第03章 连续时间系统滑模变结构控制

x = f ( x, ueq , t ) & s( x ) = 0
x ∈ℜn , u ∈ℜ
(3.2.7)
将式(3.2.6)代入式 代入式(3.2.3) 可得线性系统的滑动模态 可得线性系统的滑动模态 将式 代入式 运动方程如下 运动方程如下： 如下
x = I − b ( cb )−1 c Ax & s ( x ) = cx = 0
% & x = Ax + B(u + Df )
(3.3.3)
% 其中有 BD = D，通过设计控制律 u 可实现对干扰的 完全补偿。 完全补偿。
条件式(3.3.2)称为干扰和系统的完全匹配条件。 称为干扰和系统的完全匹配条件。 条件式 称为干扰和系统的完全匹配条件 （2）当系统存在不确定性时 ）
& x = Ax + Bu + ∆Ax
& ss < 0
即
& s < 0 , s > 0 & s > 0 , s < 0
(3.1.1)
x
(3.1.2)
s( x ) = 0
其中s ( x ) 为切换函数 离切换面可以任意远, 由于状态 x 离切换面可以任意远 故到达条件式 (3.1.1)也称为广义 全局 到达条件。 也称为广义 全局)到达条件 也称为广义(全局 到达条件。
b 其中， 其中，a = −10， = 120 。
相应状态空间模型方程为： 相应状态空间模型方程为：
& x = Ax + Bu
0 1 A= 其中， 其中， 0 10
(3.5.2)
即有
，B = 120 。
0
& x1 = x 2 & x 2 = 10 x 2 + 120u
3.1 滑动模态到达条件 若系统初始状态点 x (0) 处在切换面 s ( x ) = 0 之外， 之外， 则要求系统的运动必须趋向切换面， 则要求系统的运动必须趋向切换面，且在有限时间内 到达切换面，即满足到达条件。否则， 到达切换面，即满足到达条件。否则，系统就无法启 动滑动模态运动。 动滑动模态运动。 & x 一般滑动模态的到达条件 到达条件为 一般滑动模态的到达条件为
(3.2.2)
式(3.2.2)中 u 称为系统在滑动模态区内的等效控 中 表示。 制，一般用 ueq 表示。
3.2.1 等效控制 例如， 例如，对于线性系统
& x = Ax + bu
取切换函数为
s( x ) = cx
x ∈ℜn , u ∈ℜ
(3.2.3) (3.2.4)
设系统进入滑动模态后的等效控制为ueq ， 则由 式(3.2.3)有 有
(3.5.3)
3.5 基于比例切换的滑模变结构控制 2. 控制器设计（以位置跟踪系统为例） 控制器设计（以位置跟踪系统为例） 设位置给定信号为 r ，将系统的位置误差 & 作为状态变量， 位置误差变化率 e 作为状态变量，即：
e = r − x1 & & e = r − x 2
e
和
(3.5.4)
3） （3）当系统同时存在外干扰和不确定性时
& x = Ax + ∆Ax + B + Df
(3.3.7)
若同时满足匹配条件式（ ），则 若同时满足匹配条件式（3.3.2）和（3.3.5），则 ） ）， 系统可化为 (3.3.8) % % & x = Ax + B(u + ∆Ax + Df ) 通过设计控制律实现同时对不确定性和外干扰的完 全补偿。 全补偿。
c
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法 1. 设计切换函数，使得所确定的滑动模态运动渐近 设计切换函数， 稳定且具有良好的动态品质。 稳定且具有良好的动态品质。 1) 二阶单输入系统（规范空间） 二阶单输入系统（规范空间） 线性切换函数为
& s = cx + x
(3.4.1)
& 为状态，所以， 由于选择 x 和 x 为状态，所以，只有 c > 0 时， 在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点， 在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点，即 保证了系统为渐近稳定。 保证了系统为渐近稳定。
(3.3.4)
滑动模态与不确定性无关的充分必要条件为 (3.3.5) rank ( B,∆A ) = rankB 假如式(3.3.5)满足，则系统可化为 满足， 假如式 满足
