[理学]固体物理第五章固体中电子的能量状态

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固体物理学：第五章第一节费米分布函数和自由电子气比热容

费米分布函数对所有量子态求和等于系统中总电子数，由于能量状态是准连续分布的，可以由求和变为积分：
N(E)是能态密度函数。
二、基态（T=0K）下的分布函数和自由电子气的费米能
在零温下，分布函数：
其中 function)
称为亥维赛单元函数(Heaviside step
在基态下，所有能量小于或等于费米能的态都被占据，而所有能量高于费米能的态都空着，费米面就是价电子的最高能量，有
第五章金属电子论
§5.1 费米分布函数和自由电子气比热容
一、费米分布函数
金属的物理性质主要取决于导带电子。在单电子近似下，导带电子可以看作是一个近似独立的粒子系统。系统中的电子具有一系列确定的本征态，这些态由能带理论确定。系统的宏观状态，可以用电子在这些本征态的分布来描述，其平衡态分布函数就是费米分布函数：
温度高于德拜温度，晶格比热容其主导作用。只有在低温下，电子对金属的比热容才有显著贡献。
在T趋近于0时，电子比热容按照T的线性函数趋于0，而晶格比热容按照T3趋于0：
令
得到一个温度
以铜为例，取得到
低于此温度电子比热容占优势。
测金属的低温比热容，一般做Cv/T和T2的曲线，我们将得到一个直线，斜率即系数b，截距就是γ。
，估算值和计算值只差一个常数
从5.1.27，得到自由电子气的比热容：
利用
得到
因此

与经典气体不同，电子气的比热容与温度成正比。在室温附近，它只是经典比热的1%左右，电子对比热容的贡献微乎其微。这是因为大多数低于费米能的电子不参与热激发，只有费米面附近的电子才对比热有贡献。金属的总比热容应该包括晶格比热容和电子比热容：
它给出在温度T时，一个能量为E的量子态被电子占据的概率。 EF是费米能，也就是系统的化学势。它与系统温度和电子浓度有关。

固体物理第五章固体电子论基础1

5
5.一些金属元素的自由电子密度一些金属元素的自由电子密度
元素 Li Na K Cu Ag Mg Ca Zn Al In Sn Bi z 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 5 n/1028m-3 4.70 2.65 1.4 8.47 5.86 8.61 4.61 13.2 18.1 11.5 14.8 14.1 rs/10-10m 1.72 2.08 2.57 1.41 1.60 1.41 1.73 1.22 1.10 1.27 1.17 1.19 rs/a0 3.25 3.93 4.86 2.67 3.02 2.66 3.27 2.30 2.07 2.41 2.22 2.25
n= z
ρNA
M
ne2E j = nev = τ 2m
设电子平均自由程为l，设电子平均自由程为，则 τ
2
zρNAe2E j= τ 2mM
(A m )
2
=l v
电流密度可写成
zρNAe E l j= × 2mM v
6.电导率σ 电导率
(A m )
2
j zρNAe l σ= = × 2mM v E
2
1.必须用薛定谔方程来描述电子的运动。必须用薛定谔方程来描述电子的运动。必须用薛定谔方程来描述电子的运动电子的运动不同于气体分子的运动，电子的运动不同于气体分子的运动，不能用经典理论来描述。理论来描述。 2.电子的分布服从量子统计即费米狄拉克分布。电子的分布服从量子统计, 即费米-狄拉克分布狄拉克分布。电子的分布服从量子统计电子的分布不再服从经典的统计分布规律。电子的分布不再服从经典的统计分布规律。 3.电子的运动是在一个周期性势场中进行的。电子的运动是在一个周期性势场中进行的。电子的运动是在一个周期性势场中进行的 4.电子的能级是由一些能带组成。电子的能级是由一些能带组成。电子的能级是由一些能带组成

