状态空间描述
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第一章 控制系统的状态空间描述
五、状态空间模型的结构图
u
B
x
A D
x
y
C
六、状态空间表达式的非唯一性
假设 x 和 x 是我们为某一系统选定的两组不同状态变量，x 和 x 之间有 一一对应的变换关系即可逆变换关系，对于线性系统而言，这种关系就是 线性非奇异变换，既
* *
x 与 x 之间必有关系 * x Px
*
其中 P 为非奇异常数矩阵
较之传递函数，状态空间描述的优点有：
1、可以方便地描述多输入—多输出系统；
2、由前面的分析可以看出，对于不同维数的系统，可以采用同一表达方 式来进行描述，由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系 统，只是计算复杂一些而已。 3、状态空间分析是一种时域分析方法，可用计算机直接在时域中进行数 值计算。
x1 (t ) x (t ) 2 x (t ) xn (t )
三、状态空间
状态空间：所有n维状态向量的全体便构成了实数域上的n维状态空间。
状态轨迹：在状态空间中，时间t是一个参变量，某一时间t的状态是状 态空间中的一个点，而一段时间下状态的集合称为系统在这一时间段的状 态轨迹，有时也称作相轨迹。 四、输入向量和输出向量 输入向量：将系统的各个输入量看成一个列向量
输出 y u2
q 1 x2 ，写成向量矩阵形式为 C C
1 x1 y 0 C x2
i x , u c
R L A 1 C
i x q
1 L , 0
R A L 1
1 LC 0
1 0 1 P 0 C
例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。
线性系统的状态空间描述
第一章 线性系统的状态空间描述 1. 内容系统的状态空间描述化输入－输出描述为状态空间描述 由状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统的坐标转换组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵2. 基本概念系统的状态和状态变量状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组。
状态变量：构成系统状态的变量。
状态向量设系统状态变量为)(,),(),(21t x t x t x n 写成向量形式称为状态向量，记为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t x t x t x t x n状态空间状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n 维空间。
状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条轨迹。
3. 状态空间表达式设系统r 个输入变量：)(,),(),(21t u t u t u r m 个输出：)(,),(),(21t y t y t y m n 个状态变量：)(,),(),(21t x t x t x n例：图示RLC 电路，建立状态空间描述。
电容C 和电感L 两个独立储能元件，有两个状态变量，如图中所注，方程为)()()()()()(t i dtt du C t u t u t Ri dtt di LL c c L L ==++ )()(),()(21t u t x t i t x c L ==状态方程)(01)()(0/1/1/)()()()()()()()(212112211t u t x t x C L L R t xt x t x t xC t u t x t Rx t x L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇔⎩⎨⎧==++⇔输出方程[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)()(01)()(21t x t x t u t y c 一般定义状态方程：状态变量与输入变量之间的关系[][][]t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx r n n n n r n r n );(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()(212121212222121111======用向量表示，得到一阶的向量微分方程[]t t u t x f t x),(),()(= 其中n n r r n n f f f f t u t u t u t u t x t x t x t x R R R ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙=∙∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()(:)(,)()()(:)(,)()()(:)(212121输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即[][][]t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y r n m m r n r n );(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()(2121212122212111=== 用向量表示为[]t t u t x g t y ),(),()(=4系统分类：1) 非线性时变系统[][]⎩⎨⎧==t t u t x g t y t t u t x f t x ),(),()(),(),()(2) 非线性定常系统[][]⎩⎨⎧==)(),()()(),()(t u t x g t y t u t x f t x3) 线性时变系统⎪⎩⎪⎨⎧+++++=+++++=rnr n n nn n n r r n n u t b u t b x t a x t a xu t b u t b x t a x t a x)()()()()()()()(1111111111111写成向量形式即为⎩⎨⎧+=+=)()()()()()()()()()(t u t D t x t C t y t u t B t x t A t x其中：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t b t b t b t b t b t b t b t b t b t B t a t a t a t a t a t a t a t a t a t A nr n n r r nn n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t d t d t d t d t d t d t d t d t d t D t c t c t c t c t c t c t c t c t c t C mr m m r r mn m m n n4) 线性定常系统⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x5 状态空间表达式的系统结构图状态和输出方程可以用结构图表示，形象地表明系统中信号传递关系。
