离散数学第一章ppt
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离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
11/20/2020
chapter1
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1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
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1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
离散数学课件第一章(第1讲)
3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时， 则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》： 具有唯一值的陈述句叫命题。 讨论定义：
(1)命题的值： 命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时 既为真又为假。
(2)命题的真假值表示： 命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示 命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取， 读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为 Ｔ ，则ＰΛＱ 的真值 为 Ｔ 。否则，其真值为 Ｆ 。
第一篇 数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合 理的结论的规律。 数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑 和谓词逻辑。 数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处 理思维的形式和规律。
第一章 命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范 式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
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A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
第23页/共292页
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
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定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
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例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
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例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
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离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
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第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
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联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
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R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
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二、命题的表示法
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。在数理逻辑中，使 用大写字母，或带下标的大写字母，或用方括号括起的数字表示命题。
例：P： 今天下雨。 “今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。
它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。
离散数学的应用
◆关系型数据库的设计（关系代数） ◆表达式解析（树） ◆编译技术、程序设计语言（代数结构） ◆人工智能、自动推理、机器证明（数理逻辑） ◆网络路由算法（图论） ◆游戏中的人工智能算法（图论、树、博弈论） ◆专家系统（集合论、数理逻辑—知识和推理规则的计算机表达） ◆软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划分） ◆(各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学的
第一章 命题逻辑
目标语言：就是表达判断的一些语言的汇集。 目标语言和一些符号公式构成了数理逻辑的形式 符号体系。
1-1 命题及其表示法
一、命题
1、定义 能表达判断的陈述句，称作命题（Proposition）。 例：判断下列语句是否为命题: (陈1)述地句球：外述存说在一智件事慧情生的物句。子，句末用句号。 (祈2)使1＋句1：=要10求。或者希望别人做什么事或者不做什么事时用的 (句3)子今，天句下末雨用。句号或感叹号。 (疑4)问你句今：年提暑出假问去题的旅句行子吗，？句（末疑用问问号句。） (感5)叹克句里：特带岛有人浓说厚感：情“的克句里子特，岛句末人用是感说叹谎号话。者”。 悖（：相悖反论。）悖论：自相矛盾的陈述。
各分支）
教材
左孝凌，李为鉴，刘永才编著．离散数学．上海： 上海科学技术文献出版社,1982 主要参考教材: 孙吉贵，杨凤杰，欧阳丹彤，李占山编著．离散数 学．高等教育出版社，2002
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学第一章课件
表示“或者” “或者”有二义性，看下面两个例子： 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。 例3中的或者是可兼取的或。即析取“∨” 例4中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
