二次函数复习题 (9)
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1； （2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4． （2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米． （3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。
人教版数学九年级上册 第22章 《二次函数》章末复习题(含答案)
第22章《二次函数》章末复习题限时：120分钟满分：120分一．选择题（每题3分，共36分）1．抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（）A．（3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣3，4）2．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（，y3），则y1，y 2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y23．对抛物线：y＝﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（）A．与x轴有两个交点B．开口向上C．与y轴的交点坐标是（0，3）D．顶点坐标是（1，﹣2）4．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h＝﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是（）A．1米B．5米C．6米D．7米5．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c＝0的一个根7．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x+1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2+4 C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+48．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x29．已知二次函数y＝ax2的图象开口向上，则直线y＝ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限10．下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（）A．B．C．D．11．已知拋物线y＝﹣x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值是（）A．2 B．C．D．12．小明从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0，②abc＞0，③a﹣b+c＞0，④2a﹣3b＝0，⑤4a+2b+c＞0，你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（每题4分，共,20分）13．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，则抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过象限．14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是．15．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是．16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，在飞机着陆滑行中，最后2s滑行的距离是m．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限．设m＝a+b+c，则m的取值范围是．三．解答题（共64分）18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．19．为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y（元）与每天的销售量为x（件）的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？（3）在试销售过程中，受国家政策扶持，毎销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m（m≤40）元．在获得国家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是（直接写出结果）．20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，则点P的坐标为；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…0 ﹣2 ﹣2 0 4 …（1）求该二次函数的表达式；（2）当y≥4时，求自变量x的取值范围．23．如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx ﹣3与x轴的另一个交点为点B（2，0），点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；（3）连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．参考答案一．选择1．解：∵y＝x2﹣6x+5，＝x2﹣6x+9﹣9+5，＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（3，﹣4）．故选：A．2．解：根据题意，得y 1＝1+6+c＝7+c，即y1＝7+c；y 2＝4﹣12+c＝﹣8+c，即y2＝﹣8+c；y3＝9+2+6﹣18﹣6+c＝﹣7+c，即y3＝﹣7+c；∵7＞﹣7＞﹣8，∴7+c＞﹣7+c＞﹣8+c，即y1＞y3＞y2．故选：B．3．解：A、∵△＝22﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝﹣8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；B、∵二次项系数﹣1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；C、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误；D、∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），本选项正确．故选：D．4．解：∵高度h和飞行时间t满足函数关系式：h＝﹣5（t﹣1）2+6，∴当t＝1时，小球距离地面高度最大，∴h＝﹣5×（1﹣1）2+6＝6米，故选：C．5．解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点．故选：B ．6．解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，故A 选项错误； ∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，故C 选项错误；∵对称轴x ＝1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；故B 选项错误； ∵对称轴x ＝1，∴另一个根为1+2＝3，故D 选项正确． 故选：D ．7．解：由原抛物线解析式可变为：y ＝（x +1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2），与y 轴交点的坐标为（0，3）， 又由抛物线绕着它与y 轴的交点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点（0，3）中心对称， ∴新的抛物线的顶点坐标为（1，4）， ∴新的抛物线解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+4． 故选：B ．8．解：用作图法比较简单，首先作出y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）图象，任意画一个（开口向上的，与x 轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1，这时与x 轴的交点就是x 1，x 2，画在同一坐标系下，很容易发现： 答案是：x 1＜a ＜b ＜x 2． 故选：C ．9．解：∵二次函数y＝ax2的图象开口向上，∴a＞0；又∵直线y＝ax﹣1与y轴交于负半轴上的﹣1，∴y＝ax﹣1经过的象限是第一、三、四象限．故选：D．10．解：A、根据图象可知，函数在实数范围内是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；B、根据图象可知，函数在对称轴的左边是减函数，函数y随x增大而减小；函数在对称轴的右边是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；C、根据图象可知，函数在两个象限内是减函数，但是如果不说明哪个象限内是不能满足题意的；故本选项错误；D、根据图象可知，函数在实数范围内是减函数，即函数y随x增大而减小；故本选项正确．故选：D．11．解：∵拋物线y＝﹣x2+2的二次项系数a＝﹣＜0，∴该抛物线图象的开口向下；而对称轴就是y轴，∴当1≤x≤5时，拋物线y＝﹣x2+2是减函数，＝﹣+2＝．∴当1≤x≤5时，y最大值故选：C．12．解：①由二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上可知a＞0，图象与y轴交点在负半轴，c＜0，正确；②由图象可知x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，正确；③对称轴x＝﹣＞0，a＞0，b＜0，abc＞0，正确；④对称轴x＝﹣＝，﹣3b＝2a，2a﹣3b＝﹣6b，错误；⑤由图象可知x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，正确．所以①②③⑤四项正确．故选：C．二．填空题（共5小题）13．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，∴△＝b2+4c＜0，∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c中，二次项系数﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，∵判别式＝（﹣b）2﹣4×（﹣1）×c＝b2+4c＜0，∴抛物线与x轴无交点，∴抛物线在x轴的下方，∴抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过第三、四象限；故答案为：三、四．14．解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．故答案为：x＝3．15．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∴c＝3．取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．16．解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当t＝18时，y＝594，所以600﹣594＝6（米）故答案是：6．17．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（0，﹣3）、（﹣1，0），∴c ＝﹣3，a ﹣b +c ＝0， 即b ＝a ﹣3， ∵顶点在第四象限， ∴﹣＞0，＜0，又∵a ＞0， ∴b ＜0，∴b ＝a ﹣3＜0，即a ＜3，b 2﹣4ac ＝（a +c ）2﹣4ac ＝（a ﹣c ）2＞0∵a ﹣b +c ＝0， ∴a +b +c ＝2b ＜0， ∴a +b +c ＝2b ＝2a ﹣6， ∵0＜a ＜3，∴a +b +c ＝2b ＝2a ﹣6＞﹣6， ∴﹣6＜a +b +c ＜0． ∴﹣6＜m ＜0． 故答案为：﹣6＜m ＜0． 三．解答题（共6小题）18．解：（1）令y ＝0，即0＝ax 2﹣4ax ， 解得x 1＝0，x 2＝4， ∴A （0，0），B （4，0）．答：点A 、B 的坐标为：（0，0），（4，0）； （2）①设直线PC 解析式为y ＝kx +b ， 将点C （2，1），P （1，﹣a ）代入解得：k ＝1+a ，b ＝﹣3a ﹣1，∴直线PC 解析式为y ＝（1+a ）x ﹣3a ﹣1， 当x ＝4时，y ＝3a +3， 所以点Q 的纵坐标为3a +3．②∵当点Q 在B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，3a+3≥0，∴a≥﹣1∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，∴﹣1≤a＜0当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，所以抛物线与点P不相交．综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜019．解：（1）设每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝kx+b，把（1500，55）与（2000，50）代入y＝kx+b得，，解得：，∴每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝﹣x+70，当y≥45时，﹣x+70≥45，解得：x≤2500，∴自变量x的取值范围1000≤x≤2500；（2）根据题意得，P＝（y﹣40）x＝（﹣x+70﹣40）x＝﹣x2+30x＝﹣（x ﹣1500）2+22500，∵﹣＜0，P有最大值，当x＜1500时，P随x的增大而增大，∴当x＝1500时，P的最大值为22500元，答：每天的最大销售利润是22500元；（3）由题意得，P＝（﹣x+70﹣40+m）x＝﹣x2+（30+m）x，∵对称轴为x＝50（30+m），∵1000≤x≤2500，∴x的取值范围在对称轴的左侧时P随x的增大而增大，50（30+m）≥2500，解得：m≥20，∴m的取值范围是：20≤m≤40．故答案为：20≤m≤40．20．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，把x＝0代入中，得：y＝2，∴C点坐标是（0，2），又B（3，0）∴直线BC的解析式为，∵∴∴＝，由S△BCD ＝2S△AOC得：∴，整理得：m2﹣3m+2＝0解得：m1＝1，m2＝2∵0＜m＜3∴m的值为1或2；（3）存在，理由：设：点M的坐标为：（m，n），n＝﹣x2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），①当BC是平行四边形的边时，当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），故：m+3＝1，n﹣2＝s或m﹣3＝1，n+2＝s，解得：m＝﹣2或4，故点M坐标为：（﹣2，﹣）或（4，﹣）；②当BC为对角线时，由中点公式得：m+1＝3，n+3＝2，解得：m＝2，故点M（2，2）；综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．21．解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣；（2）连接BC，如图1所示，∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，连接BC，如图1所示，设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），且过B（5，0），C（0，﹣）∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，当x＝2时，y＝1﹣＝﹣，∴P（2，﹣），故答案为：（2，﹣）；（3）存在点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形．如图2所示，①当点N 在x 轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，C （0，﹣），∴N 1（4，﹣）；②当点N 在x 轴上方时，如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ，在△AN 2D 与△M 2CO 中，∴△AN 2D ≌△M 2CO （ASA ）， ∴N 2D ＝OC ＝，即N 2点的纵坐标为．∴x 2﹣2x ﹣＝，解得x ＝2+或x ＝2﹣， ∴N 2（2+，），N 3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N 的坐标为（4，﹣）或（2+，）或（2﹣，）． 22．解：（1）根据表中可知：点（﹣1，﹣2）和点（0，﹣2）关于对称轴对称， 即对称轴是直线x ＝﹣，设二次函数的表达式是y ＝a （x +）2+k ，把点（﹣2，0）和点（0，﹣2）代入得：，解得：a＝1，k＝﹣，y＝（x+）2﹣＝x2+x﹣2，所以该二次函数的表达式是y＝x2+x﹣2；（2）当y＝4时，y＝x2+x﹣2＝4，解得：x＝﹣3或2，所以当y≥4时，自变量x的取值范围是x≤﹣3或x≥2．23．解：（1）在y＝﹣x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，即点A的坐标为：（﹣6，0），将A（﹣6，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；（2）设点D的坐标为：（m，m2+m﹣3），设DE交AC于F，则点F的坐标为：（m，﹣m﹣3），∴DF＝﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）＝﹣m2﹣m，∴S△ADC ＝S△ADF+S△DFC＝DF•AE+•DF•OE＝DF•OA＝×（﹣m2﹣m）×6 ＝﹣m2﹣m＝﹣（m+3）2+，∵a＝﹣＜0，∴抛物线开口向下，存在最大值，∴当m＝﹣3时，S△ADC又∵当m＝﹣3时，m2+m﹣3＝﹣，∴存在点D（﹣3，﹣），使得△ADC的面积最大，最大值为；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D（﹣4，﹣3），根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D（﹣4，﹣3）关于x轴的对称点D′（﹣4，3），直线AD′的解析式为y＝x+9，由，解得或，此时直线AD′与抛物线交于D（8，21），满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为（﹣4，﹣3）或（8，21）。
二次函数专题复习
(5) y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到
函数解析式是 y=2(x+2)2-3。
（6）已知二次函数y=x2-4x-5 ， 求下列问题
△PAB，求P的坐标；
（4）第（3）题改为在直线y= -x+3上是否存在 点坐P标，；使若S不△PA存C=在，12说S明△P理AB？由若。存答在案，一求样出吗点？P的
P
y
（0，3） C
A
Q
o
y
（0，3） CP
B（3，0） A
x
oQ
（B 3，0） x
再见
得的图象解析式是 y=3x2
。
4、已知二次函数y=a（x-h）2+k的图象过原点， 最小值是-8，且形状与抛物线y=0.5x2-3x-5的形
状相同，其解析式为 y=0.5（x-16。）2-8
5、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函
数值y的取值范围是 y≥2 。
6、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向
1.已知一个二次函数的图象经过点 （0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 （－2，－3），且图象过点（－3，－2）。
3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12)
4.矩形的周长为60，长为x，面积为y，则y关于
x的函数关系式
。
如何判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符 号
人教版九年级数学中考复习二次函数真题专练(解析版)
二次函数----真题专练一、选择题1.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2-bx的图象可能是（）A. B.C. D.2.若二次函数的图象经过，，三点则关于，，大小关系正确的是A. B. C. D.3.将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位4.已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b＜0，c＞0；②a+b+c＜0；③方程的两根之和大于0；④a-b+c＜0，其中正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5.在二次函数的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是A. B. C. D.6.2下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y 随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当-1＜x＜5时，y＜0．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是（）A. B. C. D.9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A.B.C.D.10.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），对称轴如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a-b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A.B.C.D.二、填空题11.函数y=-中自变量x的取值范围是______．12.已知抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为______．13.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=-1，点B的坐标为（1，0）．下面的四个结论：①AB=4；②b2-4ac＞0；③ab＜0；④a-b+c＜0，其中正确的结论是______ （填写序号）．14.二次函数y=-x2+2x+2图象的顶点坐标是______．15.若二次函数y=mx2+x+m（m-2）的图象经过原点，则m的值为______ ．16.如图，抛物线C1：y=x2经过平移得到抛物线C2：y=x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是______三、解答题17.如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．18.如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．20.如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点（1）求m的值及C点坐标；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．21.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．【解答】解：A.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2-bx来说，对称轴x=＞0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；B.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2-bx 来说，对称轴x=＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；C.