人教版初三数学上册《一元二次方程》
九年级上册数学人教版一元二次方程
九年级上册数学人教版一元二次方程一元二次方程学习资料。
一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 举例。
- 方程x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=-3，它是一元二次方程。
- 而方程x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它不是整式方程（分母中含有未知数x）。
二、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 对于形如x^2=k(k≥slant0)的方程，可以直接开平方求解。
- 例如，方程x^2=9，解得x=±3。
- 对于方程(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，即x = 1±2，所以x = 3或x=-1。
2. 配方法。
- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)变形为x^2+(b)/(a)x=-(c)/(a)。
- 在等式两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2。
- 把左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。
- 例如，解方程x^2+4x - 1 = 0。
- 首先将方程变形为x^2+4x=1。
- 然后在两边加上4（因为4 = ((4)/(2))^2），得到x^2+4x + 4 = 1+4，即(x + 2)^2=5。
- 解得x=-2±√(5)。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 其中b^2-4ac叫做判别式，记作Δ。
人教版九年级上册数学——一元二次方程知识点总结
21章 一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
二、 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》解应用题分类
《一元二次方程》解应用题分类一．传播问题：公式：(a+x)n=M其中a为传染源（大凡a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平衡一个人传染了几个人？2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？二、循环问题又可分为单循环问题，双循环问题n(n-1)和繁复循环问题3．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？6.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?7.一个正多边形，它共有20条对角线，问是几边形？三、平衡率问题M=a(1±x)n，n为增长或降低次数, M为最后产量，a为基数，x为平衡增长率或降低率8.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本金×（1+a%）n四、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额利润率=利润÷进价9.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？5.10.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程
则常数 c = 4 .
3、若关于x的一元二次方程
a 1 x2 x a 1 0 的一个根是0，
则 a -1 .
总结提升
谈谈你的收获：
本节课学习了哪些主要内容？
一元二次方程
定义 一般形式 相关概念 方程的根
只含一个未 知数，最高 次数是2的 整式方程
ax2 ＋ bx ＋ c＝0 (a≠0)
21.1 一元二次方程
主讲人：韦琳
学习目标
1.知道一元二次方程的概念； 2.了解一元二次方程的一般形式并
确定各项系数； 3.了解一元二次方程的解.
复习回顾
下列哪些是一元一次方？
√(1)x 5 √(2)3 y-1=0 ×(3)x2 6 ×(4) y2 y 4 ×(5)3x2 2x 1 0
二次项、二次 项系数、一次 项、一次项系 数及常数项
代入法
目标检测
1.下列关于 x 的方程是一元二次方程的有 ① ⑥.
.① 2x2 0 ；② ax2 bx c 0 ；③ x2 1 1 0 ；
④ 2x2 x 1 2(x 1)(x 1) ；⑤ x2 y 2 ；x ⑥ x2 1 x 0.
没有一次项，则 a 的值为 -2 .
5.关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 3x 2m 4 0有一个
根为0，则 a 的值为 2 .
目标检测
挑战自我
已知 m 是方程 x2 x 2 0 的一个实数根，
求代数式 m 2 1 的值.
m
布置作业
今天的作业是： 《全品》P1
常数项是－10.
【练】将方程(3x－2)(x＋1)＝8x－3 化成一般形式，并写出其中的二次项 系数、一次项系数和常数项.