第1章线性系统的状态空间描述
x&(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
• 情况1：输入u不含导数
y(n) an1y(n1) L a1y& a0 y bu
自主技术与智能控制研究中心
二、状态空间模型的建立
输入u不含导数 y(n) an1y(n1) L a1y& a0 y bu
选取状态变量 x1 y x2 y x3 y
I ml2 ml
自主技术与智能控制研究中心
ml M m
二、状态空间模型的建立
用一阶微分方程组表示系统模型！
&x& 1m2l2 g 1(I ml2 )u && 1(M m)mgl 1mlu
引入新的变量
x1 x x2 x&
x3 x4 &
x&1 x2
x&2 x&3
{1m2l x4
x&% Ax% Bu%
y%
Cx%
Du%
f1
A
f x
|x0
,u0
x1
M
fn x1
L O L
f1 xn
M
fn xn
B
f u
|x0 ,u0
,C
g x
|x0
,u0
,
D
g u
|x0 ,u0
自主技术与智能控制研究中心
二、状态空间模型的建立 例3：质量-弹簧-阻力器系统
自主技术与智能控制研究中心
u
线性化 0 V mg
m
d2 dt 2
(x
l
sin )
H
I&& Vl Hl
m d 2 (l cos) V mg
状态空间描述
状态空间描述
状态空间可以简单地理解为描述系统所处状态的一种抽象概念，它把一个复杂的系统抽象成多个独立状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化规律。
状态空间描述了系统之间状态的可能变化，从而表明了每个状态之间的连接情况。
1. 什么是状态空间
状态空间是描述系统所处状态的一种抽象概念，它能够将一个复杂的系统抽象成多个独立的状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化情况。
2. 状态空间的概念
状态空间是一种用于描述系统状态变化的空间，它通过多个状态表达了一个系统的演化情况，并将一个复杂的系统变化的规律映射到状态变化的空间中。
因此，它是表达某个系统演化情况的一种理想方法。
3. 状态空间的总体结构
状态空间是有限的，它由一个特定的状态集合构成，包括一组状态及其间的连接关系，这些连接关系通过不同的操作表示出来。
因此，状态空间的总体结构可以概括为包含了状态和连接情况的一维空间。
4. 状态空间变化
状态空间随着操作的不断变化，其所描述的系统也会不断变化，这就
形成了一个动态的状态空间，这里面存在着状态之间的连接关系，这
些连接关系是由可调整转移概率和操作决定的。
5. 对应建模
状态空间模型将状态空间中的各状态映射到离散时间模型，从而对模
型问题进行建模，通过状态空间模型可以计算出每个状态的概率，从
而能够较为准确地表述系统的状态情况，以找出问题的解决途径。
6. 状态空间可视化
状态空间可以使用可视化图像，将各状态之间的连接关系图示出来，
常见的可视化表示方法有马尔科夫网络图像，状态树图像和拓扑图像，这些可视化图像能够清晰地展示出状态空间的总体结构，从而简化问
题的解决过程。
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
2.状态变量 能够完全表征系统运动状态的最小变量组中的每个变量 xi(t)(i=1,2,…,n)称为状态变量。 3.状态向量 系统有n 个状态变量x1(t),…,xn(t),用这n 个状态变量作为 分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向 量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。
第9章 控制系统的状态空间描述 和
第9章 控制系统的状态空间描述
将上两式用矩 阵方程的形式表示, 可得出线性时变系 统的状态空间表达 式为
第9章 控制系统的状态空间描述 或者,状态空间表达式也可以表示为
式中,A(t)为n×n 系统矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述 B(t)为n×r 输入矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述
图9-3 系统结构图
第9章 控制系统的状态空间描述 (1)输入引起系统内部状态发生变化,其变化方程式称为
状态方程,其一般形式为
(2)系统内部状态及输入变化引起系统输出的变化,其变 化方程式称为输出方程,其一般形式为
第9章 控制系统的状态空间描述
பைடு நூலகம்
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
9.1 控制系统中状态的基本概念 9.2控制系统的状态空间表达式 9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式 9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式 9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空 间表达式 9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵 9.7系统状态空间表达式的特征标准型
状态方程和输出方程组合起来,构成对系统动态行为的 完整描述,称为系统的状态空间表达式,又称动态方程,其一般 形式为
2第一章 控制系统的状态空间描述
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
第一章
控制系统的状态空间描述
■状态空间表达式建立 ■状态向量的线性变换 ■离散系统的空间状态描述
