专题四 规律探究题-2021年 中考 数学一轮考点复习练习
2021中考数学复习之规律探索题专项训练1(附答案详解)
1．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n×i＝（i4）n×i＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013+…+i2019的值为（ ）
6．已知： ， ， ，……，按此规律下去，则有式子： ____________．
7．下列图案是用长度相等的火柴按一定规律构成的图形，依此规律第 个图形中，共用火柴的根数是_____；
8．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2020的坐标为________________．
9．在一列数 ， ， ， ，…中，已知 （且 ）． ， ，…， ，则 __________．
10．观察下列数据： ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第19个数据是________.
11．蜜蜂采蜜时，如果蜜源很远它就会跳起“8字舞”，告诉同伴蜜源的方向．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蜜蜂由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，飞行2015厘米后停下，则这只蜜蜂停在_____点．
中考数学复习提分专练：规律探究问题(有答案)
2021届中考数学复习提分专练：规律探究问题一、单选题1.在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n )和芍药的数量规律，那么当11n =时，芍药的数量为( )A.84株B.88株C.92株D.121株2.“分母有理化”是根式运算的一种化简方法,7=+；除此之外,还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数,可以先设x =,再两边平方得22442x ==,又因为>,故0x >,解得x == ,根据以上方法,化简( )A.3-B.3+C.D.33.20182017的个位上的数字是( ) A ．9B ．7C ．3D ．14.如图，在平面直角坐标系上有个点()10A -，，点A 第1次向上跳动一个单位至点()111A -，，紧接着第2次向右跳动2个单位至点()211A ，，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A 第2017次跳动至点2017A 的坐标是( )A ．()5041008-，B ．()5051009-，C ．()5041009，D ．()5031008-， 5.观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…，将这种做法继续下去(如图2，图3，…)，则图6中挖去三角形的个数为( )A.121B.362C.364D.729 6.为求23201812222++++⋅⋅⋅+的值,可令23201812222S =++++⋅⋅⋅+,则23201922222S =+++⋅⋅⋅+,因此2019221S S -=-,所以23201820191222221++++⋅⋅⋅+=-,仿照以上推理计算出23201813333++++⋅⋅⋅+的值是( )A. 201931- B.201831- C.2019312- D.2018312- 7.有一列数123n a a a a ⋯，，，，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若12a =，则2011a 为（ ）A ．2011B ．2C ．1-D ．128.下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为( )A.18B.19C.20D.21二、填空题9.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有_________个三角形（用含n 的代数式表示）.10.在平面直角坐标系中，点()P x y ，经过某种变换后得到点(1,2)P y x '-++，我们把点(1,2)P y x '-++叫做点()P x y ，的终结点已知点1P 的终结点为2P ，点2P 的终结点为3P ，点3P 的终结点为4P ，这样由1P 依次得到234n P P P P ⋯，，，，若点1P 的坐标为()2,0，则点2017P 的坐标为___________.11.如图所示，①中多边形是由正三角形“扩展”而来的.②中多边形是由正方形“扩展”而来的……以此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 .12.已知12132110,,1,,a S S S S a S >==--=435311,,...S S S S =--=(即当n 为大于1的奇数时，11n n S S -=;当n 为大于1的偶数时，11n n S S -=--)，按此规律，2018S =_______. 三、解答题13.观察下列各式:()()111x x -÷-=；()()2111x x x -÷-=+； ()()32111x x x x -÷-=++； ()()432111xx x x x -÷-=+++；……(1)根据上面各式的规律可得()()11n x x -÷-= . (2)利用(1)的结论，求201820172221++⋯++的值.(3)若2201710x x x +++⋯+=，求2018x 的值.参考答案1.答案：B由图可得，芍药的数最为()421 48n n +-⨯=，所以当11n =时，芍药的数量为81188⨯=. 2.答案：D=93-=33=-= 故选：D. 3.答案：A12017个位是7；22017个位是9；32017个位是3；42017个位是1；52017个位是7；…201845042∴÷=⋯，20182017∴的个位上的数字与22017个位数字相同为：9．故选：A 4.答案：B解：设第n 次跳动至点n A ，观察，发现：()10A -，，()111A -，，()211A ，，()312A ，，()422A -，，()523A -，，()623A ，，()724A ，，()834A -，，()935A -，，…，()412n A n n ∴--，，()41121n A n n +--+，，()42121n A n n +++，，()43122n A n n +++，（n 为自然数）．201750441=⨯+，()2017504150421A ∴--⨯+，，即()5051009-，．故选：B ． 5.答案：C图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(13)+个小三角形，图3挖去中间的2(133)++个小三角形，…，则图6挖去中间的2345(133333)+++++个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，故选C.6.答案：C根据题中的推理，设123201813333S =++++⋅⋅⋅+，则2320182019333333S =+++⋅⋅⋅++,即20193231S S S -==-，所以2019312S -=,故选 C.7.答案：B由题意得，12a =211122a =-= 3121a =-=-41(1)2a =--=511122a =-= 6121a =-=-······由上可知，每三个数为一个循环201136701÷=201112a a ∴==，故选B.8.答案：C本题考查规律探索—图形变化类.通过观察可得到，第①个图形中实心圆点的个数为52112=⨯++，第②个图形中实心圆点的个数为82222=⨯++，第③个图形中实心圆点的个数为112332=⨯++，，∴第⑥个图形中实心圆点的个数为266220⨯++=，故选C.9.答案：(31)n +本题考查图形的变化规律.第1个图案有314+=个三角形,第2个图案有3217⨯+=个三角形,第3个图案有33110⨯+=个三角，…，∴第n 个图案有(31)n +个三角形.10.答案：()2,01P 的坐标为()2,0，则2P 的坐标为()1,4，3P 的坐标为()33-，，4P 的坐标为()21--，，5P 的坐标为()2,0，……，20172016145041=+=⨯+，2017P ∴与1P 重合，2017?P ∴的坐标为()2,011.答案：(1)n n +①正三角形"扩展”而来的多边形的边数是1234=⨯,②正四边形"扩展”而来的多边形的边数是2045=⨯ ③正五边形"扩展”而来的多边形的边数是3056=⨯,④正六边形"扩展"而来的多边形的边数是4267=⨯,.∴正边形n 扩展“而来的多边形的边数为(1)n n +12.答案：1a a+-121111,11a S S S a a a +==--=--=-,343211,11111a a S S S S a a a ==-=--=-=-+++,541(1)S a S ==-+,6576111(1)1,,...,S S a a S S a =--=+-===所以n S 的值没6个一循环.因为201833662=⨯+，所以201821a S S a+==- 13.答案：(1)121n n x x x --++⋯++ (2)()()12111nn n xx x x x ---÷-=++⋯++，()()20192018201721212221∴-+-=++⋯++201820172019222121∴++++=-.(3)()()12111nn n xx x x x ---÷-=++⋯++，()()2018201720161110x x x x x ∴-÷-=++⋯++=，201810x ∴-=， 20181x ∴=.。
题型(一) 规律探索题-2021年中考数学一轮复习知识考点课件(28张)
(4)当数字是分数或分数和整数结合时，先把这组数字中的所有整数写成分数，
再分别推断出分子与分母的数字变化规律.
