线性系统的状态空间描述

G(s) = G 2 (s)G 1 (s)
• 子系统的反馈联接
子系统 D i = 0 条件
状态空间描述
• x1 = A 1 x1 + B1u − B1C 2 x 2 • x 2 = A 2 x 2 + B 2 C 1 x1 y = C 1 x1
• x1 A1 ∑F : • = B C x 2 1 2 − B1C2 x1 B1 + u A2 x2 0
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= u ( s ) − G2 ( s ) y1 ( s ) = u ( s ) − G2 ( s )G1 ( s )u1 ( s )
且：y ( s) = y1 ( s) = G1 ( s)u1 ( s) 假定：det( I + G2 ( s )G1 ( s)) ≠ 0 则得另一种表达式为：
G ( s ) = G1 ( s )[ I + G2 ( s)G1 ( s )]−1
(3)状态空间 以n个状态变量作为基底所组成的n维空 间称为状态空间。 (4)线性系统 若在系统的状态空间表达式中，f和g均是 线性函数，则称系统为线性系统，否则为 非线性系统 (5)状态空间表达式 状态方程与输出方程的组合称为状态空 间表达式，又称动态方程。其一般形式为
x (t ) =
•
f [ x ( t ), u ( t ), t ]
4.一般时域描述化为状态空间描述 （1）方程中不包含输入函数的导数
y
(n)
+
a y
1
( n −1 )
+⋯ +
a
n −1
y+a
•
n
y =
b u
n
状态方程
• 0 x1 • 0 x = 2 ⋮ ⋮ • − an xn
化简 [I + G1 (s)G2 (s)]y(s) = G1 (s)u(s) 若 det(I + G1 (s)G2 (s)) ≠ 0 得反馈系统的传递函数矩阵为
G ( s ) = [ I + G1 ( s)G2 ( s )]−1 G1 ( s )
另：u1 ( s) = u ( s) − y2 ( s) = u ( s) − G2 ( s)u ( s)
y ( t ) = g [ x ( t ), u ( t ), t ]
(6)线性系统的状态空间表达式 线性系统的状态方程是一阶向量线性微 分方程或一阶向量线性差分方程，输出方 程是向量代数方程。线性连续时间系统状 态空间表达式的一般形式为 线性时变系统 线性定常系统
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
0 0 ⋮
1 0 ⋮ −
0 1 ⋮
⋯ ⋯ ⋯
a
n
a
n −1
−a
n−2
0 x1 β 1 0 x 2 β 2 + ⋮ ⋮ ⋮ − a 1 x n β n
[u ]
输出方程 y
∑ : xi
i
•
= Ai x i + B i u i
yi = Ci xi + Di ui i=1,2 并联的条件
Dim（）表示向量（）的维数 并联后 u = u = u
1 2
y1 = y 2 = y
• 动态方程为 x 1 = A1 x 1 + B 1u • x 2 = A2 x 2 + B 2u y = C x + C x + (D + D )u 1 1 2 2 1 2 • 状态空间描述 ∑ p : x1 = A1 0 x1 + B1 u • 0 A x B 2 2 2 x 2
线性系统的状态空间描述
1.系统的数学描述 （1）系统的外部描述，即输入——输出 描述。 （2）系统的内部描述，即状态空间描述。 2.状态空间描述的组成 （1）状态方程 x 、u间因果关系 （2）输出方程 x 、u与y间转换关系 注：x状态变量 u输入变量 y输出变量
3.系统状态空间描述常用的基本概念 （1）状态和状态变量 系统在时间域中的行为或运动信息的集 合称为状态。确定系统状态的一组独立变 量称为状态变量。 （2）状态向量 把描述系统状态的n个状态变量x1(t), x2(t),…,xn(t)看作向量x(t)的分量，即 X(t)=[x1(t),X2(t),…,xn(t)] T 则向量X(t)称为n维向量。
y = [C 1
x 0 ] 1 x2
子系统的传递函数矩阵为
G i ( s ) = C i ( sI − Ai ) −1 Bi
i=1，2
y ( s ) = y1 ( s ) = G1 ( s )[u ( s ) − G2 ( s ) y ( s )] = G1 ( s )u ( s ) − G1 ( s )G2 ( s ) y ( s )
状态空间描述
• 0 x1 B1 x A : •1 = 1 + u ∑T B2C1 A2 x2 B2 D1 x 2
y = [D2C1
x1 C2 ] + ( D1D2 )u x2
传递函数矩阵为
1 0 ⋮
0 1 ⋮
⋯ ⋯
− a n −1 − a n− 2
0 x1 0 0 x2 0 + ⋮ ⋮ ⋮ u ⋯ − a1 xn bn
输出方程 y
= [1
0
⋯
x1 0 ] x 2 ⋮ x n
（2）方程中包含输入函数的导数
y
(n)
+ a1 y （0） ⋯ + an −1 y + an y = b0 u +
( n −1)
•
( n)
+ b1 u
( n −1)
+ ⋯ + bn −1 u + bn u
•
状态方程
• x1 • x = 2 ⋮ • − xn
y = [k 11 k 12
⋯
k1n
]
x1 x 2 ⋮ xn
（3）传递函数的极点为k个重根 （4）传递函数同时具有单极点和重极点
6.跟据状态变量图列写线性系统的状态空间 描述 7.系统方块图导出状态空间描述 • 组合系统的状态空间描述：由两个或两个以上 组合系统的状态空间描述：
的子系统， 的子系统，按一定方式联接构成的系统称为组合 系统。 系统。 串联、并联、 串联、并联、反馈三种类型 • 子系统的并联
•
x
A x +B u y =C x +D u
n× n n× r
m×n m×r
•
=
(7) 状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描 述系统的方法称为状态空间分析法或状态 变量法。 状态空间分析法的优点是便于采用向量、 矩阵记号简化数学描述，便于在数学机上 求解，容易考虑初始条件，能了解系统内 部状态的变化特征，适用于描述时变、非 线性、连续、离散、随机、多变量等各类 系统，便于应用现代设计方法实现最优控 制、自适应控制等。
⋯
x1 x k n ] 2 ⋮ xn
（2）传递函数的极点为一个重根
ɺ x1 x ɺ 2 ⋮ ɺ xn s1 = 0 1 s1 1 ⋱ 0 1 s1 x1 x 2 ⋮ xn 0 0 + u ⋮ 1
= [ 1
0
⋯
x1 x 2 + 0 ] ⋮ x n
[β ]u
0
5.频域描述化为状态空间描述 （1）控制系统传递函数的极点为两两相异
ɺ x1 s1 x ɺ2 = ⋮ ɺ x n1 0 y = [k 1 k 2 s2 ⋱ 0 sn x 1 1 x 1 2 + u ⋮ ⋮ x n 1
x y = [C1 C2 ] 1 + [D1 + D2 ]u x2
传递函数矩阵为 G (s ) = ∑ Gi ( s)
i =1
2
可推广至N个子系统的并联组合系统 • 子系统的串联
串联的条件
动态方程
• x 1 = A1 x1 + B 1u • x 2 = A 2 x 2 + B 2 C 1 x1 + B 2 D 1u y = C x + D C x + D D u 2 2 2 1 1 2 1