四川省成都市青白江区九年级数学下册 3.7 切线长定理 圆幂定理(二)导学案(新版)北师大版
九年级数学：切线长定理导学案
OBAP九级 班 姓名：日期： 编号：课题：切线长定理 课型【新授课】一、【新课导入】:（2分钟）1．已知△ABC ，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？ 2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？ 3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？二、【学习目标】:（1分钟）1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点和难点）3、会作已知三角形的内切圆（重点）三、【学习流程】:辨——辨而激思） 教师点拨（成果记录·知识生成）【导学1】基本概念定理生成1.自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题（1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？（2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．（3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明⊙O 的定理吗？如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：（4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。
（5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。
（6）分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况。
【导学2】精选例题分析例.△ABC 的内切圆⊙ O 与AC.AB.BC 分别相切于点D,E,F, AB=5,BC=9,AC=6,求AE.BF.CD 的长小组互动一： 对学： 相互检查自学成果的完成情况，指点纠错。
3.7切线长定理导学案
OB A P课题 3.7切线长定理导学案 时间：3、18 课型：新授 【学习目标】1、了解切线长的概念．2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明. 【重点难点】重点：理解切线长定理的内容. 难点：运用切线长定理进行解题和证明. 【导学流程】 一、知识铺垫：1、直线与圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.2、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 二、引导知新：认真研读教材94--95页内容，完成： 1、过圆上一点能作圆的切线. 2、过圆外一点能作圆的切线.3、过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.4、如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． 三、深入学习：例1、如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=9cm ，BC=14cm,CA=13cm,求AE 、BD 、CF 的长.课海拾贝我的困惑：我们的困惑：E DOA BCF例2、如图：已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，其内切圆⊙O ，切点分别是D 、E 、F ， （1）四边形OECF 的形状是_______．请证明.（2）如果AC=3cm ，BC=4cm ，则内切圆⊙O 的半径等于.四、迁移运用：1、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ， EF 切⊙O 于C 点，分别交PA 、PB 于点E 、F ，已知PA=7cm ，则△PEF 的周长等于_________．2、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．A ．60°B ．75°C ．105°D ．120°3、如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=7cm ，BC=12cm,CA=9cm,求AE 、BD 、CF 的长.4、如图所示，⊙O 是的外接圆，点I 是△ABC 的内心，延长交⊙O 于点，连结．求证：；课后 反思BA C E D OF∙ABPCEF ∙OBAC PO E DOA BCF ABC △AI D BD DC 、BD DC DI ==。
九年级数学下册3.7切线长定理课时教案新版北师大版2
3.7切线长定理一、教学目标1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．2.学会运用切线长定理解有关问题．3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．二、课时安排1课时三、教学重点学会运用切线长定理解有关问题．四、教学难点通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．五、教学过程（一）导入新课1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.2.这样的切线能画出几条？3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.（二）讲授新课活动内容1：探究1：如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°,连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?探究2：切线长概念切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？比一比：切线与切线长切线和切线长是两个不同的概念：1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.折一折：思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么? 证一证：请证明你所发现的结论. PA=PB，∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，∵ OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB.探究2：切线长定理-过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.几何语言：∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法试一试：若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.明确：OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.探究3：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C. （1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC（3）写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的等腰三角形△ABP，△AOB活动2：探究归纳反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.