点割集

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连通分支等概念深刻理解无向图的点割集和边割集

连通分支等概念深刻理解无向图的点割集和边割集
2
证:(反证法)设结论不成立,即存在
v V , (G-v) 1 d(v)
2
因为G是连通的,所以G-v的每个分支都至少有
一个点与v相邻接,而且存在一个分支,其与v相邻接
的点w只有一条边与v相连(因为如每个分支中有二个
以上的点与v相连,则 d(v) 2(G-v) d(v) ,出现矛
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5. 深刻理解无向图的连通性,连通分支等概念 6. 深刻理解无向图的点割集和边割集、点连通
度、边连通度等概念及其之间的关系,并能 熟练地求出给定的较为简单的图的点割集和 边割集、点连通度与边连通度 7. 深刻理解有向图连通性的概念及其分类,掌 握判断有向连通图类型的方法 8. 深刻理解有向图的邻接矩阵、可达矩阵的基 本概念
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………
w
………
v
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30、解:
v1 e1 v2
e2
v3
e7
e3 e5
e6 v5
e4
v4
e8
v6
e9
e11
e12
e10
v7
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
0 1 1 0 0
0
0

0 0 0 1 0 0 0

A

0 1

0 011 0101

m

n(n 1 ) 2

C
2 n
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4、证:
由欧拉定理,2m d(v)
vG
d(v)
vG vG

图论 第四章 割集

图论 第四章 割集

定理5.2.1 图G 关于生成树的基本圈
C1, C2 , , Cq p1 是线性无关的。
定理5.2.2 连通图G的任一环路均可表示成 若干个基本圈的环和。
定理5.2.3 连通(p,q)图G的所有环路和空图 的集合构成一个q-p+1维空间,记作 (G)称为圈 空间。
定理5.2.4 连通(p,q)图G的圈空间中元素的 个数为2 q-p+1。
第四章 割 集
4.1 割集与断集
我们定义连通图G的顶点数减1为图G的秩,记作 R(G),即R(G)=p-1 如果G有k个连通分支,则R(G)=p-k
定义4.1.1 设S E(G),如果
1.R(G-S)=p-2
2.对S S,R(G-S)=p-1 则称边集S为图G的的一个割集(cut set)。
割集是指一个边集S,在G中去掉S的所有边后G变 为具有两个分支的分离图,但是去掉S中的部分边时 图仍然是连通的。
2
a
c
b
1
d
e
4
3
g f
5
1 2
1
d
e 3
f
g
5
2
a
4
e
3
g
5
2
a
c
b
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1
d
e
4
3
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a
1 f
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4
3
g
g f
5
a b
1
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5
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a
b
5
1
d
4
3
f
5
1
3 2
a
b
c
d
e
f

割集

割集

割集
割集,也叫做截集或截止集,它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。

也就是说事故树中一组基本事件的发生,能够造成顶上事件发生,这组基本事件就叫割集。

引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。

中文名:割集
别称:截集或截止集
对象:简化成图的路网
目的:计算最大运输量
割集法是针对简化成图(有向图或无向图)的路网,运用图论的相关理论与方法,计算最大运输量。

由于实际路网是一个多起点、终点,随机开放的复杂系统,要想采用图论的最大流最小割定理,就必须将实际的路网抽象成一个单起、终点的理想图。

那么如何简化路网及如何寻找路网的最小割集是这种方法的关键,目前,针对这2个问题,按照不同的路网简化方式,已建立了2种模型,即修正模型和衍生割集网络极大流模型。

运用割集法方法解决路网容量问题的关键在于如何将实际的路网抽象成一个单收发点的理想图及如何寻求路网的最小割集。

而上述2类模型虽然对这个问题有所处理,但其处理结果不是引起路网上的交通重新分配,就是疏漏某些流量,因此如何既简化了路网,又能得出合理而准确的结果是是目前亟待研究的重点。