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
《一元二次方程》教学PPT课件-人教版九年级上册数学
=0
②设x1=
-
b 2
+m，x2=
-
b 2
-m
(m≥0)
a
a
c
③根据韦达定理可得：x1·x2 = a
将第二步中的设定代入，求得m
④再求得x1, x2。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
【例题】
封面 目录
方程解法 之 特殊方法 • 赋值法
1、解方程 2x²-140x+1650=0 解：第一步将方程两边同时除以a=2
方程化为：x²-70x+825=0，此时可知：- =35
设x1=35+m，x2=35-m (m≥0) 根据韦达b定理可知：x1·x2 = 825
则有：2 (35+m)(35-m)=825 a 解得：m=20
∴ 方程的解为：x1=55， x2=15。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
D 拓展训练 ● 推导求根公式 ● 几何意义 ● 韦达定理
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人教版九年级上册数学《一元二次方程》
基本概念 之 四种形式
【一般形式】
ax²+bx+c=0（a≠0）
【配方式】
( ) b x+ 2a
2=
b2-4ac 4a2
【变形式】
ax²+bx=0（a≠0） ax²+c=0（a≠0） ax²=0（a≠0）
【两根式】
a(x-x1)(x-x2)=0
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5、法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与 系数的关系。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
基本概念 之 判定条件
【判定条件】
一元二次方程成立必须同时满足三个条件： ①是整式方程，即等号两边都是整式。 方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分 式方程，不是一元二次方程； 方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是 一元二次方程（是无理方程）。 ②只含有一个未知数； ③未知数项的最高次数是2。
人教版九年级上册数学一元二次方程
人教版九年级上册数学一元二次方程一元二次方程啊，那可是九年级上册数学里挺有趣的一部分呢。
啥是一元二次方程呢？简单说，就是一个方程里只有一个未知数（这就是“一元”啦），而且这个未知数的最高次数是2（这就是“二次”的意思）。
它的一般形式是ax² + bx + c = 0（a≠0哦，要是a = 0了，那就不是二次方程，变成一次方程了）。
那这个方程有啥用呢？生活里好多地方都能用到。
比如说，你想算一个长方形的面积，你知道长比宽多多少，又知道面积是多少，就可能列出一元二次方程来求解长和宽。
我们再来说说怎么解这个一元二次方程。
有好几种方法呢。
一种是直接开平方法。
要是方程能化成(x + m)² = n（n≥slant0）这种形式，那就可以直接开平方得到x + m=±√(n)，然后就能求出x的值了。
比如说x² = 9，那x=±3，这个就很简单直接。
还有配方法。
这个方法就像是给方程来个“变形手术”。
比如说对于方程x² + 6x - 7 = 0，我们要把方程左边配成完全平方式。
先把常数项移到右边，得到x² + 6x=7，然后在等式两边加上一次项系数一半的平方，也就是((6)/(2))² = 9，就变成x² + 6x + 9 = 7+9，也就是(x + 3)² = 16，然后再用直接开平方法就可以求出x了。
不过配方法有点小麻烦，得一步一步来，不能粗心。
再就是公式法啦。
对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（a≠0），它的解x=(-b±√(b² - 4ac))/(2a)。
这个公式可厉害了，不管啥样的一元二次方程，只要你把a、b、c的值找对了，往公式里一代，就能求出解来。
不过计算的时候可千万要小心，尤其是b² - 4ac 这个部分，它叫判别式。
如果b² - 4ac>0，方程就有两个不同的实数解；如果b² - 4ac = 0，方程就有两个相同的实数解（也就是一个解啦）；要是b² - 4ac<0呢，方程就没有实数解，但是有两个虚数解，不过虚数的部分在九年级上册可能还没学那么深入。
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优质课件
1． 这些方程的两边都是整式；
2． 方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2．
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知
数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
新知探究
知识点2
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax²+bx+c=0 (a≠0)
无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为x cm，
则盒底的长为(100−2x) cm，宽为(50−2x) cm．
根据方盒的底面积为3 600 cm2，得 (100−2x)(50−2x)=3 600．
整理，得 4x2−300x+1 400=0．
化简，得 x2−75x+350=0 ．
将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，
若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．
新知探究
跟踪训练
1． 下列哪些数是一元二次方程 x2-4x+3＝0 的解？
-1，
0，
1，
3．
2． 方程 x2+x－12＝0 的两个根为( D )
A．x1＝－2，x2＝6
B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4
4
2
3
2
3
2
2
①3x +7=0；②x +2x=1−x +x ；③2x −3y+1=0；④3x −
A．1
B．2
C．3
+6=0．
D．4
2．若方程 (m+2)x|m|−3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 ( B )
人教版九年级数学上册《一元二次方程》知识点总结
人教版九年级数学上册《一元二次方程》知识点总结合理的总结，合理的归结，关于考试效果会有很大的协助，下文为大家引荐了一元二次方程知识点总结，祝大家期末考试顺利。
1. 一元二次方程的普通方式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的普通方式，研讨一元二次方程的有关效果时，少数习题要先化为普通方式，目的是确定普通方式中的a、 b、c; 其中a 、 b,、c能够是详细数，也能够是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵敏运用，其中直接开平方法虽然复杂，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发作计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法运用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，
Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请留意以上等价命题：
Δ>0有两个不等的实根; Δ=0有两个相等的实根;
Δ无实根; Δ≥0有两个实根(等或不等).