28
1. 析取“∨”
例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例中的复合命题可表示为：P∨Q P∨Q读成P析取Q，P或者Q。 P∨Q的真值为F，当且仅当P与Q均为F。
11
数理逻辑把推理符号化之二
设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜. 例2的推理过程表示为： 前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.) 前提:M(a) (铜是金属.) 结论:C(a) (铜能导电.) (其中符号M(x)是谓词，所以这就是第二章 “谓词逻辑”中所讨论的内容.）
31
四.条件 (蕴涵)“”
表示“如果… 则 …”， 例1-2.5： P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。 PQ：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”， “如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件，Q是PQ的后件。还 可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
24
1-2 联结词
复合命题的构成：是用“联结词”将原子命题 联结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联 结词，分别是： (1) 否定“” (2) 合取“∧” (3) 析取“∨” (4) 异或“ ” (5) 蕴涵“” (6) 等价“”
25
一. 否定“” (Negation)
精品课程《离散数学》PPT课件(全)(1)
13
1.1 命题符号化及联结词
命题与命题变项象程序语言中常量与变量的关系一样。
例：5是一个常量，是一个确定的数字，而x是一个变量， 赋给它一个什么值它就代表什么值，即x的值是不定的。
例3：判断下列句子是否为命题？
1．张校长的头发有一万根。
（是）
2．我所说的是假的。
（否）
14
1.1 命题符号化及联结词
式公式。 （2）称A是n+1(n≥0)层公式是指下列情况之一：
(a) A= B,B是n层公式; (b)A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j) ； (c) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (d) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (e) A=B C,其中B,C的层次及n同(b); (f) A=B C,其中B,C的层次及n同(b);
4
第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑是研究推理（即研究人类思维的形式 结构和规律）的科学，起源于17世纪，它采用 数学符号化的方法，因此也称为符号逻辑。
❖ 从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算—— 即集合论、模型论、递归论、证明论和命题演 算、谓词演算，但现在提到数理逻辑，一般是 指命题演算和谓词演算。本书也只研究这两个 演算。
6
第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑与计算机学、控制论、人工智能的相 互渗透推动了其自身的发展，模糊逻辑、概率 逻辑、归纳逻辑、时态逻辑等都是目前比较热 门的研究领域。
❖ 本篇我们只从语义出发，对数理逻辑中的命题 演算与谓词演算等作一简单的、直接的、非形 式化的介绍，将不涉及任何公理系统。
7
1.1 命题符号化及联结词
运算规则：
p
q
p q
1.1 命题符号化及联结词
命题与命题变项象程序语言中常量与变量的关系一样。
例：5是一个常量，是一个确定的数字，而x是一个变量， 赋给它一个什么值它就代表什么值，即x的值是不定的。
例3：判断下列句子是否为命题？
1．张校长的头发有一万根。
（是）
2．我所说的是假的。
（否）
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1.1 命题符号化及联结词
式公式。 （2）称A是n+1(n≥0)层公式是指下列情况之一：
(a) A= B,B是n层公式; (b)A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j) ； (c) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (d) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (e) A=B C,其中B,C的层次及n同(b); (f) A=B C,其中B,C的层次及n同(b);
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第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑是研究推理（即研究人类思维的形式 结构和规律）的科学，起源于17世纪，它采用 数学符号化的方法，因此也称为符号逻辑。
❖ 从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算—— 即集合论、模型论、递归论、证明论和命题演 算、谓词演算，但现在提到数理逻辑，一般是 指命题演算和谓词演算。本书也只研究这两个 演算。
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第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑与计算机学、控制论、人工智能的相 互渗透推动了其自身的发展，模糊逻辑、概率 逻辑、归纳逻辑、时态逻辑等都是目前比较热 门的研究领域。
❖ 本篇我们只从语义出发，对数理逻辑中的命题 演算与谓词演算等作一简单的、直接的、非形 式化的介绍，将不涉及任何公理系统。
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1.1 命题符号化及联结词
运算规则：
p
q
p q
离散数学课件第一章
图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
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集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。
离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第一章 命题逻辑
例1： 1. 2是素数。 2. 雪是黑色的。 3. 2+3=5 。 4. 明年十月一日是晴天。 5. 这朵花多好看呀！ 6. 3能被2整除. 7. 明天下午有会吗？ 8. 请关上门！ 9. x+y>5 。 10. 地球外的星球上也有人。
命题判断的关键： 1.是否是陈述句； 2.真值是否是唯一的。
1
