数理统计公式大全
数理统计公式汇总
公式汇总：三、均值和方差的置信区间估计 3.1 均值的估计 3.1.1 方差已知： 0~(0,1)/X Z N n μσ-=， 00/2/2,σσ X z X z n n αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3.1.2 方差未知： ~(1)/X t t n S n μ-=-， /2/2,S S X t X t n n αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3.2 方差的估计 3.2.1 均值已知： 略3.2.2 均值未知：/22221/22(1)(1)(1)1n S P n n ααχχασ-⎧⎫--≤≤-=-⎨⎬⎩⎭， /2222221/2(1)(1)(1)(1)n S n S n n αασχχ---≤≤-- 得到置信区间： /222221/2(1)(1),(1)(1)n S n S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭四、两个总体的置信区间 4.1 正太均值差12μμ-的区间估计 4.1.1 方差已知 2111~(,)X N n σμ，2222~(,)Y N n σμ，于是：22121212~(,)X Y N n n σσμμ--+~(0,1)X Y N ，得到：置信区间为：2X Y Z α⎛ -+ ⎝4.1.2 方差未知12T ~(2)X Y t n n =+-，2WS =得到：12(2)X Y t n n S α⎛-++- ⎝4.2 正太总体方差的比2212σ的置信区间估计4.2.1 仅讨论均值未知的情况2211122222~(1,1)S F n n S σσ--，221112122122222(1,1)(1,1)1S P F n n F n n S αασασ-⎧⎫--<<--=-⎨⎬⎩⎭得到：221122221221212S S 11,S (1,1)S (1,1)F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪ ⎪----⎝⎭4.3 单侧置信区间单侧下限：1ˆ{}1P θθα≥=- 单侧上限：2ˆ{}1P θθα≤=- 具体的，将双侧置信区间中的α/2改成α，然后下限就取区间左端，上限就取区间右端。
数理统计公式
数理统计是研究数据收集、整理、分析和解释的一门学科，其中涉及到许多公式和方法。
以下是一些常用的数理统计公式：
1. 均值公式：
均值（平均值）是一组数据的总和除以数据的个数。
均值= (x1 + x2 + ... + xn) / n
2. 方差公式：
方差是一组数据与其均值之差的平方和的平均值。
方差= ((x1 - 平均值)^2 + (x2 - 平均值)^2 + ... + (xn - 平均值)^2) / n
3. 标准差公式：
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
标准差= 方差的平方根
4. 相关系数公式：
相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系的强度和方向。
相关系数= 协方差/ (x的标准差* y的标准差)
5. 正态分布公式：
正态分布是一种常见的概率分布，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))
6. 估计公式：
估计公式用于根据样本数据估计总体参数。
例如，样本均值可以用来估计总体均值，样本方差可以用来估计总体方差。
这只是数理统计中的一小部分公式，还有许多其他公式和方法，如假设检验、置信区间等。
具体使用哪些公式取决于具体的问题和数据类型。
数理统计常用公式
数理统计常用公式1.样本均值的公式：样本均值（x̄）是在一组样本数据中，所有数据的总和除以样本数量的结果。
即：x̄=(x₁+x₂+x₃+...+x̄)/n其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，n为样本数量。
2.总体均值的公式：总体均值（μ）是在一个总体中，所有数据的总和除以总体数量的结果。
在样本数据无法覆盖总体数据的情况下，可以通过样本均值来估计总体均值。
即：μ=(x₁+x₂+x₃+...+x̄)/N其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，N为总体数量。
3.样本方差的公式：样本方差（s²）是一组样本数据与其均值之差的平方和除以样本数量减一的结果。
即：s²=((x₁-x̄)²+(x₂-x̄)²+(x₃-x̄)²+...+(x̄-x̄)²)/(n-1)其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，x̄为样本均值，n为样本数量。
4.总体方差的公式：总体方差（σ²）是一组数据与其均值之差的平方和除以总体数量的结果。
在样本数据无法覆盖总体数据的情况下，可以通过样本方差来估计总体方差。
即：σ²=((x₁-μ)²+(x₂-μ)²+(x₃-μ)²+...+(x̄-μ)²)/N其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，μ为总体均值，N为总体数量。
5.样本标准差的公式：样本标准差（s）是样本方差的平方根。
即：s=√(s²)其中，s²为样本方差。
6.总体标准差的公式：总体标准差（σ）是总体方差的平方根。
即：σ=√(σ²)其中，σ²为总体方差。
7.相关系数的公式：相关系数（r）衡量了两个变量之间线性关系的强度和方向。
其计算公式为：r=Σ((x-x̄)*(y-ȳ))/(√(Σ(x-x̄)²)*√(Σ(y-ȳ)²))其中，x、y为两个变量的取值，x̄、ȳ分别为两个变量的均值，Σ表示求和。
常用数理统计公式
