复数小结
复变函数
z x iy
( x, y)
复数 z x iy 可以用复平 面上的点 ( x , y ) 表示.
o
x
x
16
2. 复数的模(或绝对值)
复数 z x iy 可以用复平面上的向量OP 表示,
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x y .
2 2
y y
显然下列各式成立
所以它的复数形式的参数方程为
z z1 t ( z2 z1 ) 参数 t ( , ),
28
故,由 z1 到 z2 的直线段的参数方程为
z z1 t ( z2 z1 )
0 t 1
1 若取 t , 2 z1 z2 . 得线段 z1 z2 的中点坐标为 z 2
27
例6 将通过两点 z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直
线用复数形式的方程来表示.
解
通过两点 ( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) 的直线的方程
x x1 t ( x2 x1 ) 参数 t ( , ), y y1 t ( y2 y1 )
2 2
(4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
以上各式证明略.
8
1 3i 例2 设 z , 求 Re( z ), Im( z ) 与z z . i 1 i
解
i 3i (1 i ) 3 1 1 3i i, z i i (1 i )(1 i ) 2 2 i 1 i
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
英语名词复数变化小结
英语名词复数变化小结英语名词有复数形式，其变化分规则变化和不规则变化两种：一．规则变化1．直接加-s。
例如：desks(课桌), pens(钢笔),books(书籍), fans(粉丝), cars(小汽车) 2．以“丝”音或s, x sh, ch等字母结尾的名词加-es。
例如：buses(公共汽车),boxes(盒子), dishes(盘子), watches(手表)3．以y结尾的名词1). 以辅音字母加y的名词变y为i再加-es。
例如：family---families(家庭)，city---cities(城市)，country---countries(国家), study---studies(学习), etc. 2）. 以元音字母加y的名词只加-s。
例如：key---keys(钥匙)，boy---boys(男孩)，play---plays(戏剧)，toy---toys(玩具)，二．不规则变化1. 变内部元音。
例如：man---men(男人), woman---women(女人), foot---feet(英尺，脚), tooth---teeth(牙),goose--- geese(鹅),mouse---mice(老鼠), louse---lice(虱子)2. 词尾加-en构成。
例如：ox---oxen(牛),child---children(孩子)3. 以f或fe结尾的名词1). 去掉f或fe加-ves。
例如：half---halves(半),thief---thieves(贼), wife---wives(妻子),life---lives(生命),knife --- knives(小刀), wolf---wolves(狼), calf---calves(小牛),shelf--- shelves(架子),leaf--- leaves(叶), loaf---loaves(面包的块、条), sheaf---sheaves(捆), self--- selves(自己)2). 直接加-s.。
复变函数小结
复变函数小结复变函数小结复变函数小结关于前两章复数和解析函数部分这里不再总结。
复数一块掌握复数表示的三种形式和相关运算。
解析函数一块关键是要掌握C-R方程和解析及可导的判断，掌握指数函数、对数函数、幂函数的计算及性质。
复变函数积分1参数方程。
2柯西积分定理(条件：f(z)在单连通区域内解析)。
推论1:积分与路径无关。
(可使用原函数的方法)推论2:闭合曲线上的积分为0。
.3复合闭路定理(条件:在多连通内及边界上解析)4高阶导数公式(条件:在单(多)连通内及边界上解析)说明了解析函数区域内部的点处的值可以由边界处的值决定；解析函数具有任意阶导数，各阶导函数仍解析。
级数1复数数列收敛的充要条件:实部、虚部数列均收敛。
2复数项级数收敛的充要条件:实部、虚部实数项级数均收敛。
3绝对收敛与条件收敛。
判断绝对收敛的步骤:实部虚部分离。
直接取模。
判断收敛的一般方法：收敛的必要条件、比较判别法、比值判别法或根值判别法。
一般是先判断是否为绝对收敛，再判断是否条件收敛(注意莱布尼兹判别法的使用)。
4幂级数敛散性判断及收敛半径的求法：阿贝尔定理(不缺项)、比值判别法(缺项)5泰勒级数(记住常用的泰勒级数:exp(x),Ln(x),1/(1-x),sin(x),cos(x)…)6洛朗级数洛朗级数存在条件：f(z)在圆环域内r重点记忆：傅利叶变换及其逆变换的定义。
单位脉冲函数的筛选性质(一般形式)。
单位阶跃函数u(t)的傅氏变换。
正余弦函数的傅氏变换。
e的傅氏变换。
傅氏变换的线性性质(注意tf(t)的傅氏变换为-F’(s)/i)、位移性质(两个公式)、微分性质、积分性质。
卷积的定义、计算公式、卷积定理(两个公式)注：计算卷积要注意成立区间的讨论。
拉普拉斯变换重点记忆：拉普拉斯变换及其逆变换的定义。
单位脉冲函数的筛选性质(一般形式)。
幂函数tm的拉氏变换。
单位阶跃函数u(t)的拉氏变换。
