2009年全国高考理科数学试题(含答案)
2009高考数学全国卷II(理)(word版含答案)
东
2009 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第 II 卷（非选择题，共 90 分）
注意事项： 本卷共 2 页，10 小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡．答在试题卷上的答案无效． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上． 13． ( x y y x )4 的展开式中 x3 y3 的系数为 ．
2009 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国 II 卷）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．满分 150 分，考试用时 120 分钟．
第Ⅰ 卷（选择题，共 60 分）
注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题 卡上填写清楚，请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定 的位置贴好条形码． 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的答案无效． 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 球的表面积公式
19．本小题满分 12 分 设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，已知 a1 =1， sn 1 =4 an +2 （Ⅰ ）设 bn an 1 2 an ，证明数列{ bn }是等比数列； （Ⅱ ）求数列{ an }的通项公式．
） D． b c a
C． b a c
8．若讲函数 y tan( x
图像重合，则 的最小值为（ A．
π π π ) 的图像向右平移 个单位长度后，与函数 y tan( x ) 的 4 6 6
2009年全国高考理科数学试题及答案-四川卷
2009年普通高等学校招生统一考试四川卷 数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，共计60分。
1、设集合{}{}2|||5,|42,S x x T x xx =<=+-<0则ST =（A ）{}|7x x -<<-5 （B ） {}|3x x <<5 （C ）{}|5x x -<<3{4，5} （D ）{}|7x x -<<5 2、已知函数log 2(2)2()4(2)2a x x f x x x x ⎧+ ≥⎪=⎨-⎪ <-⎩当时当时在点2x=处连续，则常数a 的值是（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ）5 3、 复数2(12)34i i+-的值是（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i 4、已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈，下面结论错误的是（A ）函数()f x 的最小正周期为2π （B ）函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数（C ）函数()f x 的的图像关于直线0x = 对称 （D ）函数()f x 是奇函数5、如图，已知六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA ABC ⊥平面，PA=2AB ，则下列结论正确的是（A ）PB AD ⊥ （B ）PAB PBC ⊥平面平面（C ）BC PAE ⊥直线平面（D ）直线PD 与平面ABC 所成的角为45°6、已知,,,a b c d 为实数，且c d >.则“a b >”是“a c b d ->-”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 7、已知曲线221(0)22x y b b -=>的左右焦点分别为12F F 、，其中一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF ∙=（A ） －12 （B ）－2 （C ）0 （D ）48、如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，∠ABC=90°，BA=BC ，球心O 到平面ABCB 、C 两点的球面距离是（A ）3π（B ）π （C ）43π （D ）2π9、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24yx=上一动点P 到和直线2l的距离之和的最小值是 （A ）2 （B ）3 （C ）115（D ）371610、某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获利5万元、销售每吨乙产品可获利3万元.该企业在一个月生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（A ）12万元 （B ）20万元 （C ）25万元 （D ）27万元11、3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（A ）360 （B ） 288 （C ）216 （D ）9612、已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)(),xf x x f x +=+则5(())2f f 的值是（A ）0 （B ）12（C ）1 （D ）52第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，共计16分，直接把答案写在横线上。
2009年全国高考理科数学试题及答案-全国2
2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）一、选择题： 1.10i2-i=A.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2.设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A.∅B.()3,4 C.()2,1-D.()4.+∞解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=.故选B. 3.已知ABC ∆中，12cot5A =-，则cos A = A.1213 B.513 C.513-D.1213-解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.12cos 13A ===-故选D. 4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A.20x y --=B.20x y +-=C.450x y +-=D.450x y --=解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=故选B.5.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB=，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.10B.15C.10D.35解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。
在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。
故选C6.已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =A.C.5D.25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)及答案
