理论力学(4)有心力
理论力学(4)有心力
动量矩（角动量）守恒
J r p m r v mrvq mr 2q
2017/3/15 有心力 4
有心力的基本方程
m r rq 2 Fr F r 2 r q h
(1.9.6)
有心力是保守力
证明： W A F d r A Fr dr Fq rdq
上式代替(1.9.6)中的一式，得基本方程
1 m r 2 r 2q 2 V r E 2 r 2q h
2017/3/15
有心力
6
（2）轨道微分方程——比耐公式 求轨道方程的一般方法：求出运动规律，在运动 方程中消去时间t。 有心力的情况，可以先从运动微分方程中消去 dt，得轨道微分方程。 令 u 1/ r
第二宇宙速度
2017/3/15
有心力
20
第三宇宙速度:逃出太阳系的速度 在地球绕太阳运行的轨道上发射物体可以脱离 太阳系的速度
2GM ' v , M ' 太阳质量, r ' 地球轨道半径 r' 2GM ' 42km / s 计算得 v r'
考虑地球公转速度约30千米/秒,只需12千米/秒的 速度. 地球上的发射速度为v3,则
2 k 代入(1.9.28)后,得 E m 2a
2017/3/15 有心力 18
宇宙速度 椭圆轨道
1 2 k 2m k 2m mv 2 r 2a
(1.9.32)
第一宇宙速度(环绕速度) 对绕地球运行的卫星而言,可令
a r 地球半径, k 2 GM 地 gr 2
2 2 1 gr m gr m 2 mv1 , 2 r 2r
§1.8 有心力
§1、8有心力1、有心力的基本性质（有心运动的特点）有心力 质点所受力的作用线始终通过定点，定点为力心；有心运动 质点在有心力作用下的运动⇒有心运动 这时)(r F F =方向沿质点与力心联线， 又分引力，斥力；有心运动在物理学中占有极其重要的地位；有心运动求解方法：运动微分方程；三个基本定理。
（1）有心运动⇒动量矩守恒⇒质点作平面曲线运动选力心为原点 0=M c J=∴ 质点作平面曲线运动 运动平面垂直于J选用极坐标系 θθv r m v m v m r P r J r⨯=+⨯=⨯=)( mh mr mrv J ===θθ 2θ 2r h =⇒ （1） h 由初始条件确定（2）有心力为保守力，质点作有心运动时机械能守恒在极坐标系下，00)(r F r r F F r== 00θθ rd r dr r d +=则)()(12V V Vdr dr r F rd F dr F r d F W BABABABAr --=∇-==+=⋅=⎰⎰⎰⎰θθ这时 E V T =+ E r V r rm =++)()(21222θ （2） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=⇒E r V r rm h r )()(212222θθ 两个运动积分（关于θ,r 的一阶微分方程组）2、轨道微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=)2()()(21)1(2222E r V r rm h r θθ 由（1）⇒)(r θ ，代入（2）)()(t r r r r=⇒⇒ 代入（1）)()()()(θθθθθr r t t r r t =⇒⎩⎨⎧==⇒=⇒运动方程 轨道方程亦可由)(),(r r rθ 消去时间t 得22222)(2rmh r V E rmhd dr --±=θ⇒积分)(θr r =⇒现导出比耐（Binet ）公式0=θF )()(2r F r r m =-∴θ取 ru 1= 则2hu =θ又 θθθθθd du h d du uhu ud dhud dr r-=⋅-===2221)1(2222)()(θθθθθd u d uh d du d d hd dudt dh r -=-=-=mu F u d u d u h )()(2222-=+∴θ轨道微分方程 又称比耐（Binet ）公式其中⎩⎨⎧〉〈=) 0 0)(质点散射斥力（引力（万有引力）αr F u F 有心力⇔运动轨道 联系在一起3、平方反比引力—行星的运动 sun M; planet m 222umk rMm GF -=-= 其中GM k =2与行星质量无关，称为太阳的高斯常数， 代入Binet 公式得2222hk u d u d =+θ令22h k u -=ξ则022=+ξθξd d 其解为 )cos(0θθξ-=A 则220)cos(hk A u +-=θθ)cos(1/102222θθ-+==∴kh Ak h ur 其中0,θA 为积分常数，通过坐标变换（极轴转过一角度），使得00=θ 则得轨道方程 θcos 1e p r +=（圆锥曲线，力心在其焦点处）半正焦弦 22kh p =偏心率 Ap e =当0=θ时，ep r +=1 极小 对应近日点；由解析几何知，e 是几何常数1<e 椭圆 1=e 抛物线 1>e 双曲线※由动力学常数h E ,确定e ，既由E 判定轨道类别，e 与E 的关系？drdV rm k F -=-=22rm k r V 2)(-=， rm k r rm E 2222)(21-+=θ对近日点 0=r ep r +=1 222)1(e ph rh +==θ 代入上式得pe m k e ph e pmE )1()1()1(21244222+-++=)1(2)1(22222e k e h pmE +-+=⇒422111mkEh e +±=+∴ 22)(21kh mE e +=⇒可见 0<E 1<e 椭圆； 0=E 1=e 抛物线； 0>E 1>e 双曲线。
