小波分析在信号奇异性检测中的应用
基于小波分析对信号奇异性的检测
Ｄ ￣ ｅ２ ．， ２ ０ ０ ７
筇２ ６卷
第 ６期
Ｖ０． ６ Ｎｏ ６ １２ ．
基 于小 波 分析 对 信 号奇 异 性 的检 测
易 鸿
（ Ｊ 文婵 学 院 阴 ｊ ｔ 物 理 程技 术系 ，ｑＩ 达 州 ＝ ｊＩ Ｐ ｔ Ｊ பைடு நூலகம்５０ ３ ００）
［ 摘 要］ 出小波分析对信号奇异性的检测方法， 提 实现小波分析对信号各类奇异 间断点的有
且 一 阶微 分 是 不连 续 的 ， 种属 于 第 ～类 型 的 间 断 点 ． 这 ： 通 常 ， Ｌｐｅ ｉ 指 数来 描 述 函数 的 局 部 奇异 性 ． 面 就 给 用 ｉ ｈｔ ｓ ｚ 下
ｂ 称八 ）， ） （ ，） ｆ 一 Ｌｐｅ ｉ ． ｎ６ 是 致 ｉｓｈｔ ｎ ｚ
丁具 ． 应用 Ｆｕｉ’ ｔｒｌ ） ｅ 变换研究 一 个模 拟信号 的频谱 特性 ． 必须获得其在时域 中信 号的令部 信息 ． 甚至包 括将 来的 信息． 果…个信号仵 某个时 刻的一 个小 的领 域 中发牛 如
点 可导 ， 而导数有 界 ）在 的
但不连续 时， ｉｓｈ ｚｎ指数 仍 为 １ 如 果 Ｌ ｃｉ ｐ ｔ ；
点是奇异的． 一个在 ‰处不
相 埘 来 讲 ， 波 变 换 具 有 问 局 部 化 性 质 ， 此 币川 小 ｌ ｊ 小波 变 换 来 分 析 信 ’ 奇 异性 及 奇异 位 置 和 奇 异 的 大 ｊ 的 小是 比较 仃 效 的 √Ｊ 变 换 突 破 了 Ｆ ｍｉｆ 换 在 时 域 没 、 波 ｕ ｅ变
维普资讯
２０ ０ ７年 １ ２月
重庆 文 理 学 院 学 报 （『然 科 学 版 ） ｛
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＣｈ ｎ ｑ ｎ Ｉ ｉｅ ｓｔ ｆＡｌ Ｍ ｃｅ ｃ ｓ ｆＮａｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｄ ｔ ｎ） ｏ ｒ ａ ｏ ｇ ｉ ｇ Ｌｎ ｖ ｒｉ ｏ ｔ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ Ｅ ｉ ｏ ｏ ｙ ｓ ｉ
小波变换在电力系统故障信号分析中的应用
Ａｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｏ ａ ｅ ｅ ａ ｓ ｏ ｍ ａ ｌ ｒ ｉｎ ｌ ａ ｙ ｉ ｏ ｒ Ｓ ｓｅ ｐ ｉ ｔ ｆＷ ｖ ｌ ｔ ｃ ｏ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ｔ Ｆ ｉ ｅ Ｓ ｇ ａ ｏ ｕ Ａｎ ｌ ｓ ｉ Ｐ ｗｅ ｙ ｔｍ ｓｎ
ＳｎＣ ｅｇｉ ｇ Ｃ ａ ｉ ｕ ｈ ｎｘ ｎ ， ｈｏＱ ｎ ａ
维普资讯
水 力 发 电
第 ３ 卷第 ２ ３ 期
２０ ０ ７年 ２月
文 章编 号 ：５ ９ ９ ４ ２ ０ ０ — ０ ０ ０ ０ ５ — ３ ２（０ ７）２ ０ ７ — ３
小 波变换 在 电力 系统故 障信 号 分析 中的应 用
孙 ７ ３ Ｔ ４
文献 标 识 码 ： Ａ
设 为 非 负 整 数 ， ≤Ｏ≤ｌ １ 如 果 存 在 两 个 常 数 Ａ 和 ｔ ｔ ， ＋
＞ ）及 Ｉ次 多 项 式 ） 使 得 对 任 意 的 ， ０， ｔ ， 均有 ：
Ｏ 引
言
工 程 实 践 中 由 传感 器所 检测 到 的信 号 往 往 十分 复 杂 ， 且
由此 可 以看 出 ， ｉ ｃ ｉ 数 刻 画 了 函数 ） 点 ｔ 的奇 Ｌｐ ｈ￣指 ｓ 在 ０ 异性 。 ｉｓｈｔ Ｌ ｐｃ ｉ ｚ指数 ａ越 大 ， 函数 ） 光 滑 。如 果 函数 ） 则 越 在 点 ｔ连 续 、 微 ， 么 Ｌｐｃ ｉ 指 数 ａ ｌ 如 果 在 点 ｔ不 连 ０ 可 那 ｉｓｈｔ ｚ ＝ ； ０
（ 新疆 大学 电气Ｓ 程 学院 ， － 新疆 乌鲁木 齐 ８ ０ ０ ） ３ ０ ０
关 键 词 ： 波 变 换 ； 异 性检 测 ；ｉｓｈ ｚ 数 ； 力 系统 ； 障 分析 小 奇 Ｌｐｃ ｉ 指 ｔ 电 故 摘 要 ： 确 检测 电 力 系统 故 障信 号 对 提 高 电力 系统 稳 定 性 具 有 非 常 重 要 的 意 义 。 通 过 简 要 介 绍 小 波 变 换 应 用 在 正 信 号 奇 异 性 检 测 方 面 的 基 本 原 理 ， 出 了基 于 小 波 变 换 的 电 力 系 统 故 障 信 号 分 析 方 法 。 方 法 既 充 分 利 用 了小 波 提 该 变 换 在 故 障信 号分 析 中 的优 点 ， 又克 服 了传 统 傅 里 叶变 换 分 析 方 法 的不 足 ， 通 过 实 例 进 行 了验 证 。 得 了 良好 的 并 取
储罐底板的漏磁检测信号处理中小波奇异性检测理论的应用
和频域特性 ， 分析 了基于小波变换的漏磁信号奇异点的定位方法和奇异性程度 的计算方法 ， 对漏磁 信号进 行处理 ， 使信号便于 存储和分 析 ， 仿真结果表明该方法是有效的 。
关键词 ： 漏磁检测 ； 波变 换 ； 异性检测 小 奇
中图分类号 ： ２ ４ ２ ＴＰ ７ ．
文献标识码 ： Ａ
仪 器 仪 表 与检 测 技 术
ｎ ｔｕｍｅｎ ａ ｉ ｎ ａｎ ｅ ｓ ｅ ｔ ｓｒ ｔ ｔｏ ｄ Ｍ ａ ｕｒ ｎ ｍ
自 化 术 应 》０ 年 ９ 第 期 动 技 与 用 ２１ 第２卷 ６ ０
储 罐 底 板 的 漏 磁 检 测 信 号 处 理 中