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对点训练
1.如图是按一定规律排成的三角形数阵，按此数阵的排列规律，第9行从左
至右第5个数是( B )
A.2 10
B. 41
C.5 2
D. 51
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2.如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入k的值为125，则第2 021次输 出的结果是_____1_______.
A. 1
100
B. 1
20
C. 1
101
D. 2
101
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9.(2020·黔西南)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其 中第1个图形中一共有3个菱形，第2个图形中一共有7个菱形，第3个图形 中一共有13个菱形，……按此规律排列下去，第7个图形中菱形的个数为 ___5_7______.
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类型3 坐标的变化规律 题型精讲 3.如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将
正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°.当n＝2 021时，顶 点A的坐标为__(-_4_，__0_)_.
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【思路分析】连接OA，OF.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOF＝ 60°.因为正六边形每次旋转60°，所以每旋转6次正六边形回到初始位置，即 旋转一周.2 021÷6＝336……5，所以当n＝2 021时，正六边形旋转了336周零 5次，此时点A到达点B的位置.由AB＝4，点O为正六边形ABCDEF的中心， 易得△AOB是等边三角形，所以OB＝AB＝4，进而可得点A的坐标.
2021年中考数学专题复习：规律探究题
2021年中考数学专题复习：规律探究题规律探究题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探究规律 .它体现了“从特殊到一般(再到特殊)”数学思想方法，考查分析、解决问题的能力和观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．规律探究题问题常以填空题、选择题的压轴题形式出现．一、探究数字或算式的变化规律1. 计算11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋…＋137×39的结果是( ) A.1937 B.1939 C.3739 D.38392．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72019的结果的个位数字是( )A ．0B ．1C ．7D ．8 3．将正整数1至2 018按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是( )A ．2 019B ．2 018C ．2 016D ．2 0134．已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，5＋524＝52×524…若10＋b a ＝102×ba 符合前面式子的规律，则a ＋b ＝________.5．观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是( )A ．2S 2－SB ．2S 2＋SC ．2S 2－2SD ．2S 2－2S －26．观察“田”字中各数之间的关系：…，则c的值为___________________________________________________________．7．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是________．8．下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，……，第n 个数记为a n ，则a 4＋a 200＝________．9. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m 所表示的数是________．10．(2019·安徽)观察以下等式 ：第 1个等式 ：21＝11＋11，第 2个等式 ：23＝12＋16， 第 3个等式 ：25＝13＋115， 第 4个等式 ：27＝14＋128， 第 5个等式 ：29＝15＋145， ……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第 6个等式： ________________；(2)写出你猜想的第 n 个等式： ________________(用含 n 的等式表示 )，并证明． 11．观察下列一组数：a 1＝13，a 2＝35，a 3＝69，a 4＝1017，a 5＝1533，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n ＝________(用含n 的式子表示)．二、探究图形的变化规律1．如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是()2．如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为()A．28 B．29C．30D．313．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10…)和“正方形数”(如1，4，9，16…)，在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的值为()A．33B．301C．386D．5714．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2 020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2 020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是()A．C，E B．E，F C．G，C，E D．E，C，F5．如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，依此类推，这样连续旋转2 017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为()A ．2 017πB ．2 034πC ．3 024πD ．3 026π6．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2 018层的三角形个数为________．7．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n ＝________.第1幅 第2幅 第3幅 第n 幅8．如图，在以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D(不与点A ，C 重合)处，折痕是EF.,图1),图2),图3)如图1，当CD ＝12AC 时，tan α1＝34； 如图2，当CD ＝13AC 时，tan α2＝512； 如图3，当CD ＝14AC 时，tan α3＝724； …… …… ……依次类推，当CD ＝1n ＋1AC(n 为正整数)时，tan αn ＝__________. 9．如图，在①ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点D 1、D 2、D 3、D 4、…；过点D 1作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点E 1、F 1；过点D 2作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点E 2、F 2；过点D 3作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点E 3、F 3…，则4(D 1E 1＋D 2E 2＋…＋D 2019E 2019)＋5(D 1F 1＋D 2F 2＋…＋D 2019F 2019)＝________.三、探究坐标的变化规律1．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是( )A ．(1010，0)B ．(1010，1)C ．(1009，0)D ．(1009，1)2．我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )A ．(－6，24)B ．(－6，25)C ．(－5，24)D ．(－5，25)3．如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为(1，0)，以OA 1为直角边作Rt①OA 1A 2，并使①A 1OA 2＝60°，再以OA 2为直角边作Rt①OA 2A 3，并使①A 2OA 3＝60°，再以OA 3为直角边作Rt①OA 3A 4，并使①A 3OA 4＝60°…按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为_______________．4．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝x 和y ＝－12x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点A 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-211，作x 轴的垂线交l 1于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 1于点A 4，过点A 4作y 轴的垂线交l 2于点A 5……依次进行下去，则点A 2 018的横坐标为________．5．