4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有以下公式：
有了查字典数学网为大家整理的一元二次方程知识点总结，
大家觉得是不是方便了很多，那么大家就要及时关注本网站了。
人教版九级上册 数学 课件一元二次方程
求m2+m的值为 2014
。
人教版九年 级级 上上 册册数学数学课件课一件元2二1.次1一方元程二次方程1(共31张PPT)
人教版九年 级级 上上 册册数学数学课件课一件元2二1.次1一方元程二次方程1(共31张PPT)
精讲点拨
★.运用根的定义解决问题的思路： 将方程的根代入原方程
人教版九年 级级 上上 册册数学数学课件课一件元2二1.次1一方元程二次方程1(共31张PPT)
人教版九级上册 数学 课件一元二次方程
二次项 一次项 常数项 系数 系数
2
1
4
-4
2
0
3
-1
-1
4
0
-5
m-3 1-m -m
人教版九级上册 数学 课件一元二次方程
例题例讲题解讲解
• 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次 项、一次项和常数项及它们的系数：
• (1) 3 x (x 1 ) 5 (x 2 ) 解： 3x23x5x103x23x5x10
x 根据题意，得 x(192x)24
化简得 -2 x2 1 9 x-2 4 0
问题情境
（4）新年到了，好朋友之间互相发信息问候成 为新的拜年方式，某朋友圈的所有的人都发给 其他人一条信息，一共发了72条信息，这个朋 友圈一共有多少人？
解： 这个朋友圈一共有x人
由题意得 x(x1)72
化 简 得 : x 2 x 7 2 0
(a≠0、a、b、c为常数)
问题情境
（1）正方形桌面的面积是2m2，求它的边长？
m2
xm 解：设正方形桌面的边长是
x2 2
化 简 得 x2-2=0
（2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总
人教版九年级上册数学第21章 一元二次方程 一元二次方程及其相关概念的定义的五种应用
解：由题意可得(x＋1)·2x－(x＋2)·(x－2)＝1，它是一元二次方程 ，化成一般形式为x2＋2x＋3＝0.
4．(2019·遂宁)已知关于x的一元二次方程(a－1)·x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x
＝0，则a的值为( )
A．0B．±1C．1D．－1
D
5．已知 x＝m 是方程 x2－x－2＝0 的一个非零实数根，求代数式 (m2－m)m－m2 ＋1的值．
解：当mm2＋＋11≠＝0 2，时，它是一元二次方程，解得 m＝1. 当 m＝1 时，原方程可化为 2x2－x－1＝0.
(2)m取何值时，它是一元一次方程？
解：当mm－＋21≠＝00，或mm＋2＋11－1 或 m＝0. 故当 m＝－1 或 m＝0 时，它是一元一次方程．
【点拨】解此类求代数式的值的问题时，一般都会用到整体思想.求 解时，将所求代数式的一部分看成一个整体，再用整体代入法求 值．
解：∵x＝m是方程x2－x－2＝0的一个非零实数根， ∴m2－m－2＝0， 即m2－m＝2，m2－2＝m. ∵m≠0， ∴m－＝1. ∴原式＝2×(1＋1)＝4.
