j-强度准则1

390 220 170 MPa 50
③根据1、2、3的排列顺序，可知： 1=390MPa，2=90MPa，3=50MPa
y
140 150 300
பைடு நூலகம்y'
3
x
31o
y
1 31o
x'
z
A
90
A视
x
y=140 x=150 x=300 z
2
④主应力方位： 2 x 2 150 15 tg 2 0 x y 300 140 8
形状改变比能
1 2 2 2 vd 1 2 2 3 1 3 6E
复杂应力状态下的变形比能
一、微元体应变能
1.单向拉伸变形比能：
2
1 v 2
2、微元体变形功
dy
1
dx
dz
1dydz ~ 1dx
3(1 2 ) 2 1 2 2 ( ) v 1 2 3 m 2E 6E
d v
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 6E


例85 试确定左图所示应力状态的 主应力和最大剪应力，并确定主平 面和最大剪应力作用面位置。
第九章 复杂应力 状态强度问题
一、基本变形
拉伸与压缩 外力 内力
回顾
扭转 弯曲
FN F
FN A
max [ ]
T Me

T IP
M 外力对形心之矩
* FS S z My , Iz bI z
FS 外力
应力
强度条件 应力状态
max [ ]
第四强度理论：


1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) [ ] 2
这个理论和许多塑性材料的试验结 果相符，用此判断碳素钢的屈服失效是 比较准确的。


5. 第三、四强度准则在特殊情况下的应用
T
A
T
M P
A
P
最危险的应 力状态:
τ
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
假设：无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点 的最大伸长线应变ε1达到单向拉伸断裂时应变的极
限值 εu，材料即破坏。
所以发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu
若材料直到断裂前全在线弹性范围内工作，则 u b 1 u 1 1 （ 2 3） E E E 由此导出失效条件的应力表达式为：
单向应力状态下的变形能密度：
1 2


2
三向应力状态下的应变能密度：
1 1 1 1 1 2 2 3 3 2 2 2
1 3
复杂应力状态下的应变能密度
1 1 1 1 1 2 2 3 3 2 2 2
A
σ
A
1 2 2 2

2
3

τ
2 2 2

2
2 0
2 2
σ
eq3 2 4 2
适用于拉扭、拉弯扭等组合。
eq4 3
T
d
M
A
τ
σ

M W

T Wp
W
1 d3 32
Wp
1 d3 16
Wp 2W
eq3
T M 4 W WP
2
2
eq3
1 W
M 2 T2
eq4
T M 3 W WP
2
2
eq4
1 W
3 M2 T2 4
适用于圆轴的弯扭组合。
6、四个常用强度理论的总结
y
140 150
x
解： ①给定应力状态中有一个主 300 应 力 是 已 知 的 ， 即 z=90MPa 。 z 因此，可将该应力状态沿 z 方向 90 投影，得到平面应力状态，可直 接求主应力及其方位。 ②x=300MPa，y=140MPa，xy=150MPa，因此：
max 300 140 300 140 2 ( ) (150) 2 min 2 2


2
m
2 m
m
11
3
m
1
3 m
3
m
1 2 3
3
应变能密度=体积改变能密度+畸变能密度
v d
• 由前面的讨论知
1 1 1 3 v m m m m m m m m 2 2 2 2
2
1 x y x y 2 x 2 2 2
2 x 1 0 arctan 2 y x
3、空间应力状态的概念
最一般的应力 状态

