整式的运算典型例题

七年级数学（下）重要知识点总结

第一章：整式的运算

一、概念 1、代数式：

2、单项式:由数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。单项式不含加减运算，分

母中不含字母。

3、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式含加减运算。

4、整式:单项式和多项式统称为整式。 二、公式、法则：

（1）同底数幂的乘法：a m

﹒a n

=a m+n

（同底，幂乘，指加）

逆用： a m+n =a m ﹒a n （指加，幂乘，同底）

（2）同底数幂的除法：a m

÷a n

=a m-n

（a ≠0）。（同底，幂除，指减）

逆用：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）（指减，幂除，同底）

（3）幂的乘方：（a m ）n =a mn （底数不变，指数相乘）

逆用：a mn =（a m ）n

（4）积的乘方：（ab ）n

=a n

b n

推广：

逆用， a n

b n

=（ab ）n

（当ab=1或-1时常逆用）

（5）零指数幂：a 0=1（注意考底数范围a ≠0）。

（6）负指数幂：

11()(0)p

p

p a a a a

-==≠(底倒，指反)

（7）单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。 （8）多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。 （9）平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2

-b

2

公式特点：（有一项完全相同，另一

项只有符号不同，结果=2

2()-相同）（不同

推广（项数变化）：

连用变化：

（10）完全平方公式： 2

22222()

2,()2,a b a ab b a b a ab b +=++-=-+

逆用：2222222(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-

完全平方公式变形（知二求一）：

222()2a b a b ab

+=-+222()2a b a b ab

+=+-

222212

[()()]a b a b a b +=++-22222212

()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-22()()4a b a b ab +=-+ 22

14

[()()]ab a b a b =+-- 完全平方和公式中间项= 完全平方差公式中间项= 完全平方公式中间项=

例如：2

2

9x +mxy+4y 是一个完全平方和公式，则m = ；是一个完全平

方差公式，则m = ；是一个完全平方公式，则m = ；

（11）多项式除以单项式的法则:().a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷ （12）常用变形：221

((n

n x y x y +--2n

2n+1

）=(y-x), ）=-(y-x)

经典题型

例1. 计算

（1） 73

x x ÷ （2） 52

22()()33-÷-

（3） 63()()ab ab -÷- （4） 32()()x y x y -÷-

解：（1） 73734

x x x x -÷==

（2）

525232222()()()()3333--÷-=-=-＝827- （3） 6363

3()()()

()ab ab ab ab --÷-=-=-33a b =-

（4） 3

2

32

()()()

x y x y x y x y --÷-=-=-

例2. 计算

（1） 7

3

()a a a ÷÷ （2）)()(5

2

3

5

b b b b ⋅÷⋅ （3） 4

7

2

)()(y y y y -÷-+⋅

解：（1） 73725

()a a a a a a ÷÷=÷= （2） b b b b b b b =÷=⋅÷⋅7

8

5

2

3

5

)()(

例3. 计算

（1）420

101010-÷⨯ 021

111(

)()()335--÷-⨯-

解：（1）4204(2)

610101010

110---÷⨯=⨯= （2）02121115()()()1(3)(5)3

359--÷-⨯-=÷-⨯-=-

注意：若0a ≠，则a 与1a -互为倒数，p

a -与p a 互为倒数 例4. 计算

（1）)4()5.2(2

3xy x -⋅-

（2）2

22253

)21()2(z x xyz y x ⋅-⋅-

解：（1）2

4

2

3

2

3

10)()]4()5.2[()4()5.2(y x y x x xy x =⋅⋅⋅-⨯-=-⋅-

（2）2

22253

)21()2(z x xyz y x ⋅-⋅- 2

22453

)21(4z x xyz y x ⋅-⋅= )

()()(]53

)21(4[2224z z y y x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯-⨯= 733

6

5x y z =- 例5. 计算

（1）23

(231)2a a a -+-

（2）

)

21

()23()21()2(2222a ab b a b ab a -⋅-++⋅- 解：（1）23

(231)

2a a a -+-

a

a a a a a a a 23

293)

1()2

3

(3)23(223232+--=-⋅-+⋅-+⋅-= （2）

)

21

()23()21()2(2222a ab b a b ab a -⋅-++⋅-