第七章 电磁波及物质波的衍射理论

j 1 n n
n
1 2
{[ f j cos 2 ( Hx j Ky j Lz j )]2 [ f j sin 2 ( Hx j Ky j Lz j )] }
j 1 j 1
1 2 2
3.3 结构因子的应用
3.3 结构因子的应用
简单点阵－－每个晶胞中只有一个原子，其坐标为(000)，原子散射因

某晶面组的衍射波矢与入 射波矢之间的差值为该晶 面组的倒易矢量。
2.2 厄瓦尔德图解
证明思路 波矢的表达方式--方向与波的传导方向 相同，长度是波长的倒数。 入射波与衍射波波长相同，方向不同， 波矢也是如此。 因此以1 / 为半径、以样品为中心作球， 以确定波矢的长度。该球称为厄瓦尔德 球。 S0 为入射波的方向，假定存在一个衍射 束S，且S满足与S0关于晶面成镜面对称。 连接S0和S的端点，看所得矢量 是否 为倒易矢量。
1.2 电子衍射产生的物理原因



1） 卢瑟福散射理论 电子与核质量相比是一个小量，可以认 为当电子受原子核的散射作用时，原子 核基本固定不动，电子不损失能量，发 生弹性散射。 核外电子对入射电子的散射时，由于二 者质量相同，入射电子的能量会转移给 核外电子，损失部分能量，波长发生改 变，因此发生的是非弹性散射。

一个晶胞对入射波的散射是晶胞内各原子散射波合成的结果。 研究晶胞，应该具体到晶胞内不同晶面的衍射. 结构分析的原理也正是通过分析各个晶面的衍射波来确定材料 的晶体结构。
3.3晶胞结构因子

由于原子在晶胞中的位置不同而引起的某些方向上衍射线的消失称为 系统消光。不同的晶体点阵的系统消光规律也各不相同。它所逆循的 衍射规律即为结构因子
j 2rj r 2 (Hx j Ky j Lz j )
3.3 结构因子的推导

晶胞内 j原子的散射波为fiEeeij（不同类原子fj 不同）, 则晶胞内所有原子相干散射的复合波
Eb E e f j e
j 1 n i j
FHKL
根据欧拉公式：
n
ei cos i sin
2 I a Z 2 Ea Z 2 Ie

一般情况下，任意方向上原子散射强度因各电子散射线间的干涉 作用而小于 Z 2 I e ，据此，引入原子散射因子f，将原子散射强度 表达为 e4 1 cos2 2
Ia f 2Ie f
2
m c R
2
4
2
(
2
)I 0
f z
3.3晶胞散射强度
1.2 电子衍射产生的物理原因
由于原子在晶体中是周期排列的，在某些方向的散 射波的位相差等于波长的整数倍，形成相干散射。
2. 衍射方向


衍射方向是衍射几何要回答的问题，布拉 格方程从数学的角度，而厄瓦尔德图解以 作图的方式，回答了以上的问题，二者是 等效的。 2.1布拉格方程(Nobel Prize) 2.2 厄瓦尔德图解 （倒易点阵的应用）
2.2厄瓦尔德图解的应用
厄瓦尔德图解可以帮助确定哪些晶面（倒易点）可以参与衍射。 对于单晶体，先画出倒易点阵确定原点位置 O， 以倒易点阵原点为起点，沿入射波反方向前进1 距离，找到厄 瓦尔德球的球心O1(晶体的位置） 以 1 为半径作球，得到厄瓦尔德球。所有落在厄瓦尔德球的倒 易点对应的晶面组均可参与衍射。
e4 1 cos2 2 Ie 2 4 2 ( )I 0 2 m c R
对于一束非偏振入射波，电子散射在各个方向的强度不同，产生 2 的散射波被偏振化了，故称 1 cos 2 2 为偏振因子或极化因子。

3.2 原子散射强度

一个原子对入射波的散射是原子中各电子散射波相互干涉合成的 结果。设原子中Z个电子(Z为原子序数)集中在一点，则所有电子 散射波间无位相差．
3.1单电子的散射强度


强度为I0的偏振光（其光矢量E0只沿一个固定方向振动）照射在 一个电子上时，沿空间某方向的散射波的强度Ie为， e4 I e 2 4 2 sin 2 I 0 m c R 材料衍射分析工作中，通常采用非偏振入射光。可将其分解为互 相垂直的两束偏振光。问题转化为求解两束偏振光与电子相互作 用后，在散射方向（OP）上的散射波强度。
当H+K+L 为偶数时， FHKL 2 f n 2 [1 1]2 4 f n 2 当H+K+L 为奇数时， FHKL 2 f n 2 [1 1]2 0
3.3 结构因子的应用
3.底心点阵 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别 为000和½, ½, 0。其原子散射因子为 fn 4.面心点阵 每个晶胞个有4个同类原子，其坐标为 （0，0，0） （ ½ ， ½ ， 0） （ ½ ，0， ½ ），（0， ½ ， ½ ） 。其原子散射因 子为 。 fn 试计算其结构因子
1.1 X射线衍射产生的物理原因
内层强束缚电子相干增强的机制 1）内层电子对X射线的弹性散射：电子受迫振动－发射入射波相同 波长相同的电磁波 2） 原子对X射线的散射：可以将原子中的电子简化为集中在原子中 心，只是其电子数不再是Z，而是f(sin/)。 3） 晶体对X射线的相干衍射：周期排列的原子，在某些方向的散射 波的位相差等于波长的整数倍，形成相干散射。