前件，q称为条件命题p→q的后
1
件。
表1.4 q p→q 01 11 00 11
【例】 p：小王努力学习。q：小王学习成绩优秀。 p→q：如果小王努力学习，那么他的学习成绩就优秀。 联 结 词 “ → ” 与 汉 语 中 的 “ 如 果 … ， 那 么 …” 或
“若…，则…”相似，但又是不相同的。
• 例11：用等值演算法解决下面问题. A、B、C、D四人百米竞赛.观众甲、乙、丙预测比 赛名次为： 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 丙：A第二，D第四. 比赛结束后发现甲、乙、丙每人预测的情况都各对 一半，试问实际名次如何（假设无并列情况）？
1.4 联结词全功能集
• 一个n(n≥1)维卡氏积{0,1}n到{0,1}的函数称为一个 n元真值函数。设F是一个n元真值函数，则可记 为F：{0,1}n→{0,1}
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A,B为两个命题公式，若等价 式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记 作A⇔B.
• A⇔B不是命题公式 • 可通过判断A与B的真值表是否相同，来判
断A与B是否等值。
• 例8：判断下列命题公式是否等值 （1） ¬(p∨q)与¬p∨¬q ； （2） ¬(p∨q)与¬p∧¬q ；
• 在一个联结词的集合中，如果一个联结词可由集 合中的其他联结词定义，则称此联结词为冗余的 联结词，否则称为独立的联结词。
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一、主要内容 命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理理论 二、学习要求 深刻理解命题、联结词、复合命题、 深刻理解命题、 联结词、 复合命题 、 命题公式 等值式、等值演算、 、等值式、等值演算、推理及证明等概念 熟练进行等值演算与构造证明
定义1.4 设p, q为二命题，复合命题“如果 则q” 为二命题， 定义 为二命题 复合命题“如果p, 称作p与 的蕴涵式 记作p→ ，并称p是蕴涵式 的蕴涵式， 称作 与q的蕴涵式，记作 →q，并称 是蕴涵式 的前件，q为蕴涵式的后件，→称作蕴涵联结词， 为蕴涵式的后件， 称作蕴涵联结词， 的前件， 为蕴涵式的后件 并规定， → 为假当且仅当 为真q为假 为假当且仅当p为真 为假. 并规定，p→q为假当且仅当 为真 为假
否 否 否 否
地球外的星球上也有人。 (10) 地球外的星球上也有人。 是
解题思想：判断一个句子是否为命题, 解题思想：判断一个句子是否为命题, 一看它是 二看它的真值是否唯一. 二看它的真值是否唯一. 否为陈述句； 否为陈述句； 注意： 注意： 感叹句、祈使句、 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论， 陈述句中的悖论，判断结果不惟一确定的不是命题
复合命题：由联结词、 复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复 合构成的命题。 合构成的命题。 例2 指出下列复合命题的联结词 3不是偶数 (1) 3不是偶数 (非) 2是素数和偶数 (2) 2是素数和偶数 (且) (3) 林芳学过英语或日语 (或) 是对顶角， (4) 如果角A和角B是对顶角，则角A 等于角B (如果…，则…) 如果 ， )
离散数学
高等教育出版社
参考书： 参考书： 1、离散数学习题与解析 、 作者：胡新启、 作者：胡新启、胡元明 清华大学出版社
2、离散数学 理论、分析、题解 、 理论、分析、 作者：左孝凌、 作者：左孝凌、李为鑑 上海科学文献出版社
3、离散数学学习指导与习题解析 、
期未总成绩分为平时成绩和考试成绩： 期未总成绩分为平时成绩和考试成绩： 其中平时成绩占30%（考勤15分，作业 分） （考勤 分 作业15分 其中平时成绩占 考试成绩占70%。 。 考试成绩占
例1
判断下列句子中哪些是命题 (1) 是素数。 2 是素数。 T
雪是黑色的。 (2) 雪是黑色的。 F 3＝ (3) 2 + 3＝5。 T
明年十月一日是晴天。 (4) 明年十月一日是晴天。 是 3能被 整除。 能被2 (5) 3能被2 整除。 F
(6) 这朵花多好看呀！ 这朵花多好看呀！ 明天下午有会吗？ (7) 明天下午有会吗？ (8) 请你关上门！ 请你关上门！ (9) x + y >5.
说明： 说明： 的逻辑关系： 为 的必要条件 （1）p→q的逻辑关系：q为p的必要条件 ） → 的逻辑关系 的不同表述法很多： （2）“如果 则q的不同表述法很多： ） 如果p, 的不同表述法很多 若p，就q ， p仅当 仅当q 仅当 除非q, 才p 除非 只要p， 只要 ，就q 只有q 只有 才p 除非q，否则非p，…． 除非 ，否则非 ， ．
一 命题逻辑
命题逻辑以研究命题的演算为其主 要内容，所以命题逻辑又称为命题演算 命题逻辑又称为命题演算。 要内容，所以命题逻辑又称为命题演算。
二
一阶逻辑： 一阶逻辑：
一阶逻辑
为了在命题演算中， 反映命题的内 为了在命题演算中 ， 在联系， 常常要将简单命题分解成个体 在联系 ， 常常要将简单命题分解成 个体 词 、 谓词、 量词等 ， 并对它们的形式结 谓词 、 量词 等 构及逻辑关系加以研究， 构及逻辑关系加以研究 ， 总结出正确的 推理形式和规则。 推理形式和规则。
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 1
0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 0 1
命题演算的优先顺序： 命题演算的优先顺序： (1) (2) (3) 赋值
一、合式公式、命题公式 合式公式、
1、合式公式： 合式公式： (1) 单个命题常项或变项p，q，r，…，0，1 ， 是合式公式； 是合式公式； (2) 如果A是合式公式，则(¬ A)也是合式公式； 是合式公式， 也是合式公式； 是合式公式， (3) 如果A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)， (A→B)，(A↔B)是合式公式 只有有限次地应用(1) (3)组成的符号串 (1)－ (4) 只有有限次地应用(1)－(3)组成的符号串 才是合式公式。 才是合式公式。
设 p: 2 是无理数，q: 3 是奇数， r: 苹果是方的， s: 太阳绕地球转 则复合命题(p→q) ↔((r∧¬s) ∨¬p)是假命题.
关于经联结词运算后，复合命题其值的规定： 关于经联结词运算后，复合命题其值的规定： 表1.1 P 0 1 ¬P 1 0
P Q
表1.2
P∧Q ∧ P∨Q ∨ P→Q → P↔Q ↔
例 求下列复合命题的真值 当且仅当3 （1）2 + 2 ＝ 4当且仅当 + 3 ＝ 6. ） 当且仅当 当且仅当3 （2）2 + 2 ＝ 4当且仅当 是偶数 ） 当且仅当 是偶数. （3）2 + 2 ＝ 4当且仅当太阳从东方升起 ） 当且仅当太阳从东方升起. 当且仅当太阳从东方升起 当且仅当美国位于非洲. （4）2 + 2 ＝ 4当且仅当美国位于非洲 ） 当且仅当美国位于非洲 它们的真值是显而易见的. 它们的真值是显而易见的
2.