指数函数e的拉式变换。
正余弦函数的拉氏变换。
复数复习小结
复数复习小结(附测试题)教学目的：1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示.2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等)对应的实参数值.3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算.4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义教学重点：复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用．教学难点：复数的有关几何意义的理解与应用教学过程：一、知识要点：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是---------------3. i的周期性：i4n+1= , i4n+2= ,i4n+3= ,i4n=4.复数的定义：形如的数叫复数，a a叫复数的，b b叫复数的全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示5. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)=+∈，z a bi a b R把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈，当且仅当时，复数a+bi(a、a bi ab Rb∈R)是实数a；当时，复数z=a+bi叫做虚数；当时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当时，z就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q RC.8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小9. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做上的点都表示对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了外，虚轴上的点都表示10．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=11. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=12. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.13. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)14．乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.15.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.16.除法运算规则：17．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数18．复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量OP、1OP，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线2OS表示的向量OS就是z1+z2的和所对应的向量17.复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.18．复数的模：||||||z a bi OZ=+==二、讲解范例：1．复数的概念例1．实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，∴（1）m=1时，z是实数；（2）m≠1时，z是虚数；（3）当1010mm+=⎧⎨-≠⎩时，即m=－1时，z是纯虚数；（4）当1010mm+<⎧⎨-<⎩时，即m<－1时，z对应的点Z在第三象限。
高二数学下复数小结
4.设f(n)=( )n+( )n(n∈Z)，则集合｛x｜x=f(n)｝中元素的个数是
A.1 B.2 C.3 D.无穷多个
解析：∵f(n)=in+(－i)n，
∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0.
∴｛x｜x=f(n)｝=｛－2，0，2｝.
答案：C
解：∵ －z1=2i，∴ =z1+2i.
∴z2= ，即z2= －2i.
又∵z1·z2+2iz1－2iz2+1=0，
∴z1( －2i)+2iz1－2i( －2i)+1=0，
即| |2－2i －3=0.
令z1=a+bi(a、b∈R)，
得a2+b2－2b－3－2ai=0，
即 解得
∴z1=3i，z2=－5i或z1=－i，z2=－i.
④z为虚数的一个充要条件是z+ ∈R;
⑤若a、b是两个相等的实数，则(a－b)+(a+b)i是纯虚数;
⑥复数z∈R的一个充要条件是z= .
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①错，两个复数如果都是实数则可比较大小;②错，当z1、z2、z3不全是实数时不成立，如z1=i，z2=1+i，z3=1时满足条件，但z1≠z3;③错，当x=－1时，虚部也为零，原数是实数;④错，此条件是必要非充分条件;⑤错，当a=b=0时，原数是实数;⑥对.