3.4 晶粒衍射强度

Ec FEe exp(i ) FEe exp(ik r )
Q 0 Q 0
一个晶粒对入射波的散射是晶粒中各晶胞散射波相互干涉合成的 结果。 N 1 N 1
2 ( S S 0 )

N3 1 Ec FEe exp(ima k ) exp(inb k ) exp(ipc k )
N1 1 m 0 N 2 1 n 0 p 0
r ma nb pc
k

运用级数求和公式可得：
G1
N1 1 m 0
exp(ima k )
子为fn
FHKL [ f j cos 2 ( Hx j Ky j Lz j )] [ f j sin 2 ( Hx j Ky j Lz j )]2
2 2 j 1 j 1
n
n
f n [cos 2 2 (0) sin 2 2 (0)] f n
2
2
FHKL f n
1 1 1 OG O1G O1O S S0 ( S S0 )
OG




2.2 厄瓦尔德图解

1）在三角形AOG中 1 而布拉格方程可以改写为 d
OG OA sin
2

2

sin

sin

对照上面两个公式
OG
1 d hkl
2）其次，参与衍射的晶面应该平
OO1G 分 OO1G ，即垂直于等腰三角 的底边，或者说矢量OG 垂直于晶面。
可以确定 OG就是参与衍射的晶面组

的倒易矢量
2.2 厄瓦尔德图解



当衍射波矢和入射波矢相 差一个倒格子时，衍射才 能产生。 这时，倒易点G（指数为 hkl）正好落在厄瓦尔德 球的球面上， 产生的衍射沿着球心O1 到倒易点G的方向。 此时，晶面组(hkl)的晶面 间距与入射波的波长满足 布拉格方程
3.3晶胞结构因子的含义

结构因子－以电子散射能力为单位，反映单胞内所有 原子对不同晶面（HKL）散射能力的贡献的参量
一个晶胞中所有原子散 射波的合成波振幅 Eb F 一个电子散射波振幅 Ee
3.3结构因子的推导
两原子之间的波程差 其中
j r j S r j S0

rj OA x j a y j b z j c
n Eb i f je j Ee j 1
FHKL f j [cos 2 ( Hx j Ky j Lz j ) i sin 2 ( Hx j Ky j Lz j )]
j 1
3.3结构因子的推导
在衍射实验中，只能测出衍射线的强度，即实验数据 只能给出结构因子的平方值，为此，需要将上式乘 以其共轭复数，然后再开方
2.1布拉格方程

布拉格公式 2dsin=n n=0,1,2,3…… 称为衍射级数
布拉格方程的讨论



1）衍射是一种选择反射。 2）入射线的波长决定了结构分析的能力。 /2d=sin≤1，即d≥/2， 3） 衍射花样和晶体结构具有确定的关系。
2.2 厄瓦尔德图解


倒易矢量是用来描述产生衍 射波的晶面的矢量，其长度 代表晶面间距的倒数，矢量 的方向代表晶面的法线。 入射波、衍射波和倒易点阵 之间的存在什么关系？
第七章 电磁波及物质波的衍射理论
1. 衍射的概念与原理
1.1 X射线衍射产生的物理原因 1.2 电子衍射产生的物理原因
2. 衍射方向
2.1布拉格方程 2.2 厄瓦尔德图解
3. 衍射强度
“上海光源”上获得的第一张溶菌酶蛋白质晶体衍射图。
1. 衍射的概念与原理
1. 衍射的概念与原理

入射的电磁波（x射线）和物质波（电子波）与周期性的晶体物 质发生作用，在空间某些方向上发生相干增强，而在其他方向上 发生相干抵消，这种现象称为衍射。
FHKL { f j [cos 2 ( Hx j Ky j Lz j ) i sin 2 ( Hx j Ky j Lz j )]
j 1 n
f j [cos 2 ( Hx j Ky j Lz j ) i sin 2 ( Hx j Ky j Lz j )]}
2 2 j 1 j 1 n n
1 1 1 2 f n [cos 2 (0) cos 2 ( H K L)]2 2 2 2 1 1 1 2 f n [sin 2 (0) sin 2 ( H K L)]2 2 2 2 2 f n [1 cos ( H K L)]2