数学第三章概率单元测试题二新必修3

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高二必修三数学第三章概率单元练习题(含答案北师大版)

高二必修三数学第三章概率单元练习题（含答案北师大版）数学在科学发展和现代生活生产中的应用特别宽泛，以下是查词典数学网为大家整理的高二必修三数学第三章概率单元练习题，希望能够解决您所碰到的有关问题，加油，查词典数学网向来陪同您。

一、选择题1.某人将一枚硬币连续投掷了10 次，正面向上的情况出现了6 次，则 ()A. 概率为 0.6B.频次为 0.6C.频次为 6D. 概率靠近于 0.6【分析】连续投掷了 10 次，正面向上的情况出现了 6 次，只好说明频次是 0.6，只有进行大批的试验时才可预计概率 . 【答案】 B2.以下说法错误的选项是()A.频次反应事件的屡次程度，概率反应事件发生的可能性大小B.做 n 次随机试验，事件 A 发生 m 次，则事件 A 发生的频率 mn 就是事件 A 的概率C.频次是不可以离开n 次试验的试验值，而概率是拥有确立性的不依靠于试验次数的理论值D.频次是概率的近似值，概率是频次的稳固值【分析】依据频次与概率的意义可知， A 正确 ;C、D 均正确，B 不正确，应选 B.【答案】B3.从寄存号码分别为1,2，，10 的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果以下：卡片号码取到的次数则取到号码为奇数的频次是()【分析】mn=13+5+6+18+11100=0.53.【答案】A4.(2019 沈阳检测 ) 某彩票的中奖概率为11 000 意味着 ()A. 买 1 000 张彩票就必定能中奖B.买 1 000 张彩票中一次奖C.买 1 000 张彩票一次奖也不中D.购置彩票中奖的可能性是11 000【分析】中奖概率为11 000，其实不意味着买1 000 张彩票就必定中奖，中一次奖或一次也不中，所以A、B、C 均不正确.【答案】D5.2019 年山东省高考数学试题中，共有12 道选择题，每道选择题有 4 个选项，此中只有 1 个选项是正确的，则随机选择此中一个选项正确的概率为14，某家长说：假如都不会做，每题都随机选择此中一个选项，则必定有 3 题答对这句话 () A. 正确 B.错误C.不必定D. 没法解说【分析】把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是14，说明做对的可能性大小是14.做 12 道选择题，即进行了12 次试验，每个结果都是随机的，那么答对 3 题的可能性较大，可是其实不必定答对3 道，也可能都选错，或仅有2,3,4题选对，甚至12 个题都选择正确.【答案】B二、填空题6.样本容量为200 的频次散布直方图如图3-1-1 所示 .依据样本的频次散布直方图预计，样本数据落在[6,10) 内的频数为________，数据落在 [6,10) 内的概率约为 ________.图 3-1-1【分析】样本数据落在[6,10)内的频次为0.084=0.32，频数为 2019.32=64.由频次与概率的关系知数据落在[6,10) 内的概率约为0.32.【答案】64 0.327.在 5 张不一样的彩票中有 2 张奖票， 5 个人挨次从中各抽取1张，各人抽到奖票的概率________( 填相等不相等 ).【分析】由于每人抽得奖票的概率均为25，与前后的次序没关 .【答案】相等8.假如袋中装有数目差异很大而大小同样的白球和黑球(只是颜色不一样 )，每次从中任取一球，记下颜色后放回并搅匀，取了 10 次有 9 次白球，预计袋中数目最多的是________.【分析】取了 10 次有 9 次白球，则拿出白球的频次是910，预计其概率约是910，那么拿出黑球的概率是110，那么取出白球的概率大于拿出黑球的概率，所以预计袋中数目最多的是白球.【答案】白球三、解答题9.(1)设某厂产品的次品率为2%，问从该厂产品中随意地抽取 100 件，此中必定有 2 件次品这一说法对不对?为何 ? (2)若某次数学测试，全班50 人的及格率为90%，若从该班中随意抽取10 人，此中有 5 人及格是可能的吗?【解】(1)这类说法不对，由于产品的次品率为2%，是指产品是次品的可能性为2%，所以从该产品中随意地抽取100件，此中有可能有 2 件次品，而不是必定有 2 件次品 .(2)这类状况是可能的.10.(2019 课标全国卷Ⅱ )经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获收益 500 元，未售出的产品，每 1 t 损失 300 元.依据历史资料，获得销售季度内市场需求量的频次散布直方图，如图 3-1-2 所示 .经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品 .以 X( 单位： t,100150) 表示下一个销售季度内的市场需求量， T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的收益 .图 3-1-2(1)将 T 表示为 X 的函数 ;(2)依据直方图预计收益T 许多于 57 000 元的概率 .【解】(1)当 X[100,130) 时，T=500X-300(130-X)=800X-39 000.当 X[130,150] 时，T=500130=65 000.所以 T=800X-39 000 ，100130，?65 000， 130150.(2)由 (1)知收益 T 许多于 57 000 元当且仅当120190.由直方图知需求量X[120, 150] 的频次为0.7，所以下一个销售季度内的收益T 许多于 57 000 元的概率的预计值为0.7.11.在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量，单位： mm)共有 100 个数据，将数据分组以下表：分组频数[1.30,1.34)4[1.34,1.38)25[1.38,1.42)30[1.42,1.46)29[1.46,1.50)10[1.50,1.54)2总计 100(1)画出频次散布直方图;(2)预计纤度落在 [1.38,1.50)mm 中的概率及纤度小于 1.42 的概率是多少 .【解】(1)频次散布直方图，如图：(2)纤度落在 [1.38,1.50)mm 中的频数是 30+29+10=69 ，则纤度落在 [1.38,1.50)mm 中的频次是 69100=0.69 ，所以预计纤度落在 [1.38,1.50)mm 中的概率为 0.69.纤度小于 1.42 mm 的频数是 4+25+30=59 ，则纤度小于 1.42 mm 的频次是 59100=0.59，要练说，得练看。

高中数学必修三第三章《概率》单元测试题

高中数学必修三第三章《概率》单元测试题(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列事件中，随机事件的个数为( )①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4℃时结冰.A.1B.2C.3D.42.抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)=，则“出现1点或2点”的概率为( )A. B. C. D.【延伸探究】若本题条件不变，则“出现的点数大于2”的概率为.3.甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是( )A. B. C. D.4.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有二个红球5.先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3，则( )A.P1=P2<P3B.P1<P2<P3C.P1<P2=P3D.P3=P2<P16.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )7.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A. B. C. D.【一题多解】所有的基本事件有10种，而甲、乙都不被录用的情况只有(丙丁戊)一种，故甲或乙被录用的概率为1-=.8.在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为( )A. B. C. D.9.在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )A.1-B.1-C.1-D.1-10.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( )A.恰有2件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品11.记集合A={(x，y)|x2+y2≤16}和集合B={(x，y)|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2.若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为( )A. B. C. D.12.某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间[0，20) [20，40) [40，60) [60，80) [80，100) (分钟)人数25 50 15 5 5公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘市时间t(分钟)的关系是y=200+40，其中表示不超过的最大整数.以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( )A.0.5B.0.7C.0.8D.0.9二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得为红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)= .(结果用最简分数表示)14.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是.15.将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球.其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于.16.两人相约在0时到1时之间相遇，早到者应等迟到者20分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，且在0时到1时之间的任何时刻相遇是等概率的，问两人相遇的概率为.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率.(1)所得的三位数大于400.(2)所得的三位数是偶数.18.(12分)某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：(1)求年降水量在100～200(mm)范围内的概率.(2)求年降水量在150～300(mm)范围内的概率.19.(12分)已知集合M={(x，y)|x∈[0，2]，y∈[-1，1]}(1)若x，y∈Z，求x+y≥0的概率.(2)若x，y∈R，求x+y≥0的概率.20.(12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表(单位：人)(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率.(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.21.(12分)甲、乙两人相约于下午1：00～2：00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的.设在下午1：00～2：00之间该车站有四班公共汽车开出，开车时间分别是1：15，1：30，1：45，2：00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率：(1)约定见车就乘.(2)约定最多等一班车.22.(12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值.(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.高中数学必修三第三章《概率》单元测试题参考答案(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列事件中，随机事件的个数为( )①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4℃时结冰.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4℃时结冰是不可能事件.2.抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)=，则“出现1点或2点”的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.因为A，B为互斥事件，故采用概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+(B)=+=.【延伸探究】若本题条件不变，则“出现的点数大于2”的概率为.【解析】A，B为互斥事件，故采用概率的加法公式得P(A∪B)=，所以出现的点数大于2的概率为1-P(A∪B)=.答案：3.甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是( )A. B. C. D.【解析】选D.基本事件总数Ω={甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲}.“甲、乙两人站在一起”的可能结果有“甲乙丙”“丙甲乙”“乙甲丙”“丙乙甲”4种.所以甲、乙两人站在一起的概率P==.4.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有二个红球【解析】选D.根据题意，从8个球中任取3个球包括事件事件5红3白一 3 0二 2 1三 1 2四0 3对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个事件互斥而不对立.5.先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3，则( )A.P1=P2<P3B.P1<P2<P3C.P1<P2=P3D.P3=P2<P1【解题指南】列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件个数，再分别求出点数之和是12，11，10的基本事件个数，进而求出点数之和是12，11，10的概率P1，P2，P3，即可得到它们的大小关系.【解析】选B.先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共36种，其中点数之和是12的有1种，故P1=；点数之和是11的有2种，故P2=；点数之和是10的有3种，故P3=，故P1<P2<P3，故选B.6.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )【解题指南】增加中奖机会应选择概率高的对应的游戏盘.【解析】选A.P(A)=，P(B)=，P(C)=，P(D)=，所以P(A)>P(C)=P(D)>P(B).7.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A. B. C. D.【解题指南】根据条件可用列举法列出所有基本事件和甲或乙被录用的基本事件，采用古典概型求概率.【解析】选D.所有被录用的情况有(甲乙丙)，(甲乙丁)，(甲乙戊)，(甲丙丁)，(甲丙戊)，(甲丁戊)，(乙丙丁)，(乙丙戊)，(乙丁戊)，(丙丁戊)共10种，其中甲或乙被录用的基本事件有9种，故概率P=.【一题多解】所有的基本事件有10种，而甲、乙都不被录用的情况只有(丙丁戊)一种，故甲或乙被录用的概率为1-=.8.在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由于区间[1，6]的长度是6-1=5，由2x∈[2，4]，则x∈[1，2]，长度为2-1=1，故在区间[1，6]上随机取一实数，则该实数使得2x∈[2，4]的概率P=.9.(2015·东营高一检测)在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )A.1-B.1-C.1-D.1-【解析】选B.若使函数有零点，必须Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0，即a2+b2≥π2.在坐标轴上将a，b的取值范围标出，如图所示.当a，b满足函数有零点时，以(a，b)为坐标的点位于正方形内、圆外的部分(如阴影部分所示)，于是所求的概率为1-=1-.10.(2015·石家庄高一检测)在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( )A.恰有2件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品【解析】选C.将3件一等品编号为1，2，3；2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1=，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率为P2=，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3=1-P2=1-=.11.记集合A={(x，y)|x2+y2≤16}和集合B={(x，y)|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2.若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为( )A. B. C. D.【解析】选A.区域Ω1为圆心在原点，半径为4的圆，区域Ω2为等腰直角三角形，两腰长为4，所以P===.12.某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间(分钟)[0，20) [20，40) [40，60) [60，80) [80，100) 人数25 50 15 5 5公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘市时间t(分钟)的关系是y=200+40，其中表示不超过的最大整数.以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( )A.0.5B.0.7C.0.8D.0.9【解析】选D.当0≤t<60时，y≤300.记事件“公司1人每月用于路途补贴不超过300元”为事件A.则P(A)=++=0.9.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得为红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)= .(结果用最简分数表示)【解析】由互斥事件概率公式得P(A∪B)=+=.答案：14.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是.【解析】从长度为2，3，4，5的四条线段中任意取出3条共有4种不同的取法，其中可构成三角形的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)三种，故所求概率P=.答案：15.将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球.其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于.【解析】甲、乙两人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(9，7)，(9，8)，(9，9)，共81个.由不等式a-2b+10>0得2b<a+10，于是，当b=1，2，3，4，5时，每种情形a可取1，2，…，9中每个值，使不等式成立，则共有45种；当b=6时，a可取3，4…，9中每个值，有7种；当b=7时，a可取5，6，7，8，9中每个值，有5种；当b=8时，a可取7，8，9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为=.答案：16.两人相约在0时到1时之间相遇，早到者应等迟到者20分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，且在0时到1时之间的任何时刻相遇是等概率的，问两人相遇的概率为. 【解析】假设两人分别在x时与y时到达，依题意：|x-y|≤才能相遇.显然到达时间的全部可能结果均匀分布在如图的单位正方形I内，而相遇现象，则发生在图中阴影区域G中，由几何概型的概率公式：P===.所以，两人相遇的可能性为.答案：三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率.(1)所得的三位数大于400.(2)所得的三位数是偶数.【解析】1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数.(1)大于400的三位数的个数为4，所以P==.(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，所以所求的概率为P==.18.(12分)某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：年降水量100～150 150～200 200～250 250～300 (单位：mm)概率0.12 0.25 0.16 0.14(1)求年降水量在100～200(mm)范围内的概率.(2)求年降水量在150～300(mm)范围内的概率.【解析】记这个地区的年降水量在100～150(mm)，150～200(mm)，200～250(mm)，250～300(mm)范围内分别为事件A，B，C，D.这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有(1)年降水量在100～200(mm)范围内的概率是P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37.(2)年降水量在150～300(mm)范围内的概率是P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55.19.(12分)已知集合M={(x，y)|x∈[0，2]，y∈[-1，1]}(1)若x，y∈Z，求x+y≥0的概率.(2)若x，y∈R，求x+y≥0的概率.【解析】(1)设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[-1，1]，即y=-1，0，1.则基本事件有：(0，-1)，(0，0)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)，(2，-1)，(2，0)，(2，1)共9个.其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，所以P(A)=.故x，y∈Z，x+y≥0的概率为.(2)设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，因为x∈[0，2]，y∈[-1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分.所以P(B)====，故x，y∈R，x+y≥0的概率为.20.(12分)(2015·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团8 5未参加演讲社团 2 30(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率.(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.【解题指南】将符合要求的基本事件一一列出.【解析】(1)记“该同学至少参加上述一个社团为事件A”，则P(A)==.所以该同学至少参加上述一个社团的概率为.(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基本事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)共15个，其中A1被选中且B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，B3)共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为P=.21.(12分)甲、乙两人相约于下午1：00～2：00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的.设在下午1：00～2：00之间该车站有四班公共汽车开出，开车时间分别是1：15，1：30，1：45，2：00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率：(1)约定见车就乘.(2)约定最多等一班车.【解题指南】本题是几何概型.解题关键是充分理解题意，画出示意图，明确总的基本事件和符合条件的基本事件构成的空间，然后利用几何概型概率计算公式计算求解即可.【解析】设甲、乙到站的时间分别是x，y，则1≤x≤2，1≤y≤2.试验区域D为点(x，y)所形成的正方形，以16个小方格表示，示意图如图a所示.(1)如图b所示，约定见车就乘的事件所表示的区域如图b中4个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为=.(2)如图c所示，约定最多等一班车的事件所示的区域如图c中的10个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为=.22.(12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值.(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.【解析】(1)由题意可知：=，解得n=2.(2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个.所以P(A)==.②记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2>4”，(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B={(x，y)|x2+y2>4，(x，y)∈Ω}，所以P(B)===1-.。

(好题)高中数学必修三第三章《概率》检测(含答案解析)(2)