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为l ，其中l 0与y 轴重合．若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2，…，半径为n ＋1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为____________．(n 为正整数)6．如图，点A 1、A 3、A 5…在反比例函数y ＝kx (x>0)的图象上，点A 2、A 4、A 6…在反比例函数y ＝－kx (x>0)的图象上，①OA 1A 2＝①A 1A 2A 3＝①A 2A 3A 4＝…＝①α＝60°，且OA 1＝2，则A n (n 为正整数)的纵坐标为______________________________________．(用含n 的式子表示)7．在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，如图所示，依次作正方形OA 1B 1C 1，正方形C 1A 2B 2C 2，正方形C 2A 3B 3C 3，正方形C 3A 4B 4C 4，……，点A 1，A 2，A 3，A 4，…在直线l 上，点C 1，C 2，C 3，C 4，…在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是____________．参考答案一、探究数字或算式的变化规律1.B2.A3.D4. 1095. A6. 270(或28＋14)7. 2 0188. 201109. 4 10．(1)211＝16＋166 (2)22n －1＝1n ＋1n （2n －1）证明：∵右边＝1n ＋1n （2n －1）＝2n －1＋1n （2n －1）＝22n －1＝左边．∴等式成立 .11.n （n ＋1）2＋2n ＋1二、探究图形的变化规律1. D2.C3. C4. D5. D6. 4 0357. 1 0108. 2n ＋12n 2＋2n 9. 40 380三、探究坐标的变化规律1.C2.B3. (－22 017，22 0173)4. 21 0085. (n ，2n ＋1)6. (－1)n ＋13(n －n －1)或⎩⎪⎨⎪⎧3（n －n －1），n 为奇数3（n －1－n ），n 为偶数7. 2(2n －1)。
2021年内蒙古中考数学重点题型专项训练：规律探索题
规律探究题类型一数式规律★1.观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，那么第11个数是()A.－121B. －100C.100D. 121B【解析】本组数的第n个数的绝对值是(n－1)2，从第三个数开场，奇数项为负数，偶数项为正数，故第 11 个数是负数，绝对值是(11－1)2＝100，即第 11 个数是－100.★2.一列单项式：－a2，3a3，－5a4，7a5，…，按此规律排列，那么第 7 个单项式为________．－13a8n 为偶数时，符号为符号－＋－＋… 正，n为奇数时，符号为负∴第 7 个单项式为－13a8.28 11 14★3.按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，37 9 11 1713，…，按此规律，这列数中的第 100 个数是________．299201【解析】1＝55，观察这列数的规律，可以发现其分母为相邻两个数相差 2 的数列，分子为相邻两个数相差 3 的数列，由此可推断第 n 个数的分子为2＋3(n－1)＝3n－1，对应分母的值为 3＋2(n－1)＝2n＋1，∴第n个数为3n－1，令n＝100 2n＋1可得第 100 个数为299201.类型二 数式周期变化规律★1.如图，是一个数字程序运算框图，假设输入的 x 为 3，第一次运算后，输出的结果为13，第二次运算后，输出的结果为32，第三次运算后，输出的结果为－2，…，按照这样的规律，第 2021 次运算后，输出的结果为________．第 1 题图3【解析】根据题意，输入 3，∵3 为整数，∴第一次运算1 11 3 输出结果为 ，∵ 为分数，∴第二次运算输出结果为 1＝ ， 3 3 1－2 3∵32为分数，∴第三次运算输出结果为1－132＝－2，∵－2是整数，∴第四次运算输出结果为－12＝－12，∵－12是分数，∴第五次运算输出结果为11 ＝2，∵2是分数，∴第六1－〔－2〕33次运算输出结果为12＝3，∵3 是整数，∴第七次运算输出1－3结果为13，…，由此可知，输出结果呈循环规律，且循环结是6，∵2021÷6＝336……2，∴第 2021 次运算输出结果和第二 次运算输出结果一样，为32.类型三 图形累加规律★1.如图，用同样大小的黑色棋子按如下图的规律摆 放：第 1 题图那么第⑦个图案有________个黑色棋子．19【解析】列表如下：∴第⑦个图案中棋子的个数为 1＋3×(7－1)＝19.★2.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和 6 个等边三角形组成；第 2 个图由 2 个正六边形、11个正方形和 10 个等边三角形组成；第 3 个图由 3 个正六边形、16个正方形和 14 个等边三角形组成，…，按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．第 2 题图3＋9n【解析】如下表：第 n正六正方形等边三角形个图边形类型四图形循环规律★1.如图，在直角坐标系中，点A(－3，0)、B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3，…，那么△2021 中最小角的顶点坐标为________．第 1 题图(8068，0)【解析】在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝OA2＋OB2＝32＋42＝5，OA＋OB＋AB＝3＋4＋5＝12，由题图可知，每 3 个三角形为一个循环组依次循环，∵2021÷3＝672……2 ，∴△2021是第 673 个循环的第二个三角形，∴12×672＋4＝8068.△2021中最小角的顶点坐标为(8068，0)．★2.把多块大小不同的30°直角三角板如下图摆在平面直角坐标系中，第一块三角板 AOB 的一条直角边与 y 轴重合且点 A 的坐标为(0，1)，∠ABO＝30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边 AB 垂直且交 y 轴于点 B1；第三块三角板的斜边 B1B2与第二块三角板的斜边 BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y 轴于点B3；…，按此规律继续下去，那么点B2021的坐标为________.(0，－31009)【解析】∵A(0，1)，∴OA＝1，∵∠ABO＝30°，AO ＝3，∴B(－3，0)，同理tan∠ABO ∠AOB＝90°，∴BO＝可得 B 1(0，－3)，B2(33，0)，B3(0，9)，B4(－93，0)，…，∴B4n(－( 3)4n＋1，0)，B4n＋1(0，－(3)4n＋2)，B4n＋2((3)4n＋3，0)，B4n＋3(0，( 3)4n＋4)，∵2021÷4＝504……1，∴B2021(0，－(3)2021)，即B 2021(0，－31009)．类型五图形递变规律★1.如图，OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以 OA1为直角边作等腰直角三角形 A2A1O，如此下去，那么线段 OA n的长度为________．第 1 题图n(2)n(或22 )【解析】由等腰直角三角形的性质可知，OA1＝2OB＝2，OA 2＝2OA1＝2×2＝2，OA3＝2OA2＝2×2n＝22，…，OA n＝(2)n＝22 .★2.如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为 60°，过点A(0，1)作y轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1，以 A1B、BA为邻边作▱ ABA1C1；过点 A1作 y轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点B1作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2，以A2B1、B1A1为邻边作第 2 题图▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，那么点 C n的坐标是________．(－3×4n -1，4n)【解析】∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为 60°，∴直线l的解析式为y＝33x.∵AB⊥y轴，点 A(0，1)，∴可设 B 点坐标为(x，1)，将 B(x，1)代入 y＝33x，得1＝33x，解得 x＝3，∴B点坐标为(3，1)，AB＝ 3.在 Rt △A 1AB 中，∠AA 1B ＝90°－60°＝30°，∠A 1AB ＝ 90° ， ∴AA 1 ＝ 3 AB ＝ 3 ， OA 1 ＝OA ＋AA 1 ＝ 1 ＋ 3 ＝ 4.∵ 在▱ ABA 1C 1 中，A 1C 1＝AB ＝3，∴C 1 点的坐标为(－3，4)，即(－3×40，41)；由 33x ＝4，解得 x ＝43，∴B 1 点坐标为(43，4)，A 1B 1＝4 3.在 Rt △A 2A 1B 1 中，∠A 1A 2B 1＝30°，∠A 2A 1B 1＝90°，∴A 1A 2＝3A 1B 1＝12，OA 2＝OA 1＋A 1A 2＝4＋12＝16，∵在▱ A 1B 1A 2C 2 中，A 2C 2＝A 1B 1＝43，∴C 2 点的坐标为(－43，16)，即(－3×41，42)；同理可得 C 3 点的坐标为(－163，64)，即(－3×42，43)；以此类推，那么 C n 的坐标是(－3×4n-1，4n ).。
2021年初三年级中考数学《规律探索》精选
2021年初三年级中考数学《规律探索》精选----1b656300-6ea2-11ec-8de2-7cb59b590d7d一.选择题1.我们将图中所示两种排列形式中的点数称为“三角形数”（如1、3、，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）a．33b．301c．386d．5712.如图所示，下列数字是根据一定规律由相同的玫瑰制成的。
如果第n个数字中有120朵玫瑰，则n的值为(）a、 b。
中空白处的是（）a．28b．29c．30d．313.如图所示，小正方形是按照一定的规则放置的。