2 m
6．关于x的方程x2－mx＋2m＝0的一个实数根是6，并且m和6恰好是等腰三角形 ABC的两边长，求△ABC的周长．
2．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值．
解：由题意得mm2－－11≠＝0，0，解得 m＝－1.
九年级数学上人教版《解一元二次方程》课堂笔记
《解一元二次方程》课堂笔记一、一元二次方程的概念1.一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）2.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。
二、一元二次方程的解法1.直接开平方法：（1）方程x²-2x-3=0；（2）方程（x-1）²-5=0；（3）方程x²-8x+16=0；（4）方程（x+3）²-9=0。
解：由方程x²-2x-3=0，得x²-2x=3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x²-2x+1=3+1，（x-1）²=4，所以x-1=±2，所以x₁=3，x₂=-1。
1.配方法：（1）用配方法解方程x²-6x+9=0；（2）用配方法解方程2x²-8x=-5；（3）用配方法解方程x²-6x=-15；（4）用配方法解方程2x²+8x-9=0。
解：把常数项移到方程的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，得x²-6x=-9，方程左边写成完全平方式，得（x-3）²=-9，所以x-3=±3i所以原方程的解为：x₁=3+3√3i，x₂=3-3√3i。
1.公式法：用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
公式法适用于任何一元二次方程。
在运用公式法解一元二次方程时，要善于观察所给的方程的形式和结构，正确选择恰当的方法解方程。
2.因式分解法：把一个一元二次方程的一边化为零，另一边分解为两个一次因式的积的形式，这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。
用因式分解法解一元二次方程时，一般选用公式法比较简便。
因式分解法适用于任何一元二次方程。
在运用因式分解法解一元二次方程时，要善于观察所给的方程的形式和结构，正确选择恰当的方法解方程。
21.1一元二次方程 课件人教版数学九年级上册
一般形式
ax²+bx+c=0(a≠0)
其中(a≠0) 是一元二次方程的必要 条件；
解(根)
使方程左右两边相等的未知数的值.
21： 3.一元二次方程的根
【知识技能类作业】必做题：
1. 若x=1 是方程x²-2x+a=0 的根，则a=_ 1 2.关于x的方程(2a -4)x²-2x+a=0, 1)在什么条件下此方程为一元二次方程? 2)在什么条件下此方程为一元一次方程?
4.若a是一元二次方程x²+2x-3=0的一个根，则2a²+4a的值是 6
【综合拓展类作业】
5 . (1)当m 为何值时，关于x的方程(m²-1)x²+mx-2=0 是一元二次方程?
(2)已知关于x的一元二次方程(m²-1)x²+mx-3-m=0 的值 .
有一个根是0 , 求m
(3)在第(2)题中，如果要使已知方程有一个根是1,那么m 应该等于什么
(2)两个连续偶数的积为168,求较大的偶数x; x²-2x-168=0 (3)一个直角三角形的两条直角边的长的和是20,面积是25,求其中一条直角边的长x.
x²-20x+50=0
【知识技能类作业】必做题：
3.若一元二次方程2x²+(2k+1)x-(4k-1)=0 的二次项系数、一次项系 数、常数项的和是0,则k= 2. 4.方程2x²=-8 化成一般形式后，二次项系数为2 ,一次项系数为0 , 常数项为 8 ●
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过一元一次方程的概念，类比得 出一元二次方程的概念。
1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.
人教版数学九上解一元二次方程——公式法课件
项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情
况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
方法点拨
（1）当 △ b 4ac＞0时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
2
（2）当 △ b 4ac 0时，一元二次方程有两个相
2
等的实数根.
（3）当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实
数根.
探究新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值.
