(二)整式、分式、二次根式
中考数学考前满分计划：整式、分式、二次根式、因式分解(含解析)
○热○点○考○点○解○读一、整式1．单项式与多项式单独的一个数或一个字母也是单项式．2．合并同类项合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变，例如：合并同类项3x 2y 和4x 2y 为3x 2y +4x 2y =（3+4）x 2y =7x 2y ．3．整式的运算（1）整式的加减运算实际就是合并同类项．（2）整式的乘法：()()a b m n am an bm bn ++=+++．（3）整式的除法：单项式除以单项式时，把系数、相同字母的幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．（4）乘法公式①平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．②完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．4．幂的运算性质（1）同底数幂相乘法则：m n m n a a a +⋅=（,m n 为整数，0a ≠）（2）幂的乘方法则：()m n mn a a =（,m n 为整数，0a ≠）（3）积的乘方法则：()n n n ab a b =（n 为整数，0ab ≠）整式、分式、二次根式、因式分解常识必背语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．5．用十字相乘法分解因式利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用（ax ＋b ）（cx ＋d ）乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式（2）对于二次项系数不是1的二次三项式（a ，b ，c 都是整数且a ≠0）来说，如果存在四个整数，使，，且，那么．一个式子是分式需满足的三个条件：q px x ++2))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++c bx ax ++22121,,,c c a a a a a =⋅21c c c =⋅21b c a c a =+1221c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=易错易混2．约分（1）分式约分时，要注意不注意符号导致的错误．（2）要注意约分不彻底导致的错误．（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分．（4）约分的结果是整式或最简分式．（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．3．分解因式要彻底．方法必知1．同类项（1）几个项是不是同类项，一看所含字母是否完全相同．二看相同字母的指数是否相同．“二同”缺一不可．（2）同类项与单项式的系数无关，与字母顺序无关，几个常数项也是同类项．（3）同类项不一定是两项，也可以是三项，四项……但至少为两项．2．合并同类项（1）合并同类项时，注意合并的只是系数，字母部分不变，不要漏掉．（2）合并同类项时，注意各项系数的符号，尤其系数为负数时，不要遗漏负号，同时不要丢项．（3）如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项的结果为0．3．整式的加减的最后结果的要求：（1）不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；（2）一般按照某一字母的降幂或升幂排列；（3）不能出现带分数，带分数必须要化为假分数．4．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来5．约分时需要注意的问题：（1）如果分子、分母中至少有一个是多顶式，就应先分解因式，然后找出分子、分母的公因式，再约分．（2）注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式，如a﹣5与5﹣a表面虽不相同，但通过提取“﹣”可发现含有公因式（a﹣5）．（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面．通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化而出错．6．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．7．因式分解（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．8．提公因式法（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．9．十字相乘法这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．◇以◇练◇带◇学1．（鞍山）下列运算正确的是( )A ．222(4)8ab a b =B ．22423a a a +=C ．642a a a ÷=D ．222()a b a b +=+2．（攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（邵阳）下列计算正确的是( )A ．623a a a =B ．235()a a =C ．22()()a ba ba b a b +=+++D ．01()13-=4．（内蒙古）下列运算正确的是( )A+=B ．236()a a -=C ．11223a a a+=D ．21133b ab a b÷=5．（成都）若23320ab b --=，则代数式2222(1)ab b a ba a b---÷的值为 ．6．x 的取值范围是 ．7．（扬州）分解因式：24xy x -= ．8．（内蒙古）分解因式：34x x -= ．9．（盐城）先化简，再求值：2(3)(3)(3)a b a b a b +++-，其中2a =，1b =-．10．（滨州）先化简，再求值：22421()244a a a a a a a a -+-÷---+，其中a 满足211(6cos6004a a --⋅+︒=．1．（官渡区校级模拟）按一定规律排列的式子：a ，32a ，54a ，78a ，916a ，⋯，则第2024个式子为( )A ．202320252a B ．20244047(21)a -C ．202340472a D ．202440492a 2．（济南一模）下列运算正确的是( )A ．22a b ab+=B ．2222a b a b a b-=C ．238()a a =D ．84222a a a ÷=3．（金山区二模）单项式22a b -的系数和次数分别是( )A ．2-和2B ．2-和3C ．2和2D ．2和34．（龙岗区模拟）下列计算正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．2323a a a +=C ．2234(3)218ab ab a b -⋅=-D ．326(2)3ab ab b ÷-=-5．（中山市校级一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )A ．2()a a b a ab+=+B ．23()3a ab a a b +-=+-C ．22282(4)ab a a b -=-D ．228(2)(4)a a a a --=+-6．（钱塘区一模）下列因式分解正确的是( )A ．241(41)(41)a a a -=+-B ．225(5)(5)a a a -+=+-C ．22269(3)a ab b a b --=-D ．22816(8)a a a -+=-7．（新乡一模）化简2422a a a ---的结果是( )A ．2a +B ．2a -C ．12a +D ．12a -8．（东莞市校级模拟）分式23x x --的值为0时，x 的值是( )A ．0x =B ．2x =C ．3x =D ．2x =或3x =9．（碑林区校级一模）先化简，再求值：2[(2)(2)(2)](4)a b b a b a a --+-÷，其中12a =，2b =．10．（龙湖区校级一模）先化简，再求值：2344(111x x x x -+-÷++，其中3x =．1．按一定规律排列的单项式：3x ，54x -，79x ，916x -，⋯，第n 个单项式是( )A ．1221(1)n n n x ---B ．1221(1)n n n x ++-C ．1221(1)(1)n n n x ---+D ．1221(1)(1)n n n x ++-+2．下列运算正确的是( )A ．22(4)16x x -=-B ．325x y xy +=C ．432x x x ÷=D ．2224()xy x y =3．下列语句正确的是( )A ．5-不是单项式B ．a 可以表示负数C ．25a b -的系数是5，次数是2D ．221a ab ++是四次三项式4．下列因式分解正确的一项是( )A ．222()x y x y +=+B ．24(2)(2)x x x -=+-C ．2221(1)x x x --=-D ．242(2)xy x xy x +=+5．要使分式11x x -+有意义，则x 应满足的条件是( )A ．1x ≠-B ．1x ≠C ．1x <-D ．1x >-6．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )AB C D7．计算：0|1tan 60|(2024-︒+．8．先化简，再求值：2344(111x x x x -+-÷++，其中3x =．9．先化简，再求值：2(2)(4)a a a -++，其中a =．10．先化简，再求值：(2)(2)4()a b a b a a b -+--，其中2a =-，1b =．1．【答案】C【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、222(4)16ab a b =，故A 不符合题意；B 、22223a a a +=，故B 不符合题意；C 、642a a a ÷=，故C 符合题意；D 、222()2a b a ab b +=++，故D 不符合题意；故选：C ．2．【答案】D【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：D ．3．【答案】D【分析】分别根据分式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则对各选项进行逐一计算即可．【解答】解：A 、633a a a=，原计算错误，不符合题意；B 、236()a a =，原计算错误，不符合题意；C 、221()()a b a b a b a b+=+++，原计算错误，不符合题意；D 、01()13-=，正确，符合题意．故选：D ．4．【答案】D【分析】根据二次根式的加法、幂的乘法与积的乘方以及分式的运算的计算方法解题即可．【解答】解：A +=≠B ．2366()a a a -=-≠，故该选项不正确，不符合题意；C ．11123222223a a a a a a+=+=≠，故该选项不正确，不符合题意；21131.333b a D ab a ab b b ÷=⨯=，故该选项正确，符合题意；故选：D ．5．【答案】23．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：2222(1ab b a b a a b---÷2222(2)a ab b a b a a b--=⋅-222()a b a b a a b-=⋅-()b a b =-2ab b =-，23320ab b --= ，2332ab b ∴-=，223ab b ∴-=，∴原式23=．故答案为：23．6．【答案】3x >．【分析】根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：30x ->，解得：3x >，故答案为：3x >．7．【分析】原式提取x ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)(2)(2)x y x y y =-=+-，故答案为：(2)(2)x y y +-8．【分析】应先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：34x x -，2(4)x x =-，(2)(2)x x x =+-．故答案为：(2)(2)x x x +-．9．【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a ，b 的值代入计算即可求解．【解答】解：2(3)(3)(3)a b a b a b +++-2222699a ab b a b =+++-226a ab =+．当2a =，1b =-时，原式22262(1)=⨯+⨯⨯-812=-4=-．10．【答案】244a a -+，1．【分析】将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，结合负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值化简，整体代入得出答案．【解答】解：原式2421[(2)(2)a a a a a a a -+-=÷---224(2)(2)(1)[](2)(2)a a a a a a a a a a -+--=÷---22244(2)a a a a a a a ---+=÷-24(2)4a a a a a --=⋅-2(2)a =-244a a =-+， 211()6cos6004a a --⋅+︒=，2430a a ∴-+=，243a a ∴-=-，∴原式341=-+=．1．【答案】C【分析】由题目可得式子的一般性规律：第n 个式子为：1212n n a --⋅，当2024n =时，第2024个式子为：202340472a ⋅，即可得出答案．【解答】解：式子的系数为1，2，4，8，16， ，则第n 个式子的系数为：12n -；式子的指数为1，3，5，7，9， ，则第n 个式子的指数为：21n -，∴第n 个式子为：1212n n a --⋅，当2024n =时，第2024个式子为：202340472a ⋅，故选：C ．2．【答案】B【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、单项式除以单项式法则分别判断即可．【解答】解：A 、2a 与b 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B 、2222a b a b a b -=，故此选项符合题意；C 、236()a a =，故此选项不符合题意；D 、84422a a a ÷=，故此选项不符合题意；故选：B．3．【答案】B【分析】数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；由此计算即可．【解答】解：单项式22a b -的系数和次数分别是2-和3，故选：B ．4．【答案】D【分析】根据整式相关运算法则逐项判断即可．