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4） C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．257．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F 为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选A2．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4） C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选B．3．（5分）（2009•黑龙江）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA 的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选D．4．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选B．5．（5分）（2009•黑龙江）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题采用几何法较为简单：连接A1B，则有A1B∥CD1，则∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，由余弦定理可知cos ∠A1BE的大小．【解答】解：如图连接A1B，则有A1B∥CD1，∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=．由余弦定理可知：cos∠A1BE=．故选C．6．（5分）（2009•黑龙江）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．25【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．7．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A8．（5分）（2009•黑龙江）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan （ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选D．9．（5分）（2009•黑龙江）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN ⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选D10．（5分）（2009•黑龙江）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种C．24种D．30种【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故只恰好有1门相同的选法有36﹣6﹣6=24种．11．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD ⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选A．12．（5分）（2009•黑龙江）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•黑龙江）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y 的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．14．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为915．（5分）（2009•黑龙江）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于8π．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，16．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009•黑龙江）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．18．（12分）（2009•黑龙江）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E 分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．19．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．=4a n+2，①由S n+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），①﹣②得a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）20．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，23ξ01P故Eξ==．21．（12分）（2009•黑龙江）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当22．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）（1）当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增；（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴故．。
09年全国高考数学试题——全国卷1(理科)含答案
09年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-=，，， 一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB ，则集合[u （A B ）中的元素共有 （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个（2）已知1iZ ＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i(3) 不等式11X X +-＜1的解集为 （A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
2009年高考数学(理)真题(Word版)——全国2卷(试题+答案解析)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1、(5分)=( )A.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i2、(5分)设集合A={x|x＞3},B={x|},则A∩B=()A. B.(3,4) C.(-2,1) D.(4,+∞)3、(5分)已知△ABC中，,则cosA=( )A. B. C. D.4、(5分)曲线在点（1,1)处的切线方程为( )A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=05、(5分)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB,E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6、(5分)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=,则|b|=( )A. B. C.5 D.257、(5分)设a=log3π,,,则( )A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.b＞c＞a8、(5分)若将函数y=tan()(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan()的图象重合，则ω的最小值为…()A. B. C. D.9、(5分)已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )A. B. C. D.10、(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A.6种B.12种C.30种D.36种11、(5分)已知双曲线C:(a＞0,b＞0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C 于A、B两点.若，则C的离心率为( )A. B. C. D.12、(5分)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“Δ”的面的方位是( )A.南B.北C.西D.下二、填空题( 本大题共4 题, 共计20 分)13、(5分) （)4的展开式中x3y3的系数为___________.14、(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=5a3.则=___________.15、(5分)设OA是球O的半径，M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C,若圆C的面积等于,则球O的表面积等于______________.16、(5分)已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD 的面积的最大值为_____________.