理论力学第4讲有心力散射
南京大学物理学院2012-2013学年第二学期理论力学Theoretical Mechanics⏹0. 一维运动势能曲线⏹1. 两体问题有心力⏹2. 平方反比引力⏹3. 人造地球卫星星际航行⏹4. 散射问题第四章有心力散射问题•一维势能曲线能告诉我们什么？•一维势能曲线的运用？•一维运动: 自由度为1的体系的运动。
势能曲线：x1x2x3UAθ=0θ=180dx/dtxθ=45θ=90θ=135θ=170Just barely enough energy for a full swing Enough energy for a full swingU -A[例]半径为恒定角速度绕竖直直径转动，试用势能曲线讨论小环的运动2222211sin 22E mr mr q q12E mr•两体系统: 两个相互作用质点组成的封闭体系。
1、两体问题概述束缚态问题：两粒子距离保持有限，如行星绕太阳运动分类散射与碰撞：俘获与衰变：作用前后粒子数从2变为1或从1变为2两粒子从无穷远处靠近，相互作用改变运动状态，又分离至无穷远两体问题的处理方法：约化相对于质心的运动随质心的运动由质心运动定理决定先将两粒子间相对运动约化为一个单粒子的运动由单粒子的运动求出两粒子相对于质心的运动两体问题2、两体问题及约化（牛顿力学）11122221m r F m r F，基本方程：1221F F 11220m r m r 引入质心：120M m m 质心保持静止或作匀速直线运动)r r r F m 11212212m m m m r r G m m r r对于万有引力3、两体问题的约化（拉格朗日力学）m1动能：拉格朗日函数：折合质量reduced massm14、三维运动转化为平面问题)r (V当粒子处在中心势场中时的方向有心力: 一定点。
定点被称为力心。
F e r F r M r5、约化为一维运动问题 4.1 两体问题有心力一维运动的定性分析 4.1 两体问题有心力运动方程E讨论粒子在吸引势U= -k / r 3中的运动情况解：粒子的有效势能：(1)曲线渐近行为r → ∞，U eff → 0；r →0，U eff → -∞ 。
理论力学题库第一章
应用物理专业理论力学题库-第一章一、填空题1. 在质点运动学中)(t r 给出质点在空间任一时刻所占据的位置，故其表示了质点的运动规律，被称为质点的运动学方程。
2. 运动质点在空间一连串所占据的点形成的一条轨迹，被称为轨道。
3. 一个具有一定几何形状的宏观物体在机械运动中的物质性体现在：不能有两个或两个以上的物体同时占据同一空间；不能从空间某一位置突然改变到另一位置。
4. 质点的运动学方程是时间t 的单值的、连续的函数。
5. 质点的运动轨道的性质，依赖于参考系的选择。
6. 平面极坐标系中速度的表达式是 ，其中 称为径向速度， 称为横向速度。
7. 平面极坐标系中，径向速度是由位矢的量值变化引起的，横向速度是由位矢的方向改变引起的。
8. 平面极坐标系中加速度的表达式是 ，其中 称为径向加速度， 称为横向加速度。
9. 自然坐标系中加速度的表达式是 ，其中两项分别称为 和 。
10.自然坐标系中，切向加速度是由于速度的量值改变引起的，法向加速度是由于速度的方向改变引起的。
11.对于切向加速度τa 与法向加速度n a ，质点运动时，只存在切向加速度，做变速率直线运动；只存在法向加速度，做匀速率曲线运动；切向加速度与法向加速度同时存在，则做变速曲线运动；切向加速度与法向加速度都不存在，则做匀速直线运动。
12.我们通常把物体相对于“静止”参考系的运动叫做绝对运动，物体相对于运动参考系的运动叫做相对运动，物体随运动参考系一起运动而具有相对于静止参考系的运动，叫做牵连运动。
13.绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。
14.绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
15.已知0是S '系相对于S 系的加速度，在相对于S 系作加速直线运动的参考系S '中观察质点的运动时，质点的速度υ'和加速度a '和在S 系中所观察到的υ和a 不同，分别写出它们的关系式：υυυ'+=0，a '+=0。
“有心力”及其做功特点的简介
“有心力”及其做功特点的简介
作者：马剑
来源：《中小学实验与装备》 2017年第4期
１有心力
质点受力通常与质点的位置、速度和时间有关.如果一确定的质点所受的力仅与质点位置有关,即:
F ＝F(r)
则称作场力,存在场力的空间称为力场.如图１所示,一点电荷受到另一固定电荷的静电力仅取决于该电荷相对于固定电荷的距离和方位,静电力为场力;将弹簧一端固定,另一端与质点相连,质点所受之力仅与弹簧受压情况相关,亦为场力.以上两种情况中,质点受力作用线总是通过某一固定点,则将该场力称为有心力.
