等参单元

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5.等参单元本章包括以下内容: 5.1等参单元的基本概念 5.2四边形八节点等参单元 5.3等参单元的单元分析 5.4六面体等参单元5.1等参单元的基本概念在进行有限元分析时,单元离散化会带来计算误差,主要采用两种方法来降低单元离散化产生的误差:1)提高单元划分的密度,被称为h 方法(h-method );2)提高单元位移函数多项式的阶次,被称为p 方法(p-method )。

在平面问题的有限单元中,我们可以选择四结点的矩形单元,如图5-1所示,该矩形单元在x 及y 方向的边长分别为2a 和2b 。

图5-1 四结点矩形单元同第三章的方法类似,将单元的位移模式选为,xy a y a x a a u 4321+++= xy a y a x a a v 8765+++=(5-1)可得到,p p m m j j i i u N u N u N u N u +++=p p m m j j i i v N v N v N v N v +++=(5-2)形态函数为, )1)(1(41b y a x N i --=)1)(1(41b y a x N j -+=)1)(1(41b y a x N m ++= )1)(1(41by ax N p +-=(5-3)上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求: 1)反映了单元的刚体位移和常应变, 2)单元在公共边界上位移连续。

在矩形单元的边界上,坐标x 和y 的其中一个取常量,因此在边界上位移是线性分布的,由两个结点上的位移确定。

与三结点三角形单元相比,四结点矩形单元的位移模式是坐标的二次函数,能够提高计算精度,但也有显著的缺点,两种单元的比较如下。

表5-1 三结点三角形单元与四结点矩形单元比较如果任意形状的四边形四结点单元采用矩形单元的位移模式,则在公共边界上不满足位移连续性条件。

为了既能得到较高的计算精度,又能适应复杂的边界形状,可以采用坐标变换。

图5-2任意四结点四边形单元图5-3四结点正方形单元在图5-2所示的任意四边形单元上,用等分四条边的两族直线分割四边形,以两族直线的中心为原点,建立局部坐标系),(ηξ,沿ξ及η增大的方向作为ξ轴和η轴,并令四条边上的ξ及η值分别为1±。

第三章__等参数单元(等参元)

第三章__等参数单元(等参元)

积分,还需把微分面积 dxdy 做相应的变换。
设任意四边形等参元1,2,3,4内任一点 P 沿局部坐标 , 方向 的微分矢量为 a , b ,由于在 方向上只有 变化,而 不变,故微 分矢量 a 在整体坐标系的 x, y 轴上的投影 a x , a y 分别为
y x a d , a d x y

故有
x J y
(3-12)

x J y
1


二.坐标变换矩阵及变换行列式 利用任意四边形等参元分析平面问题时,有了该单元的位移插 值函数式(3-3)和坐标变换式(3-5),就可以应用第二章已导出的一系 列公式去求解。但是,这一系列公式都是在整体坐标 xoy 下导出的 ,其中,应变矩阵 B 的每个元素都是各结点形函数 N i 对整体坐标
设任意四边形在整体坐标下的位移插值函数式为
u u ( x , y ) ,v v ( x , y )
4 n
(3-6)
而该单元在局部坐标系下的位移插值函数式(3-3)可以写成:
u N ( ,) u u ( ,) ,v N ( ,) v v ( ,) i i i i
i 1 i 1
前面已谈到:无论是三角形单元还是矩形单元,其单元内位移 用形函数表示为
u
N u,
i i i 1
n
v
N v
i i i 1
n
(3-1)
实际上不难证明:单元内任一点的坐标同样有上述关系,即
x
N x,
i i i 1
n
y

等参单元

等参单元

等参单元1、等参数单元(简称等参元)就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。

优点:由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域内进行,因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂,仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。

也正因为如此,等参元已成为有限元法中应用最为广泛的单元形式。

等参数单元(简称等参元)就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。

用于有限元法的分析。

优点由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域内进行,因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂,仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。