三、解答题( 本大题共6 题, 共计70 分)17、(10分) 设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,cos(A-C)+cosB=,b2=ac,求B.18、(12分)如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1. (Ⅰ)证明:AB=AC;(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.19、(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,S n+1=4a n+2.(Ⅰ)设b n=a n+1-2a n,证明数列{b n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式.20、(12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(Ⅲ)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.21、(12分)已知椭圆C:(a＞b＞0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.22、(12分)设函数=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1＜x2.(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论的单调性;(Ⅱ)证明: ()21224Inf x->.答案解析一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1、(5分) A解析:.故选A.2、(5分) B解析:∵(x-1)(x-4)＜0,∴1＜x＜4,即B={x|1＜x＜4},∴A∩B=(3,4).故选B.3、(5分) D解析:∵,∴A为钝角.又∵,∴.代入sin2A+cos2A=1,求得.故选D.4、(5分) B解析:∵,∴y′|x=1=-1.∴切线的斜率k=-1.∴切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.故选B.5、(5分) C解析:如图所示,连接A1B,因A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C,则异面直线BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角. 不妨设AB=1,则AA1=2,设∠ABE=α,∠ABA1=β,则,,,.∴cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=.故选C.6、(5分) C解析:设b=(x,y),由得解方程组得或则|b|=.故选C.7、(5分) A解析:∵a=log3π＞log33=1,,.∴a＞b＞c.故选A.8、(5分) D解析:将函数y=tan()(ω＞0)的图象向右平移个单位,得y=tan(),又因平移后函数的图象与y=tan()的图象重合, ∴(k∈Z),即,∴当k=0时,,即ω的最小值为.故选D.9、(5分) D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,Δ=16(k2-2)2-4k2·4k2＞0.得-1＜k＜1,即0＜k＜1,,x1x2=4.又∵|FA|=2|FB|,由抛物线定义,知F(2,0),抛物线的准线方程为x=-2,∴|FA|=x1+2,|FB|=x2+2,∴x1+2=2x2+4,即x1=2x2+2.代入x1·x2=4,得x22+x2-2=0,∴x2=1,或x2=-2(舍去,因x2＞0).∴x1=2×1+2=4.∴.∴.又0＜k＜1,∴.故选D.10、(5分) C解析:由题意知甲、乙所选的课程有一门相同的选法为种，甲、乙所选的课程都不相同的选法有种，所以甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法共有24+6=30种.故选C.11、(5分) A解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),由,得(c-x1,-y1)=4(x2-c,y2),∴y1=-4y2.设过F点斜率为的直线方程为,∴则有∴将y1=-4y2分别代入①②得化简得∴.化简得16c2=9(3a2-b2)=9(3a2-c2+a2).∴25c2=36a2.∴,即.12、(5分) B解析:如右图所示正方体,要展开成要求的平面图,必须剪开棱BC,剪开棱D1C1使正方形DCC1D1向北的方向展平.剪开棱A1B1,使正方形ABB1A1向南的方向展开,然后拉开展平,则标“Δ”的面的方位则为北.故选B.二、填空题( 本大题共4 题, 共计20 分)13、(5分) 6解析:设展开式中第r+1项为x3y3项,由展开式中的通项,得=.令,得r=2.∴系数为.14、(5分) 9解析:由a5=5a3,得,.15、(5分) 8π解析:如图所示,设球半径为R,球心O到截面圆的距离为d,在Rt△ONB中,d2=R2-BN2.①又∵π·BN2=,∴.在△ONM中,d=OM·sin45°=,②将②代入①得,∴R2=2.∴S球=4πR2=8π.16、(5分) 5解析：如图所示,设|ON|=d1,|OP|=d2,则d12+d22=|OM|2=12+()2=3.在△ONC中,d12=|OC|2-|CN|2=4-|CN|2,∴.同理在△OBP中,.S四边形=S△CAD+S△CAB====.当且仅当d1=d2时取等号,即d1=d2=时取等号.三、解答题( 本大题共6 题, 共计70 分)17、(10分) 解:由cos(A-C)+cosB=及B=π-(A+C)得cos(A-C)-cos(A+C)=,cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=,.又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC.故,或(舍去),于是或.又由b2=ac知b≤a或b≤c,所以.18、(12分) 解法一:(Ⅰ)取BC的中点F,连接EF,则EF,从而EF DA.连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF∥DE.又DE⊥平面BCC1,故AF⊥平面BCC1,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC,(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG.由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知∠AGC=60°.设AC=2,则.又AB=2,,故.由AB·AD=AG·BD得,解得,故AD=AF.又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形.因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF.连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD.连接CH,则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角.因ADEF为正方形,,故EH=1,又,所以∠ECH=30°,即B1C与平面BCD所成的角为30°.解法二:(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz,设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则B1(1,0,2c),E(,,c).于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC,·=0,求得b=1,所以AB=AC.(Ⅱ)设平面BCD的法向量=(x,y,z),则·=0,·=0.又=(-1,1,0), =(-1,0,c).故令x=1,则y=1, , =(1,1,).又平面ABD的法向量=(0,1,0).由二面角A-BD-C为60°知,〈〉=60°,故·=||·||·cos60°,求得.于是=(1,1,), =(1,-1,),cos〈,〉=,〈,〉=60°,所以B1C与平面BCD所成的角为30°.19、(12分) 解:(Ⅰ)由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3,又a n+2=S n+2-S n+1=4a n+1+2-(4a n+2)=4a n+1-4a n;于是a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n),即b n+1=2b n.因此数列{b n}是首项为3,公比为2的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知等比数列{b n}中b1=3,公比q=2,所以a n+1-2a n=3×2n-1,于是,因此数列{}是首项为,公差为的等差数列,,所以a n=(3n-1)·2n-2.20、(12分) 解:(Ⅰ)由于甲组有10名工人,乙组有5名工人,根据分层抽样原理,若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核,则从甲组抽取2名工人,乙组抽取1名工人.