电能质量的数学分析方法

2
2足条件Fra bibliotekC


( )
d
（平方可积）时，则
t b )dt a
W f ( a, b)
1 a

R
f (t ) (
称为 f(t) 的小波变换；而称 Ψ(t) 为基本小波或母小波函数。 其中a为伸缩参数（尺度因子），b为平移参数。 a、b为连续值称连续小波变换，将其离散化后称为离散 小波变换。参见36页，离散后对计算机才有实际意义。
1 X (0) 1 X (1) 1 W k X (k ) 1 W N 1 X ( N 1) 1 W 1 Wk Wk W ( n1) k
2
x0 x W N 1 1 W k ( N 1) xk 2 x W ( N 1) N 1 1
2.3 小波变换分析方法
二、二进制小波变换
) 定义2：设 m,n (t ) L ( R，如果有常数 A、B（0<A<B<∞）
2
2 m
使得稳定性条件几乎处处成立，即
A (2
mz
) B
则Ψj,k(x)二进制小波。若A=B上式称最稳定条件。 其中： W2m f (n) 2 m / 2
j
2.3 小波变换分析方法
六、在电能质量扰动分析中的应用 2 2 3、小波函数的选择 1 傅氏变换基函数是唯一的。而 0 0 对信号奇异性检测，有很多小波函 -2 -1 10 20 数可满足要求并供选择。考虑到实 0 10 20 0 际应用的实现可行性；减少计算量和对内存的要求；及变换 本质是把信号分解成一系列小波函数的组合，应尽量使小波 函数形状与所分析信号形状一致。 经对满足要求的小波仿真计算，暂降分析用上图阶数为 6的小波（简称db6）性能最好。该小波函数有正交性、双正 交性、紧支撑性和近似对称；消失矩阶数为 6，阶数适中； 支撑区间为11，能有效分辨暂降的起止时间。
a
a (t ) (t / a) d (t / a) / dt a a dt
2.3 小波变换分析方法
六、在电能质量扰动分析中的应用 信号f（t）对应基本小波Ψ (t)的小波变换
d a (t ) d Wf (a, t ) f (t ) a (t ) f (t ) a a [ f (t ) a (t )] dt dt
即小波变换是f(t)在尺度a下，被光滑函数θ (t)平滑后 的一阶导数。因此，当小波变换的模（绝对值）为极大值时， 对应点即为信号f(t)的突变点。也就是说，用小波变换的模 极大值能区分信号突变点（检测出奇异点）。 由于电压暂降发生起、止时刻，电压波形会出现细小的 突变，小波变换可将其放大、显示。因此，能够检测出电压 暂降的起止时间，从而计算出持续时间。
数学变换：用傅氏变换、矢量变换、小波变换和神经网 络等数学方法分析电能质量问题。
重点介绍傅氏变换、矢量变换、小波变换方法。
2.2 傅氏变换分析方法
典型、广泛应用的时---频域分析方法。核心是解决如何 运用FFT分析电能质量问题，重点掌握方法、物理含义。
一、非正弦周期信号分解为三角级数
非正弦信号满足f（t）=（t+kT），可分解为傅氏级数。 例如方波：
iα 1 1 1 i1 i1 1 1 j iα 2）αβ与120互换： i j j i i 1 j i 2 2 β β 2 2 id 1 e j e j 3）αβ与120互换： i j j j e j e 2 q i1 i 2 i1 1 e j j e j j i j e j 2 2 e id i q
h 1
ah bh

