运筹学期末试题

《运筹学》课程考试试卷( A卷)专业：管理大类年级：2007考试方式：闭卷学分：3 考试时间：120 分钟二、已知如下的运输问题（20分）用表上作业法求该运输问题的最优调运方案三、已知线性规划问题（15分）max z ＝3x1＋4x2－x1＋2x2≤8x1＋2x2≤122x1＋ x2≤16x1, x2≥0（1）写出其对偶问题(2)若其该问题的最优解为，x1*=20/3, x2*=8/3，试用对偶问题的性质，求对偶问题的最优解。

四、求如下图网络的最大流，并找出最小截集和截量。

每弧旁的数字是（C ij ,f ij）(15分)v1（7，4）v3（8，8）（3，1）（8，6）v s（3，3）（3，0）v t（9，4）（2，2）（9，6）v2（5，5）v4五、用动态规划方法求解下列非线性规划问题(15分)max z ＝x1 x22x3x1＋x2＋x3 =8x j≥0 （j＝1,2,3）六、用匈牙利法求解下列指派问题（10分）有四份工作，分别记作A 、B 、C 、D 。

现有甲、乙、丙、丁四人，他们每人做各项工作所需时间如下表所示，问若每份工作只能一人完成，每人只能完成一份工作，如 何分派任务，可使总时间最少？《运筹学》A 卷标准答案一、解：(1)单纯形法 （10分）建立模型：max z = 3x 1+4x 22x 1+x 2 ≤ 40 x 1 +3x 2≤30xj ≥ 0 j = 1,2首先，将问题化为标准型。

加松弛变量x 3，x 4，得⎪⎩⎪⎨⎧=≥=++=+++=4,...,1,030340243max 42132121j x x x x x x x st x x z j其次，列出初始单纯形表，计算最优值。

任务 人员ABCD甲4598乙78112丙5982丁31114由单纯形表一得最优解为.70,)4,18(*==z x T(2)有（1）的最有表可知，线性规划问题的对偶问题的最优解为：Y *=（1，1），即 A 材料的影子价格为1元，B 材料的影子价格为1元。

（5分） （3）目标规划问题的模型： （10分） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=-+-=-++=-++++++=+-+-+-+-+-+--)2,1(,0,,0,04027043)()(min 2133212221112133322211i d d x x d d x x d d x x d d x x st d d P d d P d P z i i用闭回路法求非基变量的σi j ,σ11=2, σ12=2,σ23=5, σ32=6, σ33=4, σ34=-3,对闭回路：x 34- x 24- x 21- x 31做运量调整，调整量为2，得 111223243233求得所有检验数σij ≥0,且σ12=0，所以该问题有多重最优方案。

所以，最终的运量表即为此运输问题的一个最优方案，其最小运输成本为：104元。

三、解：（1）对偶问题模型Min w = 8y1+12y2+16y3-y1 + y2 +2 y3≥ 32y1 +2 y2 +y3≥ 4yj≥ 0 j = 1,…, 3（5分）（2）将x1*=20/3,x2*=8/3代入原问题约束条件，得（1）为严格不等式，x s1>0,由互补松弛性YX s*=0得y1=0；又因为x1, x2>0，由互补松弛性Y s X*=0，得Y s1=Ys2=0，即原问题约束条件应取等号，故-y1 + y2 +2 y3 = 32y1 +2 y2 +y3 = 4y1 = 0解之得y1=0y2=5/3y3=2/3所以对偶问题最优解为Y*=(0, 5/3, 2/3)T，目标函数最优值为Z*=92/3。

（10分）四、最大流问题（参考）v1（7，4）v3（8，8）（3，1）（8，6）v s（3，3）（3，0）v t（9，4）（2，2）（9，6）v2（5，5）v4t最大流为（10分）（5分）五、解：该问题的阶段数为：3，设状态变量为s1、s2、s3，取问题的变量x1、x2、x3为决策变量；各阶段指标函数按乘积方式结合。

令最有函数f k （s k ）表示为第k 阶段的初始状态为s k ，从k 阶段到3阶段所得到的最大值。

设： s 3= x 3 ，s 3+ x 2= s 2 ，s 2+ x 1= s 1得： 0≤x 3≤s 3 ，0≤x 2≤s 2 ，0≤x 1≤s 1=8用逆推法求解： 当k=3时， f 3（s 3）=330max s x ≤≤（x 3）= s 3及最优解x 3*= s 3 ，当k=2时，f 2（s 2）=220max s x ≤≤[x 22f 3（s 3）]= s 3[x 22(s 2- x 2)]，解得f 2（s 2）=4/27 * s 23最优解x 2*= 2s 2 /3， 当k=1时，f 1（s 1）=110max s x ≤≤[x 1 f 2（s 2）]=110max s x ≤≤[x 1* 4/27*（s 1- x 1）3]解得f 1（s 1）=1/64 * s 14最优解x 1*= s 1 /4， 又已知：s 1=8所以得：x 1*= s 1 /4=2，f 1（s 1）=64.由：s 2= s 1- x 1=8-2=6，得：x 2*= 2s 2 /3= 4，f 2（s 2）=32 ； 由：s 3= s 2- x 2=6-4=2，得：x 2*= s 3= 2，f 3（s 3）=2 ；得到最优解为：x 1*= s 1 /4=2，x 2*= 2s 2 /3= 4，x 2*= s 3= 2 最优值为：max z = f 1（s 1）=64（15分） 六 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡411132895211878954⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3102067309654510再减去每列最小元素得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡352017304654010用最少直线数覆盖0元素，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3502017304654010未覆盖元素减去1，直线交叉点元素加1得 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡341007203645020找出独立0元素，如图圈中元素。