(Ⅱ)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则.(Ⅲ)ξ的可能取值为0,1,2,3.A i表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0,1,2.B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人.A i与B独立,i=0,1,2.P(ξ=0)=P(A0·)=P(A0)·P()=,P(ξ=1)=P(A0·B+A1·)=P(A0)·P(B)+P(A1)·P()=,P(ξ=3)=P(A2B)=P(A2)·P(B)=,P（ξ=2)=1-［P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=3)］=.故ξ的分布列为ξ0 1 2 3PEξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=.21、(12分) 解:(Ⅰ)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x-y-c=0，O到l的距离为,故,c=1.由,得,.(Ⅱ)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立，由（Ⅰ)知C的方程为2x2+3y2=6,设A（x1,y1),B(x2,y2),(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x-1).C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1+x2,y1+y2)，且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在C上，即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6.故2x1x2+3y1y2+3=0.①将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化简得（2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,于是,,y1·y2=k2(x1-1)(x2-1)=.代入①解得k2=2,此时,于是y1+y2=k(x1+x2-2)=,即P（,).因此，当时，P(,),l的方程为;当时，P(,)，l的方程为.(ⅱ)当l垂直于x轴时，由=（2，0）知，C上不存在点P使成立, 综上,C上存在点P(,)使成立,此时l的方程.22、(12分) 解:(Ⅰ)由题设知,函数的定义域是x＞-1,,且f′(x)=0有两个不同的根x1,x2,故2x2+2x+a=0的判别式Δ=4-8a＞0,即,且,.①又x1＞-1,故a＞0.因此a的取值范围是(0,).当x变化时,与f′(x)的变化情况如下表:x (-1,x1) x1(x1,x2) x2(x2,+∞)f′(x)+ 0 - 0 +极大值极小值因此在区间(-1,x1)和(x2,+∞)上是增函数，在区间（x1,x2)上是减函数.(Ⅱ)由题设和①知＜x2＜0,a=-2x2(1+x2),于是f(x2)=x22-2x2(1+x2)ln(1+x2).设函数g(t)=t2-2t(1+t)ln(1+t),则g′(t)=-2(1+2t)ln(1+t).当时,g′(t)=0;当t∈(,0)时,g′(t)＞0,故g(t)在区间［,0)上是增函数.于是,当t∈(,0)时,. 因此.。
2009年高考试题(全国新课标)数学(理科)试卷及答案
（新课标）2009年高考理科数学试题一、选择题（1）已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =I （ ）(A) }{1,5,7 (B) }{3,5,7 (C) }{1,3,9 (D) }{1,2,3 (2) 复数32322323i ii i+--=-+（ ） （A ）0 （B ）2 （C ）-2i (D)2（3）对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关（4）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（ ）（A）（B ）2 （C（D ）1 （5）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（ ）（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p（6）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（ ）（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值（7）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。
若1a =1，则4s =（ ） （A ）7 （B ）8 （3）15 （4）16（8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ） （A ）AC BE ⊥ （B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值 （D ）异面直线,AE BF 所成的角为定值（9）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且P A P B P B P C P C P A ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（ ）（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于（ ） （A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，设f （x ）=min{2x, x+2,10-x} (x ≥ 0), 则f （x ）的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 二、填空题（13）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。
2009年(全国卷II)(含答案)高考理科数学
2009年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1、=( )A.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i2、设集合A={x|x＞3},B={x|},则A∩B=()A. B.(3,4) C.(-2,1) D.(4,+∞)3、已知△ABC中，,则cosA=( )A. B. C. D.4、曲线在点（1,1)处的切线方程为( )A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=05、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB,E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6、已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=,则|b|=( )A. B. C.5 D.257、设a=log3π,,,则( )A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.b＞c＞a8、若将函数y=tan()(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan()的图象重合，则ω的最小值为…()A. B. C. D.9、已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )A. B. C. D.10、甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A.6种B.12种C.30种D.36种11、已知双曲线C:(a＞0,b＞0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点.若，则C的离心率为( )A. B. C. D.12、纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“Δ”的面的方位是( )A.南B.北C.西D.下二、填空题( 本大题共 4 题, 共计20 分)13、（)4的展开式中x3y3的系数为___________.14、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=5a3.则=___________.15、设OA是球O的半径，M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C,若圆C的面积等于,则球O的表面积等于______________.16、已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为_____________.