《电路(第五版)》(邱关源著,高等教育出版社)中第十五章“电路方程的矩阵形式”,第一节“割集”中给出了割集的定义:连通图G的一个割集是G 的一个支路集合,把这些支路移去将使G分离为两个部分,但是如果少移去一条支路,图仍将是连通的。

大学电路第十五章割集

大学电路第十五章割集

特点
①每一列只有两个非零元素,一个是+1,一个 是-1,Aa的每一列元素之和为零。 ②矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出,即只 有n-1行是独立的。
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结 1 Aa= 2 3 4

1 -1 0 1 0
2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0
4 0 -1 1 0
5 0 0 1 -1
图的矩阵表示
图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质。 有三种矩阵形式: 结点 回路 割集 支路 支路 支路 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
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一. 关联矩阵A
1. 关联矩阵Aa:描述结点和支路的关联情况的矩阵。 n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述: 支路b 结 点 n
注意
每一行对应一个结点, 每一列对应一条支路。
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2. 基本割集矩阵Qf :所选独立割集为单树枝割集组 时,得到的割集矩阵。
规定 基本割集矩阵
①割集方向为树支方向; ②支路排列顺序先树支后连支; ③割集顺序与树支次序一致。 ② 3 4 6 5 2 ④ 1
例 选 1、2、3支路为树 Q1: {1, 4, 5} Q2: {2, 5, 6} Q3: {3, 4 , 6}
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②用矩阵[A]T表示的KVL的矩阵形式
设:
u u1 u2 u3 u4 u5 u6
T
1 0 1 0 1 1 T A u n 0 1 0 0 0 1
1 u n1 u n3 u 0 n1 un1 0 un1 un 2 u n 2 u 0 n2 un 3 un3 1 un 2 0

一种P2P环境下点割集的被动分布式发现算法

一种P2P环境下点割集的被动分布式发现算法
任 浩。 王志英
A s rb t d Pa sv e t x Cu e s o e y Dit i u e s i e V r e tS tDic v r
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱN o, ANG i i g i Ha W Zh - n y
( 国防科技大学计算机学院 。 湖南 长 沙 4 0 7 ) 1 0 3
n ds js ya a z gte tt t a ifr t no e eevd sa e Smuains o U grt e iha— o e, ut l i ai i lnomai fh cie sg& i lt h ws r lo h C g t g c b n y n h s sc o t r me o O a im a n h
1 引言
今天 , 因特 网上 已经涌 现 出众 多广 受用 户欢 迎 的 P P 2 应用 无论是何种 P P应用 , 2 都需要在 物理层 网络 上建立
上层应用 的可靠性 和服务质量具有相当重要 的作用 。 传统 的发 现点 割集 的方法都是 以掌握 网络拓扑 的全局 信息为前提 , 这在规模庞大且 动态性强 的 P P 盖网 中是 2覆 无法完成 的, 因此需要 分布式 算法解决 此 问题 。据 我们所 知 , 目前为止仅有 LuX 1提 出过一 种针对 P P覆盖 网 到 i c ] 2
Ke rs c tv re ; etx c te ; P o e ly n t r ;eibl y ywod :u e tx v re u s tP2 v ra ewo k rl it a i
中图分类号 : P 0 . T 316
文献标识码 : A
并消除其对覆盖 网的威胁 , 对于提升覆盖 网的稳定性 、 提高

高等电路分析之割集

高等电路分析之割集
根据有向图的关联矩阵a很容易求aa在a中增加对应于参考结点的一行增加该行后矩阵每列元素之根据aa画出有向图以结点4为参考结点111111练习写出图示电路的关联矩阵a解
§ 1、2 割集
一、割集的概念 割集Q是连通图G中一个支路的集合,具有下述性质: 1、 把Q 中全部支路移去,将图分成两个分离部分; 2、保留Q 中的任一条支路,其余都移去, G还是连通的。
2、基本回路矩阵Bf