固体物理chapter 5 固体能带论

VheiGhx VheiGh xa
h
h
倒格矢Gh
2
a
h
, eiGha 1
i 2 hx
V x V0 Vhe a
h0
其中
a
Vh
1 a
2
V
-a
x
i 2 hx
e a dx
2
a
V0
1 a
2
V
-a
x
dx
0
2
V x傅立展式 V x
i 2 hx
Vhe a
h0
2、处于周期性势场中的电子
波函数为
选择原点，
1
1 e ikx L
1 e ikx L
1
i h x
ea
L
1
i h x
e a
L
2
1 e ikx L
1 e ikx i L
2 sin h x
La
2 cos h x
La
三、近自由电子能量的讨论
E
自由电子 E ~ K 关系
E 2 k 2
2m
近自由电子 E ~ K 关系讨论
2 aa
a
（小量变量）
a
aa
a
k h h h 1
aa
a
令Th
2 2m
h
a
2
Ek0
2 2m
h
a
1
2
Th 1
2
Ek0
2 2m
h
a
1
2
Th 1
2
代入（2）式得
[ ] [ ] E (k)
1 2
E
0
k
Ek0
1 2

[理学]固体物理胡安课后答案

第一章晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式格子。

为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。

解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。

因为如图点A 和点B 的格点在晶格结构中所处的地位不同，并不完全等价，平移A →B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。

1.2在正交直角坐标系中，若矢量k l j l i l R l321++=，i ，j ，k 为单位向量。

()3,2,1=i l i 为整数。

问下列情况属于什么点阵？（a ）当i l为全奇或全偶时；（b ）当i l之和为偶数时。

解：112233123l R l a l a l a l i l j l k=++=++ ()...2,1,0,,321±±=l l l当l 为全奇或全偶时为面心立方结构点阵，当321l l l ++之和为偶数时是面心立方结构 1.3 在上题中若=++321l l l 奇数位上有负离子，=++321l l l 偶数位上有正离子，问这一离子晶体属于什么结构？解：是离子晶体，属于氯化钠结构。

1.4 （a ）分别证明，面心立方（fcc ）和体心立方（bcc ）点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等，对fcc 为60○°，对bcc 为109°27′（b ）在金刚石结构中，作任意原子与其四个最近邻原子的连线。

证明任意两条线之间夹角θ均为'1cos 109273arc ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'1cos 109273arc ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解:（1）对于面心立方()12a a j k =+ ()22a a i k =+ ()32aa i j =+13222a a a a === ()1212121602a a COS a a a a ⋅⋅=== ()2323231602a a COS a a a a ⋅⋅=== ()1360COS a a ⋅=（2）对于体心立方()12a a i j k =-++ ()22a a i j k =-+ ()32aa i j k =+-12332a a a a ===()12'12121129273a a COS a a a a ⋅⋅==-= ()'1313131129273a a COS a a a a ⋅⋅==-= ()'2312927COS a a ⋅= （3）对于金刚石晶胞 ()134a i j k η=++ ()234a i j k η=-- ()2212122122314934a COS a ηηηηηη-⋅⋅===-<η1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .η2⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=109°27′ 1.5 证明：在六角晶系中密勒指数为（h,k,l ）的晶面族间距为212222234-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c l a k hk h d证明: a b a ==元胞基矢的体积 a ai =cos60cos301322b a i j ai aj=-+=-+cck =2000200a a c cΩ=-= 倒格子基矢 )33(2][2j i a c b a+=Ω⨯=*ππ jaa c b334][2ππ=Ω⨯=*kc b a cππ2][2=Ω⨯=*倒格矢：***hkl G ha kb lc =++ 晶面间距***222cl b k a h Gdhklhkl++==ππ()()()2222222222ha kb lch a k b l c hk a b kl b c hl a c************++=+++⋅+⋅+⋅ 22423a a π*⎛⎫= ⎪⎝⎭ 22423b a π*⎛⎫= ⎪⎝⎭ 222c c π*⎛⎫= ⎪⎝⎭2223a b a π**⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭0b c **⋅= 0a c **⋅=122222222122222242424242333343hkld h k l hk a a a a h k kl l a c ππππ--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫++=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦1.6 证明：底心正交的倒点阵仍为底心正交的。