1.∑==ni ix nx 11 y n21221)(xn x x xL ni i ni ixx -=-=∑∑==21221)(yn y y yL ni i ni iyy -=-=∑∑==yx n y x y y x x L i ni i i ni i xy -=--=∑∑==11)()(x b y a ˆˆ-= xxxy L L b /ˆ= )(ˆˆˆˆx x b y x b a y-+=+= 2.b 的显著性检验0:,0:10≠=b H b H拒)2(-≥=n r L L L r a yyxx xy3. b 的区间估计)2(ˆ)ˆ(-=-=n t b bL t exx σ)/)2(ˆˆ(2/1xx e L n t b b -±∈-ασ 2ˆˆ2--=n b L yy eσ 4. 预测y 0)2()(11ˆˆ2/12000-→-++--n t L x x nyy xxe ασ5. 控制)ˆˆ(ˆ12/1a u y bx e -+'='-ασ)ˆˆ(ˆ12/1a u y bx e --''=''-ασ6. 点估计2σn L b L xxyy 22ˆˆ-=σ其他：))1(,(ˆ22xxL xna N a+→σ),(ˆ2xxL b N bσ→2)ˆ,ˆc o v (σxxL x b a-= 0)ˆ,c o v (=by r i n 求i x ，2i s ，x方差来源（A, e, S T ） 平方和（S A , S e , S T ） 自由度（r-1, n-r ） 方差（e A S S ,）F 值（e A S S /）),1(1r n r F ---α大否小接受区间估计（单） 1.1 μσ已知，求2)1,0(/U N nx →-=σμ)(21ασμ-±∈unx1.2 μσ未知，求2)1(/U *-→-=n t ns x μ ))1((21*-±∈-n tnsx αμ2.12σμ已知，求)()(22212n u xni iχσχ→-=∑=))()(,)()((22/21022/12102n x u xn x u xni ini iαασ∑∑=-=--∈2.22σμ未知，求)1-(S1222*2n n χσχ→-=）（ ))1(S 1,)1(S 1(22/2*22/12*2----∈-n x n n x n αασ）（）（ 区间估计（双） 3.1 212221,u -μσσ已知，求)1,0()()(U 22212121N n n u y x →+---=σσμ))(()(2122212121ασσμ-+±-∈-un n y x u3.22122212u -=μσσσ，求未知)2(11)()(U 212121-+→+---=n n t n n S u y x Wμ2212*12)12()1(*-+-+-=n n n Sn S SW))2(11)(()(21212121-++±-∈--n n tn n S y x u Wαμ0-1分布 B （1，p ） EX=P DX= p(1-p){}()k n k p p k X P --==1 it x pe p -1(t)+=ϕ 二项分布B （n ，p ） EX=nP DX=n p(1-p){}()k n kkn p pC k X P --==1 n)pe p -1((t)it x +=ϕ几何分布（n 重伯努利分布） EX=1/p DX= (1-p)/p 2{}()11--==n p p n X P泊松分布p(λ)(k=0,1,2…) EX=λ DX=λ{}λλ-==ek k X P k!))1e (exp((t)it x -=λϕ均匀分布U （a,b ） EX=（b+a ）/2 DX=(b-a)2/12{}ab XP -=1 )()ee((t)aitbitxa b it --=ϕ指数分布 EX=1/λ DX=1/λ2{}x e XP λλ-= 1x )1((t)--=λϕit正态分布N ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2exp (t)22xt iut σϕ 伽玛分布Γ分布{}xexX P βαααβ--Γ=1)( αβϕ--=)1((t )x itβα=EX 2βα=DX2χ分布 EX=n DX=2n{}22122)2(x nnen x X P --Γ=2x )21((t)n it --=ϕF 分布)2(2222>-=n n n EX )4()4()2()2(2222212122>---+=n n n n n n n DX。
数理统计中的关键公式速查
数理统计中的关键公式速查统计学作为一门重要的学科，充斥着大量的数学运算和公式。
掌握统计学中的关键公式对于学习和应用统计学都具有重要的意义。
本文将为大家提供数理统计中的关键公式速查，帮助读者快速准确地找到所需公式。
1. 描述统计学公式1.1 样本均值（Sample Mean）样本均值是评估样本集中趋势的常用方式。
公式：$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$1.2 样本方差（Sample Variance）样本方差用于衡量样本数据的离散程度。
公式：$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$1.3 样本标准差（Sample Standard Deviation）样本标准差是样本方差的平方根。
公式：$s=\sqrt{s^2}$1.4 总体均值（Population Mean）总体均值是指整个总体中的变量的平均值。
公式：$\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i$1.5 总体方差（Population Variance）总体方差是指整个总体中的变量的离散程度。
公式：$\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$1.6 总体标准差（Population Standard Deviation）总体标准差是总体方差的平方根。
公式：$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$2. 概率论公式2.1 条件概率（Conditional Probability）条件概率是指事件 A 在事件 B 已经发生的前提下发生的概率。
