田忌赛马的故事

田忌赛马的故事

中国国际广播电台

公元前四世纪的中国，处在诸侯割据的状态，历史上称为“战国时期”。在魏国作官的孙膑，因为受到同僚庞涓的迫害，被齐国使臣救出后，到达齐国国都。

齐国使臣将他引见给齐国的大将军田忌，田忌向孙膑请教兵法，孙膑讲了三天三夜，田忌特别佩服，将孙膑待为贵宾，孙膑对田忌也很感激，经常为他献计献策。

赛马是当时最受齐国贵族欢迎的娱乐项目。上至国王，下到大臣，常常以赛马取乐，并以重金赌输赢。田忌多次与国王及其他大臣赌输赢，屡赌屡输。一天他赛马又输了，回家后闷闷不乐。孙膑安慰他说：“下次有机会带我到马场看看，也许我能帮你。”

当又一次赛马时，孙膑随田忌来到赛马场，满朝文武官员和城里的平民也都来看热闹。孙膑了解到，大家的马按奔跑的速度分为上中下三等，等次不同装饰不同，各家的马依等次比赛，比赛为三赛二胜制。

孙膑仔细观察后发现，田忌的马和其他人的马相差并不远，只是策略运用不当，以致失败。孙膑告诉田忌：“大将军，请放心，我有办法让你获胜。”田忌听后非常高兴，随即以千金作赌注约请国王与他赛马。国王在赛马中从没输过，所以欣然答应了田忌的邀请。

比赛前田忌按照孙膑的主意，用上等马鞍将下等马装饰起来，冒充上等马，与齐王的上等马比赛。比赛开始，只见齐王的好马飞快地冲在前面，而田忌的马远

远落在后面，国王得意地开怀大笑。第二场比赛，还是按照孙膑的安排，田忌用

自己的上等马与国王的中等马比赛，在一片喝彩中，只见田忌的马竟然冲到齐王

的马前面，赢了第二场。关键的第三场，田忌的中等马和国王的下等马比赛，田

忌的马又一次冲到国王的马前面，结果二比一，田忌赢了国王。

从未输过比赛的国王目瞪口呆，他不知道田忌从哪里得到了这么好的赛马。

这时田忌告诉齐王，他的胜利并不是因为找到了更好的马，而是用了计策。随后，

他将孙膑的计策讲了出来，齐王恍然大悟，立刻把孙膑召入王宫。孙膑告诉齐王，

在双方条件相当时，对策得当可以战胜对方，在双方条件相差很远时，对策得当

也可将损失减低到最低程度。后来，国王任命孙膑为军师，挥指全国的军队。从

此，孙膑协助田忌，改善齐军的作战方法，齐军在与别国军队的战争中因此屡屡

取胜。

田忌赛马的纯贪心算法

2010-10-11 11:57

算法可以用DP，或者给每匹马连线赋权变为二分图最佳匹配，还有就是贪心了。

1.当田忌最慢的马比齐王最慢的马快，赢一场先

2.当田忌最慢的马比齐王最慢的马慢，和齐王最快的马比，输一场

3.当田忌最快的马比齐王最快的马快时，赢一场先。

4.当田忌最快的马比齐王最快的马慢时，拿最慢的马和齐王最快的马比，输一场。

5.当田忌最快的马和齐王最快的马相等时，拿最慢的马来和齐王最快的马比. 田忌赛马贪心的正确性证明。

先说简单状况下的证明：

1.当田忌最慢的马比齐王最慢的马快，赢一场先。因为始终要赢齐王最慢的马，不如用最没用的马来赢它。

2.当田忌最慢的马比齐王最慢的马慢，和齐王最快的马比，输一场。因为田忌最慢的马始终要输的，不如用它来消耗齐王最有用的马。

3.当田忌最慢的和齐王最慢的马慢相等时，分4和5讨论。

4.当田忌最快的马比齐王最快的马快时，赢一场先。因为最快的马的用途就是来赢别人快的马，别人慢的马什么马都能赢。

5.当田忌最快的马比齐王最快的马慢时，拿最慢的马和齐王最快的马比，输一场，因为反正要输一场，不如拿最没用的马输。

6.当田忌最快的马和齐王最快的马相等时，这就要展开讨论了,贪心方法是，拿最慢的马来和齐王最快的马比.

前面的证明像公理样的，大家一看都能认同的，没有异议的，就不细说了。

证明：田忌最快的马和齐王最快的马相等时拿最慢的马来和齐王最快的马比有最优解。

1）假设他们有n匹马，看n=2的时候.

a1 a2

b1 b2

因为田忌最快的马和齐王最快的马相等所以a1=b1,a2=b2 所以这种情况有2种比赛方式，易得这两种方式得分相等。

2）当数列a和数列b全部相等等时(a1=b1,a2=b2...an=bn)，显然最慢的马来和齐王最快的马比有最优解,可以赢n-1长，输1场，找不到更好的方

法了。

3）当数列a和数列b元素全部相等时(a1=b1=a2=b2...=an=bn)，无法赢也不输。

现在假设n匹马时拿最慢的马来和齐王最快的马比有最优解，证明有n+1匹马时拿最慢的马来和齐王最快的马比也有最优解。

数列

a1 a2 a3 a4...an an+1

b1 b2 b3 b4...bn bn+1

其中ai>=ai-1,bi>=bi-1

数列a和数列b不全部相等时，拿最慢的马来和齐王最快的马比数列得到数列(a1) a2 a3 a4...an an+1

b1 b2 b3 b4...bn (bn+1)

分4种情况讨论

1.b1=b2,an=an+1

则有