（1）分别连接圆心和切点（2）连接两切点（3）连接圆心和圆外一点（三）重难点精讲【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.【解析】设AF=x,则AE=x∴CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC可得13-x+9-x=14，解得x=4.∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.【例2】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P，求证：AD+BC=AB+CD.证明：由切线长定理得AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即AD+BC=AB+CD，补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．（四）归纳小结通过本课时的学习，需要我们掌握切线的6个性质：（1）切线和圆只有一个公共点.（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于过切点的半径.（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（6）切线长定理.（五）随堂检测1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线，切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（）A.60°B.90°C.120°D.150°2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A．2 B．3 C．3 D．233.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB 于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.【答案】1.答案为C。
九年级数学下册《切线长定理》教案、教学设计
2.教学过程：
（1）导入：通过一个生活实例，如圆形跑道的修建问题，引出切线长定理，激发学生兴趣。
（2）探究：引导学生观察几何图形，提出猜想，尝试证明切线长定理。
（3）讲解：对切线长定理的证明过程进行详细讲解，强调几何逻辑推理的重要性。
九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆的性质、三角形的基本概念有了一定的了解。在此基础上，学习切线长定理，他们能够更好地理解圆与三角形之间的关系，将所学知识进行拓展和深化。然而，学生对切线长定理的理解和应用可能还存在一定难度，特别是定理的证明过程和在实际问题中的应用。
考虑到学生的认知发展水平，他们对抽象几何关系的理解仍有待提高，因此，在教学过程中，应注重从直观到抽象的过渡，通过丰富的实例、生动的语言和形象的表达，帮助学生建立起切线长定理的直观形象。此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏独立思考和创新能力，需要教师在教学过程中给予适当的引导和鼓励。
5.写作任务：结合切线长定理的学习，撰写一篇数学小论文，主题为“切线长定理在实际生活中的应用”。
要求：论文内容要具有实际意义，结构清晰，论据充分。通过写作，培养学生的数学表达能力和创新意识。
6.家长参与：鼓励学生与家长一起探讨切线长定理在实际生活中的应用，共同完成一道实践题。
要求：家长参与学生的数学学习，增进家校合作，提高学生的学习兴趣和积极性。
（4）应用：设计不同难度的练习题，让学生运用切线长定理解决问题，巩固所学知识。
（5）拓展：引导学生探索切线长定理在解决实际问题中的应用，如设计最优路线等。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与度、合作交流、思考过程等，给予及时的反馈和鼓励。
九年级数学《切线长定理》导学案
九年级数学《切线长定理》导学案学习目标：1、了解切线长的定义，掌握切线长定理2、能利用切线长定理解决问题学具准备：圆规、直尺、三角板、量角器等作图工具及练习本学习过程：一、复习旧知切线的判定和性质是什么？二、课堂导学阅读书上99页，完成以下问题：1、切线长定义：过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的，这一点和圆心的连线。
三、课内探究：〔一〕探究切线长的定义：过⊙O外任意一点P，画出⊙O的所有切线。
·OP引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
区别切线切线长〔三〕探究切线长定理：1、猜测上图中，PA与PB、∠APO与∠BPO有什么数量关系？2、尝试通过测量或对折验证猜测。
3、推理证明。
得到：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的，这一点和圆心的连线。
4、定理用几何语言表达为∵∴5、衔接中考：如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，假设∠C＝65°，〔1〕求∠P的度数；〔2〕假设AO＝3，OP=5,求PB的长；〔四〕拓展提升如图：〔见ppt〕假设PA、PB是⊙O的两条切线A、B为切点，直线OP交⊙O于D、E，交AB于点C(1)请写出图中所有相等的线段(2)请写出图中所有的垂直关系(3)请写出图中与∠APO相等的角(4)请写出图中所有的等腰三角形(5) 请写出图中所有的全等三角形(五)课堂小结畅所欲言，查漏补缺四、课后作业如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°。
〔1〕求∠APB的度数；〔2〕当OA=3时，求AP的长。
3.7切线长定理(教案)2018-2019学年九年级下学期数学教材解读(北师大版)
3.增强学生的数学应用意识：将切线长定理应用于解决实际问题，让学生在实际情境中发现数学的价值，提高数学应用意识和解决实际问题的能力，培养数学建模素养。
三、教学难点与重点
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了切线长定理，这是一个在几何学中至关重要的概念。通过教学，我发现学生们对于切线长定理的理解存在几个关键点需要关注。
首先，学生在理解切线长定理的定义上还存在一些困难。尽管通过直观的图形可以让他们感受到切线长相等的性质，但在抽象出定理的具体表述时，他们往往需要更多的时间和引导。我意识到，可能需要通过更多的实际例子和操作，让学生在动手实践中加深对定理的理解。
2.应用切线长定理解决实际问题：结合教材例题，让学生掌握如何利用切线长定理求解与圆相关的线段长度问题，以及在实际应用中如何构建切线长定理模型，提高学生的几何解题能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的几何直观和空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够直观理解圆的切线与半径、弦之间的关系，发展空间想象力和几何直观能力。
其次，定理的证明过程对学生来说是一个挑战。在课堂上，我尝试用了几种不同的方法来证明切线长定理，但显然，对于一部分学生来说，这些证明过程仍然难以消化。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助工具，比如动画或实物模型，来帮助学生更直观地理解证明的每一步。
在应用方面，我发现学生们在面对实际问题时，往往不知道如何运用切线长定理。这可能是因为他们还没有建立起几何问题与定理之间的联系。在未来的教学中，我计划设计更多与实际情境相关的题目，让学生在解决问题的过程中，学会如何将切线长定理应用到具体情境中。
九年级数学初三下册：3.7 切线长定理 教案
A P
O B
A O.
