结构力学 课件 天津大学 王晖 03

VA 12 20 4 8 30 2
+20 2 1+ 10 2 = 0
VA = 53.33kN
2)计算区段两端点的弯矩 值和剪力值（求出控制截面的
M和Q值）
AC段
A
C
MCA
MC = 0
QCA VA
MCA = VA 2 = 53.33 2
（下边受拉） = 106.66kN m
(3)集中力作用点两侧，剪力 有突变，其差值等于该集中力。 在集中力作用点处弯矩图是连续 的，但因两侧斜率不同，故在弯
矩图上形成尖点。
(4)集中力偶作用处，剪力无变
化，但在集中力偶两侧弯矩有突变，
其差值即为该力偶矩，在弯矩图中 形成台阶，又因集中力偶作用面两 侧的剪力值相同，所以作用面两侧 弯矩图的切线应互相平行。
3．荷载和内力之间的微分关系
q(x)
A
D
P1 P2
B
x
x
y
dx
q(x)
M
D
M + dM
Q dx
Q + dQ
q(x)在dx微段上可视为常数
根据平衡方程，可得出如下公式：
dQ = q dx
d M= q 2 dx
2
dM = Q dx
M、Q和q三者 之间的微分关系，
由微分关系可以看出：
(1)梁上无荷载(q=0)的区段，Q 图为一水平线，弯矩为一斜直线。 (2)梁上有均布荷载(q为常数)区 段，Q图为一斜直线，弯矩图为一 抛物线。
HA = 7.07kN()
10kN
2kN/m
A
VA
4kN m
C
B
VB
10kN
45
D H A
2m