三、解答题( 本大题共 6 题, 共计70 分)17、(10分) 设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,cos(A-C)+cosB=,b2=ac,求B.18、(12分)如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1.(Ⅰ)证明:AB=AC;(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.19、(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,S n+1=4a n+2.(Ⅰ)设b n=a n+1-2a n,证明数列{b n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式.20、(12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核. (Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(Ⅲ)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.21、(12分)已知椭圆C:(a ＞b ＞0)的离心率为,过右焦点F 的直线l与C 相交于A 、B 两点,当l 的斜率为1时,坐标原点O 到l 的距离为.(Ⅰ)求a,b 的值;(Ⅱ)C 上是否存在点P,使得当l 绕F 转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P 的坐标与l 的方程;若不存在,说明理由.22、(12分)设函数=x 2+aln(1+x)有两个极值点x 1,x 2,且x 1＜x 2.(Ⅰ)求a 的取值范围,并讨论的单调性;(Ⅱ)证明: ()21224In f x ->.2009年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1、(5分) A解析:.故选A.2、(5分) B解析:∵(x-1)(x-4)＜0,∴1＜x＜4,即B={x|1＜x＜4},∴A∩B=(3,4).故选B.3、(5分) D解析:∵,∴A为钝角.又∵,∴.代入sin2A+cos2A=1,求得.故选D.4、(5分) B解析:∵,∴y′|x=1=-1.∴切线的斜率k=-1.∴切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.故选B.5、(5分) C解析:如图所示,连接A1B,因A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C,则异面直线BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角. 不妨设AB=1,则AA1=2,设∠ABE=α,∠ABA1=β,则,,,.∴cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=.故选C. 6、(5分) C解析:设b=(x,y),由得解方程组得或则|b|=.故选C.7、(5分) A解析:∵a=log3π＞log33=1,,.∴a＞b＞c.故选A.8、(5分) D解析:将函数y=tan()(ω＞0)的图象向右平移个单位,得y=tan(),又因平移后函数的图象与y=tan()的图象重合,∴(k∈Z),即,∴当k=0时,,即ω的最小值为.故选D.9、(5分) D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,Δ=16(k2-2)2-4k2·4k2＞0.得-1＜k＜1,即0＜k＜1,,x1x2=4.又∵|FA|=2|FB|,由抛物线定义,知F(2,0),抛物线的准线方程为x=-2,∴|FA|=x1+2,|FB|=x2+2,∴x1+2=2x2+4,即x1=2x2+2.代入x1·x2=4,得x22+x2-2=0,∴x2=1,或x2=-2(舍去,因x2＞0).∴x1=2×1+2=4.∴.∴.又0＜k＜1,∴.故选D.10、(5分) C解析:由题意知甲、乙所选的课程有一门相同的选法为种，甲、乙所选的课程都不相同的选法有种，所以甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法共有24+6=30种.故选C.11、(5分) A解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),由, 得(c-x1,-y1)=4(x2-c,y2),∴y1=-4y2.设过F点斜率为的直线方程为, ∴则有∴将y1=-4y2分别代入①②得化简得∴.化简得16c2=9(3a2-b2)=9(3a2-c2+a2).∴25c2=36a2.∴,即.12、(5分) B解析:如右图所示正方体,要展开成要求的平面图,必须剪开棱BC,剪开棱D1C1使正方形DCC1D1向北的方向展平.剪开棱A1B1,使正方形ABB1A1向南的方向展开,然后拉开展平,则标“Δ”的面的方位则为北.故选B.二、填空题( 本大题共 4 题, 共计20 分)13、(5分) 6解析:设展开式中第r+1项为x3y3项,由展开式中的通项,得=.令,得r=2.∴系数为.14、(5分) 9解析:由a5=5a3,得,.15、(5分) 8π解析:如图所示,设球半径为R,球心O到截面圆的距离为d,在Rt△ONB 中,d2=R2-BN2.①又∵π·BN2=,∴.在△ONM中,d=OM·sin45°=,②将②代入①得,∴R2=2.=4πR2=8π.∴S球16、(5分) 5解析：如图所示,设|ON|=d1,|OP|=d2,则d12+d22=|OM|2=12+()2=3. 在△ONC中,d12=|OC|2-|CN|2=4-|CN|2,∴.同理在△OBP中,.S四边形=S△CAD+S△CAB====.当且仅当d1=d2时取等号,即d1=d2=时取等号.三、解答题( 本大题共 6 题, 共计70 分)17、(10分) 解:由cos(A-C)+cosB=及B=π-(A+C)得cos(A-C)-cos(A+C)=,cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=,.又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC.故,或(舍去),于是或.又由b2=ac知b≤a或b≤c,所以.18、(12分) 解法一:(Ⅰ)取BC的中点F,连接EF,则EF,从而EF DA.连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF∥DE.又DE⊥平面BCC1,故AF⊥平面BCC1,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC,(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG.由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知∠AGC=60°.设AC=2,则.又AB=2,,故.由AB·AD=AG·BD得,解得,故AD=AF.又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形.因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF. 连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD.连接CH,则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角.因ADEF为正方形,,故EH=1,又,所以∠ECH=30°,即B1C与平面BCD所成的角为30°.解法二:(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz,设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则B1(1,0,2c),E(,,c).于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC,·=0,求得b=1,所以AB=AC.(Ⅱ)设平面BCD的法向量=(x,y,z),则·=0,·=0.又=(-1,1,0), =(-1,0,c).故令x=1,则y=1, , =(1,1,).又平面ABD的法向量=(0,1,0).由二面角A-BD-C为60°知,〈〉=60°,故·=||·||·cos60°,求得.于是=(1,1,), =(1,-1,),cos〈,〉=,〈,〉=60°,所以B1C与平面BCD所成的角为30°.19、(12分) 解:(Ⅰ)由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3,又a n+2=S n+2-S n+1=4a n+1+2-(4a n+2)=4a n+1-4a n;于是a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n),即b n+1=2b n.