① 16 2




3 1
选取的独立回路对应于一个树的单连支回路,则得
到的回路矩阵称为基本回路矩阵Bf
规定 ➢ 连支电流方向为回路电流方向; ➢ 支路排列顺序为先连支后树支, ➢ 回路顺序与连支顺序一致。
例:选 2、5、6为树,连支顺序为1、 3 、 4 。
回 支1 3 4 2 5 6
n
每一列对应一条支路。
矩阵Aa的每一个元素定义为: ajk=1 支路 k 与结点 j 关联,方向背离结点;
ajk ajk= -1 支路 k 与结点 j 关联,方向指向结点; ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。







结 123456

① ③ Aa= ②
-1 0
-1 0
1 -1
0 -1
B= 回 l b

l
注意 每一行对应一个独立回路, 每一列对应一条支路。
矩阵B的每一个元素定义为:
1 支路 k 在回路 j 中,且方向一致;
bjk -1 支路 k 在回路 j中,且方向相反; 0 支路 j 不在回路 j 中。
取网孔为独立回路,顺时针方向

电路中割集满足的条件

电路中割集满足的条件

电路中割集满足的条件在电路中,割集是指在电路中切断两个或多个节点所需的最少的连线集合。

割集在电路分析和设计中起着重要的作用,它决定了电路的可靠性和性能。

下面将介绍割集满足的条件。

1. 割集是无环的:割集是通过切断节点之间的连线来实现的,因此割集中不能存在环路。

如果存在环路,那么切断其中一个连线就会导致电流无法流通,电路无法正常工作。

2. 割集包含至少一个节点:割集是通过切断节点之间的连线来实现的,因此割集中必须包含至少一个节点。

如果割集中没有节点,那么切断的连线就没有意义,电路仍然可以正常工作。

3. 割集中的连线数最少:割集是通过切断节点之间的连线来实现的,因此割集中的连线数应尽量少。

如果割集中的连线数过多,那么切断这些连线就会导致电路中断的部分过多,电路的可靠性会受到影响。

4. 割集之间没有公共节点:割集是通过切断节点之间的连线来实现的,因此割集之间不能有公共的节点。

如果割集之间有公共的节点,那么切断一个割集中的连线就会同时影响其他割集,导致电路无法正常工作。

5. 割集覆盖所有节点:割集是通过切断节点之间的连线来实现的,因此割集应覆盖电路中的所有节点。

如果存在没有被割集覆盖的节点,那么切断其他连线也无法切断这些节点之间的连线。

6. 割集之间没有公共连线:割集是通过切断节点之间的连线来实现的,因此割集之间不能有公共的连线。

如果割集之间有公共的连线,那么切断一个割集中的连线就会同时影响其他割集,导致电路无法正常工作。

7. 割集覆盖所有连线:割集是通过切断节点之间的连线来实现的,因此割集应覆盖电路中的所有连线。

如果存在没有被割集覆盖的连线,那么切断其他连线也无法切断这些连线。

电路中割集满足的条件包括割集是无环的、割集包含至少一个节点、割集中的连线数最少、割集之间没有公共节点、割集覆盖所有节点、割集之间没有公共连线以及割集覆盖所有连线。