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2-bx 来说，图象开口向上，对称轴x=＞0，应在y轴的右侧，故符合题意；D.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2-bx 来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误；故选C．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性以及增减性，确定出各点到对称轴的距离的大小是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再求出点A、B、C到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．【解答】解：二次函数对称轴为直线x=-=3，3-（-1）=4，3-1=2，3+-3=，∵a=1＞0，开口向上，离对称轴越远，y值越大，又∵4＞2＞，∴y1＞y2＞y3．故选A．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：∵y=-3x2的顶点坐标为（0，0），y=-3（x-1）2-2的顶点坐标为（1，-2），∴将抛物线y=-3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=-3（x-1）2-2．故选D．4.【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴x＞0，且抛物线与y轴交于正半轴，∴b＞0，c＞0，故①错误；由图象知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故②正确，令方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，由对称轴x＞0，可知＞0，即x1+x2＞0，故③正确；由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：-1＜x＜0，∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，故④正确．故选：B．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点是关键．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质有关知识，先配方得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质求解．【解答】解：y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵a=-1＜0，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减少．故选B．6.【答案】B【解析】解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值，∴抛物线的开口向下，故①正确，其图象的对称轴是直线x=，故②错误，当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，方程ax2+bx+c=0的一个根大于-1，小于0，则方程的另一个根大于=3，小于3+1=4，故④错误，故选：B．根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x==，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=-1时，y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系有关知识，根据函数图象可得各系数的关系：a＞0，b＜0，即可判断①，根据对称轴为x=2，即可判断②；由对称轴x=-=2，即可判断③；求得抛物线的另一个交点即可判断④.【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴x=2，∴-=2，∴b=-4a＜0，∴a、b异号，故①错误；∵对称轴x=2，∴x=1和x=3时，函数值相等，故②正确；∵对称轴x=2，∴-=2，∴b=-4a，∴4a+b=0，故③正确；∵抛物线与x轴交于（-1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），∴当-1＜x＜5时，y＜0，故④正确；故正确的结论为②③④三个，故选C.8.【答案】B【解析】【分析】此题考查了二次函数顶点式的性质有关知识，已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标.【解答】解：因为的是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，-3）．故选B.9.【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a＜0，∴ab＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，所以②正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，而c＜0，∴a+b+2c＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a，而x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，∴a+2a+c＞0，所以④错误．故选：C．由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a，加上x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，则可对④进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数有△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10.【答案】D【解析】解：①∵二次函数图象的开口向下，∴a＜0，∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，∴-＞0，∴b＞0，∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），∴a-b+c=0，故②正确；③∵a-b+c=0，∴b=a+c．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2（a+c）+c＜0，∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；④∵a-b+c=0，∴c=b-a．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2b+b-a＜0，∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．故选D．①根据开口向下得出a＜0，根据对称轴在y轴右侧，得出b＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出c＞0，从而得出abc＜0，进而判断①错误；②由抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），即可判断②正确；③由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把b=a+c代入即可判断③正确；④由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把c=b-a代入即可判断④正确．本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】-2＜x≤3【解析】【分析】本题考查的是函数自变量取值范围，分式有意义的条件，二次根式的概念.根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不为0，列不等式组求解.【解答】解：根据题意，得，解得：-2＜x≤3，则自变量x的取值范围是-2＜x≤3.故答案为-2＜x≤3.12.【答案】4，-8，-2【解析】解：当抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在x轴上时，△=0，即△=（k+2）2-4×9=0，解得k=4或k=-8；当抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在y轴上时，x=-==0，解得k=-2．故答案为：4，-8，-2．由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．13.【答案】①②④【解析】解：∵抛物线对称轴是直线x=-1，点B的坐标为（1，0），∴A（-3，0），∴AB=4，故选项①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故选项②正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴ab＞0，故选项③错误；当x=-1时，y=a-b+c此时最小，为负数，故选项④正确；故答案为：①②④．利用二次函数对称性以及结合b2-4ac的符号与x轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案．此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确判断a-b+c的符号是解题关键．14.【答案】（1，3）【解析】解：∵y=-x2+2x+2=-（x2-2x+1）+3=-（x-1）2+3，故顶点的坐标是（1，3）．故填空答案：（1，3）．此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．15.【答案】2【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义．此题属于易错题，学生们往往忽略二次项系数不为零的条件．本题中已知二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m-2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．【解答】解：根据题意得：m（m-2）=0，∴m=0或m=2，∵二次函数的二次项系数不为零，即m≠0，∴m=2．故答案为2．16.【答案】4【解析】解：抛物线C1：y=x2的顶点坐标为（0，0），∵y=x2+2x=（x+2）2-2，∴平移后抛物线的顶点坐标为（-2，2），对称轴为直线x=-2，当x=-2时，y=×（-2）2=2，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积为：（2+2）×2=4，故答案为：4．确定出抛物线y=x2+2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．17.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），∴，解得，，即此抛物线的解析式是y=x2-2x-3；（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，-4），对称轴是直线x=1；（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），当PA=PD时，=，解得，y=-，即点P的坐标为（1，-）；当DA=DP时，=，解得，y=-4±，即点P的坐标为（1，-4-2）或（1，-4+）；当AD=AP时，=，解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，-4），当点P为（1，-4）时与点D重合，故不符合题意，由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，-）或（1，-4-2）或（1，-4+）或（1，4）．【解析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），可以求得抛物线的解析式；（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．18.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a≠0），∵A（-1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2-2x-，∴其对称轴为直线x=-=-=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，-），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x-，当x=2时，y=1-=-，∴P（2，-）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，-），∴N1（4，-）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2-2x-=，解得x=2+或x=2-，∴N 2（2+，），N3（2-，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，-），（2+，）或（2-，）．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．19.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2-3x-4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，-4），∴D（0，-2），∴P点纵坐标为-2，代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，-2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2-3t-4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，-4），∴直线BC解析式为y=x-4，∴F（t，t-4），∴PF=（t-4）-（t2-3t-4）=-t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（-t2+4t）×4=-2（t-2）2+8，∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2-3t-4=-6，∴当P点坐标为（2，-6）时，△PBC的最大面积为8．【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF 的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．20.【答案】解：（1）将B（4，0）代入y=-x2+3x+m，解得，m=4，∴二次函数解析式为y=-x2+3x+4，令x=0，得y=4，∴C（0，4），（2）存在，理由：∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y=-x+4，当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，∴，∴x2-4x+b=0，∴△=16-4b=0，∴b=4，∴，∴M（2，6），（3）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（m，-m2+3m+4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4）∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，∴m=-m2+3m+4，∴m=1±，∴P（1+，1+）或P（1-，1-），②如图，设点P（t，-t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l交BC于点D，交x轴于点E，过点C作l的垂线交l于点F，∵点D在直线BC上，∴D（t，-t+4），∵PD=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t，BE+CF=4，∴S四边形PBQC=2S△PBC=2（S△PCD+S△PBD）=2（PD×CF+PD×BE）=4PD=-4t2+16t，∵0＜t＜4，∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16【解析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出面积最大时，平移直线BC的直线和抛物线只有一个交点，从而求出点M坐标；（3）①先判断出四边形PBQC时菱形时，点P是线段BC的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解；②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式，从而确定出它的最大值．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定，对称性，面积的确定，解本题的关键是确定出△MBC面积最大时，点P的坐标．21.【答案】解：（1）∵点B（4，m）在直线y=x+1上，∴m=4+1=5，∴B（4，5），把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=-x2+4x+5；（2）①设P（x，-x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），则PE=|-x2+4x+5-（x+1）|=|-x2+3x+4|，DE=|x+1|，∵PE=2ED，∴|-x2+3x+4|=2|x+1|，当-x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=-1或x=2，但当x=-1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P（2，9）；当-x2+3x+4=-2（x+1）时，解得x=-1或x=6，但当x=-1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P（6，-7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，-7）；②设P（x，-x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），∴BE==|x-4|，CE==，BC==，当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，则|x-4|=，解得x=，此时P点坐标为（，）；当BE=BC时，则|x-4|=，解得x=4+或x=4-，此时P点坐标为（4+，-4-8）或（4-，4-8）；当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，-4-8）或（4-，4-8）或（0，5）．【解析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标分别表示出PE和ED的长是解题关键，在（2）②中用P点坐标表示出BE、CE和BC的长是解题的关键，注意分三种情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．22.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3-1）2+4，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=-1，∴直线BD解析式为y=-x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，-m+3），M（m，-m2+2m+3），∴PM=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m=-（m-）2+，∴当m=时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，-x2+2x+3），则G（x，-x+3），∴QG=|-x2+2x+3-（-x+3）|=|-x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，∴QG=×2=4，∴|-x2+3x|=4，当-x2+3x=4时，△=9-16＜0，方程无实数根，当-x2+3x=-4时，解得x=-1或x=4，∴Q（-1，0）或（4，-5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-1，0）或（4，-5）．【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D 点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
2020-2021学年人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 期末专题复习(含答案)
2020-2021年九年级数学人教版（上）二次函数期末专题复习（含答案）一、选择题 1. 已知函数y=21x 2-x-12，当函数y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是（ ） A. x ＜1 B. x ＞1 C. x ＞-4 D . -4＜x ＜62. 下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax 2+bx +c(a ≠0)模型的是( ) A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D ．圆的周长与圆的半径之间的关系．3. 把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. 32+=x y B. 32-=x y C . 2)3(+=x y D. 2)3(-=x y4. 在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为( )A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x －2)2－2C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x ＋2)2－25. 将抛物线y ＝x 2－4x －4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为( )A ．y ＝(x ＋1)2－13B ．y ＝(x －5)2－3C ．y ＝(x －5)2－13D ．y ＝(x ＋1)2－36. 如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m ，门宽为2m ．若饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式为（ ）A ．yx 2+26x （2≤x ＜52） B ．yx 2+50x （2≤x ＜52） C ．y ＝﹣x 2+52x （2≤x ＜52）D ．yx 2+27x ﹣52（2≤x ＜52）7. 已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且图象过A(x 1，m)、B(x 1＋n ，m)两点，则m 、n 的关系为( )A. m ＝12nB. m ＝14nC. m ＝12n 2D. m ＝14n 28. 某同学在用描点法画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象时，列出了下面的表格：A. －11B. －2C. 1D. －59. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b<0；②c>0；③a ＋c<b ；④b 2－4ac>0，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 410.已知点A （b ﹣m ，y 1），B （b ﹣n ，y 2），C （b，y 3）都在二次函数y ＝﹣x 2+2bx+c 的图象上，若0＜m ＜n ，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 3＜y 1 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 211.如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（ ）A 、1y x =+B 、1y x =-C 、21y x x =-+ D 、21y x x =--12. 已知函数y ＝x 2+x ﹣1，当m ≤x ≤m+2时，y ≤1，则m 的取值范围（ ） A ．m ≥﹣2 B ．﹣2≤m ≤﹣1C ．﹣2≤mD ．m ≤﹣1二、填空题13. 抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.14. 已知函数①y=x 2+1，②y=-2x 2+x ．函数____(填序号)有最小值，当x=____时，该函数的最小值是_______． 15. 若函数是关于x 的二次函数，则a 的值为 ． 16. 关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于 点，此时 ．17. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B(m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c)，则点A 的坐标是________．18. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝________．19. 如图，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为242y x x =-++，则水柱的最大高度是 米。