一、选择题1．在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x，则cos xπ的值介于22与32之间的概率为（）A．13B．14C．15D．162．如图，,,A B C表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（）．A．0.994 B．0.686 C．0.504 D．0.4963．一个不透明的袋中装有6个白球，4个红球球除颜色外，无任何差异．从袋中往外取球，每次任取1个，取出后记下颜色不放回，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则(22)P X≤=（）．A．23B．512C．56D．5184．如图所示，已知圆1C和2C的半径都为2，且1223C C=，若在圆1C或2C中任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A33533π+B33533π+C331033π+D331033π+5．2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲､乙不在同一组的概率为（）A．511B．611C．12D．236．甲、乙两人约定某天晚上6：00～7：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（） A ．58B ．13C ．18D ．387．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =（）A ．12B ．13C ．23D ．568．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（） A ．23B ．14C ．38D ．349．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（）A ．15B ．25C ．35D ．4510．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A ．25B ．35C ．38D ．5811．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A ．1636B ．1736C ．12D ．193612．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A ．14B ．8π C ．34D ．4π 二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．如图所示，分别以,,A B C 为圆心，在ABC 内作半径为2的三个扇形，在ABC 内任取一点P ，如果点P 落在这三个扇形内的概率为13，那么图中阴影部分的面积是____________.15．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去12,；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上12，这样就得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为34，则1a 的取值范围是________16．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈.若||1a b -，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.17．如图，⊙O 的半径为1，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，从A B C 、、、D E F 、、六点中任意取两点，并连接成线段，则线段的长为3的概率是_____．18．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为____．19．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________20．在区间[0,1]中随机地取出两个数，则两数之和大于45的概率是______. 三、解答题21．从广安市某中学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160165,，...，第八组[)190,195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.（1）求第七组的频率；（2）估计该校800名男生的身高的中位数。

(好题)高中数学必修三第三章《概率》检测卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．将曲线22x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ,曲线1x y +=围成的区域记为Ⅱ,在区域Ⅰ中随机取一点,此点取自区域Ⅱ的概率为（）A ．12π+B ．11π+C ．22π+D ．21π+ 2．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与另一段GN GN 的比例中项，即满足512MG NG MN MG -==，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点.在矩形ABCD 中，E ，F 是线段AB 的两个“黄金分割”点.在矩形ABCD 内任取一点M ，则该点落在DEF 内的概率为（） A 52- B 51- C 52- D 51- 3．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“─”和“﹣﹣”，其中“─”在二进制中记作“1”，“﹣﹣”在二进制中记作“0”．如符号“☱”对应的二进制数011（2）化为十进制的计算如下：011（2）＝0×22+1×21+1×20＝3（10）．若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（）A ．12B ．13C ．23D ．144．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（）A ．110B ．310C ．12D ．355．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（）A ． 110B ． 310C ． 12D ． 7106．袋中有白球2个，红球3个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是（） A ．至少有一个白球；都是白球B ．两个白球；至少有一个红球C ．红球、白球各一个；都是白球D ．红球、白球各一个；至少有一个白球 7．甲、乙两人约定某天晚上6：00～7：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（）A ．58B ．13C ．18D ．388．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（）A ．310B ．25C ．825D ．359．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．1510．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为423，现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为（）A ．1πB ．2π C ．3D ．2π11．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数2sin 8y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为4π，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．136B ．118C ．116D．1812．在二项式42nxx⎛+⎪⎝⎭的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A．16B．14C．512D．13二、填空题13．重庆一中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为__________.14．如图所示，分别以,,A B C为圆心，在ABC内作半径为2的三个扇形，在ABC 内任取一点P，如果点P落在这三个扇形内的概率为13，那么图中阴影部分的面积是____________.15．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．16．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且,{0,1,2,,9}a b∈.若||1a b-，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.17．已知四棱锥P ABCD-的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB==现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD-的内部的概率为______．18．为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为________．19．袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了X次球，则P X==_______．(4)20．从甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表，则甲被选上的概率为______．三、解答题21．某校疫情期间“停课不停学”，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网络模拟考试.全年级共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）.已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a，b的值；并估计抽取的100名同学数学成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数恰在同一组内的概率.22．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有Ⅳ人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)等七组，其频率分布直方图如图所示，已知[25,30)这组的参加者是6人．（1）已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率；（2）组织者从[45,55)这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为X，求X的分布列和均值．23．某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析.将200名学生编号为001，002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩（单位：分）绘成折线图如下：（1）若第二段抽取的学生编号是026，写出第六段抽取的学生编号；（2）在这两科成绩差低于20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率；（3）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出至少两条统计结论. 24．一工厂对某条生产线加工零件所花费时间进行统计，得到如下表的数据：零件数x（个）1020304050加工时间y（分钟）6268758288（1）从加工时间的五组数据中随机选择两组数据，求该两组数据中至少有一组数据小于加工时间的均值的概率；（2）若加工时间y与零件数x具有相关关系，求y关于x的回归直线方程；若需加工80个零件，根据回归直线预测其需要多长时间.(121()()()ˆni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，^^a yb x=-)25．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位:min)进行调查,将收集到的数据分成[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]六组,并作出频率分布直方图(如图).将日均课外体育锻炼时间不低于40 min的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据频率分布直方图中的数据填写下面的2×2列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?课外体育不达标课外体育达标总计男60女110总计(2)现从“课外体育达标”学生中按分层抽样抽取5人,再从这5名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查,求抽取的这2人课外体育锻炼时间都在[40,50)内的概率.附参考公式与数据:K2=2(-)()()()()n ad bca b c d a c b d++++P(K2≥k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.82826．2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0,40]，(40,80]，(80,120]，(120,160]，(160,200]得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】画出曲线22x y x y +=+与曲线1x y +=的图像,再根据几何概型的方法求解即可. 【详解】当0,0x y >>时,曲线22x y x y +=+、曲线1x y +=分别为2222111222x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⇒-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1x y +=. 又22x y x y +=+、1x y +=均关于,x y 轴，原点对称.故两曲线围成的区域Ⅰ（正方形和四个半圆）、Ⅱ(正方形）如图：可知区域Ⅰ的面积为22222S ππ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭正方形；区域Ⅱ的面积为()222=；∴由几何概率公式得：22p π=+.故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的运用,需要根据题意去绝对值画出一象限的图像,再根据对称性补全图像.同时也考查了几何概型中面积型的问题.属于中档题.2．C解析：C【分析】分别求出对应的面积，进而求得结论．解：设正方形ABCD的边长为1，则AF BE==，∴212 EF AF=-=，∴所求的概率为212DEFABCDEF ADSPS AD⨯⨯===正方形故选：C．【点睛】本题主要考查几何概型，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量” ()N A，再求出总的基本事件对应的“几何度量” N，最后根据()N APN求解，属于中档题．3．D解析：D【分析】分类计算得到从两类符合中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，即可计算得到概率．【详解】根据题意，不同符号可分为三类：第一类：由两个“─”组成，其二进制为：11（2）＝3（10）；第二类：由两个“﹣﹣“组成，其二进制为：00（2）＝0（10）；第三类：由一个“─”和一个“﹣﹣”组成，其二进制为：10（2）＝2（10），01（2）＝1（10），所以从两类符号中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率P14 =．故选：D．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及转化的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于中档试题.4．B解析：B【解析】设3名女志愿者为,,A B C，2名男志愿者为,a b，任取2人共有,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb AB AC BC ab，共10种情况，都是女性的情况有,,AB AC BC三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为310，故选B.5．B【分析】列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率．【详解】所有的基本事件有：()1,3,5、()1,3,7、()1,3,9、()1,5,7、()1,5,9、()1,7,9、()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、()5,7,9，共3个，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为310，故选：B ．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题． 6．C解析：C【分析】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，结合所给的选项，逐一进行判断，从而得出结论．【详解】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，对于A ，至少有1个白球；都是白球，不是互斥事件．故不符合．对于B 两个白球；至少有一个红球，是互斥事件，但也是对立事件，故不符合．对于C 红球、白球各一个；都是白球是互斥事件，但不是对立事件，故符合．对于D 红球、白球各一个；至少有一个白，不是互斥事件．故不符合．故选：C ．【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 7．D解析：D【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是{(,)|01x y x Ω=，01}y ，写出满足条件的事件是{(,)|01A x y x =，01y ，12y x -≤，}x y ≤，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲到的时间为x ，乙到的时间为y ，则试验包含的所有事件是{(,)|01x y x Ω=，01}y ，事件对应的集合表示的面积是1S =，满足条件的事件是{(,)|01A x y x =，01y ，12y x -≤，}x y ≤，则()1,1B ，1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则事件A 对应的集合表示的面积是111131122228⨯⨯-⨯⨯=，根据几何概型概率公式得到33818P ==；所以甲、乙两人能见面的概率38P =．故选：D ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，要解决此问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果．8．B解析：B【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C A A A A A ⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C C C A C C A A A ⋅=种分法， ∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B . 【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.9．A解析：A 【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个, 随机选取2个不同的数可能为:()2,3,()2,5,()2,7,()2,11,()3,5,()3,7,()3,11,()5,7,()5,11,()7,11,共有10种情况, 其中和小于等于10的有:()2,3,()2,5,()2,7,()3,5,()3,7,共有5种情况, 则概率为51102P , 故选:A 【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题10．A解析：A 【分析】先根据四棱锥的体积求出球的半径，再根据几何概型概率公式求结果. 【详解】因为四棱锥的体积为3，设球半径为R，则1122332R R R R =⨯⨯⨯⨯∴=因此所求概率为3131423ππ=⨯，故选：A 【点睛】本题考查四棱锥体积、球体积以及几何概型概率公式，考查综合分析求解能力，属中档题.11．D解析：D 【分析】根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可．【详解】由已知，可得大圆的直径为y ＝3sin 8πx 的周期，由T 2168ππ==，可知大圆半径为8，则面积为S ＝64π，一个小圆的周长242l r r π==∴= 故小圆的面积S ′＝π•22＝4π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为： P 2'81648S S ππ===，故选：D ．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，关键是明确测度比为面积比，是基础题．12．C解析：C 【分析】先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果【详解】因为n前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-= 163418118,0,1,2,82rr r r n n T C x r -+>∴=∴=⋅=，当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为636799512A A A =,选C. 【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题13．【分析】由人数之比求出抽出的5名同学中高二高三年级人数通过列举出从这5名同学中再随机抽取2名同学的所有可能即可求出抽取的两名同学来自同一年级的概率【详解】解：高二高三抽取人数之比为所以5名同学中高二解析：25【分析】由人数之比求出抽出的5名同学中高二、高三年级人数，通过列举出从这5名同学中再随机抽取2名同学的所有可能即可求出抽取的两名同学来自同一年级的概率. 【详解】解：高二高三抽取人数之比为15:103:2=，所以5名同学中高二有3人，高三有2人，设高二3人为123,,A A A ，高三2人为12,B B ，则随机抽取2名同学的可能有12131112232122313212A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ,,,,,,,,,共十种可能，其中抽取的两名同学来自同一年级的有12132312,,,A A A A A A B B 四种可能，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为42105=, 故答案为:25. 【点睛】本题考查了分层抽样，考查了古典概型概率的求解.本题的关键是求出高二、高三各抽出的人数.14．【分析】先求出三块扇形的面积再由概率计算公式求出的面积进而求出阴影部分的面积【详解】∵∴三块扇形的面积为:设的面积为∵在内任取一点点落在这三个扇形内的概率为∴图中阴影部分的面积为:故答案为:【点睛】解析：4π【分析】先求出三块扇形的面积,再由概率计算公式求出ABC ∆的面积,进而求出阴影部分的面积. 【详解】∵180A B C ︒++=, ∴三块扇形的面积为:21222ππ⨯⨯=, 设ABC 的面积为S ,∵在ABC 内任取一点P ,点P 落在这三个扇形内的概率为13, 2163S S ππ∴=⇒=, ∴图中阴影部分的面积为:624πππ-=, 故答案为:4π. 【点睛】本题主要考查几何概型的应用,属于几何概型中的面积问题,难度不大.15．【分析】根据数据统计击中目标的次数再用古典概型概率公式求解【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15所以射击4次至少击中3次的概率为故答案为：【点睛】本题考查古典概型概率公式考查基本分析求解能解析：34【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解. 【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为153204=. 故答案为：34【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16．【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有28种所解析：725【分析】由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -所有可能情况，代入公式得到结果。

高二数学必修3第三章概率测试题卷(附解析)