三．模的性质:设 （ ）的共轭复数为 ，则：
（1）
（2） ， ， （ ）
（3）
（4）
(5) ； ；
(6) ；
(7) （ ）；
练习位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于
名词变复数规则小结
名词变复数规则小结名词复数的规则变化其它名词复数的规则变化1）以y结尾的专有名词，或元音字母+y 结尾的名词变复数时，直接加s变复数：如：two Marys ；the Henrys；monkey---monkeys；holiday---holidays；比较：storey ---storeys；story---stories；2）以o 结尾的名词，变复数时：a。
加s，如：photo---photos；piano---pianos；radio---radios；zoo---zoos；b。
加es，如：potato--potatoes ；tomato—tomatoes c。
均可，如：zero---zeros / zeroes3）以f或fe 结尾的名词变复数时：a。
加s，如：belief---beliefs；roof---roofs；safe---safes；gulf---gulfs；b。
去f，fe 加ves，如：half---halves；knife---knives；leaf---leaves；wolf---wolves；wife---wives；life---lives；thief---thieves；c。
均可，如：handkerchief---handkerchiefs / handkerchieves名词复数的不规则变化1）不规则复数如：child---children；foot---feet；tooth---teeth；mouse---mice；man---men；woman---women；注意：与man 和woman构成的合成词，其复数形式也是-men 和-women。
如：an Englishman，two Englishmen。
但German不是合成词，故复数形式为Germans；Bowman是姓，其复数是the Bowmans。
2）单复同形如：deer，sheep，fish，Chinese，Japaneseli，jin，yuan，two li，three mu，four jin但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。
复数的乘除法总结
x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1，
如果不是，你能求出其他的解吗？
一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
2 2i i i 2 2 i 1 3i
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi
记作 c+di
例1、复数 z 满足(3-4i)×z = 1+2i，求z 。
1.知识
（1）复数的乘法； （2）复数的除法； （ 3）共轭复数。 通过本节课的学习，你有哪些收获？
归 纳 小 结
2.思想方新
1 3 1 3 i， ＝－ － i 练习2 设 － 2 2 2 2
2 2 3
（ 计算（ 1 ） （ ， 2） ， 3 ） ， (4) 。
1 i i. 1 i
1 i 8 ) . 练习 计算( 1 i 8 2 1 i （ 1 i ） 8 解 ( ) 1 i （ (1 i ) 1 - i）
2i 8 （ ） 2
i 1
8
2009浙江（理）
2 2 例4.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
a b2
2 2
关于复数的知识点总结
关于复数的知识点总结复数的知识点总结篇1复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。
高考数学一轮总复习复数的几何意义与共轭复数
高考数学一轮总复习复数的几何意义与共轭复数高考数学一轮总复习：复数的几何意义与共轭复数复数是数学中一个重要的概念，对于高考数学来说，复数的几何意义和共轭复数是重要的知识点。
本文将介绍复数的概念、复数的几何意义以及共轭复数，并探讨它们在高考数学中的应用。
一、复数的概念复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数包括实数和纯虚数，实部为零时为纯虚数。
二、复数的几何意义复数可以用平面上的点来表示，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。
例如，复数2+3i对应平面上的一个点，其横坐标为2，纵坐标为3，可以表示为(2,3)。
利用这种表示方法，我们可以将复数的加法、减法、乘法和除法转化为平面上点的运算。
两个复数的加法相当于将它们对应的点进行平移，减法相当于对点进行反向平移，乘法相当于对点进行旋转和缩放，除法相当于对点进行旋转和缩放再取倒数。
三、共轭复数给定复数z=a+bi，其共轭复数z*=a-bi。
共轭复数与原复数在平面上关于实轴对称，即对应的两个点关于实轴对称。
共轭复数有以下性质：1. 两个复数的和的共轭等于它们的共轭的和，即(z+w)* = z* + w*2. 两个复数的差的共轭等于它们的共轭的差，即(z-w)* = z* - w*3. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积，即(zw)* = z*w*4. 一个复数的共轭的共轭等于它本身，即(z*)* = z共轭复数在复数的除法和复数方程的求解中起到重要的作用，能简化计算过程。
四、复数在高考数学中的应用1. 解方程：利用复数的概念和运算，我们可以解决一些在实数范围内无解的方程。
例如，方程x^2+1=0在实数范围内无解，但引入复数后，可得到两个解：x=±i。
2. 平面几何：复数可以表示平面上的点，通过复数的运算，可以进行平面几何的计算。
例如，两点间的距离可以用它们对应的复数表示，并使用模的概念计算。
复数知识点总结
复数知识点总结复数知识点小结1、复数的概念复数是由实部和虚部组成的数，表示为z=a+bi（a,b∈R）。
2、复数的分类复数可以分为实数和虚数，其中虚数的实部为0.虚数单位为i（i²=-1）。
3、两个复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，则这两个复数相等。
4、复平面复平面是用直角坐标系来表示复数的平面，其中x轴为实轴，y轴为虚轴。
实数的点在实轴上，纯虚数的点在虚轴上，原点表示实数。
5、复数的向量表示复数可以表示为复平面上的点Z(a,b)，也可以表示为向量OZ。
6、复数的模复数的模（绝对值）是复平面上点Z(a,b)到坐标原点的距离，即|z|=|a+bi|=√(a²+b²)。
7、复数的四则运算性质复数加法、减法、乘法、除法都有特定的运算公式，满足交换律、结合律、分配律等基本性质。
同时，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立。
8、i的整数指数幂的周期性特征i的整数指数幂呈现出周期性特征，即i⁰=1，i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，以此类推。
若k为非负实数，则有如下规律：当k为偶数时，i的偶次幂为1，奇次幂为-1；当k为奇数时，i的偶次幂为-1，奇次幂为i。