也正因为如此,等参元已成为有限元法中应用最为广泛的单元形式。

起源在有限元的网格划分中常用的一些单元,像三角形、矩形、六面体单元等,都是形状很规则的单元。

对于形状规则的连续体,用这些单元来离散可以获得比较好的结果。

但是,对于一些几何形状比较复杂的连续体,再用这些单元离散就比较困难了。

于是出现了坐标变换的方法来解决这个问题。

通过一一对应的坐标变换,把规则的单元转变成形状不规则的单元,就可以用它们来离散几何形状复杂的连续体。

有些求解问题的域的几何形状比较规则,那么采用原来的坐标进行积分运算就不是很复杂,但是有些几何形状比较畸形,会使运算处理很麻烦,于是就有这样的想法,能不能去把这个畸形的东东转换到一个比较规则,比较普遍的通用的形体上,在这个形体上去研究它的性质,却不改变原来的问题,这也就是等参单元的发明目的。

等参单元概述范文

等参单元概述范文

等参单元概述范文等参单元是一种常见的线性快速查找算法,旨在在有序数组中查找指定元素的位置。

它的原理是将数组分成若干个等长的单元,然后在每个单元中进行查找,从而将查找的范围逐渐缩小。

等参单元算法的过程如下:1.首先,确定每个单元的长度。

这个长度可以根据数组的大小和查找的目标元素来确定。

通常情况下,单元的长度选择为数组长度的平方根。

2.将数组分成若干个等长的单元。

如果数组长度不能整除单元长度,最后一个单元的长度可以稍长一些。

3.对于每个单元,比较目标元素与单元中的最大值和最小值。

如果目标元素比最小值小,说明目标元素不在该单元中;如果目标元素比最大值大,说明目标元素也不在该单元中。

否则,继续进行下一步。

4.在该单元中进行二分查找,查找目标元素在单元中的位置。

5.如果在单元中找到了目标元素,算法结束;否则,重复步骤3和步骤4,直到在一些单元中找到目标元素或者所有的单元都查找完毕。

等参单元算法的时间复杂度为 O(log n),其中 n 为数组的大小。

这是因为等参单元算法每次将查找范围缩小至一半,所以需要的比较次数为O(log n)。

这使得等参单元算法比线性查找算法更加高效。

值得注意的是,等参单元算法适用于有序数组。

如果数组未排序,可以先对数组进行排序,然后再使用等参单元算法进行查找。

另外,等参单元算法还可以与其他查找算法结合使用,例如二分查找算法或插值查找算法,以进一步提高查找效率。

总的来说,等参单元算法是一种快速查找算法,通过将数组分成若干个等长的单元,能够高效地在有序数组中查找指定元素的位置。

它具有时间复杂度低、查找效率高等优点,是一种常见且实用的查找算法。

第五章-等参元单元法

第五章-等参元单元法

3、单元分析
单元特性分析与结点力计算过程与上节四结点 等参数单元完全相同,具体公式形式也一致。 区别仅在于两种单元有关矩阵的维数不同。见 下表:
四结点单元
{δ} [B] [k] 面力
八结点单元 16×1列阵 16×16矩阵
分到3个结点
8×1列阵 8×8矩阵
分到2个结点
3×8矩阵, 4个分块 3×16矩阵,8个分块
u N i u i N i 1 (1 i )(1 i ) (i 1,2,3,4) 4 i 1 4 i 1;i 1 N 1 (1 )(1 ) v N i vi 4 i 1 单元的位移模式和坐标变换式采用等同的形函数 (阶次相等),同时用以规定单元形状的结点数等 于用以规定单元位移的结点数,这种单元称为等参 数单元。
y Ni yi N1 y1 N 2 y2
经过空间坐标变换后,原来的直线将变成空间曲线,原来的平面将变成空间曲面。 母单元正六面体,将变为具有曲棱、曲面的六面体子单元。
例 相邻单元公共边连续性验证
1 xa {x1 (1 )(1 )(1 ) x2 (1 )(1 )(1 ) 8 x3 (1 )(1 )(1 ) x4 (1 )(1 )(1 ) x5 (1 )(1 )(1 ) x6 (1 )(1 )(1 ) x7 (1 )(1 )(1 ) x8 (1 )(1 )(1 )} 1 xb {x3 (1 )(1 )(1 ) x4 (1 )(1 )(1 ) 8 x9 (1 )(1 )(1 ) x10 (1 )(1 )(1 ) x7 (1 )(1 )(1 ) x8 (1 )(1 )(1 ) x11 (1 )(1 )(1 ) x12 (1 )(1 )(1 )} 1 xa ( 1) {x3 (1 )(1 ) x4 (1 )(1 ) x7 (1 )(1 ) x8 (1 )(1 )} 4 1 xb ( 1) {x3 (1 )(1 ) x4 (1 )(1 ) x7 (1 )(1 ) x8 (1 )(1 )} 4 xa ( 1) xb ( 1)

