圆心角和圆周角的综合应用

圆心角与圆周角复习一、知识梳理1、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．2、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．3、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．4、重要结论：圆的内接四边形对角互补习题库 一．同弧（等弧）所对的圆周角相等； 同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。

(1)同弧与圆心角、圆周角的关系1.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有 个.2. 如图，ABC △内接于圆O ，50A =∠，60ABC =∠，BD 是圆O 的直径， BD 交AC于点E ，连结DC ，则AEB ∠= .3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .4．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是C A上任意一点（不与C A 、重合），POC ABC ∠=∠则,55的取值范围是 ．(2)等弧与圆周角 1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5 个2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（ ） A.25º B.29º C.30º D.32°3.如图，点D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）。

A 、4 B 、3 C 、2 D 、14. 如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB, E 是AD 上一点，若∠BCD=350，则∠AED= .5.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 是BC 的中点，已知∠AOB=98°，∠COB=120°．则∠ABD 的度数是 .DBOAC（3）弦与圆心角、圆周角的关系 1、已知⊙O 中的弦AB 长等于半径，则弦AB 所对的圆周角为 和圆心角为 ． 2、一条弦分圆为1：4两部分，这弦所对的圆周角的度数为 。

3、 在⊙O 中，弦AB 把⊙O 分为度数比为15∶的两条弧，则弦AB 所对的圆周角的度数为 (4)1．如图，在O 中，AOB ∠的度数为m C ，是ACB 上一点，D E ，是AB 上不同的两点（不与A B ，两点重合），则D E ∠+∠的度数为（ ） A ．mB ．1802m-C ．902m +D ．2m2．如图.⊙O 中，AB 、AC 是弦，O 在∠ABO 的内部，α=∠ABO ，β=∠ACO ，θ=∠BOC ，则下列关系中,正确的是（ ） A.βαθ+= B. βαθ22+= C ．︒=++180θβα D. ︒=++360θβα3.如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E,的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC= .4. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB ≠AC ，∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交⊙O 于点D, E ，且BD=CE ，则∠A = .5.如图，在∆ABC 中，∠A=700，圆O 截∆ABC 的三条边所得的弦长都相等，求∠ABO 的度数。

(5)圆与内接四边形1．如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠= .2．如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 在劣弧CD 上不同于点C 得到任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．45B ．60C ．75D ．903．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=1600, 则∠BAD 的度数是 ，∠BCD 的度数O P D CBA是 .4. 如图，在⊙O中，弦AD//BC ,DA=DC, ∠AOC=1600，则∠BCO= .5．如图， AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC, D是BC上一点， P是AC上一点，若∠BDC=1500, 则∠APC= .(6)1. 如图，P为圆外一点，PA交圆于点A,B，PC交圆于点C, D, BD=750, AC=150，则∠P= .2. 如图，PB交⊙O于点A , B，PD交⊙O于点C , D，已知DQ=420 , BQ=380，则∠P＋∠Q的度数为 .3. 如图，∠A 的两边交⊙O 于点B . C , E , D ，若:::1:3:4:4BD BC CE DE =，则∠A 的度数为.4. 如图，AB 是半圆O 的直径，AC =600,020BE =，∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为 .5.如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD=DO.以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E ，交AB 于点F ，G ，连接EF.若∠BAC=22º，则∠EFG=__________.6.已知：如图，△ABC 的中，AB=AC ，点B 、C 都在⊙O 上，AB 、AC 交⊙O 于D 、E 两点， 求证：⋂⋂=CE BDEDOCBA二．在处理弧度问题，角度问题，弦的长度时，要适当的注意转换，比如：一些看似求角度相等的问题，我们可以转换成求弧度相等。