这些条件保证了割集在电路中的有效性和可靠性,对于电路的分析和设计具有重要的意义。

连通分支等概念深刻理解无向图的点割集和边割集

连通分支等概念深刻理解无向图的点割集和边割集
主要内容
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基本要求(第十章)
1. 理解与图的定义有关的诸多概念,以及它们 之间的相互关系
2. 深刻理解握手定理及其推论的内容,并能熟 练地应用它们
3. 深刻理解图同构、简单图、完全图、正则图、 子图、补图、二部图等概念及其它们的性质 和相互关系,并能熟练地应用它们
4. 深刻理解道路、简单道路、基本道路与回路、 圈的定义,掌握道路与回路的各种表示方法
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构造一条新的路Γ′, 它从v0出发, 沿Γ1到vj, 然后沿L从vj到uk,最后沿Γ2从uk到u0,该道
路是一条基本道路 (点不重复. 答图中红粗线
所示), 其长度 ≥ j + 1 + k ≥ p + 1 > p,
这与L1, L2是最长的基本道路相矛盾, 所以Γ1 和Γ2有公共顶点. 对 j , k的其他情况讨论 类似(分别在Γ1和Γ2上取分别被顶点vi和uk截 出的两段路径中较长的一段, 加上L上被顶点
所以该图的基本边割集有12个。
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例2
证明: 在一个连通图中, 任意两条最长的基本 道路有一个公共顶点。
证:(反证法)
v0
vj
vp
L
u0
uk
up
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设 Γ1=v0v1…vp 和 Γ2=u0u1…up 是 G 的 两 条 最长的基本道路(长为p),且无公共顶点。 因
1, 小于等于n − 1, 由鸽巢原理知, 这样的n
个数中至少有两个是相同的。 所以必有两个顶点的度相等。

图论树与割集

图论树与割集

4)无回路,如在任意两结点之间添上一条
边,得到一个且仅一个基本回路。(n ≥ 2) 必要性:设T是树.故无回路,由(3)已证任 意两点vi与vj之间有且只有一条基本路 径,故添上一条边(vi,vj),只能得到唯 一的一条基本回路,故条件(4)成立。 充分性:设条件(4)成立,因而图无回路, 往证明图是连通的,若图不连通,则存在 两点,这两点之间不存在路径,则在这两 点之间添上一条边就不可能得到一个回路 与条件矛盾。
平凡树

定理3.1 具有n个结点m条边的无向图T是树, 当且仅当下列条件之一成立。
1. T无回路且m=n一1 2. T连通且m=n一1 3. 任意两结点之间必然存在且仅存在一条基本路 径(n≥2) 4. 无回路,如在任意两结点之间添上一条边,得 到一个且仅一个基本回路。(n ≥ 2) 5. 图连通,但去掉任一条边图将不连通。
• 生成树的构造方法: 破圈法,避圈法 ¾ 破圈法定理的证明也为我们提供了一种构造生 成树的方法,即每次去掉回路的任一条边,到 不再含有回路为止。这种方法称为破圈法.
¾ 避圈法在G中任找一条边e1,然后找一条不与 e1形成回路的边e2,再找一条不与边集合 (e1,e2)形成回路的边e3,如此继续下去使找 的边都不与已找到的边集合形成回路,直到 过程不能进行下去为止,则所有找到的边集 合{e1,e2,e3,...,em}构成的图就是G的一棵生 成树。
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通 图. S=Φ i=0 j=1 将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em S=S∪{ai} j=j+1 ai=ej i=i+1 N |S|=n-1 Y 输出S N 取ej使得 S∪{ ej}有回路? Y j=j+1 停

电路原理12.1.1割集 - 割集

电路原理12.1.1割集 - 割集
2. 由某个树支 bt 确定的基本割集应包含那些连支,每个这种连支 构成的单连支回路中包含该树支 bt 。
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1
2
①5

43 ④6
Q2:{ 2,3,6 }
1
2
①5

43 ④6
Q3:{ 1,4,6}

1


3


1
2
①5

43 ④6
Q4:{ 1,5,2 }
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电路方程的矩阵形式
单树支割集(基本割集) 对一个连通图,若任选一个树,则对应的连支集合不能构成一个
割集(将所有连支移去后所得的图还是连通的),故每一割集应至少包
12
4
3
{1,2,3,4}
割集
4 保留4支路,图不连通。
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电路方程的矩阵形式
同一个树的基本回路和基本割集关系

1
2
①5

43 ④6
基本回路 {1,2,3,4} {1,4,5}
{1,2,6}
基本割集 {1,5,3,6} {2,3,6} {3,4,5}
1. 由某个连支 bl 确定的单连支回路应包含那些树支,每个这种树 支所构成的基本割集中含有 bl 。
独立割集 单树支割集
独立割集
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电路方程的矩阵形式
应注意的是,割集是有方向的(移去割集的所有支路,图G 被分 离为两部分后,从其中的一部分指向另一部分的方向,即为割集的 方向,每个割集只有两个可能的方向)。若是基本割集,一般选取树 支的方向为割集的方向。
1
3
2
4