公式：$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$2.2 乘法定理（Multiplication Rule）乘法定理适用于计算多个事件同时发生的概率。
公式：$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$2.3 加法定理（Addition Rule）加法定理适用于计算多个事件至少有一个发生的概率。
概率论与数理统计自学考试公式大全
概率论与数理统计重点公式1、)()()()(AB P B P A P B A P -+=2、若A 、B 独立，则)()()(B P A P AB P ⋅=3、条件概率=)/(A B P )()(A P AB P 4、乘法公式：)/()()(A B P A P AB P = 5、二项分布：),(~p n B X分布律：k n kk n p p C k X P --==)1(}{， 其中n k p ,,2,1,0,10 =<<期望：np 方差：)1(p np - 6、泊松分布：)(~λP X分布律：λλ-==e k k X P k!}{，0>λ， 2,1,0=k期望： λ 方差： λ7、均匀分布：),(~b a U X概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧-=,0,1)(ab x f 其他， 期望：2ba + 方差：12)(2a b -8、指数分布：)(~λE X概率密度：⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλa ≤x ≤b分布函数：⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λ期望：λ1 方差：21λ9、正态分布：概率密度：222)(21)(σμσπ--=x ex f ，期望： μ方差： 2σ10、若X 是连续型随机变量，)(x F 是分布函数，则概率运算公式为： （1）)(}{a F a x P =<（2）)()(}{a F b F b x a P -=<< （3）)(1}{a F a x P -=>11、若X 是连续型随机变量，)(x f 是概率密度，则概率运算公式为： （1）dx x f aa x P )(}{⎰∞-=<（2）dx x f a bb x a P )(}{⎰=<< （3）dx x f a dx x f aa x P )()(1}{⎰⎰∞+=∞--=>12、若X 是连续型随机变量，)(x f 是概率密度，则期望运算公式为：dx x xf X E )()(⎰∞-∞+=13、方差的简便计算公式22)]([)()(X E X E X D -=),(~2σμN X +∞<<∞-x14、期望的性质 （1）C C E =)( （2）)()(X kE kX E =（3）)()()(Y E X E Y X E ±=±（4）若X 与Y 独立，则)()()(Y E X E XY E ⋅= 15、方差的性质（1）0)(=C D ，)()(X D C X D =+ （2）)()(2X D k kX D =（3）若X 与Y 独立，则)()()(Y D X D Y X D +=± 16、协方差与相关系数)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov ⋅-=)()(),(Y D X D Y X Cov XY ⋅=ρ17、切比雪夫不等式2)(})({εεX D X E X P ≤≥- 2)(1})({εεX D X E X P -≥<-18、大数定律（1）1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n m P n （2）11lim 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-∑=∞→εμn i i n X n P 19、中心极限定理（1）)(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→σμ（2）)()1(lim x x p np np Z P n n Φ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞→ 20、样本均值与样本方差 样本均值∑==ni i x n x 11样本方差∑=--=n i ix x n s 122.)(11 样本标准差.)(1112∑=--=n i ix x n s μ=)(X E ，nX D 2)(σ=，22)(σ=s E21、设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2σμN 的一个样本， 若未知2σ，则)1(~)1()(22222---∑n s n x x iχσσ＝若已知2σ，则)(~)(222n x xiχσ∑-22、矩估计、极大似然估计x =μˆ 22ˆn s =σ，其中∑=-=ni i n x x n s 122.)(123、区间估计已知方差2σ，估计均值μ，区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n u x n u x σσαα22,未知方差2σ，估计均值μ，区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--n s n t x n s n t x )1(,)1(22αα 估计方差2σ，区间⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(2212222n s n n sn ααχχ 24、假设检验两类错误第一类错误 0H 成立，拒绝0H 第二类错误 1H 成立，接受0H 25、u 检验前提：已知2σ，00:μμ=H ，01:μμ≠H 统计量nx u 0σμ-=拒绝域),(),(22+∞--∞=ααu u W26、t 检验前提：未知2σ，00:μμ=H ，01:μμ≠H 统计量ns x t 0μ-=拒绝域)),1(())1(,(22+∞----∞=n t n t Wαα27、2χ检验 前提：2020:σσ=H ，2021:σσ≠H统计量2022)1(σχs n -=拒绝域)),1(())1(,0(22221+∞--=-n n W ααχχ 28、回归方程x y 10ˆˆˆββ+= 其中∑∑∑--==221ˆxn x y x n y x L L ii ixxxy βx y 10ˆˆββ-= 即直线x y 10ˆˆˆββ+=经过点),(y x 29、回归平方和、剩余平方和∑-=ii y ys 2)ˆ(回∑-ii i y y s 2)ˆ(＝剩30、单边检验。