二次函数复习题(含参考答案)
二次函数复习题一、填空题1.已知函数y=(m+2)x m(m+1)是二次函数,则m=______________.2.二次函数y=-x2-2x的对称轴是x=_____________3.函数s=2t-t2,当t=___________时有最大值,最大值是__________.4.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=__________.5.抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____,若将它旋转180º后得新的抛物线,其解析式为_________.6.抛物线y=5x-5x2+m的顶点在x轴上,则m=_____________________.7.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是___________________.8.已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,在x轴上方的抛物线上有一点C,且△ABC的面积等于10,则点C的坐标为________.9.把抛物线y=2(x+1)2向下平移____单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为5.10.如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________11.已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1,x2(x1<x2),则对于下列结论:(1) 当x= -2时,y=1;(2) 当x> x2时,y>0;(3)方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1,x2;(4) x1<-1,x2>-1;(5)x2 -x1 =k k241,其中正确的结论有__ __(只需填写序号)12.已知二次函数y=x2-2(m-1)x-1-m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0), x1<0<x2,与y轴交于点C, 且满足OC(OB-OA)=2OA·OB,则该二次函数的解析式为__________二.选择题13.抛物线y=(x-1)2+1的顶点坐标是( )(A) (1,1) (B) (-1,1) (C) (1,-1) (D) (-1,-1)14.抛物线y=-x2+x+7与坐标轴的交点个数为( )(A) 3个(B) 2个(C) 1个(D) 0个15.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( )(A) b=3,c=7 (B) b=-9,c=-15 (C) b=3,c=3 (D) b=-9,c=2116.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为17.当a,b为实数，二次函数y=a(x-1)2+b的最小值为-1时有( )(A) a<b (B) a=b (C) a>b (D) a≥b18.已知函数y=3x2-6x+k(k为常数)的图象经过点A(0.85,y1)，B(1.1,y2),C(2,y3),则有( )(A) y1<y2<y3(B) y1>y2>y3(C) y3>y1>y2(D) y1>y3>y219如果二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y=2x2-x-1的图象的对称轴上，那么一定有( )(A) a=2或-2 (B) a=2b (C) a=-2b (D) a=2,b= -1,c=-120抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0)，且满足4a+2b+c>0.以下结论(1)a+b>0;(2)a+c>0;(3)-a+b+c>0;(4)b2-2ac>5a2其中正确的个数有( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个三解答题：21．已知函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围。
中考复习专题09二次函数与正方形存在性问题(含解析)
专题09二次函数与正方形存在性问题二次函数与正方形存在性问题1.作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．2.对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．3.示例：在平面直角坐标系中，已知A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D 为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．【例1】（2022•齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为（1，2）；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n，解方程即可得出答案；（2）根据两点之间，线段最短，可知当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，求出直线AB的解析式，即可得出点C的坐标；（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），表示出DE的长度，利用二次函数的性质可得答案；（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质可得答案．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得，，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+1，∵AC+BC≥AB，∴当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，∴当x＝1时，y＝2，∴C（1，2），故答案为：（1，2）；（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4（﹣1＜a＜4），∴当a＝时，DE的最大值为；（4）当CF为对角线时，如图，此时四边形CMFN是正方形，∴N（1，1），当CF为边时，若点F在C的上方，此时∠MFC＝45°，∴MF∥x轴，∵△MCF是等腰直角三角形，∴MF＝CN＝2，∴N（1，4），当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，同理可得N（﹣1，2），当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，同理可得N（，），综上：N（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）．【例2】（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB ＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．【分析】（1）先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据GH＝2OG计算H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；（2）由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），表示矩形EFGH的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可；（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线相交，设交点为N，求出点N的坐标，并计算点N是圆M与抛物线在y轴右侧的切点即可．【解答】解：（1）如图1，由题意得：A（﹣4，0），B（4，0），C（0，8），设抛物线的解析式为：y＝ax2+8，把B（4，0）代入得：0＝16a+8，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+8，∵四边形EFGH是正方形，∴GH＝FG＝2OG，设H（t，﹣t2+8）（t＞0），∴﹣t2+8＝2t，解得：t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2（舍），∴此正方形的面积＝FG2＝（2t）2＝4t2＝4（﹣2+2）2＝（96﹣32）dm2；（2）如图2，由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），∴矩形EFGH的周长＝2FG+2GH＝4t+2（﹣t2+8）＝﹣t2+4t+16＝﹣（t﹣2）2+20，∵﹣1＜0，∴当t＝2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；（3）若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：如图3，N为⊙M N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP ⊥y轴于P，则MN＝OM＝3，NQ⊥MN，设N（m，﹣m2+8），由勾股定理得：PM2+PN2＝MN2，∴m2+（﹣m2+8﹣3）2＝32，解得：m1＝2，m2＝﹣2（舍），∴N（2，4），∴PM＝4﹣1＝3，∵cos∠NMP＝＝＝，∴MQ＝3MN＝9，∴Q（0，12），设QN的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴QN的解析式为：y＝﹣2x+12，﹣x2+8＝﹣2x+12，x2﹣2x+4＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4××4＝0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．【例3】（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y 轴上时，请直接写出点G的坐标．【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求得结果；（2）可推出△PCB是直角三角形，进而求出△BOC和△PBC的面积之和，从而求得四边形BOCP的面积；（3）作PE∥AB交BC的延长线于E，根据△PDE∽△ADB，求得的函数解析式，从而求得P点坐标，进而分为点P和点A和点Q分别为直角顶点，构造“一线三直角”，进一步求得结果；（4）作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM ≌△HWI．根据△GLC≌△CRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，根据MT＝IW，构建方程求得n的值．【解答】解：（1）由题意得，，∴，∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∵PC2+BC2＝[1+（4﹣3）2]+（32+32）＝20，PB2＝[（3﹣1）2+42]＝20，∴PC2+BC2＝PB2，∴∠PCB＝90°，＝＝＝3，∴S△PBC＝＝＝，∵S△BOC＝S△PBC+S△BOC＝3+＝；∴S四边形BOCP（3）如图1，作PE∥AB交BC的延长线于E，设P（m，﹣m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，由﹣x+3＝﹣m2+2m+3得，x＝m2﹣2m，∴PE＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，∵PE∥AB，∴△PDE∽△ADB，∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，＝，∴当m＝时，（）最大当m＝时，y＝﹣（）2+2×+3＝，∴P（，），设Q（n，﹣n2+2n+3），如图2，当∠PAQ＝90°时，过点A作y轴平行线AF，作PF⊥AF于F，作QG⊥AF于G，则△AFP∽△GQA，∴＝，∴＝，∴n＝，如图3，当∠AQP＝90°时，过QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，∴＝，∴＝，可得n1＝1，n2＝，如图4，当∠APQ＝90°时，作PT⊥AB于T，作QR⊥PT于R，同理可得：＝，∴n＝，综上所述：点Q的横坐标为：或1或或；（4）如图5，作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，∴G（n，0），H（3，3+n），∴K（，），∴I（，﹣（）2+n+3+3），∵TM＝IW，∴＝（）2+n +6﹣（3+n ），∴（n +3）2+2（n +3）﹣12＝0，∴n 1＝﹣4+，n 2＝﹣4﹣（舍去），∴G （﹣4+，0）．【例4】（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2﹣bx （b 是常数）经过点（2，0）．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （m ≠0）．以点A 为中心，构造正方形PQMN ，PQ ＝2|m |，且PQ ⊥x 轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连结BC ．当BC ＝4时，求点B 的坐标；（3）若m ＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，或者y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m 的值．【分析】（1）把（2，0）代入y ＝x 2﹣bx ，得到b ＝2，可得结论；（2）判断出点B 的横坐标为﹣1，可得结论；（3）分两种情形：当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大．当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而减小．利用图象法解决问题即可；（4）分三种情形：如图4﹣1中，当点N （0，）时，满足条件，如图4﹣2中，当点N （0，﹣），满足条件，如图4﹣3中，当正方形PQMN 的边长为时，满足条件，分别求出点A 的坐标，可得结论．【解答】解：（1）把（2，0）代入y ＝x 2﹣bx ，得到b ＝2，∴该抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ；（2）如图1中，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线的顶点为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1，∵BC∥x，∴B，C故对称轴x＝1对称，BC＝4，∴点B的横坐标为﹣1，∴B（﹣1，3）；（3）如图2中，∵点A的横坐标为m，PQ＝2|m|，m＞0，∴PQ＝PQM＝MN＝2m，∴正方形的边MN在y轴上，当点M与O重合时，由，解得或，∴A（3，3），观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m＝，观察图象可知，当0＜m≤时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤或m≥3；（4）如图4﹣1中，当点N（0，）时，满足条件，此时直线NQ的解析式为y＝﹣x+，由，解得，或，∵点A在第四象限，∴A（，﹣），∴m＝．如图4﹣2中，当点N（0，﹣），满足条件，此时直线NQ是解析式为y＝﹣x﹣，由，解得，∴A （，﹣），∴m ＝．如图4﹣3中，当正方形PQMN 的边长为时，满足条件，此时m ＝﹣，综上所述，满足条件的m 的值为或或﹣．1．（2020•乐平市一模）如图，抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0）的顶点为A ，对称轴与x 轴交于点C ，当以AC 为对角线的正方形ABCD 的另外两个顶点B 、D 恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛物线，正方形ABCD 为它的内接正方形．（1）当抛物线y ＝ax 2+1是美丽抛物线时，则a ＝﹣2；当抛物线y ＝+k 是美丽抛物线时，则k＝﹣4；（2）若抛物线y ＝ax 2+k 是美丽抛物线时，则请直接写出a ，k 的数量关系；（3）若y ＝a （x ﹣h ）2+k 是美丽抛物线时，（2）a ，k 的数量关系成立吗？为什么？（4）系列美丽抛物线y n ＝a n （x ﹣n ）2+k n （n 为小于7的正整数）顶点在直线y ＝x 上，且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16．求它们二次项系数之和．【分析】（1）画出函数y＝ax2+k的图象，求出点D的坐标，即可求解；（2）由（1）知，点D的坐标为（k，k），即可求解；（3）美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线，美丽抛物线y＝a（x﹣h）2+k 沿x轴经过适当平移后为抛物线y＝ax2+k，即可求解；（4）设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为和，它们的内接正方形的边长比为，则m＝4k，，进而求解．【解答】解：（1）函数y＝ax2+k的图象如下：①抛物线y＝ax2+1是美丽抛物线时，则AC＝1，∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（，），将点D的坐标代入y＝ax2+1得：＝a（）2+1，解得a＝﹣2；②同理可得，点D的坐标为（k，k），将点D的坐标代入y＝+k得：k＝（k）2+1，解得k＝0（不合题意）或﹣4；故答案为：﹣4；（2）由（1）知，点D的坐标为（k，k），将点D 的坐标代入y ＝ax 2+k 得：k ＝a （k ）2+k ，解得ak ＝﹣2；（3）答：成立．∵美丽抛物线沿x 轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线．∴美丽抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 沿x 轴经过适当平移后为抛物线y ＝ax 2+k ．∴ak ＝﹣2；（4）设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为和，（k ，m 为小7的正整数，且k ＜m ），它们的内接正方形的边长比为，∴m ＝4k ，．∴这两条美丽抛物线分别为和．∵，＝﹣2，∴a 1＝﹣12，a 4＝﹣3．∴a 1+a 4＝﹣15．答：这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为﹣15．2．（2016秋•西城区校级期中）我们规定：在正方形ABCD 中，以正方形的一个顶点A 为顶点，且过对角顶点C 的抛物线，称为这个正方形的以A 为顶点的对角抛物线．（1）在平面直角坐标系xOy 中，点在轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上．①如图1，正方形OABC 的边长为2，求以O 为顶点的对角抛物线；②如图2，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为a ，其以O 为顶点的对角抛物线的解析式为y ＝x 2，求a 的值；（2）如图3，正方形ABCD 的边长为4，且点A 的坐标为（3，2），正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD 内分别交于点M 、P 、N 、Q ，直接写出四边形MPNQ 的形状和四边形MPNQ 的对角线的交点坐标．【分析】（1）①设O为顶点的抛物线的解析式为y＝ax2，把B（2，2）代入即可解决问题．②设B（a，a）．代入y＝x2求出a即可解决问题．（2）如图3中，结论：四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）．求出A、B、C、D的顶点的对角抛物线，利用方程组求出M、P、N、Q的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，设O为顶点的抛物线的解析式为y＝ax2，∵过B（2，2），∴2＝4a，∴a＝，∴所求的抛物线的解析式为y＝x2．②如图2中，设B（a，a）．则有a＝a2，解得a＝4或0（舍弃），∴B（4，4），∴OA＝4，∴正方形的边长为4．（2）如图3中，结论：四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）．理由：∵正方形ABCD的边长为4，A（3，2），∴B（7，2），C（7，6），D（3，6），∴以A为顶点的对角抛物线为y＝（x﹣3）2+2，以B为顶点的对角抛物线为y＝（x﹣7）2+2，以C为顶点的对角抛物线为y＝﹣（x﹣7）2+6，以D为顶点的对角抛物线为y＝﹣（x﹣3）2+6，由可得M（5，3），由可得N（5，5），由可得P（3+2，4），由可得Q（7﹣2，4），∴PM＝，PN＝，QN＝，QM＝，∴PM＝PN＝QN＝QM，∴四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）．3．（2022•陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．【分析】（1）利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；（2）根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线L2的解析式．【解答】解：（1）设抛物线L1的表达式是，∵抛物线L1过点A（﹣2，0），∴，解得，∴．即抛物线L1的表达式是；（2）令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．Ⅰ．当AC为正方形的对角线时，如图所示，∵AE3＝E3C＝CD3＝D3A＝2，∴点D3的坐标为（0，0），点E3的坐标为（﹣2，﹣2）．设，则，解得即抛物线L2的解析式是．Ⅱ．当AC为边时，分两种情况，如图，第①种情况，点D1，E1在AC的右上角时．∵AO＝CO＝E1O＝D1O＝2，∴点D1的坐标为（0，2），点E1的坐标为（2，0）．设，则，解得：，即抛物线L2的解析式是．第②种情况，点D2E2在AC的左下角时，过点D2作D2M⊥x轴，则有△AD2M≌△AD1O，∴AO＝AM，D1O＝D2M．过E2作E2N⊥y轴，同理可得，△CE2N≌△CE1O，∴CO＝CN，E1O＝E2N．则点D2的坐标为（﹣4，﹣2），点E2的坐标为（﹣2，﹣4），设，则，解得，即抛物线L2的解析式是．综上所述：L2的表达式为：，或．4．