图论算法-割点、割边应用

图论算法-割点、割边应用

• 这个很显然,因为对于一棵子树,如果与 其连通,那么就都会遍历到,不然就回溯 至其祖先。
算法
• 那么在DFS的时候,我们纪录每个儿子子 树,与其相连的最高的祖先的层号,如果 这个层号>=其父亲的层号,那么删掉这个 父亲结点后这棵子树将于其祖先不连通.
• 如果这个层号>其父亲的层号,那么删掉这 条连接父亲的边,那么这棵子树将于其祖 先不连通.
任务目标
• 编一段程序,找出关键网线数 编一段程序, (TaskA)以及 ) 连接这些网线的两端结点(结点对) 连接这些网线的两端结点(结点对) (TaskB)。 )。
输入数据
• 文件 文件net.in的第一行包含 个整数: 的第一行包含4个整数 的第一行包含 个整数: 总的结点数N 总的结点数 (1 ≤ N ≤ 100 000), , 连接的网线数 M (1 ≤ M ≤ 1000 000), , 提供A服务的结点数 提供 服务的结点数 K (1 ≤ K ≤ N), , 提供B服务的结点数 (1 ≤ L ≤ N)。 提供 服务的结点数L 。 服务的结点数 • 第二行是 个整数,标明提供A服务的结点。。 第二行是K个整数,标明提供 服务的结点 服务的结点。 个整数
• 于是我们只需要在求桥的基础上加上 • (Suma=na)or(Suma=0)or(Sumb=0)or(Sumb =nb) • 就可以了
• 于是算法也就是在求桥的基础上加上这个 判断条件,和求Suma,Sumb的值.
Thank You For Eveything
分析
• 这题是一题割边的应用,当然用复杂度再 高点的算法也可以. • 这题的算法就是割边,是练习割边的基础 题.
பைடு நூலகம்
嗅探器(PTSC.ZJ04) 嗅探器