数理统计公式大全
,
x<0。
记住积分公式：
正态分布
设随机变量的密度函数为
， ，
其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。
具有如下性质：
1° 的图形是关于对称的；
2° 当时， 为最大值；
若，则的分布函数为
。。
参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为
， ，
泊松分布
设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
（8）二维均匀分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。
例如图3.1、图3.2和图3.3。
y
1
D1
O1x
图3.1
y
D2
1
1
（7）独立性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型
有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判断，充要条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
＝0
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则：
概率论与数理统计 公式(全)
布
几 何
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
分 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
布
均 设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[
匀
分
布
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他，
对于离散型随机变量， F(x) pk ； xk x
x
对于连续型随机变量， F (x) f (x)dx 。
0-1 P(X=1)=p, P(X=0)=q
分
布
二 项
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A
分 布
P( X
k)
Pn(k
)
C
k n
p k q nk ，
也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A
（6）事 件的关 系与运 算
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法 可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤 可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止 一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试 验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件， 它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
数理统计常用公式整理
数理统计常用公式整理一、概率公式1. 概率的加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)2. 条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)3. 乘法公式：P(A∩B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)4. 全概率公式：P(B) = ΣP(Ai) × P(B|Ai)，其中Ai为样本空间的划分。
5. 贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai) × P(B|Ai) / ΣP(Aj) × P(B|Aj)，其中Ai为样本空间的划分。
二、随机变量公式1. 期望：E(X) = Σx×P(X=x)，其中x为随机变量X的取值，P(X=x)为其概率。
2. 方差：Var(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - [E(X)]^23. 协方差：Cov(X,Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y)))4. 两个随机变量X和Y的相关系数：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) × σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别为X和Y的标准差。
三、常见分布公式1. 二项分布：P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为单次试验成功的概率。