以下四个选项中的图片适用于填充图b.c．d．一百二十三万四千五百六十七4.观察下列算式：2=2，2=4，2=8，2=16，2=32，2=64，2=128，8234510182=256…，则2+2+2+2+2+…+2的末位数字是（）a．8b、六,c．4d、 0二填空题1.如图所示，在平面直角坐标系中，△ p1oa1，△ p2a1a2，△ p3a2a31等腰直角三角形，其直角顶点p（3），p2，p3，…均在直线y=x+4上．设△p1oa1，△p2a1a2，△p3a2a3，…的面积分别为13，3s1，S2，S3，。
，根据图中反映的规律，s2022=2.如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点a1的坐标为（1，0），交叉点A1作为x轴的垂直线，在点D1处与线L相交，以a1d1为边，形成正方形a1b1c1d1；使直线L的垂直线穿过点C1，垂直底脚为A2，在点B2处与x轴相交，并以a2b2为边制作一个正方形a2b2c2d2；交叉点C2作为x轴的垂直线，垂直底脚为A3，交叉线L在点D3处，以a3d3为边，形成正方形a3b3c3d3，。
根据本法操作得到的平方面积为___3.如图，在平面直角坐标系中，点a1，a2，a3，…和b1，b2，b3，…分别在直线y=x+b和x轴上．△oa1b1，△b1a2b2，△b2a3b3，…都是等腰直角三角形．如果点a1（1，1），那么点a2021的纵坐标是十五4.已知：2+222323424525b2b=2×，3+=3×，4+=4×，5+=5×，…，如果根据上一公式的规则338815152424aa，10+=10×则a+B=4.将从1开始的连续自然数按如图规律排列：指定行m和列n中的自然数10被记录为（3, 2），自然数15被记录为（4, 2），根据该定律，自然数2022被记录为：的结果的个位数字是．01234501220225.观察下列等式：3=1，3=3，3=9，3=27，3=81，3=243，…，根据其中规律可得3+3+3+…+36.如图所示，已知等边的边长△ ABC是2。
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。
中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
2021年九年级中考数学复习高频考点特训集中营(《规律探究问题》高频考题专项目练习)
2021年中考数学复习高频考点特训集中营 （《规律探究类问题》频考题专项练习）题型一：图形类探究问题1. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）A ．10B ．15C ．18D ．212. 人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n 个图形用图○n 表示，那么图○50中的白色小正方形地砖的块数是（ ）A ．150B ．200C ．355D ．5053. 下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定的规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形有8个实心圆点，第③个图形有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中的实心圆点的个数为 。
…①②4. 下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）……A ．135B ．153C ．170D ．1895. 如图是－组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10 个三角形．．．按此规律摆下去，第n 个图案有_________个三角形（用含n 的代数式表示）．类型二：数字、数式类规律探究问题1. 观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2－SB ．2S 2＋SC ．2S 2－2SD ．2S2－2S －22. 观察下列按一定规律排列的n 个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个 数之和是3000，则n 等于（ ）A ．499B ．500C ．501D ．10023. 按一定规律排列的单项式：a ，﹣2a ，4a ，﹣8a ，16a ，﹣32a ，…，第n 个单 项式是（ ） A ．（﹣2）n ﹣1a B ．（﹣2）n a C ．2n ﹣1a D ．2n a4. 观察下列等式： 2+22＝23﹣2； 2+22+23＝24﹣2； 2+22+23+24＝25﹣2； 2+22+23+24+25＝26﹣2； …已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m ，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝ （结果用含m 的代数式表示）． 5. 右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，......，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，......，第n 个数记为a n ，则a 4＋a 200﹦___________．6. 观察下面的变化规律：212112112111,,,133353557577979=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯，……根据上面的规律计算：222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯__________．7. 观察下列各式的规律：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1． 请按以上规律写出第4个算式______． 用含有字母的式子表示第n 个算式为______．类型三：规律探究+函数综合题1. 如图，点123,,A A A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，点123,,n B B B B 在y 轴上，且11212323B OA B B A B B A ∠=∠=∠=，直线y x =与双曲线1y x=交于点111122123322,,A B A OA B A B A B A B A ⊥⊥⊥，，则n B （n 为正整数）的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为)，将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段 OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此 下去，得到线段OP 4、OP 5... OP n （n 为正整数） ，则点P 2020的坐标是 .3. 如图，直线y =−√3x+b 与y 轴交于点A ，与双曲线y =kx 在第三象限交于 B 、C 两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…的边 OE 1，E 1E 2，E 2E 3，…在x 轴上，顶点D 1，D 2，D 3，…在该双曲线第一象限的分支 上，则k ＝ ，前25个等边三角形的周长之和为 ．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线:l y x =x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________5. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A 3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，42），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+122，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是．题型四：综合类规律探究问题1.如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（）A ．（√2）nB ．（√2）n ﹣1C ．（√22）nD ．（√22）n ﹣12. 如图，∠MON=30˚，在OM 上截取OA1.过点A 1作A 1B 1⊥OM ，交ON 于点B 1,以点B 1为圆心，B 1O 为半径画弧，交OM 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥OM ，交ON 于点B 2,以点B 2为圆心，B 2O 为半径画弧，交OM 于点A 3； 按此规律，所得线段A 20B 20的长等于 .2. 如图，四边形ABCD 是正方形，曲线11112DA B C D A 是由一段段90度的弧组成的．其中：1DA 的圆心为点A ，半径为AD ；11A B 的圆心为点B ，半径为1BA ； 11B C 的圆心为点C ，半径为1CB ； 11C D 圆心为点D ，半径为1DC ；…1111111,,,,DA A B B C C D 的圆心依次按点A ，B ，C ，D 循环．若正方形ABCD 的边长为1，则20202020A B 的长是_________．3.如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是C的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为．（用含正整数n的式子表示）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN ＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN ＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN ＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是．。
2021中考数学复习之规律探索题专项训练1(附答案详解)
（2）如图2， 行 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： ________；