图论中的割集算法设计与分析

图论中的割集算法设计与分析

图论中的割集算法设计与分析在图论中,割集(Cut Set)是指将图的顶点集合分成两个不相交的子集,使得其中一个子集与剩余部分构成一个切割。

割集算法是一种用于寻找割集的方法,它在诸多领域中都有广泛的应用。

本文将对割集算法的设计与分析进行探讨。

一、割集算法的概述割集算法的目标是寻找图中的最小割集,即将图划分成两个子图,并且割集中的边数最少。

最常用的割集算法是基于图的最大流最小割定理的Ford-Fulkerson算法。

该算法通过不断增加流量来找到切割,直到无法再增加为止。

然而,该算法在实践中的效率并不高,因此人们提出了许多改进的割集算法。

二、割集算法的设计1. Stoer-Wagner算法Stoer-Wagner算法是一种启发式算法,它通过迭代地计算图的最小割来找到割集。

该算法的基本思想是将图中的所有顶点分为两个集合,然后计算两个集合之间的最小割。

重复此过程,每次都将最小割的集合合并,直到只剩下一个顶点为止。

最后得到的割集即为图的最小割集。

2. Kernighan-Lin算法Kernighan-Lin算法是一种以贪心策略为基础的割集算法。

该算法的主要思想是通过不断地交换顶点,使得交换后的两个子图之间的割集权重最小。

算法的具体步骤如下:(1)初始时,将图的顶点随机分为两个子集。

(2)计算两个子集之间的割集权重。

(3)选择两个子集中的一个顶点v,将其从一个子集中移动到另一个子集中,并计算割集权重的变化量。

(4)重复步骤(3),直到无法得到更优的割集权重为止。

三、割集算法的分析1. 时间复杂度割集算法的时间复杂度与算法的设计有关。

对于Ford-Fulkerson算法,其时间复杂度为O(E * F),其中E是图中的边数,F是最大流的值。

而对于启发式算法如Stoer-Wagner算法和Kernighan-Lin算法,其时间复杂度通常为O(V^3)或O(V^4),其中V是图中的顶点数。

2. 空间复杂度割集算法的空间复杂度主要取决于图的表示方法。

节点割集回路方程

节点割集回路方程

1.节点方程
根据连通图G,可以写出关联矩阵A, 以节点电压Un(s)作为网络变量,可以导 出节点方程。由KCL、KVL得:
AI (s) 0 b
U (s) AT U (s) b n
节点方程
I (s) Y (s)U (s) Y (s)U (s) I (s) b b b b s s
式中Yc(s)是一个N阶方阵,称为割 集导纳矩阵;Ic(s)是N维向量,称为割 集电源电流向量。简化后的方程称为割 集方程,代表一组(N个)以树支电压 为网络变量的方程。
3.回路方程
在连通图G中选一个树后,可以分 别写出基本割集矩阵Qf和基本回路矩阵 Bf,以连支电流Il(s)作为网络变量,可 以导出回路方程。由KCL、KVL得:
代入,经整理得:
Q Y (s)Q TU (s) Q [I (s) Y (s)U (s)] f b f t f s b s

Y (s) Q Y (s)Q T c f b f
I (s) Q [I (s) Y (s)U (s)] c f s b s
割集方程
简化得:
Y (s)U (s) I (s) c t c
I (s) B T I (s) b f l
B U ( s) 0 f b
回路方程
U (s) Z (s)I (s) Z (s)I (s) U (s) b b b b s s
代入,经整理得:
B Z (s)B T I (s) B U (s) B Z (s)I (s) f b f l f s f b s
2.割集方程
在连通图G中选一个树后,可以分 别写出基本割集矩阵Qf和基本回路矩阵 Bf,以树支电压Ut(s)作为网络变量,可 以导出割集方程。由KCL、KVL得:

《离散数学》第七章_图论-第2节-预习

《离散数学》第七章_图论-第2节-预习

定理7-2.1推论
推论1: 在n阶图G中,若从不同结点vj到vk有 路,则从vj到vk有长度小于等于n-1的通路。 证明: 若路不是通路, 则路上有重复结点, 删除所有重复结点之间的回路, 得到的是通 路, 其长度小于等于n-1。 推论2:在一个具有n个结点的图中,如果存在 经过结点vi回路(圈),则存在一条经过vi 的长度不大于n的回路(圈)。
Whitney定理
(最小点割集<=最小边割集<=最小点度数)
Whitney定理的证明
证明:设G中有n个结点m条边。 (2)若G连通 1)证明λ(G)≤δ(G)
若G是平凡图,则λ(G)=0≤δ(G); 若G是非平凡图,由于每一结点上关联的所有 边显然包含一个边割集,因而删除最小度数 δ(G)对应结点所关联的边,则使G不连通,即 存在一个边割集的元素个数小于等于δ(G) , 即λ(G)≤δ(G)。
e6,e5都是割边
边连通度(edgeconnectivity)
为了破坏连通性,至少需要删除多少条边? 边连通度: G是无向连通图, (G) = min{ |E’| | E’是G的边割集 } 即产生一个不连通图需删去的边的最小数 目。 规定: G非连通: (G)=0 (Kn) = n-1
0
ei (vi 1 , vi ), (ei v i 1 , v i )
v
v1 v 2 0 e e 1 2
v i 1 v i ei
vn en
结点数=边数+1
路长度 :边的数目。
回路(closed walk)
回路: … v e v e v
0 1 1 2
当v 0 v n时
i 1
圈(cycles)
C1 C2 C3 C4 C5