（2022•临潼区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（1，﹣）两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．【分析】（1）利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；（2）根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线L2的解析式．【解答】解：（1）设抛物线L1的表达式是y＝a（x﹣1）2﹣，∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c A（﹣2，0），∴0＝9a﹣，解得a＝，∴y＝（x﹣1）2﹣，即抛物线L1的表达式是y＝x2﹣x﹣2；（2）当AC为正方形的对角线时，则点D的坐标为（0，0），点E（﹣2，﹣2），设y＝x2+bx+c，∴，解得，即抛物线L2的解析式是y＝x2+x；当AC为边时，分两种情况，第一种情况，点D、E在AC的右上角时，则点D的坐标（0，2），点E（2，0），设y＝x2+bx+c，∴，解得，即抛物线L2的解析式是y＝x2﹣x+2；第二种情况，点D、E在AC的左下角时，则点D的坐标（﹣4，﹣2），点E（﹣2，﹣4），设y＝x2+bx+c，则，解得，即抛物线L2的解析式是y＝x2+x﹣4．5．（2022•松阳县一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A（4，0），点C（0，4）．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG：GB＝3：1．（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．已知OE＝m，OF＝t①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得点G的坐标，再用待定系数法求解即可；（2）①证明△EOF∽△FCG，利用相似三角形的性质得到m关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；②根据轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质先后求得点R（﹣m，2t），点Q（2t，﹣m），代入二次函数的解析式得到方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）∵点A（4，0），点C（0，4）．且四边形OABC是正方形，∴QA＝QC＝BC＝4，∵CG：GB＝3：1．∴CG＝3，BG＝l，∴点G的坐标为（3，4），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把.4（4，0），C（0，4），G（3，4），代入y＝ax2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣1，0）；．（2）①∵EF⊥FG，∠EOF＝∠GFE＝∠GCF＝90°，∴∠EFO+∠FEO＝∠EFO+∠CFG＝90°，．∴∠FEO＝∠CFG，∴△EOF∽△FCG，∴＝，即＝，∴m＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，∴当t＝2时，m有最大值，最大值为；②∵点A（4，0），点C（0，4），且四边形OABC是正方形，∴点B的坐标为（4，4），设直线OB的解析式为y＝kx，把（4，4），代入得：4＝4k，解得k＝1，∴直线OB的解析式为y＝x，过点R作RS⊥y轴于点S，如图：∵点E与点R关于直线FG对称，EF⊥FG，∴RF＝EF，∠RFS＝∠EFO，∴△RFS≌△EFO（AAS），∴RS＝EO＝m，FS＝FO＝t，则SO＝2t，∴点R的坐标为（﹣m，21）∵点R与点Q关于直线OB对称，同理点Q的坐标为（2t，﹣m），把Q（2t，﹣m）代入y＝﹣x2+3x+4，得：﹣m＝﹣4t2+6t+4，由①得m＝﹣t2+t，∴t2﹣t＝﹣4t2+6t+4，解得：t1＝，t2＝，∵0≤t1≤4，∴当t＝时，点G恰好落在抛物线上．6．（2022•香坊区校级开学）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，OA＝18．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若∠EDA＝2∠ABD，求直线DE的解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为BP中点，连接DQ，过点B作BH⊥BP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，求△CGH的周长【分析】（1）根据正方形的性质求得B，C的坐标，利用待定系数法求解析式即可；（2）在AD延长线时取DI＝DE，连接IE，设∠ABD＝α，可得tan∠EIA＝＝，设AE＝x，则AI＝2x，在Rt△ADE中，ED2＝AD2+AE2，建立方程，解方程进而可得E点的坐标，利用待定系数法求解析式即可；（3）延长BD，交y轴于点M．设直线DP交y轴于点S，分别求得G，C．H三点的坐标，进而根据勾股定理以及两点距离公式分别求得CG，HG，HC的长，即可求得△CGH的周长．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，OA＝18．∴AB＝OC＝OA＝18，∴C（0，18），B（18，18），∴c＝18，∴18＝﹣×182+bx+18，解得b＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+18；（2）如图，在AD延长线时取DI＝DE，连接IE，设∠ABD＝α，∵∠EDA＝2∠ABD，∴∠EDA＝2α，∵DI＝DE，∴∠EID＝∠IED＝α，∵点D是OA的中点，∴OD＝DA＝9，∴tanα＝＝，∴tan∠EIA＝＝，设AE＝x，则AI＝2x，∴ED＝DI＝IA﹣DA＝2x﹣9，在Rt△ADE中，ED2＝AD2+AE2，即（2x﹣9）2＝92+x2，解得x1＝12，x2＝0（舍），∴AE＝12，∴E（18，12），∵D（9，0），设直线ED的解析式为y＝kx+t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝x﹣12；（3）如图，延长BD，交y轴于点M，设直线DP交y轴于点S，∵OD＝DA，∠DOM＝∠DAB，∠ODM＝∠ADB，∴△ODM≌△ADB（ASA），∴MD＝DB，∵点Q为BP中点，DQ＝PQ，∴DQ＝BQ＝PQ，∴∠QDB＝∠QBD，∠QDP＝∠QPD，∠QDB+∠QBD+∠QDP+∠QPD＝180°，∴∠BDQ+∠PDQ＝90°，即∠BDP＝90°，∴PH⊥BD，∴∠SDO+∠MDO＝∠MDO+∠OMD＝90°，∴∠SDO＝∠OMD＝∠ABD，∴tan ∠SDO ＝tan ∠ABD ＝＝，∴OS ＝OD ＝，∴S （0，），设直线SD 的解析式为y ＝mx +n ，将点S （0，），D （9，0）代入得，，解得，∴直线SD 的解析式为y ＝﹣x +，联立，解得，，∵点P 在AB ∴P （27，﹣9），∵D （9，0），B （18，18），∴PD ＝＝9，BD ＝＝9，∴DB ＝DP ，∴△DBP 是等腰直角三角形，∴∠DBP ＝45°，DQ ⊥BP ，∵BH ⊥BP ，∴BH ∥DQ ，∴＝1，∴DH ＝DP ，∵D （9，0），P （27，﹣9），∴H （﹣9，9），∵点G 在OD 上，GC ＝GE ，C （0，18），E （18，12），设G （p ，0），则p 2+182＝（18﹣p ）2+122，解得p ＝4，∴G （4，0），∵H （﹣9，9），G （4，0），C （0，18），∴CG ＝＝2，CH ＝＝9，HG ＝＝5，∴CG +HG +CH ＝2+5+9，∴△CGH 的周长为2+5+9．7．（2021•咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴正半轴交于点A ，且点A 的坐标为（3，0），过点A 作垂直于x 轴的直线l ，P 是该抛物线上一动点，其横坐标为m ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，M 是直线l 上的一点，其纵坐标为．以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q 与点M 重合时，求的值；（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值；（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）根据点M 与点P 的纵坐标相等构建方程求解即可．（3）根据PQ ＝MQ ，构建方程求解即可．（4）当点P 在直线l 的左边，点M 在点Q 是下方下方时，抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小，则有﹣m +＜﹣m 2+m +，解得0＜m ＜4，观察图象可知．当0＜m ＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中．当m＞4时，点M 在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中．【解答】解：（1）∵抛物线的图象经过点A（3，0），∴＝0，解得b＝1．∴抛物线解析式为：．（2）∵P点的横坐标为m，且P点在抛物线y＝的图象上，∴P点的坐标为（m，），∵PQ⊥l，l过A点且垂直于x轴，∴Q点的坐标为（3，），∵M点的坐标为（3，﹣m+），∵Q点与M点重合，∴＝﹣m+，解方程得：m＝0或m＝4．（3）∵抛物线＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2）．∵N点的坐标为N（m，﹣m+），要使顶点（1，2）在正方形PQMN内部，∴﹣m+＞2，得m＜﹣．∴PN＝﹣m+﹣（）＝m2﹣2m，PQ＝3﹣m．∵四边形PQMN是正方形，∴m2﹣2m＝3﹣m，解得m＝1+（舍去）或m＝1﹣．∴当m＝1﹣时，抛物线顶点在正方形PQMN内部．（4）∵M点的纵坐标﹣m+，随P点的横坐标m的增大而减小，根据（1）的结果得：当m＝0时，M，Q两点重合；m＝3时，P，Q重合；m＝4时，M，Q重合，矩形PQMN不存在；当m＜0时，直线MN在直线PQ上方，抛物线顶点在矩形PQMN内部，不合题意．当0＜m＜4时，直线MN在直线PQ下方，如图4﹣1，当3＜m＜4时，矩形内部没有抛物线图象，不合题意；当m＞4时，直线MN在直线PQ上方，矩形内部有抛物线，且为对称轴右侧，y随x的增大而减小，如图4﹣2；综上：当0＜m＜3或m＞4时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小．8．（2021•云南模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，且经过点D（5，6）．（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点P，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AD下方，作正方形ADEF，并将沿对称轴平移|t|个单位长度（规定向上平移时t为正，向下平移时t为负，不平移时t为0），若平移后的抛物线与正方形ADEF（包括正方形的内部和边）有公共点，求t的取值范围．【分析】（1）用待定系数法直接求出解析式，然后令y＝0，求出点A、B的坐标即可；（2）求出直线AD的解析式，设直线AD与y轴交于点E，得出∠DAB＝45°，过点D作DP1⊥x轴，过点A作AP2∥y轴，过点D作DP2∥x轴，AP2与DP2交于点P2，延长AP1至P3，使AP1＝P1P3，连接DP3，延长DP1至P4，使DP1＝P1P4，连接AP4，延长AP2至P5，使AP2＝P2P5，连接DP5，延长DP2至P6，使DP2＝P2P6，连接AP6，则△AP1D，△AP2D，△AP3D，△AP4D，△AP5D，△AP6D为所有符合题意的等腰直角三角形，求出各个P点的坐标即可；（3）设平移后的抛物线解析式为，分别求出抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最低位置和最高位置的t值，即可求出t的取值范围．【解答】解：（1）依题意，将点D（5，6）代入，得，解得k＝﹣2，∴抛物线的解析式为，令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）存在，设直线AD的解析式为y＝mx+n（m≠0），将A（﹣1，0），D（5，6）两点坐标代入得，，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，如图1，设直线AD与y轴交于点E，令x＝0，得y＝1，∴OA＝OE＝1，∴∠DAB＝45°，过点D作DP1⊥x轴，过点A作AP2∥y轴，过点D作DP2∥x轴，AP2与DP2交于点P2，延长AP1至P3，使AP1＝P1P3，连接DP3，延长DP1至P4，使DP1＝P1P4，连接AP4，延长AP2至P5，使AP2＝P2P5，连接DP5，延长DP2至P6，使DP2＝P2P6，连接AP6，则△AP1D，△AP2D，△AP3D，△AP4D，△AP5D，△AP6D为所有符合题意的等腰直角三角形，∴P1（5，0），P2（﹣1，6），P3（11，0），P4（5，﹣6），P5（﹣1，12），P6（﹣7，6）；（3）如图2，由（2）可知，点E的坐标是（11，0），点F的坐标是（5，﹣6），直线AD的解析式是y＝x+1，设平移后的抛物线解析式为，结合图象可知，当抛物线经过点E时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最低位置，将点（11，0）代入，得，解得t＝﹣48，当抛物线与AD边有唯一公共点时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最高位置，将y＝x+1与联立方程组，，化简得x2﹣4x+2t﹣5＝0，∵只有唯一解，即此一元二次方程有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（2t﹣5）＝0，解得，∴t的取值范围．9．（2019秋•温州校级月考）如图1所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB为邻边建立正方形OACB，抛物线y ＝﹣x²+bx+c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒．＝6？若存在，（1）当t＝3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使得S△BCD 求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP＝，CP＝，∠OPA ＝135°，直接写出此时AP的长度．【分析】（1）根据正方形的性质可得OA、OB，然后写出点B、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答，设BC边上的高为h，利用三角形的面积求出h，从而确定出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求解即可；（2）分点E在点F上方和下方两种情况表示出EF，再根据平行四边形对边相等列方程求解即可；（3）将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，根据旋转的性质可得AP′＝AP，P′C＝OP，∠AP′C＝∠OPA，然后判断出△APP′是等腰直角三角形，再求出∠PP′C＝90°，利用勾股定理列式求出PP′，再根据等腰直角三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵t＝3秒，∴OA＝OB＝3，∴点B（0，3），C（3，3），将点B、C代入抛物线得，，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+3，设BC边上的高为h，＝6，∵BC＝OA＝3，S△BCD∴h＝4，∴点D的纵坐标为3﹣4＝﹣1，令y＝﹣1，则﹣x2+3x+3＝﹣1，整理得，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，所以，D1（﹣1，﹣1），D2（4，﹣1）；（2）∵OB＝3，∴EF＝3，设E（m，﹣m2+3m+3），F（m，m），若E在F上方，则，﹣m2+3m+3﹣m＝3，整理得，m2﹣2m＝0，解得m1＝0（舍去），m2＝2，∴F1（2，2），若F在E上方，则，m﹣（﹣m2+3m+3）＝3，整理m2﹣2m﹣6＝0，解得m1＝1﹣，m2＝1+，∴F2（1﹣，1﹣），F3（1+，1+）；（4）如图，将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，由旋转的性质得，AP′＝AP，P′C＝OP＝，∠AP′C＝∠OPA＝135°，∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠AP′P＝45°，∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90由勾股定理得，PP′＝＝，所以，AP＝PP′＝×＝1．10．（2021•峨眉山市模拟）如图，已知直线y＝与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．（1）求抛物线的解析式；（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．【分析】（1）求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，证△AOB≌△BZC≌△DMA，推出BZ＝OA＝DM＝1，CZ＝OB＝MA＝2，进而求解；（2）分为三种情况，根据题意画出图形，①当点A运动到x轴上点F时，②当点C运动x轴上时，③当点D运动到x轴上时，根据相似三角形的性质和判定和三角形的面积公式求出即可；（3）由抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积即为▱EE′C′C的面积，即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+1，∴当x＝0时，y＝1，当y＝0x＝2，∴OA＝1，OB＝2，过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠CZB＝90°，∴∠ABO+∠CBZ＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBZ，在△AOB和△BZC中，，∴△AOB≌△BZC（AAS），∴OA＝BZ＝1，OB＝CZ＝2，∴C（3，2），同理可求D的坐标是（1，3）；设抛物线为y＝ax2+bx+c，∵抛物线过A（0，1），D（1，3），C（3，2），则，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1；（2）∵OA＝1，OB＝2，∴由勾股定理得：AB＝，①当点A运动到x轴上点F时，t＝1，当0＜t≤1时，如图1，∵∠OFA＝∠GFB′，tan∠OFA＝，∴tan∠GFB′＝＝＝，∴GB′＝t，＝FB′×GB′＝•t•t＝t2；∴S△FB′G②当点C运动x轴上时，t＝2，当1＜t≤2时，如图2，∵AB＝A′B′＝，∴A′F＝t﹣，∴A′G＝，∵B′H＝t，＝（A′G+B′H）•A′B′＝（+t）•＝t﹣；∴S四边形A′B′HG③当点D运动到x轴上时，t＝3，当2＜t≤3时，如图3，∵A′G＝，∴GD′＝﹣＝，＝×2×1＝1，OA＝1，∠AOF＝∠GD′H＝90°，∠AFO＝∠GFA′，∵S△AOF∴△AOF∽△GA′F，∴＝（）2，＝（）2，∴S△GA′F＝（）2﹣（）2＝﹣t2+t﹣；则S五边形GA′B′CH综上，S＝；（3）设平移后点E和点C对应的点为E′、C′，则抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积即为▱EE′C′C的面积，联立y＝与y＝﹣x2+x+1并解得，∴E（4，﹣1），∴BC＝BE，CE＝，当顶点D落在x3个单位长度，向右平移了6个单位长度，此时点E′的坐标为（10，﹣4），∴EE′＝3，∴抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积为S＝EE′•BC＝3×＝15．11．（2021•深圳模拟）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且顶点为C，直线y＝kx+2经过A，C两点．（1）求直线AC的表达式与抛物线C1的表达式；（2）如图2，将抛物线C1沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C2，其顶点为D，抛物线C2＝S△MAE，求与直线y＝kx+2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点（M点在N点右边），若S△MDE 点D的坐标；（3）如图3，若抛物线C1向上平移4个单位得到抛物线C3，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶点S，T在x轴上方的抛物线C3上，P（m，0）是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为4，。
高一数学复习考点题型专题讲解9 二次函数与一元二次方程、不等式
