信号与系统沈元隆第四章

第4章 连续信号与系统的复频域分析 章 傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波 成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等）是十 分有效的。但在应用这一方法时，信号f(t)必须满足狄里赫 勒条件。而实际中会遇到许多信号，例如阶跃信号ε(t)、斜 坡信号tε(t)、单边正弦信号sintε(t)等，它们并不满足绝对可 积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。 虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其 变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。此外， 还有一些信号，如单边指数信号eαtε(t) (α>0)，则根本不存 在傅里叶变换，因此，傅里叶变换的运用便受到一定的限 制，其次，求取傅里叶反变换有时也是比较困难的，此处 尤其要指出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应， 这对具有初始状态的系统确定其响应也是十分不便的。因 此，有必要寻求更有效而简便的方法，人们将傅里叶变换 推广为拉普拉斯变换（LT: Laplace Transform）。
s cos ω0tε (t ) ↔ 2 2 s + ω0
4. 单边余弦信号cost
5. 单边衰减正弦信号
e
−α t
ω0 sin ω 0tε (t ) ↔ (s + α )2 + ω 2 0
s +α 2 (s + α )2 + ω0
6. 单边衰减余弦信号
e−αt cos ω0tε (t ) ↔
7. 单位冲激信号
δ (t ) ↔ 1
8. t的正幂信号t n，（n为正整数）
n! t ε (t ) ↔ n+1 s
n
9.
单边双曲正弦函数sh和余弦函数ch
sinh βtε (t ) ↔
s2 − β 2
β
s cosh βtε (t ) ↔ 2 s −β2
4.3
拉普拉斯变换的性质
在实际应用中，人们常常不是利用定义式计算拉氏变换， 而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质。这些性质与傅 里叶变换性质极为相似，在某些性质中，只要把傅氏变换 中的jω用s替代即可。但是，傅氏变换是双边的，而这里讨 论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。有些性 质与傅氏变换相类似。 1． 线性 2． 时移性 3． 比例性（尺度变换） 4． 频移性 5． 时域微分
4.2
典型信号的拉普拉斯变换
下面给出一些典型信号的拉氏变换。因为f ( t )与f ( t )ε (t ) 的 单边拉氏变换相同，因此假定这些信号都是有始信号。 1. 指数信号
1 e ε (t ) ↔ s +α
−αt
2. 单边阶跃信号
1 ε (t ) ↔ s
3. 单边正弦信号
ω0 sin ω0tε (t ) ↔ 变换 单边） 考虑到实际中遇到的信号都是有始（因果）信号，即 t < 0 时 f ( t ) = 0，以及信号虽然不起始于 0，而问题的讨论只须考虑信 号 ≤ 0 的部分。在这两种情况下，式（4.1-5）可改写为：
F (s) = ∫ − f (t )e −st dt
0
∞
F[ f (t )e
−σt
]=∫
∞
−∞
f (t )e −σt e − jωt dt
= ∫ f (t )e −(σ + jω )t dt
−∞
∞
它是
σ + jω
的函数，可写成
F(σ + jω ) =
记为
F (s) = ∫
−∞ ∞
∫
∞
f (t )e−(σ + jω ) t dt
−∞
f (t )e −st dt
F(s)可表示为
kn k1 k2 = + + L+ s − s1 s − s2 s − sn
然后，由表4－1进行反变换。 2. D(s) = 0有复根且无重复根 0
D(s) = an (s − s1 )( s − s2 )L(s − sn−2 )( s 2 + bs + c)
= D1 (s)( s 2 + bs + c)
lim f (t )e −σt = 0
t →∞
(σ > σ 0 )
（4.1-10）
则对于Re[s] = σ > σ0，拉普拉斯变换积分式（4.1-8）绝对 且一致收敛。即f ( t )存在拉普拉斯变换。
σ0 为 最 低 限 度 的 σ 值 ， 称 为 收 敛 坐 标 ( abscissa of convergence )，它的取值与函数f ( t ) 的性质有关。经过σ0的 垂直线是收敛边界，或称为收敛轴。由于单边拉普拉斯变换 的收敛域是由Re[s] = σ > σ0的半平面组成，因此其收敛域都 位于收敛轴的右边。凡满足式(4.1-10)的函数f ( t )称为“指 数阶函数”，意思是可借助于指数函数的衰减作用将函数f(t) 可能存在的发散性压下去，使之成为收敛函数。 由于(单边)拉氏变换的收敛域是由Re(s) >σ0的半平面组成， 收敛域比较容易确定，故在一般情况下，不再加注其收敛域。 我们在此再强调一下，以后讨论的拉普拉斯变换是指单边拉 普拉斯变换。