割集矩阵与节点法

割集矩阵与节点法

程恰恰是对以割集c1为闭合平面列写的节
点电流方程,因此割集c1就是前面章节所
说的广义节点。当然,还可以找出其他割
集,列写其节点电流方程。
2006-1-1

5
对于一个连通图来说,割集有很多。若指定了一个树,就将 由一个树支和若干个连支构成的单树支集合,称为基本割 集,那么基本割集数应该与树支数相等,即n−1个,所以由 基本割集列写的方程应该是独立的。
2006-1-1

4
i1 i2 i3 i4 0 i1 i2 i5 0 i1 i3 i6 0
割集c1 割集c2 割集c3
i3 i4 i5 0
割集c4
• 可以发现,对于割集c2、c3和c4来说,其
方程是分别对节点2、节点1和节点4列写的
节点电流方程;而对于割集c1来说,其方
得到 CYV CYV S - C IS
将式(15.22)代入上式中,有
CYC TVt CYV S - C IS
2006-1-1

13
• 若令 Yc CYCT ,则被称为割集导纳矩阵;再 令 IcS CYV S - C IS,被称为割集电流源列向量。
那么上式成为
Yc Vt IcS
(15.25)
该式被称为广义节点法的矩阵形式,因为割集本身 就突破了实际节点的束缚,可以被视为广义节点。
2006-1-1

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• 可以发现,式(15.25)与式(15.16)非常相似。其实 它们在本质上是相同的。可以说,在某些情况下, 节点法方程就是广义节点法的一种特殊形式。广 义节点法比节点法更具有普遍性、选取自变量的 自由度更大,因此应用更广泛。
• 在实际的电路分析时,一般电压源和电容所在支 路做为树支、电流源和电感所在支路做为连支, 其余支路视情况而定;若含有受控源,则要将主 控电压和受控电压源所在支路做为树支,将主控 电流和受控电流源所在支路做为连支。

点割集和边割集的找法

点割集和边割集的找法

点割集和边割集的找法
1 点割集和边割集
点割集和边割集是图论中比较重要的一个概念,它们的定义如下:点割集是指从一张图中去掉某些点,使得去掉的点集合不能形成连通图;而边割集则是指从一张图中去掉某些边,使得去掉的边的集合不
能形成连通图。

2 找法
点割集的找法基本上是贪心法,从图中找出最小的一组点使得这
些点移除之后,图不能连通,有两种特殊情况:
(1)对于完全图,如果顶点数大于2,那么顶点数减一即为最小
点割集
(2)对于任何图,如果有任何点入度和出度均为0,则移除这一点,必可以使图不能连通。

边割集的找法则有三种:
(1)最小生成树法:找出该图的最小生成树,移除最小生成树中
的边,图不再连通;
(2)树形图法:将图转换为树状图,它的极大边割集由图G中最
少的环边组成;
(3)搜索法:令S={R},R是任意一条边,当S已无法使图G不连
通时,必定令S最小。

3 应用
点割集和边割集在很多实际应用中都有体现,例如电线布线,点
割集可以用来检测电线的连接状况,以检测两个地点的通路是否可行;边割集则可以用来确定电路的正确性,检测一个电路中是否有悬挂边
或孤立点等。