2. 泊松分布：P(X=k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!，其中λ为单位时间（或单位面积）内随机事件发生的平均次数。
3. 正态分布：f(x) = (1 / (σ×√(2π))) × e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
4. t分布：f(t) = (Γ((v+1)/2) / (√(vπ) × Γ(v/2))) × (1 + t^2/v)^(-((v+1)/2))，其中v为自由度。
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。
数理统计中的重要公式整理
数理统计中的重要公式整理正文：数理统计是一门研究统计学原理和方法的学科，其重要性不可忽视。
在数理统计中，有一些重要的公式被广泛应用于各类统计问题的求解和分析。
本文将对数理统计中的重要公式进行整理，以帮助读者更好地掌握和应用这些公式。
1. 概率论与数理统计基本公式1.1 概率论基本公式：(1) 加法法则：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)(2) 乘法法则：P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)(3) 全概率公式：P(A) = ∑ P(A ∩ Bᵢ) = ∑ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)(4) 贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)1.2 数理统计基本公式：(1) 期望值公式：E(X) = ∑ XᵢP(Xᵢ)(2) 方差公式：Var(X) = E[(X - E(X))²] = E(X²) - [E(X)]²(3) 协方差公式：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(XY) -E(X)E(Y)(4) 相关系数公式：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / σ(X)σ(Y)2. 统计推断中的重要公式2.1 参数估计公式：(1) 矩估计：θ̂= ḡ(m₁, m₂, ..., mₖ)(2) 最大似然估计：θ̂= argmax[∏ f(x; θ)](3) 最小二乘估计：θ̂= argmin[∑ (yᵢ - g(xᵢ; θ))²]2.2 假设检验公式：(1) z检验：z = (x - μ) / (σ/√n)(2) t检验：t = (x - μ) / (s/√n)(3) 卡方检验：χ² = ∑ (Oᵢ - Eᵢ)² / Eᵢ3. 抽样理论中的重要公式3.1 随机变量公式：(1) 期望值公式：E(X) = μ(2) 方差公式：Var(X) = σ²/n(3) 中心极限定理：Z = (X - μ) / (σ/√n) 服从标准正态分布3.2 总体参数估计公式：(1) 基本抽样分布（z分布）：z = (X - μ) / (σ/√n)(2) t分布：t = (X - μ) / (s/√n)(3) X²分布：χ² = ∑ (Xᵢ - Eᵢ)² / Eᵢ4. 方差分析中的重要公式4.1 单因素方差分析公式：(1) 总平方和公式：SST = ∑ (xᵢj - x)²(2) 因素平方和公式：SFA = n ∑ (xₖ - x)²(3) 误差平方和公式：SSE = ∑ (xᵢj - xₖ)²4.2 F检验公式：F = (SFA / (k - 1)) / (SSE / (n - k))5. 相关分析中的重要公式5.1 简单线性回归公式：(1) 回归模型：Y = β₀ + β₁X + ε(2) 最小二乘估计公式：β̂₁ = ∑((Xᵢ - X)(Yᵢ - Ȳ)) / ∑((Xᵢ - X)²)β̂₀ = Ȳ - β̂₁X(3) 相关系数公式：r = Cov(X, Y) / (σ(X)σ(Y))6. 抽样调查中的重要公式6.1 简单随机抽样公式：(1) 抽样率：p = n / N(2) 估计总量公式：T = N * (X / n)(3) 估计方差公式：Var(T) = N² * ((1 - p/n) / n) * σ²7. 时间序列分析中的重要公式7.1 平稳时间序列公式：(1) 自协方差公式：γ(h) = Cov(Xₖ, Xₖ₋ₖ) = γ(-h)(2) 自相关系数公式：ρ(h) = Cov(Xₖ, Xₖ₋ₖ) / (σ(Xₖ)σ(Xₖ₋ₖ))通过对这些数理统计中的重要公式的整理，我们可以更加方便地在实际问题中应用这些公式，进行数据分析、参数估计、假设检验等统计推断工作。
概率论与数理统计公式大全
第1章随机事件及其概率例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A 为“至少有一张红桃”，B 为“恰有2张红桃”，C 为“恰有5张方块”，求条件概率P (B |A )，P (B |C )解135213391352135213391)(1)(C C C C C A P A P -=-=-=13521139213)(C C C AB P ⋅=13391352113921313521339135213521139213)()()(C C C C C C C C C C A P AB P A B P -=-==1352839513)(C C C C P =1352626213513)(C C C C BC P =83962621313528395131352626213513)()()(C C C C C C C C C C C P BC P C B P ===例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0 1 2 3 4概率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。
求一批产品通过检验的概率。