46
2a
25
10
46
46
1
1, x2
10
10
5
探究新知
（4）x2+17=8x
解：原方程可化为x 2 8 x 17 0
a 1, b 8, c 17
△ b 2 4ac (8) 2 4 1 17 4＜0
方程无实数根.
探究新知
探究新知
（2）2x2-2 2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解： a 2, b 2 2, c 1
△ b 2 4ac ( 2 2 ) 2 4 2 1 0
则方程有两个相等的实数根：
x1 x2
b
2 2
2
人教版九年级数学上册一元二次方程知识点+习题
一元二次方程1.只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++cbxax（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
2.把02=++cbxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
3.解一元二次方程的方法：(1)配方法: <将其变为0)(2=+mx的形式>配方法解一元二次方程的根本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成0)(2=+mx的形式；⑥两边开方求其根。
(2)公式法:a acbbx24 2-±-=（留意在找abc时须先把方程化为一般形式）(3)因式分解法: 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”与“十字相乘”） 十字相乘法：（十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，穿插相乘再相加等于一次项系数。
）这个方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21a a 、的积，把常数项c 分解成两个因数21c c 、的积，并使1221c a c a +正好等于一次项的系数b 。
那么可以干脆写成结果:))((22112c x a c x a c bx ax ++=++。
4.韦达定理：假如一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为21,x x ，则有：。
十字相乘法练习题1.（1）()()532,326,32652=+⨯=++=++而其中常数项x x x x （2） ()()=++=++661672其中常数项，x x x x ————————————，————————————=7.(3)x 2()()=++=++12,____128其中常数项x x x ____________,____________=__________（4）x 2()()=++=++12,____127其中常数项x x x _____________,____________=____________.（5）x 2()()12,____1213其中常数项++=++x x x= _____________,____________=____________.（6）x 2()()18,____1811其中常数项++=++x x x= _____________,____________=____________.（7）x 2()()18,_____189其中常数项++=++x x x = _____________ ,____________ =____________ .（8）x 2()()18,1819其中常数项++=++x x x = ___________ ,__________ =____________ .2.分解因式：（1）x 2()()__________187=-+x （2）x 2()()_____________82=--x（3）x 2()()___________20=-+x （4）x 2()()___________365=--x （5）x 2()()__________149=+-x （6）a 2()()__________158=++a（7）m 2()()__________1610=+-m （8）p 2()()_________283=-+p3.（1）()()342++-+b a b a ()()2222-+++y x y x一、选择题1.用配方法解方程432=-x x ，应把方程两边同时（ ）A.加上23 B.减去23 C.加上49 D.减去49 2.下列方程中，用配方法解时需两边同时加上1的是（ ）A. 422=-x xB. 5142=+xC. 822=-x xD. 0142=+-x x3.用配方法解方程03422=+-x x ，配方正确的是（ ）A.434422+=+-x x B. 434422+-=+-x x C. 123122+=+-x x D. 123122+-=+-x x4.用配方法解一元二次方程0782=++x x ，则方程可变形为（ ）A. ()942=-xB. ()942=+xC. ()1682=-xD. ()5782=+x5.若方程()04292=++-k x 的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A.10B.10或14C.-10或14D.10或-146.用配方法解方程01722=--x x ，正确的是（ ） A. 1657472=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x B. 1657472=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C. 1681472=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x D. 1641472=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 二、填空题7.用配方法解方程0242=++x x 可变形为()2_______2=+x .8.当m = 时，()0922=+-+x m x 可用配方法变为()032=+x 的形式.9.将方程0562=+-x x 配方成()R m x =+2的形式，则m = ，R = .10.利用配方法可求得0342=+-x x 的最小值是 .11.已知a 、b 、c 为常数，()c b x a x x ++=+-22943，则a ，b = ，c =12.若n ＞0，且x 取随意实数时，()223369n x mx x +=++恒成立，则n m -= .三、解答题13.完成下面的解题过程：解方程：01242=-+x x .解：移项，得1242=+x x .配方，得________12_______42+=++x x ，即()_________________2=.开平方，得 ，解得______1=x ，______2=x14.用配方法解方程：（1）4322=+-x x （2）01682=++x x（3）61022=+x x （4）03122=++x x（5）7202=+-x x （6）x x x 7492+=+15.已知方程0114492=+-x x ，若老师将等号右边的0变成了代数式：44462-+x x .（1）用配方法求出原方程的解；（2）你能求出重新组合后的一元二次方程的解吗？16.用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?。