E
MA = 0
4m
2m
2m
2m
VB 8 +10 2 2 4 2 4 10sin45 10 = 0 VB = 8.84kN()
10kN
2kN/m
A
VA
4kN m
C
B
VB
A
2m
q = 20kN/ m
30kN
q = 20kN/ m 10kN
C
F
4m
D
4m
G
2m
B E
2m
HA
VA
A
2m
q = 20kN/ m
30kN
q = 20kN/ m 10kN
VB
C
F
4m
D
4m
G
B E
2m
2m
1) 计算支座反力
X = 0
HA=0
HA A
VA
q = 20kN/ m
30kN
q = 20kN/ m 10kN
A
B
简支梁在均布荷载q作用下的弯矩图
q
A
B
1 ql2 8
MBA
A B
MAB
1 ql2 8
该图为上面两个图叠加（纵坐标 的叠加），即为原AB段的弯矩图。 该方法称为“拟简支梁区段叠加 法”。
“拟简支梁区段叠加法”作图步骤： 将区段两端力偶作用下画出的 弯矩竖标连以虚直线，以此虚直线 为基线，叠加简支梁在荷载作用下 的弯矩图，所得的图线与原水平基 线之间所包含的图形，即为原梁该 区段的弯矩图。
4．用“拟简支梁区段叠加法”绘 弯
矩图
P1
A
q
l
B
P2
M
M
AB段隔离体
q
MAB MBA
A
B
Q AB
QBA
与AB段同长的简支梁，此梁承受 荷载q，两端作用有力偶MAB和MBA。 q MBA MAB
A B
VA
VB
通过对比，QAB= VA QBA= VB
简支梁在MAB和MBA作用下的弯矩图
MBA
MAB
VB
C
2m
F
4m
D
4m
G
B E
2m
2m
MA = 0
VB 12 20 4 4 30 10 20 2 13 10 14 = 0
VB = 106.67kN
HA A
VA
q = 20kN/ m
30kN
q = 20kN/ m 10kN
VB
C
2m
F
4m
D
4m
G
B E
2m
2m
MB = 0
=7.07-8.84=-1.77kN
10kN
NCB
MCB
C
B
E
3) 计算弯矩
QCB
VB
MC = 0
10sin45°×4 VB×2+MCB=0
MCB= 10.60 kN m
4 kN - m
MCA
NCA
C
MCB
NCB
QCA QCB
根据结点C平衡
MCB=MCA+4
MCA= 10.6 4= 14.6 kN m
MAB MBA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
B
Q AB
QBA
与AB段同长的简支梁，此梁承受 荷载q，两端作用有力偶MAB和MBA。 q MBA MAB
A B
VB VA 通过对比，QAB=VA QBA= VB
简支梁在MAB和MBA作用下的弯矩图
M1 D
MAB MBA
C A
1 MC
B D
简支梁在均布荷载q作用下的弯矩图
q
A
2 MC 2 MD
（另加图）GE段
MG = 0
MGB VB 2 + 20 2 3 +10 4 = 0
MGB = 106.67 2 120 40 = 53.34kN m
（下边受拉）
Y = 0
QGB + VB = 20 2 +10
QGB = 106.67 + 50 = 56.67kN
4．用“拟简支梁区段叠加法”绘 弯矩图 绘制弯矩图
1）求支座反力
2）求出各控制截面的M值
集中力作用处、均布荷载起点 和终点处，这些均为控制截面
3）用竖标按比例标出各控制截 面的弯矩 内力和荷载之 间的微分关系 拟简支梁区 段叠加法
4）绘出控制 截面间的弯矩
P1
C
q
l
D
P2
M
M
AB段的隔离体
q
8.84+16.23-10-2×4 -10sin45°=0 反力计算正确
2)计算轴力、剪力
为了计算截面的轴力、剪力和弯 矩，利用截面法。在C处用截面把梁 分成两部分，取截面右边或左边部分 为隔离体，算出切割面内力。
由于截面两侧的某些内力分量会 发生突变，为了使内力符号不致出现 混淆，内力符号用两个下标表示。
例3-3 试绘出图示结构的弯矩和 剪力图。
A
2m
q = 20kN/ m
q 10kN 30kN = 20kN/ m
C
F
4m
D
4m
G
2m
B E
2m
VA = 53.33kN
VB = 106.67kN
1) 计算支座反力
X = 0 MA = 0
HA=0
VB 12 20 4 4 30 10 20 2 13 10 14 = 0
§3-2 静定梁的受力分析
计算
受力 分析 约束力
杆件之间的作用力
杆件 — 基础之间 的作用力
计算内力(M、Q和N) 绘制内力图
一、单跨静定梁 1．单跨静定梁的几种形式
简支梁 外伸梁
悬臂梁
2．梁反力和内力的计算方法
1) 梁反力：以整个梁为 隔离体，利用静力平衡条件 求出支座反力。
2) 梁内力：截面法（即将梁 沿拟求内力截面切开，取截面任 一侧的部分为隔离体，隔离体在 外力（荷载和支座反力）和切割 面内力（M、Q、N对隔离体而言， 已转化为外力）的作用下，处于 平衡状态，利用静力方程可求得 三个内力。）
（另加图）BE段
MB = 0
MBE + 20 2 1+10 2 = 0 MBE = 60KN m
（上边受拉）
Y = 0
QBE = 20 2 +10 = 50KN QEB = 10KN
（另加PowerPoint图）
3) 用拟简支梁区段叠加法绘 制区段中的M图 CD段：将根据MCD与MDC 值建立的竖标连以虚直线，以 此为基线，叠加以简支梁受均 布荷载的M图，并计算出中点 弯矩值。
10kN
2 kN / m
A
10kN
HA
D
MCA
C
NCA NCB
QCA
MCB
C
B
E
VA
QCB
VB
4 kN - m
MCA
MCB
NCA=NCB
NCB
NCA
C
QCA=QCB MCA≠MCB
QCA QCB
10kN
NCB
MCB
C
B
E
QCB
VB
X = 0
NCB=-10cos45°=-7.07kN
Y = 0 QCB=10sin45°VB
（下边受拉）
Y = 0 QCA=VA=53.33kN
（另加图）AD段
MD = 0
MDA + 20 4 2 = VA 6
MDA = 53.33 6 160 = 159.98kN m
（下边受拉）
Y = 0
QDA + 20 4 = VA
QDA = 53.33 80 = 26.67kN
3．荷载和内力之间的微分关系
q(x)
A
D
P1 P2
B
x
x
y
dx
q(x)
M
D
M + dM
Q dx
Q + dQ
q(x)在dx微段上可视为常数
根据平衡方程，可得出如下公式：
dQ = q dx
d M= q 2 dx
2
dM = Q dx
M、Q和q三者 之间的微分关系
由微分关系可以看出： (1)梁上无荷载(q=0)的区段，剪力 图为一水平线，弯矩图为一斜直线。 (2)梁上有均布荷载(q为常数)区段， 剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛 物线。
2m
10kN D H A
A
VA
2kN/m
4kN m
C
B
VB
10kN
45
E
2m
4m
2m
2m
2m
解：1) 计算支座反力 以整个梁为隔离体，利用三个平 衡条件。
10kN D H A
A
VA
2kN/m C
4kN m
B
VB
10kN
45
E