小 波 奇 异 性检 测 理 论 的 应 用
ｓｇ ａ ｏｓ ｅ ｓ ｓｃ ａ ａ ｔ ｒｓｉ ｆ ｌｒ ｅ ｄ ｔ ｎ ｏ ｓ ． ｃ ｕ ｅ ｔ ｅ ｓｇ ａ ｅ ｉ ｉ ｎ ｙ ｕ ｕ ｌ ｘｐ ｅ ｓ ｓ ｓｇ ａ ｔ ｔｏ ， ｉｎ ｌ ｐ ｓ ｓ ｅ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉ ｔ ｏ ｇ ａ ａ ａ ｄ ｎ ｉ ｅ Ｂｅ ａ ｓ ｈ ｉ ｎ ｌ ｆｃ ｅ ｃ ｓ ａ ｌ ｅ ｒ ｓ ｅ ｉ ｎ ｌｍｕ ａ ｉ ｎ ｃ ａ ｄ ｙ
１ 引 言
漏磁 检 测法采 集到 的信号 ， 由于 漏磁 信号 为非 平稳 信号 ， 到现场环 境和被 测钢 板 的铁 磁性 表面条 件 的影 受 响 ， 测信 号往往 带有 大量 的 噪声 ， 接用 于缺 陷识 别 检 直 会 影响结 果 的正 确性 。若 函数在 某 处有 间断 点或 某 阶
张 重 阳 ．张 丽 娜
（． １ 中石化股份天津分 公司机械研究所 ， 天津 ３ ０ ７ ； ０ ２ ｌ
２． 中国石化 中原油 田分公 司天然气产销厂 天然气大流量 站 ， 阳 ４ ７ ０ ） 濮 ５ ０ １
基于小波变换的奇异性检测在信号分析中的应用
定 义 １ 设 信号 （ ） ｔ ｔ在 附近具 有 下述特 性 ：
ｔ Ｉ （ ０＋ｈ ）一尸 （０＋ｈ ≤ ｊ ｊ ｆ ）ｊ 厶 “ ７ 口＜ ＋ｌ ＜ （） １
一
பைடு நூலகம்
种类 型的 间断点 ； 号在外 观上 光滑 ， 信 幅值 没有 突变 ， 是信号 的某 阶导 数发 生突 变 ， 为第 二种类 型 但 称 的间断点 。信 号 的突变 点在数 学上 用奇 异性 指数来 描述 。Ｆ ｕｉ 变换 是研 究 函数奇 异性 的 基本 工具 ， ｏｒ ｒ ｅ
但是 它 只能确定 信 号是 否具有 奇异性 以及奇 异性 的强弱 ， 却不 能对奇 异点 进行 准确 的定位检 测 ， 乏空 缺
关键 词 ： 小波变换； 奇异性；ｐｈｔ 指数； ｌｃｓｚ ｉ ｉ 信号识别
中图分 类号 ： Ｐ９ ．１ 文献 标识 码 ： 文章 编号 ：６２４１（０６０— ５— Ｔ ３１４ Ａ １７— ０２０）３ ２００ ４ ０ ５
信号 的突 变点处 含有 可供 识别 的丰 富信息 。通 常情 况 下 ， 信号 的 突变 点分 成 第 一种 类 型 的间 断点 和第 二种类 型 的 间断点 … 。信 号在某 一时 刻 内幅值 发生 突 变 ， 引起 信 号 的断续 ， 产生 信 号 断点 ， 称为 第
摘 要 ： 找到美元图像 ４个边缘的宽度， 为了 首先对图像进行长、 宽方向的投影。投影信号 中的突变最激烈
的点就是边缘的起始处和终止处 ， 小波 变换检测信 号的奇异性理论应 用于这种 突变点的检测 中。详细地分 将
析 了如 何 选 择 合 适 的 小波 基 以及 如 何 选择 合 适 的尺 度 来 进 行 突 变 点 的 定位 方 法 。
毕业设计142小波变换及其在信号和图象处理中的应用研究
第一章绪论小波变换发展到现在在许多不同的研究领域都取得了令人瞩目的研究成果，尤其是在信号分析和图象处理方面，小波变换更显示出其无法比拟的优越性。
与经典的傅立叶分析理论相比，小波分析算是近年来出现一种新的数学分析方法[1]。
它被数学家和工程师们独立地发现，被看作是多元调和分析50年来发展的一个突破性的进展，它反映了大科学时代学科之间相互渗透、交叉、融合的趋势，是纯粹数学与应用数学及工程技术殊途同归的典范。
小波分析属于时频分析的一种，它在时间域和频率域同时具有良好的局部化性质，是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，被誉为分析信号的显微镜[2]。
小波分析如今已经广泛地应用于信号处理、图象处理、量子理论、地震勘测、语音识别与合成、雷达、CT成像、机器视觉等科技领域。
任何一个理论的发现和提出都有一个漫长的准备过程，小波分析也不例外。
1910年Harr提出了小波规范正交基，这是最早的小波基[2]，当时并没有出现“小波”这个词。
1936年Littlewood和Paley对Fourier级数建立了二进制频率分量理论：对频率按2j进行划分，其Fourier变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的最早来源。
1946年Gabor提出了加窗Fourier变换（或称为短时Fourier变换）对弥补Fourier变换的不足起到了一定的作用，但是并没有彻底解决问题。
后来，Calderon、Zygmund、Stern 和Weiss等人将L-P理论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon 给出了再生公式。
1974年，Coifmann对一维空间H P和高维H P空间给出了原子分解。
1975年，Calderon用他早先提出的再生公式给出了抛物形H P的原子分解，这一公式现已成为许多函数分解的出发点，它的离散形式已经接近小波展开。
小波变换在信号奇异性检测中的应用仿真研究
第２ ５卷
第１ 期
江
西
科
学
Ｖ １２ ． ｏ ． ５ Ｎｏ １
Ｆｅ ２ ０７ ｂ． ０
２０ ０ ７年 ２月
ＪＡＮＧ Ｓ ＥＮＣＥ Ｉ ＸＩ ＣＩ
文 章 编 号 ：０ １ ６ ９ ２０ ） １ ０ ６ ０ １０ —３７ （ ０ ７ ０ — ０ ５— ３
Ｓ Ｎ Ｃ ｅ ｇｘａｇ Ｃ Ａ ｉ Ｕ ｈ ｎ —ｉ ， Ｈ Ｏ Ｑｎ ｎ