4()()()kk k P B P AP B A ==∑解设B 表示事件“一批产品通过检验”，A i (i =0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i 件次品”，则A 0,A 1, A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分，00()0.1,()1P A P B A ==10991110100()0.2,()0.900C P A P B A C ===10982210100()0.4,()0.809C P A P B A C ===10973310100()0.2,()0.727C P A P B A C ===10964410100()0.1,()0.652C P A P B A C ===814.0652.01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0≈⨯+⨯+⨯+⨯+=顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是0004()(|)0.11(|)0.1230.814()(|)ii i P A P B A P A B P A P B A =⋅⨯==≈⋅∑类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。
数理统计公式
置信区间构造式： [ x u1 /2
x (1 x ) x (1 x ) , x u1 /2 ] n n
23. 两个正态分布置信区间构造： 已知求 1 2 （Behrens-Fisher 问题） 枢轴量： u
x y ( 1 2 )
12
m
2 2
枢轴量：
(n 1) s 2
2
~ 2 (n 1)
置信区间构造式： [
(n 1) s 2 (n 1) s 2 , ] 2 12 /2 (n 1) /2 ( n 1)
22. 一般分布大样本置信区间构造：例如 b(1, p) 中 p 估计 枢轴量： u
xp ~ N (0,1) p(1 p) n
ˆ , 若 n1
ˆ 分别是 , , nk n1
,nk 的相合估计， g (1 ,
ˆ , ˆ g ( ,k ) ，则 n1
ˆ )是 , nk
的相合估计
推论：矩估计通常具有相合性，可由大数定理得到 15. 点估计评价：无偏性
ˆ) 定义：对于 的参数空间 ，任意的 ， E (
( x c)
i
2
的函数中，
(x x )
i
2
最
小，其中 c 为任意给定常数 注：该定理说明了在平方和最小意义下，均值是估计位置参数的最佳观测量 均值分布： 若总体分布为 N ( , ) ，则 x 的精确分布为 N ( ,
2
2
n
)
若总体分布未知，则 n 较大时， x 渐进分布为 N ( , 3. 样本方差和样本标准差 样本方差： s *2
2
2 Xn
2 (n)
常用数理统计公式
常用数理统计公式以下是一些常用的数理统计公式：1. 样本均值 (Sample Mean):x̄ = (Σxi) / n2. 总体均值 (Population Mean):μ = (Σxi) / N3. 样本方差 (Sample Variance):s^2 = (Σ(xi - x̄)^2) / (n - 1)4. 总体方差 (Population Variance):σ^2 = (Σ(xi - μ)^2) / N5. 样本标准差 (Sample Standard Deviation):s=√s^26. 总体标准差 (Population Standard Deviation):σ=√σ^27. 样本协方差 (Sample Covariance):Cov(x, y) = (Σ(xi - x̄)(yi - ȳ)) / (n - 1)8. 总体协方差 (Population Covariance):Cov(X, Y) = (Σ(xi - μx)(yi - μy)) / N9. 样本相关系数 (Sample Correlation Coefficient):r = Cov(x, y) / (sxsy)10. 总体相关系数 (Population Correlation Coefficient):ρ = Cov(X, Y) / (σXσY)11. 样本标准误 (Standard Error of the Mean):SEM=s/√n12. 置信区间 (Confidence Interval):CI=x̄±(zα/2*SEM)13. z分数 (z-Score):z=(x-μ)/σ14. t分数 (t-Score):t=(x-μ)/(s/√n)15. 卡方检验 (Chi-Square Test):Chi^2 = Σ((O - E)^2) / E16. t检验 (t-Test):t=(x̄1-x̄2)/√((s1^2/n1)+(s2^2/n2))17. 方差分析 (Analysis of Variance, ANOVA):F=(MSB/MSE)18. 线性回归方程 (Linear Regression Equation):y=b0+b1*x19. 残差 (Residual):e=y-ŷ20. 判定系数 (Coefficient of Determination):R^2=(SSR/SST)=1-(SSE/SST)这些公式可以用于描述和分析数据集的中心趋势、变异性、相互关系和模型拟合程度。
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理一、概率论公式：1.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.乘法公式：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)其中，P(A)和P(B)表示事件A和B的概率，P(B，A)表示已知事件A发生的条件下事件B发生的概率。
3.全概率公式：P(A)=∑[P(A，B(i))×P(B(i))]其中，B(i)表示互斥事件组，且它们的概率之和为14.贝叶斯公式：P(B(j)，A)=P(A，B(j))×P(B(j))/∑[P(A，B(i))×P(B(i))]其中，P(B(j)，A)表示已知事件A发生的条件下事件B(j)发生的概率。
