矩阵为
Φ(t) eAt diag e1t e2t ... ent
式中，diag{…}表示由括号内元素组成对角线矩阵。
基本定义(3/4)—几类特殊形式的状态转移矩阵
(2) 块对角矩阵。当A为如下块对角矩阵: A=block-diag{A1 A2 … Al}
的解(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。
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矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2)
2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩 阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(Φ(t)为方阵A的 状态转移矩阵)
矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2)
2.1 线性定常连续系统状态方程的解
本节需解决的主要问题 状态转移矩阵? 矩阵指数函数？ 状态转移矩阵和矩阵指数函数的性质 齐次状态方程的求解? 非齐次状态方程的求解? 非齐次状态方程解的各部分的意义？ 输出方程的解？
线性定常连续系统状态方程的解(3/4)
在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线 性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移 矩阵等概念。
其中Ai为mimi维的分块矩阵,则状态转移矩阵为
Φ(t) eAt block - diag eA1t eA2t ... eAlt
t1
(t2 t1 )
x(t2 ) t
t2
拉氏变换法(7/12)
当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状 态转移矩阵所决定。 所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。
可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。
线性定常连续系统的状态转移矩阵(1/1)
2.1.2 线性定常连续系统的状态转移矩阵