【解答】解：235a a a ⋅=，故A 错误，不符合题意；a 与22a 不能合并，故B 错误，不符合题意；2234(3)218ab ab a b -⋅=，故C 错误，不符合题意；326(2)3ab ab b ÷-=-，故D 正确，符合题意；故选：D ．5．【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．22282(4)2(2)(2)ab a a b a b b -=-=+-，分解不彻底，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D ．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D ．6．【答案】B【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可．【解答】解：A ．241(21)(21)a a a -=+-，故本选项不符合题意；B ．225(5)(5)a a a -+=+-，故本选项符合题意；C ．22269(3)a ab b a b -+=-，故本选项不符合题意；D ．22816(4)a a a -+=-，故本选项不符合题意；故选：B ．7．【答案】A【分析】根据分式的加减法运算法则计算即可．【解答】解：2244(2)(2)22222a a a a a a a a a --+-===+----，故选：A ．8．【分析】分式的值为零时：分子等于零且分母不为零．据此求得x 的值．【解答】解：依题意得：20x -=，解得2x =．经检验当2x =时，分母30x -≠，符合题意．故选：B ．9．【答案】2a b -，1-．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把12a =，2b =代入计算即可．【解答】解：原式2222[44(4)](4)a ab b b a a =-+--÷2222(444)(4)a ab b b a a =-+-+÷2(84)(4)a ab a =-÷2a b =-，当12a =，2b =时，原式12212=⨯-=-．10．【答案】12x -，1．【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式213(2)()111x x x x x +-=-÷+++2211(2)x x x x -+=⋅+-12x =-，当3x =时，原式1132==-．1．【答案】B【分析】根据单项式的数字系数的符号，数字系数和指数的变化规律即可得出结果．【解答】解：在上述单项式中，可以发现：奇数项的数字系数的符号为正，偶数项的数字系数的符号为负，∴可得：第n 个单项式的数字系数的符号为：1(1)n --或1(1)n +-，单项式的数字系数为：1，4，9，16， ，∴第n 个单项式的数字系数为：2n ，单项式的指数为：3，5，7，9， ，∴第n 个单项式的指数为：21n +，∴第n 个单项式是1221(1)n n n x ++-，故选：B ．2．【答案】D【分析】根据整式的运算法则逐项分析判断即可．【解答】解：A 、22(4)816x x x -=-+，原计算错误，不符合题意；B 、3x 与2y 不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意；C 、43x x x ÷=，原计算错误不符合题意；D 、2224()xy x y =，正确，符合题意；故选：D ．3．【答案】B【分析】根据单项式的定义可判断A ，根据字母表示数的意义可判断B ，根据单项式系数和次数的定义可判断C ，根据多项式的项和次数的定义可判断D ，进而可得答案．【解答】解：A 、5-是单项式，故本选项错误，不符合题意；B 、a可以表示负数，故本选项正确，符合题意；C 、25a b -的系数是5-，次数是3，故本选项错误，不符合题意；D 、221a ab ++是二次三项式，故本选项错误，不符合题意；故选：B ．4．【答案】B【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．【解答】解：A 、222()x y x y +≠+不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；B 、24(2)(2)x x x -=+-符合因式分解的定义，且因式分解正确，故本选项符合题意；C 、2221(1)x x x --≠-，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；D 、242(2)xy x x y +=+，原因式分解错误，故本选项不符合题意；故选：B ．5．【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【解答】解：由题意，得10x +≠，解得1x ≠-，故选：A ．6．【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．【解答】解：A =，不是最简二次根式，故此选项错误；B ，是最简二次根式，故此选项正确；C 2=，不是最简二次根式，故此选项错误；D =故选：B ．7．．【分析】根据二次根式的混合运算法则和零指数幂与特殊的三角函数值等知识点计算即可．【解答】解：原式11=---+11=-+=．8．【答案】12x -，1．【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【解答】解：原式213(2)()111x x x x x +-=-÷+++2211(2)x x x x -+=⋅+-12x =-，当3x =时，原式1132==-．9．【答案】224a +，原式8=．【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：2(2)(4)a a a -++22444a a a a=-+++224a =+，当a =224224448=⨯+=⨯+=+=．10．【答案】24ab b -，原式9=-．【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：(2)(2)4()a b a b a a b -+--222444a b a ab=--+24ab b =-，当2a =-，1b =时，原式24(2)11819=⨯-⨯-=--=-．。
整式、分式、根式
第二节 整式、分式、根式的运算中学数学中，随着数的范围的扩充，目前运算范围扩充到有理数运算，实数运算，随着字母表示数，运算对象又由数发展到式，相应地引入了整式的运算，分式的运算，根式的运算，随着学习的深入，今后还要扩充到复数运算，熟练掌握这些运算的法则和运算技能，对学好中学数学起起到至关重要的作用．一、知识回顾1、 幂运算：①=⋅n m a a ②()=n m a ③()=mab ④=÷n m a a2、乘法公式：()=±2b a ()()=-+b a b a ()=±3b a ()=++2c b a3、一个正数有 个平方根，它们 ，0的平方根是 ， 数没有平方根．4、在的符号应为被开方数中a ，a ，，=2a ，()=2a5、定义：（1）最简二次根式：①根号内不含分母；②被开方数的每个因式的指数小于2．（2）分母有理化：分子分母同时乘以分母有理化因式（或称共轭因式），化去分母中的根号的过程．（3）繁分式：在分式的分子或分母含有分式的式子．二、诊断练习1、=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--222322322 ．2、()的范围为则x x x ,112-=- ． 3、估算：23250+的值在整数 和整数 之间． 4、=+=+x x ，xx 1212则若 ．5、的值为则若221111,1ba ab +++= ． 6、=++=+2241,51aa a a a 则 ．三、例题讲解【例1】化简下列各式：()3281b a - ()721822-()35353+- ()xy y x x y xy ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-24()()b a b a a<-22115【例2】：化简下列分式：（1）b a b a ba +-+-+11 （2）a ---11111四、训练巩固1、化简下列各式：（1）232- （2）aa a a 166-+- （3）1227- （4）()ab ab b a ab -+23 （5）3535-+ 2、化简下列分式：（1）111+-b b a （2）111111++-+++a a a a的值求时、当122115433+--=a a ，a ． 的值求、33221,1,414xx x x x x -+=-． 的值求、若yxy x y xy x y x ---+=-2232,3115．。
2011中考数学代数式、整式、分式、二次根式知识点
2. 代数式（分类）2.1. 整式（包含题目总数：15）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.1.1. 整式的有关概念用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入．(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．2.1.2. 同类项、合并同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意：(1)同类项与系数大小没有关系；(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．2.1.3. 去括号法则去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．2.1.4. 整式的运算法则整式的加减法：整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．整式的乘法：同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：n m n m a a a +=⋅(n m ,都是正整数)．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：()mn nm a a =(n m ,都是正整数)． 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘．如：()n n n b a ab =(n 为正整数)．单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如：()mc mb ma c b a m ++=++(c b a m ,,,都是单项式)．注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同． ②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．乘法公式：①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+；④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．整式的除法：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)． 单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的．2.2. 因式分解（包含题目总数：14）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.2.1. 因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例如：23248a ab b a ⨯=； ()111+=+a aa a 等，都不是因式分解． (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：()cb ac b a ++=++222，不是因式分解．(3)因式分解和整式乘法是互逆变形．(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：4425b a -在有理数范围内应分解为：()()222255b a b a -+；而在实数范围内则应分解为：()()()b a b a b a 55522-++． 2.2.2. 因式分解的常用方法1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；字母取多项式各项相同的字母；各字母指数取次数最低的．2、运用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．平方差公式：()()b a b a b a -+=-22．完全平方公式：()2222b a b ab a +=++；()2222b a b ab a -=+-．立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+．立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=-．注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．2.2.3. 因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．2.3. 分式（包含题目总数：16）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.3.1. 分式及其相关概念分式的概念：一般的，用B A ,表示两个整式，B A 就可以表示成B A 的形式．如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式． 注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．分式的相关概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分． 一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．2.3.2. 分式的性质分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)．分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如： BA B A B A B A --=--=--=． 2.3.3. 分式的系数化整问题分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n 10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小．(1)b a b a 41313121-+；(2)22226.0411034.0y x y x -+． 