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
§1.1 控制系统状态空间表达形式
现代控制理论
第一章 Байду номын сангаас制系统的状态空间描述
一、 控制一个动态系统的基本步骤
•建模：基于物理规律建立数学模型。在控制理论中，问题的关键
由传感器测量得到的 又称为观测 由传感器测量得到的，又称为观测。 在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一 整套新的理论 。它的数学模型就是状态空间表达式。
状态：系统过去、现在和将来的状况。
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
状态变量：能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组，
称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为 系统的状态变量。
m维向量函数。 维向量函数
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
状态空间表达式（动态方程）：它是一组一阶微分方
程组和代数方程组成，分别表示系统内部和外部行为，是 状态的一种完全描述。
(t ) f [ x(t ) ), u (t ) ), t ] x 连续时间系统 连续时间系统： y (t ) g[ x(t ), u (t ), t ] ) u (k ), ) k] x(k 1) f [ x(k ), 离散时间系统： y (k ) g[ x(k ), u (k ), k ]
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
y1 (t ) c11 (t ) x1 (t ) c12 (t ) x 2 (t ) ... c1n (t ) x n (t ) d 11 (t )u1 (t ) d 12 (t )u 2 (t ) ... d 1r (t )u r (t ) y 2 (t ) c 21 (t ) x1 (t ) c 22 (t ) x 2 (t ) ... c 2 n (t ) x n (t ) d 21 (t )u1 (t ) d 22 (t )u 2 (t ) ... d 2 r (t )u r (t ) : y m (t ) c m1 (t ) x1 (t ) c m 2 (t ) x 2 (t ) ... c mn (t ) x n (t ) d m1 (t )u1 (t ) d m 2 (t )u 2 (t ) ... d mr (t )u r (t ) 1 (t ) a11 (t ) x1 (t ) a12 (t ) x 2 (t ) ... a1n (t ) x n (t ) x b11 (t )u1 (t ) b12 (t )u 2 (t ) ... b1r (t )u r (t ) 2 (t ) a 21 (t ) x1 (t ) a 22 (t ) x 2 (t ) ... a 2 n (t ) x n (t ) x b21 (t )u1 (t ) b22 (t )u 2 (t ) ... b2 r (t )u r (t ) : n (t ) a n1 (t ) x1 (t ) a n 2 (t ) x 2 (t ) ... a nn (t ) x n (t ) x bn1 (t )u1 (t ) bn 2 (t )u 2 (t ) ... bnr (t )u r (t )
第一章 控制系统的状态空间描述
第一章
控制系统的状态空间描述
■状态空间表达式建立 ■状态向量的线性变换 ■离散系统的空间状态描述
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
§1.1 控制系统状态空间表达形式
现代控制理论
第一章 Байду номын сангаас制系统的状态空间描述
一、 控制一个动态系统的基本步骤
•建模：基于物理规律建立数学模型。在控制理论中，问题的关键
由传感器测量得到的 又称为观测 由传感器测量得到的，又称为观测。 在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一 整套新的理论 。它的数学模型就是状态空间表达式。
状态：系统过去、现在和将来的状况。
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
状态变量：能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组，
称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为 系统的状态变量。
m维向量函数。 维向量函数
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
状态空间表达式（动态方程）：它是一组一阶微分方
程组和代数方程组成，分别表示系统内部和外部行为，是 状态的一种完全描述。
(t ) f [ x(t ) ), u (t ) ), t ] x 连续时间系统 连续时间系统： y (t ) g[ x(t ), u (t ), t ] ) u (k ), ) k] x(k 1) f [ x(k ), 离散时间系统： y (k ) g[ x(k ), u (k ), k ]
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
y1 (t ) c11 (t ) x1 (t ) c12 (t ) x 2 (t ) ... c1n (t ) x n (t ) d 11 (t )u1 (t ) d 12 (t )u 2 (t ) ... d 1r (t )u r (t ) y 2 (t ) c 21 (t ) x1 (t ) c 22 (t ) x 2 (t ) ... c 2 n (t ) x n (t ) d 21 (t )u1 (t ) d 22 (t )u 2 (t ) ... d 2 r (t )u r (t ) : y m (t ) c m1 (t ) x1 (t ) c m 2 (t ) x 2 (t ) ... c mn (t ) x n (t ) d m1 (t )u1 (t ) d m 2 (t )u 2 (t ) ... d mr (t )u r (t ) 1 (t ) a11 (t ) x1 (t ) a12 (t ) x 2 (t ) ... a1n (t ) x n (t ) x b11 (t )u1 (t ) b12 (t )u 2 (t ) ... b1r (t )u r (t ) 2 (t ) a 21 (t ) x1 (t ) a 22 (t ) x 2 (t ) ... a 2 n (t ) x n (t ) x b21 (t )u1 (t ) b22 (t )u 2 (t ) ... b2 r (t )u r (t ) : n (t ) a n1 (t ) x1 (t ) a n 2 (t ) x 2 (t ) ... a nn (t ) x n (t ) x bn1 (t )u1 (t ) bn 2 (t )u 2 (t ) ... bnr (t )u r (t )