（运用）：（3） 边形有 个顶点，在它的内部再画 个点，以（ ）个点为顶点，把 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得 个这样的三角形．当 ， 时，如图，最多可以剪得 个这样的三角形，所以 ．
（2）根据（1）中的结果，将你发现的规律，用含有自然数 （ ）的式子表示出来；
（3）请说明你所发现的规律的正确性．
24．阅读材料：
材料一：对实数a、b，定义 的含义为：当 时， ；当 时， ．例如： ； ．
材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问： 据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： ．也可以这样理解：令 ①，则 ②，①+②： ，即 ．
【解析】
【分析】
根据已知的式子找出规律，发现4次一循环，一个循环内的和为0，从而得出2019内的循环次数．
【详解】
解：由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝(﹣1)•i＝﹣i，i4＝(i2)2＝(﹣1)2＝1，i5＝i4•i＝i，i6＝i5•i＝﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵ ＝504…3，
∴i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019＝i﹣1﹣i＝﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法中的新定义问题，解题的关键是理解运算法则，通过计算找出规律．
中考数学复习《探索规律问题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《探索规律问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解探索规律问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或填空题中的压轴题形式出现，主要命题方向有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等．基本解题思路为：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，最后验证结论的正确性．即“从特殊情形入手→探索发现规律→猜想结论→验证”．类型一数式规律这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．例1 (2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an ，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝．【分析】首先计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4的值，然后总结规律根据规律得出结论，进而求出a399＋a400的值．【自主解答】∵a1＋a2＝1＋3＝4＝22，a2＋a3＝3＋6＝9＝32，a3＋a4＝6＋10＝16＝42，…，∴an ＋an＋1＝(n＋1)2.∴a399＋a400＝4002＝160 000.故答案为160 000.变式训练：1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．2．(2017年黄石)观察下列格式：=1﹣=+=1﹣+﹣=++=1﹣+﹣+﹣=…请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数）．（写出最简计算结果即可）类型二图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．例2 (2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A．64 B．77 C．80 D．85【分析】观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．【自主解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：+12=4，第二个图形为：+22=6，第三个图形为：+32=10，第四个图形为：+42=15 …，所以第n个图形为：+n2，当n=7时，+72=85，故选D．变式训练：3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为( )A．84株 B．88株 C．92株 D．121株4．(2015·德州)如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠A＝60°.取AB的中点A1，连接A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连接D1C1，得到四边形A1BC1D1.如图2，同样方法操作得到四边形A2BC2D2，如图3，…，如此进行下去，则四边形An BCnDn的面积为_______类型三点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．例3 (2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．21433an【分析】先根据直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标．【自主解答】解：由直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（﹣，0），∴OB1=1，∠OB1D=30°，如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=OB1=，即A1的横坐标为=，由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B=A1B2=1，即A2的横坐标为+1==，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，即A3的横坐标为+1+2==，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4==，由此可得，An的横坐标为，∴点A2017的横坐标是，故答案为：．变式训练5．(2016·德州)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2 017的坐标为__6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形An Bn－1Bn顶点Bn的横坐标为___。
2021中考数学冲刺专题训练规律探索型问题含解析
规律探索型问题一、选择题（本大题共8个小题.每小题5分.共40分．在每小题给出的四个选项中.只有一个选项是符合题目要求的）1．观察下列等式：01234571,77,749,7343,72401,716807,,====== 根据其中的规律可得01220197777++++的结果的个位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．8【答案】A 【解析】∵01234571,77,749,7343,72401,716807,,======∴个位数4个数一循环. ∴()201914505+÷=. ∴179320+++=. ∴01220197777++++的结果的个位数字是：0．故选A ．2．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1.3.6.10…）和“正方形数”（如 1.4.9.16…）.在小于200的数中.设最大的“三角形数”为m.最大的“正方形数”为n.则m+n 的值为（ ）A ．33B ．301C ．386D ．571【答案】C 【解析】由图形知第n 个三角形数为1+2+3+…+n=()12n n +.第n 个正方形数为n 2.当n=19时.()12n n+=190＜200.当n=20时.()12n n+=210＞200.所以最大的三角形数m=190；当n=14时.n2=196＜200.当n=15时.n2=225＞200.所以最大的正方形数n=196.则m+n=386.故选C．3．已知有理数1a≠.我们把11a-称为a的差倒数.如：2的差倒数是1=-112-.-1的差倒数是11=1(1)2--．如果12a=-.a2是a1的差倒数.a3是a2的差倒数.a4是a3的差倒数……依此类推.那么12100a a a+++的值是（）A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5【答案】A【解析】∵12a=-.∴2111(2)3a==--.3131213a==-.412312a==--.……∴这个数列以-2.13.32依次循环.且1312326-++=-.∵1003331÷=.∴121001153327.562a a a⎛⎫+++=⨯--=-=-⎪⎝⎭.故选：A．4．如图.小正方形是按一定规律摆放的.下面四个选项中的图片.适合填补图中空白处的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知.原图形中各行、各列中点数之和为10.符合此要求的只有：故选C．5．将正整数1至2018按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框.方框中三个数的和可能是（）A．2019 B．2018 C．2016 D．2013 【答案】D【解析】设中间数为x.则另外两个数分别为x﹣1、x+1.∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）=3x.根据题意得：3x=2019或3x=2018或3x=2016或3x=2013.解得：x=673或x=67223（舍去）或x=672或x=671.∵673=84×8+1.∴2019不合题意.舍去；∵672=84×8.∴2016不合题意.舍去；∵671=83×7+7.∴三个数之和为2013. 故选D ．6．下面摆放的图案.从第二个起.每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到.第2019个图案中箭头的指向是( )A ．上方B ．右方C ．下方D ．