3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性
% & x = Ax + B(u + ∆Ax )
(3.3.6)
% 其中有 B∆A = ∆A 。通过设计控制律可实现对不确定 性的完全补偿。 性的完全补偿。 条件式(3.3.5)称为不确定性和系统的完全匹配条件。 称为不确定性和系统的完全匹配条件 条件式 称为不确定性和系统的完全匹配条件。
(3.4.3)
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法 通过Ackermann公式来求解其参数，具体方法如下： 公式来求解其参数，具体方法如下： 通过 公式来求解其参数
c = e T P( A)
(3.4.4)
−1
其中 e T = ( 0L 0 1) ( b AbL An−1b )
P ( A) = ( A − λ1 I )( A − λ2 I )L ( A − λn −1 I )
取切换函数为
& s = ce + e
根据比例切换控制方法， 根据比例切换控制方法，取控制律为
& u = (α e + β e ) sgn( s )
(3.5.5) (3.5.6)
为大于零的常数。 其中 α 和 β 为大于零的常数。
3.6 基于趋近律的滑模变结构控制 系统运动包括趋近运动和滑动模态运动两个过程。 系统运动包括趋近运动和滑动模态运动两个过程。 根据滑模变结构控制原理， 根据滑模变结构控制原理，滑动模态到达条件仅保证 状态运动点由状态空间中任意初始位置在有限时间内 到达切换面， 到达切换面，而对于趋近运动的具体轨迹未做任何限 若采用趋近律的方法， 制，若采用趋近律的方法，则可以改善趋近运动的动 态品质。 态品质。 节中介绍了常见的几种趋近律。 在2.3.4节中介绍了常见的几种趋近律。 节中介绍了常见的几种趋近律 3.6.1 基于趋近律的调节系统 1. 控制器的设计 系统的状态方程如下： 系统的状态方程如下： & x = Ax + Bu
(3.6.1)
3.6.1 基于趋近律的调节系统 采用趋近律的控制方式， 采用趋近律的控制方式，设切换函数为 从而
s = Cx
& & s = Cx = slaw
(3.6.2) (3.6.3)
其中slaw代表趋近律，例如，采用指数趋近律，则有 代表趋近律，例如，采用指数趋近律， 其中 代表趋近律
& slaw = s = −ε sgn s − ks
(
)
(3.2.8)
为单位矩阵。 其中 I 为单位矩阵
3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性 不变性：实现滑动模态运动不依赖于外部扰动和参数 不变性： 摄动的性质，也可叫鲁棒性、自适应性。 摄动的性质，也可叫鲁棒性、自适应性。是滑模变结 构控制受到重视的最主要原因。 构控制受到重视的最主要原因。 对于线性系统， 对于线性系统，不变性的成立需满足滑动模态的 匹配条件。对于扰动和摄动的作用的不同情况， 匹配条件。对于扰动和摄动的作用的不同情况，分三 种情况予以讨论： 种情况予以讨论： （1）当系统受到外干扰时 ）
的确定是至关重要的， 参数 c = ( c1 , c2 ,L , cn−1 ,1)的确定是至关重要的，所 设计的参数必须使系统在切换面上的滑动模态运 动是渐近稳定的。 动是渐近稳定的。 一般地，考虑如下系统： 一般地，考虑如下系统：
& x = Ax + bu s = cx
x ∈ ℜn
u ∈ℜ
i =1
α i , xi s < 0 ψ 其中， 其中，i = β , x s > 0， α i i i
和
βi
为常数。 为常数。
3.5 基于比例切换的滑模变结构控制 1. 控制对象 【例3.5.1】考虑如下被控对象模型： 】考虑如下被控对象模型：
G p ( s) = b s 2 + as
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(3.5.1)
3.1 滑动模态到达条件 为了保证在有限时刻到达， 为了保证在有限时刻到达，避免渐近趋近的情况出 可对式(3.1.1)进行修正，取为 进行修正， 现。可对式 进行修正 & ss < −δ (3.1.3) 为任意小正数。 其中 δ 为任意小正数。 通常将式(3.1.1)表达成李雅普诺夫函数型到达条件 表达成李雅普诺夫函数型到达条件 通常将式 表达成