现代控制工程-第二章线性系统的状态空间描述
1 x3 s
1 s
1 x1 s
y(t )
2
3
8 64
解：第一步：化简方框图，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、 比例器（k）及加法器组成。 第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（1/s） 的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变 量的一阶导数dxi/dt。 第三步：写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统 的状态方程。
y Cx Du
图2－2 系统动态方程的方块图结构
状态空间分析法具有下列优越之处：
便于在数字计算机上求解；
容易考虑初始条件； 能了解并利用处于系统内部的状态信息； 数学描述简化；
适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离散等各类 系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系 统的基本描述方法。
例2.2.3求如图所示系统的动态方程。
（a）系统方块图
u(t )
s 1 s2
1 s3
1 s 2 8s 64
y(t )
（b）第一次等效变换
1 s3
u(t )
1 s2
1 s( s 8)
y(t )
64
（c）由标准积分器组成的等效方块图
u(t )
1 x4 s
(2-5)
y t cx t du(t )
，cn ，d为直接联系输入量、输出量 其中 c c1，c2， 的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。
多输入－多输出（含q个输出变量）线性定 常连续系统的输出方程一般表达形式为：
y1 c11 x1 c1n xn d11u1 d1 pu p yq cq1 x1 cqn xn d q1u1 d qp u p
第2章 线性系统的状态空间描述
特征多项式 定义2.4 [特征矩阵] 特征矩阵] 定义
定义2.5 [特征多项式] 特征多项式] 定义
2.4 线性时不变系统的特征结构
特征多项式α(s)的计算方法 的 特征多项式
莱弗勒(Leverrier)递推算法 递推算法 莱弗勒
2.4 线性时不变系统的特征结构
α ( s ) = s n + α n −1s n −1 + L + α1s + α 0
0 1 0 A = 0 0 1 0 −1 −1
5，化下列各状态方程为对角线规范型或约当规范型 化下列各状态方程为对角线规范型或约当规范型
8 −8 −2 2 3 & x = 4 −3 −2 x + 1 5 u 3 −4 1 7 1
0 1 4 & x= x + 2 u −9 −6
作 业
6，计算下列状态空间描述的传递函数 计算下列状态空间描述的传递函数 −5 −1 2 & x= x + 5 u 3 −1 y = [1 2] x + 4u 7，给定反馈系统如下图所示 给定反馈系统如下图所示
& 为 x1 = y , x2 = y ，列出系统的状态方程和输
出方程
u
+ −
&& y
+
∫
by 2
& y
二次部件
∫
y
+ + +
a (t )
k
作 业
2，试求出下列各个输入输出描述的一个状态空间描述 试求出下列各个输入输出描述的一个状态空间描述
&&& + 2&& + 6 y + 3y = 5u y y & &&& + 2&& + 6 y + 3 y = 7u + 5u & y y & & & 3&&& + 6 && + 12 y + 9 y = 6u + 3u y y
定义2.5 [特征多项式] 特征多项式] 定义
2.4 线性时不变系统的特征结构
特征多项式α(s)的计算方法 的 特征多项式
莱弗勒(Leverrier)递推算法 递推算法 莱弗勒
2.4 线性时不变系统的特征结构
α ( s ) = s n + α n −1s n −1 + L + α1s + α 0
0 1 0 A = 0 0 1 0 −1 −1
5，化下列各状态方程为对角线规范型或约当规范型 化下列各状态方程为对角线规范型或约当规范型
8 −8 −2 2 3 & x = 4 −3 −2 x + 1 5 u 3 −4 1 7 1
0 1 4 & x= x + 2 u −9 −6
作 业
6，计算下列状态空间描述的传递函数 计算下列状态空间描述的传递函数 −5 −1 2 & x= x + 5 u 3 −1 y = [1 2] x + 4u 7，给定反馈系统如下图所示 给定反馈系统如下图所示
& 为 x1 = y , x2 = y ，列出系统的状态方程和输
出方程
u
+ −
&& y
+
∫
by 2
& y
二次部件
∫
y
+ + +
a (t )
k
作 业
2，试求出下列各个输入输出描述的一个状态空间描述 试求出下列各个输入输出描述的一个状态空间描述
&&& + 2&& + 6 y + 3y = 5u y y & &&& + 2&& + 6 y + 3 y = 7u + 5u & y y & & & 3&&& + 6 && + 12 y + 9 y = 6u + 3u y y
状态空间描述法
空间称为状态空间。 5. 方程:
状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系 表达式称为状态方程(见上例);
系统输出量y(t) 与状态变量、输入量的关系的表达 式称为输出方程。
5
三. 状态变量的选取
1. 状态变量的选取是非唯一的。 2. 选取方法 （1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作 为系统的状态变量。 （2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或 与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电
