高等数学27-616 76 高阶微分方程
第四章 高阶微分方程
2t
c3e
3t
lim[1 (t ) 2 (t )] 存在。
t
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
例6、求解方程
dy 1 y y2 0 dt t
0 ，又令 z y 1
dz 1 1 z dt t
因此，求解并还原变量得到原方程的解: ex 如果 y
c2 (t c1 )
2
0 ，得到原方程的一个解为： x c
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
x 5x 6 x f (t ) ，其中 f (t )在 t 上连续，设 1 (t ), 2 (t ) 是上述方程的两个解，证明极限 lim[1 (t ) 2 (t )]
Laplace变换法
四、例题选讲
d 2x dx 例1、求方程 2 4 4 x 4 cos 2t 的通解。 dt dt
分析：
1、分析得知原方程是一个线性常系数非齐次微分方程。其求 解方法为先求对应齐线性微分方程的通解。方法：特征根方法。 2、再利用比较系数方法求原方程的一个特解。（分析函数f(t) 的特点！）
于是，令 x '
2、原方程变为：
3、求解新方程
4、变量还原，有通解为：
内江师范学院数学与信息科学学院 吴源自腾 制作dp dx dp x" p dx dt dx 2 dp 2p 1 dx 2 3 p x c2 3 2 3 9( x c2 ) 4(t c1 )
例3、一个物体在大气中降落，初速度为零，空气阻力与速 度的平方成正比例，求该物体的运动规律。（应用题！）
三、主要方法
特征根方法、常数变易法和幂级数解法。同时注意不同的方 法用于求解不同形式的方程。
微分方程—高阶微分方程(高等数学课件)
高阶线性微分方程
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
《高阶微分方程》PPT课件
16
2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.
高阶微分方程(Word)
第五章高阶微分方程§1 几个例子一、【内容简介】本节结合几个具体的实例，介绍了与高阶微分方程有关的定解条件、定解问题和高阶微分方程的降阶技巧。
二、【关键词】自治微分方程三、【目的与要求】掌握高阶微分方程的降阶技巧，能熟练地运用降阶法解二阶方程，会用已有知识建立高阶微分方程及其相应的条件解决简单的几何、物理问题。
四、【教学过程】§2 n维线性空间中的微分方程一、【内容简介】在这一节里，主要介绍如何把n阶微分方程式化为标准微分方程组并采用向量的记号，将标准微分方程组写成向量的形式，从而可以从理论上把n维向量形式的微分方程的研究与一阶微分非常的研究统一起来。
二、【关键词】模；线性微分方程组三、【目的与要求】掌握将高阶微分方程化成等价的n阶标准微分方程组的方法；会叙述n维向量形式的微分方程和n阶线性微分方程组相应的毕卡存在和唯一性定理；掌握n阶线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。
四、【教学过程】§3 解对初值和参数的连续依赖性一、【内容简介】在这一节里，主要讨论解对初值和参数的连续依赖性，由于解对初值和参数的连续依赖性问题可归结为解对参数的同一问题。
因此我们只讨论方程的解对参数的连续依赖性。
二、【关键词】参数；连续依赖性三、【目的与要求】解对初值和参数的连续依赖性定理揭示了微分方程的解的重要性质，要求弄清它的含义并正确地理解便于今后的应用。
四、【教学过程】§4 解对初值和参数的连续可微性一、【内容简介】本节主要讨论解对初值和参数的连续可微性。
如上一节一样，只考虑方程的解对参数的连续可微性。
二、【关键词】 连续可微性；变分方程 三、【目的与要求】与上一节一样，解对初值和参数的连续可微性揭示了微分方程的重要性质，要求弄清它的含义并正确地理解便于今后的应用。
四、【教学过程】 教学过程前面我们主要讨论的是关于一阶方程的几个初等解法，在实际应用中，大多数微分方程是高阶的。
常微分方程--第四章 高阶微分方程(4.1节)
上线性无关的充分必要条件是朗斯基行列式
W [ x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )]
在这个区间的任何点上都不等于零。
说明：
1. n阶齐次线性微分方程(4.2)的n个解构成的 朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零；
2. 在是解的情况下，朗斯基行列式恒为零与
这n个解线性相关等价；
3. 在是解的情况下，朗斯基行列式恒不为零
其中 c1 , c2 ,, cn 是任意常数。且它包含了方程 （4.2）的所有解。
推论:
方程（4.2）的线性无关解的最大个数是n;且n阶齐次线性微分方程的所有 解构成一个n维线性空间。 方程（4.2）的n个线性无关解称为方程的一个基本解组。
三、非齐次线性微分方程与常数变易法
性质1 如果 x (t ) 是方程(4.1)的解，而 x(t )
问题：如何应用朗斯基行列式判定函数相关性？
如果 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 是齐次线性微分方程 （4.2）的解，则有下述定理
定理4：如果 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )是齐次线性微 分方程（4.2）的n个解，则它们在区间 a t b
n
n
1 例1 求方程x x cos t 的通解。已知它的对应的齐次 线性微分方程的基本解组为 cos t ,sin t.