这个规律可以表示为：i的4k+1次幂为i，4k+2次幂为-1，4k+3次幂为- i，4k+4次幂为1.对于复数的模，可以有如下几何意义：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d为实数），则|z1-z2|表示复平面上点Z1(a,b)和点Z2(c,d)之间的距离，即直线段CD的长度，其中C 和D分别是Z1和Z2在复平面上的对应点。
共轭复数是指当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。
当一个复数为实数时，它的共轭复数就是它本身。
对于n个复数的情况，同样可以得出类似的结论。
对于复数的运算性质，有如下结论：（1）复数的加减法满足交换律和结合律；（2）复数的乘法满足交换律、结合律和分配律；（3）复数的模的运算满足三角不等式，即对于任意两个复数z1和z2，有|z1|-|z2|≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|。
a复数知识点总结英语
a复数知识点总结英语Regular Plural FormIn English, most nouns form their plural by simply adding -s to the singular form. For example:- Cat (singular) becomes Cats (plural)- Dog (singular) becomes Dogs (plural)- Book (singular) becomes Books (plural)There are a few exceptions to this rule, such as nouns ending in -s, -sh, -ch, -x, and -z, which form their plural by adding -es. For example:- Bus (singular) becomes Buses (plural)- Bush (singular) becomes Bushes (plural)- Bench (singular) becomes Benches (plural)- Box (singular) becomes Boxes (plural)- Quiz (singular) becomes Quizzes (plural)There are also certain words that change their spelling completely when forming the plural. For example:- Man (singular) becomes Men (plural)- Woman (singular) becomes Women (plural)- Child (singular) becomes Children (plural)Irregular Plural FormSome nouns have irregular plural forms, which means they do not follow the standard rules for forming plurals. These irregular plurals can be quite tricky to remember, so it is important to study and memorize them. For example:- Foot (singular) becomes Feet (plural)- Tooth (singular) becomes Teeth (plural)- Child (singular) becomes Children (plural)- Mouse (singular) becomes Mice (plural)- Goose (singular) becomes Geese (plural)Nouns ending in -yWhen a noun ends in -y preceded by a consonant, the -y changes to -i before adding -es to form the plural. For example:- Baby (singular) becomes Babies (plural)- City (singular) becomes Cities (plural)- Berry (singular) becomes Berries (plural)Nouns ending in -oMost nouns ending in -o form their plural by simply adding -s. For example:- Piano (singular) becomes Pianos (plural)- Tomato (singular) becomes Tomatoes (plural)- Photo (singular) becomes Photos (plural)However, there are some exceptions to this rule, and certain nouns ending in -o form their plural by adding -es. For example:- Potato (singular) becomes Potatoes (plural)- Hero (singular) becomes Heroes (plural)- Tomato (singular) becomes Tomatoes (plural)Compound NounsWhen forming the plural of compound nouns, the general rule is to pluralize the main word. For example:- Mother-in-law (singular) becomes Mothers-in-law (plural)- Knight-errant (singular) becomes Knights-errant (plural)- Man-of-war (singular) becomes Men-of-war (plural)Collective NounsCollective nouns, which refer to groups of people or things, can be singular or plural, depending on the context. For example:- The team is playing well. (singular)- The team are all wearing matching uniforms. (plural)Nouns with the Same Singular and Plural FormThere are some nouns in English that have the same form for both singular and plural. For example:- Deer (singular and plural)- Sheep (singular and plural)- Fish (singular and plural)Nouns with Different Singular and Plural FormsSome nouns have different singular and plural forms, and it is important to remember these irregularities. For example:- Person (singular) becomes People (plural)- Mouse (singular) becomes Mice (plural)- Ox (singular) becomes Oxen (plural)Countable and Uncountable NounsIn English, there are countable nouns, which can be counted and have both singular and plural forms, and uncountable nouns, which cannot be counted and do not have a plural form. For example:- Countable: Apple (singular) becomes Apples (plural)- Uncountable: Water (no plural form)It is important to remember the differences between countable and uncountable nouns when using them in sentences and understanding their plural forms.Some other points to remember:- Plural of "for" and "against" is "fors" and "againsts".- Some words that are the same in the singular and the plural come from Latin words like "species" and "series".- Some words are the same in both the singular and plural, and the concept is pluralistic or singular.- "S" is added sometimes to the base word.In conclusion, forming plurals in English can be a bit complex due to the various rules and exceptions. It is important to familiarize yourself with the different patterns and irregularities in order to use the correct plural form in your writing and speech. Practice and exposure to the language will help you internalize the rules and use them correctly.。
复数知识小结
复数知识小结1、引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：（1）12-=i ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 2、复数的概念 根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又扩充了，出现了形如 )R ,(∈+b a bi a 的数，我们把它们叫做复数．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有：N*NZ Q R C ．3、正确认识复数的实部与虚部 对于复数),(R b a bi a ∈+，实部是a ，虚部是b ．注意在说复数bi a +时，一定有R b a ∈,，否则，不能说实部是a ，虚部是b ,复数的实部和虚部都是实数．4、关于复数能否比较大小分析“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：根据两个复数相等地定义，可知在d b c a ==,两式中，只要有一个不成立，那么di c Bi a +≠+．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．5、复数集与复平面内所有点所成的集合对应时注意事项 ①任何一个复数bi a z +=都可以由一个有序实数对(b a ,)唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对(b a ,)叫做复数的．②复数bi a z +=用复平面内的点Z(b a ,)表示．复平面内的点Z 的坐标是(b a ,)，而不是(i b a ,)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i ．由于i =0＋1·i ，所以用复平面内的点(0，1)表示i 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数i 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位i ，或者i 就是纵轴的单位长度．③当0=a 时，对任何0≠b ，bi bi bi a =+=+0是纯虚数，所以纵轴上的点(b ,0)( 0≠b )都是表示纯虚数．但当0==b a 时，0=+bi a 是实数．由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．④复数z=a ＋bi 中的z ，书写时小写，复平面内点Z(a ，b)中的Z ，书写时大写． 6、正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：注意分清复数分类中的界限：①设),(R b a bi a z ∈+=，则z 为实数.0=⇔b ②z 为虚数.0≠⇔b ③00=⇔=a z 且0=b ． ④z 为纯虚数0=⇔a 且.0≠b7、关于共轭复数的概念 设),(R b a bi a z ∈+=，则bi a z -=，即z 与z 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为bi a +与bi a +-或bi a --是共轭复数）．当0=b 时，实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当0≠b 时，bi a +与bi a -互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行． 8、复数加减法的几何意义 （1） 两个复数1z ，2z在复平面上对应的向量分别为，那么这两个复数的和z z z =+21所对应的向量就是以和为邻边的平行四边形的对角线向量（如右图）． （2）两个复数1z ，2z在复平面上对应的向量分别是，那么这两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量，也可将其平移，使它起点与原点重合时的位置（如右图）． 9、复数的模的性质（1）212121z z z z z z +≤±≤-)0,0(21212121≠≠+≤-≤-z z z z z z z z ①①中右端等号在21,z z 对应向量平行且方向相同时取得；右端等号在21,z z 对应向量平行，且方向相反时取得。
高二数学期末复习之四复数
