高等数学微分方程总结

dp f ( x, p ) dx
• 常系数情形
齐次 非齐次
代数法
y py qy 0,
y py qy f ( x )
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤: 2 (1) 写出相应的特征方程 r pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
二阶 变系 数
y f ( x, y) 令y p( x) y f ( y, y) 令y p[ y( x)]
3.r1,2 i
y ex (c1 cos x c2 sin x) 二阶
一阶
y py qy 0 齐次
代数解法， y特征方程： r 2 pr q 0
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
x 2 2
2
2
F ( x) 2 F ( x) 4e 2 x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F ( x) e
2 d x
e 2 x 4e 4 x d x C
4e
2x
2d x e dxC
e 2 x Ce 2 x 将 F (0) f (0) g (0) 0 代入上式， 得 C 1
d y d y dt d y 令t=x–1,则 dx d t dx d t d y 3t 2 y 2 (齐次方程) dt 2ty 令y=ut
可分离变量方程求解
( 4) y ( x 3 y ) d x ( 1 3 x y ) d y 0
变方程为 y 2 x d x d y 3 y 2 ( yd x xd y ) 0
思考
B 417
若 (7) 中非齐次项改为 提示:
特解设法有何变化 ?
故 y* A cos 2 x B sin 2 x D
2 y a y 0 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列 规则写出微分方程的通解
特征方程的两个根 r1 ， r2
两个不相等的实根 r1， r2 两个相等的实根 r1 r2
微分方程的通解
y C 1e
r1 x
C 2e
r2 x
y (C1 C 2 x )e r1 x
一对共轭复根r1, 2 i y ex (C1 cos x C 2 sin x )
P Q 6x y y x
故这是一个全微分方程 .
二、非标准类型：
(1) x y y y ( ln x ln y )
(2) 2 x ln x d y y ( y 2 ln x 1) d x 0
3x 2 y 2 6 x 3 (3) y 2x y 2 y ( 4) y 2 ( x 3 y ) d x ( 1 3 x y 2 ) d y 0
P Q y x
二阶线性方程
a0 ( x) y a1 ( x) y a2 ( x) y 0 y a1 ( x) y a2 ( x) y f ( x)
1.r1 r2 2.r1 r2 y c1er1x c2er2 x y er1x (c1 c2 x)
2 2 ( 2) x y x y y ;
6x 3x y ( 4) y 2 . 3 3x y 2 y
3
2
e e , 故为分离变量方程: d y e dx
x
y e
通解
2 y3
1 y3 e ex C 3
2 2 ( 2) x y x y y
y py qy f ( x )
通解 y Y y c1 y1 c2 y2 y
*
*
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
y py qy f ( x )
(1) f ( x ) e x Pm ( x ), (可以是复数）
y* x k e x Qm ( x );
* k
x
(1) m
( 2) m
(3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
P353 题2 求以 故特征方程为 因此微分方程为
为通解的微分方程 .
提示: 由通解式可知特征方程的根为
P353 题3 求下列微分方程的通解
2 (6) y y y 1 0,
(7) y 2 y 5 y sin 2 x .
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y y 1 x

2
y x
2
xu 1 u 2 xu 1 u 2
y y 1 x 0 时， x 1 (3) y 2x y 2

y x
用线性方程通解公式求解 .
思考 若问题改为求解 y
则求解过程中得
x 0
0,
问开方时正负号如何确定?
思考: 设 ( x) e x
x
x 0
( x u ) d u , (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
提示: (1) 原方程化为 du u ln u (分离变量方程) 令u=xy,得 dx x (2) 将方程改写为 dy 1 y3 2 y (伯努利方程) 令 z y d x 2 x ln x 2x
3x 2 y 2 6 x 3 (3) y 2x y 2 y d y 3 ( x 1) 2 y 2 化方程为 dx 2 y ( x 1)
2
2
两边乘积分因子 y
2
x dx y
2
d y 3 ( yd x xd y ) 0
用凑微分法得通解: 1 2 1 x y 3 xy C 2
设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0,
y py qy f ( x) 非齐次
y c1 y1 c2 y2 y *
二阶 常系 数
解的结构
y ( n) f ( x) 连续积分n次
高阶
Euler方程
n ( n) n1 ( n1) pn1 y pn y f ( x) 令x e t P348 x y p1 x y
于是
F ( x) e
2x
e
2 x
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d y f ( x) 2 dx
2
逐次积分求解
dy p ( x ) 2 令 d y dy dx f ( x , ) dx dx 2 dy p ( y ) 2 令 d y dy dx f ( y , ) dx dx 2
则方程变为 提示: (6) 令 dp yp p2 1 0 , dy
(7) y 2 y 5 y sin 2 x
齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
P338
高阶常系数线性微分方程 y( n) p1 y( n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
x
0 不是根 k 1 是单根, 2 是重根
( 2) f ( x ) e [ Pl ( x ) cosx Pn ( x ) sinx ],
y x e [ R ( x ) cos x R ( x ) sin x ]; 0 i 不是根 , k 1 i 是单根 .
2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2)ຫໍສະໝຸດ Baidu积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
1、一阶标准类型
1 y3 x (1) y 2 e 0; y 1 (3) y ; 2 2x y
提示: (1) 因 e
y3 x y3 x
dx 化为 2x y 2 , dy
6x 3 3x y 2 ( 4) y 2 3x y 2 y 3
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u x 方法 2 化为微分形式
( 6x 3 3x y 2 ) d x ( 3x 2 y 2 y 3 ) d y 0
或公式 y e
P ( x ) dx
Bernoulli y P( x) y Q( x) y n (n 0,1) 令 z y
全微分方程 P( xy)dx Q( xy)dy 0 dU( xy)
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
1n
1.折线积分 2.凑全微分 3.定积分
求解流程图
齐次
关于u一阶
y y x y f ( x, y ) ( ) 令 u （或 u） x x y
可分离变量
g ( y)dy h( x)dx
y p( x) y 0 齐次
一阶线性
一阶
y p( x) y Q( x) 非齐次
先求齐次通解，再常数 变易
转为z的一阶线性
f ( x ) g ( x ) 2e x . (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) F ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g ( x) f ( x) [ g ( x) f ( x)] 2 f ( x) g ( x) ( 2e ) 2 F ( x )