u = u0 sgn( s ( x ))
(3.4.5)
为待求常数。 其中 u 0 为待求常数。 2) 函数切换控制
u = ueq + u0 sgn( s ( x ))
(3.4.6)
这是以等效控制为基础的控制结构形式。 这是以等效控制为基础的控制结构形式。 3) 比例切换控制 k (3.4.7) u = ∑ψ i x i k<n
【注】规范空间：以状态和状态变化率为坐标构成的空间 规范空间：
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法 值时， 而选择不同的 c 值时，切换面上的状态运动轨迹趋 向原点的速度是不同的， 越大， 向原点的速度是不同的， c 越大，对于相同的 x ， x 的变化率越大，从而趋近速度越快。 的变化率越大，从而趋近速度越快。 图3.4.1，切换函数的参数分别选取c = 0.8和 c = 1.7 ， 作出图示说明。 作出图示说明。 & x
& & s = cx = c ( Ax + bueq ) = 0
ueq = − ( cb ) cAx
−1
(3.2.5)
则可解出等效控制 若矩阵 ( cb ) 满秩， 满秩， (3.2.6)
3.2.2 滑动模态运动方程 代入系统的状态方程式(3.2.1)， 将等效控制 ueq 代入系统的状态方程式 ， 可得系统滑动模态运动方程
& x = Ax + Bu + Df
(3.3.1)
表示系统所受的外干扰。 其中 f 表示系统所受的外干扰。 滑动模态运动不受干扰影响的充要条件为
rank ( B , D ) = rankB
(3.3.2)
3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性 假如式(3.3.2)满足，则系统可化为 满足， 假如式 满足
第3章 连续时间系统滑模变结构控制
3.1 滑动模态到达条件 滑动模态到达条件 3.2 等效控制及滑动模态运动方程 等效控制及 3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性 滑模变结构控制匹配条件 匹配条件及 3.4 滑模变结构控制器设计基本方法 滑模变结构控制器设计基本方法 3.5 基于比例切换的滑模变结构控制 基于比例切换的滑模变结构控制 3.6 基于趋近律的滑模变结构控制 基于趋近律的滑模变结构控制 3.7 基于准滑动模态的滑模变结构控制 基于准滑动模态的滑模变结构控制
1 V = s2 2 V < 0 &
(3.1.4)
满足上述到达条件的滑模变结构控制系统， 满足上述到达条件的滑模变结构控制系统，其 状态的运动轨迹都将在有限时间内到达切换面， 状态的运动轨迹都将在有限时间内到达切换面，并 启动滑动模态运动。 启动滑动模态运动。
3.2 等效控制及滑动模态运动方程 3.2.1 等效控制 设系统的状态方程为
x
& s2 = 0.8 x + x = 0
& s1 = 1.7 x + x = 0
图3.4.1
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法 2) 高阶单输入系统（一般状态空间） 高阶单输入系统（一般状态空间） 线性切换函数为 s ( x ) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn −1 xn −1 + xn (3.4.2)
λ1 , λ 2 , L ,λ n −1 为期望选取的特征值。 为期望选取的特征值。
2. 设计控制律，使到达条件得到满足，从而在切 设计控制律，使到达条件得到满足， 换面上形成滑动模态区。 换面上形成滑动模态区。 下面给出几种常用的控制结构形式
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法 1) 常值切换控制（bang-bang控制） 常值切换控制（ 控制） 控制
& x = f ( x , u , t ) x ∈ℜn , u ∈ℜ
(3.2.1)
为控制输入， 为时间。 其中 u 为控制输入 t 为时间 如果达到理想的滑动模态，则 & 如果达到理想的滑动模态 则 s ( x ) = 0 即
∂s ∂x & s = ∂x ⋅ ∂t = 0 或
∂s ∂x f ( x , u , t ) = 0