高二数学期末复习之四复数知识小结:⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念：复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数] 2若21z z ，则021 z z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）1. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式：①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程.③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则 ①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=.②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- . 2. 共轭复数的性质：z z = 2121z z z z +=+ a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅ 2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） nn z z )(=注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]3. ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有 ③nn n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+ 注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i )(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++ i i ii i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 . 4. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：||||z z =. 5.复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题：①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根ab x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根abx 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 范例分析①实数？②虚数？③纯虚数？①复数z 是实数的充要条件是： )(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω∴当m＝-2时复数z为实数．②复数z是虚数的充要条件：∴当m≠-3且m≠-2时复数z为虚数③复数z是纯虚数的充要条件是：∴当m＝1时复数z为纯虚数．【说明】要注意复数z实部的定义域是m≠-3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．[ ]()22221441z z z z=-+=-++，所以54z=，代入①得34z i=+，故选B．解法3：选择支中的复数的模均为2314⎛⎫+⎪⎝⎭，又0z≥，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B．【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点．求：z【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z．运算简化．解：设z=x+yi(x，y∈R)将z=x+yi 代入|z -4|＝|z -4i|可得x ＝y ，∴z=x+xi(2)当|z -1|2＝13时，即有x 2-x -6=0则有x=3或x=-2 综上所述故z ＝0或z=3+3i 或z=-2-2i【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质．其性质有：(3)1+2i+32i +…+1000999i【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i 的幂的周期性，要记住常用的数据：2(1)2i i ±=±，11i i i -=-+，11ii i+=-。
第3章复数复习与小结
教学内容第3章 复习与小结 教学目标要求 1．复习复数的概念，表示形式（几何和代数）以及复数的四则运算．2．借助图形及向量形式进一步加深对复数的理解，学会用代数方法解决问题．教学重点复数的综合应用 教学难点复数的综合应用 教学方法和教具教师主导活动 学生主体活动一、知识回顾1．复数的三种形式：（1）代数形式__________________；（2）几何形式_______________；（3）向量形式______________．2．复数相等：当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i _________⇔，a ＋b i ＝0_____⇔．3．复数的四则运算：特别是除法运算，就是分母__________化．4．共轭复数、模：（1）z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的共轭复数是________________，（2）z 是实数⇔_____________________．（3）│z │＝__________．（4）________________z z ⋅＝＝．5．复数的几何意义：│z 1－z 2│表示_______________________________．二、数学应用例1 （1） 设a ，b ，c ，d ∈R ，则复数（a ＋b i ）（c ＋d i ）为实数的充要条件是____________ ．（2）在复平面内，复数1i i ＋对应的点位于第_______象限． （3）已知1im ＋＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i ＝_______．（4）设x ，y 为实数，且1i x －＋12i y －＝513i－，则x ＋y ＝ ．例2 已知复数z 满足4z z ⋅＝，且│z ＋1＋3i │＝4，求复数z ．解 法一 待定系数法 设z ＝a ＋b i ，则由条件22224(1)(3)16a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩＋＝＋＋＋＝ 法二 利用模的几何意义 │z │＝2表示z 所对应的点在原点为圆心，2为半径的圆上；│z ＋1＋3i │＝4表示z 所对应的点在以(－1，－3)为圆心，4为半径的圆上，故z 所对应的点为两圆的交点，即可求解．练习1 已知z 1，z 2∈C ，│z 1│＝│z 2│＝1，│z 1＋z 2│＝3，求│z 1－z 2│．2．设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则当z 满足下列条件时，动点Z （x ，y ）分别表示什么样的图形？（1）│z －i │＋│z ＋i │＝4. （2）│z ＋1＋i │＝│z －1－i │.例3 已知z 1，z 2是两个虚数，并且z 1＋z 2，z 1·z 2均为实数，求证：z 1，z 2是共轭虚数．四、要点归纳与方法小结：本节课复习了以下内容：1.复数的概念、表示形式和四则运算．2.复数及复数加减法的几何意义．3.待定系数法与数形结合的思想方法．板书设计教后札记。