图１(a)为正点电荷周围引入另一正点电荷受到的场力.图１(b)为弹簧固定于O点,运动质点A受到弹性场力;黑点处表示弹簧自由伸展,弹性力为零.
高中物理知识体系中,除静电力外万有引力也是有心力,其大小是距离的单值函数.在课堂教学的过程中,也会时常遇到有心力做功的问题.例如:①(只考虑中心天体的万有引力作用)按椭圆轨道运行的行星机械能守恒问题;②库伦力做功时的电势能改变问题.
２有心力做功的理论推导
鉴于教师的长足发展,很有必要去弄清楚有心力做功的过程.不难证明,所有有心力场所做的功都与路径无关.在此作如下证明.
如图２所示,设想把质点沿任意路径L 从点P搬运到点Q,计算有心力F 所做的功.由于有心力的大小和方向沿路径L 逐点变化,在此将L 分割成许多小线元.考虑其中任一线元dl,在其上的元功为:
只考虑中心天体的万有引力作用,绕椭圆轨道运行的行星机械能守恒得证.
收稿日期:２０１７－０５－３０。
第4章理论力学习题解
4.1一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，质点的质量为m ，比例系数为k ，如此质点从距原点O 为a 的地方由静止开始运动，求其到达O 点所需的时间。
解：质点受引力为：xk F -=，其运动微分方程为：xk tm-=d d v （1）即： x k xm -=d d v v分离变量积分：⎰⎰-=x axx k m d d 0v v vxa k m ln212=v)ln(2d d xa mk tx -==v （2）（v 与x 反向，取负值） )ln00ln ),0((∞→→>∴∈xa x xa a x令：y ayex aex xa y yyd 2d )ln(22---===，代入（2）式得；mk ty aey2d d 22-=-分离变量积分：)0:0:(∞→→y a x⎰⎰=-∞t yt mk y ea 0d 2d 22t mk a22π2=故到达O 点所需的时间为： km a t 2π=4.2一质点受力3K xa x F +-=作用，求势能)(x V 与运动微分方程的解。
解：C x a x x xa x x F x V ++=+--=-=⎰⎰2232K 21d )K (d )(适当选取势能零点，使0=C ，则222K 21)(xa x x V +=机械能 =++=2222K 2121xa x xm E 常量 （1）将（1）改写成2222K 242xa x E xm --= （2）质点运动微分方程：32K xa x xm +-= 22K 22xa x xmx +-=⇒ （3）（3）+（2）得22K 44)(2x E xx x m -=+ 即0)K(K 4d d 2222=-+E x mtx （4）（4）式通解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=02 K2cos K θt m A Ex当0=x时，222K 21xa x E += 解得KK K)(2max 2a EE x -+=，KK 2aEA -=所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=022K2cos KK Kθt m aE E x4.3若质点受有心力作用而在圆θcos 2a r =上运动时，则5228rh ma F -=，式中m 为质量，h 为速度矩。
《理论力学》课程教学大纲
《理论力学》课程教学大纲课程名称：理论力学课程类别：专业必修课适用专业：物理学考核方式：考试总学时、学分：56 学时 3.5 学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标《理论力学》是物理专业学生的专业主干课，它的基本概念、理论和方法，具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性，通过本课程的学习，使学生掌握理论力学的基本概念、基本理论、基本规律，并能应用这些知识解决具体问题。
该课程主要包括质点运动的基本定理、有心运动和两体问题、一般质点组动力学问题、特殊质点组-刚体的动力学问题以及分析力学初步。
是学习量子力学，电动力学等专业课程的重要基础。
其具体的课程教学目标为：课程教学目标1：使学生对宏观机械运动的规律有一较全面较系统的认识，能掌握处理力学问题的一般方法，为后继理论物理课程的学习打坚实基础。
并培养一定的抽象思维与严密的逻辑推理能力，为今后独立钻研创造条件。
课程教学目标2：在深入掌握力学理论的基础上，有能力居高临下、深入浅出和透彻地分析中学力学教材。
同时，可以初步分析一些生产、生活中的力学问题，提高作为中学物理教师的业务能力。
课程教学目标3：在力学理论的学习中结合运用数学工具处理问题，使学生认识数学与物理的密切关系，培养学生运用数学工具解决物理问题的能力。
课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。
二、课程教学要求本课程前五章也称为牛顿力学，牛顿力学是以质点力学为基础，进而讨论质点组力学，刚体力学，在质点力学中又是以牛顿运动三定律为基础建立起质点力学的理论。
最后一章是分析力学，学习分析力学的理论一定要有牛顿力学的扎实基础，在分析力学中是以虚功原理和达朗伯原理为基础建立起力学系统在广义坐标下的运动方程的积分理论。
三、先修课程力学、高等数学四、课程教学重、难点重点：物体的受力分析；力学体系的平衡方程；点的运动的合成；动力学普遍定理的综合应用；利用虚功原理，达朗贝尔原理求解力学体系的平衡和动力学问题。
有心力