高二数学必修 3 第三章概率测试题卷（附分析）数学，作为人类思想的表达形式，反应了人们踊跃进步的意志、周密周详的逻辑推理及对完满境地的追求。

小编准备了高二数学必修 3 第三章概率测试题卷，希望你喜爱。

一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(每题5 分，共 50 分).1.以下事件：①假如a，b 是实数，那么b+a=a+b;②某地 1 月1 日刮西寒风 ;③当 x 是实数时， x2④一个电影院某天的上座率超出 50%.此中是随机事件的有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2.以下试验是古典概型的是()A. 从装有大小完整同样的红、绿、黑各一球的袋子中随意拿出一球，察看球的颜色B.在适合条件下，种下一粒种子，察看它能否抽芽C.连续扔掷两枚质地平均的硬币，察看出现正面、反面、一正面一反面的次数D.从一组直径为 (1200.3)mm 的部件中拿出一个，丈量它的直径3.红、黑、蓝、白 4 张牌随机地散发给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人分得 1 张，事件甲分得红牌与事件乙分得红牌是()A. 对峙事件B.不行能事件C.互斥事件但不是对峙事件D. 以上答案都不对4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={ 抽到一等品 } ，事件 B={ 抽到二等品 } ，事件 C={ 抽到三等品 } ，且已知P(A)=0.65 ， P(B)=0.2 ， P(C)=0.1.则事件抽到的是二等品或三等品的概率为 ()5.甲乙两人下棋，和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲不输的概率是( )A.16B.13C.12D.236.某人向一个半径为 6 的圆形标靶射击，假定他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则这人射击中靶点与靶心的距离小于 2 的概率为()A.113B. 19 C .14 D.127.某人睡午觉悟来，发现表停了，他翻开收音机，想听电台报时，则他等候时间不多于15 分钟的概率为 ()A.12B.14C.23D.348.在区间 (0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于13 的概率为()A.1718B.79C.29D.1189.下课后教室里最后科学实验剩下 2 位男同学和 2 位女同学，四位同学先后走开，则第二位走的是男同学的概率是()A.12B.13C.14 D .1510.为了检查某厂 2 000 名工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数目，产品数目的分组区间为 [10,15) ， [15,20) ， [20,25) ，[25,30) ， [30, 35] ，频次散布直方图以下图 .工厂规定从生产低于 20 件产品的工人中随机地选用 2 位工人进行培训，则这 2 位工人不在同一组的概率是 ()A.110B.715C.815D.1315二、填空题 (每题 6 分，合计 24 分 ).11.在区间 [-2,2] 上随机取一个数x ，则 x[0,1] 的概率为 ______ __.12.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数，则此中一个数是另一个的两倍的概率是________.13.为了测算如图的暗影部分的面积，作一个边长为 6 的正方形将其包括在内，并向正方形内随机扔掷800 个点 .已知恰有200个点落在暗影部分，据此，可预计暗影部分的面积是________.14.有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9(cm).从中任取三根，能搭成三角形的概率是三、解答题 ( 共 76 分 ).15.(此题满分 12 分)某种日用品上市此后求过于供，为知足更多的花费者，某商场在销售的过程中要求购置这类产品的顾客一定参加以下活动：摇动如右图所示的游戏转盘(上边扇形的圆心角都相等)，依据指针所指地区的数字购置商品的件数，每人只好参加一次这个活动.(1)某顾客参加活动，求购置到许多于 5 件该产品的概率;(2)甲、乙两位顾客参加活动，求购置该产品件数之和为10的概率 .16.(此题满分 12 分) 甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出 1 到 5 根手指头，若和为偶数则算甲赢，不然算乙赢.(1)若以 A 表示和为 6 的事件，求P(A);(2)现连玩三次，以 B 表示甲起码赢一次的事件， C 表示乙起码赢两次的事件，则 B 与 C 能否为互斥事件?试说明原因 ;(3)这类游戏规则公正吗?试说明原因 .17.(此题满分 12 分)某××局对 1 000 株树木的生长状况进行检查，此中槐树 600 株，银杏树 400 株 .现用分层抽样方法从这1 000 株树中随机抽取100 株，此中银杏树树干周长(单位：cm)的抽查结果以下表：树干周长 [30,40)[40,50)[50,60)[60,70)株数 418x6(1)求 x 的值 ;(2)若已知树干周长在30～ 40 cm 之间的 4 株银杏树中有 1 株患有虫害，现要对这 4 株树逐个进行排查直至找出患虫害的树木为止 .求排查的树木恰巧为 2 株的概率 .18.(此题满分 12 分)将一枚骰子先后扔掷两次，察看向上的点数，(1)求点数之和是 5 的概率 ;(2)设 a， b 分别是将一枚骰子先后扔掷两次向上的点数，求等式 2a-b=1 成立的概率 .19.(此题满分 14 分)已知甲袋中有 1 只白球、 2 一只红球，乙袋中有 2 只白球、 2 只红球，现从两袋中各取一球.(1)两球颜色同样的概率;(2)起码有一个白球的概率，20.(此题满分 14 分)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可人肺颗粒物，我国 PM2.5 标准采纳世卫组织设定的最宽容值，PM2.5 日均值在 35 微克 /立方米以下空气质量为一级;在 35 微克 /立方米～ 75 微克 /立方米之间空气质量为二级;在 75 微克 /立方米及其以上空气质量为超标.某试点城市××局从该市市里 2019 年整年每日的 PM2.5 监测数据中随机抽取6 天的数据作为样本，监测值茎叶图如图(十位为茎，个位为叶 )，若从这 6 天的数据中随机抽出 2 天，(1)求恰有一天空气质量超标的概率;(2)求至多有一天空气质量超标的概率.参照答案一、选择题1. [答案] B[ 分析 ] 由随机事件的观点得：①③是必定事件，②④是随机事件 .2. [答案] A[ 分析 ] 依据古典概型拥有有限性和等可能性进行判断.3. [答案] C[ 分析 ] 记事件 A= 甲分得红牌，记事件B=乙分得红牌，它们不会同时发生，因此是互斥事件，但事件 A 和事件 B 也可能都不发生，因此他们不是对峙事件，应选 C.4. [答案] D[ 分析 ] 由题意知事件 A 、 B、 C 互为互斥事件，记事件D=抽到的是二等品或三等品，则P(D)=P(BC)=P(B)+P(C)=0.2+0.1=0.3 ，应选 D.5. [答案] D[ 分析 ] 记事件 A= 乙获胜，记事件B=甲不输，由题意知：事件 A 与事件 B 为对峙事件， P(A)=13 ，因此 P(B)=1-13=23 ，应选 D.6. [答案] B[ 分析 ] 这人射击击中靶点与靶心的距离小于 2 的概率为2262=19.7. [答案] B[ 分析 ] 该人在 0～60 分钟内随意时辰醒来是等可能的，且电台是整点报时，记事件 A= 等候时间不多于15 分钟，则满足事件 A 的地区为： [45,60] ，因此 P(A)=1560=14 ，应选 B.8. [答案] A[ 分析 ] 在区间 (0, 1) 内任取两个实数分别为x ，y，则 013，则其所表示地区为图中暗影响部分.因此 P(A)=S 暗影 SM=1-12131311=1718.9. [答案] A[ 分析 ] 设 2 位男同学分别用a，b 表示，2 位女同学分别用c，d表示，则可用树状图将四位同学先后走开教室的全部可能结果表示为以下图的形式 .共 24 种.记事件 A= 第二位走的是男同学，则事件 A 所含基本领件个数为12 个，因此 P(A)=1224=12 ，应选 A.10. [答案 ] C[ 分析 ] 依据频次散布直方图可知产品件数在[10,15) ，[15,20)内的人数分别为50.0220=2,50.0420=4 ，设生产产品件数在[10,15) 内的 2 人分别是 A ， B，设生产产品件数在[15,20) 内的 4 人分别为 C，D ， E， F，则从生产低于 20 件产品的工人中随机地选用 2 位工人的结果有 (A ，B) ，(A ，C)，(A ，D) ，(A ， E)， (A ， F)， (B ， C)， (B ， D)， (B ， E)， (B ， F)， (C，D)，(C，E)，(C， F)，(D，E)，(D， F)， (E， F)，共 15 种 . 2位工人不在同一组的结果有(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B，C)，(B ，D) ，(B ，E)，(B ，F)，共 8 种. 则选用这2人不在同一组的概率为815.二、填空题11. [答案 ] 14[ 分析 ] x[0,1] 的概率为 1-02--2=14.12. [答案 ] 13[ 分析 ] 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数，全部可能的取法有 6 种，知足此中一个数是另一个的两倍的全部可能的结果有 (1,2)， (2,4) 共 2 种取法，因此此中一个数是另一个的两倍的概率是26=13.13. [答案 ] 9[ 分析 ] 设暗影部分的面积为S，向正方形内随机扔掷 1 个点，落在暗影部分的概率的预计值是201900=14，则 SS 正方形=14，又正方形的面积是36，则 S=1436=9.14. [ 答案 ] 310[ 分析 ] 该试验全部可能结果为： (1,3,5) ，(1,3,7) ， (1,3,9) ，(1,5,7)，(1,5,9)， (1,7,9) ，(3,5,7) ， (3,5,9) ，(3,7,9)， (5,7,9)共10 种，记事件A= 三根细木棒能搭成三角形，则事件A所含的基本领件为：(3,5,7) ， (3,7,9) ， (5,7,9) 共 3 种，因此P( A)=310.三、解答题15.[ 分析 ] (1) 设购置到许多于 5 件该产品为事件 A ，则P(A)=812=23.(2)设甲、乙两位顾客参加活动，购置该产品数之和为10 为事件 B，甲、乙购置产品数的状况共有1212=144 种，则事件 B 包括 (1,9) ，(2,8)，(3,7) ，(4,6) ，(5,5) ，(6,4) ，(7,3) ，(8,2)，(9,1) ，共 9 种状况，故P(B)=9144=116.16.[ 分析 ] (1) 令 x ，y 分别表示甲、乙出的手指数，则基本领件空间可表示为 S={(x ， y)|xN* ， yN*,15,15}.由于 S 中点的总数为55=25，因此基本领件总数n=25.事件 A 包括的基本领件为(1,5)， (2,4)， (3,3)， (4,2) ，(5,1) ，共 5 个，因此 P(A)=525=15.(2)B 与 C 不是互斥事件，如甲赢一次，乙赢两次的事件中，事件 B 与 C 是同时发生的 .(3)由 (1)知，和为偶数的基本领件数为13，即甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225，因此这类游戏规则不公正.17. [ 分析 ] (1) 由于用分层抽样方法从这 1 000 株树木中随机抽取 100 株，因此应当抽取银杏树1004001 000=40( 株 )，故4+18+x+6=40 ，因此 x=12.(2)记这 4 株树为树1，树 2，树 3，树 4，不如设树 4 就是那株患虫害的树 .设恰幸亏排查到第二株时发现树 4 为事件 A.基本领件空间为 ={( 树 1，树 2)， (树 1，树 3)， (树 1，树 4)，(树2，树 1)， (树 2，树 3)， (树 2，树 4)， (树 3，树 1)，(树3，树2)，( 树 3，树 4)，(树 4，树 1)，(树 4，树 2)， (树 4，树 3)， } 共 12 个基本领件，此中事件 A 中包括的基本领件有 (树 1，树 4)，(树 2，树 4)，(树 3，树 4)，共 3 个，因此恰幸亏排查到第二株时发现患虫害树的概率为P(A)=312=14.18. [ 解] (1) 该试验全部可能的结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) ，(1,5)，(1,6) ，(2,1) ， (2,2) ，(2,3) ，(2,4) ，(2,5) ，(2,6) ，(3,1) ，(3,2)，(3,3) ，(3,4) ，(3,5) ，(3,6)， (4,1)， (4,2)， (4,3)， (4,4)，(4,5)，(4,6) ，(5,1) ，(5,2) ，(5,3) ，(5,4) ，(5,5) ，(5,6) ，(6,1) ，(6,2)，(6,3) ，(6,4)，(6,5) ，(6,6)，基本领件总数为 36，记事件 A= 点数之和是5，则事件 A ，所含的基本领件为： (1,4)，(2,3)，(3,2) ，(4,1)，基本领件总数为 4，因此 P(A)=436=19. (2)要使等式 2a-b=1 成立，则须 a-b=0，即先后扔掷两次向上的点数相等，记事件 B= 向上的点数相等，则事件 B 所含的基本领件为： (1,1)， (2,2)， (3, 3)， (4,4)，(5,5) ，(6,6) ，基本领件总数为 6，因此 P(B)=636=16.19.[ 分析 ] 设甲袋中 1 只白球记为 a1,2 只红球记为 b1，b2;乙袋中 2 只白球记为 a 2，a3,2 只红球记为b3，b4.因此从两袋中各取一球包括基本领件(a1， a2)， (a1， a3)， (a1， b3)，(a1，b4)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，b3)，(b2， b4)，共有 12 种 .(1)设 A 表示从两袋中各取一球，两球颜色同样，因此事件A包括基本领件 (a1，a2)，(a1，a3)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4) ，共有 6 种.因此 P(A)=612=12.(2)设 B 表示从两袋中各取一袋，起码有一个白球，因此事件B 包括基本事件(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b3)，(a1，b4)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b2，a2)，(b2 ， a3)，共有 8 种.因此P(B)=812=23.20. [ 解] 由茎叶图知： 6 天中有 4 天空气质量未超标，有2天空气质量超标.记未超标：的 4 天为 a， b，c，d，超标的两天为e，f，则从6天中抽取 2 天的全部状况为： ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be， bf， cd，ce， cf， de， df ，ef，基本领件数为 15.(1)记 6 天中抽取 2 天，恰有 1 天空气质量超标为事件 A ，可能结果为： ae，af，be， bf， ce，cf ，de， df，基本领件数为8， P(A)=815.察看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与少儿生活靠近的，能理解的察看内容。

(易错题)高中数学必修三第三章《概率》检测题(答案解析)(3)