高一数学复习考点题型专题讲解 第9讲 二次函数与一元二次方程不等式一、单选题1．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥ 【答案】A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集. 【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A2．已知关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}14a a -≤≤B ．{}14a a -<< C ．{4a a ≥或}1a ≤-D ．{}41a a -≤≤ 【答案】A【分析】由题意知22430x x a a -+-≤在R 上有解，等价于0∆≥，解不等式即可求实数a 的取值范围.【解析】因为关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解， 即22430x x a a -+-≤在R 上有解，只需2243y x x a a =-+-的图象与x 轴有公共点， 所以()()224430a a ∆=--⨯-≥，即2340a a --≤，所以()()410a a -+≤， 解得：14a -≤≤，所以实数a 的取值范围是{}14a a -≤≤， 故选：A.3．设x ∈R ，则“(1)(2)0x x -+≥”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【解析】(1)(2)0x x -+≥，则2x -≤或1≥x ，不满足21x -<，如2x =-，不充分，21x -<时，13x <<，满足(1)(2)0x x -+≥，必要性满足．应为必要不充分条件． 故选：B ．4．不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{2|a a <-或2}a ≥B ．{}22a a -<<C ．{}22a a -<≤D ．{}2a a <【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解集，讨论2a =、2a <结合判别式求a 的范围.【解析】因为不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，所以不等式()()222240a x a x -+--<的解集为R ．当20a -=，即2a =时，40-<，符合题意．当20a -<，即2a <时，()()2224420a a ⎡⎤∆=-+⨯⨯-<⎣⎦，解得22a -<<． 综上，实数a 的取值范围是{}22a a -<≤． 故选：C5．关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭， C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭， 【答案】C【分析】由题知210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立，进而分0m =和0m ≠两种情况讨论求解即可.【解析】解：因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立， 所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立， 所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立． 当0m ≠时，由题意，得2Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <， 综上，m 的取值范围为(]0-∞，． 故选：C6．若存在x 使得21y x mx =-+-有正值，则m 的取值范围是（ ） A ．2m <-或2m >B ．22m -<<C ．2m ≠±D ．13m << 【答案】A【分析】根据二次函数的图象，结合判别式，即可求解. 【解析】21y x mx =-+-是开口向下的抛物线，若存在x 使0y >，则()()24110m ∆=-⨯-⨯->，解得：2m >或2m <-.故选：A7．已知22280x ax a --≤（0a >）的解集为A ，且{}11x x A -<<⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．14a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭C ．1142aa ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1142a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】A【分析】根据题意，先求出集合A ，再根据包含关系，即可求解.【解析】由()()2228240x ax a x a x a --=+-≤且0a >，得2280ax a x -≤-（0a >）的解集{}24A x a x a =-≤≤．因为{}11x x A -<<⊆，所以2141a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得12a ≥．故选：A ．8．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y +恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A1C 1D【答案】D【分析】分离变量将问题转化为a ≥0,0x y >>恒成立，进而求出(0)t t >及1(1)t m m +=>，然后通过基本不等式求得答案. 【解析】由题意可得，a ≥0,0x y >>1x=+(0)t t >2111t t x+=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12≤==，当且仅当21m m ==时取得“=”.所以a ≥a故选：D.9．已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为() A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+ C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3) 【答案】C【分析】把不等式看作是关于a 的一元一次不等式，然后构造函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，由不等式在[1-，1]上恒成立，得到(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，求解关于a 的不等式组得x 得取值范围．【解析】解：令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x \的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．10．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ ）A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4 【答案】A【分析】()2222βαααββ=+-⋅+，利用韦达定理可得答案.【解析】关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根，()()222141440∴∆=--⨯⨯-=-+⎡⎤⎣⎦m m m m …， 解得：1m …，关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，2(1)m αβ∴+=--，2m m αβ⋅=-，()()()22222221212αβαβαβ∴+=+-⋅=----=⎡⎤⎣⎦m m m ，即2340m m --=，解得：1m =-或4(m =舍去). 故选：A.11．已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞ C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞ 【答案】C【分析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-，根据二次方程根的分布可得式子()Δ022220m f >⎧⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩，计算即可.【解析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或 则54m -<<-，即(5,4)m ∈-- 故选：C12．已知不等式220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<，若对于任意{}|10x x x ∈-≤≤，不等式224x bx c t -+++≤恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．{}|2t t ≤B ．{}|2t t ≤-C ．{}|4t t ≤-D ．{}|4t t ≤ 【答案】B【分析】先根据220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<可得b ，c 的值，然后不等式224x bx c t -+++≤恒成立，分离参数转化最值问题即可求解.【解析】由题意得1-和3是关于x 的方程220x bx c -++=的两个实数根，则201830b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得46b c =⎧⎨=⎩，则222246x bx c x x -++=-++，由224x bx c t -+++≤得2242t x x ≤--，当10x -≤≤时，()2min2422xx --=-，故2t ≤-.故选：B.二、多选题13．下列结论错误的是（ ）A ．若方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2+bx +c >0的解集为RB ．不等式ax 2+bx +c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ=b 2-4ac ≤0C ．若关于x 的不等式ax 2+x -1≤0的解集为R ，则a ≤-14D ．不等式1x>1的解集为x <1 【答案】ABD【分析】根据不等式性质对选项一一判断即可． 【解析】A 选项中，只有a >0时才成立； B 选项当a =b =0，c ≤0时也成立；C 选项x 的不等式ax 2+x -1≤0的解集为R ，则0,140a a <∆=+≤，得a ≤-14，正确； D 选项1x>1的解集为01x <<． 故选：ABD14．关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为{}12x x x x <<，且2115x x -=，则=a （ ）A ．52-B ．154-C ．52D ．152【答案】AC【分析】由题意知1x ，2x 是方程22280x ax a --=的两根，利用韦达定理可求得12x x +，12x x ，再根据()()222112124x x x x x x -=+-即可得出答案.【解析】解：由题意知1x ，2x 是方程22280x ax a --=的两根，所以122x x a +=，2128x x a =-， 则()()22222211212443236x x x x x x a a a -=+-=+=. 又2115x x -=，所以236225a =，所以52a =±. 故选：AC.15．已知关于x 的一元二次方程(3a 2+4)x 2-18ax +15=0有两个实根x 1，x 2，则下列结论正确的有（ ）A．a ≥a ≤．121165a x x += C．12x x -=．12212155ax x x ax x x -=-- 【答案】ABD【分析】利用判别式和韦达定理可判断各选项中的等式或不等式是否成立，从而可得正确的选项.【解析】因为()223418150a x ax +-+=有两个不等式的实根，所以()2232460340a a ∆=-⨯+>，故253a ≥，所以a ≥a ≤故A 正确.由韦达定理可得1212221815,3434a x x x x a a +==++，所以12121211186155x x a a x x x x ++===，故B 正确.12x x -==，故C 错误. 因为121165a x x +=，所以1212556x x ax x +=，故112122555x ax x ax x x -=-， 若10x =，则()22340180150a a +-⨯+=即150=，矛盾，故10x ≠.若1210ax x x -=，则210ax -=，故21x a =，即223418150a a +-+=， 故22343a a +=，矛盾.所以12212155ax x x ax x x -=--，故D 成立.故选：ABD.【点睛】本题考查一元二次方程的有解问题，此类问题一般利用判别式和韦达定理来处理，本题属于中档题.16．已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（ ） A ．224a b -≤ B ．214a b+≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为{}12x x x x <<，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为{}12x x x x <<，且124x x -=，则1c = 【答案】AB【分析】由题意，方程20(0)x ax b a ++=>有且只有一个根，所以240a b ∆=-=，即240a b =>，再利用基本不等式和不等式的性质，即可求解.【解析】解：由题意，方程20(0)x ax b a ++=>有且只有一个根，所以240a b ∆=-=，即240a b =>，对A ：224a b -≤等价于2440b b -+≥，显然2(2)0b -≥，所以A 选项正确；对B ：21144a b b b +=+≥，故B 选项正确；对C ：因为不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，所以120x x b =-<，所以C 选项错误； 对D ：因为不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=， 则方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，所以124x x =====-， 所以4c =，故D 选项错误. 故选：AB.17．已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是( )A ．当1a b <<时，不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为∅B ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{|}xc xd ≤≤的形式 C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么43b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么4b a -= 【答案】AD【分析】A ：分析函数23()344f x x x =-+的最值与a ，b 进行比较即可；B ：在同一直角坐标系中，作出函数23344y x x =-+的图象以及直线y a =和直线y b =，由图象分析，即可判断选项BCD ：利用23()(2)14f x x =-+的图象与对应不等式的关系解答即可； 【解析】解：设23()344f x x x =-+，x ∈R ，则23()(2)14f x x =-+；对于A ：∵()1f x …，∴当1a b <<时，不等式23344a x xb -+剟的解集为∅，所以A 正确；对于B ：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象及直线y ＝a 和y ＝b ，如图所示：由图知，当a ＝2时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为{}{}A C D B xx x x x x x x ≤≤⋃≤≤∣∣的形式，故B 错误；对于CD ：由()f x 的图象知，若不等式的解集为连续不间断的区间，则1a …，且1b >；若解集为[a ，]b ，则f (a )f =(b )b =，且2b …， 因为23()(2)14f x x =-+，所以f (b )23(2)14b b =-+=，解得4b =或43b =，因为2b …，所以4b =，所以0a =，所以4b a -=， 所以C 错误、D 正确． 故选：AD18．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元n ()*n N ∈次复系数多项式方程()0f x =至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程4320ax bx cx dx e ++++=(0)a ≠，在复数集C 内的根为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列结论正确的是（ ）A ．1234bx x x x a+++=-B ．123124134234c x x x x x x x x x x x x a+++=- C ．1234e x x x x a=D ．121314232434d x x x x x x x x x x x x a+++++= 【答案】AC【分析】由2341243()()()()a x x ax bx cx dx e x x x x x x ---++-++=，并展开右式即可判断各选项的正误.【解析】由题设知：2341243()()()()a x x ax bx cx dx e x x x x x x ---++-++=，∴2212432123434[()][()]a x x x x ax bx cx dx x x x x x e x x x -+++++=+-++， ∴432ax bx cx dx e ++++=43212341213231424341231241342341234[()()()]a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++++++++-++++，∴1234b x x x x a +++=-，121323142434c x x x x x x x x x x x x a +++++=，123124134234d x x x x x x x x x x x x a+++=-，1234ex x x x a=. 故选：AC三、填空题19．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是__________．【答案】{m |m ≥9或m ≤1}【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【解析】由方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解， ∴Δ＝(m －3)2－4m ≥0， 即m 2－10m ＋9≥0， ∴(m －9)(m －1)≥0， ∴m ≥9或m ≤1.故答案为：{m |m ≥9或m ≤1}20．若“对于一切实数x ，()2110x a x +-+>”是“对于一切实数x ，2204mmx ax ++>”的充分条件，则实数m 的取值范围是______． 【答案】{}6m m ≥【分析】根据题意，结合不等式恒成立，分别表示出a 的范围，在结合充分条件的集合方法，即可处理.【解析】∵()2110x a x +-+>对x ∈R 恒成立，∴()2Δ140a =--<，解得13a -<<．又2204mmx ax ++>对x ∈R 恒成立，当0m ≤时不可能恒成立， ∴220Δ40m a m >⎧⎨=-<⎩，解得22m ma -<<． ∵“对于一切实数x ，()2110x a x +-+>”是“对于一切实数x ，2204mmx ax ++>”的充分条件，∴12320mmm ⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得6m ≥．故答案为：{}6m m ≥.21．若存在实数[]1,2x ∈满足22x a x >-，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(),8-∞【分析】先分离参数将不等式化为()22max a x x <+，再结合二次函数求最值即可.【解析】解：由题意可得，存在实数[]1,2x ∈时，22a x x <+令()22f x x x =+， []1,2x ∈即()max a f x <()22f x x x =+，对称轴为：212x =-=- 所以()22f x x x =+在[]1,2x ∈单调递增故()()222228max f x f ==+⨯=即8a <所以实数a 的取值范围为：(),8-∞ 故答案为：(),8-∞22．命题甲：集合{}2210,R M x kx kx x =-+=∈为空集；命题乙：关于x 的不等式()2140x k x +-+>的解集为R ．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数k 的取值范围是______． 【答案】()[)3,01,5-【分析】按照命题甲为真，命题乙为真，得到对应的k 的取值范围，然后由命题甲、乙中有且只有一个是真命题，分为甲真乙假和甲假乙真两种情况进行讨论，得到答案.【解析】命题甲：集合{}2210,R M x kx kx x =-+=∈为空集，即方程2210kx kx -+=没有实数解，当0k =时，方程变为10=，故无解，符合题意 当0k ≠时，2440k k ∆=-<，即01k <<， 综上命题甲为真，则01k ≤<.命题乙：关于x 的不等式()2140x k x +-+>的解集为R则()21160k ∆=--<，解得35k -<<， 所以命题乙为真，则35k -<<，因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题， 所以当甲真乙假时，得013,k 5k k ≤<⎧⎨≤-≥⎩或，此时k ∈∅，当甲假乙真时，得0135k k k <≥⎧⎨-<<⎩或，即()[)3,01,5k ∈-综上所述，k 的取值范围为()[)3,01,5-.【点睛】本题考查复合命题的真假，二次函数的性质和分类讨论的思想，属于中档题. 23．研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，解关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0”，有如下解法：由ax 2－bx ＋c ＞0⇒a －b 1x ⎛⎫⎪⎝⎭＋c 21()x ＞0.令y ＝1x，则y ∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.类比上述解法，已知关于x 的不等式k x a +＋x b x c ++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x 的不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为________．【答案】111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据题意，将1x -替换x 可得所求的方程，并且可知1x-∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出x 的解集.【解析】关于x 的不等式kx a +＋x b x c++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)， 用－1x 替换x ，不等式可以化为1k a x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋11b x cx ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝1kx ax -＋11bx cx --＜0，因为－1x∈(－2，－1)∪(2，3)，所以12＜x ＜1或－12＜x ＜－13， 即不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为： 11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题.24．已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【答案】【分析】由220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得0a >，且0∆≤；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆≥，进而可得ab 的值为1，将22a b a b+-可化为()222a b a b a b a b+=-+--，利用基本不等式可得结果. 【解析】因为220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得440ab ∆=-≥，所以1ab ≤， 所以1ab =，因为a b >，即0a b ->，所以()()22222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-，即a b - 所以22a b a b+-的最小值为故答案为：四、解答题25．利用函数与不等式的关系，若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2，求不等式20cx bx a -+>的解集．【答案】11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得1和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则可得3,2b a c a =-=，代入不等式即可求出.【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2， 所以1和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则1212b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，所以3,2b a c a =-=，不等式20cx bx a -+>化为2230ax ax a ++>， 即22310x x ++<，解得112x -<<-，所以不等式的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.26．已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-．(1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】(1)(0,4) (2)()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞【分析】（1）不等式整理成标准的一元二次不等式，由判别式∆<0可得参数范围； （2）不等式换成以m 为主元，为一次不等式，这样只要0m =和4m =时不等式都成立即可得x 的范围． （1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立 则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<， 即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)． （2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．27．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2．(1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0． 