左方【答案】C 【解析】如图所示：每旋转4次一周.2019÷4＝504…3.则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致.箭头的指向是下方. 故选C.7．观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-⋅⋅⋅已知按一定规律排列的一组数：502、512、522、⋅⋅⋅、992、1002．若502a =.用含a 的式子表示这组数的和是（ ） A ．222a a - B ．2222a a -- C ．22a a - D ．22a a +【答案】C 【解析】250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a ＋2a ＋22a ＋…＋250a ＝a ＋(2＋22＋…＋250)a. ∵232222+=-.23422222++=-. 2345222222+++=-.….∴2＋22＋…＋250＝251－2. ∴250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝a ＋(2＋22＋…＋250)a ＝a ＋(251－2)a＝a ＋(2 a －2)a ＝2a 2－a . 故选C.二、填空题（本大题共4个小题.每小题6分.共24分）9．观察下列图中所示的一系列图形.它们是按一定规律排列的.依照此规律.第2019个图形中共有_____个〇．【答案】6058 【解析】 由图可得.第1个图象中〇的个数为：1314+⨯=. 第2个图象中〇的个数为：1327+⨯=. 第3个图象中〇的个数为：13310+⨯=. 第4个图象中〇的个数为：13413+⨯=. ……∴第2019个图形中共有：132019160576058+⨯=+=个〇. 故答案为：6058．10．将被3整除余数为1的正整数.按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043则第20行第19个数是_____________________ 【答案】625 【解析】由图可得.第一行1个数.第二行2个数.第三行3个数.….则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数. ∴第20行第20个数是：1+3（210-1）=628. ∴第20行第19个数是：628-3=625. 故答案为：625．11．数轴上,O A 两点的距离为4.一动点P 从点A 出发.按以下规律跳动：第1次跳动到AO 的中点1A 处.第2次从1A 点跳动到1A O 的中点2A 处.第3次从2A 点跳动到2A O 的中点3A 处．按照这样的规律继续跳动到点456,,,,n A A A A （3n ≥.n 是整数）处.那么线段n A A 的长度为_______（3n ≥.n 是整数）．【答案】2142n --【解析】 由于OA=4.所有第一次跳动到OA 的中点A 1处时.OA 1=12OA=12×4=2. 同理第二次从A 1点跳动到A 2处.离原点的（12）2×4处.同理跳动n 次后.离原点的长度为（12）n ×4=n-212.故线段A n A 的长度为4-n-212（n≥3.n 是整数）．故答案为4-n-212．12．如图.在11A C O 中.1112A C A O ==.1130AOC ∠=︒.过点1A 作121AC OC ⊥.垂足为点2C .过点2C 作2211C A C A 交1OA 于点2A .得到221A C C ；过点2A 作231A C OC ⊥.垂足为点3C .过点3C 作3311C A C A 交1OA 于点3A .得到332A C C ；过点3A 作341A C OC ⊥.垂足为点4C .过点4C 作4411C A C A 交1OA 于点4A .得到443A C C ；……按照上面的作法进行下去.则11n n n A C C ++的面积为_____．（用含正整数n 的代数式表示）3【解析】由等腰三角形的性质得出221OC C C =.由含30°角直角三角形的性质得出121112AC OA ==. 解：1112A C A O ==.121AC OC ⊥.221OC C C ∴=. 1130AOC ∠=︒.121112AC OA ∴==. 2212112221231C C AC AC ∴=-=-=2211C A C A . 2211OA C OAC ∴∽. 222111A C OC A C OC ∴=. 2211112A C AC ∴==. 同理.23121122A C AC ==. 221122311133222A C C SC C A C ∴=⋅==同理.22232222231312C C A C A C ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭33221122A C A C ==. 342311112224A C A C ==⨯=.3322334111224A C C SC C A C ∴===⋅.同理.34C C ===. 44331124A C A C ==. 45341128A C A C ==.4433445311122484A C C SC C A C ∴=⋅=⨯=….11n n nA C C S++∴=故答案为：4n．三、解答题（本大题共3个小题.每小题12分.共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．观察以下等式:第1个等式:211=111+. 第2个等式:211=326+.第3个等式:211=5315+.第4个等式:211=7428+.第5个等式:211=9545+.……按照以上规律.解决下列问题：（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示).并证明. 【答案】（1）211=11666+；（2）21121(21)n n n n =+--.见解析. 【解析】解：（1）第6个等式：211=11666+（2）211=2n-1n n 2n-1+（）证明：∵右边112n-1+12====n n 2n-1n 2n-12n-1+（）（）左边. ∴等式成立 14．（阅读理解）用1020cm cm ⨯的矩形瓷砖.可拼得一些长度不同但宽度均为20cm 的图案．已知长度为10cm 、20cm 、30cm 的所有图案如下：（尝试操作）(1)如图.将小方格的边长看作10cm .请在方格纸中画出长度为40cm 的所有图案．（归纳发现）(2)观察以上结果.探究图案个数与图案长度之间的关系.将下表补充完整． 图案的长度 10cm 20cm 30cm 40cm50cm60cm所有不同图案的个数 123【答案】(1)见解析；(2)4.5.6. 【解析】 (1)如图：根据作图可知40cm 时.所有图案个数4个；(2)50cm时.如图所示.所有图案个数5个；同理.60cm时.所有图案个数6个.故答案为4.5.6.15．问题提出：如图.图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片.图②是一张a× b 的方格纸（a× b的方格纸指边长分别为a.b 的矩形.被分成a× b个边长为 1 的小正方形.其中a≥2 . b≥2.且a.b 为正整数）．把图①放置在图②中.使它恰好盖住图②中的三个小正方形.共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律.我们采用一般问题特殊化的策略.先从最简单的情形入手.再逐次递进.最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2× 2的方格纸中.使它恰好盖住其中的三个小正方形.共有多少种不同的放置方法？如图③.对于2×2的方格纸.要用图①盖住其中的三个小正方形.显然有 4 种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中.使它恰好盖住其中的三个小正方形.共有多少种不同的放置方法？如图④.在3×2的方格纸中.共可以找到 2 个位置不同的2 ×2方格.依据探究一的结论可知.把图①放置在3×2 的方格纸中.使它恰好盖住其中的三个小正方形.共有 2 ×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a ×2 的方格纸中.使它恰好盖住其中的三个小正方形.共有多少种不同的放置方法？如图⑤. 在a ×2 的方格纸中.共可以找到______个位置不同的2×2方格.依据探究一的结论可知.把图①放置在a× 2 的方格纸中.使它恰好盖住其中的三个小正方形.共有______种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a ×3 的方格纸中.使它恰好盖住其中的三个小正方形.共有多少种不同的放置方法？如图⑥.在a×3 的方格纸中.共可以找到______个位置不同的2×2方格.依据探究一的结论可知.把图①放置在a ×3 的方格纸中.使它恰好盖住其中的三个小正方形.共有_____种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在 a ×b的方格纸中.使它恰好盖住其中的三个小正方形.共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法.写出解答过程.不需画图．）问题拓展：如图.图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体.图⑧是一个长、宽、高分别为 a.b .c （a≥2 . b≥2 . c≥2 .且 a.b.c 是正整数）的长方体.被分成了a×b×c个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．【答案】探究三：1a -. 44a -；探究四：2(a-1). 88a -；问题解决：共有4(1)(1)a b --种不同的放置方法；问题拓展：8(a-1)(b-1)(c-1).【解析】探究三：根据探究二.a×2的方格纸中.共可以找到（a-1）个位置不同的 2×2方格.根据探究一结论可知.每个2×2方格中有4种放置方法.所以在a×2的方格纸中.共可以找到（a-1）×4=（4a-4）种不同的放置方法；故答案为a-1.4a-4；探究四：与探究三相比.本题矩形的宽改变了.可以沿用上一问的思路：边长为a.有（a-1）条边长为2的线段. 同理.边长为3.则有3-1=2条边长为2的线段.所以在a×3的方格中.可以找到2（a-1）=（2a-2）个位置不同的2×2方格.根据探究一.在在a×3的方格纸中.使它恰好盖住其中的三个小正方形.共有（2a-2）×4=（8a-8）种不同的放置方法．故答案为2a-2.8a-8；问题解决：在a×b 的方格纸中.共可以找到（a-1）（b-1）个位置不同的2×2方格.依照探究一的结论可知.把图①放置在a×b 的方格纸中.使它恰好盖住其中的三个小正方形.共有4（a-1）（b-1）种不同的放置方法；问题拓展：发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分.利用前面的思路.这个长方体的长宽高分别为a 、b 、c.则分别可以找到（a-1）、（b-1）、（c-1）条边长为2的线段.所以在a×b×c的长方体共可以找到（a-1）（b-1）（c-1）位置不同的2×2×2的正方体. 再根据探究一类比发现.每个2×2×2的正方体有8种放置方法.所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a-1）（b-1）（c-1）个图⑦这样的几何体；故答案为8（a-1）（b-1）（c-1）．。