一、选择题1．在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，则cos x π的值介于22与32之间的概率为（） A ．13B ．14C ．15 D ．162．从[]2,3-中任取一个实数a ，则a 的值使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为（） A ．45B ．35C ．25D ．153．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A ．521B ．1021C ．1121D ．14．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“─”和“﹣﹣”，其中“─”在二进制中记作“1”，“﹣﹣”在二进制中记作“0”．如符号“☱”对应的二进制数011（2）化为十进制的计算如下：011（2）＝0×22+1×21+1×20＝3（10）．若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（） A ．12B ．13C ．23D ．145．已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（） A ．16πB ．4π C ．3224π- D ．14π-6．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A ．12B ．14C ．13D ．167．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（）A ．15B ．25C ．35D ．458．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A ．710B ．35C ．12D ．259．连续掷两次骰子，先后得到的点数,m n 为点(,)P m n 的坐标，那么点P 在圆2217x y +=内部的概率是（）A ．13 B ．25C ．29D ．4910．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则满足()()22lg 2lg 3lg x y x y +=+的概率为（）A ．18B ．14C ．13D ．1211．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对()x y ，，再统计其中x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对()x y ，的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计结果是34m =，那么可以估计π的值为（） A ．237B ．4715C ．1715D ．531712．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为（） A ．13B ．14C ．15D ．16二、填空题13．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为________．14．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8个小时，假定它们在一昼夜的时间段内随机地到达，则两船中有一艘在停靠泊位时、另一艘船必须等待的概率为______.15．一个袋子里装有大小形状完全相同的5个小球，其编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为1，则停止取球；若编号不为1，则将该球放回袋子中．由乙随机取出2个小球后甲再从袋子中剩下的3个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到1号球的概率为__________.16．已知某运动队有男运动员4名，女运动员3名，若现在选派3人外出参加比赛，则选出的3人中男运动员比女运动员人数多的概率是_________.17．若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为____.18．甲、乙二人约定某日早上在某处会面，甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达，乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是________.19．在边长为2的正△ABC所在平面内，以AAB，AC于D，E.若在△ABC内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是________．20．在区间[0,1]中随机地取出两个数，则两数之和大于45的概率是______.三、解答题21．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如下：（1）从空气质量指数属于[0,50]，(50,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率.（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为0,0100,220,100250,1480,250300.xy xx⎧⎪=<⎨⎪<⎩假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为16，13，16，112，112,16,9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；（ii ）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.22．某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售．由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理．根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰．因库房限制每天最多加工6箱．（1）若某天此鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且6箱该种玫瑰被6位不同的顾客购买．现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，求恰好一位是以2000元价格购买的顾客且另一位是以1200元价格购买的顾客的概率：（2）此鲜花批发店统计了100天该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量t （单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）： t /箱 4 5 6 频数30xs①估计接下来的一个月（30天）该种玫瑰每天下午3点前的销售量不少于5箱的天数并说明理由； ②记2log x s b x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，64x ≤，若此批发店每天购进的该种玫瑰箱数为5箱时所获得的平均利润最大，求实数b 的最小值（不考虑其他成本，2log x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为2log x x 的整数部分，例如：[]2.12=，[]0.10=）．23．某校某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（已知本次测试成绩满分100分，且均为不低于50分的整数），请根据图表中的信息解答下列问题.（1）求全班的学生人数及频率分布直方图中分数在[70，80）之间的矩形的高；（2）为了帮助学生提高数学成绩，决定在班里成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[50，60）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为53分，乙同学的成绩为96分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.24．口袋里装有编号为1，2，3，4的四个小球，有放回．．．的抽取两次，记录两次取到小球的编号分别为x ，y .奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个； ②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶. 小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.25．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，可知其概率平分别为1(),1000P A =101(),1000100P B ==501()100020P C ==．（1）求1张奖券中奖的概率；（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．26．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了她们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下： [)[)[)[)[)[]60,75,2;75,90,3;90,105,14;105,120,15;120,135,12;135,150,4;样本频率分布表：（1）在给出的样本频率分布表中，求,,,A B C D 的值；（2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；（3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[]135,150的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[)60,75中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为120分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据余弦函数的图象和性质，求出cos x π之间时，自变量x 的取值范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案. 【详解】cos 22x π≤≤，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 则：1164x ≤≤或1146x -≤≤- 在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数，cos x π的值介于2与2之间的概率： 11214611622P ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==+ 故选：D. 【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象与性质，几何概型，考查了分析问题的能力，属于中档题.2．C解析：C 【分析】先利用导数求出函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增时a 的范围，然后再由几何概型的知识解决问题．【详解】∵()'1cos f x a x =+，要使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增，则1cos 0a x +≥对任意实数x 都成立.∵1cos 1x -≤≤，∴①当0a >时，cos a a x a -≤≤，∴1a -≥-，∴01a <≤；②当0a =时适合；③当0a <时，cos a a x a ≤≤-，∴1a ≥-，∴10a -≤<，综上11a -≤≤，∴函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为25P =.选C ．【点睛】本题主要考查已知函数的单调性求参数的范围及几何概型问题，属中等难度题．3．B解析：B【分析】由从共有15个球中任取2个球，共有215C种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有11510C C种不同的取法，再利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，从共有15个除了颜色外完全相同的球，任取2个球，共有215C种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有11510C C种不同的取法，所以概率为11510215501010521C CC==，故选B.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的应用，其中解答中认真审题，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．D解析：D【分析】分类计算得到从两类符合中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，即可计算得到概率．【详解】根据题意，不同符号可分为三类：第一类：由两个“─”组成，其二进制为：11（2）＝3（10）；第二类：由两个“﹣﹣“组成，其二进制为：00（2）＝0（10）；第三类：由一个“─”和一个“﹣﹣”组成，其二进制为：10（2）＝2（10），01（2）＝1（10），所以从两类符号中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率P14 =．故选：D．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及转化的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于中档试题.5．D解析：D【分析】根据题意，作出满足题意的图像，利用面积测度的几何概型，即得解.【详解】分别以A ，B ，C ，D 四点为圆心，1为半径作圆，由题意满足条件的点在图中的阴影部分224ABCD S =⨯=，214144ABCD S S ππ=-⨯⨯=-阴影由几何测度的古典概型，14ABCD S P S π==-阴影故选：D 【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解．【详解】联立2y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）3123120021()()|33x x dx x x ==-⎰13=．所以P （A ）1()1313OBCAS A S ===正方形．故选：C ．【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．B解析：B 【分析】从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得到所求．【详解】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）不高于40万的有6月，8月，9月，10月，∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都不高于40万包含的基本事件个数246m C ==， ∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都低于40万的概率为62155m P n ===，故选：B 【点睛】本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题．8．B解析：B 【分析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解【详解】解：由题意()13n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯-其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是63105P ==．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题9．C解析：C 【分析】所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，用列举法求得其中满足2217x y +<的点(,)P m n 有8个，由此求得点P 在圆2217x y +=内部的概率.【详解】所有的点(,)P m n 共有6636⨯=个，点P 在圆2217x y +=内部，即点(,)P m n 满足2217x y +<，故满足此条件的点(,)P m n 有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个，故点P 在圆2217x y +=内部的概率是82369=，故选C. 【点睛】该题考查的是有关古典概型概率的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，在解题的过程中，正确找出基本事件的个数以及满足条件的基本事件数是关键.10．B解析：B 【分析】先化简()()22lg 2lg 3lg x yx y +=+，得到x y =或2x y =.利用列举法和古典概型概率计算公式可计算出所求的概率. 【详解】由22320xxy y ，有()()20x y x y --=，得x y =或2x y =，则满足条件的(),x y 为()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6，()2,1，()4,2，()6,3，所求概率为91364p == ．故选B. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查列举法求得古典概型概率有关问题，属于基础题.11．B解析：B 【分析】由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y ≤<⎧⎨≤<⎩，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足221x y +<且0101x y ≤<⎧⎨≤<⎩， 1x y +>，面积为142π-，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．【详解】由题意，120名同学随机写下的实数对()x y ，落在由0101x y <<⎧⎨<<⎩的正方形内，其面积为1．两个数能与1构成钝角三角形应满足2211x y x y +>⎧⎨+<⎩且0101x y <<⎧⎨<<⎩，此为一弓形区域，其面积为142π-．由题意134421120π-=，解得4715π=，故选B ．【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．12．B解析：B【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，利用时间的长度比即可求出所求.【详解】解：由题意知这是一个几何概型，∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，由几何概型公式得到151604 P==,故选B．【点睛】本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题.二、填空题13．【分析】先求出从这8人中随机选出4人的选法总数再求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的不同选法总数再求概率【详解】从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有种不同的选法选出的4人中至少有2人来自同一小解析：27 35【分析】先求出从这8人中随机选出4人的选法总数，再求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的不同选法总数，再求概率.【详解】从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有4870C=种不同的选法.选出的4人中至少有2人来自同一小组分为下列情况：(1)恰好有2人来自同一小组,有1211432248C C C C=种（2）4个人来自2个不同的小组（每个小组2个人）有246C=所以选出的4人中至少有2人来自同一小组有48654+=种选法.则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为54277035 P==故选项为：2735. 【点睛】本题考查组合问题，求古典概率的问题，属于中档题.14．【分析】利用几何概型的面积型概率计算作出边长为24的正方形面积求出部分的面积即可求得答案【详解】设甲乙两艘轮船到达的时间分为则记事件为两船中有一艘在停靠泊位时另一艘船必须等待则即∴故答案为：【点睛】解析：59【分析】利用几何概型的面积型概率计算，作出边长为24的正方形面积，求出||8x y -≤部分的面积，即可求得答案. 【详解】设甲乙两艘轮船到达的时间分为,x y ，则024,024x y ≤≤≤≤，记事件A 为两船中有一艘在停靠泊位时、另一艘船必须等待，则||8x y -≤，即8,8,y x y x ≥-⎧⎨≤+⎩∴2222241625()1()2439S P A S -===-=阴影正方形. 故答案为：59.【点睛】本题考查几何概型，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对概率模型的抽象成面积型.15．【分析】通过分析先计算甲在第一次取得编号为1的概率再计算甲在第二次取得编号为1的概率两者相加即为所求【详解】甲在第一次取得编号为1的概率为；甲在第二次取得编号为1的概率为于是所求概率为故答案为【点睛解析：925【分析】通过分析，先计算甲在第一次取得编号为1的概率，再计算甲在第二次取得编号为 1的概率，两者相加即为所求. 【详解】甲在第一次取得编号为1的概率为15；甲在第二次取得编号为1的概率为 24254145325C C ⨯⨯=，于是所求概率为149+52525=，故答案为925. 【点睛】本题主要考查概率的相关计算，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.16．【分析】将所求事件分为两种情况：男女男这两个事件互斥然后利用古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式可求出所求事件的概率【详解】事件选出的人中男运动员比女运动员人数多包含事件男女和事件男由古典概型解析：2235. 【分析】将所求事件分为两种情况：2男1女，3男，这两个事件互斥，然后利用古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式可求出所求事件的概率. 【详解】事件“选出的3人中男运动员比女运动员人数多”包含事件“2男1女”和事件“3男”，由古典概型概率公式和互斥事件的概率加法公式可知，事件“选出的3人中男运动员比女运动员人数多”的概率为213434372235C C C C +=，故答案为2235. 【点睛】本题考查古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式的应用，解题时要将所求事件进行分类讨论，结合相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】由题意从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议求得基本事件的总数再由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中求得其包含的基本事件的个数即可求解【详解】由题意从甲乙丙丁4位解析：56【分析】由题意，从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议，求得基本事件的总数，再由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中，求得其包含的基本事件的个数，即可求解．【详解】由题意，从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议，则基本事件的总数为246n C==，又由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中，其包含的基本事件的个数为221m C==，所以甲乙两人至少有一人被选中的概率为151166mpn=-=-=．故答案为56．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式，以及对立事件的应用，其中解答中认真审题，合理选择方法，分别求得基本事件的总数和事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．18．【分析】由题意知本题是一个几何概型试验包含的所有事件是Ω＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20}作出事件对应的集合表示的面积写出满足条件的事件是A＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20y﹣x≥5}算解析：38【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，作出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5 }，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得答案．【详解】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为7时x分、7时y分，则10≤x≤20，5≤y≤20，甲至少需等待乙5分钟，即y﹣x≥5，则试验包含的所有区域是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5}，如图：正方形的面积为20×15＝300，阴影部分的面积为12⨯15×152252=，∴甲至少需等待乙5分钟的概率是225323008=，故答案为3 8【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 19．【分析】由三角形ABC的边长为2不难求出三角形ABC的面积又由扇形的半径为也可以求出扇形的面积代入几何概型的计算公式即可求出答案【详解】由题意知在△ABC中BC边上的高AO正好为∴圆与边CB相切如图解析：3π【分析】由三角形ABC的边长为2不难求出三角形ABC的面积，又由扇形的半径为，也可以求出扇形的面积，代入几何概型的计算公式即可求出答案．【详解】由题意知，在△ABC中，BC边上的高AO正好为，∴圆与边CB相切，如图．S扇形＝×××＝，S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.【点睛】本题考查面积型几何概型概率的求法，属基础题.20．【解析】分析：将原问题转化为几何概型的问题然后利用面积型几何概型公式整理计算即可求得最终结果详解：原问题即已知求的概率其中概率空间为如图所示的正方形满足题意的部分为图中的阴影部分所示其中结合面积型几解析：1725【解析】分析：将原问题转化为几何概型的问题，然后利用面积型几何概型公式整理计算即可求得最终结果.详解：原问题即已知01,01x y ≤≤≤≤，求45x y +≥的概率，其中概率空间为如图所示的正方形，满足题意的部分为图中的阴影部分所示，其中4,05E ⎛⎫⎪⎝⎭，40,5F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合面积型几何概型计算公式可得满足题意的概率值为：1441725511125p ⨯⨯=-=⨯.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.三、解答题21．（1）23114（2）（i ）分布列见解析（ii ）这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元，理由见详解. 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式即可容易求得；（2）（i ）求得X 的取值，再根据题意，求得对应取值的概率，则分布列得解；（ii ）根据（i ）中所求，结合题意，求得3个月因空气质量造成经济损失的总额，即可容【详解】（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则213061461433202023(2)(2)(3)114C C C C P P P C C ξξξ==+==+=. （2）（ⅰ）X 的可能取值为0，220，1480，201(0)(0100)1005P X P x ====， 707(220)(100250)10010P X P x ==<==， 101(1480)(250300)10010P X P x ==<==，则X 的分布列为（ii ）由（i ）知1710220148030251010EX =⨯+⨯+⨯=（元），故该企业9月的经济损失的数学期望为309060EX =（元）. 设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为Y 元，则111(0)632P Y ==+=，1111(220)612123P Y ==++=， 1(1480)6P Y ==，所以11102201480320236EY =⨯+⨯+⨯=（元），所以7月与8月因空气质量造成经济损失的总额为320(3131)19840⨯+=（元）.因为19840906028900 2.88+=>万，所以这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元. 【点睛】本题考查古典概型的概率求解，涉及离散型随机变量分布列的求解，涉及数学期望的计算，属综合中档题. 22．（1）815；（2）①21；②4- 【分析】（1）根据古典概型概率公式计算可得；（2）①用100−30可得；②用购进5箱的平均利润＞购进6箱的平均利润，解不等式可得.解：（1）设这6位顾客是A ，B ，C ，D ，E ，F .其中3点以前购买的顾客是A ，B ，C ，D .3点以后购买的顾客是E ，F .从这6为顾客中任选2位有15种选法：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ），其中恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的有8种：（A ，E ），（A ，F ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ）. 根据古典概型的概率公式得815P =；（2）①依题意30100x s ++=， ∴70x s +=，所以估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是3070%21⨯=天；②批发店每天在购进4箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为： 4×2000−4×500×3＝2000元；批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为：3070(420001120055003)(5200055003)2260100100⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=元；批发店每天在购进6箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为：30(420002120065003)(520001120065003)100100x ⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯ (6200065003)4202230100x s s+⨯⨯-⨯⨯=++ 由()2260420223070x x >++-，解得：32.5x >，则32.564x <≤所以270log x x b x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，要求b 的最小值，则求()2log x g x x x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦的最大值，令()2log x f x x =，则()()()'22ln 2ln 1log ln x x f x x x -==，(]32.5,64x ∈ 明显()'0f x >，则()2log xf x x=在(]32.5,64上单调递增，则()2log x g x x x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦在(]32.5,64上单调递增， ()264646464641074log 646g x ⎡⎤⎡⎤∴=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，。

数学必修3第三章概率测试题(附答案)

高中数学必修3第三章概率单元检测一、选择题1．任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是( ). A ．241 B ．61C ．83D ．121 2．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π ，－上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ).A ．31B ．π2C ．21D ．32 3．从集合{1，2，3，4，5}中，选出由3个数组成子集，使得这3个数中任何两个数的和不等于6，则取出这样的子集的概率为( ).A ．103B ．107C ．53D ．52 4．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ).A ．103B ．51C ．101D ．121 5．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( ).A ．12513B ．12516C ．12518D ．12519 6．若在圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( ).A ．21B ．31C ．41D ．161 7．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2，3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是( ). A ．51B ．52C ．53 D ．54 8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O －ABCD (O 为正方体体对角线的交点)内的概率是( ).A ．61B ．31C ．21D ．32 9．抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”．已知P (A )＝P (B )＝61，则“出现1点或2点”的概率为( ). A ．21B ．31C ．61D ．121 二、填空题10．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率为___________．11．有A ，B ，C 三台机床，一个工人一分钟内可照看其中任意两台，在一分钟内A 未被照看的概率是．12．抛掷一枚均匀的骰子(每面分别有1～6点)，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”，则“出现的点数大于2”的概率为．13．已知函数f (x )＝log 2x ， x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，上任取一点x 0，使f (x 0)≥0的概率为．14．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．15．一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ．则a ＋b 能被3整除的概率为．三、解答题16．射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是、、、、．计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数小于8环的概率．17．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．18．同时抛掷两枚相同的骰子(每个面上分别刻有1～6个点数，抛掷后，以向上一面的点数为准)，试计算出现两个点数之和为6点、7点、8点的概率分别是多少19．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．参考答案一、选择题 1．D解析：1位正整数是从1到9共9个数，其中任意两个不同的正整数求和有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=36种情况，和是8的共有3种情况，即（1，7），（2，6），（3，5），所以和是8的概率是121. 2．A解析：在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π－，上随机取一个数x ，即x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π－，时，要使cos x 的值介于0到21之间，需使－2π≤x ≤－3π或3π≤x ≤2π，两区间长度之和为3π，由几何概型知cos x的值介于0到21之间的概率为π3π＝31．故选A.3．D解析：从5个数中选出3个数的选法种数有10种，列举出各种情形后可发现，和等于6的两个数有1和5，2和4两种情况，故选出的3个数中任何两个数的和不等于6的选法有(10－3×2)种，故所求概率为104＝52． 4．A解析：从五个球中任取两个共有10种情形，而取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况：即1＋2＝3，2＋4＝6，1＋5＝6，，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为103． 5．D解析：由于一个三位数，各位数字之和等于9，9是一个奇数，因此这三个数必然是“三个奇数”或“一个奇数两个偶数”．又由于每位数字从1，2，3，4，5中抽取，且允许重复，因此，三个奇数的情况有两种：(1)由1，3，5组成的三位数，共有6种；(2)由三个3组成的三位数，共有1种．一个奇数两个偶数有两种：(1)由1，4，4组成的三位数，共有3种；(2)由3，2，4组成的三位数，共有6种；(3)由5，2，2组成的三位数，共有3种．再将以上各种情况组成的三位数的个数加起来，得到各位数字之和等于9的三位数，共有19种．又知从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数共有53＝125种．因此，所求概率为12519． 6．D解析：所求概率为224π1π⨯⨯ ＝161．7．B解析：区域Ω为区间[-2，3]，子区域A 为区间(1，3]，而两个区间的长度分别为5，2． 8．A解析：所求概率即为四棱锥O －ABCD 与正方体的体积之比． 9．B解析：A ，B 为互斥事件，故采用概率的加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋(B )＝61＋61＝31．二、填空题 10．61．解析：因为电台每小时报时一次，我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间，例如(13∶00，14∶00)，而且取各点的可能性一样，要遇到等待时间短于10分钟，只有当他打开收音机的时间正好处于13∶50至14∶00之间才有可能，相应的概率是6010＝61． 11．31．解析：基本事件有A ，B ；A ，C ；B ，C 共3个，A 未被照看的事件是B ，C ，所以A 未被照看的概率为31.12．32．解析：A ，B 为互斥事件，故采用概率的加法公式得P (A ＋B )＝31，1－P (A ＋B )＝32．13．32．解析：因为f (x )≥0，即log 2 x 0≥0，得x 0≥1，故使f (x )≥0的x 0的区域为[1，2]． 14．34．解析：从长度为2，3，4，5的四条线段中任意取出3条共有4种不同的取法，其中可构成三角形的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)三种，故所求概率P ＝43． 15．13．解析：把一颗骰子抛掷2次，共有36个基本事件．设“a ＋b 能被3整除”为事件A ，有(1，2)，(2，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，共12个．P (A )＝13．三、解答题16．解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A ，B ，C ，D ，E ，则(1)P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝＋＝．所以，射中10环或9环的概率为．(2)P (A ∪B ∪C ∪D )= P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝＋＋＋＝．所以，至少射中7环的概率为． (3)P (D ∪E )＝P (D )＋P (E )＝＋＝．所以，射中环数小于8环的概率为．17．解：这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h 以上或乙比甲早到达2h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2．故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )| y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0，24]，y ∈[0，24]}．A 对应图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形．由几何概型定义，所求概率为23 22P (A )＝的面积的面积ΩA ＝22224212－24211－24⨯⨯+)()(＝5765.506＝ 34．18．解：将两只骰子编号为1号、2号，同时抛掷，则可能出现的情况有6×6＝36种，即n ＝36．出现6点的情况有(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)．∴m 1＝5， ∴概率为P 1＝n m 1＝365．出现7点的情况有(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)． ∴m 2＝6， ∴概率为P 2＝n m 2＝366＝61．出现8点的情况有(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)． ∴m 3＝5， ∴概率为P 3＝n m 3＝365． 19．解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)。

高中数学必修三第三章《概率》单元测试卷及答案

高中数学必修三第三章《概率》单元测试卷及答案高中数学必修三第三章《概率》单元测试卷及答案（2套）一、选择题1.下列说法正确的是（）A。

甲、乙二人比赛，甲胜的概率为3/5，则比赛5场，甲胜3场B。

某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C。

随机试验的频率与概率相等D。

天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%2.某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是（）A。

选出1人是班长的概率为1/40B。

选出1人是男生的概率是1/25C。

选出1人是女生的概率是1/15D。

在女生中选出1人是班长的概率是03.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A。

1/2B。

1/3C。

1/4D。

1/84.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、XXX四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A。

对立事件B。

不可能事件C。

互斥但不是对立事件D。

以上答案都不对5.在2010年广州亚运会火炬传递活动中，在编号为1，2，3，4，5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（）A。

1/10B。

3/10C。

7/10D。

9/106.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？（）A。

①②B。

①③C。

②③D。

①②③7.矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为（）A。

16B。

16.32C。

16.34D。

15.9688.在区间(15，25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17<a<20的概率是（）A。