（ ｏｅｅｏ ｌ ｔｃｌ ｎｉｅｒ ｇ Ｘｎｉ ｇＵ ｉ ｒｉ ， ｉ ｉｎ ｌｍ ｑ ８０ ０ Ｒ ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ｅ ｒ ａ Ｅ ｇｎｅｉ ， ｉ ａ ｎ ｅｓｙ Ｘｎ ａｇＷｕｕ ｕ ｉ ３０ ０Ｐ Ｃ ｌ Ｅ ｃｉ ｎ ｊｎ ｖ ｔ ｊ
国内 外不少学者已 开始投入到这方面的研究。
１ 基本 理 论
１ １ 信 号奇 异性 的有 关 定义 ．
数 学上 称无 限次 可 导 函数 是 光滑 的或 没有奇
异性 ， 函数在某处有间断或某阶导数不连续 ， 若 则 称函数在 此处 有奇 异性 ， 该点 就是奇 异 点 Ｊ 。
奇异性反映了信号 的不规则程度 ， 信号的奇异性
信 号 的奇异 性在 小波 变 换 下 的特 征 由定 理 ２
（） ｔ在点 ｔ 的奇异性 。Ｌｐｃｉ 指数 越大 ， 。 ｉ ｈｚ ｓ ｔ 则函
数 ｔ 越 光 滑 。如 果 函数 ｆ ｔ 在 点 连 续 、 ） （） 可
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｕｎ ｉ ｅ ｔ ｄｔ ｎ ｌ Ｆ ｕ ｅ ｒ ｎ ｆｒ ， ｅ ｗａ ｅｅ ａ ｓｏ ｍ ａ ｏ ｄ ｌ ｃ ｌ ａ ｏ ｒ ｐ ｒ ｓｒ ｃ ： ｌ ｒ ｉ ｏ ａ ｏ ｒ ｒ ｔ ｓ ｍ ｔ ｖ ｌｔｔ ｎ ｆｒ ｈ ｓ ｇ ｏ ｏ ａｉ ｔ ｎ ｐ ｏ ｅ ｔ ｋ ａ ｉ ｉ ａ ｏ ｈ ｒ ｚｉ ｙ ｂ ｔ ｎ ｔ ｎ ｅ ｕ ｎ ｙ ｄ ｍａｎ ． ｈ ｐ ｌ ａ ｉｎ ｏ ｅ ｗａ ｅｅ ｒ ｎ ｆ ｒ ｉ ｈ ｅｅ ｔ ｎ ｏ ｅ ｏｈ ｉ ｍｅ ａ ｄ ｆ ｑ ｅ ｃ ｏ ｉ ｓ Ｔ ｅ ａ ｐ ｉ ｔ ｆｔ ｖ ｌｔ ａ ｓ ｍ ｎ ｔ ｅ ｄ ｔｃ ｉ ｆｔ ｉ ｒ ｃ ｏ ｈ ｔ ｏ ｏ ｈ ｓ ｇ ｌｒｔ ｓ ｂ ｅｌ ｎ ｏ ｕ ｅ ｎ ｔｉ ａ ｅ ，ｉ ｌ ｔ ｎ ｖ ｌ ａ ｅ ｉ ｍｅ ｏ ． ｉ ｕ ａ ｙ ｉ ￣ ｆ ｉ ｔ ｄ ｃ ｄ ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｓ ｎ ｉ ｙ ｒ ｍｕａ ｏ ａｉ ｔｓ ｔ ｓ ｔ ｄ ｉ ｄ ｈ ｈ Ｋｅ ｒ ｓ： ａ ｅ ｅ ａ ｓｏ ｍ ， ｉ ｇ ｌｒ ｙ ｄ ｔ ｃｉｎ， ａ ｌ ｄ ａ ｎ ｓｓ Ｌ ｐ ｃ ｉ ｙ ｗｏ ｄ Ｗ ｖ ｌ ｔ ｎ ｆｒ Ｓ ｎ ｕａ ｉ ｅｅ ｔ ｒ ｔ ｔ ｏ Ｆ ｕ ｔ ｉｇ ｏ ｉ ， ｉ ｓ ｈ ｔ ｚ
《小波奇异性检测》课件
奇异性检测的方法
01
02
03
小波变换法
利用小波变换的多尺度分 析特性，对信号进行多尺 度细化，从而检测出奇异 点。
波形识别法
通过比较信号波形与已知 的典型波形，识别出奇异 点。
统计方法
利用统计学原理，通过分 析信号的统计特性，判断 是否存在奇异点。
奇异性检测的应用
故障诊断
01
在机械、电力、航空等领域的设备运行过程中，通过奇异性检
《小波奇异性检测》 PPT课件
目录
• 小波变换基础 • 奇异性检测原理 • 小波在奇异性检测中的应用 • 小波奇异性检测的未来发展
01
小波变换基础
小波变换的定义
小波变换是一种数学工具，用 于分析信号和图像中的局部信 息。
它通过将信号或图像分解成不 同频率和时间尺度的成分，揭 示了信号的内在结构和特征。
阈值处理
利用小波变换后的系数设置阈值，通过阈值判断信号的奇异性。
小波在奇异性检测中的实例分析
一维信号
以一维信号为例，展示小波变换在奇异性检测中的应用，如检测信 号中的突变点或边缘。
二维图像
将小波变换应用于二维图像处理，检测图像中的边缘、角点等奇异 性特征。
实际应用案例
介绍小波变换在信号处理、图像处理等领域中的实际应用案例，展示 其在实际问题中的效果和优势。
丰富的信号特征。
03
非线性信号处理
探索非线性信号处理在小波变换中的应用，以更好地处理非线性信号。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
测可以及时发现设备故障。
语音识别
02
在语音信号处理中，奇异性检测用于识别语音中的音节、单词
等边界。
运用小波变换捕捉信号的奇异点
ｓａ ｇｒ （ ｅ ｓ ｎａ ｅｕ ｒｓｕｅ ｎｏ ａ ｏ ） ｂ ｓｄｏ ｅｅｈ ｏｏ ｙｏ ｗａｅｅｔ ｓｏ ． Ｔ ｅ ｔｏ ｓ ｄ ｔ ｕ ｅｈｅ ｔ ｎ ｅ ｔ ｔ ｔ ｏ ｓ ｅｓ ｆｒ ｔ ｎ ａｅ ｎ ｈ ｃｎ ｌｇ ｒ ｈｉ ａ ｎ ｎ ｐ ｒ ｉ ｍ ｉ ｔ ｔ ｆ ｖｌ ａ ｆｒ ｈ ｈ ｄｉｔ ｔ ｈ Ｄａｂ ｃｉｓ ｔｒ ｎ ｍ ｍｅ ｓｅ ｅ ｗｉ Ｗａ ｅ ｔｎ Ｔ ＡＢ． ｈｏｇ ｅｌ ｇ ｔ，ｔｅ ｒｓ ｅ ｖ ｏ ｕ ｅｅａ ｖｌ ｄ ｉｅｅ ｃ ａ ｅ Ｏ ｊｄ ｅ ｅｅｋｍｏ ｎ ｖｌ ｅ ｉＭＡ Ｌ Ｔ ｒｕ ｈ ａｎ ｈ ｈ ｅｓ ｅ ｒｄ ｃ ｌｔ ｅｙ ｌ ｆ ｒｎｅ ｌ ，Ｓ ｃ ｕ ｇ ａ ｍｅ ｔ ｄ ｉ ｗｉ ｐ ｕ ｗａ ｐ ｒ ｒ ｉ ｏ ｄｆ ｖｕ ｗｅ ａ ｎ ｈ ｔ ｌ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｔｏ ｉｄ ｓｒ， ｉ ｉ ｔ ｅ ｒｍａ ｙｃ ｎ ｉｉｎ ｏ ｒ ｎ ｉ ｇ ｓ ｓｅ ｔｃ ｌ ａ ｅｐｐｅｉ ｅｉ ｓ ｆ ． Ｔｈ ａ ｌ ｉｃ ｖ ｒ ｆ ｅ ｋ ｇ ｓｒ ｃ ： ｎ ｐｅｒ － ｕ ｔ ｎ ｙ ｔ ｓ ｈ ｉ ｒ ｏ ｄ ｔ ｆ ｕ ｎ ｎ ｔ ｍａ ｉａ ｌ ｔ ｔ ｈ ｉ ｌ ａ ｅ ｐ ｏ ｙ ｙｈ ｔ ｎ ｓ ｅｅ ｒ ｄ ｓ ｏ ｅ ｙｏ ｌａ ａ ｅ ｙ