此外,点割集和边割集还可以用于网络测量、网络容量
规划以及通信网络的设计等方面。

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}
}
}
int main()
{
int maxflow,end,start,n,m,x,y;
int i,k,j;
//freopen("a.txt","r",stdin);
while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k))
{
if(n==0&&m==0&&k==0)break;
start=1;
end=n;
memset(map,0,sizeof(map));
memset(mark,0,sizeof(mark));
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
f[i][j]=inf;
}
}
for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
map[x][y]=1;
字典序:
就是个点从i=1开始统计即可
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const long maxn=400;
const long maxm=160002;
const long inf=0x7fffffff;
int g[maxn][maxn],cut[maxn];
level[s[i].v]=level[u]+1;
}
}
}
}
long dinic(long n,long source,long sink)
{
long ret=0,i;
while(1)
{
build_level(n,source);
if(level[sink]==0)break;
for(i=0; i<=n; ++i)out[i]=p[i];//有一次写错了'=',结果tle,调试了好久
}
}
build(n);
maxflow = dinic(n*2,start,end+n);
printf("%d\n",maxflow);
}
return 0;
}
}
}
if(i!=-1)
{
que[++q]=i;
out[source]=s[i].next;
}
else break;
}
long u=s[que[q]].v;
if(u==sink)
{
long dd=inf;
for(i=0; i<=q; i++)
{
if(dd>s[que[i]].val)
{
dd=s[que[i]].val;
{
if(s[i].val&&out[s[i].v]!=-1&&level[u]+1==level[s[i].v])
{
break;
}
}
if(i!=-1)
{
que[++q]=i;
out[u]=s[i].next;
}
else//当前点没有临接的可行流
{
out[u]=-1;
q--;
}
}
}
}
return ret;
maxflow=res;
}
else cut[i]=0;
if(res==0)break;
}
for(i=0; i<v.size()-1; i++)printf("%d ",v[i]);
printf("%d\n",v[i]);
}
}
return 0;
}
hdu 2485 最短路构图,然后求最小点割集
#include <iostream>
s[ind].next=p[x];
p[x]=ind;
ind++;
s[ind].v=x;
s[ind].val=0;
s[ind].next=p[y];
p[y]=ind;
ind++;
}
void build_level(int n,int source)
{
int h=0,r=0,i,u;
for(i=0;i<=n; i++)level[i]=0;
}
}
ret+=dd;
for(i=0; i<=q; i++)
{
s[que[i]].val-=dd;
s[que[i]^1].val+=dd;
}
for(i=0; i<=q; i++)//堵塞点
{
if(s[que[i]].val==0)
{
q=i-1;
break;
}
}
}
else
{
for(i=out[u]; i!=-1; i=s[i].next)
bool mark[maxn];
struct node{
long v,next;
long val;
} s[maxm*2];
long level[maxn],p[maxn],que[maxn],out[maxn],ind;
long min(int x,int y){return x>y?y:x;}
inline void insert(long x,long y,long z)
long q=-1;
while(1)
{
if(q<0)//空栈中,压入source(如果source的临接边没有满流)
{
for(i=out[source];i!=-1; i=s[i].next)
{
if(s[i].val&&out[s[i].v]!=-1&&level[s[i].v]==2)
{
break;
pku 1815 最小点割集 拆点 要求割集字典序输出
拆点:
for(i=1; i<=n; i++)
{
insert(n+i,i,1-cut[i]);
for(j=1; j<=n; j++)if(g[i][j])insert(i,n+j,inf);
}
去掉某个点检查从start到end的最大流是否变小,如果是这个就是其中的割点
struct node{
long v,next;
long val;
} s[maxm*2];
long level[maxn],p[maxn],que[maxn],out[maxn],ind;
inline void insert(long x,long y,long z)
{
s[ind].v=y;
s[ind].val=z;
}
void floyd(int n)
{
int i,j,k;
for(k=1;k<=n;k++)
{
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j||i==k||j==k)continue;
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
}
{
int m,n,x,y,start,end;
//freopen("a.txt","r",stdin);
while(scanf("%d%d%d",&n,&start,&end)!=EOF)
{
int i,j;
for(i=1; i<=n; i++)
{
for(j=1; j<=n; j++)scanf("%d",&g[i][j]);
}
}
}
}
long dinic(long n,long source,long sink)
{
long ret=0,i;
while(1)
{
build_level(n,source);
if(level[sink]==0)break;
for(i=0; i<=n; ++i)out[i]=p[i];//有一次写错了'=',结果tle,调试了好久
#include <vector>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
#define maxm 1140080
#define maxn 200
const long inf=0x3fffffff;
int f[maxn][maxn],map[maxn][maxn];
for(i=0;i<=n; i++)level[i]=0;
level[source]=1;
que[0]=source;
while(h<=r)
{
u=que[h++];
for(i=p[u]; i!=-1; i=s[i].next)
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