安徽省2021年中考数学题型专项复习训练：题型四 规律探索题
题型四 规律探索题类型1 数与式的规律探索1.[2020云南]按一定规律排列的单项式:a ,-2a ,4a ,-8a ,16a ,-32a ,…,第n 个单项式是 ( )A.(-2)n -1aB.(-2)n aC.2n -1aD.2n a2.[2020湖南娄底]下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,x 的值为( )A.135B.153C.170D.1893.[2020山东滨州]观察下列各式:a 1=23,a 2=35,a 3=107,a 4=159,a 5=2611,…,根据其中的规律可得a n = (用含n 的式子表示).4.[2014安徽]观察下列关于自然数的等式: 32-4×12=5;① 52-4×22=9;② 72-4×32=13;③ …根据上述规律解决下列问题:(1)完成第④个等式:92-4×( )2=( );(2)写出你猜想的第个等式(用含n 的式子表示),并验证其正确性.5.[2020合肥包河区二模]观察以下等式: 第1个等式:23-22=13+1×2+1; 第2个等式:33-32=23+2×3+22; 第3个等式:43-42=33+3×4+32;……按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第4个等式: ;(2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的等式表示),并证明.6.[2020安庆一模]有下列等式: 第1个等式:34=1-14; 第2个等式:37=12-114; 第3个等式:310=13-130; 第4个等式:313=14-152; ……请你按照上面的规律解答下列问题:(1)第5个等式是 ;(2)写出你猜想的第n 个等式: (用含n 的等式表示),并证明其正确性.7.[2019合肥50中三模]观察以下等式: 第1个等式:(1-12)÷16=3; 第2个等式:(1-13)÷412=2; 第3个等式:(1-14)÷920=53; 第4个等式:(1-15)÷1630=32; 第5个等式:(1-16)÷2542=75; ……按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第7个等式: ;(2)写出你猜想的第n 个等式(n 为正整数),并证明.8.[2020合肥瑶海区二模]31×2×22+42×3×23+53×4×24+…+20212019×2020×22020.为了找到复杂计算问题的结果,可以将问题分解,寻找算式中每个式子存在的规律,然后借助这个规律将问题转化为可以解决的简单问题,下面我们尝试着用这个思路来解决上面的问题.请你按照这个思路继续进行下去,并填空.分解问题第1个加数31×2×22=11×2-12×22;第2个加数42×3×23=12×22-13×23;第3个加数53×4×2=13×2-14×2;第4个加数64×5×25=14×24-15×25.总结规律第n个加数=-.解决问题请你利用上面找到的规律,化简题目给出的算式.(结果只需简化,不需求出最后得数) 9.[2020芜湖一模改编]观察下列数据:第1列第2列第3列第4列…第n列第1行 1 2 3 4 …n第2行 2 4 6 8 …2n第3行 3 6 9 12 …3n第4行 4 8 12 16 …4n…………………第n行n2n3n4n…n2请回答:(1)第1行所有数字之和为n(n+1)2(用含字母n的式子表示);(2)表格中第n行所有数字之和为n2(n+1)2,表格中所有数字之和为n2(n+1)24,表格由(n-1)行(n-1)列变为n行n列时,所有数字之和增加了(用含字母n的式子表示,n>5);(3)根据以上信息,计算13+23+33+ (1003)类型2图形中的规律探索10.[2020重庆A卷]把黑色三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有1个黑色三角形,第②个图案中有3个黑色三角形,第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去,则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()A.10B.15C.18D.2111.[2020山东聊城]人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成,如图中的每一个小正方形表示一块地砖,如果按图中所示规律铺设地砖,那么第个图形中的白色小正方形地砖的块数是()A.150B.200C.355D.50512.[2020黑龙江大庆]如图,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第20个图需要黑色棋子的个数为.第1个图第2个图第3个图第4个图13.[2020海南]海南黎锦有着悠久的历史,已被列入世界非物质文化遗产名录.如图是黎锦上的图案,每个图案都是由相同的菱形构成的,若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案,则第5个图中有个菱形,第n个图中有个菱形(用含n的代数式表示).14.[2013安徽]我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图(1)所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图(2),图(3)……图(1)图(2)图(3)(1)观察以上图形并完成下表:图形的名称基本图的个数特征点的个数图(1) 1 7图(2) 2 12图(3) 3 17图(4) 4 22………猜想:在图(n)中,特征点的个数为(用n表示);(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则=√3;图(2 013)的对称中心的横坐标为.x1图(n)15.用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片,按下图方式拼正方形.图(1)中有1个正方形; 图(2)中有1+3=4(个)小正方形; 图(3)中有1+3+5=9(个)小正方形; 图(4)中有1+3+5+7=16(个)小正方形; ……(1)根据上面的规律,我们可以猜想:1+3+5+7+...+(2n-1)= n 2 (用含n 的代数式表示),并证明. (2)请根据你的发现计算:①1+3+5+7+ (99)②101+103+105+ (199)16.[2019宣城二模]如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME -7)的会徽,会徽的主体图案是由如图(2)所示的一连串直角三角形演化而成的,其中OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A 7A 8=1,所以OA 2=√12+12=√2,OA 3=√12+2=√3,OA 4=√12+3=√4=2,…,把△OA 1A 2的面积记为S 1,则S 1=12×1×1=12,把△OA 2A 3的面积记为S 2,则S 2=12×√2×1=√22,把△OA 3A 4的面积记为S 3,则S 3=12×√3×1=√32……如果按照此规律继续作直角三角形,请解答下列问题.(1)填空:OA n=,S n=;(2)求出S12+S22+S32+…+S882的值.图(1)图(2)17.[2020合肥45中三模]下列每个图形都是由大小相同的“★”组成的.(1)第5个图形有枚“★”,第n个图形有枚“★”.(2)是否存在整数n,使第n个图形有2 020枚“★”?若存在,求出n,若不存在,请说明理由.18.[2016安徽](1)观察下列图形与等式的关系,并填空:(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中“”的个数,用含有n的代数式填空: 1+3+5+…+(2n-1)+()+(2n-1)+…+5+3+1=.参考答案题型四规律探索题1.A易知第1个单项式a=(-2)1-1a,第2个单项式-2a=(-2)2-1a,第3个单项式4a=(-2)3-1a,第4个单项式-8a=(-2)4-1a,第5个单项式16a=(-2)5-1a……由此规律可知,第n个单项式为(-2)n-1a.2.C观察正方形内左下和右上数的规律,2×2=4,2×3=6,2×4=8,…,∴2b=18,∴b=9.观察正方形内左上和左下数的规律,2-1=1,3-2=1,4-3=1,…,∴b-a=1,∴a=8.观察正方形内右下同其他三格数的规律,2×4+1=9,3×6+2=20,4×8+3=35,…,∴18b+a=x,∴x=18×9+8=170.3.n 2+(−1)n+12n+1∵a1=23=12+12×1+1,a2=35=22-12×2+1,a3=107=32+12×3+1,a4=159=42-12×4+1,a5=2611=52+12×5+1,…,∴a n=n2+(−1)n+12n+1.4~9.略10.B第①个图案中黑色三角形的个数为1;第②个图案中黑色三角形的个数为1+2=3;第③个图案中黑色三角形的个数为1+2+3=6;第④个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4=10;第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5=15.故选B.11.C根据图形规律可知,第①个图形中的白色小正方形地砖的块数为12=5×3-3×1;第②个图形中的白色小正方形地砖的块数为19=5×5-3×2;第③个图形中的白色小正方形地砖的块数为26=5×7-3×3……则第个图形中白色小正方形地砖的块数是5(2n+1)-3n=7n+5,故第个图形中的白色小正方形地砖的块数是7×50+5=355.12.440观察题图,可知第1个图中黑色棋子的个数为3=1×3;第2个图中黑色棋子的个数为8=2×4;第3个图中黑色棋子的个数为15=3×5;第4个图中黑色棋子的个数为24=4×6……依此类推,第n个图中黑色棋子的个数为n(n+2).故第20个图需要黑色棋子的个数为20×(20+2)=440.13.412n2-2n+1观察题图,可知第1个图中菱形的个数为1=12+02,第2个图中菱形的个数为5=22+12,第3个图中菱形的个数为13=32+22,第4个图中菱形的个数为25=42+32,∴第5个图中菱形的个数为52+42=41,第n个图中菱形的个数为n2+(n-1)2=n2+n2-2n+1=2n2-2n+1.14~18.略。