因此数列{b n}是首项为3,公比为2的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知等比数列{b n}中b1=3,公比q=2,所以a n+1-2a n=3×2n-1,于是,因此数列{}是首项为,公差为的等差数列,,所以a n=(3n-1)·2n-2.20、(12分) 解:(Ⅰ)由于甲组有10名工人,乙组有5名工人,根据分层抽样原理,若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核,则从甲组抽取2名工人,乙组抽取1名工人.(Ⅱ)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则.(Ⅲ)ξ的可能取值为0,1,2,3.A i表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0,1,2.B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人.A i与B独立,i=0,1,2.P(ξ=0)=P(A0·)=P(A0)·P()=,P(ξ=1)=P(A0·B+A1·)=P(A0)·P(B)+P(A1)·P()=,P(ξ=3)=P(A2B)=P(A2)·P(B)=,P（ξ=2)=1-［P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=3)］=.故ξ的分布列为ξ0 1 2 3PEξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=.21、(12分) 解:(Ⅰ)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x-y-c=0，O到l的距离为,故,c=1.由,得,.(Ⅱ)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立，由（Ⅰ)知C的方程为2x2+3y2=6,设A（x1,y1),B(x2,y2),(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x-1).C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1+x2,y1+y2)，且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在C上，即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6.故2x1x2+3y1y2+3=0.①将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化简得（2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,于是,,y1·y2=k2(x1-1)(x2-1)=.代入①解得k2=2,此时,于是y1+y2=k(x1+x2-2)=,即P（,).因此，当时，P(,),l的方程为;当时，P(,)，l的方程为.(ⅱ)当l垂直于x轴时，由=（2，0）知，C上不存在点P使成立,综上,C上存在点P(,)使成立,此时l的方程.22、(12分) 解:(Ⅰ)由题设知,函数的定义域是x＞-1,,且f′(x)=0有两个不同的根x1,x2,故2x2+2x+a=0的判别式Δ=4-8a＞0,即,且,.①又x1＞-1,故a＞0.因此a的取值范围是(0,).当x变化时,与f′(x)的变化情况如下表:x (-1,x1) x1(x1,x2) x2(x2,+∞) f′(x)+ 0 - 0 +极大值极小值因此在区间(-1,x1)和(x2,+∞)上是增函数，在区间（x1,x2)上是减函数. (Ⅱ)由题设和①知＜x2＜0,a=-2x2(1+x2),于是f(x2)=x22-2x2(1+x2)ln(1+x2).设函数g(t)=t2-2t(1+t)ln(1+t),则g′(t)=-2(1+2t)ln(1+t).当时,g′(t)=0;当t∈(,0)时,g′(t)＞0,故g(t)在区间［,0)上是增函数.于是,当t∈(,0)时,.因此.。
09年全国高考理科数学试题及答案
2009年全国高考理科数学试题及答案2009年普通高等学校招生全国统一考试数学第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A，B互斥，那么球的表面积公式S?4πR 其中R表示球的半径2P(A?B)?P(A)?P(B) 如果事件A，B相互独立，那么球的体积公式V?43πR 3P(AB)?P(A)P(B) 一、选择题：其中R表示球的半径21. 设集合S?x|x?5,T?x|x?4x?21?0,则S????T? Ａ.?x|?7?x??5?Ｂ.?x|3?x?5? Ｃ.?x|?5?x?3?Ｄ.?x|?7?x?5? ?a?log2x(当x?2时)?２.已知函数f(x)??x2?4在点x?2处连续，则常数a的值是(当x?2时）??x?2Ａ.２Ｂ.３Ｃ.４Ｄ.５(1?2i)2３.复数的值是3?4iＡ.－１Ｂ.１Ｃ.－iＤ.i 4.已知函数f(x)?sin(x??2)(x?R)，下面结论错误的是．． A.函数f(x)的最小正周期为2? B.函数f(x)在区间?0,???上是增函数??2?1 C.函数f(x)的图像关于直线x?0对称D.函数f(x)是奇函数 5.如图，已知六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，PA?平面ABC,PA?2AB，则下列结论正确的是 A. PB?AD B. 平面PAB?平面PBC C. 直线BC∥平面PAE D. 直线PD与平面ABC所称的角为45 6.已知a,b,c,d为实数，且c?d。
则“a?b”是“a?c?b?d”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件?x2y2?2?1(b?0)的左右焦点分别为F1,F2，其一条渐近线方程为y?x，7. 已知双曲线2b点P(3,y0)在该双曲线上，则PF1?PF2= A. -12 B. -2C. 0D. 4 8. 如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点，?ABC?90,BA?BC，?球心O到平面ABC的距离是32，则B、C两点的球面距离是2A.?4? B.?C.? 3329. 已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y?4x 上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 C. 1137D. 51610. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。
2009年高考全国卷II数学(理科)试题及参考答案
田园风光清晨，田园里到处都是雾蒙蒙的，仿佛披上了一件白色的纱帘。
“喔喔喔”随着远处传来的一声鸡叫，整个田园就慢慢地热闹起来。
太阳公公也渐渐地露出了他的脸。
小溪发出叮叮咚咚的流水声，鸟儿叽叽喳喳地歌唱着，摆摊的人们不停地吆喝着，无精打采的柳树也精神起来了。
休息了一夜的人们开始了辛勤的劳动。
中午，火辣辣的太阳炙烤着大地。
知了“热啊热啊”的叫着。
小鸟们也停歇在树枝上打瞌睡。
大家都在午睡，而孩子们却纷纷跳进水里，在水中乘凉。
“扑通”一声，水花高高地溅起，像一朵绽开的花儿一样那么美丽。
那冰凉的水把他们的炎热都给抛到了九霄云外。
黄昏，一缕缕烟从烟囱中冒出，四处都弥漫着饭菜的香味。
天边的晚霞通红通红的，显得十分耀眼。
有的像一头威风凛凛的大狮子；有的像一者正在打盹的小狗；有的像一批膘肥体壮的马儿。
太阳渐渐落下，最后一抹霞光也渐渐消失了。
夜晚，弯弯的月亮挂上了天空。
劳累一天的人们回到家里，洗一把脸，吃一顿饭，准备上床睡觉。
慢慢的，狗不叫了，牛不再发出哞哞声，马儿忘记了踢马房的挡板，路上的车辆也渐渐少了。
整个田园都安静了下来。
辛勤劳动了一天的人们躺在床上，很快就进入了甜美的梦乡。
所有人都期待着美好的新一天的到来。
田园的风光仿佛是一幅美丽的风景画，一张会动的写意，让你无法忘记。
乡村风光1、早晨，人们还没有等到河里的鱼儿醒来，便纷纷用竹篙戳碎它们的梦。
雾正浓，对面不见人影，等两条船互相靠近了，才惊出一身的冷汗，连连说好险好险，船却已错开一丈有余。
这地方有个打鱼的老翁，七十八岁，鹤发童颜，声如洪钟。
“小鱼小虾卖哟－－”，虽是普普通通的一声吆喝，却让人好似沉醉醒来饱饮一杯酽茶，遍体舒畅，浑身生津。
偶有船上懒汉，昨晚喝多了，迷迷糊糊爬出船舱，看天色未明，站在船尾扬下一线浑浊的臊尿。
少不得挨老婆一顿臭骂，煮饭的水还得从这河里拎呢！经常有两只可爱的小鸟，捉住河边柳树的梢头，四目相对，鸣鸣啾啾，无限柔情，相依相偎。
一对早晨出来透气的鲤鱼，趁着雾气迷蒙，尽情嬉戏，全不管老渔翁羡慕又无奈的目光。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅱ.理)含详解
D. −
12 13
cos A = −
1 1 + tan 2 A
=−
1 5 1 + (− ) 2 12
w.w.w.k.s.5.u. c. o.m
=−
12 13
故选 D.