复数几何意义及运算知识点讲解+例题讲解(含解析)
复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).小结：1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析 依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i. 答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i 1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案 －1考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2， 解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D.2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i 5C.1－2i 5D.1＋2i 5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( ) A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3iD.－1－3i解析 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i(i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数， 得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B3.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 解析 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5， ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。
名词变复数规则小结
一、绝大多数的可数名词的复数形式，是在该词末尾加上后辍-s。
例：friend→friends; cat→cats; style→styles; sport→sports; piece→pieces 二、凡是以s、z、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加上后辍-es构成复数。
例：bus→buses; quiz→quizzes; fox→foxes; match→matches; flash→flashes box →boxes; watch →watches; actress →actresses; class →classes; coach （长途车）→coaches; dress →dresses; sandwich →sandwiches; toothbrush →toothbrushes; waitress（女侍者）→waitresses三、以辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es。
例：candy→candies; daisy（雏菊）→daisies; fairy→fairies; lady→ladies; story→storiesstrawberry →strawberries; baby →babies; puppy →puppies; library →libraries; dictionary →dictionaries; cherry →cherries; activity →activities以元音字母+y结尾的名词，直接加s。
例：boy →boys toy →toys四、以-o结尾的名词，有生命的加es，无生命的加s例：tomato→tomatoes; potato→potatoes;piano→pianos; photo→photos;五、以-f或-fe结尾的名词，将-f或-fe改变为-ves。
例：knife→knives; life→lives; leaf→leaves; staff(员工)→staves; scarf（围巾）→scarves。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C. i
D.i
4、(2011山东2）
复数 2 i 在复平面内对应的点所在象限为（）D
2i
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5、（2011 浙江 2） 把复 i
则(1 z) z () A
A.3i B.3 i C.1 3i D.3
6、（2011辽宁1)
数系的扩充与复数的引入小结
知识与技能
教学目标
构建知识网络，进一步理解并熟练应用复数的相关概念与 复数相等充要条件，熟练进行复数的四则运算，理解复数
的几何意义及其代数形式加减运算的几何意义. 过程与方法
通过典型例题、练习，进一步理解并熟练应用复数相等的 充要条件；熟练进行复数的四则运算.
情感、态度、价值观
知识整合是能力提升的一个重要环节，应投资时间
认真总结整理.
201考1纲高解考读导航
1.复数的概念 (1)理解复数的基本概念． (2)理解复数相等的充要条件． (3)了解复数的代数表示法及其
几何意义．
2．复数的四则运算 (1)会进行复数代数形式的四则
运算． (2)了解复数代数形式的加、减
运算的几何意义.
2．对复数运算的考查，高考命 题主要以考查复数的加、减、乘、除 运算为主，题目多为选择题，难度与 课本习题相当．
演练课堂互动讲练
计算：(1)((12－＋23i)i)45；
－2 3 (2) 1＋2
3＋i i＋(1－2 i)2010；
(3)(11＋－ii)6＋
2＋ 3－
3i 2i .
高考体验
1、（2011重庆1）i2 i3 i4 （） 1i
A.2
B. 2
2 i C. 1
2
D. 1 2
9、（2011湖北1）
i为虚数单位，则
1
i
2011
()
A
1i
A. i
B. 1
C.i
D.1
10、（2011陕西7）
设集合M y y cos2 x sin2 x x R ,
N
x
x
1 i
2,i为虚数单位，x R,则M N为（）C
A.0,1 B.0,1 C.0,1 D.0,1
2011高考导航
考纲解读
2．复数的四则运算 (1)会进行复数代数形式的四则运算． (2)了解复数代数形式的加、减运算的 几何意义.
20命11题高探究考导航
从历年高考试题看，复数部分的 考查重点是复数的有关概念和复数的 代数形式运算及运算的几何意义．
1．复数的概念的考查，高考命 题仍以考查基本概念为主，题型以选 择题、填空题为主，难度不大．
A. 1 1 i B. 1 1 i
22
22
C. 1 1 i 22
D. 1 1 i 22
2、(2011广东1） 设复数z满足(1 i)z 2,则z ()
A.1 i
B.1i C.2 2i
D.2 2i
3、(2011课标1）
C
复数 2 i 的共轭复数是（）
1 2i
A. 3 i 5
B. 3 i 5
a为正实数，i为虚数单位，a i i
2,则a (B)
A.2 B. 3
C. 2
D.1
7、（2011福建1）
i是虚数单位，若集合S 1,0,1,则（）B
A.i S B.i2 S
8、(2011安徽1）
C.i3 S D. 2 S
i
设i是虚数单位，复数 1 ai 为纯虚数，则实数 a为（）A