【答案】(1)a ＝﹣1，b ＝2 (2)见解析【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可. (1)由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b aa a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；(2)当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0， 即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， 当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-； 当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.28．已知不等式234ax x b -+>的解集为()(),12,-∞⋃+∞ (1)求a ，b 的值；(2)解不等式()2220ax ac x c -++<.【答案】(1)1a =，6b = (2)答案见解析【分析】（1）依题意可得1x =或2x =是方程2340ax x b -+-=的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得原不等式可化为()(2)0x c x --<，再对参数c 分类讨论，即可得解； (1)解：因为不等式234ax x b -+>的解集为{|1x x <或}2x >， 所以1x =或2x =是方程2340ax x b -+-=的根，根据韦达定理312412ab a⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⨯⎪⎩，解得1a =，6b = (2)解：由（1）可知不等式化为()2220x c x c -++<，即()(2)0x c x --<当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<， 当2c =时，不等式的解集为∅， 当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<29．(1)若关于x 的不等式2210kx kx +-<的解集为312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数k 的值； (2)若当12x ≤≤时，关于x 的方程2210kx kx +-<有解，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)13k =(2)1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系即可求解； （2）原问题等价于2max12k x x ⎛⎫<⎪+⎝⎭，[]1,2x ∈，然后利用二次函数的性质即可求解.(1)解：因为2210kx kx +-<的解集是312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以32-，1是关于x 的方程2210kx kx +-=的两个根， 所以221110k k ⨯+⨯-=，解得13k =； (2)解：因为当12x ≤≤时，关于x 的方程2210kx kx +-<有解， 所以当12x ≤≤时，212k x x <+有解，即2max12k x x ⎛⎫< ⎪+⎝⎭因为二次函数22y x x =+在[]1,2上单调递增，所以()22min 22113x x +=⨯+=，所以2max 1132x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭， 所以13k <，所以实数k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．30．（1）若对于一切实数x ，210mx mx --<恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若对于13x ≤≤，215mx mx m --<-+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}40m m -<≤；（2）67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据题意，分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解；（2）将215mx mx m --<-+恒成立，转化为261m x x <-+对13x ≤≤恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【解析】（1）当0m =时，不等式10-<恒成立；当0m ≠时，要使得对于一切实数x ，210mx mx --<恒成立，则满足240m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得40m -<<， 综上可得，实数m 的取值范围为{}40m m -<≤．（2）由不等式215mx mx m --<-+，可得()2160m x x -+-<，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以261m x x <-+对13x ≤≤恒成立，令()21,[1,3]g x x x x =-+∈，可得()22131()24g x x x x =-+=-+，当3x =时，可得()max 7g x =，所以26617x x ≥-+，所以67m <，所以实数m 的取值范围为67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．31．在x ∃∈R ①，2220x x a ++-=，②存在集合{24}A x x =<<，非空集合{}3B x a x a =<<，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：求解实数a ，使得命题{}:12p x x x ∀∈≤≤，20x a -≥，命题q ：______都是真命题． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】若选条件①由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立，求出a 的范围，通过命题q 为真，求出a 的范围，然后列出不等式组求解即可．若选条件②由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立，求出a 的范围，通过命题q 为真，求出a 的范围，然后列出不等式组求解即可．【解析】若选条件①，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为12{|}x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤，所以1a ≤．由命题q 为真，则方程2220x x a ++-=有解． 所以()4420a ∆=--≥，所以1a ≥．又因为,p q 都为真命题，所以11a a ≤⎧⎨≥⎩，所以1a =．所以实数a 的值为1．若选条件②，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为{}12x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤．所以1a ≤．由命题q 为真，可得4a ≥或32a ≤，因为非空集合{|3}B x a x a =<<，所以必有0a >， 所以203a <≤或4a ≥，又因为,p q 都为真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，解得203a <≤． 所以实数a 的取值范围是2|03a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭．32．已知关于x 的不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集为M ．(1)若()2,5M =，求不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集；(2)若M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(][),25,-∞⋃+∞(2)()3,1,2a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据()2,5M =是不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集，得到25x <<，再根据两个不等式的关系求解；（2）将不等式()22237320x a x a a +-++-<转化为()()21230x a x a --+-< ，再根据M 中的一个元素是0，将x =0代入求解.(1)解：因为()2,5M =是不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集，所以25x <<，不等式()22237320x a x a a -----+≤，即为()22237320x a x a a +-++-≥，所以2x ≤或5x ≥，所以不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集是(][),25,-∞⋃+∞；(2)不等式()22237320x a x a a +-++-<转化为： ()()21230x a x a --+-< ，因为M 中的一个元素是0， 所以()()1230a a +->， 解得1a <-或 32a >， 所以实数a 的取值范围是 ()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.33．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a （0a >）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（x +∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m ，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)75人 (2)存在，7【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由条件可得2125x m ≥+，100325xm x ≤++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. (1)依题意可得调整后研发人员人数为100x -，年人均投入为()14%x a +万元， 则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦，(0a >) 解得075x ≤≤，又4575x ≤≤，x +∈N ，所以调整后的技术人员的人数最多75人； (2)假设存在实数m 满足条件.由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得2125x m ≥+. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325xm x ≤++， 故有2100132525x x m x +≤≤++，因为10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤，又因为4575x ≤≤，x +∈N ，所以当75x =时，2+125x取得最大值7，所以7m ≥， 77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，其范围为{}7.34．已知关于x 的不等式()2211x m x ->-.(1)若对任意实数x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]2,2m ∈-，不等式恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】(1)不存在(2)⎝⎭【分析】（1）根据一元二次不等式的性质可得0m <且∆<0，解不等式即可； （2）更换主元，将m 看成自变量，转化成一次不等式恒成立问题，得到答案. (1)原不等式等价于2210mx x m -+-<，若对于任意实数x 恒成立，当且仅当0m <且()4410m m ∆=--<，即2010m m m <⎧⎨-+<⎩，此不等式组的解集为∅， 所以不存在实数m ，使不等式对任意实数x 恒成立. (2)设()()2121y x m x =---，当[]2,2m ∈-时，()()2121y x m x =---可看作关于m 的一次函数，其图象是线段，所以若对于[]2,2m ∈-，0y <恒成立，则当2m =或2m =-时，0y <恒成立，即2222102230x x x x ⎧--<⎨--+<⎩①②，由①x <<，由②，得x 或x >x <<所以实数x 的取值范围是⎝⎭. 35．（1）若关于x 的不等式23x ax a ->-的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）设0x y >>，且2xy =，若不等式220x ax y ay -++≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()6,2-；（2）(],4-∞.【分析】（1）根据题意得到()2430a a ∆=+-<，解得答案.（2）化简得到22x y a x y +≤-，根据题意得到()224x y x y x y x y+=-+--，利用均值不等式得到答案.【解析】（1）由题意知关于x 的不等式230x ax a --+>的解集为R ，所以()2430a a ∆=+-<，即24120a a +-<，所以62a -<<，即实数a 的取值范围是()6,2-．（2）由题意知不等式220x ax y ay -++≥恒成立，即 ()22x y a x y +≥-恒成立．因为0x y >>，22x y a x y +≤-，因为()()222244x y xy x yx y x y x y x y-++==-+≥---当且仅当4x y x y -=-，即1x =1y =- 所以实数a 的取值范围是(],4-∞．()f x a ≥ 有解，则max ()f x a ≥。
人教版九年级上册数学 第22章 二次函数 单元复习练习题(含答案)
人教版九年级上册数学 第22章 二次函数 单元复习练习题一、选择题1．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，直线y 2＝mx ＋n(m≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc>0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；②抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；②当1<x<4时，有y 2<y 1，其中正确的是（ ）A ．①④⑤B ．①③④⑤C ．①③⑤D ．①②③2．如图，抛物线21043y ax x =-+与直线43=+y x b 经过点()2,0A ，且相交于另一点B ，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点E ，过点N 的直线交抛物线于点M ，且MN y 轴，连接,,,AM BM BC AC ，当点N 在线段AB 上移动时（不与A 、B 重合），下列结论正确的是（ ）A ．MN BN AB +<B ．BAC BAE ∠=∠ C ．12ACB ANM ABC ∠-∠=∠D ．四边形ACBM 的最大面积为133．如图，已知在矩形 ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，连接 AC ，动点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 A→B→C 向点 C 匀速运动，同时点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 A→C→D 向点 D 匀速运动，连接 PQ ，当点 P 到达终点 D 时，停止运 动，设△APQ 的面积为 S ，运动时间为 t 秒，则 S 与 t 函数关系的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的一部分如图所示，顶点坐标为()1,m -，与x 轴的一个交点的坐标为(-3，0)，给出以下结论：①0abc >；②420a b c -+>；③若15,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、21,2C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭为函数图象上的两点，则12y y <；④当30x -<<时方程2ax bx c t ++=有实数根，则t 的取值范围是0t m <≤．其中正确的结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图所示，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与y 轴的一个交点坐标为()0,3，其部分图象如图所示，下列结论:①0abc <；②40a c +>；③方程23ax bx c ++=的两个根是120,2x x ==；④方程20ax bx c ++=有一个实根大于2； ⑤当0x <时，y 随x 增大而增大.其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的一个交点坐标为（2，0），对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：其中正确的是（ ）①抛物线过原点：②a ﹣b +c ＜0：③2a +b +c ＝0；④抛物线顶点为（1，2b ）：⑤当x ＜1时，y 随x 的增大而增大。
苏科版九年级数学下册 第5章《二次函数》单元复习练习(有简单答案)
九年级数学第5章《二次函数》单元复习练习一、选择题：1、抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）2、二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定3、如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A.B．C．D．4、已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最大值﹣1，有最小值﹣2B.有最大值0，有最小值﹣1C.有最大值7，有最小值﹣1D.有最大值7，有最小值﹣25、下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的6、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7、把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣38、如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：9、将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是.10、抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．11、如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y ＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是.12、已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为.13、二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为．14、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m ＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是或.三、解答题：15、已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．16、已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．17、绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x （kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？18、2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y （人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）时间x（分钟）01234567899～15人数y（人）0170320450560650720770800810810（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？参考答案一、选择题：1、A2、B3、B4、D5、C6、B7、C8、B二、填空题：9、y=2x210、211、19≤a≤3，12、313、（32，﹣9）或（32，6）14、﹣4或2三、解答题：15、（1）抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）y=32x2﹣3x+32或y＝﹣x2+2x﹣1；（3）当a=32，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＝﹣1，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．16、（1）y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3（2）（﹣3，0），（1，0）（3）15．17、（1）y1=﹣x+168（0≤x≤180）；（2）y2=；（3）当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．18、（1）①当0≤x≤9时y＝﹣10x2+180x，②当9＜x≤15时，y＝810；（2）排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；（3）一开始就应该至少增加2个检测点．。
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第九节 二次函数性质综合题
∴a＋b＋c＝9a＋3b＋c，整理得 b＝－4a， b －4a
∴抛物线的对称轴为直线 x＝－2a＝－ 2a ＝2， ∴t＝2， ∵c＝2， ∴抛物线与 y 轴交点的坐标为(0，2)．
(2)点(x0，m)(x0≠1)在抛物线上．若m＜n＜c，求t 的取值范围及x0的取值范围． ∵m＜n＜c，∴a＋b＋c＜9a＋3b＋c＜c，
②当 m≤－3 时，此时 y 有最大值为 6， ∵y 的最大值与最小值之和为 2，∴y 最小值为－4， ∵当 x＝0 时，y＝－3≠－4， ∴－(m＋3)2＋6＝－4， ∴m＝－3－ 10或 m＝－3＋ 10(舍去)． 综上所述，m 的值为－2 或－3－ 10.
类型二：解析式中含参数 的二次函数求最值
3．已知二次函数 y＝－x2＋4x－3.
(1)若－3≤x≤3，则 y 的取值范围为 －
(直接写出结果)；
(2)若－8≤y≤－3，则 x 的取值范围为24－≤1y≤≤x1≤0或 (直接
写出结果)；
4≤x≤5
3 (3)若 A(m，y1)，B(m＋1，y2)两点都在该函数的图象上，且满足 m＜2，
试比较 y1与 y2 的大小，并说明理由． 解：(3)由题意，得 y1＝－m2＋4m－3， y2＝－(m＋1)2＋4(m＋1)－3， 则 y1－y2＝2m－3，
第九节 二次函数性质综 合题
类型一：解析式确定的二 次函数求最值
1．★(2022·长春)已知二次函数
y＝－x2－2x＋3，当
1 a≤x≤2时，函数
值 y 的最小值为 1，则 a 的值为 －1－ 3 .
2．把抛物线 y＝ax2＋c 的图象向下平移 3 个单位长度后得到抛物线
y＝－2x2－1.
(1)求平移前的抛物线的解析式； 解：(1)∵把抛物线y＝ax2＋c的图象向下平移3个单 位长度后得到抛 物∴线a＝y＝－－2，2xc2－－31＝，－1，∴c＝2， ∴平移前的抛物线的解析式为y＝－2x2＋2.