固体物理-第5章-晶体中电子能带理论-5.6

C
D
kz
B
O ky
kx
a (1,1,0) 2
a (1,0,1) 2
a (0,1,1) 2
a (1,1,0) 2
a (1,0,1) 2
a (0,1,1) 2
B
a (1,1,0) C
2
a (1,0,1) D a (0,1,1)
2
2
a (1,1,0) 2
a (1,0,1) 2
a (0,1,1) 2
结果Es
E Emax Emin 12J1
能带宽度由两因素决定：
(1)重叠积分J1的大小；
2)J1 前数字,即最近邻格点数目（晶体的配位数）
因此,波函数重叠程度越大,配位数越大,能带越宽,反之.
5.6 紧束缚方法第五章晶体中电子能带理论
四、原子能级与能带的对应
EkiJ0RsJ最近邻
k
s
J
0
4J
cos
kxa 2
cos
kya 2
cos kxa cos kza
2
2
cos
kya 2
cos
kza 2
5.6 紧束缚方法第五章晶体中电子能带理论
适用性
1.前面讨论的是最简单的情况,只适用于s态电子,一个原子能级 i
5.6 紧束缚方法第五章晶体中电子能带理论
解：设 J1 J Rs
简立方结构的最近邻格点数为6，位置矢量的坐标： (a,0,0)，(0,a,0)，(0,0,a) (其中a为晶格常量)
Ek
i
J0
Rs
最
J
近邻
Rs
e ikRs
vvvv
k kxi ky j kzk

《固体物理学》房晓勇主编教材课件-第五章金属电子论基础

索末菲(A.Sommerfld)的量子自由电子理论
价电子由于受原子实的束缚较弱，而成为能在晶体内部
大
海自由运动的自由电子。索末菲进一步假定，在自由电子的运大
道
纳动过程中，晶格周期场的影响可以忽略，电子间彼此无相互道
致
百作用。因此可将一个复杂的强关联的多体问题，转化为在平致
川均势场中运动的单电子问题，在首先求得单电子的能级的基
远
dN
=
2
⎛ ⎜⎝
L 2π
⎞3 ⎟⎠
dk
=
V 4π
3
dk
(5 − 13)
？根据泡刺不和容原理，每一个波矢状态只可以容纳两个自旋方向相反的电子。海南大学
第
2. 能级密度分布
(1)电子能级密度定义:
lim G (E ) =
ΔZ = dZ
海
ΔE →0 ΔE dE
E + dE ky ds
(5 − 16)
第
第五章金属电子论基础
在固体材料中，三分之二以上的固态纯元素物质属于金
属材料。由于金属具有极好的导电、导热性能及优良的机械海性能．是一种非常重要的实用材料，所以，通过对金属材料大
纳功能的研究，可以了解金属材料的性质，同时椎动现代固体道
百川
理诧的发展。另一方面．对金属材料的了解，也是认识非金属材料的基础。
道
百
每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程：
致
川
2
− ∇ 2ψ (r ) = Eψ (r ) (5 − 4 )
远
2m
E---电子的能量
ψ----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
海南大学
第

福州大学固体物理第五章

2
2
2
εK
k
(k x k y k z )
2m
2m
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物线函数。
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量子数 ms 1
2
给定了 k 就确定了能级，k 代表同能级上自旋相反的
一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面

2 2
εk
(k x k y2 k z2 )
2m
在波矢空间是一球面方程，不同能量的等能面是一
系列同心球面。
➢费米能级和费米面：
在T=0K时,电子的能级与轨道填充时有两个原则:
① 先填能量低的能级
② 服从泡利原理
在T=0K时，由N个电子组成的自由电子系
2
1
3
相应的费米能：
2
kF
2
EF

(3 2 n) 2 / 3
2me
2m
2
也是由电子气的密度唯一地决定。
费米速度：
k F
vF
(3 2 n)1/ 3
m
m
也唯一决定于电子气密度，电子气的密度越大，
F .VF .k F
都越大。
思考：晶体膨胀时，费米能级如何变化？
如一些典型金属的费米面参数：
面，即E到E+dE之间的体积，可以转化为半径k
到k+dk的两个球面之间的体积。转化公式：
k 2mE /
在波矢空间，波矢为k的球的球体体积为：4/3πk3，
每个k值占的体积为(2π/L)3，每个k又对应自旋相反的一
对电子，则：

《固体物理·黄昆》第五章(1)