分析：第(1)题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可把系数化为整数；第(2)题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数．解：(1)b a b a b a b a b a b a 344612413112312141313121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+；(2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568y x y x -+=． 2.3.4. 分式的运算法则1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcad c d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛(n 为整数)． 3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cb ac b c a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：bdbc ad d c b a ±=±． 分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的． 例、计算78563412+++++-++-++x x x x x x x x ．分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ． 解：原式7175********+++++++-+++-+++=x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=711511311111x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=71513111x x x x ()()()()752312++-++=x x x x()()()()()()()()7531312752++++++-++=x x x x x x x x ()()()()75316416+++++=x x x x x ． 点评：本题考查在分式运算中的技巧问题，要认真分析题目特点，找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到． 2.4. 二次根式（包含题目总数：15）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；2.4.1. 二次根式及其相关概念2.4.1.1. 二次根式的概念式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：①含有二次根号“” ；②被开方数a 必须是非负数．如5，2)(b a -，)3(3≥-a a 都是二次根式．2.4.1.2. 最简二次根式若二次根式满足:①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如a 5，223y x +，22b a +是最简二次根式，而b a ，()2b a +，248ab ，x1就不是最简二次根式． 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来． 2.4.1.3. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．2.4.1.4. 分母有理化把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131 )13)(13(13-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． 2.4.2. 二次根式的性质(1))0()(2≥=a a a ． (2)⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a (3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab ．(4))0,0(>≥=b a b ab a．2.4.3. 二次根式的运算法则二次根式的运算法则：二次根式的加减法法则：(1)先把各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)再把同类二次根式分别合并．二次根式的乘法法则： 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．即：ab b a =⋅(0,≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的除法法则： 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：ba b a=(0,0>≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．例1、计算：6321263212--+++--． 分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于6321+--分母有理化比较麻烦，我们应注意到6321+--()()1312--=；()()13126321-+-=--+，这样做起来就比较简便． 解：6321263212--+++-- ()()()()1312213122-+---= ()()()()213122213122+--++=()()131212++-+= ()132+= 232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-． 分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+=321+=23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a b a +-的值． 分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ， 又372<< ，54<<∴x ．27427,4-=-+==∴b a ．()()()()()()272727762776274274-+--=+-=-+--=+-∴b a b a 31978-=．。
整式、分式、二次根式的性质和概念;
第五章整式、分式、二次根式得知识梳理1、整式得概念与指数:与统称为整式。
单项式包括: 、、 ;一个单项式中所有字母得叫做这个单项式得次数。
多项式:几个单项式得代数与多项式。
单项式中次数最得项就就是这个多项式得次数。
2、分式得概念与意义:一般地,形如式子,且B≠0叫做分式。
(1)、分式有意义得条件:(2)、分式无意义得条件:(3)、分式为0得条件:(4)、分式得基本性质:分式得分子与分母同时 (一个不等于0)得整式,分式得值不变。
(5)、约分:(6)、最简分式:一个分式得分子与分母没有公因式时,这种分式叫做最简分式。
(7)、通分:(8)、最简公分母:(9)、分母有理化:把分母中得根号化去,叫做分母有理化。
注意:分母有理化时,分子与分母需要同时乘分母得有理化因式。
3、二次根式得概念与意义:(1)、定义:形如(a≥0)得式子,叫做二次根式。
(2)、二次根式有意义得条件:二次根式无意义得条件:(3)、二次根式得性质:① =a(a≥0);②= =③= (a≥0, b≥0);④=( a≥0, b＞0)。
（4）、最简二次根式:①中不含二次根式;②被开方数中不含能开得尽得因数或因式。
(5)、同类二次根式:最简二次根式后,被开方数相同,叫做同类二次根式。
知识点二:代数式得运算(一)、整式得加减运算(1)、同类项:(2)、合并同类项法则:(3)、去括号法则:(4)、整式得加减得实质就就是合并同类项。
(二)、整式得乘除(1)、同底数幂得乘法:a m·a n= ,底数不变,指数相加、(2)、幂得乘方与积得乘方:(a m)n= ,底数不变,指数相乘;(3)、(ab)n= ,积得乘方等于各因式乘方得积、(4)、单项式得乘法:系数相乘,相同字母 ,只在一个因式中含有得字母,连同指数写在积里、(5)、单项式与多项式得乘法:m(a+b+c)= ,用单项式去乘多项式得每一项,再把所得得积相加、(6)、多项式得乘法:(a+b)·(c+d)= ,先用多项式得每一项去乘另一个多项式得每一项,再把所得得积相加、(7)、乘法公式:平方差公式:(a+b)(a-b)= ,两个数得与与这两个数得差得积等于这两个数得平方差;完全平方公式:①(a+b)2= ,等于它们得 ,加上它们得积得2倍;② (a-b)2= ,等于它们得 ,减去它们得积得2倍; 十字相乘法:+(m+n)x+mn=( )( )(8)、同底数幂得除法:a m÷a n= ,底数不变,指数相减、(9)、零指数与负指数公式:a0= (a≠0); a-n= ,(a≠0)、注意:00,0-2无意义;(10).单项式除以单项式:(11).多项式除以单项式:★整式混合运算:先 ,后 ,最后 ,有括号先算括号内、★整式得化简:①合并到不能再合并;②首项不能为负数;★整式得因式分解(1)提共因式法:(2)公式法:(3)十字相乘法:(4)分组法,在循环运用“提十公分”法;(三)、分式得运算(1)、分式得加减法:①、同分母得分式相加减,分母 ,把分子相。
冲刺2010中考复习(2)整式、分式、二次根式
第二讲 整式、分式、二次根式内容解读中考中重点考查包括整式的有关概念及计算，同类项与去括号，以及幂的相关性质和运算，了解分式、二次根式的概念，会利用分式基本性质约分和通分，会进行简单的分式和根式运算，两个乘法公式的应用则是考查的难点。
主要题型以填空、选择、计算为主，主要考查方向以概念理解及基础知识的运用能力为主，在考查基础知识、基本技能、基本方法的同时，会加强考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力。
考点剖析1、合并同类项例1：若523m x y +与3n x y 的和是单项式，则mn = ． 答案：142、整式的加减例2：知一个多项式与239x x +的和等于2341x x +-，则这个多项式是（ ） A ．51x -- B ．51x + C ．131x -- D ．131x + 答案：A 3、整式的乘除例3：下列计算正确的是（ ）A .633)(x x =B .2446a a a =⋅ C .2224)()(cb bc bc =-÷- D ．236x x x =÷ 答案：C 4、乘法公式例4：219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 ．答案：5 5、因式分解例5：下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A.x 2－xy B . x 2＋xyC. x 2－y 2D. x 2＋y 2答案：C例6：分解因式2(2)(4)4x x x +++-． 答案：解：原式＝(2)(4)(2)(2)x x x x ++++-＝(2)(22)x x ++＝2(2)(1)x x ++．6、分式的概念例7：当x = 时，分式12x -没有意义． 答案：2例8：若分式11||--x x 的值为零，则x 的值等于 。
答案：－17、分式的运算例9：分式111(1)a a a +++的计算结果是（ ） A ．11a + B ．1a a + C ．1a D ．1a a+答案：C例10：先化简：224226926a a a a a --÷++++，再任选一个你喜欢的数代入求值． 解：224226926a a a a a --÷++++ 2(2)(2)2(3)2(3)2a a a a a +-+=++- 242633a a a a ++=-+++23a =+ 8、二次根式例11 ）ABCD 答案：C例1202)02)(11|1=++-．111=．1= 真题训练1、下列计算正确的是（ ）A 、3252a a a +=B 、326(2)4a a -=C 、222()a b a b +=+ D 、623a a a ÷=2、已知整式61x -的值是2，2y y -的值是2，则22(557)(457)x y xy x x y xy x +--+-=（ ）A ．14-或12B ．14或12- C ．14-或12D ．14或123、在a 2□4a □4空格□中，任意填上“+”或“—”，在所得到的这代数式中，以构成完全平方式的概率是（ ） A ．1B ．12 C ．13D ．144、把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是（ ） A ．2(2)a x -B ．2(2)a x +C ．2(4)a x -D ．(2)(2)a x x +-5、下列运算中，错误．．的是（ ）A 、(0)a ac c b bc =≠ B 、1a ba b--=-+ C 、0.55100.20.323a b a b a b a b ++=-- D 、x y y xx y y x--=++6、要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >7x 的取值范围是 （ ） A ．2x ≠ B ．2x > C ．2x ≤ D ．2x ≥8、化简2b aa a ab ⎛⎫- ⎪-⎝⎭的结果是（ ）A ．a b -B ．a b +C ．1a b -D ．1a b+ 9、若单项式22mx y 与313n x y -是同类项，则m n +的值是 ． 10、若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 ．11、若20a a +=，则2007222++a a 的值为 ．12、若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是 ．13、先化简，再求值：2(21)2(21)3a a +-++，其中a =14、在三个整式2222,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．15、先化简再求值：1x 11x x 31x 3x 32--+÷--，其中x ＝2。
实数、整式、分式及二次根式