九年级数学华师大九下《二次函数》复习题
二 次 函 数1、经过A （0;1）点作一条与x 轴平行的直线;这条直线与抛物线24x y =相交于点M 、N;则M 、N 两点的坐标分别为2、直线y=3与抛物线1282-+-=x x y 的两个交点坐标分别是A （ ）B （ ）若抛物线1282-+-=x x y 的顶点为D;则△ABD 的面积是 3、若二次函数22-=mmx y 有最大值;则m=4、抛物线2ax y =（a ≠0）是一条不经过一、二象限的抛物线;则点（-a;a-1）在 象限。
5、在边长为4的正方形木板中间挖去一个长为x 的小正方形木板;则剩余木板的面积y 与x 之间的函数关系为6、抛物线2ax y =是一条不经过一、二象限的抛物线;则点（-a;a-1）在第 象限。
7、在边长为4的正方形木板中间挖去一个长x 的小正方形木板;则剩下木板的面积y 与x 之间的函数关系式为8、经过A （0;1）点作一条与x 轴平行的直线;这条直线与抛物线24x y =相交于点M 、N;则M 、N 两点的坐标分别为 9、若函数()4112+--=x m x y 恒正;则m 的取值范围是 。
10、把函数23x y -=的图象沿x 轴折叠;得到的图象的解析式为11、函数23+-=x y 在()13≤≤-x （区间）的最大值是 ;最小值是 。
函数()132-≤≤-=x xy 的最大值是 ;最小值是 。
12、开口向下的抛物线对称轴是x =2;当自变量x 取2;–1;6;–3时;对应函数值为a 、b 、c 、d ;则a 、b 、c 、d 的大小关系是 。
13、开口向上的抛物线对称轴是x=2;当自变量x 取2;π;0时;对应函数值为y 1;y 2;y 3;则y 1;y 2;y 3的大小关系是 。
14、抛物线362+-=x x y 在区间()40≤≤x 内的最大值是 ;最小值是 ;函数432++-=x x y 在区间()25-≤≤-x 内的最大值是 ;最小值是 。
九年级-二次函数-复习-试卷(含答案)
九年级二次函数复习训练一、选择题1、二次函数y ＝(x －1)2+2的最小值是（ ） A.－2 C.－12、已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ） A.(－2,1)B.(2，1)C.(2，－1)D.(1，2) 3、函数2+y ax b y ax bx c =+=+与在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）4、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为 s ＝5t 2+2t ，则当t ＝4时，该物体所经过的路程为（ ） 米 米 米 米5、已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论： ① a+b+c ＜0；② a －b+c ＜0；③ b+2a ＜0；④ abc ＞0 . 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③6、二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图3所示，若M ＝4a+2b+c ，N ＝a －b+c ，P ＝4a+2b ，则（ ） ＞0，N ＞0，P ＞0 B. M ＞0，N ＜0，P ＞0C. M ＜0，N ＞0，P ＞0D. M ＜0，N ＞0，P ＜07、如果反比例函数y ＝k x的图象如图4所示，那么二次函数y ＝kx 2－k 2x －1的图象大致为（ ）8、用列表法画二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的函数值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650.其中有一个值不正确，这个不正确的值是()A. 5069、二次函数y ＝x 2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ） A. y ＝x 2－2 B. y ＝(x －2)2C. y ＝x 2+2 D. y ＝(x+2)210、如图6，小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳， 函数h ＝－（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）11．函数y=ax 2+bx+c 的图象如图7所示，那么关于一元二次方程 ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根 12、当k 取任意实数时，抛物线 的顶点所在曲线是（ ） A ．y=x 2 B ．y=-x 2 C ．y=x 2(x>0) D ．y= -x 2(x>0)13．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 3 14、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下 平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2-3x+5，则有（ ） A ，3=b ，7=c B ，9-=b ，15-=cC ，3=b ，3=cD ，9-=b ，21=c15、已知函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列关系成立且能最精确表述的是( )A ．012b a <-<B ．022b a <-<C ．122b a <-<D ．12b a-= 16．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c<0；②a －b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中所有正确结论的序号是（ ） A ．③④ B ．②③ C ．①④ D ．①②③ 二、填空题17，形如y ＝＿＿＿ (其中a ＿＿＿，b 、c 是_______ )的函数，叫做二次函数. 18，抛物线y ＝(x –1)2–7的对称轴是直线 .19，如果将二次函数y ＝2x 2的图象沿y 轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是 . 20，平移抛物线y ＝x 2+2x －8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式______ .x-11yO图2图6Oyx图7 22)(54k k x y +-=yxO图4yxOA ． yxOB ． yxOC ． yxOD ． 02xy15题16题图21，若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝____(只要求写出一个). 22，现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ）， 那么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y ＝－x 2+4x 上的概率为＿＿＿. 23，已知抛物线y ＝x 2－6x +5的部分图象如图8，则抛物线的对称轴为直线x ＝ ，满足y ＜0的x 的取值范围是 .24,若二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（-2，10），且一元二次方程02=++c bx ax 的根为21-和2，则该二次函数的解析关系式为 。
考点专练9：二次函数与幂函数—2023届高考数学一轮复习(附答案)
考点专练9：二次函数与幂函数一、选择题1.若幂函数f(x)＝(m 2－4m ＋4)x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为( )A .1或3 B.1 C.3 D.22.函数y ＝3x 2的图象大致是( )3.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为( )A .f(x)＝－x B.f(x)＝x 32）（ C .f(x)＝x 2 D.f(x)＝3x 4.设函数f(x)＝x 2＋x ＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( )A .f(m ＋1)≥0 B.f(m ＋1)≤0C .f(m ＋1)>0 D.f(m ＋1)<05.(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R ，f(x ＋1)为奇函数，f(x ＋2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f(x)＝ax 2＋b ．若f(0)＋f(3)＝6，则f ）（29＝( ) A .－94 B.－32 C.74 D.526.设函数f(x)＝1x，g(x)＝ax 2＋bx(a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A .当a ＜0时，x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＞0 B.当a ＜0时，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＜0C .当a ＞0时，x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＜0 D.当a ＞0时，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＞07.(多选)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线 x ＝－1．下面四个结论中正确的是( )A.b 2>4acB.2a －b ＝1C .a －b ＋c ＝0 D.5a<b8.(多选)若函数f(x)＝(x －1)(x ＋a)在区间(1,2)上单调递增，则满足条件的实数a 的值可能是( )A .0 B.2C .－2 D.－3二、填空题9.已知二次函数f(x)＝x 2－bx ＋c 满足f(0)＝3，对∀x ∈R ，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________10.设函数f(x)＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0，则实数a 的取值范围是________11.若(a ＋1)－13 <(3－2a)－13，则实数a 的取值范围是________12.(2021·北师大实验中学期中)函数f(x)满足下列性质：(1)定义域为R ，值域为[1，＋∞)；(2)图象关于直线x ＝2对称；(3)对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0．请写出函数f(x)的一个解析式________．(只要写出一个即可)三、解答题13.已知幂函数f(x)＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x －k ．(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．14.已知函数f(x)＝x2＋2x．(1)若f(x)>a在区间[1,3]上恒有解，求实数a的取值范围；(2)若f(x)>a在区间[1,3]上恒成立，求实数a的取值范围．15.(2022·郑州模拟)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋b＋1(a≠0，b＜1)在区间[2,3]上有最大值4，最小值1．(1)求a，b的值；(2)设f(x)＝g(x)x，不等式f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1,1]恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题1.B2.C3.D4.C5.D6.B7.AD8.ABD二、填空题9.答案：x 2－2x ＋3 10.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞． 11.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 12.答案：f(x)＝x 2－4x ＋5(答案不唯一)三、解答题13.解：(1)依题意得：(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f(x)＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0．(2)由(1)得，f(x)＝x 2，当x ∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，即A ＝[1,4)，当x ∈[1,2)时，g(x)∈[2－k,4－k)，即B ＝[2－k,4－k)．因为p 是q 成立的必要条件，所以B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1． 故实数k 的取值范围是[0,1]．14.解：(1)f(x)>a 在区间[1,3]上恒有解，等价于a<f(x)max ．又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝3时，f(x)max ＝15，故a 的取值范围为{a|a<15}．(2)f(x)>a 在区间[1,3]上恒成立，等价于a<f(x)min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝1时，f(x)min ＝3，故a 的取值范围为{a|a<3}．15.解：(1)g(x)＝ax 2－2ax ＋b ＋1＝a(x －1)2－a ＋b ＋1．若a ＞0，则g(x)在[2,3]上单调递增，所以g(2)＝b ＋1＝1，g(3)＝3a ＋b ＋1＝4，解得a ＝1，b ＝0；若a ＜0，则g(x)在[2,3]上单调递减，所以g(2)＝b ＋1＝4，解得b ＝3．因为b ＜1，所以b ＝3(舍去)．综上，a ＝1，b ＝0．(2)因为f(x)＝g (x )x ，所以f(x)＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x－2．因为不等式f(2x )－k·2x ≥0对x ∈[－1,1]恒成立，所以2x ＋12x －2－k·2x ≥0对x ∈[－1,1]恒成立，即k ≤⎝⎛⎭⎫12x 2－2×⎝⎛⎭⎫12x ＋1＝⎝⎛⎭⎫12x －12对x ∈[－1,1]恒成立． 因为x ∈[－1,1]，所以12x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， 所以⎝⎛⎭⎫12x －12∈[0,1]，所以k ≤0，故实数k 的取值范围是(－∞，0]。
中考数学专项复习《二次函数》练习题(附答案)
中考数学专项复习《二次函数》练习题(附答案)一、单选题1．周长是4m的矩形，它的面积S(m2)与一边长x(m)的函数图象大致是() A．B．C．D．2．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，点B恰好落在函数y=ax2（a< 0）的图象上，则a的值为（）A．−√2B．-1C．−3√24D．−√233．图中是有相同最小值的两条抛物线，则下列关系中正确的是（）A．k＜n B．h=m C．k+n=0D．h＜0，m＞04．在平面直角坐标系中二次函数y1=﹣x2+4x 和一次函数y2=2x 的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x 的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜4C．0＜x＜2D．2＜x＜45．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x=﹣1D．有最大值是26．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2A．16B．15C．14D．13 8．一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 10．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=(x+1)2+3B．y=(x+1)2−3C．y=(x−1)2+3D．y=(x−1)2−311．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2；⑤2a﹣b＜c．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知抛物线y=x2﹣2bx+4的顶点在x轴上，则b的值一定是（）A．1B．2C．﹣2D．2或﹣2二、填空题13．如图，甲，乙两个转盘分别被三等分、四等分，各转动一次，停止转动后，将指针指向的数字分别记为a，b，使抛物线y=ax2−2x+b与x轴有公共点的概率为．14．将抛物线y=﹣x2+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为．15．若抛物线y=2(x−3)2−8与x轴的两个交点分别为点A和点B，则线段AB的长为．16．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的横坐标为m，则代数式m2﹣m+2016的值为．17．将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为．18．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这个函数解析式三、综合题19．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.20．已知二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；21．已知拋物线y=x2+bx+c经过点(−1，8)和(2，−7)．（1）试确定b，c的值．（2）直接写出x满足什么条件时y随x的增大而减小．22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；（3）点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时求点Q的坐标．23．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D，若m＞0，CD＝8，求m的值．（3）已知A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时请求出k的取值范围．24．如图，平面直角坐标系中以点C（2，√3）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标；（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】C12．【答案】D13．【答案】11214．【答案】y=﹣（x﹣2）2+415．【答案】416．【答案】201717．【答案】y=(x−2)2+318．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+119．【答案】（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等∴ME＝BE，MG=GN.∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN∴AM＝2ME∴AE＝3BE；（2）解：∵篱笆总长为100m∴2AB+GH+3BC＝100即2AB+12AB+3BC=100∴AB=40−65BC.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2则y=BC⋅AB=x(40−65x)=−65x2+40x∵AB =40−65BC∴B E ＝10﹣ 310x ＞0解得x ＜ 1003∴y =65x 2+40x （0＜x ＜ 1003 ）. 20．【答案】（1）解：由顶点A （−1，4），可设二次函数关系式为y ＝a （x ＋1）2＋4（a≠0）．∵二次函数的图象过点B （2，−5） ∴点B （2，−5）满足二次函数关系式 ∴−5＝a （2＋1）2＋4 解得a ＝−1．∴二次函数的关系式是y ＝−（x ＋1）2＋4； （2）解：令x ＝0，则y ＝−（0＋1）2＋4＝3 ∴图象与y 轴的交点坐标为（0，3）； 令y ＝0，则0＝−（x ＋1）2＋4 解得x 1＝−3，x 2＝1故图象与x 轴的交点坐标是（−3，0）、（1，0）．答：图象与y 轴的交点坐标为（0，3），与x 轴的交点坐标是（−3，0）、（1，0）．21．【答案】（1）解：∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点(−1，8)和(2，−7)∴{1−b +c =84+2b +c =−7解得{b =−6c =1；（2）解：由（1）可知，抛物线y =x 2−6x −1开口向上，对称轴为直线x =−−62×1=3 故在对称轴左侧，即当x <3时y 随x 的增大而减小．22．【答案】（1）解：对于y =ax 2+bx +5，当x =0时y =5∴C(0，5)∵抛物线y =ax 2+bx +5(a 为常数，a ≠0)交x 轴于点A(−1，0)和点B(5，0)∴{a −b +5=025a +5b +5=0解得{a =−1b =4∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5；（2）解：∵B(5，0) C(0，5)∴OB =OC连接BC ，设BC 的中点为D∴D(52，52)∴直线OD 的解析式为y =x∵PB =PC∴点P 在直线OD 上 设P(m ，m)∵点P 是抛物线上一点∴m =−m 2+4m +5解得m =3±√292∴点P 的坐标为(3+√292，3+√292)或(3−√292，3−√292)；（3）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线x =2 ∵点A 与点B 关于l 对称，点Q 在直线l 上 ∴QA =QB QA +QC =QB +QC∴当B ，C ，Q 三点共线时QB +QC 最小，即QA +QC 最小 设直线BC 的解析式为y =kx +b∴{b =55k +b =5解得{k =−1b =5∴直线BC 的解析式为y =−x +5 把x =2代入y =−x +5得，y =3∴Q(2，3)∴当QA +QC 最小时求点Q 的坐标(2，3)．23．【答案】（1）解：∵y ＝x 2﹣2mx+m 2﹣1＝（x ﹣m ）2﹣1∴抛物线的顶点坐标为（m ，﹣1）（2）解：由对称性可知，点C 到直线y ＝﹣1的距离为4 ∴OC ＝3 ∴m 2﹣1＝3 ∵m ＞0 ∴m ＝2（3）解：∵m ＝2，∴抛物线为y ＝x 2﹣4x+3，当抛物线经过点A （﹣k+4，1）时k ＝2+ √2 或k ＝2﹣ √2 ；当抛物线经过点B （1，k ﹣2）时k ＝2；∵线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx+m 2﹣1只有一个公共点，则x 2-4x+3=x+k-3∴即x 2-5x+6-k=0的△=0∴25-4（6-k ）=0k=-0.25∵线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx+m 2﹣1只有一个公共点∴2﹣ √2 ＜k ＜2或k≥2+ √2 或k=-0.25．24．【答案】（1）解：过点C 作CM△x 轴于点M ，则MA=MB ，连结AC ，如图∵点C 的坐标为（2， √3 ） ∴OM=2 CM= √3 在Rt△ACM 中CA=2 ∴AM= √AC 2−CM 2 =1∴OA=OM ﹣AM=1 OB=OM+BM=3 ∴A 点坐标为（1，0），B 点坐标为（3，0）；（2）解：将A （1，0），B （3，0）代入y=x 2+bx+c 得 {1+b +c =09+3b +c =0解得 {b =−4c =3．所以二次函数的解析式为y=x 2﹣4x+3．。