3/10B。

数学高二必修三第三章概率单元测试题

数学高二必修三第三章概率单元测试题数学在迷信开展和现代生活消费中的运用十分普遍，以下是查字典数学网为大家整理的数学高二必修三第三章概率单元测试题，希望可以处置您所遇到的相关效果，加油，查字典数学网不时陪伴您。

一、选择题1.足球竞赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决议竞赛双方的场地与首先发球者，其主要缘由是( ).A.让竞赛更富无情味B.让竞赛更具有奥秘颜色C.表达竞赛的公允性 D.让竞赛更有应战性2.小张掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面向上，那么他第10次掷硬币时，出现正面向上的概率是( ). A.0 B.1 C.0.5D.不能确定3.关于频率与概率的关系，以下说法正确的选项是( ). A.频率等于概率B.当实验次数很多时，频率会动摇在概率左近C.当实验次数很多时，概率会动摇在频率左近D.实验失掉的频率与概率不能够相等4.以下说法正确的选项是( ).A.一颗质地平均的骰子已延续抛掷了2021次，其中，抛掷出5点的次数最少，那么第2021次一定抛掷出5点B.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖C.天气预告说明天下雨的概率是50%.所以明天将有一半时间在下雨D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等5.以下说法正确的选项是( ).A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B.从我们班上查找一名未完成作业的先生的概率为0表示我们班上一切的先生都完成了作业C.一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，失掉红球的概率为1%，所以从袋中取至少100次后肯定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)D.抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50%，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面7.下面4个说法中，正确的个数为( ). (1)从袋中取出一只红球的概率是99%，这句话的意思是一定会取出一只红球，由于概率曾经很大(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差异，由于小张对取出一只红球没有掌握，所以小张说：从袋中取出一只红球的概率是50% (3)小李说，这次考试我得90分以上的概率是200% (4)从盒中取出一只红球的概率是0，这句话是说取出一只红球的能够性很小 A.3 B.2 C.1 D.0 10.以下说法正确的选项是( ).A.能够性很小的事情在一次实验中一定不会发作B.能够性很小的事情在一次实验中一定发作C.能够性很小的事情在一次实验中有能够发作D.不能够事情在一次实验中也能够发作二、填空题8.在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其他都相反的4个小球，其中红球3个、白球1个.搅匀后，从中同时摸出2个小球，请你写出这个实验中的一个能够事情：_________________.9.掷一枚平均的骰子，2点向上的概率是______，7点向上的概率是______.10.设盒子中有8个小球，其中红球3个，黄球4个，蓝球1个，假定从中随机地取出1个球，记事情A为取出的是红球，事情B为取出的是黄球，事情C为取出的是蓝球，那么P(A)=______，P(B)=______，P(C)=______.11.有大小、外形、颜色完全相反的5个乒乓球，每个球上区分标有数字1，2，3，4，5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，假设不放回地从中随机延续抽取两个，那么这两个球上的数字之和为偶数的概率是______.12.下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为______.13.从下面的6张牌中，一次恣意抽取两张，那么其点数和是奇数的概率为______.14.在一个袋子中装有除颜色外其他均相反的2个红球和3个白球，从中恣意摸出一个球，那么摸到红球的概率是______.三、解答题15.某出版社对其发行的杂志的质量停止了5次读者调查询卷，结果如下：(2)读者对该杂志满意的概率约是多少? (3)从中你能说明频率与概率的关系吗?16.四张质地相反的卡片如下图.将卡片洗匀后，反面朝上放置在桌面上.(1)求随机抽取一张卡片，恰恰失掉数字2的概率;(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规那么见信息图.你以为这个游戏公允吗?请用列表法或画树形图法说明理由.17.在一个不透明的盒子里装有只要颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子外面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不时重复上述进程，下表是实验中的一组统计数据：(2)假设摸一次，你到白球的概率P(白球)=______; (3)试预算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只?最后，希望小编整理的数学高二必修三第三章概率单元测试题对您有所协助，祝同窗们学习提高。

(易错题)高中数学必修三第三章《概率》测试(有答案解析)(2)

一、选择题1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin2sin52θθ⎛⎫++=⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（）.A．14B．15C．25D．352．中国是发现､研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为12，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（）A．125B．19C．15D．133．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（）A．13B．49C．59D．234．如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（）A．35B．45C．1 D．655．如图，正方形ABNH、DEFM的面积相等，23CN NG AB==，向多边形ABCDEFGH内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（）A．1 2B．3 4C．2 7D．3 86．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x4681012y12356由表中数据求得y 关于x 的回归方程为ˆˆ0.65yx a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（） A ．25B ．35C ．34D ．127．设向量()()1,,a x y x y R =-∈，若1a ≤，则y x ≥的概率为（） A ．14B ．1142π- C ．114π-D ．3142π+ 8．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A ．12B ．14C ．13D ．169．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29210．在一个棱长为3cm 的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（） A ．49B ．827C ．29D ．12711．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A ．14B ．316C ．38D ．71612．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为（） A ．13B ．14C ．15D ．16二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 488 932 812 458 989 431 257 390 024 556 734 113 537 569 683 907 966 191 925 271据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.15．如图，C 是以AB 为直径的半圆周上一点，已知在半圆内任取一点，该点恰好在ABC 内部的概率为1π，则ABC 的较小的内角为________.16．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A 的概率分别为56、78、34，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A 的概率为____17．设每门高射炮命中飞机的概率为0.06，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一敌机来犯，则需要______门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它．18．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，E 为正方体内任意一点，则AE 的长度大于3的概率等于_________.19．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是________ .20．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.三、解答题21．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求：（1）从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？22．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15 ，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？23．某校疫情期间“停课不停学”，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网络模拟考试.全年级共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）.已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a，b的值；并估计抽取的100名同学数学成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数恰在同一组内的概率.24．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为00x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.25．班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小相同的红球3个，黄球2个，且这5个球外别标有数字1、2、3、4、5.有如下两种方案可供选择：方案一：一次性．．．抽取两球，若颜色相同，则获得奖品；方案二：依次有放回．．．地抽取两球，若数字之和大于5，则获得奖品. （1）写出按方案一抽奖的试验的所有基本事件；（2）哪种方案获得奖品的可能性更大？26．为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下功夫，在精准扶贫上见实效.根据当地气候特点大力发展中医药产业，药用昆虫的使用相应愈来愈多，每年春暖以后到寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采取各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数y （单位：个）与一定范围内的温度x （单位：℃）有关，于是科研人员在3月份的31天中随机选取了5天进行研究，现收集了该种药物昆虫的5组观察数据如表：（1）从这5天中任选2天，记这2天药用昆虫的产卵数分别为m ，n ，求“事件m ，n 均不小于24”的概率？（2）科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.①若选取的是3月2日与3月30日这2组数据，请根据3月7日、15日和22日这三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程？②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？附公式：ˆybx a =+，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可．【详解】由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=，即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ，较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=，由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==．故选：B ．【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．解析：C 【分析】由已知的线段的长度比，得出两正方形的面积，运用概率公式可得选项. 【详解】设直角三角形的两直角边分别为1和2所以小正方形的边长为211-=，面积为1，大正方形的面积为25=. 所以飞镖落在小正方形内的概率为15. 故选：C. 【点睛】本题考查几何概型，关键在于由长度的关系得出大正方形和小正方形的面积，属于中档题.3．C解析：C 【分析】列举法列举出所有可能的情况，利用古典概型的计算方法计算即可. 【详解】解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为59，故选：C. 【点睛】本题考查概率的实际应用问题，考查古典概型的计算方法，同时考查了学生的阅读能力和文化素养，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题可知,正方形的面积为=22=4S ⨯正,设这个月牙图案的面积为S , 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为150=4500S S P S ==正,解得65S =. 故选:D 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.解析：C 【分析】由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，则阴影部分的面积为224⨯=，多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为42147=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.6．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-，则0.65.8ˆ1yx =-，故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，故所求概率是25p =，故选：A ．【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．7．B解析：B 【分析】利用复数模的公式可得点(),x y 在以()1,0为圆心，以1为半径的圆上及圆的内部，结合y x ≥表示的是图中直线上方且在圆内的弓形，求出圆的面积与弓形的面积利用几何概型可得结果. 【详解】因为()()1,,a x y x y R =-∈，且1a ≤，所以()2211x y -+≤，∴点(),x y 在以()1,0为圆心，以1为半径的圆上及圆的内部，y x ≥表示的是图中直线上方且在圆内的弓形，而圆的面积为S π=，11=42S π-弓， y x ∴≥的概率为111142=42S P S πππ-==-弓，故选：B. 【点睛】本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A 的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．8．C解析：C 【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解．【详解】联立2y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A）3123120021)()|33x dx x x ==-⎰13=．所以P （A ）1()1313OBCAS A S ===正方形．故选：C ．【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6，所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.10．C解析：C 【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为62279=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答根据几何体的结构特征，得出基本事件的总数和所求事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11．B解析：B 【分析】设正方形的边长为2，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为42=，对应每个小等腰三角形的面积1124S ==，则阴影部分的面积之和为13344⨯=，正方形的面积为4，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为344631=，故选：B ．【点睛】本题考查面积型几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于计算出所求事件对应区域的面积和总区域的面积，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B 【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，利用时间的长度比即可求出所求. 【详解】解：由题意知这是一个几何概型， ∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，由几何概型公式得到151604P ==, 故选B ．【点睛】本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题.二、填空题13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何解析：1 3【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为311221 (1()|33S dx x x=-=-=⎰，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113 p==⨯．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．3【分析】在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的可以通过列举得到共6组随机数根据概率公式得到结果【详解】由题意知模拟三天的下雨情况经随机模拟产生了20组随机数在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨解析：3【分析】在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的可以通过列举得到共6组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟三天的下雨情况，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：932、812、024、734、191、271，共6组随机数，∴所求概率为60.320P==．故答案为：0.3【点睛】本题主要考查了模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用，属于中档题．15．【分析】由几何概型中的面积型圆的面积公式三角形的面积公式及直角三角形的射影定理可得：设则又不妨设即所以得：所以所以得解【详解】过作设则由在半圆内任取一点该点恰好在内部的概率为则则即又不妨设即所以得：解析：12π【分析】由几何概型中的面积型、圆的面积公式，三角形的面积公式及直角三角形的射影定理可得：设2AB a =，则22a S π=半圆，||2aCD =，又2||||||CD AD BD =⨯，不妨设||||AD BD <，即CBA CAB ∠<∠，所以得：23||BD a +=，所以||tan 23||CD CBA BD ∠==-，所以12CBA π∠=，得解．【详解】过C 作CD AB ⊥，设2AB a =，则22a S π=半圆，由在半圆内任取一点，该点恰好在ABC ∆内部的概率为1π，则212ABC S a ∆=，则211||||22AB CD a =，即||2aCD =，又2||||||CD AD BD =⨯，不妨设||||AD BD <，即CBA CAB ∠<∠，所以得：23||BD +=，所以||tan 23||CD CBA BD ∠== 所以12CBA π∠=，故答案为：12π．【点睛】本题考查了几何概型中的面积型、圆的面积公式，三角形的面积公式及直角三角形的射影定理，属中档题．16．【分析】先求对立事件概率：三门科目考试成绩都不是A 再根据对立事件概率关系求结果【详解】这位考生三门科目考试成绩都不是A 的概率为所以这位考生至少得1个A 的概率为故答案为：【点睛】本题考查利用对立事件求解析：191192【分析】先求对立事件概率：三门科目考试成绩都不是A ，再根据对立事件概率关系求结果. 【详解】这位考生三门科目考试成绩都不是A 的概率为5731(1)(1)(1)684192---=，所以这位考生至少得1个A 的概率为11911192192-= 故答案为：191192【点睛】本题考查利用对立事件求概率，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【分析】设需要门高射炮由题意得出解出的取值范围可得出正整数的最小值【详解】设需要门高射炮则命不中的概率为由题意得出得解得而因此至少需要门高射炮故答案为：【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用在涉解析：75【分析】设需要n 门高射炮，由题意得出()110.060.99n--≥，解出n 的取值范围，可得出正整数n 的最小值.【详解】设需要n 门高射炮，则命不中的概率为()10.06n-，由题意得出10.940.99n-≥，得0.940.01n≤，解得0.942log 0.01lg 0.94n ≥=-，而274.43lg 0.94-≈，因此，至少需要75门高射炮. 故答案为：75. 【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用，在涉及“至少”问题时，可以利用对立事件的概率公式来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.18．【解析】【分析】先求出满足题意的体积运用几何概型求出结果【详解】由题意可知总的基本事件为正方体内的点可用其体积满足的基本事件为为球心3为半径的求内部在正方体中的部分其体积为故则的长度大于3的概率【点解析：16π-【解析】【分析】先求出满足题意的体积，运用几何概型求出结果【详解】由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积3327=，满足||3AE 的基本事件为A 为球心3为半径的求内部在正方体中的部分，其体积为31493832V ππ=⨯⨯=，故则AE 的长度大于3的概率9211276P ππ=-=-．【点睛】本题考查了几何概型，读懂题意并计算出结果，较为基础19．98【解析】设甲闹钟准时响为事件A 乙闹钟准时响为事件B 则两个闹钟没有一个准时响为事件事件A 与事件B 相互独立得两个闹钟至少有一个准时响与事件对立故两个闹钟至少有一个准时响的概率为解析：98 【解析】设甲闹钟准时响为事件A ，乙闹钟准时响为事件B ，则两个闹钟没有一个准时响为事件，事件A 与事件B 相互独立，得，，．两个闹钟至少有一个准时响与事件对立，故两个闹钟至少有一个准时响的概率为．20．【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目表示从三种组合中选一个表示剩下的解析：23【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有21133218C C C ⨯⨯=种,其中23C 表示3个同学中选2个同学选择的项目，13C 表示从三种组合中选一个，12C 表示剩下的一个同学有2中选择,故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是182273=.考点：古典概型及其概率计算公式．三、解答题21．（1）黑球､黄球､绿球的概率分别是13，29，49；（2）1318.【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件A，B，C，由已知列出()()()P A P B P C、、的方程组可得答案；（2）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案.【详解】（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知，得()()()()()()()()()()59231 P A B P A P BP B C P B P CP A B C P A P B P C⎧+=+=⎪⎪⎪+=+=⎨⎪++=++=⎪⎪⎩，解得() () ()132949P AP BP C⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率分别是13，29，49.（2）由（1）知黑球､黄球､绿球个数分别为3，2，4，从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，于是，两个球同色的概率为3165 3618 ++=，则两个球颜色不相同的概率是513 11818 -=.【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概率，一般地，如果事件A1、A2、…、A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1、A2、…、A n中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).22．乙商场中奖的可能性大.【解析】试题分析：分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到．试题如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积2R π，阴影部分的面积为224153606R R ππ⨯=，则在甲商场中奖的概率为212166R P R ππ==；如果顾客去乙商场，记3个白球为1a ，2a ，3a ，3个红球为1b ，2b ，3b ，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()33,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共15种，摸到的是2个红球有()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共3种，则在乙商场中奖的概率为231155P ==，又12p p <，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大. 23．（1）a ＝0.020，b ＝0.026，112；（2）715. 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为1可得+a b ，再由人数差可求得,a b ；（2）计算出分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a 1，a 2，a 3，a 4表示，在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b 1，b 2表示，用列举法写出任取2人所有基本事件，并得出这2名同学的分数恰在同一组内的基本事件，计数后可计算出概率．【详解】解：（1）依题意a +b ＝0.046，100×10×（b ﹣a ）＝6，解得a ＝0.020，b ＝0.026，平均数为：750.02850.08950.141050.21150.261250.151350.11450.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 整理得平均数为112（2）设“抽取的2名同学的分数恰在同一组内”为事件A由题意，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a 1，a 2，a 3，a 4表示，在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b 1，b 2表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4）（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，a 4），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，a 4），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（a 4，b 1），（a 4，b 2），（b 1，b 2）共15种，。