目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1 引言 (2)2 质点在有心力场中的运动性质 (2)2.1 有心力的意义 (2)2.2 质点在有心力场中的运动性质 (2)3 质点在有心力场中运动的求解方法 (4)3.1 牛顿定律法 (4)3.2 比耐公式 (5)3.3 守恒定律法 (5)3.4 分析力学法 (5)4 应用举例 (7)结束语 (11)参考文献 (12)内容摘要：本题目分析了质点在有心力场中的运动性质和有心力场中质点动力学问题求解方法，并以质点在平方反比引力场中运动为例进行分析比较，以加深对有心力场的理解和对各类方法的合理应用。
关键词：有心力运动性质求解方法Abstract：The title of the particle motion in the nature of the central force field and particle dynamics in the central field problem solving methods,and the inverse square gravitational field of the particle in the case of motion were analyzed and compared in order to deepen the understanding of the central field and the rational application of various methods.Key words：Central force The nature of sports Solution1 引言质点在有心力场中的运动是自然界中的运动之一。
有心力不仅在天文学上有着非常重要的应用，而且在近代物理上也促进了一些新的发现。
对于有心力场中质点动力学问题求解方法在各类教材中介绍了一些不同的方法,其中最常用的是比耐公式法。
有心力作用下的运动
有心力作用下的运动·有心力问题的基本规律如前所述，力的作用线始终通过某定点的力称为有心力。
该定点称为力心。
显然，物体之间的万有引力，带电粒子之间的库仑力都是有心力。
仅受有心力作用的物体，其运动必定具有以下特征：（1）物体在其初速度和力心所决定的平面内运动。
（2）有心力对其力心的力臂为零。
所以，有心力对其力心的力矩恒为零，物体对力心的角动量守恒。
（3）由于有心力的大小通常只取决于物体与力心的距离，而与方位角无关，可以证明有心力对物体做功只与起点、终点的位置有关，与其间所通过的路径无关，即有心力是保守力（有势力）。
于是，有心力系统的机械能守恒。
这样，由角动量守恒、机械能守恒可以列出研究有心力问题的两个基本方程。
对下面天体运动、粒子散射实例，我们只作定性讨论。
·天体运动－平方反比引力作用下的运动丹麦天文学家第谷.布拉赫（1546－1601）曾经系统地观测星球的位置。
当时望远镜尚未发明，全部观测仅凭肉眼进行，但其测量结果却以高精密度著称。
其测量的不确定度为2'，‘精度比前人高5倍，有的数据甚至沿用至今。
他把大量资料留给了助手开普勒。
开普勒潜心研究，终于突破自古以来认为行星作圆周运动的思想束缚，总结出开普勒行星运动三定律：（1） 行星轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点。
（2） 行星位矢在相等时间内扫过相等面积。
（3） 行星公转周期的平方正比于轨道半长轴的立方。
事实上，由万有引力和引力势能rGMm E r GMm F -=-=P 2, 从系统角动量守恒和机械能守恒容易得出与开普勒相同的结论。
不仅如此，牛顿得出，质点在平方反比有心力作用下，除了椭圆(e <1)运动以外还可能作抛物线(e =1)和双曲线(e >1)运动（图1），天文观测也证实了有些彗星就是按抛物线或接近抛物线的双曲线运动的。
当然，不管是自然天体，还是人造天体，都可以用有心力作用下的运动进行讨论。
由此，还可以解释，为什么银河系和宇宙中的许多星系都具有类似铁饼的扁平涡旋状结构。
有心力
6
理论力学
质点力学
此时必有： 此时必有：
B
F = −∇V
B r2 A r1
W = ∫ F ⋅ dr = ∫ Fr i ⋅ (dri +rdθ j ) = ∫ Fr dr = −(V2 − V1 )
A
机械能守恒： ∴ 机械能守恒：
1 & & m(r 2 + r 2θ 2 ) + V(r) = E 2 1 & & m(r 2 + r 2θ 2 ) + V(r) = E 2
哈雷慧星
第一章 质点力学
1
理论力学
本节教学目的： 本节教学目的：
质点力学
(1) 掌握有心力的概念和基本性质； 掌握有心力的概念和基本性质； (2) 掌握有心力作用下质点运动轨道满足的方程； 掌握有心力作用下质点运动轨道满足的方程； (3) 掌握两种重要的有心力 与距离平方成反比的引力和 掌握两种重要的有心力:与距离平方成反比的引力和 斥力作用下质点的运动规律及动力学性质. 斥力作用下质点的运动规律及动力学性质 (4) 掌握行星运动规律 掌握行星运动规律——开普勒定律。 开普勒定律。 开普勒定律
1 1 k 2m & E = mv 2 + V ( r ) = m ( r 2 + r 2θ& 2 ) − 2 2 r
k 2m V ( r ) = − r
& r 2θ = h
dr du dθ 1 du du & r= ⋅ ⋅ = - 2 ⋅ hu 2 ⋅ =-h du dθ dt u dθ dθ
c p , ⇒ p = a(1 − e2 ), e < 1 B点： = a − c = a(1 − ) = a(1 − e) = 点 r a 1+ e 13
理论力学试题及答案1精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版理论力学题库简答题1-1.简述伽利略相对性原理和牛顿运动定律成立的参考系。
答：（1）内容：不能借助任何力学实验来判断参考系是静止的还是在匀速直线运动；（2）相对与惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性参考系；（3）牛顿运动定理只能在惯性系成立。