二次函数复习总结题
二次函数复习题一． 选择题1.将二次函数y=x 2-2x+3化为y=(x-h)2+k 的形式，结果为（ ） A.y=(x+1)2+4 B.y=(x-1)2+4 C. y=(x+1)2+2 D. y=(x-1)2+22.若二次函数y=ax 2+bx-1(a ≠0)的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b 的值为（ ） A. -3 B.-1 C.2 D.53.若二次函数y=kx 2-6x+3的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是（ ） A. k ＜3 B.k ＜3且k ≠0 C.k ≤3 D. k ≤3且k ≠04.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点（ac,bc ）在（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(-1，2) 与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b 2-4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c-a=2；④方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 中y 与x 的部分对应值如下表， 则下列判断中 正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x=4时，y ＞0D ．方程ax 2+bx+c=0的正根在3与4之间7．若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （-2，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点, 则y1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A. y 3＜y 2＜y 1 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 2第4题第5题8.如图，两条抛物线y 1=-12x 2+1,y 2=-12x 2-与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( ) A. 8 B.6 C.10 D.49.如图，正方形ABCD 的边长为4cm,动点P,Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A →B →C 和A →D →C 的路径向点C 运动，设运动时间为x （单位：s ），四边形PBDQ 的面积为y（单位：cm 2），则y 与x （0≤x ≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）10．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边BC —CD —DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发以1cm/s 的速度沿着边BA 向A点运动，到达A 点停止运动，设P 点运动时间为x(s),⊿BPQ 的面积为y(cm 2),则y 关于x 的函数图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．11. 已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的( )A ．B ．C ．D ．12. 已知两点A(-5，y 1)，B(3，y 2)均在抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)上，点C(x ，y)是该抛物线的顶点．若y 1＞y 2≥y ，则x 的取值范围是( ) A.x ＞-5 B.x ＞-1 C.-5＜x ＜-1 D.-2＜x ＜313.如图在Rt △ABC 中，AC=BC=2，正方形CDEF 的顶点D,F 分别在AC 、BC 边上， C 、D 两点不重合，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）A. B. C. D.14.在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m 和函数y=-mx2+2x+2（m 是常数,且m ≠0）的图象可能是（ ）15.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m=0没有实数根，有下列结论：①b 2－4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2.其中，正确结论的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3二．填空题2的图象与x 轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m 的值是 ，17.若把抛物线y=-x 2先向左平移1个单位长度，再向上平移3个长度单位，则平移后抛物线的解析式为 ，18.抛物线y=2(x-2)2-6的顶点为C ，已知y=-kx+3的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为 ，19. 某种爆竹点燃后，其上升高度h （m ）和时间t （s ）符合关系式 . h=v 0t-gt2（0<t≤2），其中重力加速度g 以10m/s 2计算.这种爆竹点燃后以v 0=20m/s 的初速第16题度上升，在爆竹点燃后的2.1s至2.3s这段时间内，爆竹是 (填“上升”或“下降”)20.已知点A(X1，y2)，B（X2,y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1（）y2（填“＞”、“＜”或“=”）。
2020-2021年中考数学专题复习9二次函数选择题和填空题(含答案)
解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得： ，
∴二次函数的解析式是 ，
∴a=1＞0，故①正确；
当 时，y有最小值 ，故②错误；
若点 ，点 在二次函数图象上，则 ， ，∴ ，故③正确；
【详解】
由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴 ﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴ ﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数 的图象特征．
故选：B·
【点睛】
本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键·
6．B
【分析】
根据开口方向、对称轴、与 轴交点即可分别判断 符号，进而判断A选项；由 两点的横坐标分别为 和 可得两个方程，判断B选项；由当 时 判断C选项；由二次函数对称轴及增减性判断D选项.
【详解】
∵开口向下，与 轴交点在正半轴
∴
∵ 两点的横坐标分别为 和
∴
∴
∴ ，故A选项正确，B选项错误
∵ 两点的横坐标分别为 和
专题九二次函数选择题和填空题
学校:___________姓名：__________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A． B．
C． D．
2．已知在同一直角坐标系中二次函数 和反比例函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象可能是（）
∴正确的有①②④，共3个，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
中考数学考点专项复习——二次函数
中考数学考点专项复习——二次函数一、选择题：1．下列y 关于x 的函数中，属于二次函数的是（ ） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝1xC ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2D ．y ＝﹣2x 2＋12. 把抛物线y=2x 2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y=2（x+2）2+1B ．y=2（x+2）2﹣1C ．y=2（x ﹣2）2﹣1D ．y=2（x ﹣2）2+13．已知二次函数与轴两个交点坐标分别为，，若，则的值是（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．-1或24．若函数2221()mm y m m x --=+是二次函数，则m 的值是（ ）A ．2B ．-1或3C ．-1D ．35．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是（ ）A ．y=x+1B ．y=x 2﹣1C ．D ．y=﹣（x ﹣1）2+16．用配方法将2611y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式为（ ）.A ．()232y x =++B ．()232y x =--C ．()262y x =--D ．()232y x =-+ 7.一枚炮弹射出x 秒后的高度为y 米，且y 与x 之间的关系为y=ax 2+bx+c （a ≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第3.3sB ．第4.3sC ．第5.2sD ．第4.6s8．已知：抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式22019m m -+的值是（ ）．A ．2017B ．2018C ．2019D ．20209．已知二次函数y=（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数y 的最小值为5，则h 的值是（ ） A ．﹣1B ．﹣1或5C ．5D ．﹣510．把二次函数2134y x x --=+用配方法化成()2y a x h k =-+的形式时，应为（ ） A ．()21224y x =--+ B ．()21244y x =--+ C ．()21244y x =-++D ．211322y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为x cm 的圆面，剩下一个圆环的面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．216y x ππ=-+B ．24y x π=-C ．2(2)y x π=-D ．2(4)y x =-+12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式y ＝﹣0.2x 2+1.5x ﹣2，则最佳加工时间为（ ） A ．3minB ．3.75minC ．5minD ．7.5min13．如图，Rt △OAB 的顶点A (－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为( )A ．(2，2)B ．(2，2)C ．(2，2)D ．(2，2) 14．如图，已知二次函数212433y x x =-的图象与正比例函数223y x =的图象交于点A （3，2），与x 轴交于点B （2，0），若120y y <<，则x 的取值范围是（ ）A ．0＜x ＜2B ．0＜x ＜3C ．2＜x ＜3D ．x ＜0或x ＞315．如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（ ）A ．（0.0）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，）二、填空题16．二次函数22my mx -=有最低点，则m=__________17．已知抛物线y ＝x 2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A （2，2），那么平移后的抛物线的表达式是 ．18.已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________.19．当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝x 2﹣4x +5有最大值m ，则m ＝_____．20．已知点A （4，y 1），B （，y 2），C （﹣2，y 3）都在二次函数y ＝（x ﹣2）2+k 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 ．（请用“＞”连接）21.将二次函数322+-=x x y 配方成k h x y +-=2)(的形式，则y =_________________.22．已知反比例函数y ＝的图象经过点P （2，2），函数y ＝ax +b 的图象与直线y ＝﹣x 平行，并且经过反比例函数图象上一点Q （1，m ）．则函数y ＝ax 2+bx +有最 值，这个值是 ．23．一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数解析式为，那么小球达到最高点时距离地面高度是______米．24．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加______m.25．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y ＝ax 2；②y ＝bx 2；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2．则a 、b 、c 、d 的大小关系为_____．26．人民币一年定期的年利率为x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是a 元，则两年后的本息和y （元）的表达式为________（不考虑利息税）． 27．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是_____．28．如图，己知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝kx +m 交于A （﹣3，﹣1），B （0，3）两点．则关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞kx +m 的解集是．29．点A （﹣1，﹣2）在抛物线y ＝﹣12（x ﹣1）2上，点A 、B 关于该抛物线的对称轴对称，则B 点坐标为_____．30. 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上,顶点C 的坐标为(4,3),D 是抛物线y=-x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为________.三、解答题31．已知抛物线2()y a x m =+的对称轴是直线x =2，该抛物线与y 轴的交点坐标是(0，8)，求这个二次函数的解析式．32．已知二次函数（k 为常数）．（1）当该函数的图像与y 轴的交点在x 轴上方时，求k 的取值范围． （2）求证：无论k 为何值，该函数的图像与x 轴总有公共点；33.如图，一个二次函数的图象经过点A 、C 、B 三点，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 在y 轴的正半轴上，且AB=OC （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．34．已知二次函数y＝﹣3x2﹣6x+5．（1）求这个函数图象的顶点坐标、对称轴以及函数的最大值；（2）若另一条抛物线y＝x2﹣x﹣k与上述抛物线只有一个公共点，求k的值．35.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（4，﹣2），且经过点B（0，6）．（1）求该二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象与x轴的交点A和C的坐标．36．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．37．在平面直角坐标系中，设二次函数()()1 1x a x y a =+--，其中0a ≠.（1）若函数1y 的图象经过点()1 2-，，求函数1y 的表达式； （2）若一次函数2y ax b =+的图象与1y 的图象经过x 轴上同一点，探究实数a b ，满足的关系式；（3）已知点()0 P x m ，和()1 Q n ，在函数1y 的图象上，若m n ＜，求0x 的取值范围.38.已知二次函数y ＝x 2﹣2x ．（1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）请在所给的平面直角坐标系中画出y ＝x 2﹣2x 的图象；（3）当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小；（4）观察y ＝x 2﹣2x 的图象，当x 在什么范围内时，y ＞0．39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点．点的坐标是，连接，．（1）求过，，三点的抛物线的解析式，并判断的形状；（2）抛物线上是否存在着一点，使的面积为25？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上，是否存在着一点，使为以为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．41．某扶贫工作队为一贫困户提供了5万元的无息脱贫贷款．该贫困户利用这笔贷款，注册了一家网店，销售一种成本价为20元/件的农产品．已知销售价高于成本价，且不高于32元/件，网店每月需支付电费等其它费用1千元市场调查发现，该农产品每月销售量为y(百件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示（1）求该网店每月利润W(百元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）该贫困户从网店开业起，最快在第几个月可用销售利润还清42. 如图所示，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与直线y=x﹣4交于B、D两点．（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，求点Q的坐标．。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题9二次函数综合之等腰直角三角形和等边三角形的判定
等边三角形的判定【经典例题1】如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O ，矩形ABCD 的顶点A ，D 在抛物线上，且AD 平行x 轴，交y 轴于点F ，AB 的中点E 在x 轴上，B 点的坐标为（2，1），点P （a ，b ）在抛物线上运动．（点P 异于点O ）(1)求此抛物线的解析式．(2)过点P 作CB 所在直线的垂线，垂足为点R ，①求证：PF=PR ；②是否存在点P ，使得△PFR 为等边三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；③延长PF 交抛物线于另一点Q ，过Q 作BC 所在直线的垂线，垂足为S ，试判断 △RSF 的形状．【解析】(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，∴A 、D 关于抛物线的对称轴对称；∵E 是AB 的中点，∴O 是矩形ABCD 对角线的交点，又B(2，1)∴A(2，−1)、D(−2，−1)；由于抛物线的顶点为(0，0)，可设其解析式为：y=ax 2，则有：4a =−1，a =−41 ∴抛物线的解析式为：y=−41x 2.(2)①证明：由抛物线的解析式知：P(a ，−41a 2)，而R(a ，1)、F(0，−1)， 则：PF=222)141()0(+-+-a a ，PR=1−(−41a 2)=41a 2+1. ∴PF=PR.②由①得：RF=42+a ；若△PFR 为等边三角形，则RF=PF=PR ，得：42+a =41a 2+1，即：161a 4−21a 2−3=0，得： a 2=−4(舍去)，a 2=12；∴a =±23，−41a 2=−3； ∴存在符合条件的P 点，坐标为(23，−3)、(−23，−3).③同①可证得：QF=QS ；在等腰△SQF 中，∠1=21(180°−∠SQF)； 同理，在等腰△RPF 中，∠2=21(180°−∠RPF)； ∵QS ⊥BC 、PR ⊥BC ，∴QS ∥PR ，∠SQP+∠RPF=180°∴∠1+∠2=21(360°−∠SQF−∠RPF)=90° ∴∠SFR=180°−∠1−∠2=90°，即△SFR 是直角三角形。