由于商多项式的拉氏反变换是冲激函数及其各阶导数可由 微分性质直接求得。 所以只需讨论真分式多项式的拉氏反变换。下面着重讨论是 真分式时的拉氏反变换，可以将其分为以下三种情况： 1. D(s) = 0的根都是相异实根 因式分解为
D(s) = an (s − s1 )( s − s2 )L(s − sn )
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域 从以上讨论可知，当信号f (t)乘以收敛因子e-σt后，就有可能 满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看f (t)的 性质与 σ 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数f (t)， 通常并不是在所有的 σ 值上都能使式(4.1-5)的积分收敛， 即并不是对所有的 σ 值而言，函数 f ( t )都存在拉普拉斯 变换，而只是在 σ 值的一定范围内，f ( t )才存在拉普拉斯 变换。通常把使 f (t)e-σt 满足绝对可积条件的 σ 值的范围称 为拉普拉斯变换的收敛域 ( ROC: region of convergence )。 在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函 数的拉普拉斯变换不存在。 双边拉普拉斯变换对并不一一对应，即便是同一个双边拉 普拉斯变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个完 全不同的时间函数。因此，双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域。
其傅氏反变换为 最后得到
f (t )e
∞
−σt
1 = 2π
∫
∞
−∞
F (s)e jωt dω
（4.1-5）
F (s) = ∫
f (t )=
−∞
f (t )e −st dt
σ + j∞
1
2π j σ − j∞
F( s)es t d s ∫
（4.1-6）
式（4.1-5）称为f (t)的双边拉普拉斯变换(bilateral Laplace Transform)，称F(s）是f ( t )的象函数。而式 (4.1-6) 是F（s） 的双边拉普拉斯反变换，称 f (t) 是F(s)的原函数。 式（4.1-5）和（4.1-6）称为双边拉普拉斯变换对，可以用 双箭头表示f ( t )与F(s)之间这种变换与反变换的关系
F(s) =£[ f (t) ]
和 f (t) = £–1 [ F (s) ]
式（4.1-8）中积分下限用0－而不用0＋，目的是可把t = 0－ 时出现的冲激考虑到变换中去，当利用单边拉普拉斯变换 解微分方程时，可以直接引用已知的起始状态f (0－)而求得 全部结果，无需专门计算0－到0＋的跳变。 由于在分析因果系统，特别是具有非零初始条件的线性 常系数微分方程时，单边拉普拉斯变换具有重要价值，所 以，我们在下文中讨论的拉普拉斯变换（简称拉氏变换） 都是指单边拉普拉斯变换。 如果因果信号f ( t )满足：（1）在有限区间a < t < b内 （0 ≤ a < b < ∞）可积；（2）对于某个σ0，有 ：
6． 时域积分 7． 初值定理 8．终值定理 拉氏变换还有一些其它性质，如时域卷积和复频域卷积等， 它们与傅氏变换的性质类似，不再重复。表4-2列出了常用 拉氏变换的性质。
4.4 拉普拉斯反变换 从象函数F(s)求原函数f (t)的过程称为拉普拉斯反变换。 简单的拉普拉斯反变换只要应用表4-1以及上节讨论的拉氏 变换的性质便可得到相应的时间函数。 求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式 展开法和围线积分法。前者是将复杂变换式分解为许多简 单变换式之和，然后分别查表即可求得原信号，它适合于 F(s)为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分， 它的适用范围更广。 4.4.1部分分式展开法 常见的拉氏变换式是s的多项式之比（有理函数），一般形 式是： N ( s)
本章首先从傅里叶变换导出拉普拉斯变换，对拉普拉斯变 换给出一定的物理解释；然后讨论拉普拉斯正、反变换以 及拉普拉斯变换的一些基本性质，并以此为基础，着重讨 论线性系统的复频域分析法；应用系统函数及其零极点来 分析系统的时域特性、频域特性等。 4.1 拉普拉斯变换 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号f(t)之所以不能满足绝对可积的条件，是由于当t→∞或 t→ - ∞时，f ( t )不趋于零。如果用一个实指数函数e-σ t去乘 f(t)，只要σ的数值选择得适当，就可以克服这个困难。例 如，对于信号
（4.1-8）
上 式 称 为 f(t) 的 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 （ unilateral Laplace Transform），记为 £[ f (t) ]。相应的反变换为：
f (t )=
1
σ + j∞
2π j σ − j∞
F( s)es t d s t > 0 ∫