每个代表点的体积
1 1 1 b1 ( b2 b3 ) N1 N2 N3
l1 l3 l2 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
( 2 ) Vc
3
状态密度
Vc 3 ( 2 )
3
( 2 ) N N 简约布里渊区的波矢数目 3 ( 2 )
§5.2 周期势场下电子波函数的一般特性:布洛赫定理
布洛赫定理：当势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，波动
方程的解具有以下性质
ik Rn (r Rn ) e (r )
了位相因子 e
k 为一矢量。当平移晶格矢量为 Rn ，波函数只增加
ik R n
H i ( r i ) E i ( r i )
能带理论的基本近似和假设:
3)周期性势场假设: 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
V ( r ) ( r ) u( r )
V ( r ) V ( r Rn )
在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子问题:
1 2 3
布洛赫定理
ik Rm (r Rm ) e (r )
平移算符本征值的物理意义
（1） 1
e
ik a1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
表征原胞之间电子波函数位相的变化（2）平移算符本征值量子数
T和 H存在对易关系，则 H的本征函数同时也是各平移算符T的本征函数 H E T1 1 , T2 2 , T3 3
平移算符的本征值周期性边界条件
三个方向 a1 , a 2 , a 3 上的原胞数目

固体物理：第五章晶体中电子能带理论

电子在一个具有晶格周期性的势场中运动
V r V
r
Rn
其中 Rn 为任意格点的位矢。
2 2 2m
V r
E
2. 布洛赫定理
当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
(
r
Rn
)
eikRn
(
r
),
其中 k
为电子波矢，Rn
n1 a1 n2 a2 n3 a3
是格矢。
个能级分裂成N个相距很近的能级，形成一个准连续的能带。 N个原子继续靠近，次外壳层电子也开始相互反应，能级分裂成能带。
能带理论
能带论是目前研究固体中的电子状态，说明固体性质最重要的理论基础。
能带理论是用量子力学的方法研究固体内部电子运动的理论。它曾经定性地阐明了晶体运动的普遍特点，并进而说明了绝缘体与半导体、导体的区别所在，解释了晶体中电子的平均自由程问题。
原子中的电子处在不同的能级上，形成电子壳层
原子逐渐靠近，外层轨道发生电子的共有化运动——能级分裂
原子外壳层交叠的程度最大，共有化运动显著，能级分裂的很厉害，能带很宽；
原子内壳层交叠的程度小，共有化运动很弱，能级分裂的很小，能带很窄。
N个原子相距很远时，相互作用忽略不计。 N个原子逐渐靠近，最外层电子首先发生共有化运动，每
第五章晶体中电子能带理论
表征、计算和实验观测电子结构是固体物理学的核心问题；这是因为原则上研究电子结构往往是进一步解释或预言许多其他物理性质的必要步骤。
晶体电子结构的内涵是电子的能级以及它们在实空间和动量空间中的分布。
玻尔的原子理论给出这样的原子图像：电子在一些特定的可能轨道上绕核作圆周运动，离核愈远能量愈高，当电子在这些可能的轨道上运动时原子不发射也不吸收能量，只有当电子从一个轨道跃迁到另一个轨道时原子才发射或吸收能量，而且发射或吸收的辐射是单频的。

18、第五章晶体中电子能带理论-布洛赫波函数

德鲁德模型和索末菲模型都是把金属中导电的电子看成自由电子。
量子自由电子理论可以作为一种零级近似而归入能带理论。
第五章晶体电子能带理论
第2页
第五章晶体电子能带理论
1928年：美国物理学家布洛赫（1905-1983）（出生于瑞士的苏黎世）
考虑了晶格周期电势对电子的运动状态的影响，提出了能带理论清楚地给出了固体中电子动量和能量的多重关系，比较彻底地解决了固体中电子的基本理论问题建立了对包括金属、半导体、绝缘体的固体电性质的统一理论。
Page 15
引进平移算符 Tˆ
其作用于任何函数 f ( x) 上的结果是使坐标x平移n个周期
Tˆf ( x) f ( x a) Tˆn f ( x) f ( x na)
(7) (8)
平移算符与哈密顿算符对易，即对于任意函数 f ( x)
第五章晶体电子能带理论
第 15 页
§5.1 布洛赫波函数
第三项和第四项：是N个离子实的动能和库仑相互作用势能；
最后一项：是电子与离子实之间的库仑相互作用势能。
这是一个量级为 1023 / cm3 的NZ＋N多体问题，无法直接求解，需要做一些
假设和近似，主要有三点：
第五章晶体电子能带理论
第6页
第五章晶体电子能带理论
Page 7
1、绝热近似
基于电子和离子实在质量上的巨大差别，电子的速度远大于原子核的速度。因此，在考虑电子的运动时，认为核不动，而电子是在固定不动的原子核（离子实）产生的势场中运动。
代表电子i与所有其它电子的相互作用势能，它不仅考虑了
其它电子对电子i的相互作用，而且也计入了电子i对其它电子的影响。
第五章晶体电子能带理论
第8页