专题一 实数一、考点扫描1、实数的分类：实数0⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩正实数有理数或无理数负实数 2、实数和数轴上的点是一一对应的．3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．若a 、b 互为相反数，则a+b=0，1-=ab （a 、b ≠0） 4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a5、近似数和有效数字；6、科学记数法；7、整指数幂的运算：()()m m mmn n m n m n m b a ab a a a a a ⋅===⋅+,, （a ≠0） 负整指数幂的性质：p p p a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11 零整指数幂的性质：10=a （a ≠0） 8、实数的开方运算：()a a a a a =≥=22;0)( 9、实数的混合运算顺序 *10、无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数如1．···(41 无限循环）；（2（3（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一*11、实数的大小比较：(1).数形结合法 (2).作差法比较 (3).作商法比较 (4).倒数法: 如6756--与 (5).平方法二、考点训练1、（2005、杭州，3分）有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－17 是17的平方根，其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2那么x 取值范围是（ ） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞23、－8） A ．2 B ．0 C ．2或一4 D ．0或－44、若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，则m 为（ ） A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．－15、若实数a 和 b 满足 b=a+5 +-a-5 ,则ab 的值等于_______6、在 3 － 2 的相反数是________，绝对值是______.7、81 的平方根是（ ） A ．9 B ．9 C ．±9 D ．±38、若实数满足|x|+x=0, 则x 是（ ） A ．零或负数 B ．非负数 C ．非零实数D.负数三、例题剖析1、设a= 3 － 2 ，b=2－ 3 ，c = 5 －1,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB 、a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a2、若化简|1－x|2x-5，则x 的取值范围是（）A ．X 为任意实数B ．1≤X ≤4C ．x ≥1D ．x ＜43、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a=9时”，得出了不同的答案 ，小明的解答：原式1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a －1)=2a －1=2×9－1=17⑴___________是错误的；⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________4、计算：20012002=5、我国1990年的人口出生数为人。
数字中考总复习：分式与二次根式---知识讲解(提高)
中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算错误！未找到引用源。
±错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n=-++进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质 1.0(0)a a ≥≥； 2.()2(0)aa a =≥； 3.2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，；5. 商的算术平方根的性质：(00)a a a b b b=≥>，. 6.若0a b >≥，则a b >.要点诠释：与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义， 而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a a 与互为有理化因式；（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式；（3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c 互为有理化因式.【典型例题】类型一、分式的意义1．若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于 ． 【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得2x ﹣1=0，x +1≠0，由2x ﹣1=0，得x =﹣1或x =1，由x +1≠0，得x ≠﹣1，∴x =1，故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．举一反三： 【变式1】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 . 【答案】由分式的值为零的条件得3x 2-27=0且x-3≠0，由3x 2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，∴x=-3或x=3，由x-3≠0，得x≠3． 综上，得x=-3，分式23273x x --的值为0．故答案为：-3． 【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID 号：399347关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式2】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是 ． 【答案】若分式m x x +-212不论x 取何实数总有意义，则分母22x x m -+≠0， 设22y x x m =-+，当△＜0即可，440,1m m -＜＞.答案m ＞1.类型二、分式的性质2．已知,b c c a a b a b c +++==求()()()abc a b b c c a +++的值. 【答案与解析】设b c c a a b k a b c+++===, 所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+=所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-=即2k =或()0,a b c ++=当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-. 【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解.举一反三：【变式】已知111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=求abc ab bc ac++的值. 【答案】因为 111111111,,,6915a b b c a c +=+=+= 各式可加得1111112,6915a b c ⎛⎫++⨯=++⎪⎝⎭ 所以11131180a b c ++=， 所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++类型三、分式的运算3．已知1,x y z y z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值. 【答案与解析】因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++） 即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y+++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【总结升华】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三：【变式1】已知,,,x y z a b c y z x z x y ===+++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 【答案】 由已知得1,y z a x+= 所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y z a x +++=,所以1a x a x y z=+++, 同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z ++++=++==+++++++++++. 【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID 号：399347关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式2】已知x ＋y=－4，xy=－12，求+++11x y 11++y x 的值． 【答案】原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y =1121222++++++++y x xy x x y y 1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式， ∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2类型四、分式方程及应用4．a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 【答案与解析】方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x ++=-整理得(1)10a x -=-.当a = 1 时,方程无解.当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 . 所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.【总结升华】 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得：120204020=++x解得x ＝80，经检验x ＝80是原分式方程的解．答：乙单独整理80分钟完工．（2）设甲整理y 分钟完工，根据题意，得1408030≥+y 解得：y ≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y 分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（ ）A ．00253010(18060x x -=+）B ．00253010(180x x -=+）C ．00302510(18060x x -=+）D ．00302510(180x x -=+）【答案】设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，00253010(18060x x -=+）故选A ．类型五、二次根式的定义及性质6．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为 ． 【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x的范围．类型六、二次根式的运算【高清课程名称：分式与二次根式高清ID号：399347关联的位置名称（播放点名称）：例3】7．（2015春•泗阳县期末）已知m是的小数部分．（1）求m2+2m+1的值；（2）求的值．【答案与解析】解：依题意得21m=-，则121 m=+（1）原式=（m+1）2=2；（2）原式=|1mm-|=|﹣1﹣（21+）|=2．【总结升华】此题考查二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和无理数的估算是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•苏州模拟）计算：．【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．。
2019人教版八年级数学下册第十六章 二次根式 二次根式知识点归纳及题型总结
2019人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子称为二次根式，其中a为被开方数，√为根号符号。
2.二次根式的双重非负性：对于任何实数a，有√a≥0，且（√a）²=a。
3.二次根式的有理化：将二次根式的分母中含有根号的有理数化为分母中不含根号的有理数。
4.积的算术平方根的性质：√(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）。
5.商的算术平方根的性质：√(a/b)=（√a）/（√b）（b>0）。
6.若a≥0，则√a²=a。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算：1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：（a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算：1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A、3；B、x；C、x²+1；D、x-12.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）√(2x-1)；（2）√(x+4)/(2x+1)；（3）1/(x+1)；（4）√(3-x)+1；（5）3-x+√(1/x)；（6）2x-1.7）若x(x-1)=1，则x的取值范围是（）。
8）若(x+3)/(x-3)=(x+3)/(x+3)，则x的取值范围是。
3.若3m-1有意义，则m能取的最小整数值是；若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________。
第二讲整式,分式,二次根式
学习目标
1：学生总结整式，分式和二次根式的知识点，会进行复 杂的整式，分式，二次根式的加减乘除运算。 2：会解可化为一元一次方程的分式方程，确定分式函数 的自变量取值范围，会求出函数值。 3：会用“转化思想”与“整体思想”来解决整式，分式 和二次根式问题，会用：裂项法“化简多个分式的和。 学习重难点： 1:整式，分式和二次根式的知识点以及复杂的整式， 分式，二次根式的运算！ 2:转化的思想和整体的思想，裂项法的化简！
例如：2和 2 ,3 a和 a , 2 3 - 3 2与2 3 3 2。
一般地， 与
，
3
5与 3 -
5,
与
，
与