B
直径所 P 直角.
讲授新课
切线长的定义
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和
A
切点之间的线段的长叫作切线长．
O
2.切线长与切线的区别在哪里？ ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外 可以度量．
切线长定理
合作探究
问题 在透明纸上画出下图，设PA，PB是圆O的两条切线 ，沿直线OP对折图形，你能猜测一下PA与PB，∠APO与 什么关系吗？
A
E O
C
D
A
由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14，
解得 x=4.
E O
C
D
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理， 将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
例3 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝ Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r.
如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 30
AFBiblioteka EOBDC
第3题
拓展提升： 6.直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问： (1)它的外接圆半径是 5 cm;内切圆半径是 1 cm？ (2)若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都 求☉O的半径r的取值范围.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= 1 ∠AOC.
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。
2.运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。
3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.圆规、直尺、彩色粉笔。
3.练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。
然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。
同时，解释切线长定理的意义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。
例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。
青白江区九年级数学下册3.7切线长定理圆幂定理(二)教案(新版)北师大版
圆幂定理课程标准描述补充内容,教学大纲无要求考试大纲描述教材内容分析本节课是补充内容，教材上没有学生分析学生在学习了第一节圆幂定理以后，紧跟着学习今天的内容学习目标1. 理解切割线定理、割线定理的定义;2。
掌握切割线定理、割线定理，并能灵活运用切割线定理、割线定理解题。
重点切割线定理、割线定理的理解难点切割线定理、割线定理的应用教学过程教师活动学生活动设计意图（备注)导教师用问题导入，引入新课题,明确目标（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线学生思考，了解学习目标导入新课长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中,∵PA是切线，PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅思 教师出示导学提纲,提出学生自学的明确要求，做好巡视检查，做好小组评价 根据导学提纲阅读教材,完成导学提纲的问题 （2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
让学生认真阅读教材，培养自学能力 C OAP BP即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PC PB PD PE⋅=⋅议教师巡视各组讨论情况,记载各组的共性问题和突出问题，对小组做好评价小组长指导大家起立讨论下列问题利用群学,达成“兵教兵”的目的展教师指导分组展示学习成果,教师注意总结归纳相关问题，并做好小组评价3.如图，BC为⊙O的直径，且BC=6，延长CB与⊙O在点D处的切线交于点A，若AD=4，求AB．学生根据教师要求吧，分组展示,可板书，也可口述检验学生自学成果，为教师的讲铺垫评教师讲授精选例题,同时讲授学生自学过程中发现的突出问题。
教师对优秀小组做出评价.根据教师讲授，学生完成导学提纲上的相关问题,做好笔记知识解难释疑检教师出示当堂检测学生在规定时间内完成当堂检测1.如图,△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，且QA为⊙O的切线(1）求证:QC2-QA2=检测课堂效果BC•QC(2)若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，QC AC=15,求QA 的值．2。
第3章3.7切线长定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)
2.教学难点
（1）切线长定理的证明过程：学生对几何证明的逻辑推理能力要求较高，理解切线长定理的证明过程可能存在困难。
-突破方法：采用直观图形和动画演示，逐步引导学生通过观察和思考，理解证明的每一步逻辑。
（2）切线长定理在复杂图形中的应用：在实际问题中，圆与其他几何图形结合，学生可能难以识别和运用切线长定理。
-突破方法：提供解题思路和方法，如先找切点、再利用定理等，通过分步骤解析，帮助学生建立解题框架。
本节课的教学难点与重点是密切相关的，教师需在教学过程中针对重点内容进行详细讲解和反复强调，同时针对难点内容采取有效方法，帮助学生克服困难，确保学生对切线长定理的理解和应用能力得到全面提升。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
2.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调切线长定理的证明和应用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中的逻辑推理，我会通过逐步引导和举例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规来实际作图，演示切线长定理的基本原理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第3章3.7切线长定理（教案）2023-2024学年九年级下册数学（教案）(北师大版)