(t ) cos t c2 (t )sin t 0 代入方程可得 c1
解 应用常数变易法，令 x c (t )cos t c (t )sin t 1 2
也是方程（4.2）的解，这里c1 , c2 ,, ck为任意常数。 特别地，当 k n 时，即方程（4.2）有解
x c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
第四章高阶微分方程
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
根据叠加原理，x(t)是方程(4.2)的解，注意到(4.9)，知道这个解 x(t)
满足初始条件
x1(t0 ) x1(t0 )
x ( n 1) n
(t0
)
0
(4.10)
但是 x 0显然也是方程(4.2)的满足初始条件(4.10)的解，由解
5、通解结构定理
定理6（通解结构定理） 如果 x1(t), x2 (t),, xn (t) 是方程
（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为：
x c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t) （4.11）
其中c1，c2，，cn 是任意常数。且通解（4.11）包括了方程
否则就称这些函数在所给区间上线性无关的。
线性无关的
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sin t,cost
；线性相关的
1, t, , t n1
sin2 t, cos2 t 1 .
4、函数定义在区间t [a,b] 上的k个可微k-1次的函数x1(t), x2 (t),, xk (t)
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二、引言
在前面的讨论中已经看出，在实际问题中除了 已讨论的一阶微分方程外，还将遇到一些其它类型 的非一阶的微分方程，即高阶微分方程，也就是二 阶及二阶以上的微分方程。对于高阶微分方程度基 本理论（包括存在唯一性定理）和求解方法，分两 步来处理：对于线性微分方程（组）在本章和下一 章讨论；而非线性微分方程（组）在第六章讨论。
c1x1(n-1)(t) cn xn(n1) (t) 0
(除教材上p123的证明方法外，还可以用反证法。)
高阶微分方程
第四章 高阶微分方程例4-1 设()()t x t x t x n n 11),(,,+ 是n 阶非齐次线性方程()()()()()t f x t a xt a xn n n =+++- 11 （1）的在区间[]b a ,上的1+n 个线性无关的解，则方程（1）在区间[]b a ,上的任何解()t x ，都可以表示为()t x ()()()t x C t x C t x C n n n n 1111+++++=其中 111=++++n n C C C ，反过来，若()()t x t x t x n n 11),(,,+ 是方程（1）在区间[]b a ,上的1+n 个线性无关的解，则()()()t x C t x C t x C n n n n 1111+++++必为方程（1）在区间[]b a ,上的解，其中111=++++n n C C C 。
证 构造函数11211,,,+++---n n n n x x x x x x ，显然，它们是方程（1）所对应的齐次 方程()()()()011=+++-x t a xt a xn n n （2）的n 个解，并且在区间[]b a ,上线性无关。
若不然，假设存在一组不全为零的数n C C C ,,,21 使得[]b a t ,∈()()()01122111=-++-+-+++n n n n n x x C x x C x x C ， 即()01212211=+++-++++n n n n x C C C x C x C x C ，与()()t x t x t x n n 11),(,,+ 是区间[]b a ,上的1+n 个线性无关的解相矛盾。
因此，由定理4.7，方程（1）的任何解()t x 都可以表示为()t x ()()()11122111+++++-++-+-=n n n n n n x x x C x x C x x C()12122111+----++++=n n n n x C C C x C x C x C 。
大学数学微积分第十二章 常微分方程特殊的高阶微分方程知识点总结
§12.2 特殊的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 12121()()n n n n n n f x dx C x C x C x C ---⎰+++++次,,y p '''=⇒则原方程(,)p f x p '=—一阶方程，设其1)C ,即1(,)y g x C '=，则原方程的通解为1(,)y g x C dx =⎰p p y ，把看作的函数，则 dp dp dy dpy p dx dy dx dy''==⋅= 把 二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0y p x y q x y '''++= （1） 二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++= （2）1、 若12(),()y x y x 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合1122()()C y x C y x +（12,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当12()()()y x y x λλ≠为常数，也即12()()y x y x 与线性无关时，则方程的通解为1122()()y C y x C y x =+。