互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化 去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分 母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多 项式乘法进行，运算中要运用公式 ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过 分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类 似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
一般地，形如
的代数式叫做二次根式．根号下含有 字母、且不能够开得尽方的式子称为 无理式. 例如 ，
等是无理式，而母（子）有理化．为了 进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个 含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个代数式互为有理化因式，
2 6 4
与
2 2－ 6
( 3 2)2004 ( 3 2)2005
许多同学们在高中仍对对“合比性质”、“等比性质”分不清
请同学们先动笔试一试！
代数复习2(整式分式、二次根式)-学生版
教学内容—代数复习2（整式分式、二次根式） gyq知识精要（一）整式 1、代数式的分类： （拓展→）2、整式：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。
3、整式的运算：⑴整式的加减：实质上就是合并同类项. ⑵整式的乘除：4、因式分解是整式乘法的逆向变形 整式的除法⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩同底数幂的除法单项式除以单项式多项式除以单项式零指数与负整指数（二）分式的意义 1、分式的定义：两个整式A 、B 相除，即A÷B 时，可以表示为A/B.如果B 中含有字母，那么A/B 叫做 分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
2、分式有意义和值为零的条件：分式有意义的条件：分式的分母不能为零。
（反过来，如果分式的分母为零，那么这个 分式无意义。
）3、分式值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零。
理解分式的基本性质时，必须注意：(1)分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式．例如：2222y xy y y y x y x=⋅⋅=，)(33)(3))((322b a bc ac b a b a c b a b a c b a ≠--=--+=+．随着知识的扩 充,A 、B 、M 还可以表示任何代数式．(2)在分式的基本性质中，M ≠0． 例如：xx yxy x x x y x y 6432)32(2)32(22--=--=，这里M ＝2x －3,因此, M ≠0，即2x －3≠0，所以x ≠23.这个条件往往被忽略，学习时，必须特别注意． 代数式 整式分式单项式 多项式有理式无理式备选例题例一、如图是一个由四个矩形一个小正方形围成的大正方形，已知该图案面积为49，小正方形面积为4，若用y x ,表示矩形的长和宽，则下列式子中不正确的是（ ） A 7=+y x B 2-=y x C 4944=+xy D 2522=+y x例二、已知M x y x y y x yx yx y 222222-=--+-+，则M ＝__________。
整式、分式、二次根式
第二讲 整式、分式一、课标下复习指南 (一)代数式1．代数式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或表示数的字母也叫做代数式．2．求代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出结果，叫做求代数式的值． 3．代数式的分类(二)整式1．整式的有关概念(1)单项式及有关概念由数字和字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数和单独的一个字母也叫单项式．单项式的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数．(2)多项式及有关概念几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数．(3)同类项的概念 多项式中，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．两个常数项也是同类项．2．整式的运算(1)整式的加减 ①合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．②添(去)括号法则如果括号前面是正号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．③整式的加减几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项．(2)整数指数幂及其运算性质①整数指数幂正整数指数幂：⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅==),2(),1(为正整数个n n a a a a n aa n n零指数幂：10=a (a ≠0)．负整数指数幂：n n aa 1=-(a ≠0，n 为正整数)． ②整数指数幂的运算性质(以下四式中m ，n 都是整数) a m ·a n ＝a m ＋n ： (a m )n ＝a mn ；(ab )m ＝a m ·b m ． a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0)． (3)整式的乘法①单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含的字母，连同它的指数作为积的一个因式．②单项式乘以多项式，根据分配律用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．③多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．④乘法公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；常用的几个乘法公式的变形：a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ；(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ．(4)整式的除法(结果为整式的)①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式．②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．3．因式分解的概念 (1)因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解．②因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时，每个因式的首项不含负号．③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形． (2)因式分解的方法 ①提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )． ②运用公式法： a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )； a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2：*③十字相乘法：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．④用一元二次方程求根公式分解二次三项式的方法：ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)．(当b 2－4ac ≥0时，,2421a acb b x -+-=)2422aac b b x ---=(3)因式分解的步骤①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用乘法公式分解；③对于二次三项式，可先尝试用十字相乘法分解；④检查每一个因式是否都已分解彻底，是否符合要求．必要时，可用多项式的乘法运算从结果逆推回去，以检验因式分解所得结果是否正确． 4．分式(1)分式的有关概念①分式：若A 和B 均为整式(其中B 中含有字母)，则形如BA的式子叫做分式． 注意 对于一个分式BA，字母的取值必须使分母B 的值不为零． ②最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注意 关于分式概念的应用，一般有以下几种： 分式有意义⇔分母≠0； 分式无意义⇔分母＝0；分式值为0⇔⎩⎨⎧≠=.0,0分母分子分式值为1⇔⎩⎨⎧==.0,分母分母分子分式值为正⇔分子、分母同号． 分式值为负⇔分子、分母异号．(2)分式的基本性质分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)． (3)分式的运算①加减法：bd bc ad d c b a ±=±．特别地，当b ＝d 时，b c a b c b a ±=±． ②乘法：⋅=bdacd c b a . ③除法：bcadc d b a d c b a ==÷.(此法则将分式的除法转化为乘法)． ④乘方：n nn b a ba =)((n 为正整数)．二、例题分析例1 下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12；(2)a 6÷a 3＝a 2；(3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9；(5)(－ab 2)2＝ab 4；(6)⋅=-22212x x A ．无 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解 A ．说明 整数指数幂的运算性质是整式运算的基础，容易混淆．其原因是做题时不按性质做，而是跟着感觉走，必须培养良好的做题习惯．例2 如果关于x ，y 的单项式2ax my 与5bx 2m －3y 是同类项，(1)求(9m －28)2009的值；(2)若2ax m y ＋5bx 2m －3y ＝0，并且xy ≠0，求(2a ＋5b )2009的值． 解 ∵2ax m y 与5bx 2m －3y 是同类项， ∴2m －3＝m ．解得m ＝3． (1)(9m －28)2009＝(9×3－28)2009＝－1．(2)∵m ＝3，且2ax my ＋5bx 2m －3y ＝0， ∴2ax 3y ＋5bx 3y ＝0，即(2a ＋5b )x 3y ＝0． 又∵xy ≠0，∴2a ＋5b ＝0． ∴(2a ＋5b )2009＝02009＝0．说明 此题考查了同类项的概念，要注意同类项与单项式的系数无关．在合并同类项时，只要将它们的系数合并，而字母及字母的指数不变．例3 计算： (1);)3()41(212335a b a b a -⋅-÷ (2)(3xy 3－9x 4y 2)÷3xy －(x 2－2xy )·4x 2．解 (1)原式＝23359)41(21a b a b a ⋅-÷.189)4(21242335b a a ba b a -=⋅-⨯=(2)原式＝y 2－3x 3y －4x 4＋8x 3y＝y 2＋5x 3y －4x 4．说明 正确运用幂的运算法则是进行幂的运算的关键．单项式相乘除时，要注意运算顺序，先做乘方，然后按从左到右的顺序做乘除法．例4 计算：(1)8x 2－(x －2)(3x ＋1)－2(x ＋1)(x －5)； (2)(a ＋b －1)(a －b ＋1)－a 2＋(b ＋2)2． 解 (1)原式＝8x 2－(3x 2－5x －2)－2(x 2－4x －5) ＝8x 2－3x 2＋5x ＋2－2x 2＋8x ＋10 ＝3x 2＋13x ＋12．(2)原式＝[a ＋(b －1)][a －(b －1)]－a 2＋(b ＋2)2 ＝a 2－(b －1)2－a 2＋(b ＋2)2＝(b ＋2)2－(b －1)2＝(b ＋2＋b －1)(b ＋2－b ＋1) ＝(2b ＋1)×3＝6b ＋3．说明 在整式运算中，要注意：(1)灵活运用运算律、运算法则和乘法公式，寻找合理、简捷的运算途径；(2)利用乘法公式进行计算时，要分析式子的特点，正确选择公式，尤其要注意公式中字母的顺序及符号；(3)当几个多项式乘积前面出现负号时，处理负号的方法是可将负号视为(－1)先与其中的一个因式相乘，或将负号后面的多项式结合在一起先相乘，然后利用去括号法则去括号．例5 把下列各式分解因式：(1)6(a －b )2＋8a (b －a )； (2)(x ＋y )2－4(x ＋y )＋4； (3)16x 2－(x 2＋4)2； (4).4412+-x 解 (1)原式＝6(a －b )2－8a (a －b ) ＝2(a －b )[3(a －b )－4a ] ＝2(a －b )(3a －3b －4a ) ＝－2(a －b )(a ＋3b )．(2)原式＝[(x ＋y )－2]2＝(x ＋y －2)2． (3)原式＝(4x )2－(x 2＋4)2 ＝[4x ＋(x 2＋4)][4x －(x 2＋4)] ＝－(x 2＋4x ＋4)(x 2－4x ＋4) ＝－(x ＋2)2(x －2)2．(4)原式)16(412--=x).4)(4(41-+-=x x说明 (1)分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止(每个因式分别整理、化简后，一般要按降幂排列)；(2)如果多项式最高次项的系数是负数，一般要提出负号，使括号内该项的系数是正数；(3)遇到有多项式乘方时，应注意下面的规律：(b －a )2k ＝(a －b )2k ；(b －a )2k ＋1＝－(a －b )2k ＋1(k 为整数)．(4)注意换元思想在因式分解中的应用：将题目中相同的代数式看成一个整体去提取公因式、运用乘法公式或进行十字相乘．例6 (1)当x 取何值时，分式6532+--x x x 无意义?(2)当x 取何值时，分式12922---x x x 有意义?值为零?解 (1)要使分式无意义，只需x 2－5x ＋6＝0．解得x 1＝2，x 2＝3．∴当x ＝2或x ＝3时，分式无意义．(2)要使分式有意义，只要使x 2－x －12≠0，解得x ≠－3且x ≠4． ∴当x ≠－3且x ≠4时，分式有意义．要使分式的值为零，只⎪⎩⎪⎨⎧=/--=-.012,0922x x x解得⎩⎨⎧≠-=/-==.43,33x x x x 且或∴当x ＝3时，分式的值等于零．说明 (1)确定分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式；(2)只有当字母的取值使分子的值等于零且分母的值不等于零时，分式的值才等于零；(3)注意准确使用“或”和“且”字．