1-2. 简述有心力的性质. 并证明质点在有心力作用下只能在一个平面内运动.证明：只要证明角动量是一个常矢量即可.性质：（1）力的作用线始终通过一定点；（角动量是一个常矢量或质点始终在垂直于角动量的平面内运动）(2) 角动量守恒,或掠面速度守恒；(3) 有心力是保守力, 或机械能守恒.1-3.什么情况下质心与几何中心、重心重合？质心系有何特性？(1) 密度均匀物体质心与几何中心重合；(2) 重力加速度为常量时物体质心与重心重合；质心系的特性：(1) 质心系中各质点相对于质心的总动量为零；(2) 质心系的惯性力矩为零；(3) 质心系的惯性力做功为零。
1-4.太阳和地球组成的两体系统中，分别以地球、太阳、质心为参照系，简述地球、太阳的运动情况。
答： （1）质心参照系中地球、太阳的运动：地球，太阳相对于质心作椭圆运动。
（2）地球参照系中太阳运动：太阳相对于地球作椭圆运动。
（3）太阳参照系中地球的运动：地球相对于太阳作椭圆运动。
2-1.分别说明质点组动量守恒定律、动量矩守恒定律、机械能守恒定律成立的条件。
2-2.说明 质点组 对某定点,如原点O ，的动量矩守恒定律成立的条件（要求写出分量式）。
质点组对原点O 的动量矩守恒定律成立的条件为：0)(1=⨯=∑=e i n i i F r M ，分量守恒。
即： 对x 轴：0)()(1=-∑=e iy i e iz n i i F z F y ；对y 轴：0)()(1=-∑=e iz i e ixn i i F x F z ； 对z 轴：0)()(1=-∑=e ixi e iy n i i F y F x 。
有心力
r=
h2 k 2 2k 2 2 1 + 1 + h 2 k 4 ⋅ (v0 − ) ⋅ cosθ r0
2k 2 2 4 2 e = 1 + h k ⋅ (v0 − ) r0
讨论
1.
当
e=0
E <1
圆形轨道 第一宇宙速度
k GM v0 = = ≈ Rg = 7.9 × 103 m / s r0 r0
解：根据
8ma 2 h 2 F =− r5 d 2u − mhu 2 ( 2 + u ) = F dθ
u= 1 1 = r 2a cosθ
du 1 sin θ = dθ 2a cos 2 θ
d 2u 1 2 1 = [ 2 − ] 2 dθ 2a cos θ cosθ
三、平方反比引力－－－行星的运动
d 2u 2 2 1 2 F = −mhu ( 2 + u ) = −mh u p dθ
说明：行星受力是平方反比引力，但不能说就是万有引 力，因 h、p与行星有关，而万有引力中 k 2 = GM 与行星无关.
m h2 p 1 =− ∝− 2 2 r r
3. 由开普勒第三定律说明 h 2 p 设行星运行周期 ∆ t = τ 由
两种方法结果比较
2E h 2 e = 1+ ( 2) m k
e的物理于意义
e <1 e =1 e >1
E<0 E =0 E >0
椭圆 抛物线 双曲线
说明：轨道的形状由总能量E决定，而E守恒，所以
1 2 k 2m E = E0 = mv0 − 2 r0
初始能量决定
四、开普勒定律 第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一 个焦点上. 第二定律：行星和太阳之间的联线 （矢径），在相等时 间所扫过面积相等. 第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方 成正比. 后来，牛顿发表了万有引力定律。 从开普勒定律推出万有引力定律
理论力学课后题答案
1.1 沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s 的时间为t 1，而通过下一等距离s 的时间为2t .试证明枪弹的减速度（假定是常数）为由题可知示意图如题1.1.1图: {{SSt t 题1.1.1图设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a .则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=-=221210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得 11021at t s v +=再由此式得 ()()2121122t t t t t t s a +-=1.26一弹性绳上端固定，下端悬有m 及m '两质点。
设a 为绳的固有长度，b 为加m 后的伸长，c 为加m '后的伸长。
今将m '任其脱离而下坠，试证质点m 在任一瞬时离上端O 的距离为解 以绳顶端为坐标原点.建立如题1.26.1图所示坐标系.题1.26.1图设绳的弹性系数为k ,则有 kb mg = ① 当 m '脱离下坠前，m 与m '系统平衡.当m '脱离下坠前，m 在拉力T 作用下上升，之后作简运.运动微分方程为 ()ym a y k mg =-- ② 联立①② 得 bb a g y b g y+=+ ③ 0=+y b g y 齐次方程通解 t b g A t b g A Y sin cos 211+= 非齐次方程③的特解 b a Y +=0所以③的通解b a t bg A t b g A Y +++=sin cos 211代入初始条件：0=t 时，,c b a y ++=得0,21==A c A ；故有 b a t b g c y ++=cos 即为m 在任一时刻离上端O 的距离.'1.39 一质点受一与距离23次方成反比的引力作用在一直线上运动。
试证此质点自无穷远到达a 时的速率和自a 静止出发到达4a 时的速率相同。
证 质点受一与距离23次方成反比的力的作用。
有心力作用下限制质点运动范围条件的确定
质点的极径在转过了 m 圈后, 将与其最初的位置
重合, 即轨道闭合.