2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而1122()()C y x C y x +为对应的二阶齐次线性方程的通解（12,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。
3、 设12()()y x y x 与分别是1()()()y p x y q x y f x '''++=与2()()()y p x y q x y f x '''++=的特解，则12()()y x y x +是12()()()()y p x y q x y f x f x '''++=+的特解 三、二阶常系数齐次线性方程：0,,y py qy p q '''++=为常数特征方程20p q λλ++=特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 （1）当240,p q ∆=->特征方程有两个不同的实根12,λλ 则方程的通解为1212x x y C e C e λλ=+（2）当240,p q ∆=-=特征方程有而重根12λλ=， 则方程的通解为112()x y C C x e λ=+（3）当240,p q ∆=-<特征方程有共轭复根i αβ±, 则方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+四、二阶常系数非齐次线性方程 方程 (),y py qy f x p q '''++=其中为常数通解 1122()()y y C y x C y x =++其中1122()()C y x C y x +为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。
高阶微分方程的解法
描述经济系统的动态变化 分析经济政策的传导机制 预测经济周期和通货膨胀 研究市场供需关系和价格形成机制
物理：高阶微分 方程可以用来描 述各种物理现象， 如振动、波动、 电磁场等。
工程：高阶微分 方程在许多工程 领域都有应用， 如机械、航空航 天、电子等。
经济：高阶微分 方程可以用来描 述经济系统的动 态变化，如预测 股票价格、分析 市场供需等。
使用方法：通过输入数学公式和命令，可以快速得到问题的解决方案，操作简单方便。
Mathematica：提供符号计算、数值计算和图形可视化等功能，适用于高阶微分方程求解。 Maple：拥有强大的符号计算能力，支持高阶微分方程的符号求解和可视化。 Matlab：除了矩阵计算外，还具备符号计算功能，可以求解高阶微分方程。 Maxima：开源的符号计算软件，适用于高阶微分方程的符号求解和证明。
生物：高阶微分 方程在生物学中 也有应用，如描 述生态系统中的 种群动态、分析 生物体内的生理 过程等。
PART FIVE
MATL AB是一款强大的数学计算软 件，可用于求解高阶微分方程。
MATL AB/Simulink支持多种求解 器，可根据不同的方程类型选择合 适的求解方法。
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汇报人：XX
PART TWO
适用范围：常微 分方程中，当方 程中只有一个变 量时，可以考虑 使用分离变量法。
解题步骤：将方 程中的变量分离 到等号的两边， 然后对两边同时 积分，得到解的 表达式。
注意事项：在使 用分离变量法时， 需要注意初始条 件和边界条件， 以确保解的正确 性和完整性。
举例说明：例如， 对于一阶常微分 方程 dy/dx = y， 通过分离变量法 可以得到解为 y = Ce^x。
高阶微分方程
第四章高阶微分方程教学安排说明章节题目：§4．1 线性微分方程的一般理论；§4.2 常系数线性方程的解法§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法学时分配：共16学时。
§4．1 线性微分方程的一般理论（4学时）§4.2 常系数线性方程的解法（8时§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法（4学时）本章教学目的与要求：1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
教学重点与难点：重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
教学内容线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
考核目标1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