等参数单元

等参数单元

(6.18)
三个节点的等效载荷为
Qi {Q
e e ix
式中, Γ是单元作用有面力的边界域, ds是边界域内的微段弧长。 在上述分析的基础上,利用结构中所有等参元的单元刚度矩阵集成 结构整体刚度矩阵。列写结构有限元方程、引入约束条件,进而进 行结构整体分析。
qx Q } Ni tds q y
6.1 等参元的基本概念 等参数单元(Isoparametric elements)简称等参元,是根据特 定方法设定的一大类单元,不一定具有相同的几何形状。因为等参 元具有规范的定义原理和较强的适应复杂几何形状的能力。在有限 元理论中占有重要的地位。采用等参元,一方面能够很好地适应曲 线边界和曲面边界,准确地模拟结构形状;另一方面,等参元一般 具有高阶位移模式,能够较好地反映结构的复杂应力分布情况,即 使单元网格划分比较稀疏,也可以得到比较好的计算精度。 等参元的基本思想是:首先导出关于局部坐标系(Local coordinate, 或Natural coordinate, 自然坐标系)的规整形状的单 元(母单元)的高阶位移模式,然后利用形函数多项式进行坐标变 换,得到关于整体坐标系(Global coordinate)的复杂形状的单元 (子单元),其中子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变换 的节点数相等,位移函数插值公式与位置坐标变换式都采用相同的 形函数与节点参数,这样的单元称为等参元。
x N i , xi , y Ni , yi
i 1 i 1 8 8
(6.11)
将上述等参元的位移模式代入弹性力学平面问题的几何方程,将会 得到如下形式的、用应变矩阵B表示的单元应变分量计算式
6.2 等参元的单元分析
u x x v e ε y Bδ B1 B2 y xy u v y x

5.1.15.1等参数单元及空间问题分析

5.1.15.1等参数单元及空间问题分析
注:等参单元的刚度积分一般很难有解析式,必须进行数值积分,目前普 遍采用高斯数值积分法(略)。
5.1.2等参单元小结
1、等参单元存在的充要条件是|J|≠0
为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一 一对应),通常要求总体坐标系下的单元为凸,即不能有 内角大于或等于或接近180度情况。
2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时,容 易用很少的单元去逼近曲线边界。
4
Ni
,
1 4
1
i
1i
i = 1,2,3,4
同矩形单元位移形函数
2) 单元应变
将位移表达式代入几何方程得等参单元的应变
u
0
0
x ε 0 u
x
v y
0
v
N1 ,
y
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N4 N3 0
0
u1
N4能很好地适应曲线边界和准确地模拟结构形状,又能具 有较高次的位移模式,
等参单元(iso-parametric element)的概念:等参数 单元就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数 目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型 单元。
思路:任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形, 由于正四边形(母元)的位移函数、单刚矩阵均已得到,则 可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。

5.1.1 平面4节点等参单元 1)等参变换(坐标映射)
目的:建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系
已知:
xi yi
f
ii
(i=
1,2,3,4)求, :
x y
f
解法:插值 x 1 2 3 4