例7 计算： (1)2121111x x x ++++-； (2)⋅--++--÷++-+296.4144222222x x x x x x x x x x 解 (1)原式212)1)(1(11x x x x x +++--++=)1)(1()1(2)1(21212222222x x x x x x +--++=++-= 414x-=． (2)原式.1)2)(2(.)2()2)(1(2--+++-=x x x x x x ⋅+++=++=-++1961)3()2)(1()3(222x x x x x x x x说明 对异分母的分式相加减时，一般先通分，变为同分母的分式，然后再加减．对于某些具体的分式运算也可以采取一些特殊的方法，如(1)题采用逐步合并的方法．对于分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一为乘法，最后再进行约分，如(2)题．对于运算结果，一般的，二次的多项式应乘开．例8 已知12-=a ，化简求值：⋅+-÷++--+-24)44122(22a a a a a a a a解法一 原式42])2(1)2(2[2-+⨯+--+-=a a a a a a a 41)212(-⨯+---=a a a a a ⋅+=-⨯+-=)2(141)2(4a a a a a a .122,12+=+∴-=a a ∴原式.1)12)(12(1=+-=解法二 由12-=a ，得21=+a ，平方，移项，可得a 2＋2a ＝1．∴将原式化简为aa 212+后，立即得其值为1． 例9 已知x ＋y ＝－4，xy ＝－12，求+++11x y 11++y x 的值． 解 原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y＝1121222++++++++y x xy x x y y1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式，∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2说明 求代数式的值的问题，一般先将所求代数式进行化简，然后利用已知条件求值．在使用条件时有三种方式：(1)将已知条件直接代入计算；(2)将已知条件变形后再代入计算；(3)将已知条件整体代入再计算求值．例10 已知321=+xx ，求441x x +的值．解 2)1(122244-+=+xx x x2]2)32[(2]2)1[(2222--=--+=xx＝102－2＝98．说明 此题是反复运用完全平方公式把所求代数式变形，使问题得解． 三、课标下新题展示例11 在解题目“当x ＝1949时，求代数式x x x x x x x 122444.222-+-÷-+-＋1的值．”时，聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说得有道理吗?请说明理由．解 聪聪说得有道理．∵原式11)2(2.)2)(2()2(2+--+-+-=xx x x x x x ,1111=+-=xx ∴只要使原式有意义，无论x 取何值，原式的值都相同，为常数1．例12 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第＝分钟收费a (a ＜8)元，之后的每＝分钟收费b 元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是( )．A ．ba-8分钟 B ．b a +8分钟 C ．bba +-8分钟D ．bba --8分钟解 C ．说明 用代数式表示实际问题中的数量关系，是一类常见的考题．二次根式一、课标下复习指南 (一)二次根式的有关概念 1．二次根式形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式． (二)二次根式的主要性质1．)0(≥a a 是一个非负数； 2．);0()(2≥=a a a 3．⎩⎨⎧<-≥==);0(),0(||2a a a a a a4．);0,0(≥≥⋅=b a b a ab5．);0,0(>≥=b a ba ba6．若a ＞b ≥0，则.b a > (三)二次根式的运算1．二次根式的加减二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变． *3．分母有理化把分母中的根号化去，分式值不变，叫做分母有理化．常用的二次根式的有理化因式： (1)a 与a 互为有理化因式；(2)b a +与b a -，一般的，b c a +与b c a -互为有理化因式；(3)b a +与b a -，一般的，b d a c +与b d a c -互为有理化因式． 二、例题分析例1 当x 为何值时，下列代数式有意义? .1)2(;322)1(232x x x x x -+----解 (1)欲使3222---x x x 有意义，只要使⎩⎨⎧=/--≥-.032,022x x x 即⎩⎨⎧≠-=/≥.31,2x x x 且 解得x ≥2且x ≠3． ∴当x ≥2且x ≠3时，3222---x x x 有意义．(2)欲使231x x -+-有意义，只要使－x 2≥0，解得x ＝0． ∴当x ＝0时，231x x -+-有意义．说明 代数式有意义的条件：分式有意义的条件是分式的分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；由实际意义得到的代数式还要符合实际意义．例2 化简：(1);14962123xx x x x -+ *(2)已知1＜x ＜2，化简122+-x x .442x x +-+ 解 (1)原式x x x x x x 4221-+=x x 23-=(2)∵1＜x ＜2，∴x －1＞0，2－x ＞0． 224412x x x x +-++-∴22)2()1(x x -+-=＝|x －1|＋|2－x |＝(x －1)＋(2－x )＝1．说明 (1)二次根式的化简要考虑最简二次根式的两个条件，根号内是多项式时，要考虑是否是完全平方式；(2)化简2a 时，要考虑字母a 的取值范围；(3)在二次根式运算中，根号外的因式可以平方后作为被开方数的因式移进根号内，从而使运算简化．例3 计算：(1);22)8321464(÷+- (2)+⋅-+-5()625()2332(202.)6219 解 (1)原式22)262264(÷+-=.232+=(2)原式＝5)(625[()1861212(-++-62561230)625()]6219-+-=-⋅+.61435-=说明 整式和分式的运算性质在二次根式的运算中同样适用，乘法公式、分配律、约分等都有可能简化运算过程，要根据式子的结构特征灵活使用．例4 已知xy ＝3，求yxyx y x+的值． 分析 因为xy ＝3，所以x ，y 同正或同负，要分情况讨论． 解 当x ＞0，y ＞0时， 原式.322==+=xy xy xy 当x ＜0，y ＜0时，原式.322-=-=--=xy xy xy 综上可知，原式.32±= 三、课标下新题展示例5 若n 20是整数，则满足条件的最小正数n 为( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解 D ．说明 对于二次根式的性质：||);0()(22a a a a a =≥=，会有多种形式进行考查，要熟练掌握．例6 对正实数a ，b ，定义,*b a ab b a +-=若4*x ＝44，则x 的值是______． 解 依题意，得.4444=+-x x 整理，得.484=+x x 变形，得.4912)(2=++x x.49)1(2=+∴x71=+∴x 或,71-=+x 6=x 或8-=x (舍)． ∴x ＝36．经检验，x ＝36是原方程的解． ∴x 的值是36．说明 此题考查了阅读理解能力、完全平方公式、二次根式的性质、配方法解方程，是一道代数综合题，要求每个基本知识点都熟练掌握．四、课标考试达标题(一)选择题1．下列各式中正确的是( )． A ．－2(a －b )＝－2a －b B ．(－x )2÷x 3＝xC ．xyz ÷(x ＋y ＋z )＝yz ＋xz ＋xyD ．(－m －n )(m －n )＝n 2－m 2 2．下列等式中不成立的是( )．A ．y x y x y x -=--22 B ．y x yx y xy x -=-+-222 C ．y x yxyx xy -=-2 D ．xyx y y x x y 22-=-3．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中是完全对称式的是( )． A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．用配方法将代数式a 2＋4a －5变形，结果正确的是( )． A ．(a ＋2)2－1B ．(a ＋2)2－5C ．(a ＋2)2＋4 D ．(a ＋2)2－95．已知411=-b a ，则ab b a b ab a 7222+---的值等于( )．A ．6B ．－6C ．152D ．72-(二)填空题6．某公司2009年5月份的纯利润是a 万元，如果每个月纯利润的增长率都是x ，那么预计7月份的纯利润将达到______万元(用代数式表示)． 7．多项式9x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是______ (填上一个正确的即可)．8．若2x＝3，4y＝5，则2x －2y的值为______． 9．观察下面的单项式：x ，－2x 2，4x 3，－8x 4，…根据你发现的规律，写出第7个式子是______．10．已知),3,2,1()1(12=+=n n a n ， b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出b n 的表达式为b n ＝______．(用含n 的代数式表示) (三)解答题 11．求63)(41)(21ba b a b a b a --++++-的值，其中|a －1|＝－(b ＋2)2．12．在实数范围内分解因式：(1)4x 4－1；(2)x 2＋2x －5．13．观察下列等式：,322322,211211-=⨯-=⨯＝.,433433 -=⨯(1)猜想并写出第n 个等式；(2)证明你写出的等式的正确性．14．按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律?(1)填写表内空格：(2)发现的规律是：(3)用简要的过程证明你发现的规律．(一)选择题1．在根式⑤④③②①;2;15;;5223ab a a -2;12a a ⑥中，最简二次根式是( )．A ．②③⑤B ．②③⑥C ．②③④⑥D ．①③⑤⑥2．如果最简根式ab b -3和22+-a b 是同类二次根式，那么a 、b 的值分别是( )．A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－23．下列各式中，运算正确的是( )． A ．553322=+ B ．236=÷ C ．632=D ．12233=-(二)填空题4．当x 满足______条件时，32++-x x在实数范围内有意义． 5．若式子|2|)1(2-+-x x 化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是______． 6．已知x 为整数，且满足32≤≤-x ，则x ＝______．7．观察下列各式：=+=+412,312311514513,413=+…请你将发现的规律用含自然数n 的等式表示出来______．(n ≥1)(三)解答题 8．计算：.)2(xy yxxyxy ⋅+-9．化简：.)23(36329180-++--10．先化简，再求值：423)225(--÷---a a a a ，其中.33-=a。
整式、分式、二次根式
二次根式（二）一、考点、热点归纳在上节课中，我们讲解了部分二次根式的一些解题方法。
那么在本节课中我们将继续 学习二次根式，本节课的主要内容是练习部分题目并会给你讲解一些解题技巧，希望你在本节课中能够快速地运转你聪明的大脑，并在课后能够及时的去复习。
相信经过你的的努力，你的学习能力会获得很大的提升。
二次根式这一章在经常会在中考中出现，一般会以选择题或填空题的形式出现，偶尔会以计算题或解答题的形式出现，所以希望你重视这一章的学习。
若遇到这一章的计算题，大多数的情况下需要先将能够分解因式的分解因式，后化简就较简便。
若遇到其他类型的题，就需要运用到平时的解题方法去解答了，这类题型变化多端，但所需要的解题方法却是固定的，这就需要你平时的积累。
加油咯！二、典型例题+知识拓展例1、化简（1）221211241x x x x x x --+÷++-- （2）（a 2mn－m ab mn ＋m nn m ）÷a 2b 2mn ； （3）（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）解析：请计算仔细！例2、当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值解析：先化简，后代入求值。
例3、已知7979--=--x xx x 且x 为偶数，求132)1(22--++x x x x 的值． 解析：先求得x 的值，再化简求值。
例4、已知：223,223-=+=b a ，求：ab 3＋a 3b 的值。
解析：观察式子的特点，在观察ab 的值，后运用其特点简算式子的值。
例5、已知M N==．甲、乙两个同学在18y =的条件下分别计算了M 和N 的值．甲说M 的值比N 大，乙说N 的值比M 大．请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由。
解析：运用平方差公式化简。
例6、已知x x y y x =-+-+7135，求2)3(|1|-+-y x 的值解析：由题先算出x 、y 的值，后计算式子的值。
分式与二次根式(解析版)-中考数学必考考点与题型专训
分式与二次根式命题趋势分式与二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为12分左右。
预计2023年各地中考还将继续重视对分式与根式的有关概念、分式与根式的性质和分式与根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。