2m
4m
2m
2m
2m
X = 0
HA 10cos 45 = 0
=7.07-8.84=-1.77kN
10kN
NCB
MCB
C
B
E
3) 计算弯矩
QCB
VB
MC = 0
10sin45°×4 VB×2+MCB=0
MCB= 10.60 kN m
4 kN - m
MCA
NCA
C
MCB
NCB
QCA QCB
结点C
MCB=MCA+4
MCA= 10.6 4= 14.6 kN m
第三章
静定梁、静定平面刚架和 三铰拱的计算 §3-1 概述 静定 结构 内力、位 移计算
几何组 成分析
超静定 结构
一、静定结构类型
静定梁
静定刚架
三铰拱
静定桁架
静定组合结构
二、静定结构分析方法
平衡条件 约束反力 选取隔离体
和内力
静定结构内力计算是超静定结构内 力计算和结构位移计算的基础。
B
1 qp 8
即为原AB段的弯矩图
MBA
A B
MAD
1 2 MC +MC
1 qp 8
2 1 MD MD
这种方法即为“拟简支梁区段 叠加法” 作图步骤： 将区段两端力偶作用下画出的 弯矩竖标连以虚直线，以此虚直线 为基线，叠加以简支梁在荷载作用 下的弯矩图，所得的图线与原水平 基线之间所包含的图形，即为原梁 该区段的弯矩图。（另加图）
Y = 0
QCA=VA=53.33kN
AD段
A
C
20kN/ m
D
MDA QDA
VA
MDA
MDA + 20 4 2 = VA 6 = 53.33 6 160
10kN
2 kN / m
A
10kN
HA
D
MCA
C
NCA NCB
QCA
MCB
C
B
E
VA
QCB
VB
4 kN - m
MCA
MCB
NCA=NCB
NCB
NCA
C
QCA=QCB MCA≠MCB
QCA QCB
10kN
NCB
MCB
C
B
E
QCB
VB
X = 0
NCB=-10cos45°=-7.07kN
Y = 0 QCB=10sin45°VB
10kN
45
D H A
2m

E
MB = 0
4m
2m
2m
2m
VA 8 10 10 2 4 6 +4 +10sin45 2 = 0 VA = 16.23kN()
10kN D H A
A
VA
2kN/m
4kN m
C
B
VB
10kN
45
E
2m
4m
2m
2m
2m
利用
Y = 0 进行校核
VB = 106.67kN
MB = 0
VA 12 20 4 8 30 2 +20 2 1+ 10 2 = 0
VA = 53.33kN
利用
Y = 0 进行校核
2)计算区段两端点的弯矩值和 剪力值（求出控制截面的M和Q值） （另加图）AC段
MC = 0
MCA = VA 2 = 53.33 2 = 106.66kN m
MBA
A B
MAB
1 ql2 8
绘制弯矩图 1）求支座反力 2）求出各控制截面的M值 集中力作用处、均布荷载起
点和终点处，这些均为控制截面
3）用竖标按比例标出各控制
截面的弯矩 内力和荷载之 间的微分关系 拟简支梁区 段叠加法
4）绘出控制 截面间的弯矩
例3-3 试绘出图示结构的弯矩图和 剪力图。
3）内力的符号规定 轴力(N)：以拉力为正。 剪力(Q)：使计算截面所在的隔 离体有顺时针转动的 趋势为正。
弯矩(M)：当为水平杆时，使杆
下部受拉的弯矩为正。
例3-1 计算外伸梁的反力及C截 面处的轴力、剪力和弯矩。
10kN D 2m
A
2kN/m C 4m 2m
4kN m
B
10kN
45
E

2m
dQ = q dx
d M= q 2 dx
2
dM = Q dx
(3)集中力作用点两侧，剪力 有突变，其差值等于该集中力。 在集中力作用点处弯矩图是连续 的，但因两侧斜率不同，故在弯
矩图上形成尖点。
(4)集中力偶作用处，剪力无变
化，但在集中力偶两侧弯矩有突变，
其差值即为该力偶矩。在弯矩图中 形成台阶，又因集中力偶作用面两 侧的剪力值相同，所以作用面两侧 弯矩图的切线应互相平行。