小波基在信号奇异检测中的应用
小波变换值和 Ｌ ｓｈ ｚ ｉ ｃ ｉ 指数关系为ｌ （ ｆ ｐ ｔ Ｈ ｎ） ，
Ｈｌ — —— —— — —— — — —— ——ｒ —— —— — —— ］ ｒ —— — —ｒ —— —— —ｒ —— —— —— — ｒ— —— — 。 — — — — — — — —
一
称为 ｘｔ （的连续小波变换（ ） ６ １ 。其中 也Ｏ ｎ ｎ ｆ 据信号处理 目地 的不同 ， ） ） 经验性 的选取一些 小 称为基本小波或小波母函数 ， ａ为尺度因子。实 波。 际应 用中通常需将连续小波变换 离散化 。基于 ３仿 真试 验 多分辨分析 的 Ｍａｌｔ ｌ 快速算法 ， 以下分 解公 ａ 有 为 了说 明不 同小波 基对奇异 性检测效 果 选取不 同小波在 Ｍ Ｔ Ａ 【上进行仿 真 Ａ Ｌ ＢＯ ｌ 式 ０＿ 』ｌ ２ 一 ｍ ｝ 乙 ｄ ｝ ＇ ｃ ２ ｋ ｊｇ＿ 对 不 同 ， ， ２ 试验 。结 果如图 ： 下列 图形是对 同一信 号分别 应的重构公式 为 Ｃ ｊ ， Ｃ＋ Ｐ一 十 ｊｌ ｋ ， ｑ ｋ 一 用不 同小 波基进 行突变点检测 。可 以看 出 ， 原 其中 ｈｇ ，为分解滤波器系数 ， 、 Ｐ ｑ为重构滤波器 是信号并 不容易直接发现突变点 ， 但使用几种 系数。ｅ。 ｊ称为低频小波系数 ｄ 称为高频小波 ｊ 函数进行 的小波分析 ，虽然结果 波形不 同 ， 奇 系数 。整个信号的波形特点有小波 系数 的概貌 异点很明显 。对各种小波 函数试验结果进行 比 部分 ｅ 决定 ，而信号 的局部特征 则由细节部 较之 ｄ ｌ 波检测突变点效果较好 ， ｊ ｂ小 在奇异点 分 ｄ 刻 画。细节部分反映 的是变换 后高频段 附近有短暂的脉冲。这种问断点的定位通常在 信号和信号的突变点 的情况 。 第一层和第二层高频部分很容易判断出。本例 １ ＿ ３模极大值 与突变点 的关系 中选择小波基时须考虑正则 性。 定义 ３在某一尺度 ａ 下 ，如果存在一点 ｏ （ ， 使得 — — （ ， 一０， ａｔ ｏ） ｏ Ｏ Ｔａｔ Ｗ— ｏｏ ￣ ） — 则称点 是局部极 值点 。如果对 ｔ的某一邻 域内的任意点 ｔ有 。 ， ｗ （ ｆＳｗ （ｎ ， ， ） “， 则称 （ Ｄ ） ‰ｔ为小 波变换 的 ）
小波分析在信号处理中的应用
小波分析在信号处理中的应用1 引言由传感器所检测到的奇异信号往往载有设备运行状态特征的重要信息。
判断状态信号的奇异点出现时刻，并对信号奇异性实现定量描述，在信号处理和故障诊断等领域有着重要的意义。
信号的奇异性分析是提取信号特征的重要手段，傅里叶变换一直是研究信号奇异性的经典工具，但是由于傅里叶变换对信号的表示要么在时域，要么在频域，缺乏空间局部特性，因而只能确定信号奇异性的整体信息，无法确定奇异点的空间分布。
小波变换具有时－频局部化特性，能够有效地分析信号的奇异性，确定奇异点的位置与奇异度的大小，为信号奇异性分析提供了有力的工具。
2基本理论(1) 小波分析概况小波分析是自1986年以来由Y1Meyer，S1Mallat及I1Daubechies等的研究工作为基础而迅速发展起来的一门新兴学科，他是傅里叶分析(Fourier Analy2sis) 划时代的发展结果，是目前数学分析和信号处理领域中广泛应用的一套新理论、新方法，如：信号分析、图像处理、量子力学、军事电子对抗与武器的智能化、计算机分类与识别、数据压缩、医学成像与诊断、地震勘探数据处理、边缘检测、音乐与语音人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等。
但以上大多数领域的应用都可以归结为信号处理问题，故本文才重点介绍小波分析在信号处理方面的应用。
在信号处理领域，对原始信号进行变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，获得更多的信息，而这些信息是原来信号没有直接提供的(隐含的)，目前，已经有许多变换应用于信号处理，最基本的是频域变换和时域变换，最熟悉的莫过于傅里叶变换(Fourier Transform)，然而，傅里叶变换只能分别对信号的时域和频域进行观察，不能把二者有机地结合起来。
为了解决此问题，引入了短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform)，该变换能够给出信号的时间和频率的二维分布，在短时傅里叶变换中，其窗口宽度是一个恒定的值，不能根据信号局部特征调整其窗口宽度。
小波在奇异性检测中的应用
9.小波在信号奇异性检测及图像边缘提取中的应用无限次可导的函数是光滑的或者是没有奇异性的。
若函数在某处有间断或者某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性信号的奇异性和非正则结构包含了信号的本质信息。
长期以来，傅立叶变换一直是研究函数奇异性的基本工具，但是由于傅立叶变换缺乏空间局部性，因此只能确定其奇异性的整体性质，傅立叶变换相当于将信号作了平均，局部的特征丢失了。
无法确定奇异点的空间分布情况。
小波变换具有空间局部化性质，小波变换系数由该点附近的局部信息所确定，因此小波变换能够很好的分析信号的奇异点的位置和奇异点的强弱。