kyt
fyt
1 m
ut
K m
x1t
f m
x2 t
1 m
ut
yt x1t
k m
f
u(t) y(t)
7
例9.3 已知系统微分方程组为
1
ur R1i1 c1 (i1 i2 )dt
1
1
c1 (i1 i2 )dt R2i2 c2 i2dt
1
uc c2 i2dt ur
1. 单输入单输出线性定常连续系统
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u
x2
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
u
xn an1 x1 an2 x2 ann xn bnu
y c1 x1 c2 x2 cn xn du
x Ax Bu y Cx Du
2．经典控制理论的特点：
(1) 优点：对单入—单出系统的分析和综合特别有效。
(2) 缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入—单出系统。
3. 现代控制理论
(1) 适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。
(2) 可处理时变、非线性、多输入—多输出问题。
状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系 表达式称为状态方程(见上例);
系统输出量y(t) 与状态变量、输入量的关系的表达 式称为输出方程。
5
三. 状态变量的选取
1. 状态变量的选取是非唯一的。 2. 选取方法 （1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作 为系统的状态变量。 （2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或 与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电
kyt
fyt
1 m
ut
K m
x1t
f m
x2 t
1 m
ut
yt x1t
k m
f
u(t) y(t)
7
例9.3 已知系统微分方程组为
1
ur R1i1 c1 (i1 i2 )dt
1
1
c1 (i1 i2 )dt R2i2 c2 i2dt
1
uc c2 i2dt ur
1. 单输入单输出线性定常连续系统
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u
x2
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
u
xn an1 x1 an2 x2 ann xn bnu
y c1 x1 c2 x2 cn xn du
x Ax Bu y Cx Du
2．经典控制理论的特点：
(1) 优点：对单入—单出系统的分析和综合特别有效。
(2) 缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入—单出系统。
3. 现代控制理论
(1) 适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。
(2) 可处理时变、非线性、多输入—多输出问题。
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
《状态空间描述法》课件
案例二：飞行器姿态控制系统设计
总结词
飞行器的姿态控制是保证飞行安全的关键环 节。通过状态空间描述法，可以建立飞行器 姿态控制系统的数学模型，为控制系统设计 提供依据。
详细描述
飞行器的姿态控制涉及多个动态变量，如角 速度、角位移、俯仰角、偏航角等。状态空 间描述法能够全面地描述这些变量之间的关 系，建立起飞行器姿态控制的数学模型。基 于这个模型，可以设计各种控制器，如PID 控制器、模糊控制器等，以实现对飞行器姿 态的精确控制。
PART 05
状态空间描述法的应用实 例
REPORTING
案例一：倒立摆控制系统设计
要点一
总结词
要点二
详细描述
倒立摆是一个不稳定的系统，其控制目标是使摆杆保持稳 定，避免倒塌。状态空间描述法在倒立摆控制系统中被广 泛应用，通过建立状态方程和输出方程，对系统进行精确 的数学描述，为控制系统设计提供基础。
状态空间图
• 状态空间图：以图形方式表示系统状态变量、输 入和输出的关系，有助于直观理解系统的动态行 为。
PART 03
状态空间描述法的实现
REPORTING
建立状态方程和输出方程
状态方程
描述系统内部状态变量的动态关系，通 常表示为x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)。
VS
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入的关系， 通常表示为y(t)=Cx(t)+Du(t)。
如何克服局限性
降维处理
并行计算和分布式计算
对于高维系统，可以通过降维处理来 降低系统的维度，从而简化状态空间 描述法的计算。
采用并行计算和分布式计算技术可以 降低大规模系统的计算复杂性，提高 计算效率。
2线性系统的状态空间描述
C m ia J
dt
2
f
转动惯量， 粘性摩擦常数， m 电磁转矩常数，e 电势常数 C C f
令 x1 , x 2 , x 3 i a
x1 x 2 x2 x3 f J Ce La x2 x2 Cm J Ra La x3 x3 u La
结构图
x2
状 态 轨迹
A
( x1 ( t 0 ), x 2 ( t 0 ))( x1源自( t1 ), x 2 ( t1 ))
B
0
x1 ( t ) x (t ) x 2 (t )
t
x1
状态空间分析法举例
例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u ( t )
K ---弹性系数 m
7.状态空间表达式(动态方程)：{A，B，C，D}
x f ( x, u , t) y (t ) g ( x , u , t )
x ( t k 1 ) f ( x , u , t k ) y (tk ) g ( x , u , tk )
f,g-线 性 函 数 线 性 系 统
u
y 1
0
例4. 一长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰 链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵， ，在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系 产生位移x。要求建立该系统的状态空间表达 式。