知识梳理1、分式1)分式的定义(1)一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．(2)分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【注】①若B ≠0，则A B 有意义；②若B =0，则A B 无意义；③若A =0且B ≠0，则AB =0．2)分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为A B =A ⋅C B ⋅C (C ≠0)或A B =A ÷CB ÷C (C ≠0)，其中A ，B ，C 均为整式．3)约分及约分法则(1)约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．(2)约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．4)最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．5)通分及通分法则(1)通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．(2)通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母(即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积)；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．6)最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7)分式的运算(1)分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示：a b ±c b =a ±cb．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a b ±c d =ad bd ±bc bd =ad ±bcbd．(2)分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示：a b ⋅cd=a ⋅cb ⋅d．(3)分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示：a b ÷c d =ab⋅d c =a ⋅d b ⋅c ．(4)分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：a b n =a nb n (n 为正整数，b ≠0)．(5)分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．2、二次根式1)二次根式的有关概念(1)二次根式的概念：形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0．(2)最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2)二次根式的性质(1)a ≥0(a ≥0)；(2)(a )2=a (a ≥0)； (3)a 2=a =a (a >0)0(a =0)-a (a <0) ；3)二次根式的运算(1)二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．(2)二次根式的乘除乘法法则：a ⋅b =ab (a ≥0,b ≥0)；除法法则：a b=a b(a ≥0,b >0)．(3)二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．重点考向考向1分式的有关概念1.分式的三要素：(1)形如AB的式子；(2)A ,B 均为整式；(3)分母B 中含有字母．2.分式的意义：(1)有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即B ≠0．(2)无意义的条件是分母为0．(3)分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例引领1.(2022·湖南怀化·中考真题)代数式25x ，1π，2x 2+4，x 2-23，1x ，x +1x +2中，属于分式的有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是2x 2+4，1x ，x +1x +2，∴分式有3个，故选：B ．【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．2.(2022·浙江湖州·中考真题)当a =1时，分式a +1a的值是．【答案】2【分析】直接把a 的值代入计算即可．【详解】解：当a =1时，a +1a =1+11=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．3.(2023·河南·中考模拟)下列说法错误的是()A.当x ≠3时，分式4x +5x -3有意义 B.当x =1时，分式x +1x -1无意义C.不论a 取何值，分式a 2+1a2都有意义 D.当x =1时，分式x -1x +1的值为0【答案】C【分析】分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.【解析】解：A 选项当x -3≠0，即x ≠3时，分式4x +5x -3有意义，故A 正确；B 选项当x -1=0，即x =1时，分式x +1x -1无意义，故B 正确；C 选项当a 2≠0，即a ≠0时，分式a 2+1a 2有意义，故C 错误；D 选项当x -1=0，且x +1≠0即x =1时，分式x -1x +1的值为0，故D 正确.故选C .【点睛】本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.变式拓展1.(2022·湖北黄冈·中考真题)若分式2x -1有意义，则x 的取值范围是．【答案】x ≠1【分析】根据分式有意义的条件即可求解．【详解】解：∵分式2x -1有意义，∴x -1≠0，解得x ≠1．故答案为：x ≠1．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．2.(2022·广西·中考真题)当x =时，分式2xx +2的值为零．【答案】0【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x =0，x +2≠0求解即可．【详解】解：由题意，得2x =0，且x +2≠0，解得：x =0，故答案为：0．【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．3.(2023·绵阳市·中考模拟)下列关于分式的判断，正确的是()A.当x =2时，x +1x -2的值为零B.无论x 为何值，4x 2+3的值总为正数C.无论x 为何值，3x +1不可能得整数值D.当x =3时，x -33无意义【答案】B【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．【详解】解：A 、当x =2时，分母x -2=0，分式无意义，故A 错误；B 、分母中x 2+3≥3，因而第二个式子一定成立，故B 正确；C 、当x +1=1或-1时，3x +1的值是整数，故C 错误；D 、x -33不是分式，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式各种结果的判断标准：分式的值是正数的条件是分子、分母同号；值是负数的条件是分子、分母异号；分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．考向2分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：(1)不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；(2)分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例引领1.(2020·河北中考真题)若a ≠b ，则下列分式化简正确的是()A.a +2b +2=abB.a -2b -2=abC.a 2b2=ab D.12a 12b =ab【答案】D【分析】根据a ≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．【详解】∵a ≠b ，∴a +2b +2≠a b ，选项A 错误；a -2b -2≠ab，选项B 错误；a 2b 2≠a b ，选项C 错误；12a 12b =a b ，选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．2.(2022·广东·一模)如果把分式2yx +y中的x 和y 都扩大为原来的2倍，那么分式的值()A.不变B.缩小为原来的12C.扩大为原来的2倍D.扩大为原来的4倍【答案】A【分析】依题意，分别用2x 和2y 去代换原分式中的x 和y ，利用分式的基本性质化简即可．【详解】分别用2x 和2y 去代换原分式中的x 和y ，得：2×2y 2x +2y =4y 2(x +y )=2yx +y 化简后的结果和原式相同，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．变式拓展1.(2022·河北·三模)下列各式从左到右的变形中，不正确的是()A.-23a =-23aB.-b -6a =b6aC.3a -4b =-3a4bD.--8a 3b =8a-3b【答案】D【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．【详解】解：A 、-23a =-23a ，故本选项不符合题意；B 、-b -6a =b6a，故本选项不符合题意；C 、3a -4b =-3a 4b ，故本选项不符合题意；D 、--8a 3b =8a 3b ，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变．2.(2022·浙江·一模)若把分式1x +1y中的x ,y 同时扩大2倍，则分式的值()A.是原来的2倍B.是原来的12C.是原来的14D.不变【答案】B【分析】根据分式的加法进行计算，再把x ,y 同时扩大2倍，观察分式值变化即可．【详解】解：1x +1y =x +y xy ，x ,y 同时扩大2倍得2x +2y 2x ×2y =2(x +y )4xy =12×x +y xy，分式的值是原来的12，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的加法和分式的基本性质，解题关键是熟练进行分式加法和约分．考向3分式的约分与通分约分与通分的区别与联系：1.约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2.约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3.通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例引领1.(2022·江苏·二模)分式m 2m -2n 和3nm -n的最简公分母为．【答案】2(m -n )【分析】利用最简公分母的定义求解，分式m 2m -2n 和3nm -n的分母分别是2(m -n )、(m -n )，故最简公分母是2(m -n )即是本题答案．【详解】解：∵分式m 2m -2n 和3nm -n的分母分别是2(m -n )、(m -n )．∴它们的最简公分母是2(m -n )．故答案为：2(m -n )．【点睛】本题考查最简公分母，将原式的分母正确进行因式分解并掌握最简公分母的定义是解题关键．2.(2022·上海崇明·二模)化简：xx 2-2x=．【答案】1x -2【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．【详解】解：x x 2-2x=x x (x -2)=1x -2．故答案为：1x -2．【点睛】此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．3.(2022·广西·二模)关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确()A.x +1x 2-1约分的结果是1x B.分式1x 2-1与1x -1的最简公分母是x -1C.2xx2约分的结果是1D.化简x 2x 2-1-1x 2-1的结果是1【答案】D【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A 与C ；根据确定最简公分母的方法判断B ；根据分式减法法则计算，即可判断D ．【详解】A 、x +1x 2-1=1x -1，故本选项错误；B 、分式1x 2-1与1x -1的最简公分母是x 2-1，故本选项错误；C 、2x x 2=2x ，故本选项错误；D 、x 2x 2-1-1x 2-1=1，故本选项正确；故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.变式拓展1.(2023·河北·一模)要把分式32a 2b 与a -bab 2c通分，分式的最简公分母是()A.2a 2b 2cB.2a 3b 3C.2a 3b 3cD.6a 3b 3c【答案】A【分析】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解．【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，∵系数2与1的公倍数是2，a 2与a 的最高次幂是a 2，b 与b 2的最高次幂是b 2，对于只在一个单项式中出现的字母c 直接作公分母中的因式，∴公分母为：2a 2b 2c ．故选择：A ．【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键．2.(2023·河北滦州·一模)下列分式化简结果为ab的是()A.a +2b +2B.a -2b -2C.a +ab +bD.a ×ab ×b【答案】C【分析】根据分式的化简逐个判断即可.【详解】A .a +2b +2≠a b ，故选项A 错误；B .a -2b -2≠ab，故选项B 错误；C .a +a b +b =2a 2b =a b ，故选项C 正确；D .a ×a b ×b =a 2b 2≠a b ，故选项D 错误；故选：C .【点睛】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．3.(2022·上海·二模)计算：1a -1b=．【答案】b -aab【分析】将式子通分计算即可．【详解】1a -1b =b ab -a ab =b -aab【点睛】本题考查分式通分，正确寻找分母的最小公倍数是解题关键．考向4分式的运算(1)分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．(2)分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解(在分解因式时注意不要出现符号错误)，然后找出其中的公因式，并把公因式约去．(3)分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．(4)分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例引领1.(2022·广西玉林·中考真题)若x 是非负整数，则表示2x x +2-x 2-4(x +2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是()A.①B.②C.③D.