合取式与合取联结词“ 合取式与合取联结词“∧”
定义1 为二命题，复合命题“ 定义1.2 设p，q为二命题，复合命题“p并且q”（或 （ 的合取式， “p与q”）称为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作合 ） 取联结词，并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真. 同时为真. 取联结词， 使用合取联结词时要注意两点： 使用合取联结词时要注意两点： (1) 描述合取式的灵活性与多样性 (2) 分清简单命题与复合命题
第一节 小 结
本小节中 p, q, r, … 均表示命题. 联结词集为{¬, ∧, ∨, →, ↔}，每个联结词联结的¬p, p∧q, p∨q, p→q, p↔q 为基本复合命题. 其中 p→q 最 难理解，要特别注意. 反复使用{¬, ∧, ∨, →, ↔}中的
2 联结词组成更为复杂的复合命题.
第一部分 数理逻辑
数理逻辑： 数理逻辑：用数学方法来研究推理的形 式结构和推理规律的数学学科。 式结构和推理规律的数学学科。数理逻辑研 究的中心问题是推理，而推理的前提和结论 究的中心问题是推理， 都是表达判断的陈述句。因而， 都是表达判断的陈述句。因而，表达判断的 陈述句构成了推理的基本单位。 陈述句构成了推理的基本单位。包括逻辑演 算、证明论、公理集合论、递归论、模型论。 证明论、公理集合论、递归论、模型论。
第一章 命题逻辑基本概念
本章的主要内容： 命题、联结词、复合命题 命题公式、赋值、命题公式的分类 本章与后续各章的关系 本章是后续各章的准备或前提
§1.1 命题与联结词
能判断真假的陈述句. 这种判断只有两种可能, 命 题: 能判断真假的陈述句. 这种判断只有两种可能, 一种是正确的判断, 一种是错误的判断. 一种是正确的判断, 一种是错误的判断 命题真值——判断结果 判断结果 命题真值 真值的取值: 判断为正确的命题就说其命题真值为真(1)； 命题真值为真(1) 真值的取值 判断为正确的命题就说其命题真值为真(1)； 判断为错误的命题就说其命题真值为假(0)； 判断为错误的命题就说其命题真值为假(0)； 命题真值为假(0) 命题是具有唯一真值的陈述句。 命题是具有唯一真值的陈述句。
将下列命题符号化. 例 将下列命题符号化. （1 ） （2 ） （3 ） （4 ） （5 ） 吴颖既用功又聪明. 吴颖既用功又聪明. 吴颖不仅用功而且聪明. 吴颖不仅用功而且聪明. 吴颖虽然聪明，但不用功. 吴颖虽然聪明，但不用功. 张辉与王丽都是三好生. 张辉与王丽都是三好生. 张辉与王丽是同学. 张辉与王丽是同学.
命题常项或常元：由于简单命题的真值确定， 命题常项或常元 由于简单命题的真值确定， 由于简单命题的真值确定 故称之为命题常元。 故称之为命题常元。
命题变项或变元：真值可以变化的简单陈述句， 命题变项或变元：真值可以变化的简单陈述句， 但它不是命题。 但它不是命题。 注意： 注意：常项与变项均用p, q, r, …, pi, qi, , ri, …, 等表示. , 等表示.
（1）—（3）说明描述合取式的灵活性与多样性 （ 要求分清联结词“ （4）—（5）要求分清联结词“与”联结的复合 （ 命题与简单命题 将各命题符号化
析取式与析取联结词“ 3. 析取式与析取联结词“∨” 定义1.3 为二命题，复合命题“ 定义1.3 设p, q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 称作 的析取式， 称作析取联结词， 的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词，并规定
为假时， 为真，可称为空证明 （3）当p为假时，p→q为真，可称为空证明 常出现的错误： （4） 常出现的错误：不分充分与必要条件
例
设p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符 ：天冷， ：小王穿羽绒服， 号化
（1）只要天冷，小王就穿羽绒服 ）只要天冷，小王就穿羽绒服. （2）因为天冷，所以小王穿羽绒服 ）因为天冷，所以小王穿羽绒服. （3）若小王不穿羽绒服，则天不冷 ）若小王不穿羽绒服，则天不冷. （4）只有天冷，小王才穿羽绒服 ）只有天冷，小王才穿羽绒服. （5）除非天冷，小王才穿羽绒服 ）除非天冷，小王才穿羽绒服. （6）除非小王穿羽绒服，否则天不冷 ）除非小王穿羽绒服，否则天不冷. （7）如果天不冷，则小王不穿羽绒服 ）如果天不冷，则小王不穿羽绒服. （8）小王穿羽绒服仅当天冷的时候 ）小王穿羽绒服仅当天冷的时候.
p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 同时为假.
例 将下列命题符号化 （1）2或4是素数. 是素数. （2）2或3是素数. 是素数. （3）4或6是素数. 是素数. （4）小元元只能拿一个苹果或一个梨. 小元元只能拿一个苹果或一个梨.