2022年初中数学精品导学案《切线长定理》导学案
第3课时 切线长定理学习目标：1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。
学习重点：切线长定理的理解 学习难点：切线长定理的应用 学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？ 三、课内探究：〔一〕探究切线长的定义：如以下图，过⊙O 外一点P ，画出⊙O 的所有切线。
P引出定义：______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，跟踪训练：判断1. 圆的切线长就圆的切线的长度。
〔 〕2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。
〔 〕 〔三〕探究切线长定理：如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。
切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。
该定理用数学符号语言表达为：∵ ∴ 跟踪训练：1. 如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切，切点为点D ， 与AB 、AC 的延长线相切，切点分别为店E 、F ，那么图中相等的线段有__________________________ _____________________________。
2. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，切线长为18，那么从这点到圆的最短距离为________。
3. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=70°。
那么∠P=________。
四、典例解析：例：如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，PA=PB=4cm ，∠P=40°，C 是劣弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 与点D 、E ，试求： 〔1〕△PDE 的周长； 〔2〕∠DOE 的度数。
稳固训练：1.如图，PC 是⊙O 的切线，C 是切点，PO 交⊙O 于点 A ，过点A 的切线交 PC 于点D ，CD ∶DP = 1∶2，AD=2cm ， 求⊙O 的半径。
四川省成都市青白江区九年级数学下册 3.7 切线长定理教案 北师大版
切线长定理课程标准描述探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。
考试大纲描述教材内容分析本节课是一节选学内容，学生的要求较高学生分析实验班学生的理论水平尚且足够，平行班的学生在学习本节内容的时候估计存在困难。
学习目标 1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题.重点切线长定理的理解难点切线长定理的应用教学过程教师活动学生活动设计意图（备注）导教师用问题导入，引入新课题，明确目标（一）探究切线长的定义：如下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线.引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.学生思考，了解学习目标导入新课思教师出示导学提纲，提出学生自学的明确要求，做好巡视检查，做好小组评价根据导学提纲阅读教材，完成导学提纲的问题跟踪训练：判断1. 圆的切线长就是圆的切线的长度.（）2. 过任意一点总可以作圆的两条切线.（）（三）探究切线长定理：让学生认真阅读教材，培养自学能力OBA P如图，已知P A 、PB是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明. 切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等.该定理用数学符号语言叙述为：∵ ∴议教师巡视各组讨论情况，记载各组的共性问题和突出问题，对小组做好评价小组长指导大家起立讨论下列问题利用群学，达成“兵教兵”的目的 展教师指导分组展示学习成果，教师注意总结归纳相关问题，并做好小组评价 典例解析：例1：如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，PA=PB=4cm ，∠P=40°，C 是劣弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 与点D 、E ，试求：（1）△PDE 的周长；（2）∠DOE 的度数. 2. 如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，BC 是直径.学生根据教师要求吧，分组展示，可板书，也可口述 检验学生自学成果，为教师的讲铺垫（1）求证：AC∥OP︵（2）如果∠APC=70°，求AC 的度数3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°.（1）求∠APB的度数；（2）当OA=3时，求AP的长.评教师讲授精选例题，同时讲授学生自学过程中发现的突出问题。
四川省成都市青白江区九年级数学下册3.7切线长定理圆幂定理(二)导学案(无答案)(新版)北师大版
3.如图，BC为⊙O的直径，且BC=6，延长CB与⊙O在点D处的切线交于点A，若AD=4，求AB ．
检测：
1.如图 ，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，且QA为⊙O的切线
（1）求证：QC2-QA2=BC•QC
（2）若AC恰好为∠BAP的平分线，A B=10，AC=15，求 的值．
【导学流程】
一、基础感知ห้องสมุดไป่ตู้
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线 ，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙ 中，∵ 是切线， 是割线
∴
（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线 ，这一点到 每条割线与圆 的交点的两条线段长的积 相等（如上图）。
即：在⊙ 中，∵ 、 是割线
∴
二、探究未知
2.如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧AE与弧AC相等，ED与AB交于点F，AF＞BF．
（Ⅰ）若AB=11，EF=6，FD=4，求BF；
（Ⅱ）证明：PF⋅PO=PA⋅PB．
圆幂定理
圆幂定理（二）
第1课时导学提纲
班级：___________姓名：______________小组：_______________
学习目标：
1.理解切割线定理、割线定理 的定义；2.掌握切割线定理、割线定理，并能灵活运用切割线定 理、割线定理解题.
