第六章概率与概率分布

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1. 非负性
特别对必然事件 和不可能事件有
2.加法规则
如果事件A和事件B互斥，那么
如果A和B是任何事件(不一定互斥)， 加法规则更普通地表示为如下形式
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[例]从一副普通扑克牌（未包括大小王）中抽一张 牌，求抽到一张红桃或者方块的概率。
[例] 在一副52张扑克牌中，求单独抽取一次抽到一 张红桃或A的概率。
前面的例子 ：“自主婚姻”
（3）事件积(As-well-as conjunction)——事 件A与事件B同时发生所构成的事件C称为A与 B的事件积，记作
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（4）互斥事件 事件A和事件B不能同时发生，则称B和A是互 斥事件，或互不相容事件( Mutually exclusive events)，记作 (不可能事件)
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人们把随机现象的结 果以及这些结果的集合体 称作随机事件。
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诞生的婴儿将是男孩。 某人将活到100岁以上。 明年报考劳动关系学院的学生将超过2千人。 明天将下雨。

概率是这些随机事件发生可能性大小的数 量表示。
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1.样本点Ei 2.样本空间
随机试验的每一个可能 的结果，称为基本事件 （或称样本点） 所有样本点的全体称作样本 空间(Sample space)，记作Ω
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推论1：P（A1A2A3）=P（A1A2）P（A3/A1A2） =P（A1）P（A2/A1）P（A3/A1A2 ）
推论2：P（A1A2…An）=?

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[例] 某居民楼共20户，其中核心家庭为2 户， （1）问访问两户都是核心家庭的概率是多少？ （2）问访问第二户才是核心家庭的概率是多少？
[例] 掷两枚均匀的硬币， ①求“两枚都朝上”的 概率； ②求“一枚朝上，一枚朝下”的概率。 [例]全班有9名同学，其中3名女生，求任抽一名 是女生的概率。


2.1 事件之间的关系 2.2 概率运算 2.3 运用概率方法进行统计推断的前提

2.1 事件之间的关系 （1）事件的包含与相等
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加法规则可推广到对两个以上的事件，若事件A， B，C…K都互斥，那么有
P (A+B+C…+K)＝P(A)+P(B)+P(C)… +P(K)

推论1：如果A、B、C三个任何事件，不是互斥 （不是互不相容的），则：
P (A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C）
（BC）
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－P（AB）－P（AC）－P
+P（ABC）
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推论2：对于n个任意事件A1、A2…An，有： P (A1+A2+…+An)＝
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【练习】某地对国外旅游者旅游动机进行了调 查，发现旅游者出于游览名胜的概率为0.219， 出于异族文化的吸引占0.509，而两种动机兼而 有之地站0.102。问旅游动机为游览名胜或为异 族文化吸引的概率是：从样本空间来看 ， 不含任何基本事件，记作Φ 。
随机事件
必然事件：从样本空间来看 ， 该事件事件是由其全部基本事件 所组成，记作S 。
[例 ] 对掷一颗骰子的试验，我们研究如下 事件：①A为“点数是3”；②B为“出现奇数 点”；③C为“出现点数不超过6”；④D为“点 数是7”。 [解] 因为Ω ＝{1，2，3，4，5，6}，所以
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1.1随机现象和随机事件 1.2概率的计算方法

1.1 随机现象和随机事件
概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随 机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即 将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是 朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的 特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止 一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规 律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生 后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的 可能性几乎一样大，都是0.5，这就是概率。 随机现象具有一定 条件呈现多种可能结 果的特性。
用古典 法求出 的概率
这样对于含有m个样本点的事件A，其出现的概率为
P ( A)
m n
用古典法求算概 率，在应用上有两个 缺点：①它只适用于 有限样本点的情况； ②它假设机会均等， 但这些条件实际上往 往不能得到满足。
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[例]掷一枚均匀的硬币，求出现“正面朝上”的 概率。 [解]此随机试验有两个样本点，n=2。两个样本点 出现的可能性是一样的，满足古典概型。