第三章概率的进一步认识单元测试(2)及参考答案

第三章概率的进一步认识单元测试（2）姓名：得分：一、选择题(每小题4分，共40分)1.将一枚质地均匀的硬币抛掷两次，则两次都是正面向上的概率为( )A.12B.13C.23D.142．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④.随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是( )A.116B.316C.14D.5163．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( )A.12B.14C.16D.1124．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )A．12 B．15 C．18 D．215．用下面左图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是( )A.14B.34C.13D.126．如上右图，直线a∥b，直线c与直线a、b都相交，从所标识的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5这五个角中任意选取两个角，则所选取的两个角互为补角的概率是( )A.35B.25C.15D.237．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，那么三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是( )A.16B.38C.58D.238．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( )A.49B.13C.16D.199．学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是( )A.19B.16C.13D.1210．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是( )A.16B.13C.12D.23二、填空题(每小题4分，共20分)11．学校要从小明、小红与小华三人中随机选取两人作为升旗手，则小明和小红同时入选的概率是________．12．小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球共3 000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7附近波动，据此可以估计黑球的个数约是________．13．从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是________．14．“服务社会，提升自我”某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的5名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________．15．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于________．三、解答题(每题15分，共60分)16．一只不透明的袋子中，装有分别标有数字1，2，3的三个球，这些球除所标的数字外都相同，搅匀后从中摸出1个球，记录下数字后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个球，记录下数字，请用列表方法，求出两次摸出的球上的数字之和为偶数的概率．17.“石头、剪子、布”是小朋友都熟悉的游戏，游戏时小聪、小明两人同时做“石头、剪子、布”三种手势中的一种，规定“石头”(记为A)胜“剪子”，“剪子”(记为B)胜“布”，“布”(记为C)胜“石头”，同种手势不分胜负，继续比赛．(1)请用树状图或表格列举出同一回合中所有可能的对阵情况；(2)假定小聪、小明两人每次都等可能地做这三种手势，那么同一回合中两人“不谋而合”(即同种手势)的概率是多少？18．为决定谁获得仅有的一张电影票，甲和乙设计了如下游戏：在三张完全相同的卡片上，分别写上字母A，B，B，背面朝上，每次活动洗均匀．甲说：我随机抽取一张，若抽到字母B，电影票归我；乙说：我随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，若两次抽取的字母相同电影票归我．(1)求甲获得电影票的概率；(2)求乙获得电影票的概率；(3)此游戏对谁有利？19.某中学要在全校学生中举办“中国梦·我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛．九年级(1)班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛(胜者参赛)．规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：(1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？(2)该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由．(骰子：六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的小正方体)参考答案1．D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 8.D 9.C 10．C 11.13 12.2 100个 13.12 14.35 15.58 16.∴两次摸出的球上的数字之和为偶数的概率为59.17.(1)略．(2)P(不谋而合)＝13.18.(1)P(甲获得电影票)＝23.(2)可能出现的结果如下(列表法)：共有9种等可能结果，其中两次抽取字母相同的结果有5种．∴P(乙获得电影票)＝59.(3) ∵23＞59， ∴此游戏对甲更有利．19.(1)P ＝36＝12.3) 6)(3，4) ∴P(小亮胜)＝936＝14，P(小丽胜)＝936＝14.∴该游戏是公平的．。

(易错题)高中数学必修三第三章《概率》检测卷(含答案解析)(2)

一、选择题1．从[]2,3-中任取一个实数a ，则a 的值使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为（） A ．45B ．35C ．25 D ．152．从单词“book ”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（） A ．13B ．12C ．23D ．343．如图所示，已知圆1C 和2C 的半径都为2，且1223C C =，若在圆1C 或2C 中任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A ．233533ππ++B ．233533ππ-+C ．2331033ππ++D ．2331033ππ-+4．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（）A ．13B ．49C ．59D ．235．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．496．已知点A是圆M的圆周上一定点，若在圆M的圆周上的其他位置任取一点B，连接AB，则“线段AB的长度大于圆M的半径”的概率约为（）A．12B．16C．13D．237．已知三棱锥P﹣ABC的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（）A．815B．715C．45D．358．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3 为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )A．710B．35C．12D．259．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A．1636B．1736C．12D．193610．甲射击时命中目标的概率为0.75，乙射击时命中目标的概率为23，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（）A．12B．1C．56D．111211．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（）A ．123p p p >>B ．123p p p =+C ．213p p p >>D ．123p p p =>12．在编号分别为(0,1,2,,1)i i n =⋅⋅⋅-的n 名同学中挑选一人参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数之和除以n 所得的余数如果恰好为i ，则选编号为i 的同学．下列哪种情况是不公平的挑选方法（） A ．2n =B ．3n =C ．4n =D ．6n =二、填空题13．现有五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，每个盒子只能放一个小球，则D 、E 至少有一个在盒子中的概率为______．14．采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,若个体a 前两次未被抽到,则第三次被抽到的概率为_____.15．十六个图钉组成如图所示的四行四列的方阵，从中任取三个图钉，则至少有两个位于同行或同列的概率为______.16．有五条线段,长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为___________．17．若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为____.18．如图，圆柱12O O 内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，则从球O 内任取一点，此点取自圆柱12O O 的概率为______；19．在[0,1]上随机取两个实数,a b ，则,a b 满足不等式221a b +≤的概率为________． 20．从一堆产品(正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列说法：①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件②“至少有1件正品”和“全是次品”是对立事件③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是对立事件④“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件其中正确的有______(填序号)．三、解答题21．某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；（2）若打分的平均值不低于75分视为满意，判断该校学生对食堂服务是否满意？并说明理由(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)；（3）若采用分层抽样的方法，从打分在[40,60)的受访学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人至少有一人评分在[40,50)的概率.22．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15 ，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？23．党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，方案一：每满80元可立减8元；方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.24．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有Ⅳ人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)等七组，其频率分布直方图如图所示，已知[25,30)这组的参加者是6人．（1）已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率；（2）组织者从[45,55)这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为X，求X的分布列和均值．25．某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析.将200名学生编号为001，002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩（单位：分）绘成折线图如下：（1）若第二段抽取的学生编号是026，写出第六段抽取的学生编号；（2）在这两科成绩差低于20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率；（3）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出至少两条统计结论. 26．某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中对该事件关注的女性占23，而男性有10人表示对该事件没有关注.关注没关注合计男 55 女合计（1）根据以上数据补全22⨯列联表；（2）能否有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？（3）已知在被调查的女性中有10名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这10名女大学生中随机抽取3人，求至少有2人对此事关注的概率. 附表：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.0100k2.072 2.7063.841 5.0246.635()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先利用导数求出函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增时a 的范围，然后再由几何概型的知识解决问题．【详解】∵()'1cos f x a x =+，要使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增，则1cos 0a x +≥对任意实数x 都成立.∵1cos 1x -≤≤，∴①当0a >时，cos a a x a -≤≤，∴1a -≥-，∴01a <≤；②当0a =时适合；③当0a <时，cos a a x a ≤≤-，∴1a ≥-，∴10a -≤<，综上11a -≤≤，∴函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为25P =.选C ．【点睛】本题主要考查已知函数的单调性求参数的范围及几何概型问题，属中等难度题．2．D解析：D 【分析】从四个字母中取2个，列举出所有的基本事件，即得所求的概率. 【详解】从四个字母中取2个，所有的基本事件为：,,,bo bk oo ok ，共有4个；其中“取到的2个字母不相同”含有,,bo bk ok 3个，故所求概率为34. 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.3．D解析：D 【分析】设两圆交于点,A B ，连接11,AC BC ,12,AB C C ，设12,AB C C 交于点D ，由已知的数据可得1AC B △为等边三角形，从而可求出阴影部分的面积，进而求出总面积，即可求出概率. 【详解】设两圆交于点,A B ，连接11,AC BC ,12,AB C C ，设12,AB C C 交于点D ，则112132C D C C ==,190ADC ∠=︒，所以1113cos C D AC D AC ∠==，所以130AC D ∠=︒，则160AC B ∠=︒, 所以1AC B △为等边三角形，所以604342(4)233603S ππ⨯=-⨯=-阴，图形的总面积42024(23)2333S πππ=⨯--=+总，所以求概率为4232333201033233ππππ--=++，故选：D【点睛】此题考查几何概型概率的求法，关键是求阴影部分的面积，属于中档题.4．C解析：C 【分析】列举法列举出所有可能的情况，利用古典概型的计算方法计算即可. 【详解】解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为59，故选：C. 【点睛】本题考查概率的实际应用问题，考查古典概型的计算方法，同时考查了学生的阅读能力和文化素养，属于中档题.5．C解析：C 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3，其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=，巧板④的正方形与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==，故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .6．D解析：D 【分析】求出B 点位置所有基本事件的弧长，再求出满足条件AB 长度大于圆半径的基本事件对应的弧长，根据几何概型概率的计算公式，即可得到答案. 【详解】设圆M 的半径为R ，B 为圆上的任意一点，则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的圆周长2R π，其中满足条件AB 长度大于圆半径长对应的弧长为223R π⋅，则“线段AB 的长度大于圆M 的半径”的概率约为222323RR ππ⋅=. 故选:D 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，其中根据条件计算出所有基本事件的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量是解题的关键，属于中档题.7．B解析：B 【分析】从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=，由此能求出这两条棱长度相等的概率．【详解】解：三棱锥P ABC -的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=，∴这两条棱长度相等的概率715m p n ==．故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．B解析：B 【分析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解【详解】解：由题意()13n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯-其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是63105P ==．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题9．C解析：C 【分析】由题意从(1)班、(2)班的样本中各取一份，(2)班成绩更好即(2)班成绩比(1)班成绩高，用列举法列出所有可能结果，由此计算出概率．【详解】根据题意，两次取出的成绩一共有36种情况；分别为()67,68、()67,72、()67,73、()67,85、()67,89、()67,93 ()76,68、()76,72、()76,73、()76,85、()76,89、()76,93 ()78,68、()78,72、()78,73、()78,85、()78,89、()78,93 ()82,68、()82,72、()82,73、()82,85、()82,89、()82,93 ()85,68、()85,72、()85,73、()85,85、()85,89、()85,93 ()92,68、()92,72、()92,73、()92,85、()92,89、()92,93满足条件的有18种，故183126p ==，故选C本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．D解析：D 【分析】记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独立事件的概率乘法公式计算出事件A 的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件A 的概率. 【详解】记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，则事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标，由独立事件的概率乘法公式得()321114312P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()111111212P A P A ∴=-=-=，故选D. 【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题.11．D解析：D 【解析】【分析】设OA ＝2，则AB = 【详解】设OA ＝2，则AB =12222AOBS=⨯⨯=，以AB 中点为圆心的半圆的面积为212ππ⨯=，以O 为圆心的大圆面积的四分之一为2124ππ⨯=，以AB 为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣2，黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣2）＝2，图Ⅲ部分的面积为π﹣2．设整个图形的面积为S ，则p 12S =，p 22S =，p 32S π-=． ∴p 1＝p 2＞p 3，【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．12．C解析：C 【分析】首先求出两枚骰子的点数之和可能的取值对应的概率，再分别讨论四个选项中n 的取值对应的余数的概率，若每一个余数的概率都相等则是公平的，若不相等则不公平，即可得正确选项. 【详解】由题意知两枚骰子的点数之和为X ，则X 可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，()1236P X ==， ()2336P X ==，()3436P X ==，()4536P X ==，()5636P X ==()6736P X ==，()5836P X ==，()4936P X ==，()31036P X ==，()21136P X ==，()11236P X ==，对于选项A ：2n =时，0,1,i = ()1351023636362P i ⎛⎫==++⨯= ⎪⎝⎭，()246421136363636362P i ==++++=，所以2n =是公平的，故选项A 不正确；对于选项B ：3n =时，0,1,2i =，()254110363636363P i ==+++=，()363113636363P i ==++=， ()145212363636363P i ==+++=，所以3n =是公平的，故选项B 不正确；对于选项C ：4n =时，0,1,2,3i = ()351103636364P i ==++=，()442136369P i ==+=，()153123636364P i ==++=，()2625336363618P i ==++= 因为概率不相等，所以4n =不公平，故选项C 正确；对于选项D ：6n =时，0,1,2,3,4,5i = ()511036366P i ==+=，()611366P i ===，()151236366P i ==+=， ()241336366P i ==+=，()331436366P i ==+=，()421536366P i ==+=，所以6n =是公平的，故选项D 不正确，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是理解题意，对于所给n 的值的每一个余数出现的概率相等即为公平，不相等即为不公平.二、填空题13．【分析】计算出都不在盒子中的概率利用对立事件的概率公式可求得结果【详解】记事件从五个分别标有的小球随机取出三个小球放进三个盒子则至少有一个在盒子中则事件从五个分别标有的小球随机取出三个小球放进三个盒解析：910【分析】计算出D 、E 都不在盒子中的概率，利用对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】记事件:M 从五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，则D 、E 至少有一个在盒子中，则事件:M 从五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，则D 、E 都不在盒子中，所有的基本事件有：ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BDE 、CDE ，共10种，事件M 所包含的基本事件为：ABC ，共1种，故()()19111010P M P M =-=-=. 故答案为：910. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）数状图法；（4）排列组合数的应用.14．【详解】第一-次没有抽到且第二次没有抽到第三次被抽到的概率是解析：1 10【详解】第一-次没有抽到且第二次没有抽到第三次被抽到的概率是15．【分析】先求出从16个图钉中任取3个的所有方法数再求出三个图钉分别位于三行或三列的情况的数量利用排除法即得解【详解】从16个图钉中任取3个共有种取法；三个图钉分别位于三行或三列的情况的数量：种至少有解析：29 35【分析】先求出从16个图钉中任取3个的所有方法数，再求出三个图钉分别位于三行或三列的情况的数量，利用排除法，即得解.【详解】从16个图钉中任取3个共有316560C=种取法；三个图钉分别位于三行或三列的情况的数量：34432=96C⨯⨯⨯种至少有两个位于同行或者同列的情况的数量：56096464-=种.所以至少有两个位于同行或同列的概率为29 35.故答案为：29 35【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.16．【解析】【分析】列出所有的基本事件并找出事件所取三条线段能构成一个三角形所包含的基本事件再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率【详解】所有的基本事件有：共个其中事件所取三条线段能构成一个三角形解析：3 10【解析】【分析】列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率．【详解】所有的基本事件有：()2,3,5、()2,3,7、()2,3,9、()2,5,7、()2,5,9、()2,7,9、()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、()5,7,9，共3个，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为310，故答案为310．【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题．17．【分析】由题意从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议求得基本事件的总数再由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中求得其包含的基本事件的个数即可求解【详解】由题意从甲乙丙丁4位解析：56【分析】由题意，从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议，求得基本事件的总数，再由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中，求得其包含的基本事件的个数，即可求解．【详解】由题意，从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议，则基本事件的总数为246n C ==，又由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中，其包含的基本事件的个数为221m C ==，所以甲乙两人至少有一人被选中的概率为151166m p n =-=-=．故答案为56．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式，以及对立事件的应用，其中解答中认真审题，合理选择方法，分别求得基本事件的总数和事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．18．【分析】设出球的半径利用勾股定理求得圆柱的底面半径分别计算圆柱和球的体积然后利用几何概型的概率计算公式求得所求的概率【详解】设球的半径为依题意可知圆柱底面半径故圆柱的体积为而球的体积为故所求概率为【解析：9 16【分析】设出球的半径，利用勾股定理求得圆柱的底面半径，分别计算圆柱和球的体积，然后利用几何概型的概率计算公式，求得所求的概率.【详解】设球的半径为r，依题意可知，圆柱底面半径22132r r r r⎛⎫=-=⎪⎝⎭'，故圆柱的体积为22333πππ44r r r r r⋅=⋅⋅='，而球的体积为34π3r，故所求概率为333π944π163rr=.【点睛】本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算长度. 19．【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率【详解】根据题意画出不等式组表示的平面区域如图所示在上随机取两个实数则满足不等式的概率为故答案为【点睛】本题主解析：4π【解析】【分析】画出不等式组2201011aba b≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率.【详解】根据题意，画出不等式组2201011aba b≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，如图所示，在[]0,1上随机取两个实数,a b，则,a b满足不等式221a b+≤的概率为2211414P ππ⨯==，故答案为4π. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.20．【分析】运用不能同时发生的两个事件为互斥事件如果两个事件为互斥事件且其中必有一个发生即为对立事件对选项一一判断即可得到正确结论【详解】恰好有1件次品和恰好2件都是次品不能同时发生是互斥事件故正确；至解析：①②④【分析】运用不能同时发生的两个事件为互斥事件，如果两个事件为互斥事件，且其中必有一个发生，即为对立事件，对选项一一判断，即可得到正确结论．【详解】①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”不能同时发生，是互斥事件，故①正确；②“至少有1件正品”和“全是次品”，不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，故②正确；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”存在恰有一件正品和一件次品，不是互斥事件但不是对立事件，故③不正确；④“至少有1件次品”和“全是正品”不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，④正确．故答案为①②④．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是互斥事件和对立事件的判断，考查判断和分析能力，属于基础题．三、解答题21．（1）0.006a =，不低于70分的人数为680人；（2）该校学生对食堂服务满意，理由见解析；（3）710. 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率的和为1可计算出a 值，求出不低于70分的频率可估计出人数；（2）取各组数据中点值为估计值乘以频率相加可得平均值，从而得结论；（3）由频率得抽取的5人中在[40,50)和[50,60)上的人数，分别编号后用列举法写出所有基本事件，并得出两人都在[50,60)内的可能结果从而结合对立事件的概率公式可得结论．【详解】解：由频率分布直方图可知，(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =.该校学生满意度打分不低于70分的人数为1000(0.280.220.18)680⨯++=人. （2）打分平均值为：450.04550.06650.22750.28850.22950.1876.275x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>. 所以该校学生对食堂服务满意.（3）由频率分布直方图可知：打分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06，抽取的5人采用分层抽样的方法，在[40,50)内的人数为2人，在[50,60)内的人数为3人.设[40,50)内的2人打分分别为12,,[50,60)a a 内的3人打分分别为123,,A A A ，则从[40,60)的受访学生中随机抽取2人，2人打分的基本事件有：()()()121112,,,,,a a a A a A ，()()()()()()()13212223121323,,,,,,,,,,,,,a A a A a A a A A A A A A A ，共10种.其中两人都在[50,60)内的可能结果为()()()121323,,,,,A A A A A A ，则这2人至少有一人打分在[40,50)的概率3711010P =-=. 【点睛】关键点点睛：本题考查频率分布直方图，考查分层抽样与古典概型．在频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得频率分布直方图缺少的数据．古典概型问题中如果事件空间中基本事件的个数不是太多的可以用列举法写出所有基本事件，从而计算出概率．如果事件的个数较多，不便于列举，可以利用计数原理计数，从而得出概率． 22．乙商场中奖的可能性大. 【解析】试题分析：分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到．试题如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积2R π，阴影部分的面积为224153606R R ππ⨯=，则在甲商场中奖的概率为212166R P R ππ==；如果顾客去乙商场，记3个白球为1a ，2a ，3a ，3个红球为1b ，2b ，3b ，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，。