固体物理学：5-3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释

B]}
电子加速度
16
近满带电流变化
—— 正电荷q在电磁场中受到的力电磁场中近满带电流的变化等同于一个带正电q具有正有效质量m*的粒子
17
结论：
当满带顶附近有空状态时，满带产生的电流
以及电流在外电磁场中的变化，相当于一个带正电
量为q，正质量m*、速度
的粒子，这样一个
假想的粒子称为空穴。
以上分析说明，一个晶体是否为导体，取决于电子在能带中的分布情况，关键在于它是否具有不满的能带。原子结合成晶体后，原子的能级转化为相应的能带。原子内层电子能级是充满的，相应的内层能带也是满带，是不导电的。所以，晶体是否导电取决于与价电子能级对应的价带是否被电子充满。由于每个能带可容纳2N个电子，N是晶体原胞数目，因此价带是否被电子填满取决于每个原胞(固体物理学原胞)所含的价电子数目，以及能带是否有交叠。例如： Li、Na、K等碱金属元素，是半满带导体。二价元素Ba、Mg、Zn等是重叠带导体。金刚石，每个原胞有两个原子共8个电子，能带又不重叠，所以是典型的绝缘体。
—— 状态和

状态中电子的速度大小相等、方向相反
3
1) 在无外场时和状态电子的速度大小相等、方向相反
每个电子产生的电流
对电流的贡献相互抵消
热平衡状态下，电子占据波矢为的状态和占据波矢为的状态的几率相等
结论:无外场时晶体中的满带不产生电流（不能形成宏观电流）
4
2) 在有外场作用时
固体中导带底部少量电子引起的导电，称为电子导电
性。固体中满带顶部缺少一些电子引起的导电，称为
空穴导电性。满带中的少量电子激发到导带中，产生
的本征导电是由相同数目的电子和空穴构成的，称为