所以得到最有指派方案：甲做A ；乙做D ；丙做C ；丁做B 。

最工作时间为：15 （10分）《运筹学》课程考试试卷( B卷)专业：管理大类年级：2007考试方式：闭卷学分：3 考试时间：120 分钟二、已知如下的运输问题（20分）用表上作业法求该运输问题的最优调运方案三、已知线性规划问题（15分）Min z = 8x1+12x2+16x3-x1 + x2 +2 x3 ≥ 32x1 +2 x2 + x3 ≥ 4xj≥ 0 j = 1,…, 3(1)写出其对偶问题(2)若对偶问题的最优解为Y★=(20/3,8/3) ，试用对偶问题的性质，求原问题的最优解。

四、求如下图网络的最大流，并找出最小截集和截量。

每弧旁的数字是（C ij, f ij）(15分)v1（7，4）v3（8，8）（3，1）（8，6）v s（3，3）（3，0）v t（9，4）（2，2）（9，6）v2（5，5）v4五、用动态规划方法求解下列非线性规划问题(15分)max z ＝x 1 x 22 x 3x 1＋x 2＋x 3 =8x j ≥0 （j ＝1,2,3）六、用匈牙利法求解下列指派问题（10分）有四份工作，分别记作A 、B 、C 、D 。

现有甲、乙、丙、丁四人，他们每人做各项工作所需时间如下表所示，问若每份工作只能一人完成，每人只能完成一份工作，如何分派任务，可使总时间最少？一、解：(1)单纯形法 （10分）建立模型：max z = 3x 1+4x 22x 1+x 2 ≤ 40 x 1 +3x 2≤30xj ≥ 0 j = 1,2首先，将问题化为标准型。

加松弛变量x 3，x 4，得⎪⎩⎪⎨⎧=≥=++=+++=4,...,1,030340243max 42132121j x x x x x x x st x x z j任务 人员ABCD甲4598乙78112丙5982丁31114由单纯形表一得最优解为.70,)4,18(*==z x T(2)有（1）的最有表可知，线性规划问题的对偶问题的最优解为：Y *=（1，1），即 A 材料的影子价格为1元，B 材料的影子价格为1元。

（5分） （3）目标规划问题的模型： （10分） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=-+-=-++=-++++++=+-+-+-+-+-+--)2,1(,0,,0,04027043)()(min 2133212221112133322211i d d x x d d x x d d x x d d x x st d d P d d P d P z i i用闭回路法求非基变量的σi j ,σ11=2, σ12=2,σ23=5, σ32=6, σ33=4, σ34=-3,111223243233求得所有检验数σij ≥0,且σ12=0，所以该问题有多重最优方案。

所以，最终的运量表即为此运输问题的一个最优方案，其最小运输成本为：104元。

三、解：（1）对偶问题模型（5分）max w ＝3y1＋4y2st. －y1＋2y2≤8y1＋2y2≤122y1＋ y2≤16y1, y2≥0（2）将y1*=20/3,y2*=8/3 代入约束条件，得（1）为严格不等式，即ys1>0,由互补松弛性YsX*=0得x1*=0；又因为y1, y2>0，由互补松弛性Y*Xs=0，得X s1=Xs2=0，即原问题约束条件应取等号，故-x1 + x2 +2 x3 = 32x1 +2 x2 +x3 = 4解之得x1=0,x2=5/3, x3 =2/3所以原问题最优解为X*=(0, 5/3, 2/3)T，目标函数最优值为Z*=92/3。

（10分）四、最大流问题（参考）v1（7，4）v3（8，8）（3，1）（8，6）v s（3，3）（3，0）v t（9，4）（2，2）（9，6）v2（5，5）v4t（9，7） （2，2） （9，7）v 2 （5，5） v 4最大流为15。

（10分） 最小截集为{（v s , v 1）,(v 2, v 3), (v 2 , v 4) }的弧集，最小截量为15。

（5分）五、解：该问题的阶段数为：3，设状态变量为s 1、s 2、s 3，取问题的变量x 1、x 2、x 3为决策变量；各阶段指标函数按乘积方式结合。

令最有函数f k （s k ）表示为第k 阶段的初始状态为s k ，从k 阶段到3阶段所得到的最大值。

设： s 3= x 3 ，s 3+ x 2= s 2 ，s 2+ x 1= s 1得： 0≤x 3≤s 3 ，0≤x 2≤s 2 ，0≤x 1≤s 1=12用逆推法求解： 当k=3时， f 3（s 3）=330max s x ≤≤（x 3）= s 3及最优解x 3*= s 3 ，当k=2时，f 2（s 2）=220max s x ≤≤[x 22f 3（s 3）]= s 3[x 22(s 2- x 2)]，解得f 2（s 2）=4/27 * s 23最优解x 2*= 2s 2 /3， 当k=1时，f 1（s 1）=110max s x ≤≤[x 1 f 2（s 2）]=110max s x ≤≤[x 1* 4/27*（s 1- x 1）3]解得f 1（s 1）=1/64 * s 14最优解x 1*= s 1 /4， 又已知：s 1=12所以得：x 1*= s 1 /4=3，f 1（s 1）=324.由：s 2= s 1- x 1=12-3=9，得：x 2*= 2s 2 /3= 6，f 2（s 2）=108 ；由：s 3= s 2- x 2=9-6=3，得：x 2*= s 3= 3，f 3（s 3）=3 ；得到最优解为：x 1*= s 1 /4=2，x 2*= 2s 2 /3= 4，x 2*= s 3= 2 最优值为：max z = f 1（s 1）=324（15分） 六 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡289541113895421187⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡06733100245100965再减去每列最小元素得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0173350240100465用最少直线数覆盖0元素，得 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0173350240100465未覆盖元素减去1，直线交叉点元素加1得 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0072340150200364找出独立0元素，如图圈中元素。