高中数学必修三第三章《概率》章节练习题(含答案)

高中数学必修三第三章《概率》章节练习题(含答案)高中数学必修三第三章《概率》章节练题一、选择题（每小题3分，共18分）1.下列试验属于古典概型的有（）。

A.1个B.2个C.3个D.4个2.任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是（）。

A。

B。

C。

D。

补偿训练】一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（）。

A。

B。

C。

D。

3.在全运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手。

若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（）。

A。

B。

C。

D。

4.任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a，b)落在区域|x|+|y|≤3中的概率为（）。

A。

B。

C。

D。

5.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为（）。

A。

B。

C。

D。

6.如图，两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P1，P2，则P1，P2的大小关系是（）。

A。

P1=P2 B。

P1>P2 C。

P1<P2 D。

无法比较二、填空题（每小题4分，共12分）7.一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则a+b能被3整除的概率为（）。

8.已知函数f(x)=log2x，x∈R。

在区间[1,8]上任取一点x，使f(x)≥-2的概率为（）。

补偿训练】已知直线y=x+b，b∈[-2，3]，则该直线在y轴上的截距大于1的概率是（）。

A。

B。

C。

D。

9.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=√(x)与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组[0,1]的均匀随机数，a=RAND，b=RAND；②做变换，令x=4a，y=√(b)；③判断(x,y)是否在阴影部分中，若是则计数器加1；④重复上述步骤n次，估计S≈n×计数器/.则利用上述方法，当n=时，估计得到的阴影部分的面积S≈（）。

2020_2021学年高中数学第三章概率单元质量评估二习题含解析北师大版必修3

第三章单元质量评估(二)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ，b 都不为0，但a 2＋b 2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温．其中为随机事件的是( B )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③④解析：任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能不能组成直角三角形，故①为随机事件；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交、交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；若实数a ，b 都不为0，则a 2＋b 2一定不等于0，故③为不可能事件；由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于或等于今年12月28日的最高气温，故④为随机事件．故选B.2．从一批产品(其中正品、次品都多于两件)中任取两件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( B )①恰有一件次品和恰有两件次品；②至少有一件次品和全是次品；③至少有一件正品和至少有一件次品；④至少有一件次品和全是正品．A ．①②B ．①④C ．③④D ．①③解析：因为从一批产品中任取两件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于两件，所以恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，至少有一件次品和全是正品是互斥的，所以①④是互斥事件，故选B.3．某中学毕业生的去向有三种：回家待业、上大学和复读．现取一个样本调查，调查结果如图所示．若该校每个学生上大学的概率为45，则每个学生不复读的概率为( B )A.2125B.2225C.2325D.2425解析：每个学生上大学的概率为45，而该样本中上大学的人数为80，所以该样本容量为80÷45＝100，于是每个学生回家待业的概率为8100＝225，所以每个学生不复读的概率为45＋225＝2225. 4．不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为( B )A.110B.15C.29D.14解析：基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，满足要求的基本事件有(1,4,5)，(2,3,5)，故所求概率为15.故选B. 5．先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1，P 2，P 3，则( B )A ．P 1＝P 2<P 3B ．P 1<P 2<P 3C ．P 1<P 2＝P 3D ．P 3＝P 2<P 1解析：先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共36种，其中点数之和是12的有1种，故P 1＝136；点数之和是11的有2种，故P 2＝236；点数之和是10的有3种，故P 3＝336，故P 1<P 2<P 3，故选B. 6．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( A )A.9100B.350C.3100D.29解析：任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(1，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(2，i )(i ＝0,1,2，…，9)；…；(9，i )(i ＝0,1,2，…，9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种，故所求概率为9100. 7．如图是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概率为( A )A.34B.38C.14D.18解析：用红、蓝两种颜色为三个图形涂色，则共有2×2×2＝8种不同的结果，设事件“三个图形颜色不全相同”为A ，则A －为“三个图形颜色全相同”，即事件A －包含2个结果，故P (A －)＝28＝14，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－14＝34. 8．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( D )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4解析：显然C 2：x ＋y ＝2，满足条件的点P (1,1)；C 3：x ＋y ＝3，满足条件的点P (1,2)，P (2,1)；C 4：x ＋y ＝4，满足条件的点P (1,3)，P (2,2)；C 5：x ＋y ＝5，满足条件的点P (2,3)．所以n ＝3,4时C n 的概率最大．9．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数字a ，b ，使得lg(3a )≥lg(4b )成立的概率是( C )A.13B.512C.12D.712解析：因为lg(3a )≥lg(4b )，所以3a ≥4b .从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数字所包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，(3,4)，(4,3)，共12个，符合条件3a ≥4b 的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共6个，所以所求概率P ＝612＝12，故选C. 10．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( C )A.π4B.π12 C ．1－π4 D ．1－π12解析：P ＝正方形面积－圆锥底面积正方形面积＝4－π4＝1－π4. 11．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( C )A.14B.12C.34D.78解析：设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X 、Y ，X 、Y 相互独立，由题意可知⎩⎨⎧ 0≤X ≤40≤Y ≤4|X －Y |≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|X －Y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34. 12．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( A )A ．甲得9张，乙得3张B ．甲得6张，乙得6张C ．甲得8张，乙得4张D ．甲得10张，乙得2张解析：由题意，骰子朝上的面的点数为奇数的概率为12，即甲、乙每局得分的概率相等，所以甲获胜的概率是12＋12×12＝34，乙获胜的概率是12×12＝14.所以甲得到的游戏牌为12×34＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×14＝3(张)，故选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．从一副混合后的扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得的为黑桃”，则概率P (A ＋B )＝726.(结果用最简分数表示) 解析：本题考查古典概型和互斥事件．∵事件A 为“抽得红桃K ”，∴事件A 的概率P (A )＝152.∵事件B 为“抽得的为黑桃”，∴事件B 的概率是P (B )＝1352＝14，∴由互斥事件的概率公式得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝152＋14＝726. 14．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有120人．解析：设男教师为n 人，则女教师为(n ＋12)人，∴n 2n ＋12＝920.∴n ＝54，∴参加联欢会的教师共有120人．15．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，2]上为减函数的概率是14. 解析：由题意可知，函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，2]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b a ≥2.当a 取1时，b 可取2,3,4,5,6；当a 取2时，b 可取4,5,6；当a 取3时，b 可取6，共9种．∵(a ，b )的取值共36种情况，∴所求概率为P ＝936＝14.16．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径画圆，交线段AB 于E ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率为13.解析：连接AC 交圆弧DE 于点F ，则点P 在EF 上时直线AP 与线段BC 有公共点．因为AB ＝3，BC ＝1，所以∠BAC ＝30°.直线AP 与线段BC 有公共点的概率P ＝30°90°＝13.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y .(1)求事件“x ＋y ≤3”的概率；(2)求事件“|x －y |＝2”的概率．解：设(x ，y )表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件．(1)用A 表示事件“x ＋y ≤3”，则A 包含的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件．所以P (A )＝336＝112，即事件“x ＋y ≤3”的概率为112. (2)用B 表示事件“|x －y |＝2”，则B 包含的结果有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(6,4)，(5,3)，(4,2)，(3,1)，共8个基本事件．则P (B )＝836＝29，即事件“|x －y |＝2”的概率为29.18.(本题满分12分)M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．(1)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数；(2)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？解：(1)男生共有14人，中间两个成绩是175和176，因此男生成绩的中位数是175.5. 女生成绩的平均数x ＝168＋177＋178＋185＋186＋1926＝181. (2)用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是520＝14. 根据茎叶图，“甲部门”人选有8人，“乙部门”人选有12人．所以选中的“甲部门”的人选有8×14＝2(人)，“乙部门”的人选有12×14＝3(人)．记选中的“甲部门”的人选为A 1，A 2，选中的“乙部门”的人选为B ，C ，D .从这5人中选2人的所有可能情况为：(A 1，A 2)，(A 1，B )，(A 1，C )，(A 1，D )，(A 2，B )，(A 2，C )，(A 2，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共10种；其中至少有一人是“甲部门”人选的结果有7种．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是710. 19．(本题满分12分)编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率．解：(1)4 6 6(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 10}，{A 3，A 11}，{A 3，A 13}，{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 4，A 13}，{A 5，A 10}，{A 5，A 11}，{A 5，A 13}，{A 10，A 11}，{A 10，A 13}，{A 11，A 13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}，共5种．所以P (B )＝515＝13. 20．(本题满分12分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、二、三象限的概率．解：(1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件．所以，P (A )＝610＝35.(2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示．要使函数的图象过第一、二、三象限，则m >0，n >0，故使函数图象过第一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17. 21．(本题满分12分)某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：逻辑思维能力运动协调能力一般良好优秀一般2 2 1 良好4 b 1 优秀 1 3 a只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15. (1)求a ，b 的值；(2)从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．解：(1)由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2＋a )人．设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生，则P (A )＝2＋a 20＝15. 解得a ＝2.所以b ＝4.(2)由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别为M 1，M 2，M 3，M 4，M 5，M 6.其中M 5和M 6为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生．从中任意抽取2位，可表示为M 1M 2，M 1M 3，M 1M 4，M 1M 5，M 1M 6，M 2M 3，M 2M 4，M 2M 5，M 2M 6，M 3M 4，M 3M 5，M 3M 6，M 4M 5，M 4M 6，M 5M 6，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．事件B 包括M 1M 5，M 1M 6，M 2M 5，M 2M 6，M 3M 5，M 3M 6，M 4M 5，M 4M 6，M 5M 6，共9种可能．所以P (B )＝915＝35.所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35. 22．(本题满分12分)某港口船舶停靠的方案是先到先停．(1)若甲、乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表进行游戏：从1,2,3,4,5中各随机选一个数，若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．(2)根据以往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率．随机数模拟实验数据参考如下：记X ，Y 都是0～1之间的均匀随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次满足X －Y ≥0.5，有6次满足X －2Y ≥0.5.解：(1)这种规则是不公平的．理由如下：设甲先停靠为事件A ，乙先停靠为事件B ，基本事件总数为5×5＝25(种)，则甲先停靠即两编号之和为偶数所包含的基本事件有13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．∴甲先停靠的概率P (A )＝1325，乙先停靠的概率P (B )＝1－P (A )＝1225.∴这种游戏规则是不公平的．(2)根据题意，应用随机模拟方法求出甲船先停靠的概率是P ＝1－12100＝0.88.。

高中数学必修三第三章《概率》单元测试卷及答案

高中数学必修三第三章《概率》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是（）A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%2．某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是（）①选出1人是班长的概率为140；②选出1人是男生的概率是125；③选出1人是女生的概率是115；④在女生中选出1人是班长的概率是0．A．①②B．①③C．③④D．①④3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A．12B．13C．14D．184．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不是对立事件D．以上答案都不对5．在2010年广州亚运会火炬传递活动中，在编号为1，2，3，4，5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（）A．110B．310C．710D．9106．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③7．矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为（） A ．16B ．16．32C ．16．34D ．15．968．在区间(15，25]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是（） A ．13B ．12C ．310D ．7109．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0．23，则摸出黑球的概率为（） A ．0．45B ．0．67C ．0．64D ．0．3210．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为（） A ．9100B ．350C ．3100D ．2911．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为（） A ．710B ．310 C ．35D ．2512．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A ．4πB ．12π C ．14π-D ．112π-二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0．2，重量在[]200,300内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．14．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件A B +发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)15．先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b ．将a ，b ，5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．16．设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下：（1（2）至少3人排队等候的概率是多少？18．(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂．（1）求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．19．(12分)在区间(0，1)上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程20+=有x m实根的概率．20．(12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．（1）用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；（2）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；（3）求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．21．(12分)在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱？22．(12分)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：10辆．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4，8．6，9．2，9．6，8．7，9．3，9．0，8．2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．【答案】D【解析】A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；C选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D选项，概率为90%，即可能性为90%．故选D．2．【答案】D【解析】本班共有40人，1人为班长，故①对；而“选出1人是男生”的概率为255408=；“选出1人为女生”的概率为153408=，因班长是男生，∴“在女生中选班长”为不可能事件，概率为0．故选D．3．【答案】C【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，可能出现“正、正”、“反、反”、“正、反”、“反、正”，因此两个正面朝上的概率14P =．故选C ． 4．【答案】C【解析】由互斥事件的定义可知：甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知：甲、乙可能都得不到红牌，即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生．故选C ． 5．【答案】B【解析】从1，2，3，4，5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为310P =．故选B ． 6．【答案】A【解析】从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A “两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．A 选项正确． 7．【答案】B 【解析】由题意204300S S =阴矩，∴204=24=16.32300S ⨯阴．故选B ． 8．【答案】C【解析】∵(]15,25a ∈，∴()201731720251510P a -<<==-．故选C ．9．【答案】D【解析】摸出红球的概率为45.45100=0，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为10.450.230.32--=．故选D ． 10．【答案】A【解析】任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i )(i ＝0，1，2，…，9)；(1，i )(i ＝0，1，2，…，9)；(2，i )(i ＝0，1，2，…，9)；…；(9，i )(i ＝0，1，2，…，9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3，3)，(3，6)，(3，9)，(6，3)，(6，6)，(6，9)，(9，3)，(9，6)，(9，9)．共有9种．故所求概率为9100．故选A ． 11．【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m >n 的点应在梯形OABD 内，所以所求事件的概率为7=10OABD OABCS P S =梯形矩形．故选A ． 12．【答案】C 【解析】4144P --ππ===-正方形面积圆锥底面积正方形面积．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0.3【解析】所求的概率10.20.50.3P =--=． 14．【答案】23【解析】事件A 包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；B 表示“大于等于5的点数出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A 与B 是互斥的，故()()()112333P A B P A P B +==+=．15．【答案】718【解析】基本事件的总数为6×6＝36．∵三角形的一边长为5，∴当a ＝1时，b ＝5符合题意，有1种情况；当a ＝2时，b ＝5符合题意，有1种情况；当a ＝3时，b ＝3或5符合题意，即有2种情况；当a ＝4时，b ＝4或5符合题意，有2种情况；当a ＝5时，b ∈{1，2，3，4，5，6}符合题意，即有6种情况；当a ＝6时，b ＝5或6符合题意，即有2种情况．故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为1473618=．36【解析】基本事件总数为36个，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b 2≥4c ．当c ＝1时，b ＝2，3，4，5，6；当c ＝2时，b ＝3，4，5，6；当c ＝3时，b ＝4，5，6；当c ＝4时，b ＝4，5，6；当c ＝5时，b ＝5，6；当c ＝6时，b ＝5，6．符合条件的事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x 2－bx ＋c ＝0有实根的概率为1936．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）0.56；（2）0.44．【解析】记“有0人等候”为事件A ，“有1人等候”为事件B ，“有2人等候”为事件C ，“有3人等候”为事件D ，“有4人等候”为事件E ，“有5人及5人以上等候”为事件F ，则易知A 、B 、C 、D 、E 、F 互斥．（1）记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ，所以()()()()()=0.10.160.30.56P G P ABC P A P B P C =++＝＋＋＝．（2）记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0．3＋0．1＋0．04＝0．44．也可以这样解，G 与H 互为对立事件，所以()()110.560.44P H P G --===．18．【答案】（1）A ，B ，C 分别抽取2人，3人，2人；（2）1121．【解析】（1）工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为71639=，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2人，3人，2人．（2）设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为事件X )有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为()1121P X =．8【解析】在平面直角坐标系中，以x 轴和y 轴分别表示m ，n 的值，因为m ，n 在(0，1)内与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件A 表示方程20x nx m +=有实根，则事件()40,0101n m A m n m n ⎧⎫-≥⎧⎪⎪⎪=<<⎨⎨⎬⎪⎪⎪<<⎩⎩⎭，所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为18，故()18S P A S ==阴影正方形，即关于x的一元二次方程20x nx m +=有实根的概率为18．20．【答案】（1）见解析；（2）19；（3）23．【解析】（1）甲、乙两人下车的所有可能的结果为：(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．（2）设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A ，则()19P A =．（3）设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B ，则()121393P B =-⨯=．21．【答案】（1）0.05；（2）40元．【解析】（1）把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB 1、AB 2、AB 3、AC 1、AC 2、AC 3、A 12、A 13、A 23、BC 1、BC 2、BC 3、B 12、B 13、B 23、C 12、C 13、C 23、123，共20个．事件E ＝{摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123， ()10.0520P E ==．（2）事件F ＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P (F )＝2/20＝0．1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件F 发生有10次，不发生90次．则一天可赚90×1－10×5＝40，每天可赚40元． 22．【答案】（1）400；（2）710；（3）34．【解析】（1）设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得5010100300n =+，所以n ＝2000．则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400．（2）设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得40010005a=，即a ＝2．因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7个．故()710P E =，即所求概率为710．（3）样本平均数()19.48.69.29.68.79.39.08.298x =⨯+++++++=．设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有： 9．4，8．6，9．2，8．7，9．3，9．0，共6个，所以()6384P D ==，即所求概率为34．单元测试题二一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，随机事件的个数为（）①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军； ②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④在标准大气压下，水在4°C 时结冰． A ．1B ．2C ．3D ．4。