第05讲 等参单元-09_891907157

第05讲 等参单元-09_891907157
结构分析与CAE研究室
汽车工程系
6.2 平面四结点四边形等参单元
6.2.3 单元应变与应力 记
[ J ] = ⎡ Jˆ ⎤ ⎣ ⎦
−1
则:
⎧ ∂u ⎫ ⎧ ∂u ⎫ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ∂u ⎪ ˆ ⎪ ∂y ⎪ ⎡ ⎡ J ⎤ 0 ⎤ ⎪ ∂η ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ˆ ⎪ ∂v ⎪ ⎢ 0 ⎡ J ⎤ ⎥ ⎪ ∂v ⎪ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ∂η ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
(6-9)
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
6.2 平面四结点四边形等参单元
6.2.3 单元应变与应力
4 ⎧ ∂u ⎫ ⎧ ∂N i ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∑ ∂ξ i =1 ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ⎪ ∂η ⎪ ⎪ ∑ ∂η ⎪ ⎪ i =1 =⎨ 4 ⎨ ⎬ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∑ ∂ξ i =1 ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ∂η ⎪ ⎪ ∑ ∂η ⎩ ⎭ ⎩ i =1
由几何方程:
式中(u, v)是中间变量(x, y)的函数, 而(x, y)又是(ξ, η)的函数, 由复合求导:
⎧ ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ⎪ ∂ξ = ∂x ∂ξ + ∂y ∂ξ ⎪ , ⎨ ⎪ ∂u = ∂u ∂x + ∂u ∂y ⎪ ⎩ ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η ⎧ ∂v ∂v ∂x ∂v ∂y ⎪ ∂ξ = ∂x ∂ξ + ∂y ∂ξ ⎪ ⎨ ⎪ ∂v = ∂v ∂x + ∂v ∂y ⎪ ⎩ ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η
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等参单元
xN x
i 1 m m ' i i
y N y
i 1 m
' i i
z N z
i 1
' i i
式中,m是用以进行坐标变换的单元节点数,Ni’是 用于坐标变换的形函数,它也是用局部(自然)坐 标表示的插值函数。
等参单元
y η η
ξ
o
o
ξ
o
x
二维单元的变换
等参单元
z ζ o ζ ξ oη ξ η
二维情况下的有关公式可由上面各式相应退化得到。
等参单元

等参变换的条件
由微积分学知,两个坐标之间一对一变换的条件是 Jacobi行形式∣J∣不得为0,等参变换作为一种坐标 变换也必须服从此条件。在二维的情况下,面积微元
dA J d d dξ dη dξ dη sin(dξ , dη)
Байду номын сангаас
等参单元
u N1 v 0 u1 v 1 0 u2 N 3 v2 u3 v3 x1 y 1 0 x2 y N3 2 x3 y3

V
e
G ( x, y, z )dxdydz
1 1


1
1
1 1
G * ( x( , , ), y ( , , ), z ( , , )) J d d d
1

A
g ( x, y, z )dS e
1 1

1
g * ( x(c, , ), y(c, , ), z (c, , )) Add
其中∣a∣表示向量a的模。
等参单元
于是
J
dξ dη sin(dξ , dη) d d
为了防止∣J∣=0的情况出现,应防止因任意的两 个节点退化为一个节点而发生∣dξ∣或∣dη∣中的 任一个为0,还应防止单元的任一内角大于或等于π, 从而导致sin(dξ,dη)≤0。三维的情况是类似的。
等参单元
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
3节点三角形等参单元
x N1 y 0 0 N1 N2 0 0 N2 N3 0
等参单元

超参单元 如果几何形状插值函数的阶数高于位移 场插值函数的阶数,称为超参单元 次参单元

如果几何形状插值函数的阶数低于位移 场插值函数的阶数,称为次参单元
o
y
x
三维单元的变换
等参单元
如果坐标变换和未知函数(如位移)插值采用 相同的节点,并且采用相同的插值函数,即 m=n,Ni’=Ni,称这种变换为等参变换。如果坐 标变换节点数多于函数插值的节点数,即m>n, 则称为超参变换。反之,m<n,则称为次(亚) 参变换。以下我们采用等参变换。
等参单元