(人教版)九年级数学上册：《一元二次方程》全章知识小结
《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2（2）一元二次方程的一般形式：ax +bx+c=0(a ≠ 0) ，，并且未知数的最高次其中 ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。
（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程* （ 4）有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是 : ①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为 1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（ mx+n）2=p 的形式；⑤如果 p≥ 0 就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。
（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式2－ 4ac≥ 0时， ? ax2+bx+c=0 ，当⊿＝ b将 a、 b、 c 代入求根公式x=bb2 4ac2≥ 0）就得到方程的根．2a（ b -4ac（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0, 从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。
3、一元二次方程根的判别式22（1）⊿＝ b －4ac 叫一元二次方程ax +bx+c=0(a ≠ 0) 的根的判别式。
人教版九年级上册 21.2 一元二次方程的概念及解法 讲义
第一讲 一元二次方程的概念及解法1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程； （2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
（三个条件缺一不可）【例1--1】方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③【例1--2】要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠0 【例1--3】若（m+1）(2)1m m x+-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a ≠0）。
其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
【例2--1】一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。
【例2--2】把下列关于x 的一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。
（1）5x （x+2）=3(x+1） (2)21x 21x 3x 2--=+-3.方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
【例3--1】判断下列括号里的数哪个是方程的解。
（1）)0,2,1(232x x = (2))4,5,5(0252-=-x【例3--2】若1-=x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根，求代数式）（c b a 2019+-的值。
初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程
2
?
强化练习 1
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次 方程的是( D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 2.当m为何值时,方程
(m 1) x
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都 a≠0， 可以化为 ax 2 为什么要限制 (a,b,c 为常数， bx c 0 a≠0）的形式,我们把这种形式称为一元二次方 b,c可以为零吗？ 程的一般形式。
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项 二次项系数
一次项 一次项系数
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
1 是同一场比赛,所以全部比赛共 x( x 1) 28 场. 2
即
x x 56
2
2 （1） x
（2） x
2
75 x 350 0
x 56
这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
一元二次方程
一元二次方程的概念
等号两边都是整式, 只含有一个 未知数(一元)，并且未知数的最高次 数是2(二次)的方程叫做一元二次方程
(quadratic equation in one unknown)
思考： 1 10 x 900 0 是一元二次方程吗？ 2 x
一元二次方程的一般形式
4m
2
27mx 5 0
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(5) x 2 = 0
次 方
3
(3) x 2-
2 x
-3=0
(6) ( x + 2) 2 = 4
程
以上方程中(1)、(3)、(4)不是一元二次方程
首页
一元二次方程的一般形式
任何一个关于x 一元二次方程,经过整理都可以化为
以下形式 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
一次项系数
说明：要确定一元二次方程的系数和常数项， 必须先将方程化为一般形式。
(1) x2 = 2x
答案
元
(2) 3 x2－27 = 0
答案
二
次
方
程
(1) x2－３x = 0
解: 把方程左边分解因式,得
x(x－３) = 0
∴ x = 0 或x －3 = 0
一
元
∴原方程的根是x1=0 , x2=3
二
次
方
程
返回 首页
(2) 2 x2+13x －7= 0
解: 把方程左边分解因式,得
3x2 － 27=0
x2 －9 = 0
(x+3)(x －3) = 0
一
x+3 == 0 或 x －3 = 0
元 二
x1=－3 , x2=3
次
方
程
返回
第（3）题答案：
(x+4)(x －3) = 0
x+4= 0 或x －3=0
一
x1=－4 , x2=3
元
二
次
方
程
返回
第（4）题答案：
(3x+1)(2x －1) = 0
3x+1= 0 或2x －1=0
一
x1=? , x2=?