高二必修三数学第三章概率单元练习题(人教版)题型归纳

高二必修三数学第三章概率单元练习题（人教版）题型归纳数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，小编准备了高二必修三数学第三章概率单元练习题，希望你喜欢。

一、选择题
1.下列事件属于不可能事件的为( ).
A.连续投掷骰子两次，掷得的点数和为4
B.连续投掷骰子两次，掷得的点数和为8
C.连续投掷骰子两次，掷得的点数和为12
D.连续投掷骰子两次，掷得的点数和为16
2.给出下列事件：
①同学甲竞选班长成功;
②两球队比赛，强队胜利了;
③一所学校共有730名学生，至少有三名学生的生日相同;
④若集合A，B，C，满足AÍB，BÍC，则AÍC;
⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签;
⑥7月天下雪;
⑦从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数;
⑧骑车通过10个十字路口，均遇红灯.
其中属于随机事件的有( ).
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个。

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第三章概率单元测试2一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案均不对[答案] C[解析] 根据互斥事件和对立事件的定义，由题设易知两事件互斥但不对立．2．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：①两球都不是白球；②两球中恰有一白球；③两球中至少有一个白球．其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是 ( )A．①② B．①③C．②③ D．①②③[答案] A[解析] 从口袋内一次取出2个球，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件；而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．3．下面是古典概型的是( )A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将正整数作为基本事件时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止[答案] C[解析] 抛掷两枚骰子，所得点数之和为2,3,4，…，12中的任意一个，但它们不是等可能出现的，故以所得点数之和作为基本事件，不是古典概型；求任意一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件，有无穷多个，故不是古典概型；从甲地到乙地共n 条路线，选任一条路线都是等可能的，而最短路线只有一条，其概率为1n是古典概型；抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，基本事件空间不确定．4．在5件产品中，有4件正品，从中任取2件，2件都是正品的概率是( ) A.45 B.15 C.35D.25[答案] C[解析] 将正品编号为1,2,3,4，次品编号为5，所有可能取法构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共10种，其中两件都是正品的取法有6种，∴概率P ＝610＝35.5．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一黑球的概率是( ) A.15 B.45 C.13D.12 [答案] B[解析] 从袋中任取2个球，有15种等可能取法(不妨将黑球编号为黑1、黑2、黑3，将白球编号为白1、白2、白3)．取出的两个球都是白球有3种等可能取法，取出的两个球，一白一黑有9种等可能取法，∴事件A ＝“取出的两个球至多1黑”，共有9＋3＝12种取法，∴P (A )＝1215＝45.[点评] “至多一黑”的对立事件为“两个都是黑球”故可用对立事件求解．6．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1、P 2、P 3，则( ) A ．P 1＝P 2<P 3 B ．P 1<P 2<P 3 C ．P 1<P 2＝P 3 D ．P 3＝P 2<P 1 [答案] B[解析] 点数之和为12的只有一次(6,6)，∴P 1＝136；点数之和为11的有两次(5,6)和(6,5)，∴P 2＝236＝118，点数之和为10的有三次(4,6)，(5,5)和(6,4)，∴P 3＝336＝112.7．A 是圆上固定的一点，在圆上其它位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( )A.12 B.23 C.32D.14[答案] B[解析] 这是一个几何概型的题目，要使弦长大于半径，只要A ′选在如图所示的上．∵AA 1′＝AA 2′＝R ，OA ＝OA 1′＝AA 1′＝R ，∴∠A 1′OA ＝60°，∠AOA 2′＝60°，∴∠A 1′OA 2′＝120°，它所对的弧长为13圆周，故选B.8．如果下了课后，教室里最后还剩下3位女同学，2位男同学，一会儿又走了一位女同学．如果没有两位同学一块儿走，则下一位是男同学走的可能性为( )A.13 B.14 C.12D.15[答案] C[解析] 已知走了一位女同学，还剩下两位女同学和两位男同学，所有走的可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)一共6种．那么下一位是男同学的可能只有(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，故P ＝36＝12.或因为又走了一个女同学，还有两男、两女四位同学，男、女生人数相等，故有几种男生先走的情形，就有几种女生先走的情形，∴下一位走的是男同学的可能性为12.9．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，下列事件的概率：(1)豆子落在红色区域概率为49；(2)豆子落在黄色区域概率为13；(3)豆子落在绿色区域概率为29；(4)豆子落在红色或绿色区域概率为13；(5)豆子落在黄色或绿色区域概率为49.其中正确的结论有( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个[答案] B[解析] 这是几何概型问题，一颗豆子落在每一点的可能性都是一样的，计算每个事件发生的概率，也就是先求出事件发生的区域，一共9个方块．(1)P ＝4个方块9个方块＝49；(2)P ＝3个方块9个方块＝13；(3)P ＝2个方块9个方块＝29；(4)P ＝红色或绿色区域全部区域＝(4＋2)个方块9个方块＝23；(5)P ＝黄色或绿色区域全部区域＝3＋29＝59.∴只有(1)(2)(3)正确．10．甲、乙两人街头约会，约定谁先到后须等待10分钟，这时若另一个人还没有来就可离开．如果甲1点半到达．假设乙在1点到2点之间何时到达是等可能的，则甲、乙能会面的概率为( )A.12 B.13 C.14D.16[答案] B[解析] 设事件A 1：“乙在1点到1点20分内到达”；事件A 2：“乙在1点20分到1点40分内到达”；事件A 3：“乙在1点40分到2点内到达”．由题设知，以上三个事件的发生是等可能的．在A 1或A 3发生的情况下，甲、乙不能见面，在A 2发生的情况下，甲、乙能够见面．∴甲、乙能见到的概率为13.11．一个人连续射击2次，则下列各事件中，与事件“恰中一次”互斥但不对立的事件是( )A ．至多射中一次B ．至少射中一次C ．第一次射中D ．两次都不中[答案] D[解析] 记射中为1，不中为0，用(x ，y )表示第一次射击结果为x ，第二次射击结果为y ，则所有可能结果有：(1,0)，(1,1)，(0,1)，(0,0)，恰中一次包括(1,0)和(0,1)．当(1,0)发生时，A ，B ，C 都发生了，故选D.12．从－1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为( )A.79B.712C.59D.512[答案] A[解析] 首先取a ，∵a ≠0，∴a 的取法有3种，再取b ，b 的取法有3种，最后取c ，c 的取法有2种，∴共组成不同的二次函数3×3×2＝18个．f (x )若有变号零点，不论a >0还是a <0，均应有Δ>0，即b 2－4ac >0，∴b 2>4ac .①首先b 取0时，a 、c 须异号， a ＝－1，则c 有2种，a 取1或2，则c 只能取－1，∴共有4种．②b ＝1时，若c ＝0，则a 有2种，若c ＝－1，a 只能取2. 若c ＝2，则a ＝－1，共有4种． ③若b ＝－1，则c 只能取0，有2种．④若b ＝2，取a 有2种，取c 有2种，共有2×2＝4种．综上所述，满足b 2>4ac 的取法有4＋4＋2＋4＝14种， ∴所求概率P ＝1418＝79.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A 、B 两个不同的岗位，每个岗位至少1人，则甲、乙被分到同一岗位的概率为________．[答案] 13[解析] 所有可能分配方式如表∴P (M )＝26＝13.14．从编号为1至5的5个大小相同的球中任取2个，则所取球的最大号码不超过3的概率为________．[答案]310[解析] 用(x ，y )表示取出的两个球的号码为x 与y ，则所有基本事件构成集合． Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共有基本事件10个．设A ＝“所取球的最大号码不超过3”，则A ＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}含基本事件3个， ∴P (A )＝310.15．沿田字型的路线从A 往N 走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C 的概率是______．[答案] 23[解析] 解法1：按规定要求从A 往N 走只能向右或向下，所有可能走法有：A →D →S →J →N ，A →D →C →J →N ，A →D →C →M →N ，A →B →C →J →N ，A →B →C →M →N ，A →B →F →M →N 共6种，其中经过C 点的走法有4种，∴所求概率P ＝46＝23.解法2：由于从A 点出发后只允许向右或向下走，记向右走为1，向下走为2，欲到达N 点必须两次向右，两次向下即有两个2两个1.∴基本事件空间Ω＝{(1122)，(1212)，(1221)，(2112)，(2121)，(2211)}共6种不同结果，而只有先右再下或先下再右两类情形经过C 点，即前两个数字必经一个1一个2，∴事件A ＝“经过C 点”含有的基本事件有(1212)，(1221)，(2112)，(2121)共4个，∴P (A )＝46＝23.16．如图为铺有1～36号地板砖的地面，现将一粒豆子随机地扔到地板上，豆子落在能被2或3整除的地板砖上的概率为________.[答案] 23[解析] 因为每块地板砖的面积相等，所以豆子落在每块地板砖上是等可能的，因为能被2整除的有18块，能被3整除的有12块，能被6整除的有6块，所以能被2或3整除的一共有18＋12－6＝24(块)，所以所求概率P ＝24S 36S ＝2436＝23.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.试问：(1)他乘火车或乘飞机来的概率； (2)他不乘轮船来的概率；(3)如果他来的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具来的．[解析] (1)记“他乘火车来”为事件A 1，“他乘轮船来”为事件A 2，“他乘汽车来”为事件A 3，“他乘飞机来”为事件A 4，这四个事件中任两个不可能同时发生，故它们彼此互斥．故P (A 1∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝0.3＋0.4＝0.7. 即他乘火车或乘飞机来的概率为0.7.(2)P (A 2)＝1－P (A 2)＝1－0.2＝0.8. 即他不乘轮船来的概率为0.8.(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5，故他有可能是乘火车或轮船来的；也有可能是乘汽车或飞机来的．18．(本题满分12分)(08·宁夏海南文)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体． (1)求该总体的平均数；(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．[解析] (1)总体平均数为16(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5.(2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果．事件A 包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果．所以所求的概率为P (A )＝715.19．(本题满分12分)已知集合A ＝{－3，－1,0,2,4}，在平面直角坐标系中，点(x ，y )的坐标x ∈A ，y ∈A 且x ≠y ，计算：(1)点(x ，y )不在x 轴上的概率； (2)点(x ，y )在第二象限的概率． [解析] ∵x ∈A ，y ∈A 且x ≠y ， ∴数对(x ，y )的取法共有5×4＝20种．(1)事件A ＝“点(x ，y )不在x 轴上”即点(x ，y )的纵坐标y ≠0. ∵y ＝0的点的取法有4种，∴P (A )＝20－420＝45.(2)事件B ＝“点(x ，y )在第二象限”即x <0，y >0， ∴数对(x ，y )取法有：2×2＝4种，∴P (B )＝420＝15.20．(本题满分12分)一直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD ＝1，AB ＝1，BC ＝2，随机向梯形围成平面区域内投一点P ，由P 向梯形的底作垂线l ，求l 能与梯形的部分边围成矩形的概率．[解析] 如图，作DE ⊥BC 垂足为E ，当点P 落在正方形ABED 内时，过P 作底的垂线，能与梯形的部分边围成一个矩形，∴概率P ＝正方形的面积梯形的面积＝23.21．(本题满分12分)从甲地到乙地有一班车9∶30到10∶00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9∶45到10∶15出发的汽车到丙地去，用随机模拟方法求他能赶上车的概率．[解析] 能赶上车的条件是到达乙地时，汽车还没有出发．我们可以用两组均匀随机数x 与y 来表示到达乙地的时间和汽车从乙地出发的时间，当x <y 时，他能赶上车，设事件A ＝“他能赶上车”．S 1 用计数器n 记录做了多少次试验，用计数器m 记录其中有多少次(x ，y )满足x <y ，首先置n ＝0，m ＝0；S 2 用变换rand( )*0.5＋9.5产生9.5～10之间的均匀随机数x 表示到达乙地时间，用变换rand( )*0.5＋9.75产生9.75～10.15之间的均匀随机数y 表示汽车从乙地出发的时间；S 3 判断他是否能赶上车，即是否满足x <y ，如果是，则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1，如果不是，则m 的值保持不变；S 4 表示随机试验次数的计数器n 的值加1，即n ＝n ＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S 2继续执行，否则程序结束．程序结束后，事件A 发生的频率mn作为事件A 的概率的近似值．[点评] 解题的关键是找两个随机数表示甲地到乙地汽车到达的时间和乙地到丙地汽车的出发时间，自己把求其概率的解法写出．22．(本题满分14分)某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示：(1)依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分； (2)已知在[90,100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95,96,97,98,99,100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率．[解析] (1)由图知，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为，(0. 020＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.80，所以，抽样学生成绩的合格率是80%利用组中值估算抽样学生的平均分：x－＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72.估计这次考试的平均分是72分．(2)从95,96,97,98,99,100中抽取2个数，全部可能的基本事件有：(95,96)，(95,97)，(95,98)，(95,99)，(95,100)，(96,97)，(96,98)，(96,99)，(96,100)，(97,98)，(97,99)，(97,100)，(98,99)，(98,100)，(99,100)．共15个基本事件如果这2个数恰好是两个学生的成绩，则这2个学生在[90,100]段，而[90,100]的人数是3人，不妨设这3人的成绩是95,96,97.则事件A：“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本事件有：(95,96)，(95,97)，(96,97)．共有3个基本事件．所以所求的概率为P(A)＝315＝15.。

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