课 堂 教 学 方 案课程名称：§4．1 线性微分方程的一般理论授课时数：4学时授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解高阶线性微分方程的一般理论，n 阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n 阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
教学重点、难点：线性微分方程解的性质与结构教学内容§4．1 线性微分方程的一般理论4．1．1 引言一般形式：1111()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x f t dt dtdt---++++= （4.1） 其中(),1,2,,i a t i n =及()f t 都是a t b ≤≤上的连续函数。
高阶线性微分方程常用解法介绍
高阶线性微分方程常用解法简介关键词：高阶线性微分方程 求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。
下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dtdt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。
形如111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n阶常系数齐次线性微分方程。
111111111111[]()()()n t n t tt tn n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dta a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式.()F λ为特征方程，它的根为特征根.1.1特征根是单根的情形设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,nc c c 为任意常数.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根对应的，方程（3）有两个复值解()(cos sin ),i t t t t e e i αβαββ+=+()(cos sin ).i t t t t e e i αβαββ-=-对应于特征方程的一对共轭复根,i λαβ=±我们可求得方程（3）的两个实值解cos ,sin .t t t t e e αβαβ1.2特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1,λλ=则易知知'(1)()1111()()()0,()0.k k F F F F λλλλ-====≠1.2.1先设10,λ=即特征方程有因子k λ，于是110,n n n k a a a --+====也就是特征根方程的形状为110.n n k n k a a λλλ--+++=而对应的方程（3）变为 1110,n n k n k n n k d x d x d x a a dt dt dt ---+++=易见它有k 个解211,,,k t t t -,且线性无关.特征方程的k 重零根就对应于方程（3）的k 个线性无关解211,,,k t t t -. 1.2.2当1k 重根10,λ≠对应于特征方程（4）的1k 重根1λ，方程（3）有1k 个解 1111112,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-同样假设特征方程（4）的其他根2λ3,,λm λ的重数依次为2k 3k m k ；1i k ≥，且1k +2k ++m k =n,j i λλ≠(当i ≠j)，对应方程（3）的解有2222212,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-12,,,,m m m m m t t t k t e te t e t e λλλλ-。
高阶微分方程
的任意线性组合
y c ( x ) C 1 y 1 ( x ) C n y n ( x )(3) 也是(2)的解.
进一步，如 果 y 1 ( x ) ,y n ( x ) 线 性 无 关 ,
则(3)就是(2)的通解.
8
1. 二阶常系数齐次线性方程的解法
yayb y0 (2)
下 面 来 寻 找 方 程 ( 2 ) 的 形 如 y e x 的 特 解 .
将 y e x代 入 方 程 (2 ), 得 (2ab)ex0,
而 ex0,于 是 有
2ab0 (3)
代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
解 特征方程为 2210
特征根为 121
故通解为 s(C 1C 2t)et
s(0)C 14, s (C 2 C 1 C 2 t)e t,
s (0 ) C 2 C 1 2 ,C22,
所 以 所 求 特 解 为 s ( 4 2 t) e t.
15
2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
因 为 r3是 二 重 特 征 根 ,
所以设特 yx解 2(A为 xB)e3x(A3x B2)xe3x, 代入方程, 得 6A x 2B x,解得A1,B0,
6
所 以 特 解y1x3e3x, 6
从 而 方 程 的 通 解 为 y ( C 1 C 2 x )e 3 x 1 6 x 3 e 3 x .
用待定系数法求解.