固体物理学中的电动力学性质研究

固体物理学中的电动力学性质研究固体物理学是关于固体的性质和结构的研究。

而电动力学是研究电子运动和电磁场之间的相互作用的学科。

固体物理学的研究可以深刻理解电子在固体中的行为特性，从而揭示固体中电动力学特性的本质。

本文将深入探讨固体物理学中的电动力学性质研究。

1. 电子结构与电动力学物性要研究固体中的电动力学性质，首先需要理解固体中的电子结构。

固体中的电子有时会被归为“价电子”和“内层电子”两类。

“价电子”是外部电场作用下能够参与化学反应的电子。

如果一个原子在化学键中与其他原子共享价电子，则称这些电子形成键电子。

在固体中，每个原子周围的价电子会形成一个能带。

能带表示可以被电子占据的可行能量区域。

由于能带有限，电子在固体中被限制在特定的能量状态中。

因此，电子运动与其能量分布是关键的，它决定了固体材料的电动力学性质。

2. 离子晶体的电性质离子晶体是由离子化合物构成的晶体，其中含有正离子和负离子。

这些离子通常是由金属和非金属原子结合而成的。

在固体中，离子晶体的电动力学性质包括电导率和介电常数。

电导率是一种材料的导电性能的度量标准，它可以表明离子在离子晶体中的电子运动。

介电常数是一个材料的电极化度量标准。

当材料受到一个电场时，其介电常数改变，这使得离子晶体在电场中发生电极化。

由于离子晶体中的离子运动与电磁场的相互作用不是很强，因此它们通常具有较低的电导率和介电常数。

3. 金属的电性质金属的电性质与离子晶体非常不同。

金属中的电子是在共享价电子的过程中形成的。

共享电子从而产生的电化能够使电子自由地移动。

因此，金属具有非常高的电导率，因为可以自由地移动的电子对于导电来说是关键的。

此外，金属可以形成一个电荷云，这意味着固体可以非常容易地在电场中极化。

这种极化被称为金属的屏蔽效应。

4. 半导体和绝缘体的电性质半导体和绝缘体的电动力学性质介于离子晶体和金属之间。

半导体具有一个禁能带，这意味着在那里的电子不能盲目地移动。

(完整版)黄昆版固体物理学课后答案解析答案

《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。

固体物理第五章

l1 l3 l2 简约波矢 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
第一布里ห้องสมุดไป่ตู้区体积
l1 l3 l2 简约波矢 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
—— 在空间中第一布里渊区均匀分布的点
每个代表点的体积
Vc 状态密度 ( 2 ) 3
(2 ) N 简约布里渊区的波矢数目 N 3 (2 )
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理能量本征值的计算 —— 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合晶体中的电子的波函数按此函数集合展开 —— 将电子的波函数代入薛定谔方程确定展开式中的系数应满足的久期方程求解久期方程得到能量本征值
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理电子波函数的计算
实际上,受晶体的离子和电子产生的晶体势场的影响.
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础能带理论 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 —— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 —— 半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展
—— 根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数
得到具体的波函数
—— 在不同的能带计算模型和方法中采取的理论框架相同，只是选取不同的函数集合
能带理论的局限性一些过渡金属化合物晶体 —— 价电子的迁移率小自由程与晶格间距相当, 电子不为原子所共有周期场失去意义，能带理论不适用了非晶态固体 —— 非晶态固体和液态金属只有短程有序两种物质的电子能谱显然不是长程序的周期场的结果
第一节布洛赫定理
布洛赫波
晶体电子在规则排列的正离子势场中运动，势场具有晶格周期性．周期场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅不再是常数。

《固体物理学》房晓勇主编教材-思考题解答参考05第五章_金属电子论基础

G 黄昆教材： k 空间占有电子与不占有电子区域的分界面称为费米面。
金属电子气模型的费米面是球形。
5.4 说明为什么只有费米面附近的电子才对比热、电导和热导有贡献？解答：本质是，对比热、电导和热导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子，只有费米面附近的电子才能从外界获得能量发生能态跃迁。如对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子，能态能够发生变化的电子仅是费米面附近的电子，因为，在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上。只有费米面附近的电子吸收声子后能跃迁到费米面附近或以外的空状态上。对电导，考虑到泡利不相容原理的限制，只有费米面附近的电子才有可能在外电场作用下，进入较高能级，因而才会对金属电导率有贡献。而对于能量比费米能级低得多的电子，由于它附近的能态已经被占据，没有可以接受它设为空态，所以这些电子不可能从外场获得能量而改变其状态，因而它们并不参与导电。热导与电导相似，
解答：在 T = 0 时，所有电子能量不超过费米能量 EF ，因此没有电子脱离金属；但是，当金属被加
热到很高温度时，将有一部分电子获得的能量大于逸出功，从而脱离金属表面形成热电子发射电流，这种现象称为热电子效应。
5.10 产生接触电势差的原因是什么？
解答：当两块不同的金属 1 和 2 相接触，或用导线连接时，两块金属将彼此带电并产生不同的电势U1
5.5 自由电子气的许多性质与费米波矢有关，试列举或导出下列参数与费米波矢的关系：（1）绝对零度时时的费米能量；（2）电子数密度：（3）金属电子气的总能量；（4）与费米能级对应的能态密度；（5）电子比热。
解答：（1）根据《固体物理学》式
5-19，绝对零度时时的费米能量 EF0