max
B D
max
A
O

主应力: σ1,σ2,σ3 最大剪应力
失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ]
第一强度强度条件：
b
n 1 [ ]
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、
陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，
这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应
力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也 是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最 大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它 两个主应力的影响。
max
3 2 1
1 3
2
4、应力应变关系
三向应力圆 1 1 2 3 1
（1）、广义胡克定律
E 1 2 1 3 2 E 1 3 1 2 3 E
2dxdz ~ 2dy
3
3dydx ~ 3dz
1 1 dW= 1dydz 1dx 2dxdz 2dy 2 2 1 3dxdy 3dz 2 1 11 2 2 3 3 dxdydz 2
由广义虎克定律
m m m 1 2 m m E E E E
3(1 2 ) 2 1 2 2 m ( 1 2 3 ) v 2E 6E
1 2 2 2 2 ( ) 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2E
假设：无论材料内各点的应力状态如何，只 要有一点的最大剪应力τmax达到单向拉伸屈 服剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑性 变形或屈服。 屈服破坏条件是： max s
第三强度条件：
1 3 s max , s 2 2 用应力表示的屈服破坏条件： 1 3 s s [ ] n
强度理论的统一形式： • 第一强度理论： • 第二强度理论： • 第三强度理论： • 第四强度理论： r4
2.建立强度理论的原则：
（1）考虑材料性质；
（2）考虑应力状态的影响； （3）获得材料性能较容易。
F (11 , 22 , 33 ,12 , 23 , 31 ) [ ]
允许应力由简单拉伸实验得到。
三.几种常用的强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 假设(没有假设就没有科学)：无论材料内各点 的应力状态如何，只要有一点的主应力σ1 达到 单向拉伸断裂时的极限应力σu，材料即破坏。 推理:在单向拉伸时，极限应力 σu =σb
（2）、各向同性材料的体积应变
5、空间应力状态下的应变能密度
1 2 x y z E
1 2 2 2 v 1 2 2 3 1 3 1 2 3 2 2E
体积改变比能
1 2 2 vV 1 2 3 6E
1 2 2 2 v 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
E 1 2 （ 3 1） 2 E 3 1 3 （ 1 2） E


复杂应力状态下的应变能密度
1 1 E 1 （ 2 3 ） 1 2 2 （ 3 1 ） E 1 3 3 （ 1 2 ） E
1 2 2 2 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
max [ ]
max [ ]
2.单参数强度条件的局限性
（1）破坏形式是研究强度问题的出发点: 铸铁的拉扭破坏说明同种材料不同的受力 方式破坏形式不同；（同种材料是否有共 同的破坏特征?）
（2）材料的破坏方式与材料性能有关。 铸铁和低碳钢的扭转破坏说明相同的受力方式 材料不同破坏方式不同。（按材料分类?） 2. 材料破坏的形式 归纳起来:材料破坏的形式主要有两类： 断裂面为主应力作用面的正断-- 脆性破坏 断裂面为主切应力作用面的剪断-- 塑性破坏 二. 强度理论的概念 1.对强度理论的要求： （1）能够解释破坏； （2）能够预言破坏； （3）形式简单使用方便。
1 3 [ ]
第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结
果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的 计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广 泛的应用。该理论没有考虑中间主应力σ2的影 响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多
数情况下远比此为小。
4.形状改变比能理论(第四强度理论)
假设：复杂应力状态下材料的形状改变比能达到单 向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料即会 发生屈服。
, [ ] [ ] max max
二、应力状态分析
1、一点处的应力状态 2、平面应力状态分析 （1）斜截面上的应力
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
2 （2）主平面和主应力

x y
sin 2 x cos 2
2 0 62
o
0 31
o
0

2
121o
⑤单元体内的最大剪应力：
max 1 3
2 390 50 170MPa 2
最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o 或14o。
§9-1 强度理论及其相当应力
一.单参数强度条件的局限性
1.单参数强度条件
屈服破坏条件是：
简单拉伸时： 1 s , 2 3 0
1 2 2 2 vf ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6E
1 2 vu 2 s 6E

v f vu

屈服破坏条件是：
1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) s 2
1 ( 2 3 ) b [ ] n 第二强度条件： 1 ( 2 3 ) [ ]
b
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如
端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生 断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向， 这与第二强度理论的结果相近。
3.最大剪应力理论（第三强度理论）
3、微元体应变比能
dW 1 v 11 2 2 3 3 dxdydz / dxdydz dV 2 1 1 1 2 2 3 3 2
1 1 1 v 11 2 2 3 3 2 2 2 1 1 （ 2 3） 1