运筹学期末试题

《运筹学》课程考试试卷( A卷)

专业：管理大类年级：2007考试方式：闭卷学分：3 考试时间：120 分钟

二、已知如下的运输问题（20分）

用表上作业法求该运输问题的最优调运方案

三、已知线性规划问题（15分）

max z ＝3x1＋4x2

－x1＋2x2≤8

x1＋2x2≤12

2x1＋ x2≤16

x1, x2≥0

（1）写出其对偶问题

(2)若其该问题的最优解为，x

1*=20/3, x

2

*=8/3，试用对偶问题的性质，求对偶问题的最优解。

四、求如下图网络的最大流，并找出最小截集和截量。每弧旁的数字是（C ij ,f ij）(15分)

v1（7，4）v3

（8，8）（3，1）（8，6）

v s（3，3）（3，0）v t

（9，4）（2，2）（9，6）

v2（5，5）v4

五、用动态规划方法求解下列非线性规划问题(15分)

max z ＝x1 x22x3

x1＋x2＋x3 =8

x j≥0 （j＝1,2,3）

六、用匈牙利法求解下列指派问题（10分）

有四份工作，分别记作A 、B 、C 、D 。现有甲、乙、丙、丁四人，他们每人做各项工作所需时间如下表所示，问若每份工作只能一人完成，每人只能完成一份工作，如 何分派任务，可使总时间最少？

《运筹学》A 卷标准答案

一、解：(1)单纯形法 （10分）

建立模型：max z = 3x 1+4x 2

2x 1+x 2 ≤ 40 x 1 +3x 2≤30

xj ≥ 0 j = 1,2

首先，将问题化为标准型。加松弛变量x 3，x 4，得

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥=++=+++=4,...,1,030340

243max 42132121j x x x x x x x st x x z j

其次，列出初始单纯形表，计算最优值。 任务 人员

A

B

C

D

甲

4

5

9

8

乙

7

8

11

2

丙

5

9

8

2

丁

3

1

11

4

由单纯形表一得最优解为.70,)4,18(*==z x T

(2)有（1）的最有表可知，线性规划问题的对偶问题的最优解为：Y *=（1，1），即 A 材料的影子价格为1元，B 材料的影子价格为1元。 （5分） （3）目标规划问题的模型： （10分） ⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=-+-=-++=-++++++=+-+

-+

-+-+

-

+

-

-

)2,1(,0,,0,040

27043)

()(min 2133212221112133322211i d d x x d d x x d d x x d d x x st d d P d d P d P z i i

用闭回路法求非基变量的σi j ,

σ11=2, σ12=2,σ23=5, σ32=6, σ33=4, σ34=-3,

对闭回路：x 34- x 24- x 21- x 31做运量调整，调整量为2，得 111223243233

求得所有检验数σ

ij ≥0,且σ

12

=0，所以该问题有多重最优方案。

所以，最终的运量表即为此运输问题的一个最优方案，

其最小运输成本为：104元。

三、解：

（1）对偶问题模型

Min w = 8y1+12y2+16y3

-y1 + y2 +2 y3≥ 3

2y1 +2 y2 +y3≥ 4

yj≥ 0 j = 1,…, 3

（5分）

（2）将x1*=20/3,x2*=8/3代入原问题约束条件，得（1）为严格不等式，x s1>0,由互补松弛性YX s*=0得y1=0；

又因为x1, x2>0，由互补松弛性Y s X*=0，得Y s1=Ys2=0，即原问题约束条件应取等号，故

-y1 + y2 +2 y3 = 3

2y1 +2 y2 +y3 = 4

y1 = 0

解之得y1=0

y2=5/3

y3=2/3

所以对偶问题最优解为Y*=(0, 5/3, 2/3)T，目标函数最优值为Z*=92/3。

（10分）

四、最大流问题（参考）

v1（7，4）v3

（8，8）（3，1）（8，6）

v s（3，3）（3，0）v t

（9，4）（2，2）（9，6）

v2（5，5）v4

t

最大流为（10分）

（5分）

五、解：该问题的阶段数为：3，设状态变量为s

1、s

2

、s

3

，取问题的变量x

1

、x

2

、x

3

为决策变量；

各阶段指标函数按乘积方式结合。令最有函数f k （s k ）表示为第k 阶段的初始状态为s k ，从k 阶段到3阶段所得到的最大值。

设： s 3= x 3 ，s 3+ x 2= s 2 ，s 2+ x 1= s 1

得： 0≤x 3≤s 3 ，0≤x 2≤s 2 ，0≤x 1≤s 1=8

用逆推法求解： 当k=3时， f 3（s 3）=3

30max s x ≤≤（x 3）= s 3及最优解x 3*

= s 3 ，

当k=2时，f 2（s 2）=

2

20max s x ≤≤[x 22

f 3（s 3）]= s 3[x 22

(s 2- x 2)]，解得

f 2（s 2）=4/27 * s 23最优解x 2*= 2s 2 /3， 当k=1时，f 1（s 1）=

1

10max s x ≤≤[x 1 f 2（s 2）]=

1

10max s x ≤≤[x 1* 4/27*（s 1- x 1）3]

解得f 1（s 1）=1/64 * s 14最优解x 1*= s 1 /4， 又已知：s 1=8

所以得：x 1*= s 1 /4=2，f 1（s 1）=64.

由：s 2= s 1- x 1=8-2=6，得：x 2*

= 2s 2 /3= 4，f 2（s 2）=32 ； 由：s 3= s 2- x 2=6-4=2，得：x 2*= s 3= 2，f 3（s 3）=2 ；

得到最优解为：x 1*= s 1 /4=2，x 2*= 2s 2 /3= 4，x 2*

= s 3= 2 最优值为：max z = f 1（s 1）=64

（15分） 六 解：

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡411132895211878954

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡310

2

067309654510

再减去每列最小元素得：

⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡35

2

017304654010用最少直线数覆盖0元素，得