元
二
次
方
程
返回
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元 二 次
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(3) x2+x －12= 0
答案
方 程
例 解方程：
引入 定义 一般形式 巩固练习1 例题 巩固练习2 小结
一元二次方程
问题：
建造一个面积为20平方米，长比 宽多 1 米的长方形花坛，问它的宽是 多少？
解：设这个花坛的宽为x米，
x+1
一 元
则长为（x+1）米，
根据题意得：
x
二
x ( x+1) = 20
次
即 x 2 + x - 20 = 0
方
程 首页
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元 二 次
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(3) x2+x －12= 0
答案
方
(4) 6x2 － x － 1= 0 答案
程
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
次
就可以用因式分解法解这个方程。
方
程 小结 首页
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元
二
次
方
程
首页
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
((A) 5 (B) －５+
(C)
(D) 0
填空题
一 元
数、3x方3一x( 3程次x(x+x项23(+)xx2系=+)(2=数1x)1+1=+与212)+1常(=123+(x数132－1x(+项3－52x)的(－53)x积5－)是5)的二0次0项系
二
3x2 + 6x = 11 + 6x －10
0
次
3x2 + 6x － 6x－11 ＋10 = 0
(2x -１)(x＋７) = 0
∴ 2x -1 = 0 , x =0.5
一
或 x +7 = 0, x = -７
元
二
∴原方程的根是页
第（1）题答案：
x2 = 2x
x2 －2x = 0
x(x －2) = 0
一
x1=0 , x2=2
元
二
次
方
程
返回
第（2）题答案：
观察方程 x 2 + x - 20 = 0 有何特征？
特征如下：
①等号两边都是整式 ②又只含有一个未知数 ③并且未知数的最高次数是2
这样的方程叫 一元二次方程
一
练习 请判断下列方程是否为一元二次方程：
元
(1) 2x = y 2 - 1
(4) 3z2+1 = z (2z2 - 1)
二
(2) y - y 2 = 1
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元 二 次
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(3) x2+x －12= 0
答案
方
(4) 6x2 － x － 1= 0 答案
程
想一想
观察方程 x 2 + x - 20 = 0 有何特征？
特征如下：
①等号两边都是整式 ②又只含有一个未知数 ③并且未知数的最高次数是2
0
方 程
3二x2次－项1系= 数0 为3，常数项为-1，一次项系数0为000
首页
解一元二次方程
使得一个一元二次方程方程左右两边的值相等
的未知数的值叫做这个一元二次方程的根。
求一个一元二次方程的根的过程，叫解一元
二次方程。
一
元
一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)
二
后，如果它的左边的二次三项式能因式分解，那么
这样的方程叫 一元二次方程
一 元 二 次 方 程
返回
一元二次方程的一般形式
任何一个关于x 一元二次方程,经过整理都可以化为
以下形式 a x 2 + b x + cc = 0 (a ≠ 0)
一次项系数
说明：要确定一元二次方程的系数和常数项， 必须先将方程化为一般形式。
一
元
二
次
方
程
返回
小结
•一元二次方程的定义
1
•一元二次方程的一般形式
2
•因式分解法
3
一
•转化思想
元
二
次
方
程
练习 请填写下表:
方程
二次项系数 一次项系数 常数项
一
2x2+x -3=0
2
1
-3
元
二
x2+x = 1
1
1
-1
次
x- 7x2 = 0
-7
1
0
方
3y2 = 6
3
0
-6
程
定义 首页
巩固练习:
选择题
方程 ( y + ) ( y － ) + ( 2y +１ )２＝４y－
的二次项系数与一次项系数的和为(A )