奇异点的位置可以通过跟踪小波变换在细尺度下的模极大曲线来检测；而信号点的奇异性强弱（在数学上，通常用Lipshitz 指数来刻画信号奇异性的大小）可以由小波变换模极大值随尺度参数的衰减性来刻画。
S.Mallat 在1992年将Lipschitz 指数（Lipschitz Exponent LE ）与小波变换后系数模的局部极大值联系起来，通过小波变换后局部极大值在不同尺度上的衰减速度来衡量信号的局部奇异性。
基于小波变换的信号奇异性检测可以应用于故障诊断、图像的多尺度边缘提取、信号恢复和去噪、语音基因周期检测等领域。
Lipschitz 指数的定义[9]1）设)()(2R L x f ∈,称函数)(x f 在0x R ∈处具有Lipschitz 指数α（0α≥），是指对x R ∀∈，存在常数0x K 和m α=⎢⎥⎣⎦次多项式0x p ，使得000()()ax x f x p t K x x -≤-2）如果存在与0x 无关的常数K ，使得0[,]x a b ∀∈均有00()()ax f x p t K x x -≤-则称函数f 在区间[,]a b 上是一致Lipchitz α的。
3）满足f 在0x 点是Lipschitz α的所有α的上界0α刻画了该点的正则性，称为函数f 在0x 点的Lipschitz 指数；同样可以定义区间上的Lipschitz 指数。
基于小波分析的光电脉搏波奇异性处理
用信号截然不 同的李 氏指数特性 ，对单个 脉冲噪声进行 了处 理。然后利用 窄带脉冲 的小 波系数极 大值线 的特点对 常规小 波 方法难 以处理的窄带脉冲噪声进行分析定位 。鉴于模极大值重 构算法 比较复杂 ，本文利 用线性插 值法 对被定位 的噪声奇异
点进行 了修正 。仿真实验表明 ，利用小波分 析和线性插值相结 合的方法 可以完成对 光电脉搏 波信 号的奇异性 处理 ，提高 了 脉搏波信号 的幅值检测精度 。 关键词 ：奇异性 ；小波分析 ；模极 大值 ；李 氏指数
ｎ ｌ ｓｓ ｏ ｄ ａ ｗ ｔ ． ｅ ａ ｓ ｔ ｏ ｌｘｔ ｏ ｔ ｄ ｌ ｓｍａ ｉ ｔｕ ｔ ｒ ｏ ｔ ｍ ｔ ｉｇ ｌｒｔ ｌｃ ｔｄ ｉ ｏ ｒｃ ｅ ｙ ｔ ａ ａｙ ｉ ｔ ｅ ｉ １ Ｂ ｃ ｕ ｅ ｏ ｅ ｃ ｍｐｅ ｉ ｅ ｍｏ ｕｕ ｘｍａｒ ｓｒ ｃｕ ｉ ｇ ａｇ ｒ ｈ ． ｅｓｎ ｕ ａ ｉ ｏ ａｅ ｓｃ ｒｅ ｔｄ ｂ ｅ ｌ ｌ ｆｈ ｙ ｆ ｈ ｅ ｎ ｌ ｉ ｈ ｙ ｈ
形态小波在电力工程信号奇异性检测中的应用
电压 、电流等 电气 量 的变 化 。对 互 感 器二 次 信号 中突变 盼 陕速检测 是 暂态 保 护等 超 高 速保 护 实现 的基 础 ，亦是 提高继 电保护速 动性 的有效手 段 。 形态 小 波对 信 号 特 征 具 有 良好 的 自适 应 性 ， 可 以根据 信号处理 的特 定要 求 采用 适 当的形 态 学
一
ｆ
～ ｄ（２ ， ）
小波基 ，对信 号具 有 良好 的 自适 应 性 ，称 之为 第
二代小 波 。 提升算 法包括 三个 部分 ：分 裂 （ｐｉ ，预 测 ｓｌ） ｔ （ ｒｄｃ） 及更新 （ ｐ ａ ） ｐｅｉｔ ｕ ｄｔ ，其示 意如 图 １ 示 。 ｅ 所 １ ）分裂 ：设 （ ）为 一离 散 序 列 ， 其 按 式 将 （ ）和式 （ ）分裂 为奇数序 列 和偶 数序 列 。 １ ２
（ ）＝ （ ｎ＋１ ｎ ２ ） （ ）： （ ｎ ｎ ２）
（） １ （） ２
收稿 日期 ：２ １ ０ ２ ０ ０— ５— ９
６ ２
第３ ８卷 类 型 的小 波基 。
形态 小 波在 电力 工程信 号奇 异性 检测 中的 应用
２１ ０ ０年第 ４期
号 ； （ ） 为 对 （ ） 中信 号 进 行 形 态 小 波 分 解 ， Ｃ ｂ
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一
图 ３ ５ ０ Ｖ输 电 系 统 模 型 ０ｋ
｛ ， ） １ Ｙ１ —
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一
(完整版)小波分析的理解
小波变换是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信号的方法。
小波由一族小波基函数构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。
采用小波分析最大优点是可对信号进行实施局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。
小波分析具有发现其他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表现结构特性的信息，而这些特性对机械故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。
如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有Haar、Daubechies(dbN)、Morlet、Meryer、Symlet、Coiflet、Biorthogonal 小波等15种。
但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。
小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。
另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。