17
1.f(x)erxP m(x)型 其 中 r 是 一 个 实 数 , P m ( x ) 是 m 次 多 项 式 . 设 y Q ( x ) e r x , 其 中 Q ( x )是 多 项 式 , 则
第四章高阶微分方程
i 1
非齐次线性方程通解求法------常数变易法
y P ( x ) y Q( x ) y 0 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
设对应齐次方程通解为 设非齐次方程通解为
y C1 y1 C 2 y2 y c1 ( x ) y1 c2 ( x ) y2
定理４*：若k个可微k 1次的函数1 ( t )， 2 ( t )，..., n ( t )是
( ２的解，则 ) 1 ( t )， 2 ( t )，..., n ( t )在 a,b 上线性相关的充分
条件是存在某个t0 a,b 使得他们的Wronsky行列式W ( t ) 0。
y2 f ( x ) ( x) c1 , w( x )
积分可得
y1 f ( x ) c , 2 ( x) w( x )
y2 f ( x ) c1 ( x ) C1 dx, w( x ) y1 f ( x ) c2 ( x ) C 2 dx, w( x )
(1)
的微分方程是n阶线性微分方程，其中x是未知函数， t是自变量，ai ( t )( i 1, 2, ..., n)及f ( t )都是定义区间上 已知的连续函数。 当f (t ) 0时，(1)变成
dnx d n 1 x dx a1 ( t ) n1 ... an1 ( t ) an ( t ) x 0 n dt dt dt
(1) (2)
(3)
( x ) y1 c y c1 2 ( x ) y2 c1 ( x ) y1 c2 ( x ) y2
设
( x ) y1 c c1 2 ( x ) y2 0
高阶微分方程
第四章 高阶微分方程例4-1 设()()t x t x t x n n 11),(,,+ 是n 阶非齐次线性方程()()()()()t f x t a x t a x n n n =+++- 11 （1）的在区间[]b a ,上的1+n 个线性无关的解，则方程（1）在区间[]b a ,上的任何解()t x ，都可以表示为()t x ()()()t x C t x C t x C n n n n 1111+++++=其中 111=++++n n C C C ，反过来，若()()t x t x t x n n 11),(,,+ 是方程（1）在区间[]b a ,上的1+n 个线性无关的解，则()()()t x C t x C t x C n n n n 1111+++++必为方程（1）在区间[]b a ,上的解，其中111=++++n n C C C 。
证 构造函数11211,,,+++---n n n n x x x x x x ，显然，它们是方程（1）所对应的齐次 方程()()()()011=+++-x t a x t a x n n n （2）的n 个解，并且在区间[]b a ,上线性无关。
若不然，假设存在一组不全为零的数n C C C ,,,21 使得[]b a t ,∈()()()01122111=-++-+-+++n n n n n x x C x x C x x C ， 即()01212211=+++-++++n n n n x C C C x C x C x C ，与()()t x t x t x n n 11),(,,+ 是区间[]b a ,上的1+n 个线性无关的解相矛盾。
因此，由定理4.7，方程（1）的任何解()t x 都可以表示为()t x ()()()11122111+++++-++-+-=n n n n n n x x x C x x C x x C()12122111+----++++=n n n n x C C C x C x C x C 。
高阶微分方程
'
9.3 高阶微分方程
9.3 高阶微分方程
y " py ' qy f ( x)
9.3 高阶微分方程
9.3 高阶微分方程
9.3 高阶微分方程
小结
y py qy 0
特征根的情况
实根 实根 复根
p q 0
2
通解的表达式
1 2
y C1e
1x
两式相加， k0 =0
k1 cos x= k2 sin x
2 k12 cos2 x=k2 sin 2 x
2 k12 1 sin 2 x =k2 sin 2 x
k
2 1
k
2 2
sin
2
xk
2 1
k1 k2 0
根据线性相关性的定义， 1, cos x,sin x
(D) c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y3
(A)中 c1 y1 c 2 y 2 不是对应齐次方程的解,故(A)错；
解
(B)中 c1 y1 c2 y2 (c1 c2 ) y3 c1 ( y1 y3 ) c2 ( y2 y3 )
是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解, 故(B)也不对；
"
" ' ' * =微分方程的阶数 * （ 2 ）解中独立的常数的个数 Y ( x) p(x)Y ( x) Q(x)Y( x) + y ( x) p( x) y ( x) +Q(x)y* ( x)
0 f ( x) f ( x)
9.3 高阶微分方程
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二、线性微分方程的解的结构
1.二阶齐次方程解的结构:
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
问题: y C1 y1 C2 y2一定是通解吗？
积分可得
c1( x) C1
y2 f ( x) dx, w( x)
c2( x) C2
y1 f ( x) dx, w( x)
非齐次方程通解为
y C1 y1 C2 y2 y1
y2 f ( x) dx w( x)
y2
y1 f ( x) dx. w( x)
例 求方程 y x y 1 y x 1的通解. 1 x 1 x