m
x
l
u
M
设小车瞬时位置为 x 摆心瞬时位置为 ( x l s i n ) 在水平方向，由牛顿第二定律
yq
u [u1 , u 2 , , u p ]
T
y [ y1 , y 2 , , y q ]
状态空间描述
x x
2 3
x1 x2
n 1u n2u
(1 )
x n x n 1 1 u
式中系数 0,1,,n
是待定系数.
x1 x2 n 1u
整理(1)式得:
x
2
x3
n2u
(2)
x n 1 x n 1u
令:
xna0x1a1x2 an 1xn0u yx1nu
(3)
联立(2)式和(3)式，即可求得状态空间表达式为：
1)q
c1(q1)
(s 1)q1
(s
c1
1
1)
分析：
s
cq1
q1
s
cq2
q2
cn
s n
bn
既有互异极点： q1,q2,,n
也有一个q重极点： 1
实现方法： 整理得
Y (s ) jq 1 (s c 1 (q 1 ) j q 1 )j 1 U (s ) i q n 1 s c iiU (s ) b n U (s ) ( 1 )
由式(1)(2)可以得到下式：
yx1 nu
yyxx12nnu1ux2nun1xu3nnu2un1unu
(4)
y(n1) xn
u(n1)
n
u (n2)
n1
2u1u
增加一个中间变量：x n 1
令 xn1xn0u (5)
由式(5)和式(4)可求得：
y (n ) x nn u (n )n 1 u (n 1 ) 2 u 1 u x n 1n u (n )n 1 u (n 1 ) 2 u 1 u 0 u
2 说明： ①上述是对结构和参数均已知的系统建立状态空间表达式的方法。
②系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适 合于用计算机来计算。
现代控制理论(第二章)线性系统的状态空间描述
H[t0 ,)
yc
1
yc
u
t t0 0
容易得到其解
yc
(t )
e
1t
yc
(0)
t
e1
(t
)u(
)d
显然，若其初始条件
yc
0
(0)
不能确定，则不能
唯一地确定其输出。
1.非零初始条件与脉冲输入
零初始条件：系统的初始条件为零是指系统在初 始时刻没有能量储备。
注意：在建立线性系统的输入—输出描述时， 必须假设系统的初始条件为零。
单变量线性时变系统输入－输出关系： y L(u)
用符号 g(t,τ) 表示该系统的单位脉冲响应，即
g(t,τ)L( (t ))
注意： g(t,τ) 是双变量函数; τ— 代表δ函数作用于系统的时刻； t — 代表观测其输出响应的时刻。
结论1：对单变量线性时变系统，u(t)为其输 入变量，g(t,τ)为其单位脉冲响应，在初始
y
kp
u
s3 1s 2 2s 3
若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复 杂得多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。
系统的输入—输出描述仅在松弛的条件下才能采用。
若系统在t0时刻是非松弛的，输出 y[t0 ,) 并不能单
单由 u[t0 ,) 所决定，即关系式 不成立。考察简单的一阶系统：
y[t0 ,)
初始条件不为零时，可以将非零的初始条件等 效成在初始时刻的一个脉冲输入。
单位脉冲函数（δ函数 ）
令
0
(t
t1
)
1
0
t t1 t1 t t1 t t1
当Δ→0时， (t t1) 的极限函数，即
线性系统的状态空间描述
输出量可以选作状态变量。 输入量不允许选作状态变量。
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量 称为n维状态向量。 状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组成的 n 维空间称为状态空间Rn。 状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
状态方程（※）：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。 状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为： 或 线性系统的状态空间描述
对角型实现和约当标准型实现，需要计算系统的极点(特征值)和特征向量，很不方便。
总结：
由系统微分方程建立状态空间表达式（自学P405-409）
01
由系统微分方程建立状态空间表达式的整个思路与由系统传递函数建立状态空间表达式的思路是类似的，所以这里不再详细介绍，请参看教材P405-407。 另外，当给定系统微分方程时，可先求出其传递函数，然后按照前面推导的公式直接写出其可控标准型和可观测标准型实现，例如我们在例1-2种所做的那样。
状态变量组选取上的不唯一性： 由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。
系统的状态空间描述
系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。
状态变量是时间域的。
状态变量有时是不可测量的。
状态变量不是所有变量的总和。
1.5 组合系统的状态空间描述
1.4 线性系统等价的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述
2021
2023
1.1 线性系统状态空间描述
一．系统数学描述的基本类型
1．几个基本定义
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量 称为n维状态向量。 状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组成的 n 维空间称为状态空间Rn。 状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
状态方程（※）：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。 状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为： 或 线性系统的状态空间描述
对角型实现和约当标准型实现，需要计算系统的极点(特征值)和特征向量，很不方便。
总结：
由系统微分方程建立状态空间表达式（自学P405-409）