固体物理学中的能带理论

固体物理学中的能带理论固体物理学是研究固体物质特性和行为的学科。

其中，能带理论是固体物理学中的重要内容之一。

这个理论的提出和发展，深刻地影响着我们对物质的认识和应用。

在本文中，将介绍能带理论的基本概念、理论构建的主要过程以及对实际应用的影响。

1. 能带理论的基本概念能带理论是描述固体材料中电子结构的理论框架。

它基于量子力学的原理，认为在固体中，电子的运动状态和能量分别由多个能带和能带间的禁带带宽所决定。

能带是指具有类似能量水平的电子能级。

禁带带宽则表示在能带之间禁止电子的能量范围。

2. 理论构建的主要过程能带理论的构建经历了一系列的发展过程。

最早的一些能带理论如卢瑟福模型和Drude模型，是基于经典力学和经典电动力学的假设，对于一些简单情况具有一定的解释能力。

然而，这些模型无法解释复杂固体中的行为，因为它们没有考虑到量子力学效应。

在量子力学的框架下，人们使用薛定谔方程和波函数的理论来描述电子在固体中的行为。

经典的能带理论建立在Bloch定理的基础上，该定理认为固体中的电子具有周期性的晶格势场作用下的波函数形式。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到电子的能量本征值和本征态。