此外, 离心能的存在使得在一般情况下, 运动
的质点不可能通过力心, 因为当 r y 0 时, 离心能
J2 2mr 2
会变成 无限大.
但 是,
当有 心力 场的 势能
V ( r ) 满足 一定的条件时, 这种情况是 可以发生
的. 考虑( 5)
1 34 . [ 5] 杨德军, 夏清 华. 在 有心 力场 中行 星运 动轨 道稳 定
性的证明[ J] . 大学物理, 2005, 24( 3) : 18- 19. [ 6] 林进福, 赵全福. 开普勒行星运动三定律的证明[ J] .
上海工程技术大 学学报, 2002, 16( 3) : 226. [ 7] A . . 马尔契夫. 理论力 学[ M ] . 李俊峰 译. 北 京: 高
式,
这个条件可由
1 2
mv
2
=
E-
V(r) -
J2 2mr
2
>
0 或 r2 V( r ) +
J2 2m
<
Er 2 得出. 当 r
y0
时, 势能必须满足 V ( r)
<-
1 r2
J2 2m
,
因
为
J2 2m
为有
限值, 则 V ( r)
W-
1 rn
,
其中 n >
2. 即当 r
y 0 时,
V ( r ) 能更快地趋于 - ] , 这才能使运动的质点
第 35 卷 第 3 期 2009 年 9 月
延 边 大 学 学 报( 自然科学版) Jour nal of Y anbian U niver sity ( N atural Science)
§9 有心力
2 2 1 h2 dr h k 2m 2 m 4 常数E r 2 2 r d r r
h2 dr 2 h2 2k 2 1 2 4 2m E r d r r
dr r 2 2 E 2k 2 h2 2 d h m r r
代入 u A cos B sin
k' mh2
1 y
A cos B sin sin
k' mh2 A(1 cos ) B sin A(1 cos ) B sin sin
无穷远处，1 A(1 cos ) B B
sin
h2 k 2 r 1 ( Ah2 k 2 ) cos
u A cos 0 k h2
2
化简 通解
d 2u k2 u 2 2 d h
极坐标下标准圆锥曲线的表达式为 e<1 椭圆
p r 1 e cos
2 2
e=1 抛物线 e>1 双曲线
h k r 2 2 1 ( Ah k ) cos
四、应用
（一）平方反比引力---行星的运动
平方反比引力：
F GM m m k 2 2 mk 2 u2 r2 r
1、用比耐公式讨论
考虑r 1 u
d 2u mk 2 u 2 hu u k 2 u2 d 2 m
2 2
取恰当 极轴使 0 0
守恒方程 (动量矩值守恒+ 机械能守恒)
r与θ之间的微 分关系?
应该从运动微分方程-基本方程出发进行推导.