如果事件A的发生，必然导致事件B的发生，则称 事件B包含事件A。 两事件相等，它们之间必然是等价的。 如果 则
[例]婚姻调查中，A=“自主婚姻”，B=“自己认 识的婚姻”，C=“经人介绍的婚姻”，问A与B 之间的关系是什么？
（2）事件和（Or conjunction)——事件A与 事件B至少有一个事件发生所构成的事件C称为A 与B的事件和，记作
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例：把二枚质地均匀的硬币同时扔掷，问二枚结 果都朝上的概率是多少？ 例：根据统计结果，男婴出生的概率为22/43； 女婴出生的概率为21/43。某单位有两孕妇，问 两名孕妇都生男孩的概率是多少？都生女孩的概 率是多少？其中一名孕妇生男孩、一名孕妇生女 孩的概率是多少？ 例：街上有人拿牌赌博，52张牌洗匀后，抽到A 就赢10块钱，先后有两个人来试运气； （a）第一个人抽到A的概率是多少？ （b）第二个人抽到A的概率是多少？ （c）两个人都抽到A的概率是多少？
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概率论的创始人是法国的帕斯卡 (1623-1662)和费 尔马 (1601-1665) ，他们在以通信的方式讨论赌博的机 率问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗 (1667-1754) 发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努 利(1654-1705)提出了二项分布理论。1814年，法国的 拉普拉斯 (1749-1827) 发表了《概率分析论》，该书奠 定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自然和 社会的研究。此后，法国的泊松 (1781-1840) 提出了泊 松分布，德国的高斯(1777-1855)提出了最小平方法。
①A＝{3} ，为简单事件；
②B＝{1，3，5}，为复合事件； ③C＝{1，2，3，4，5，6}，为必然事件； ④D＝{7}，为不可能事件。
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在统计学中，有两种常见的确定概率的方 法：古典法和频率法。
（一）频率法（经验概率） 随机事件具有两重性：一次试验或观察的 结果具有偶然性；大量重复实验或观察的 结果具有统计规律性。
本章是推 断统计的 基础
基础概率 主 要 内 容

概率的数学性质
概率分布、期望值与方差
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参数估计和假设检验
总体参数 推断估计
抽样分布 参数估计
统计量
随机原则
假设检验
检验
推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断， 这是以概率论为基础的。
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概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险等 工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需要一 种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 关于赌博的可能性： 参赌者通常想类似的问题，如果同时掷两颗骰子 ，则 点数之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性 较大？ 例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰子连 掷四次，出现一个6 点的机会比较多，而同时将两枚掷24 次，出现一次双6 的机会却很少。
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频率是试验值，因此具有随机性。 概率是理论值，它由事件的本质决定，其 数值是唯一的，能精确反映事件出现可能 性的大小。 在现实中，我们常遇到是哪一个？


（二）古典法（先验概率）
由普拉斯1814年提出。以 想象总体为对象，利用模型本 身所具有的对称性来事先求得 概率，故被称为先验概率 。 条件： （1）在一样本空间中，各样本 点出现的机会均等； （2）该样本空间只有有限（n) 个样本点。

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（2）一般式 当事件A与事件B不满足相互独立时，则事件A 的发生与否将影响事件B的发生，反之亦然。
式中符号 和 代表条件概率。 应理 解为，“在B已经发生条件下A发生的概率”。条件概率的意思是， A发生的概率可能与B是否发生有关系。换言之，B已经发生时A发生 的概率可能有别于B没有发生时A发生的概率。

设想有一个与某试验相联系的事件E，把这个试验一次又一次地做 下去，每次都记录事件E是否发生了。假如做了 N 次试验，而记录 到事件E发生了 n 次（即成功 n 次），则频数与试验次数的比值， 称作次试验中事件E发生的频率
?≤ f(E) ≤?
显然，频率具有双重性质：随机性和规律性. 当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定，这个极 限值就是用频率法所定义的概率，即
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（5）对立事件（Complementary events）——事件A与事件B是互斥事件，且 在一次试验中必有其一发生，称A与B为对立 事件（逆事件），记作 AB=？ A+B=？ （6）相互独立事件——事件A的发生与事 件B是否发生毫无关系，称A与B为相互独立事 件，记作
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