01
由系统微分方程建立状态空间表达式的整个思路与由系统传递函数建立状态空间表达式的思路是类似的，所以这里不再详细介绍，请参看教材P405-407。 另外，当给定系统微分方程时，可先求出其传递函数，然后按照前面推导的公式直接写出其可控标准型和可观测标准型实现，例如我们在例1-2种所做的那样。
状态变量组选取上的不唯一性： 由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。
系统的状态空间描述
系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。
状态变量是时间域的。
状态变量有时是不可测量的。
状态变量不是所有变量的总和。
1.5 组合系统的状态空间描述
1.4 线性系统等价的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述
2021
2023
1.1 线性系统状态空间描述
一．系统数学描述的基本类型
1．几个基本定义
状态空间 描述的基本概念
自动控制原理
状态空间描述的基本概念
1．状态和状态变量
【定义 9-1】 系统的状态是指系统在时间域中的动力学行为或运动信息的集合，
它表征了系统的动态特性。
通常，系统的状态可用一组数据、一条曲线、一个方程或更抽象的一组变量来 描述，而能够完全表征系统状态的数目最小的一组变量称为系统的状态变量，常
用 x1，x2 ， Βιβλιοθήκη ，xn来表示。自动控制原理
（3）状态变量的选取不是唯一的。同一个系统应有多组变量可以选择，原因在 于系统内部变量的数目必然大于系统的独立储能元件数目，即系统的阶次n，而任意n 个线性无关的内部变量都可以组成一组状态变量。
2．状态向量和状态空间
【定义 9-2】 对于n阶系统，将描述系统状态的一组（n个）状态变量 x1(t)， x2 (t)，
状态变量主要具有以下特征。
（1）它能够完全表征系统的状态。当给定初始时刻 t t0时状态变量的值，以及 时系t 统输t0 入量的时间函数，就可以完全且唯一确定系统在任何时刻的运动信息。
（2）变量数目最小。在系统的一组状态变量中，各变量之间应是相互独立的， 如此才能保证变量数目最小。n阶系统应具有n个独立变量，分别对应于系统的n个独 立的储能元件，所以这n个独立变量就是系统的一组状态变量。状态变量通常选取储 能元件上与储能有关的变量，如电感上的电流、电容上的电压、弹性元件上的位移、 惯性元件上的速度和加速度等变量。
， xn (t) 作为分量，构成向量 x(t)来表示系统的状态，则向量 x(t)就称
为系统的状态向量。以状态向量 x的(t)各分量为坐标轴所组成的n维空间 称为系统的状态空间。
状态空间是状态向量的所有可能值的集合，系统的每一个状态对应于状态空间 中的一个点，如系统的初始状态对应状态空间中的起始点 x(t0 )，那么 t t0的各时 刻系统的状态在状态空间中将形成一条轨迹，这条轨迹称为系统的状态轨线。
状态空间描述的基本概念
1．状态和状态变量
【定义 9-1】 系统的状态是指系统在时间域中的动力学行为或运动信息的集合，
它表征了系统的动态特性。
通常，系统的状态可用一组数据、一条曲线、一个方程或更抽象的一组变量来 描述，而能够完全表征系统状态的数目最小的一组变量称为系统的状态变量，常
用 x1，x2 ， Βιβλιοθήκη ，xn来表示。自动控制原理
（3）状态变量的选取不是唯一的。同一个系统应有多组变量可以选择，原因在 于系统内部变量的数目必然大于系统的独立储能元件数目，即系统的阶次n，而任意n 个线性无关的内部变量都可以组成一组状态变量。
2．状态向量和状态空间
【定义 9-2】 对于n阶系统，将描述系统状态的一组（n个）状态变量 x1(t)， x2 (t)，
状态变量主要具有以下特征。
（1）它能够完全表征系统的状态。当给定初始时刻 t t0时状态变量的值，以及 时系t 统输t0 入量的时间函数，就可以完全且唯一确定系统在任何时刻的运动信息。
（2）变量数目最小。在系统的一组状态变量中，各变量之间应是相互独立的， 如此才能保证变量数目最小。n阶系统应具有n个独立变量，分别对应于系统的n个独 立的储能元件，所以这n个独立变量就是系统的一组状态变量。状态变量通常选取储 能元件上与储能有关的变量，如电感上的电流、电容上的电压、弹性元件上的位移、 惯性元件上的速度和加速度等变量。
， xn (t) 作为分量，构成向量 x(t)来表示系统的状态，则向量 x(t)就称
为系统的状态向量。以状态向量 x的(t)各分量为坐标轴所组成的n维空间 称为系统的状态空间。
状态空间是状态向量的所有可能值的集合，系统的每一个状态对应于状态空间 中的一个点，如系统的初始状态对应状态空间中的起始点 x(t0 )，那么 t t0的各时 刻系统的状态在状态空间中将形成一条轨迹，这条轨迹称为系统的状态轨线。
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系数 c i 为待定系数，其中i1,2,..n. ，采用留数定理计算：
当 i q 1 ,q 2 ,. n 时 ..c i , s l ， i iG m ( s )s (i)
当 j 1 ,2 ,.q 时 ..,C 1 ， j ( 1 q )s L 1 (i j 1 1 m )d d ! jj 1 1 s W ( s ) ( s 1 ) q
第二节 线性定常系统状态空 间表达式的建立
D
X(t)
u(t)
B
X ∫
C
Y(t)
A
系统的状态变量个数，仅等于系统包含的独立储能元件的个数， 因此，一个n 阶系统仅有n 个状态变量可以选择。
获得状态空间表达式有三个途径： ①根据物理化学机理用解析的方法进行建立；
② 根据传递函数或高阶微分方程演化求得； ③ 由传递函数的实极点建立；
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) . .a 1 y . a 0 y b 0 u
系统的传递函数为： 形式1：
W (s)snan 1sn 1b 0a 1sa0
若已知y (0 )y ,(0 ),y( .n 1 .)(.0 )及t＞0时的输入,则系统的行为就可 唯一被确定。因此可选取x1=y,x2=y(1)…xn=y(n-1)作为状态变量, 则微分方程可表示为
0
xn
0 0
1 1
q1 q2 0
x1 0
x2
0
xq x q 1
1
1
u
0 xq2 1
n x n 1
对角线阵
x1
y [ c 1q
c 1 ( q 1 ) c 12
c 11
c q1
c
n
]
x
2
将式(4)和式(6)代入原始微分方程式中，根据左右等式