5.期望值公式：E(X)=∑[x×P(X=x)]其中，X为一个随机变量，x为X的取值，P(X=x)为X等于x的概率。
6.方差公式：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)表示X的期望值。
二、数理统计公式：1.样本均值公式：样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn)/n其中，x1、x2、..、xn为样本中的观测值，n为样本容量。
2.样本方差公式（无偏估计）：样本方差 = [(x1-样本均值)^2 + (x2-样本均值)^2 + ... + (xn-样本均值)^2]/(n-1)3.样本标准差公式（无偏估计）：样本标准差=样本方差的平方根4.正态分布的标准化公式：Z=(X-μ)/σ其中，X为一个正态随机变量，μ为其均值，σ为其标准差，Z为标准正态分布的变量。
5.正态分布的累积分布函数：P(X≤x)=Φ((x-μ)/σ)其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数。
6.样本之间的协方差公式：Cov(X,Y) = ∑[(x(i)-X均值) × (y(i)-Y均值)]/(n-1)其中，X、Y为两个随机变量，x(i)、y(i)为X、Y的观测值，X均值、Y均值分别为X、Y的样本均值，n为样本容量。
数理统计公式范文
数理统计公式范文统计学是通过收集、处理和解释数据来研究与数据相关的现象和问题的学科。
在数理统计中，有许多重要的公式和方法，用于处理和分析数据，从而得出统计结论。
以下是一些数理统计中常用的公式：1.样本均值公式：样本均值是样本中所有观测值的总和除以样本容量。
样本均值公式如下：x̄ = (Σ xi) / n其中，x̄表示样本均值，Σ表示求和符号，xi代表样本中的每个观测值，n代表样本容量。
2.总体方差公式：总体方差是总体中每个观测值与总体均值之差的平方的平均值。
总体方差公式如下：σ^2 = (Σ (xi - μ)^2) / N其中，σ^2表示总体方差，Σ表示求和符号，xi代表总体中的每个观测值，μ代表总体均值，N代表总体容量。
3.样本方差公式：样本方差是样本中每个观测值与样本均值之差的平方的平均值。
样本方差公式如下：s^2 = (Σ (xi - x̄)^2) / (n - 1)其中，s^2表示样本方差，Σ表示求和符号，xi代表样本中的每个观测值，x̄代表样本均值，n代表样本容量。
4.样本标准差公式：样本标准差是样本方差的平方根，用于度量样本数据的离散程度。
样本标准差公式如下：s=√(s^2)其中，s表示样本标准差，s^2表示样本方差。
5.样本相关系数公式：样本相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系强度。
样本相关系数公式如下：r = Σ ((xi - x̄) * (yi - ȳ)) / (n - 1) * s_x * s_y其中，r表示样本相关系数，Σ表示求和符号，xi和yi分别代表样本中两个变量的观测值，x̄和ȳ分别代表两个变量的样本均值，n代表样本容量，s_x和s_y分别代表两个变量的样本标准差。
6.正态分布概率密度函数公式：正态分布是一种常见的概率分布，具有钟形曲线的形状。
正态分布概率密度函数公式如下：f(x)=(1/(√(2π)*σ))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，f(x)表示概率密度函数，π表示圆周率，σ^2表示方差，μ表示均值，e表示自然对数的底数。
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第二章随机变量及其分布
(1
设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件
)离
散
(X=Xk)的概率为
型
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
随
则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式
机 变
给出：
量
。
的 分
显然分布律应满足下列条件：
布 律
(1)，，(2)o
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发 生）:
如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B
A B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
A B同时发生：AB,或者AB A B=?则表示A与B不可能同时发生， 称事件A与事件B互不相谷或者互斥。基本事件疋互不相谷的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生 的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C AU(BUC)=(AUB)UC
分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)AC=(AC)U(BC)
德摩根率：，
设为样本空间，为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P( Q /B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
(13)乘法 公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1,A,…An,若P(AA…An-”>0，则有
♦ ♦♦ ♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦
0
①两个事件的独立性