也就是在同圆或等圆中，如果知道圆心角、圆周角、弦心距、弧、弦这些量有一对量相等，就可以导出其它的量相等。

（1）1. 如图，D,E 分别是⊙O 的半径OA,OB 上的点,CD ⊥OA,CE ⊥OB,CD=CE,则AC 与CB 弧长的大小关系是 .2. 如图， A, B, C, D 四点都在⊙O 上， AD 是⊙O 的直径，且AD=6cm ，若∠ABC=∠CAD ．则弦AC= .3.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么BD ＝_________．4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且OD //AC ．求证：CD BDABCDO5. 如图，AB, CD 是⊙O 的两条弦，且AB=CD , 点M 是AC 的中点，求证：MB=MD.6.已知，如图，AE 是⊙O 的直径，AF ⊥BC 于D ，求证：BE ＝CF 。

7. 如图,AB, CD 是⊙O 的两条直径，过点A 作AE//CD 交⊙O 于点E ，连结BD , DE.求证：BD=DE.8.如图,平行四边形ABCD 中,以A 为圆心,AB 为半径的圆分别交AD 、BC 于F 、G,•延长BA 交圆于E.求证:EF=FG.9．已知：AB 是⊙O 的弦，D 是AB 的中点，过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ． 求证：AD ＝DCDoCFEBAGFEDCB A10.如图，⋂AB 的度数为900，点C 和点D 将⋂AB 三等分，半径OC 、OD 分别和弦AB 交于E 、F 。

求证：AE ＝CD ＝FB 。

11. 如图， AB 是⊙O 的直径，C, D 是AB 上的点，且AC=BD; P ，Q 是⊙O 上在AB 同侧的两点，且AP BQ =,延长PC, QD 分别交⊙O 于点M, N ．求证：AM BN =12.如图已知在⊙O 中，AB ＝CD ，AB 、CD 的延长线相交于⊙O 外一点P ，求证：PA ＝PC13.如图，P 为⊙O 的直径EF 延长线上一点，PA 交⊙O 于点B, A ，PC 交⊙O 于点D, C 两点，∠1=∠2，求证： PB=PD.14. 如图，在△ABC 中，AD, BE, CF 是三条高，交点为H ，延长AH 交外接圆于点M ， 试证：DH =DMDC O B A P15.如图，在△ABC 中，∠B = Rt ∠，∠A = 600，以点B 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 于点D,交BC 于点E ．求证： (1) 2AD ED =; ( 2 ) D 是AC 的中点．16.如图，在圆O 中，AB 是圆的直径，CD 是弦，AB ⊥CD.(1)点P 是弧CAD 上一点（不与C 、D 重合），求证：∠CPD=∠COB. (2)点P 是劣弧CD 上一点（不与C 、D 重合），∠CPD 与∠COB 有说明数量关系.17. 如图，BC 是⊙O 的直径，弦 AE ⊥BC ，垂足为点D,12AB BF =,AE 与BF 相交于点G.求证：(1)BE EF =；(2)BG=GE18. 如图，O 为等腰三角形ABC 的底边AB 的中点，以AB 为直径的半圆分别交AC, BC 于点E ，求证： (1 )∠AOE=∠BOD; (2 ) AD BE =.19.如图，△ABC 内接于圆⊙O,∠BAD=∠CAD,DE//AB,DE 交AC 于P,交⊙O 于E 。

求证：（1）OD 是BC 的中垂线； (2)AC=DE ；(3)PO 平分∠APD 。

20. 如图，MN 为半圆O 的直径，半径OA ⊥MN, D 为OA 的中点，过点D 作BC//MN ， 求证：( 1 ) 四边形ABOC 为菱形； (2)∠MNB=18∠BAC.21． 如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．22.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧CB ＝弧CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ． （1）试说明：DE ＝BF ；（2）若∠DAB ＝60°，AB ＝6，求△ACD 的面积．23．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ﹦BF ；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O 的半径为 ，CE 的长是 ．24.如图，BC 是半圆的直径，AD ⊥BC ，垂足为点D ，弧BA=弧AF,BF 与AD 交于点E. (1)求证：AE=BE.(2)若点A 、F 把半圆三等分，BC=12，求AE 的长。