2 F (r ) m r r 基本方程 2 rh
令 u
理论物理极础附录：有心力和行星轨道
理论物理极础附录：有⼼⼒和⾏星轨道莱尼弯下腰，从望远镜的⽬镜凝视望去。
这是他第⼀次看望远镜。
他看到了⼟星环，惊叹⼟星环之美。
“乔治，你看过⼟星环吗？”乔治点头说：“是的，我看过了。
”莱尼抬起头，继续问：“⼟星环怎么形成的？”乔治说：“正如地球绕着太阳转圈圈。
"莱尼说：“那地球怎么转起来的？”万有引⼒是有⼼⼒有⼼⼒场是这样的⼒场，每⼀点的⼒的⽅向都指向空间处某⼀点，如图1所⽰。
另外，到中⼼点距离相等的地⽅，⼒的⼤⼩是⼀样的。
图1 有⼼⼒从数学观点来看，有⼼⼒场除了具有明显的旋转对称性，别⽆特殊。
但是在物理和物理学史上，有⼼⼒场却⾮常特殊。
⽜顿最先解决的物理问题之⼀⾏星轨道问题就是有⼼⼒场问题。
氢原⼦⾥，电⼦绕着质⼦转，也是有⼼⼒场问题。
两个原⼦相对彼此运动，形成简单分⼦，也可化为有⼼⼒场问题，有⼼⼒的中⼼为两个原⼦的质⼼。
我们来讨论地球的运动。
根据⽜顿定律，太阳对地球的作⽤⼒与地球对太阳的作⽤⼒⼤⼩相等，⽅向相反，作⽤在地球和太阳的连线上。
太阳的质量远⼤于地球的质量，因此太阳的运动可以忽略，可以视为固定不动。
可以将太阳的位置定为坐标原点，x=y=z=0。
⽽地球绕着原点运动。
⽤⽮量\vec{r}表⽰地球的位置，地球位置⽮量的分量为x,y,z。
既然太阳位于原点，地球所受的⼒指向原点。
另外，⼒的⼤⼩只与地球到原点的距离r有关。
具有这样性质——⼒⽅向指向原点，⼤⼩只与到原点距离有关——的⼒称作有⼼⼒。
根据的知识，单位⽮量可写为如下形式：\begin{equation*} \hat{r}=\frac{\vec{r}}{r} \end{equation*}有⼼⼒的数学定义为\begin{equation*} \hat{F}=f(r)\hat{r} \end{equation*}其中f(r)（注：原⽂为f(\vec{r})）决定两项事情。
第⼀，f(r)的函数值的绝对值为地球距离太阳r时的⼒的⼤⼩。
第⼆，f(r)的符号表⽰⼒是指向太阳还是背离太阳，也即表⽰⼒是吸引⼒还是排斥⼒。
有心力与轨道
有心力与轨道英才一班 陈威 学号:2901309029这里我们首先给有心理和轨道下个定义： 有心力：任意时刻，力的方向恒指向一个确定的点的力。
轨道：物体在力的作用下其运动轨迹所组成的图形。
由有心力的定义我们可知我们通常所说的向心力就是有力的一种。
我们知道力是改变物体运动状态的原因，因此力与物体的运动轨迹具有密切的联系。
比如说：汽车在公路路上受一个方向上的牵引力作用做匀加速直线运动，其运动轨迹为直线；抛向空中的石子在重力的作用下做平抛运动，其运动轨迹为抛物线；地球绕太阳的运动轨迹为椭圆等等。
生活中这样的例子数不胜数。
为了便于说明，我们现在讨论天体所受万有引力与轨道之间的关系。
通过圆周运动的只是我们知道，物体作圆周运动的加速度：2t n t n dv v a a a e e dt r =+=+，如果我们将它转化到极坐标下：22222[()][2]d d d d d a a a e e dt dt dt dt dtρθρθρθθρθρρ=+=-++由此我们可以得到牛顿第二定律在极坐标形式下的表达方程：2222[()]......(1)d d GMm m dt dt ρθρρ-=- 22[2]0......(2)d d d m dt dt dt θρθρ+= 对（2），因为0m ≠，所以2220d d d dt dt dtθρθρ+=， 即2()0d d dt dt θρ= 2d dt θρ∴为常数。
令()2....3d h dtθρ=（h 为常数） 对（1），令1λρ=，有22d hh dt θλρ== 2d d d d d h h dt d dt d d ρρθρλλθθθ∴===- 222222()d d d d h h dt dt d d ρλλλθθ∴=-=-带入（1），得：222322d h h GM d λλλλθ--=-即222d GM d hλλθ+=2k GM =令2GM R h λ=-，原式化为：220d RR d θ+=这是一个微分方程，其特征根为：i λ=±120R=A cos +A sin cos()A θθθθ∴=+原方程的特解为（201tanA A A θ==） 即02cos()GMA hλθθ-=+则021cos()GMA h ρθθ=++因为GM 是一个常数，不妨设2k GM =2021cos()k A hρθθ=++而标准的圆锥曲线方程θθcos 1cos 1e pe ed r +=+=（e p 为离心率，为半正交弦）于是我们又可以将原式化为：222021cos()h k hA kρθθ=++ 则22h A k相当于离心率e ，当1e >时为双曲线，1e =时为抛物线，1e <为椭圆。
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教材：周衍柏《理论力学教程》 编
北京交通大学理学院 教师：王波波
2017/3/15
有心力
1
§1.9 有心力
（1）有心力的基本性质 质点所受的力的作用线始终通过某一定点， 则该力称为有心力。该定点称为力心。 有心力分引力和斥力。
在有心力作用下，质点始终在一个平面上运动。
这是一个平面问题，可用（x,y）或（r,q）来描述
有心力
7
将前2式代入(1.9.6)第一式，得到
h2u2
d 2u
dq 2
u
F m
这就是比耐公式
已知力可以求得运动轨道，反之， 已知运动轨道可求力的表示式。
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有心力
8
（3）平方反比引力——行星的运动
行星与太阳之间的引力
F GMm k 2m mk 2u2
r2
r2
代入比耐公式，得
E 0 则 e 1，双曲线。
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有心力
15
（4）开普勒定律
第一定律:行星绕太阳作椭圆运动,太阳位于椭圆的 一个焦点上.
第二定律:行星和太阳之间的连线(矢径),在相等的 时间内所扫过的面积相等.