单元矩阵的变换
等参单元

等参单元
单元内任意一点的位移u与单元节点位移ue 之间的关系为
u Nu
e
一般单元坐标的插值关系也采用与位移插 值关系相同的变换关系即单元内任意一点 的坐标x与单元节点坐标xe之间的关系为
x Nx
e
等参单元
凡是几何形状和位移场采用同阶同参数 插值关系来描述的单元,称为等参单元
前面介绍的所有单元都属于等参单元 在描述单元的几何形状和位移场时,并 不一定非采用同阶插值关系
采用等参单元时,基本的计算步骤不变。差别在于 等参单元的插值函数是用自然坐标给出的,等参单 元的一切计算都是在自然坐标系中规则的母单元内 进行。计算单元矩阵时要作两方面的修改,即改变 积分变量(取自然坐标)和积分限。
等参单元
在母单元为立方体或正方形的单元类型中,以8节点 六面体单元为例进行讨论,刚度矩阵和节点载荷列阵 的计算公式为
可以证明,如果相邻单元的公共边(或面)上有完 全相同的节点,同时每个单元沿此边(或面)的坐 标和未知函数采用相同的插值函数,则等参单元满 足协调性条件。如果母单元的插值函数满足条件 ∑Ni=1,则子单元满足完备性要求。我们在前面讨 论的几种单元都是满足以上要求的,所以是完备且 协调的。
等参单元

等参单元的计算格式
z
①导数之间的变换
ζ
ζ

η
考虑如图所示的六面 体单元,由复合函数 的求导法则
o ξ η
o
x
y
Ni Ni x Ni y Ni z x y z
等参单元
对于其他两个坐标η、ζ,可写出类似的表达式,将 它们集合成矩阵形式,得
N i x N i x N i x
y y y
z N i N i x x z N i N i y J y N i z N i z z
线元dξ 、dη、dζ在Descartes坐标系中所形成的体积微元 是
dV dξ (dη dζ )
令Descartes坐标系中的矢径为r=xi+yj+zk(i、j、k是坐标 系的基向量 ),则 r x y z dξ d d i d j d k x y z dη d i d j d k x y z dζ d i d j d k
K
e
1
1 1 1

1
1
1
B C B J d dd
T e
P
e b
1
1 1 1

1
N b J d dd
T
P
e s
1
1 1

1
N pAdd
T
( p 作用在ξ=1的面上)
等参单元
在计算中,计算应变矩阵B需要用到Jacobi矩阵的逆矩 阵,将插值函数对整体坐标的求导转化为对自然坐标 的求导。 二维问题的有关公式可以由以上二组三维问题的公式 退化而得到。 对于以上各积分式表示的单元矩阵和向量,只有对少 数规则形状的单元,积分可以解析地积出。一般情况 下要采用数值积分方法,其中最常用的是Gauss积分。
等参单元

等参变换
为适应复杂的几何形状,满足对一般形状求 解域进行离散化,需要对单元进行坐标变换, 即将局部(自然)坐标系中形状规则的单元 变换为整体坐标系中形状扭曲的单元,对于 高阶单元还可变换为曲边单元。这样不仅给 有限元网格划分带来了很大的灵活性,也能 拟合复杂的边界几何形状。最方便的方法是 将变换公式也表示成插值函数的形式:
Add
其他表面上的面元dA可通过轮换ξ 、η、ζ而得到。
等参单元
线元dξ 的长度为
dl dξ dξ d x y z
2 2
2
等参单元
通过以上公式,可将单元体积和面积内的积分转换到 自然坐标的规则化区域内进行。
等参单元
上式中J称为Jacobi矩阵。于是Ni对于x,y,z的偏导 数可用自然坐标显式地表示为
N i x
N i y
N i 1 N i J z
T
N i
N i
T
其中J-1是J的逆矩阵。
等参单元
②体积微元、面积微元和线元的变换
等参单元
将dξ 、dη、dζ代入dV的表达式,有
x x dV x
y y y
z z d d d J d d d z
等参单元
在ξ =c(常数)的面上, 面积微元dA为
dA dη dζ
c
1 2
y z y z 2 z x z x 2 x y x y 2 d d
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