T
0 T
f (t )cosh 1tdt f (t )sinh 1tdt

0
典型非正弦周期函数的频谱
傅氏分析中的奇函数、偶函数与奇次谐波、偶次谐波是性 质不同的两个概念。三角波、梯形波表2-1所示。
2.2 傅氏变换分析方法
二、离散傅氏变换（DFT）和快速傅氏变换（FFT） 电能质量监测、控制应用中，通常采集、处理有限长且 离散信号，因此 DFT 是最基本、最常用的运算。公式：
120变换即对称分量变换。三相分量变正、负零序。
4、各变换相互变换公式 1）αβ与
iα cos sin dq互换：i sin cos β id i q id cos sin i q sin cos iα i β
_ c h( n 2k )c j 1, m j ,k m Z ( j, k z ) _ d j , k g ( n 2k )c j 1, m mZ
公式图解见教材 39页。Mallat算法不仅包括分解过程算 法，还包括重构过程算法，公式2-46式。
供电系统电能质量
电能质量的数学分析方法
2.1 电能质量分析方法概述
分析、计算是电能质量现象研究，以及测量、控制装置 研制都需要的重要工作。分析算法主要分三种： 时域分析：利用各种时域仿真程序研究电能质量扰动现 象。如暂态程序EMTP、EMTDC等，电路仿真程序MATLAB、 PSPICE等。分别分析暂态现象和电子控制电路。 时域分析是应用最广泛的一种分析方法。 频域分析：主要用于谐波频谱、谐波潮流的分析。
2.3 小波变换分析方法
六、在电能质量扰动分析中的应用 已有大量报道……。以电压暂降为例介绍用法。实测接 100 地短路暂降现象如图所示 分析指标：深度和持续时间 0 传统算法问题： -100 1、信号奇异性检测原理 0 500 1000 1500 2000 2500 设积分为 1 且无限远衰减为 0 的光滑函数 θ (t) 。由于 θ (t)的导数Ψ (t)必是带通函数，则Ψ (t)可作基本小波。 (t / a) 表示θ (t)对尺度因子a伸缩，则对应尺度因子 用 (t ) 1 a a的小波函数为： d a (t ) 1
但 DFT计算时间长、速度慢，难以“实时”计算。
FFT 是 DFT的快速算法，能显著提高计算速度。1965年 提出FFT算法是里程碑。其中针对N=2整数次幂FFT算法，为 数字化信号处理最常用，掌握迭代流程、方法。
2.2 傅氏变换分析方法
三、采样定理和频谱混叠现象 频谱混叠现象：
采样定理解释：采样频率 fS为原信号最高频率 fC的2倍 以上，即fS ≧2fC ，采样才能正确表达原信号信息，2fC称为 奈魁斯特频率。若 fS <2fC将出现频谱混叠，导致误差。 防止频谱混叠方法：加带宽为fS /2的低通滤波器，滤去 fS /2以上信号分量。但有信号丢失（谐波分析）。
2.2 傅氏变换分析方法
频域分析指将周期性畸变波形利用傅氏级数，分解为基波 和各次谐波的分析方法。
非正弦周期函数分解为傅氏级数基本公式：
f (t ) c0 ch sin(h 1t h )
h 1
其中： c
0

1 T 2 T 2 T
f (t )dt
0
T
或写成：
f (t ) c0 (a h cosh 1t bh sinh 1t )
大量信号分析和处理，都需要防频谱混叠现象。
2.2 傅氏变换分析方法
四、傅氏变换的特点及应用 1、傅氏变换特点：结果为不同频率信号叠加，仅反映 频域局部变化；使用要求满足采样定理、信号稳态、周期变 化条件，否则产生误差；分析有突变信号存在缺陷。 2、FFT在谐波分析仪中的应用：同时采集u、I信号，通 过FFT分析给出各次谐波幅值、相角、功率等。
CPU U 多 路 开 关 低 通 滤 波 器 采 样 保 持
S/H
选
A/D
时钟 存贮器 打印机 其它接口
I
相
电源 同步采样
2.3 小波变换分析方法
短时傅氏变换和小波变换的提出：解决时频局部……。 一、连续和离散小波变换
(t ) L ( R)，Ψ(t)傅氏变换为Ψ^(ώ) ，当满 定义1：设 f(t)、
m f ( t ) ( 2 t k )dt R
称为f(t)的二进制小波变换。 二进制小波有变焦距作用，放大尺度 2-m…… 。且只对 尺度参数离散，不破坏平移参数是独特优点。……
2.3 小波变换分析方法
三、多分辨分析（多尺度分析） 提供构造正交小波的简单方法，为正交小波变换快速算 法提供理论依据。思想与实际工程问题不谋而合，对电能质 量现象分析有重要意义。教材定义、定理……。 四、Mallat算法 基于多分辨理论的小波分析快速算法，地位和作用相当 于FFT。离散Mallat算法公式：
2.3 小波变换分析方法
六、在电能质量扰动分析中的应用 2、检测信号的消噪处理 问题的提出：小波变换模极大值也可能是噪声。 定理 3 ：设 t0 为函数奇异点，则在该点小波变换有极大 值；若在t0的某个领域内，对任意的α ≺1，存在常数A使
Wf (t ) Aa
或用离散二进制尺度变换 log 2 W2 f (t ) log 2 A j 由上式可知信号在t处的Lipschitz指数为正值，则随着 j增大，模极大值的幅值变大，若信号的Lipschitz指数为负 值，情况则相反。噪声信号Lipschitz指数为负值，随j增大 模极大值的幅值变小；因此根据模极大值的特性，可区别暂 降信号或噪声信号，从而实现暂降信号的准确识别。
2.4 矢量变换与瞬时无功功率理论
一、矢量变换 2、dq变换
2π 2π cos cos( ) cos( ) id 2 3 3 变换公式： i 3 2π 2π q sin sin( ) sin( ) 3 3 ia i b ic