4.曲线 y =
x 在点 (1,1) 处的 线方程 2x −1
B. x + y − 2 = 0
A. x − y − 2 = 0
C. x + 4 y − 5 = 0
A
1 6
B.
1 4
π
C.
1 3
D.
1 2
解
π 向右 移 6 个单 π π π y = tan ω x + → y = tan[ω ( x − ) + ] = tan ω x + 6 4 6 4
π
4 −
∴
π
6
ω + kπ =
又Q ω > 0 ∴ ωmin 9.
4 V = π R3 3 中 R 表示球的半径
k k Pn ( k ) = Cn P (1 − p )
( k = 0,1, 2...n )
共 60 在 小题给出的四个选项中 只有一个选项是
本卷共 12 小题 符合题目要求的 一选择题 1.
小题 5
10i = 2-i A. -2+4i
B. -2-4i
C. 2+4i
2 2
r
r r
r
r
故选 C
7. 设 a = log 3 π , b = log 2 A. a > b > c 解 Q log 3
3, c = log3 2
2009年全国高考理科数学试题及答案-全国2卷
2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）一、选择题： 1. 10i2-i=A. -2+4iB. -2-4iC. 2+4iD. 2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A. ∅B. ()3,4C.()2,1-D. ()4.+∞解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=.故选B.3. 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = A.1213B.513C.513- D. 1213-解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.12cos 13A ===-故选D. 4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A. 20x y --=B. 20x y +-=C.450x y +-=D.450x y --=解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.B.15C.D.35解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。
在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。
故选C6. 已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =A.B.C.5D. 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)(附详细答案)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则?的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= ．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴?U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：?U（A∩B）=（?U A）∪（?U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51?C31?C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52?C61?C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5分）设、、是单位向量，且，则?的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）?+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴?=﹣（）?+=0﹣（）?+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ＝=．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++Cn n a0b n，各项的通项公式为：Tr+1=C nr a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πＲ2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n+，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=?（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0} 4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选A2．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴故选B3．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选D4．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．5．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选D6．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选项为D7．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选D．8．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A9．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选项为B10．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．4【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，∴AC=PD=2又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故答案选C．11．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选D12．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．14．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=27．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是2715．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π16．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009•全国卷Ⅰ）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．18．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．20．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由已知得=+，即b n=b n+，由此能够推导出所求的通+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．21．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．22．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．。
2009年全国高考理科数学试题及答案-山东卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前.考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上..并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后.用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上;如需改动.先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh.其中S 是柱体的底面积.h 是锥体的高。
锥体的体积公式V=13Sh .其中S 是锥体的底面积.h 是锥体的高。
如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B). 事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k k n kn nP k C p p k n -=-=.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题.每小题5分.共60分。
在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。
（1）集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4【解析】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. （2）复数31ii--等于 （A ）i 21+ B ）12i - C ）2i + D ）2i -【解析】: 223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i ii i i i i --++-+====+--+-,故选C.答案:C【命题立意】:本题考查复数的除法运算.分子、分母需要同乘以分母的共轭复数.把分母变为实数.将除法转变为乘法进行运算. （3）将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（A ）cos 2y x = （B ）22cos y x = （C ）)42sin(1π++=x y （D ）22sin y x =【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22sin y x x =+=,故选D.答案:D【命题立意】:式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.（4） 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A）2π+ （B ） 4π+ （C ） 2π+（D ） 4π 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2.高为3.所以体积为2133⨯=侧(左)视图正(主)俯视图所以该几何体的体积为23π+. 答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.（5） 已知α.β表示两个不同的平面.m 为平面α内的一条直线.则“αβ⊥”是“m β⊥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件. 答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.（6） 函数x x x xe e y e e--+=-的图像大致为【解析】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点DB在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. (7）设P 是△ABC 所在平面内的一点.2BC BA BP +=.则 (A ）0PA PB += (B ）0PC PA += (C ）0PB PC += (D ）0PA PB PC ++=【解析】:因为2BC BA BP +=.所以点P 为线段AC 的中点.所以应该选C 。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。