3. 对实际应用的影响能带理论的提出和发展对固体物理学的研究产生了深远的影响。

首先，能带理论提供了解释固体材料电子运动行为的一个理论模型。

它可以解释金属、绝缘体和半导体等不同类型材料的电导特性，以及它们在外界条件下的响应。

其次，能带理论对材料的设计和合成起着重要作用。

通过对能带结构的调控，我们可以设计出具有特定能带特性的新材料。

例如，针对光电子器件应用的材料，我们可以通过调节能带结构来实现不同波长的能带过渡和光电转换。

而且，能带理论也对半导体器件的工作原理给出了关键的解释。

例如，能带理论对于理解和优化半导体二极管、晶体管和太阳能电池等器件的性能至关重要。

它可以揭示不同物理机制对器件行为的影响，为器件的设计和优化提供了指导。

总结起来，能带理论是固体物理学中一项重要的理论构建。

固体物理学中的电子结构

固体物理学中的电子结构固体物理学是物理学的一个重要分支，它主要研究固体的性质、结构和行为以及它们之间的相互作用。

其中，电子结构是固体物理学研究的一个重要方面。

电子是构成物质的最基本粒子之一，电子结构对于理解物质的基本性质，如导电性、磁性等具有重要意义。

本文将从电子结构的基本概念、方法、实验以及应用等方面进行探讨。

一、基本概念电子结构是指描述电子在原子、分子和晶格中分布和运动的情况。

在固体物理学中，电子结构主要是指晶体的电子结构。

晶体是由大量的原子经过有序排列而组成的固体，其电子结构是由原子的电子结构经过相互作用、相互影响而形成的。

晶体的电子结构对于材料的物理性质、化学性质以及应用性质具有非常重要的影响。

在固体物理学中，电子结构与固体的导电性、热导性、光学性质、磁性等有着密切的关系。

例如，导电性是晶体中电流传输的能力，其性质取决于电子的信息传递和能带结构。

光学性质中的吸收光谱、反射光谱等也都与电子结构密切相关。

因此，对于固体物理学的研究，深入理解电子结构的特征和规律具有非常重要的意义。

二、基本方法研究电子结构的方法是多种多样的，以下是其中几种常用方法：1、晶体衍射晶体衍射是一种研究晶体结构的方法，通过衍射图案可以确定晶体的晶格结构。

衍射图案是由晶格中的电子经过散射、干涉和衍射等过程而形成的。

晶体衍射的方法包括X射线衍射、中子衍射、电子衍射等。

2、能带结构计算能带结构是研究电子在固体中的能量分布，能够描述电子在给定晶体结构下的运动状态。

计算能带结构是研究电子结构的重要方法之一。

目前常用的能带结构计算方法有密度泛函理论（DFT）、紧束缚模型（TBM）、扰动理论等。

其中，DFT由于其准确性和普适性，被广泛应用于计算电子结构。

3、谱学方法谱学方法是直接针对电子结构，通过光学谱学或者物理学的某些特性来研究固体电子结构的一种方法。

谱学方法包括紫外可见吸收光谱、拉曼光谱、X射线光电子能谱（XPS）等。

三、实验研究电子结构的实验研究是通过实验手段对固体电子结构的分布和运动状态进行研究。

电子能带理论知识点

电子能带理论知识点电子能带理论是固体物理学的重要基础理论之一，它用于解释固体材料中电子的行为和性质。

本文将详细介绍电子能带理论的几个重要知识点。

一、能级和能带在固体中，电子的能量与其所处的状态有关。

根据波动方程，我们知道波动运动的粒子，如电子，能量是离散化的，即具有能级结构。

固体中的电子也是如此，它们具有一系列不同的能级。

能带是一组能级的集合，它们有着特定的能量范围和分布特征。

根据电子的自旋和不同的轨道角量子数，我们可以将能带分为价带和导带。

价带中的能级通常被填满，而导带中的能级则可以被电子占据。

二、费米能级费米能级是电子能带理论中的一个重要概念。

它定义了固体中最高占据能级的能量，也即最高已经被填满电子的能级。

费米能级具有以下特点：1. 在零度绝对温度下，费米能级是固体中能量最高的完全填充的能级。

由于电子具有波动性质，根据泡利不相容原理，每个能级上只能容纳一个电子，且自旋方向相反。

费米能级的定义使得能带理论能够解释许多固体材料的电子行为和导电性质。

三、禁带和导电在固体材料中，有些能带之间存在能量间隙，称为禁带。

禁带意味着这段能带范围内没有电子能级，因此电子无法在这个范围内移动。

禁带对固体的导电性起着重要作用。

当禁带宽度较大时，电子很难通过跃迁进入导带或从导带返回到价带，固体的导电性较差，被称为绝缘体。

而当禁带宽度较小或者不存在时，电子很容易跃迁进入导带或从导带返回到价带，固体具有较好的导电性，被称为导体。

四、能带结构与材料性质不同材料的电子能带结构对材料的性质有着重要的影响。

通过调控材料的化学成分、结构和外加电场等手段，我们可以改变材料的能带结构，从而调整材料的电导率、磁性等物理性质。

例如，通过掺杂或合金化可以改变材料的导电性。

掺杂是将外部原子或分子引入材料中，形成缺陷或改变价带和导带的能级结构，从而调节材料的导电性能。

合金化则是将不同的金属元素混合在一起，形成不同的晶格结构和能带结构，从而改变材料的导电性、硬度、磁性等性质。

固体物理学中的电子声子光子自旋磁子相互作用与电子声子光子自旋磁子材料

固体物理学中的电子声子光子自旋磁子相互作用与电子声子光子自旋磁子材料固体物理学中的电子、声子、光子、自旋与磁子相互作用固体物理学研究了固态材料中的物理性质和现象，其中电子、声子、光子、自旋和磁子是关键的研究对象。

这些粒子或波动的相互作用在固态材料的性能和行为中起着重要作用。

本文将探讨固体物理学中的电子、声子、光子、自旋和磁子的相互作用，以及相关材料的特性。

一、电子电子是带负电荷的基本粒子，是化学元素中原子的组成部分。

在固体物理学中，电子在固态材料中的行为对于材料的电子输运、能带结构和电子态密度等性质具有重要影响。

电子的运动状态可以通过色散关系和态密度等参数来描述。

电子在固体中可以发生散射，与其他粒子相互作用。

散射机制包括晶格散射、杂质散射、界面散射等。

这些散射过程会影响电子的能量、动量和自旋状态。

利用电子的散射行为，可以研究材料的输运性质和电子态密度分布。

除了散射，电子在固体中还会与声子、光子、自旋和磁子发生相互作用。

这些相互作用对于固体的电子输运、光学性质和磁性行为等方面起到重要作用。

二、声子声子是固体中的晶格振动模式，是晶体中原子相对平衡位置的偏移。

声子激发可以通过固体中原子的相对位移来传播。

声子与固体材料中的其他粒子相互作用，包括与电子、光子、自旋、磁子的相互作用。

声子与电子之间的相互作用被称为电声耦合。

电声耦合会影响声子的色散关系和声子的寿命。

在一些材料中，电声耦合可以导致声子的局域化和激发出声子能隙。

这些声子能隙对于材料的热学和电输运性质具有重要影响。

声子还可以与光子相互作用，这种相互作用称为声光耦合。

声光耦合可以通过声子在材料中的散射和吸收来描述。

声光耦合对固体中的光学性质和声子的输运行为具有重要影响。

三、光子光子是光的量子，具有电磁波粒二象性。

光子在固体物理学中的研究涉及材料的光学性质和光与其他粒子的相互作用。

光子与电子、声子、自旋、磁子的相互作用对固体材料的光学和电子性质产生重要影响。