第三定律:行星公转的周期的平方和轨道半长轴的 立方成正比.
(以下略)
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有心力
dq
r 2E r2 2k 2r h2
m
积分得
sin1 r
2k 2 2h2 4k 4 8Eh2
/m
q
3
2
q0
即
r
h2 / k2
1 1 2h2E / k 2m cos q q0
这是一个圆锥曲线方程，与标准方程比较，得
e
1
2E m
h k2
2
可见 E 0 则 e 1 ，椭圆。
E 0 则 e 1，抛物线。
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有心力
4
有心力的基本方程
m r rq 2 Fr F r
r2q h
有心力是保守力
(1.9.6)
证明：
B
B
W
F dr
A
A Frdr Fq rdq
W
B
A Frdr
B F r dr
A
一般情况下，F r的原函数一定存在，所以上式
积分与路径无关。
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有心力
16
（5）宇宙速度和宇宙航行
利用(1.9.4) r2q h,把 q 从式(1.9.22)中消去,得
1 2
m
r2
h2 r2
k2m r
E
如轨道为椭圆,则在近日点,有
(1.9.28)
r a1 e, r 0
将上式代入(1.9.28),并利用h2 / k2 p, p a1 e ,得
mh2 k 2m mk 2a 1 e2
有心力
3
在极坐标下，运动微分方程为
m r rq 2 Fr F r
m rq 2rq Fq 0
上面的第二式可以变为
(1.9.3)
vq j
v
m 1 d r2q 0 r dt
积分得 r 2q h 或 mr2q mh
q
O
r
vr i
P
动量矩（角动量）守恒
J r p m r v mrvq mr2q
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有心力
11
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(1)椭圆
在B点, r a c a 1 e,q 0 故a 1 e p ,
1 e
即p a 1 e2 ,e 1
(2)抛物线
在B点, r q,q 0, p 2q, e 1
(3)双曲线
在B点, r c a a e 1
故p a e2 1 , e 1
k 2m
k 2m
E 2r 2
r
2a2 1 e2 a 1 e 2a
(1.9.29)
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有心力
17
如轨道为抛物线,则在近日点,
r 0, r q, p 2q
上式代入(1.9.28),得
5
有心力是保守力。
F V
r2 r1
F
r
dr
V2
V1
机械能守恒律
1 m r2 r2q 2 V r E
2
上式代替(1.9.6)中的一式，得基本方程
1 m
2
r 2 r 2q 2
V
r
E
r2q h
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有心力
6
（2）轨道微分方程——比耐公式
求轨道方程的一般方法：求出运动规律，在运动 方程中消去时间t。
h2u2
d 2u
dq 2
u
k 2u2
即
d 2u u k 2
dq 2
h2
令u
k2 h2
上式变为
d 2 dq 2
0
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有心力
9
其解为
d 2 0 dq 2
Acosq q0
所以
u
k2 h2
A cos q
q0
k2 h2
即 r1
h2 / k2
u 1 A cos q q0 h2 / k 2
有心力的情况，可以先从运动微分方程中消去 dt，得轨道微分方程。
令 u 1/ r 得
r
dr dt
dr
dq
ห้องสมุดไป่ตู้
dq
dt
d
dq
1 u
q
1 u2
du q dq
h du
dq
,
r
dr dt
d dt
h
du
dq
d
dq
h
du
dq
dq
dt
h2u2
d 2u
dq 2
这里利用了(1.9.6)中第二式.
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选择适当的积分常数(q0=0)，上式变为
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r
h2 / k2
1 Ah2 / k 2 cosq
有心力
圆锥曲线
10
r
h2 / k2
1 Ah2 / k 2 cosq
与标准圆锥曲线公式
r p
1 e cosq
比较，得
h2 / k 2 p, Ah2 / k 2 Ap e
p为圆锥曲线正焦弦的一半，e为偏心率。
有心力
12
用什么力学量判定轨道的类型？ e只是一个几何量，它与力学量的关系如何？
事实上，可用另一组基本方程求解
1 m
2
r 2 r 2q 2
V
r
E
r2q h
式中
V r
r
k 2m r2
dr
k 2m r
因为
F dV dr
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有心力
13
对于引力，机械能守恒定律具体写为
1 m r2 r2q 2 k 2m E
2
r
利用角动量守恒定律 r2q h 得
r dr dr dq h dr dt dq dt r2 dq
机械能守恒定律变为
1 2
m
h2 r4
dr
dq
2
h2 r2
2k 2 r
E
从上式可解出 dr 后得,
dq
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有心力
hdr
dq
r 2E r2 2k 2r h2
m
14
hdr
有心力的量值一般是矢径的函数，即
F Fr
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或 F F r r
r
有心力
(1.9.1)
2
F F r r
r
F r 0 斥力 F r 0 引力
在直角坐标系下，运动方程为
mx my
F F
r r
x r y r
该方程应用起来不方便.
今后不再在采用直角坐标系研究有心力问题.
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