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专题四规律探究题类型探究数字或算式的变化规律1. (2019·贺州)计算11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋…＋137×39的结果是(B)A. 1937 B.1939 C.3739 D.38392．(2019·常德)观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72 019的结果的个位数字是(A)A．0B．1 C．7D．83．(2018·武汉)将正整数1至2 018按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是(D)A．2 019B．2 018C．2 016D．2 0134．(2020·天水)观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是(A)A ．2S 2－SB ．2S 2＋SC ．2S 2－2SD ．2S 2－2S －25．(2018·临安)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，5＋524＝52×524…若10＋b a ＝102×ba 符合前面式子的规律，则a ＋b ＝__109__． 6．(2018·咸宁)按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：12，16，112，120，…，则这个数列的前2 018个数的和为__2 0182 019__．7．(2018·泰安)观察“田”字中各数之间的关系：则c 的值为__270(或28＋14)__．8．(2018·淄博)将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是__2__018__．第8题9．(2019·枣庄)观察下列各式： 1＋112＋122＝1＋11×2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12， 1＋122＋132＝1＋12×3＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13， 1＋132＋142＝1＋13×4＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14，…请利用你发现的规律，计算： 1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋ (1)12 0182＋12 0192，其结果为__2__0182 0182 019__.10．(2020·泰安)下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，……，第n 个数记为a n ，则a 4＋a 200＝__20__110____．类型探究图形的变化规律1．(2019·枣庄)如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是( D )2．(2018·烟台)如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n 个图形中有120朵玫瑰花，则n 的值为( C )A ．28B ．29C ．30D ．313．(2018·随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10…)和“正方形数”(如1，4，9，16…)，在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的值为(C)A．33B．301C．386D．5714．(2018·贺州)如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为(B)A．(2)n－1B．2n－1C．(2)nD．2n5．(2017·达州)如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转2 017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为(D) A．2 017π B．2 034πC．3 024π D．3 026π6．(2020·常德)如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2 020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2 020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是(C)A．C，EB．E，FC．G，C，ED．E，C，F7．(2018·遵义)每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2 018层的三角形个数为__4__035__.8．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2 019个菱形，则n＝__1__010__.,第1幅第2幅第3幅第n幅)9．(2019·淄博)如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D(不与点A，C重合)处，折痕是EF.图1 图2 图3如图1，当CD＝12AC时，tan α1＝34；如图2，当CD＝13AC时，tan α2＝512；如图3，当CD＝14AC时，tan α3＝724；……依次类推，当CD ＝1n ＋1AC (n 为正整数)时，tan αn ＝__2n ＋12n ＋2n__.10．(2019·扬州)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点D 1，D 2，D 3，D 4，…；过点D 1作AB ，AC 的平行线分别交AC ，AB 于点E 1，F 1；过点D 2作AB ，AC 的平行线分别交AC ，AB 于点E 2，F 2；过点D 3作AB ，AC 的平行线分别交AC ，AB 于点E 3，F 3，……则4(D 1E 1＋D 2E 2＋…＋D 2 019E 2 019)＋5(D 1F 1＋D 2F 2＋…＋D 2 019F 2 019)＝__40__380__. 类型探究坐标的变化规律1．(2019·菏泽)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2，……，第n 次移动到点A n ，则点A 2 019的坐标是( C )A ．(1 010，0)B ．(1 010，1)C ．(1 009，0)D ．(1 009，1)2．(2017·温州)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…，这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( B ) A ．(－6，24) B ．(－6，25)C ．(－5，24)D ．(－5，25)3．(2019·广安)如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为(1，0)，以 OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°，再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°，再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°，……按此规律进行下去，则点A 2 019的坐标为__(－22__017，22__0173)__． 4．(2018·衡阳)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝x 和y ＝－12x的图象分别为直线l 1，l 2，过点A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12作x 轴的垂线交l 1于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 1于点A 4，过点A 4作y 轴的垂线交l 2于点A 5，……，依次进行下去，则点A 2 018的横坐标为__21__008__．5．(2019·潍坊)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为l ，其中l 0与y 轴重合．若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2，…，半径为n ＋1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为__(n ，2n ＋1)__．(n 为正整数)第5题 第6题6．(2019·德州)如图，点A 1，A 3，A 5，…在反比例函数y ＝kx(x>0)的图象上，点A 2，A 4，A 6，…在反比例函数y ＝－kx (x>0)的图象上，∠OA 1A 2＝∠A 1A 2A 3＝∠A 2A 3A 4＝…＝∠α＝60°，且OA 1＝2，则A n (n 为正整数)的纵坐标为__(－1)n ＋13(n －n －1)或⎩⎪⎨⎪⎧3（n －n －1），n 为奇数3（n －1－n ），n 为偶数__.(用含n 的式子表示)7．(2019·泰安)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是_．。