设 c1( x) y1 c2 ( x) y2 0
(4)
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
将 y, y, y 代入方程(2), 得
c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x)( y1 P( x) y1 Q( x) y1) c2( x)( y2 P( x) y2 Q( x) y2 ) f ( x)
即 y1u (2 y1 P( x) y1 )u 0, 令v u,
则有 y1v (2 y1 P( x) y1 )v 0,
y1v (2 y1 P( x) y1 )v 0 v的一阶方程
降阶法
解得 v 1 e , P( x)dx
y2 1
u
1
e
P ( x )dx
dx
y2 1
y2 y1
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
解的叠加原理
三*、降阶法与常数变易法
1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法
设y1是方程(1)的一个非零特解，
令 y2 u( x) y1
代入(1)式, 得
y1u (2 y1 P( x) y1 )u ( y1 P( x) y1 Q( x) y1 )u 0,
定义：设 y1 , y2 ,, yn为定义在区间I 内的n
个函数．如果存在n 个不全为零的常数，使得 当x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这n 个函数在区间I 内线性相关．否则 称线性无关
例如 当x (, )时， e x，ex , e2x 线性无关
1
e
P(
x )dx
dx,
y12
齐次方程通解为
刘维尔公式
y C1 y1 C2 y1
y112e
P
(
x
)dx
dx.
2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法
设对应齐次方程通解为 y C1 y1 C2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 (3)
设非齐次方程通解为 y c1( x) y1 c2( x) y2
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
c1( x) y1 c2 ( x) y2 f ( x)
(5)
(4),(5)联立方程组
cc11
( (
x) x)
y1 y1
c2( x) c2( x)
y2 y2
0 f
(x)
系数行列式 w( x) y1 y2 0, y1 y2
c1(
x)
y2 f w(
(x) x)
,
c2 ( x)
y1 f ( x) , w( x)
解, 那么 y Y y*是二阶非齐次线性微分方程(2)
的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)
而
y* 1
与
y2*分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x)
y P( x) y Q( x) y f2 ( x)
2.阻力 R dx ;
dt
o x
x
F ma, m d 2 x cx dx ,
dt 2
dt
d 2 x 2n dx k 2 x 0 物体自由振动的微分方程
dt 2
dt
若受到铅直干扰力 F H sin pt,
d 2 x 2n dx k 2 x hsin pt 强迫振动的方程
dt 2
1，cos2 x, sin2 x 线性相关
特别地: 若在 I 上有 y1 ( x) 常数， y2 ( x)
则函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线
性无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1) 的通解.
解 1 x 1 0, 1 x 1 x
对应齐方一特解为 y1 e x , 由刘维尔公式
y2 e x
1
e
x 1 x
dx
dx
x,
e2x
对应齐方通解为 Y C1x C2e x .
设原方程的通解为 y c1( x)x c2 ( x)e x , c1( x)，c2 ( x) 应满足方程组
xc1( x) e xc2 ( x) 0 c1( x) e xc2 ( x) x 1
例如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x,
且 y2 tan x 常数, y1
y C1 cos x C2 sin x.
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理 3 设 y*是二阶非齐次线性方程
y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
dt
Lc
d 2uc dt 2
2
duc dt
02uc
Em LC
sint
串联电路的振荡方程
d 2 y P( x) dy Q( x) y f ( x)
dx 2
dx
二阶线性微分方程
当 f ( x) 0时， 二阶线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程 y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn ( x) y f ( x).
第六节 高阶线性微分方程
一、概念的引入 二、线性微分方程的解的结构 三、降阶法与常数变易法 四、小结
一、概念的引入
例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初
始速度v0 0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置 附近作上下振动.试确定物体的振动规律 x x(t ).
解 受力分析 1. 恢复力 f cx;