如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。
由于小波函数家族成员较多，进行小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。
根据实际运用的经验，Morlet小波应用领域较广，可以用于信号表示和分类、图像识别特征提取；墨西哥草帽小波用于系统识别；样条小波用于材料探伤；Shannon正交基用于差分方程求解。
现在对小波分解层数与尺度的关系作如下解释：是不是小波以一个尺度分解一次就是小波进行一层的分解？比如：[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中，N为尺度，若为1，就是进行单尺度分解，也就是分解一层。
但是W=CWT(X,[2:2:128],'wname','plot')的分解尺度又是从2～128以2为步进的，这里的“分解尺度”跟上面那个“尺度”的意思一样吗？[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中的N为分解层数, 不是尺度,'以wname'是DB小波为例, 如DB4, 4为消失矩,则一般滤波器长度为8, 阶数为7.wavedec针对于离散,CWT是连续的。
小波分析在信号处理中的应用
・
９ ・ ８
机 械 工 程 与 自 动 化
２ ０ 年 第 ４期 ０６
厂） Ｊ （一 ￡ ＋
，， ）ｄ （６ （ ｄ ｂ。 口） 口
分 析信 号 的奇 异性 和奇异 性位 置及 奇异 度的大 小 是 比
较 有效 的 。
这样 小 波变换 对 不 同 的频 率在 时域 上 的取样 步 长 是调节 性 的 ， 低频 时 小波 变换 的时 间分 辨率较 差 ， 在 而 频率 分辨 率较 高 ；在 高频 时小波 变换 的 时间分 辨率 较
口的特 点［ 。 ２ ］
设 （） Ｒ） ｔ ＥＬ （ ，其 中 Ｌ （ 为平方 可积 的实数 Ｒ） 空间， 即能量有 限 的信号 空 间。 其傅立叶变换为 ｑ （ ） ｒｔ ， ｏ
当 ｒ）足 许 件 ｖ 二 ｑ 满 允 条 Ｃ （ —
于连 续 的情况 ，小 波序 列为 ：
一
吉 ［
］。
点在于其 Ｑ值 （ 中心频 率 ／ 带宽 ）基本 相 同 ， 即随 着小 波变换尺 度减少 ，滤波器 的 中心频 率 向高频 移动 ，其
通 带宽度 也 随之增 加 。
式 中 ：ｎ—— 伸 缩 因子 ，ｎ ＥＲ，ｎ ； ≠０
ｂ—— 平移 因子 ，ｂ ＥＲ。
对于 离散 的情 况 ，小波序 列 为 ：
Ｖ，口 ６ 一＜ ｚ ｔ ， ， ｔ ＞ 一 ｌｌ言ｚ ｔ× （ ， ） ： （） ６ ） （ ｎ 一 Ｉ（ ）
ｑ （－ｂ ｔ ｒｔ ）ｄ
。
ห้องสมุดไป่ตู้其 逆变 换 为 ：
作者简介 ：崔宝珍（ ９ ４） 女 ， １ ７ 一， 山西临汾人 ， 讲师 ， 硕士研究生。
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小波变换奇异点检测
基于小波变换的机械振动信号故障检测摘要：正确检测机械故障信号对提高机械设备运行稳定性具有非常重要的意义。
通过简要介绍小波变换应用在信号奇异性检测方面的基本原理，提出基于小波变换的机械故障信号分析方法，该方法既充分利用了小波变换在故障信号分析中的优点，准确的检测到了故障发生的位置。
关键字：小波变换；奇异性检测；Lipschitz 指数；信号处理1 引 言机械故障诊断中由传感器检测到的信号往往十分复杂，且信号中的奇异部分常载有机械设备运行状态特征的重要信息。
因此判断状态信号的奇异点出现时刻，并对信号奇异性实现定量描述，在机械故障诊断信号分析和处理中有着非常重要的意义。
小波分析理论能实现信号的时一频局部化描述，为信号奇异性分析提供有了力的工具。
利用小波奇异性检测理论，本文根据奇异点的局部奇异性信息来诊断机械故障的方法。
2 检测原理通常，采用李普西兹指数来描述函数的局部奇异性。
定义1:设n 是一非负整数，1n n α≤-，如果存在两个常数A 和00h ，及n 次多项式()n P t ，使得对任意的0h h ，均有0()()n f x h P h A h α+-≤，则说f(X)在点x0为Lipschitza 。
如果上式对所有0(,)x ab ∈均成立，且0(,)x h a b +∈，称f(x)在(a, b)上是一致的 Lipschitz a 。
在利用小波分析这种局部奇异性时，小波系数取决于f( x)在0x 的领域内的特性及小波变换所选取的尺度。
在小波变换中，局部奇异可定义为:定义2:设2()()f x L R ∈ ，若f(x)对0x x δ∀∈，小波()x Φ满足且连续可微，并具有n 阶消失矩(n 为正整数)，有:(,)Wf s x Ks α≤ (其中K 为常) 则称a 为0x 处的奇异性指(也称Linschitz 指数)。
定义3:对0x x δ∀∈，有0(,)(,)Wf s x Wf x x ≤，则称0x 为小波变换在尺度，下的局部极值点。
小波检测GPS监测数据奇异点的应用
１ 小 波 分 析 检 测 数 据 奇 异 点 的原 理
一
般用 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ （ 李普西兹 ） 指数 来 描 述 函数 的局 部 奇 异 性 。可 用如 下 定 义 来 描 述 信 号 的奇 异 度 ：