学习重点：切割线定理、割线定理的理解
学习难点：切割线定理、割线定理的应用
四川省成都市青白江区九年级数学下册3.7切线长定理圆幂定理(二)教案北师大版(2021年整理)
四川省成都市青白江区九年级数学下册3.7 切线长定理圆幂定理（二）教案（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（四川省成都市青白江区九年级数学下册3.7 切线长定理圆幂定理（二）教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为四川省成都市青白江区九年级数学下册3.7 切线长定理圆幂定理（二）教案（新版）北师大版的全部内容。
圆幂定理课程标准描述补充内容，教学大纲无要求考试大纲描述教材内容分析本节课是补充内容，教材上没有学生分析学生在学习了第一节圆幂定理以后，紧跟着学习今天的内容学习目标 1. 理解切割线定理、割线定理的定义;2. 掌握切割线定理、割线定理，并能灵活运用切割线定理、割线定理解题。
重点切割线定理、割线定理的理解难点切割线定理、割线定理的应用教学过程教师活动学生活动设计意图（备注）导教师用问题导入,引入新课题，明确目标（1）切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O中，∵PA是切线,PB是割线∴2PA PC PB=⋅学生思考,了解学习目标导入新课思教师出示导学提纲，提出学生自学的明确要求，做好巡视检查，做好小组评价根据导学提纲阅读教材,完成导学提纲的问题（2)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）.即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PC PB PD PE⋅=⋅让学生认真阅读教材，培养自学能力议教师巡视各组讨论情况，记载各组的共性问题和突出问题，对小组做好评价小组长指导大家起立讨论下列问题利用群学，达成“兵教兵”的目的COAPBP展教师指导分组展示学习成果,教师注意总结归纳相关问题，并做好小组评价3。
九年级数学下册3.7切线长定理课时教案新版北师大版2
3.7切线长定理一、教学目标1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．2.学会运用切线长定理解有关问题．3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．二、课时安排1课时三、教学重点学会运用切线长定理解有关问题．四、教学难点通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．五、教学过程（一）导入新课1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.2.这样的切线能画出几条？3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.（二）讲授新课活动内容1：探究1：如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°,连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?探究2：切线长概念切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？比一比：切线与切线长切线和切线长是两个不同的概念：1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.折一折：思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么? 证一证：请证明你所发现的结论. PA=PB，∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，∵ OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB.探究2：切线长定理-过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.几何语言：∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法试一试：若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.明确：OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.探究3：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C. （1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC（3）写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的等腰三角形△ABP，△AOB活动2：探究归纳反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.（1）分别连接圆心和切点（2）连接两切点（3）连接圆心和圆外一点（三）重难点精讲【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.【解析】设AF=x,则AE=x∴CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC可得13-x+9-x=14，解得x=4.∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.【例2】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P，求证：AD+BC=AB+CD.证明：由切线长定理得AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即AD+BC=AB+CD，补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．（四）归纳小结通过本课时的学习，需要我们掌握切线的6个性质：（1）切线和圆只有一个公共点.（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于过切点的半径.（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（6）切线长定理.（五）随堂检测1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线，切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（）A.60°B.90°C.120°D.150°2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A．2 B．3 C．3 D．233.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB 于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.【答案】1.答案为C。
永乐场九年级数学下册 3.7 切线长定理导学案(无答案)北师大版(2021年整理)
四川省成都市金堂县又新镇永乐场九年级数学下册3.7 切线长定理导学案（无答案）（新版）北师大版
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3。
7切线长定理
一、学习目标
1、理解并掌握切线长定理、能熟练运用所学定理来解答问题。
2、了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆。
二、自主预习
预习教材第99至100页，思考下列问题,并完成自主预习区。
三、合作探究
四、当堂检测
五、拓展提升。
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圆幂定理 圆幂定理（二）
第1课时导学提纲
班级：___________ 姓名：______________ 小组：_______________
学习目标：
1. 理解切割线定理、割线定理的定义；
2. 掌握切割线定理、割线定理，并能灵活运用切割线定理、割线定理解题.
学习重点：切割线定理、割线定理的理解
学习难点：切割线定理、割线定理的应用
【导学流程】
一、 基础感知
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线
∴ 2PA PC PB =⋅
（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线
∴PC PB PD PE ⋅=⋅
C O
A P
B D
C O P B
E
二、探究未知
请写出你在第一部分“基础感知”中没弄明白的地方：
3.如图，BC 为⊙O 的直径，且BC=6，延长CB 与⊙O 在点D 处的切线交于点A ，若AD=4，求AB ．
检测：
1.如图，△ABC 的外接圆为⊙O ，延长CB 至Q ，再延长QA 至P ，且QA 为⊙O 的切线
（1）求证：QC 2-QA 2=BC•QC
（2）若AC 恰好为∠BAP 的平分线，A B=10，AC=15，求
QA
QC 的值．
2.如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧AE与弧AC相等，ED与AB交于点F，AF＞BF．
（Ⅰ）若AB=11，EF=6，FD=4，求BF；
（Ⅱ）证明：PF⋅PO=PA⋅PB．
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