(完整版)函数与方程知识点总结,推荐文档

（2）函数 y f (x) 零点个数（或方程 f (x) 0 实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数 y f (x) 的零点 f (x) 0 的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y f (x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零 点。 （3）二次函数零点个数确定
0 y f (x) 有 2 个零点 f (x) 0 有两个不等实根； 0 y f (x) 有 1 个零点 f (x) 0 有两个相等实根；
0 y f (x) 无零点 f (x) 0 无实根；对于二次函数在区间a,b上的Байду номын сангаас点个数，要结合图像进行确定.
1、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间[a, b] 上连续不断且 f (a) f (b) 0 的函数 y f (x) ,通过不断地把函数 y f (x) 的零点
所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
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（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间[a, b] ,验证 f (a) f (b) 0 ,给定精确度 ;②求区间 (a, b) 的中点 c ;③计算 f (c) ;
(ⅰ)若 f (c) 0 ,则 c 就是函数的零点;(ⅱ) 若 f (a) f (c) 0 ,则令 b c (此时零点 x0 (a, c) ); (ⅲ) 若 f (c) f (b) 0 ,则令 a c (此时零点 x0 (c,b) ); ④判断是否达到精确度 ,即 a b ,则得到零点近似值为 a (或 b );否则重复②至④步.
【解析】函数 f (x) = ax x a ( a 0 且 a 1)有两个零点，方程 a x x a 0 有两个不相等的实数根，即
两个函数 y a x 与 y x a 的图像有两个不同的交点，当 0 a 1 时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不
合题意；当 a 1 时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.
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【例8】方程 lg x x 0 根的个数为
D、 (11, ) 2
） （D
）
A、无穷多f(3) B、 3
C、 1
D、 0
【例9】用二分法研究函数 f (x) x3 3x 1的零点时，第一次经计算 f (0) 0，f (0.5) 0 ，可得其中一个零点
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x0 ，第二次应计算 A、（0，0.5）， f (0.25)
【经典例题】
【例 1】函数 f (x)=2x +x3 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是
（B
）
A、0 B、1 C、2 D、3
【解析】解法 1：因为 f (0)=1+0 2= 1， f (1)=2+23 2=8 ，即 f (0) f (1)<0 且函数 f (x) 在 (0,1) 内连续不断，
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【解析】∵f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－2<0，f(0)＝20＋0＝1>0，∴f(－1) f(0)<0.
∴ 8f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间为(－1,0)．
【例 3】下列函数中能用二分法求零点的是
( B ) ( C )
1
【例 4】若函数 f (x) ax x a ( a 0 且 a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是（1， ）.
【例 5】函数
f
(
x)
x2 2
2x ln
x,
3, x
x
0
0
，
零点个数为
（B ）
A、3 B、2 C、1
D、0
【例 6】若函数 f (x) x3 x2 2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f (1) = －2 f (1.375) = －0.260
f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162
③若函数 f (x) 在区间a,b上的图像是一条连续的曲线，则 f (a) f (b) 0 是 f (x) 在区间 a,b内有零点的充分不必要
条件。 2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数 y f (x) 在区间[a, b] 上的图象是连续不断的曲线，并且有 f (a) f (b) 0 ，那么， 函数 y f (x) 在区间 a,b内有零点，即存在 x0 (a,b) ，使得 f (x0) 0 ，这个 x0 也就是方程 f (x) 0 的根。
. 以上横线上应填的内容为
B、（0，1）， f (0.25)
(A)
C、（0.5，1）， f (0.75)
f (1.25) = －0.984 f (1.40625) = －0.054
那么方程 x3 x2 2x 2 0 的一个近似根（精确到 0.1）为
A、1.2
B、1.3
C、1.4
D、1.5
（ C）
【例 7】如果二次函数 y x2 x m 3 有两个不同的零点，则 m 的取值范围是
（C
A、 (11, ) B、 (,11) C、 (,11)
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故 f (x) 在 (0,1) 内的零点个数是 1.
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解法 2：设 y1=2x ， y2 =2 x3 ，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知 B 正确.
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【例 2】函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是
A、(4－2，－1) B、(－1,0)
C、(0,1)
D、(1,2)
函数与方程知识点总结
1、函数零点的定义
（1）对于函数 y f (x) ，我们把方程 f (x) 0 的实数根叫做函数 y f (x) 的零点。 （2）方程 f (x) 0 有实根 函数 y f (x) 的图像与 x 轴有交点 函数 y f (x) 有零点。因此判断一个函数是
否有零点，有几个零点，就是判断方程 f (x) 0 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程 f (x) 0 ，所得实数根就是 f (x) 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 f (x) 的变号零点。 ②若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 f (x) 的不变号零点。