① 若 凡为 一非 负整数 ， ｎ ＜ ｏ ｔ ＜ ． ｎ ＋ ｌ ， 且存 在常 数 Ａ和 ｈ 。 （ Ａ， ｈ ｏ ＞０ ） 及 ｎ次 多项式 （ ） ， 使对 于任 意 ｈ ≤ 。 都
有ｌ ／ ＋ ） 一 Ｐ ｌ （ ） ｆ ≤ Ｉ ｈ Ｉ ， 则表示． ） 在点 具有Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 指数Ｏ ｔ ； ② 将． ） 在点 的Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 指数的上
界称为 厂 【 ） 在 点 。 的正则度 ； ③ 若
身 的一 种 非常规 变 化 ， 对此 应 该 引起 高度 的警 惕 ＿ ｌ １ 。 以往 研 究 函数 奇 异性 的主 要 工具 是傅 里 叶变换 ． 它 的 缺 点是 不 能给 出某 个 时 间点 上信 号 变化 的情 况 ， 与 傅 里 叶分析 相 比较 小波 具 有 良好 的 时 频两 域 性 ． 能 在
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ９ — ０ ６ 作 者 简 介 ：陈 向 阳 （ １ ９ ７ ５ 一） ， 男， 陕西韩城人 ， 南通职业大学讲师 ， 研 究 方 向为 测 量 工 程 及 卫 星定 位 技 术 应 用 。 基 金 项 目 ：南通 市 重点 实 验室 资 助项 目（ 编号 Ｄ Ｃ ２ ０ １ ０ ０ ０ １ ） ； 南通职业大学资助项 目（ 编号 １ ２ １ ０ １ ０ ５ ） 。
小波分析在信号奇异性检测中的应用
变换 的基 本原理 ， 并通 过仿 真实验进 行 了验 证 。
１ 小 波 变换 的基本 概 念
设 （）为 一 平 方 可 积 函 数 ，即 （） ∈ ｔ ｔ Ｌ （ 其傅 里 叶变换 （ 满 足条 件 ： Ｒ）若 叫）
摘
要 ：小波 变换 突破 了传统傅 里叶 变换 等信 号处 理 方 法的 限 制 ，在 时域 和 频域 上 可 同 时对信
号实现局部化处理 ，因而在检测信号奇异性等方面具有广泛的应用价值。现介绍 了小波 变换 的 基本理论以及在检测信号奇异性 中的作 用。并在 Ｍ ｔｂ下进行 了两种奇异信 号仿真试验，取得 ａａ ｌ 了一定的效果。实验结果表明，小波变换在奇异信号的检测 中是有效的。 关键词 ：小波变换；奇异性检测 ；信号处理
Ａｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｏ ｖ ｌ ｔａ ａ ｙ ｉ ｎ ｔ ｓｉ ｇ ｓｎ ｕ ａ ｉ ｎ ｌ ｐ ｉ ｔｏ ｆ ｗａ ｅｅ ｎ ｌ ｓｓ ｏ ｅ ｔｎ ｉ ｇ ｌ ｒ ｓｇ ａ ｃ
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（ ｏｅｅｏ Ｉｆｒ ｔ ｎａｄ Ｃ ｍｍｕｉ ｔｎＥ ｇｎｅｉｇ Ｈ ｒ ｉ ｎ ｉ ｅｉｇＵ ｉｅ￣ｙ Ｈ ｒ ｉ １００ ，Ｃ ｉａ Ｃ ｌｇ ｆｎｏｍａ ｏ ｎ ｏ ｌ ｉ ｎｃｉ ｎ ｉ ｒ ， ａｂｎＥ ｇ ｅｒ ｎｖｒ ｔ， ａｂ ５０ １ ｈｎ ） ａｏ ｅ ｎ ｎ ｎ ｎ
方法 的严重 不足在 于 不 能表 达 时 域 信息 ， 用很 受 应
局限， 后来提 出的短 时傅 里 叶变 换 虽 然 可 以表 达时
ｃ： ． ｆ
叫
ｄ＜ 叫∞
（ １ ）
小波变换在受辐射干扰信号探测中的应用
有较高的时间分辨率 和较低的频 率分辨 率， 因此
小波变换具有对信号 的 自 适应性。小波分析优于 Ｆｕ ｅ 变换的根本原因在于对时域和频域同时具 ｏｒ ｒ ｉ 有良好的局部化特性。
作者简介 ： 勇（９ ５一） 男， 士生 ， 究方向： 谭 １８ ， 硕 研 无人机 故障诊断 。
总第 １０ ３ 期
谭 勇， 赵
铭 ：小 波变 换在受 辐射 干扰信号探测 中的应用
３ ３
频率分辨率和较低 的时间分辨率 ， 在高频部分具
在利用 小 波 分 析 这 种 局 部 奇 异 性 时 ， 波 系 小
ｄ ｍａｎ ｓａ ａｙ ｅ ｐ ｒｉｕ ａ ｌ ｒａ ｐ ｉ ａｉｎ ｆ ｉｎ ｌ ｅ ｅ ｔ ｇｗｈｌ ｏ ｉ ｅ ｔ ａ ｉｔ ｎ ｉ ｔｒｅ ｅ ｃ ｏ ｉ ｓｉ ｎ ｌ ｚ ｄ， ａ ｔ ｌｒｙｆ ｐ ｌ ｌ ｓｏ ｇ ａ ｔｃ ｉ ｉ ｃ ｍｂ ｎ ｄｗｉ ｒ ｄ ａｉ ｅ ｒ ｎ ｅ ｉ ｃ ｏ ｃ ｏ ｓ ｄ ｎ ｅ ｈ ｏ ｎ ｆ ｎ ｔ ｉ ａ ｔ ｌ ．Ｉ ｓ ｏ ｉｔ ｎ ｗ ｔ ｈ ｉ ｌ ｔ ｎ ｒ ｓ ｌ ，ｔ ｅ ｄ ｔｃ ｉ ｇ ｅｆ ｃ ｓｖ ｒ ｅ ． ｈ ｓ ｒ ｃｅ ｎ ａ ｓ ｃ ａｉ ｉ ｔ ｅ ｓｍｕ ａｉ ｅ ｕ ｔ ｈ ｅ ｅ ｔ ｆ ｔｉ ｅ ｉ ｄ ｉ ｏ ｈ ｏ ｎ ｅ ｆ ｉ Ｋｅ ｒ ｓ Ｗ ａ ｅ ｅ ｒ ｎ ｆｒ ；Ｒａ ｉ ｔ ｎ Ｉ ｔ ｒ ｒ ｎ ｅ；Ｓ ｇ ａ ｔ ｎ ｅ ｅ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ｖ ｌｔＴ ａ ｓｏ ｍ ｄ ａ ｉ ｎ ｅ ｅ ｅ ｃ ｏ ｆ ｉｎ ｌＳ ｒ ｇ ｎ ｓ ａ ‘
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小波分析在信号奇异性检测中的应用
[摘要]: 信号的局部奇异性包含了信号的许多重要的信息。
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它突破了傅立叶分析在时域和频域方面的局部化能力, 因而它是一种检测奇异性的有力工具。