中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：0,1,,n
xn1 an1xn L a1x2 a0x1 0
n bn
nn12
bn1 an1n bn2 an1n1
an2n
L
0 b0 an11 an22 L a1n1 a0n
为便于记忆， 将上式写成：
(7)
④由系统方框图，根据各环节之间的连接建立。
一 、按系统的物理机理建立状态空间表达式
1 步骤： (1)确定系统的状态变量、输入变量、输出变量; (2)根据变量应遵循的物理、化学定理,列出描述系统动态特性或
运动规律的微分方程; (3)消去中间变量,得出状态变量的导数与各状态变量、输入变
量的关系及输出变量与各状态变量、输入变量的关系; (4)将方程整理成状态方程、输出方程的表准形式。
2 说明： ①上述是对结构和参数均已知的系统建立状态空间表达式的方法。
②系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适 合于用计算机来计算。
③状态变量的选择不是唯一的。
按系统的物理机理建立状态空间
R
+
表达式的例子 1、R-L-C电网络系统
u(t) i(t)
输入
_
L +
+ uc(t) _
y
输出
n
n 1
1
0
按能控规范型的状态和输出方程：
按能观测规范型： 状态方程和输出方程如下：
三. 约当标准型(根据传递函数实数
极点建立状态空间描述)
不失一般性，讨论
W(s)
(s
bnsn bn1sn1 b1s b0
1)q (s k1)(s k2) (s
n
)
此系统：
(s
经典控制理论中，线性离散系统的动力学方程是用标 量差分方程或脉冲传递函数来描述的，这里先从单输入-单 输出系统入手研究。SISO线性定常离散系统差分方程的一 般形式为：
y k n a n 1 y k n 1 L a 1 y k 1 a 0 y k
(1)
b n u k n b n 1 u k n 1 L b 1 u k 1 b 0 u k
形式2：
若按下式选取如下状态变量x1=y/b0,x2=y(1)/b0…xn=y(n-1)/b0, 则 微分方程可表示为
2 微分方程中包含输入函数导数项
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) . a 1 . y a 0 . y b m u ( m ) b m 1 u ( m 1 ) . b 1 . u ( 1 ) b . 0 u
对式(1)进行z 变换，整理为
G W(zz)uyzzbznnznabnn1z1znn11LLab1z1zab00
(2)
bnznna1znn1z1n1LL1za1z0a0 bnN Dzz
Y(s)bmsmbm1sm 1...b1sb0 U(s) snan1sn1...a1sa0
注意：
方程中存在输入信号的导数项，有可能…导致系统在状态空间 中的运动出现无穷大的跳变，方程解的存在性和唯一性被破坏。 因此，X的选择要使状态方程的右边不出现u 的导数项。通常将 输入的导数项并入所选的状态变量中，把状态变量取为输出y 和输入u 的各阶导数的适当组合。
2.）求 0,1,2,...n ,
思路:由式(1)可以看出，将y表示成u的各阶导数和x的形式， 并代入原始微分方程式中 ，根据u及其各阶导数的系 数相等的原则求解：
由式(1)(2)可以得到下式：
yx1 nu
& yy& &xx& &12nnu& 1u&x2nu& & n1xu3nnu&2un1u&nu& &
（1）对于互异极点部分：
令
1 X i(s ) siU (s ) (i q 1 ,q 2 , ,n ) (2 )
拉氏反变换可得：
x i i x i u ( i q 1 , q 2 , , n )( 3 )
（2）对于重极点部分：
令 X j(s ) (s 1 1 )q j 1 U (s ) (j 1 ,2 ,.q ) .., (4 )
(4)
L
y(n1)
xn
u(n1)
n
u(n2) n1
L
2u&1u
增加一个中间变量：x n 1
令 x n 1x & n0 u (5 )
由式(5)和式(4)可求得：
y (n ) x nn u (n )n 1 u (n 1 ) 2 u 1 u
(6)
x n 1 n u (n )n 1 u (n 1 ) 2 u 1 u 0 u
式中 k 表示 k T 时刻，T 为采样周期；y k 为 k T 时刻的输出量， u k 为时刻 k T 的输入量；a i , b i 是与系统特性有关的常系数。
z
初始条件为零时，离散函数的变换关系为:
z y k y z ,z y k i z i y z
x 1 x2 x 2 x3 ...
x n1 xn x n a0x1a1x2 ...an2xn1an1xn b0u
y=x1
化为向量矩阵形式：
状态方程为:
x&1 0 1
0 x1 0
x&2
M
M 0
O
x2 Mu
1 M 0
x&n a0 a1 L an1xn b0
输出方程为: y10L 0x
系数矩阵和输出矩阵具有上述形式为可观测规范Ⅱ型
（2）能观测规范型 1.）选择状态变量
x1 y nu
x x
2 3
x&1 x&2
n 1u n2u
(1 )
L
x n x&n 1 1 u
式中系数 0,1,,n
是待定系数.
x&1 x 2 n 1u
整理(1)式得:
x&2
x3
n2u
L
(2)
x&n 1 x n 1u
（1）能控规范型
引入中间变量z，以u作为输入、z作为输出的不含输入导数项 的微分方程，即
U(s)
1
z(s)
snan1sn1...a1sa0
Y(s)
n 1 sn 1n 2sn 2 ...1 s0
zyn n an1 z1znn1 1 LLa 1z& 1z& a00zzu
(1-17)
定义如下一组状态变量
x 1 z， x 2 z & ， L ， x 0 zn 1
(1-18)
可得状态方程：
x&1 x 2 x&2 x 3
M
x&n a 0 z a 1 z& L
a n1 z n1
u
a 0 x 1 a 1 x 2 L a n 1 x n u
输出方程为 y 0 x 1 1 x 2 L n 1 x n bnu
bnu
xn
约当标准型状态结构图
x1q
∫
x1q
…
x12 ∫ x12
+
+
x11
+
∫
x11
c11
-λ1
-λ1
-λ1
u(t)
xq1 ∫ xq+1
+
cq+1
c12 c1q
y(t)
-λq+1
xn
∫
xn
+
cn
-λn
[例]已知系统的G(s)=1/(s3+6s2+11s+6),试求状态式。 解:
G (s) 1/ 2 1 1/ 2 s1 s 2 s3
x1 1 0 0 x 1 1
x2
0
2
0
x
2
1
u
x3 0 0 3 x 3 1 u