卷（选择题）和第错误！未找到引用源。
卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。
卷1至2页，第错误！未找到引用源。
卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知????i 则复数z ??（B ??）w w w k s ??u c o m ?????????????? （A ）????i?????????? B??????i?????????????????? C????i?????????????????? D????i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
2009年高考理科数学(全国)卷(I)
2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB ，则集合[u （AB ）中的元素共有（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个（2）已知1i Z＋=2+I,则复数z=（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种 （6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -•-的最小值为（A ）2- （B 2 （C ）1-(D)1（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（A）4 （B ）4 （C ）4 (D) 34（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么π的最小值为（A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2（10）已知二面角α-l-β为600 ，动点P 、Q 分别在面α、β内，PQ 到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为(B)2(C) (D)4 （11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数（12）已知椭圆C: 2212x y +=的又焦点为F ，右准线为L ，点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。
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2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ∙=∙球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u A B I中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,A B = ，{4,7,9}()U A B C AB =∴= 故选A 。
也可用摩根律：()()(U U UC A B C A C B=（2）已知1iZ＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 解：验x=-1即可。
(4)设双曲线22221x ya b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于( C )（A（B ）2 （C （D 解：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x yx ==.由题意有2y x x =又2001y x =+ 解得: 201,2,b x e a =∴===(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112536225C C C ⋅⋅=种选法(2) 乙组中选出一名女生有211562120C C C ⋅⋅=种选法.故共有345种选法.选D（6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -∙-的最小值为 ( D )（A ）2-（B 2 （C ）1- (D)1解:,,a b c是单位向量()()2()a c b c a b a b c c ∴-∙-=∙-+∙+1||||1,1a b c a b c =-+∙=-<+>≥-D.（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（D ）（A（B （C (D) 34解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113co c s 4os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠⋅=⋅=.故选D（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为（A ）6π （B ）4π（C ）3π (D) 2π解: 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称 4232k ππφπ∴⋅+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6πφ=.故选A (9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点00(,)P x y ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+,又0'01|1x x y x a===+00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B （10）已知二面角l αβ--为60o，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到βQ 到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为（ C ） (A)(B)2 (C) 解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=︒则AQ BP ==2AC PD ∴==又PQ ==≥ 当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。
故答案选C 。
（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( D )(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数 解: (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。
故选D12.已知椭圆22:12xC y+=的右焦点为F,右准线为l，点A l∈，线段AF交C于点B，若3FA FB=,则||AF=( A )解:过点B作BM l⊥于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意3FA FB=,故2||3BM=.又由椭圆的第二定义,得2||3BF==||AF=故选A第II卷二、填空题：13. ()10x y-的展开式中，73x y的系数与37x y的系数之和等于。
解: 373101010()2240C C C-+-=-=-14. 设等差数列{}n a的前n项和为n S，若972S=,则249a a a++= 。
解: {}n a是等差数列,由972S=,得599,S a∴=58a=∴2492945645()()324a a a a a a a a a a++=++=++==.15. 直三棱柱111ABC A B C-的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA===, 120BAC∠=︒，则此球的表面积等于。
解:在ABC∆中2AB AC==,120BAC∠=︒,可得BC=由正弦定理,可得ABC∆外接圆半径r=2,设此圆圆心为O'，球心为O，在RT OBO'∆中，易得球半径R2420Rππ=.16. 若42xππ<<，则函数3tan2tany x x=的最大值为。
解:令tan,x t=142x tππ<<∴>,4432224222tan2222tan2tan81111111tan1()244x ty x xx tt t t∴=====≤=-------三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）在ABC∆中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222a c b-=，且sin cos3cos sin,A C A C=求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C = 则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-∙=∙化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 解法二:由余弦定理得:2222cos a c b bc A -=-.又 222a c b -=,0b ≠。
所以 2cos 2b c A =+…………………………………① 又 sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB C c=， 故 4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =。
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =,2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
解法一： （I ）作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD 连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形 作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形设ME x =，则SE x =，AE ==2MF AE FB x ===-由tan 60,)MF FB x =∙=-。
解得1x =即1ME =，从而12ME DC =所以M 为侧棱SC 的中点（Ⅱ）2MB =，又60,2ABM AB ∠== ,所以ABM ∆为等边三角形，又由（Ⅰ）知M 为SC 中点2SM SA AM ===，故222,90SA SM AM SMA =+∠=取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知BGH ∠为二面角S AM B --的平面角连接BH ，在BGH ∆中，1222BG AM GH SM BH ======所以222cos 2BG GH BH BGH BG GH +-∠==∙∙二面角S AM B --的大小为arccos( 解法二:以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz设A ，则(0,2,0),(0,0,2)B C S （Ⅰ）设(0)SM MC λλ=〉,则2222(0,,),,)1111M MB λλλλλ-=++++又(0,2,0),,60AB MB AB =-故||||cos60MB AB MB AB ∙=∙即41λ=+解得1λ=，即SM MC = 所以M 为侧棱SC 的中点 （II ）由(0,1,1),M A ，得AM 的中点11(,)222G又31(,),(0,1,1),(222GB MS AM =-=-= 0,0GB AM MS AM ∙=∙=所以,GB AM MS AM ⊥⊥因此,GB MS 等于二面角S AM B --的平面角cos ,||||GB MS GB MS GB MS ∙==∙所以二面角S AM B --的大小为arccos(3-总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。