[关键词]：小波分析；特征提取；奇异信号；对比检测
中国分类号：TP3 文献标识码：A 文章编号：1002-6908(2007)0120017-02
1．小波分析应用介绍
小波理论是近几十年发展起来的一种新的数学方法。
近年来，小波的发展基本上沿着两个不同的方向，一方面构造同时具有多种优良性质的新型小波，如M-带小波、多小波、第二代小波等；另一方面，随着小波理论的日臻完善，小波在地震勘测、计算机视觉、数值分析、微积分方程数值解等方面都得到了广泛的应用。
总之，小波分析作为一种新理论，已经和正在科学界掀起了一场轩然大波。
小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。
由于小波分析克服了传统傅氏分析的不足，在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且它对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节，因此小波分析被誉为“数学显微镜”。
2．信号的奇异性分析
几乎一切信号都很难根据原始观察数据来作解释，总要提取一些特征来表示它。
而信号的奇异性常常是分析特征的关键。
信号中的奇异点及不规则的突变部分经常携带有比较重要的信息，它是信号的重要特征之一。
长期以来，傅立叶变换是研究信号奇异性的主要工具，其方法是研究信号在频域的衰减速度以推断此信号是否具有奇异性及奇异性的大小。
但是，由于傅立叶变换缺乏时域局部性，它只能确定信号奇异性的整体性质，而难以确定奇异值点在时域的位置及分布情况。
用小波变换分析信号的奇异性及奇异点的位置和奇异度的大小是有效的。
小波变换的一个重要性质就是具有在时间、频率上突出信号局部特征的能力。
在对信号进行表示和描述中，通常信号的奇异点（如过零点、极值点等）更能够刻画信号的细节，并在对信号进行区分中起着重要作用，因此，可以利用信号在多尺度上的综合表现来描述信号，特别是他的突变点或瞬态特征。
如果能够通过小波变换提取出这些奇异点，则能够更好对信号进行描述。
3．信号奇异性的Lipschitz意义
Lipschitz 指数是数学上用来表征信号局部特征的一种度量,它的物理意义是指曲线上某点的代数精度。
一个函数如果存在无限次可导就称为光滑或没有奇异
性，但它如果在某处有间断点或某阶导数不连续,通常叫做函数的奇异性，信号的奇异性通常用Lipschitz指数来刻画。
4．基于小波的信号奇异性对比检测
几乎一切信号都很难根据原始观察数据来作解释，总要提取一些特征来表示它。
而信号的奇异性常常是分析特征的关键。
傅立叶变换一直是研究信号奇异性的经典工具，由它的衰减快慢可以判断信号奇异性和奇异性的大小。
这正是傅立叶变换的长处，但是傅立叶变换只反映信号的整体奇异性，而缺乏空间局部性,它只能确定一个函数奇异性的整体性质,却难以确定奇异点在空间的位置及分布情况。
而小波分析具有良好的时——频局部化特性，基于这个优点，小波变换已经受到了广泛的应用。
根据上面的理论分析，首先我们开始对比实验分析。
(1) 实验描述
某一正常工作的变压器，输出点的采样信号应为一蠕变信号，当变压器出故障时，输出点的采样信号会出现一突变信号(主要表现在幅度和频率的突变)，以下实验将分别利用频率分析方法傅立叶变换和时频结合分析方法小波变换来分析故障出现的时间点，进行对比实验。
以下数据记录了一台出故障的变压器在时间[1，400]每隔一秒的数据，其中在50秒和300秒附近出现故障。
原始数据文件为：shuju.mat.
(2) 绘制原始信号的图象
在原始信号图象中可以清晰看到在50秒和300秒附近出现故障。
(3) 傅立叶变换分析信号
傅立叶检测结果:
通过对信号进行傅立叶分析检测，在图象中看不出明显的变化，频域看不出异常。
(4) 用小波变换分析信号
(5) 实验对比结果
在图中我们可以看出，由于傅立叶变换将信号变换成纯频域中的信号，使它不具有时间分辨的能力，故对信号在时域中的突变点根本无法检测出来。
而用db小波分解后的信号，则可以很明显地辨别出该断裂点。
从上面例子对比可以看出，小波分析在检测信号突变点（奇异点）上具有比傅立叶变换无法比拟的优
越性，利用小波分析可以精确地检测出信号突变时间点。
5．结论
信号的奇异点及不规则的突变部分经常带有比较重要的信息，它是信号重要的特征之一。
而刻画信号奇异性的一个重要的量便是Lipschitz指数。
小波变换在信号奇异性检测中的应用非常真实有效。
通过传统的傅立叶变换与小波变换的对比实验，傅立叶变换只反映信号的整体奇异性，而缺乏空间局部性,它只能确定一个函数奇异性的整体性质,却难以确定奇异点在空间的位置及分布情况。
而小波分析却具有良好的时频局部化特性，基于这个优点，在信号的奇异性检测中，小波变换已经受到了广泛的应用。
参考文献
[1] 崔锦泰，小波分析导论[M]. 西安:西安交通大学出版社. 1997年7月.
[2] 楼顺天、李博函, 基于MATLAB的系统分析与设计(信号处理)[M]. 西安：西安电子科技大学出版社. 1998年9月.
[3] 胡昌华、张军波, 基于MATLAB的系统分析与设计(小波分析)[M]. 西安：西安电子科技大学出版社. 2000年6月.
[4] 秦前清、杨宗凯, 实用小波分析[M]. 西安：西安电子科技大学出版社. 1994年.
[5] 郑南宁, 数字信号处理[M]. 西安：西安交通大学出版社. 1991年.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。