设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立，且，则有
(14) 独立 性
若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。 必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立。
?与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
第一章随机事件和概率
（1）排列组 合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和 乘法原理
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法 可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mXn
。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
(10)加法 公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P=P(A)+P(B)
(11)减法 公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Q时，P()=1-P(B)
(12条件 概率
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事 件B发生的条件概率，记为。
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
设事件满足
(15)全概 公式
1°两两互不相容，，
2° ，
则有
。
(16)贝叶 斯公式
设事件，，…，及满足
1°,，…， 两两互不相容，>0,1,2,…，,
2° ，，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，(，，…，)，通常叫先验概率。，(，，…，)，通常称为 后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作出了“由果朔 因”的推断。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字 母A，B, C,…表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，？为不可能事件。
不可能事件（？）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然 事件。
（6）事件的 关系与运算
①关系：
(4
)分 布 函 数
设 为随机变量， 是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间(-%,x］内的概率。
(17)伯努 利概型
我们作了次试验，且满足
u每次试验只有两种可能结果，发生或 不发生；
u次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；
u每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试
验 发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为，用 表示 重伯努利 试验中出现次的概率，
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤 可由n种方法来完成，则这件事可由mx n种方法来完成。
（3） 一些常 见排列
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试 验和随机事 件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止 一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试 验为随机试验。
(2
)连
设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有
续
型
则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密
随 机
度。
变 量 的 分 布 密 度
密度函数具有下面4个性质：
1°。
2° 。
3离
散与连续型随机变量的关系
积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中 所起的作用相类似。
下列三个条件：
1°0<P(A)<1，
(7)概率的
2°P(Q) =1
公理化定义
3°对于两两互不相容的事件，，…有
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件的概率。
(8)古典概 型
1° ，
2° 。
设任一事件，它是由组成的，则有
P(A)==
(9)几何概 型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时 样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随 机试验为几何概型。对任一事件A，
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事 件、样本空 间和事件
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件， 它具有如下性质：
1每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
2任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。