①或②【答案】B【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．【详解】解：2x x +2-x 2-4(x +2)2=2x x +2 x +2 2-x 2-4(x +2)2=2x 2+4x -x 2+4x +2 2=x +2 2(x +2)2=1；故选B ．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．2.(2022·黑龙江牡丹江·中考真题)先化简，再求值：3x x -2-x x +2÷xx 2-4，在-2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．【答案】2x +8，10．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x =1代入计算即可求出值．【详解】解：原式=3x x +2 -x x -2 x -2 x +2⋅x 2-4x =2x x +4 x -2 x +2⋅x -2 x +2x =2(x +4)=2x +8当x =-2，0，2时，分式无意义当x =1时，原式=10．【点睛】本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入．3.(2022·山东聊城·中考真题)先化简，再求值：a 2-4a ÷a -4a -4a -2a -2，其中a =2sin45°+12-1．【答案】a a -2，2+1【分析】运用分式化简法则：先算括号里，再算括号外，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：a 2-4a ÷a -4a -4a -2a -2=a +2 a -2 a ×a a -22-2a -2=a +2a -2-2a -2=aa -2，∵a =2sin45°+12-1=2×22+2=2+2，代入得：原式=2+22+2-2=2+1；故答案为：aa -2；2+1．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．变式拓展1.(2022·山东威海·中考真题)试卷上一个正确的式子1a +b +1a -b ÷★=2a +b被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为()A.aa -bB.a -b aC.a a +bD.4a a 2-b 2【答案】A【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．【详解】解：1a +b +1a -b ÷★=2a +b a -b +a +b a +b a -b÷★=2a +b ★=2a a +b a -b÷2a +b =aa -b ，故选A ．【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．2.(2022·江苏扬州·中考真题)计算：(1)2cos45°+π-3 0-8(2)2m -1+1÷2m +2m 2-2m +1【答案】(1)1-2(2)m -12【分析】(1)根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式进行计算即可；(2)先合并括号里的分式，再对分子和分母分别因式分解即可化简；【详解】(1)解：原式=2×22+1-22=1-2．(2)解：原式=2m -1+m -1m -1 ⋅m -1 22m +1 =m +1m -1⋅m -1 22m +1 =m -12．【点睛】本题主要考查分式的化简、特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题的关键．3.(2022·辽宁营口·中考真题)先化简，再求值：a +1-5+2a a +1 ÷a 2+4a +4a +1，其中a =9+|-2|-12-1．【答案】a -2a +2，15．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：a +1-5+2a a +1 ÷a 2+4a +4a +1=(a +1)2-5-2a a +1÷(a +2)2a +1=a2-4 a+1⋅a+1(a+2)2=(a+2)(a-2)a+1⋅a+1(a+2)2=a-2a+2，当a=9+|-2|-12-1=3+2-2=3时，原式=3-23+2=15．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．考向5二次根式的概念与性质1.二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2.利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例引领1.(2022·广东广州·中考真题)代数式1x+1有意义时，x应满足的条件为()A.x≠-1B.x>-1C.x<-1D.x≤-1【答案】B【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．【详解】解：由题意可知：x+1>0，∴x>-1，故选：B．【点睛】本题考察了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题．2.(2022·河北·中考真题)下列正确的是()A.4+9=2+3B.4×9=2×3C.94=32D. 4.9=0.7【答案】B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：A.4+9=13≠2+3，故错误；B.4×9=2×3，故正确；C.94=38≠32，故错误；D. 4.9≠0.7，故错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．3.(2022·四川遂宁·中考真题)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1-b-12+a-b2 =．【答案】2【分析】利用数轴可得出-1<a<0，1<b<2，进而化简求出答案．【详解】解：由数轴可得：-1<a<0，1<b<2，则a+1>0,b-1>0,a-b<0∴a+1-b-12+a-b2=|a+1|-|b-1|+|a-b|=a+1-(b-1)-(a-b)=a+1-b +1-a+b=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．变式拓展1.(2020·山东济宁市·中考真题)下列各式是最简二次根式的是()A.13B.12C.a2D.53【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】解：A、13是最简二次根式，故选项正确；B、12=23，不是最简二次根式，故选项错误；C、a2=a ，不是最简二次根式，故选项错误；D、53=153，不是最简二次根式，故选项错误；故选A.【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．2.(2022·四川南充·中考真题)若8-x为整数，x为正整数，则x的值是．【答案】4或7或8【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据8-x为整数即可得x的值．【详解】解：∵8-x≥0∴x≤8∵x为正整数∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8∵8-x为整数∴x为4或7或8故答案为：4或7或8．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．3.(2022·山东聊城·中考真题)射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/s2，s=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为()A.0.4×102m/sB.0.8×102m/sC.4×102m/sD.8×102m/s【答案】D【分析】把a=5×105m/s2，s=0.64m代入公式v=2as，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：v=2as=2×5×105×0.64=8×102m/s，故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．考向6二次根式的运算1.二次根式的运算(1)二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．(2)二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．(3)二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去括号)．2.比较分式与二次根式的大小(1)分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；(2)二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．典例引领1.(2022·湖北武汉·中考真题)下列各式计算正确的是()A.2+3=5B.43-33=1C.2×3=6D.12÷2=6【答案】C【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D．【详解】解：A、2+3≠5原计算错误，该选项不符合题意；B、43-33=3原计算错误，该选项不符合题意；C、2×3=6正确，该选项符合题意；D、12÷2=23÷2=3原计算错误，该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键．2.(2022·重庆·中考真题)估计3×(23+5)的值应在()A.10和11之间B.9和10之间C.8和9之间D.7和8之间【答案】B【分析】先化简3×(23+5)=6+15，利用9<15<16，从而判定即可．【详解】3×(23+5)=6+15，∵9<15<16，∴3<15<4，∴9<6+15<10，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．3.(2022·上海·中考真题)计算：|-3|-13-12+23-1-1212【答案】1-3【分析】原式分别化简|-3|=3，1 3-12=3，23-1=3+1，1212=23，再进行合并即可得到答案．【详解】解：|-3|-13-12+23-1-1212=3-3+3+1-23=1-3【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．变式拓展1.(2022·贵州毕节·中考真题)计算8+|-2|×cos45°的结果，正确的是()A.2B.32C.22+3D.22+2【答案】B【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．【详解】解：8+|-2|×cos45°=22+2×22=22+2=32．故选：B【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．2.(2021·湖南常德市·中考真题)计算：5+12-1⋅5+12=()A.0B.1C.2D.5-12【答案】C 【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．【详解】解：5+12-1 ⋅5+12=5-12⋅5+12=5-12=2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．3.(2022·内蒙古通辽·中考真题)计算：2⋅6+41-3 sin60°-12-1．【答案】4【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．【详解】解：原式=23+43-1 ×32-2=23+6-23-2=4【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．考向7二次根式与分式中的探究规律问题典例引领1.(2022·湖南常德·中考真题)我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，⋯，6+6+6+⋯+6+6+3=3n 个根号，一般地，对于正整数a ，b ，如果满足b +b +b +⋯+b +b +a =a n 个根号时，称a ,b 为一组完美方根数对．如上面3,6 是一组完美方根数对．则下面4个结论：①4,12 是完美方根数对；②9,91 是完美方根数对；③若a ,380 是完美方根数对，则a =20；④若x ,y 是完美方根数对，则点P x ,y 在抛物线y =x 2-x 上．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【分析】根据定义逐项分析判断即可．【详解】解：∵12+4=4，∴4,12 是完美方根数对；故①正确；∵91+9=10≠9∴9,91 不是完美方根数对；故②不正确；若a ,380 是完美方根数对，则380+a =a 即a 2=380+a 解得a =20或a =-19∵a 是正整数则a =20故③正确；若x ,y 是完美方根数对，则y +x =x ∴y +x =x 2,即y =x 2-x 故④正确故选C 【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．2.(2022·四川眉山·中考真题)将一组数2，2，6，22，⋯，42，按下列方式进行排列：2，2，6，22；10，23，14，4；⋯若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27的位置记为．【答案】(4,2)【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得27的位置即可．【详解】数字可以化成：2，4，6，8；10，12，14，16；∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，∵27=28，28是第14个偶数，而14÷4=3⋯2∴27的位置记为(4,2)故答案为：(4,2)【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．3.(2022·四川达州·中考真题)人们把5-12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5-12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+a2+2 1+b2，⋯，S100=1001+a100+1001+b100，则S1+S2+⋯+S100=．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解：∵a=5-12，b=5+12，∴ab=5-12×5+12=1，∵S1=11+a +11+b=2+a+b1+a+b+ab=2+a+b2+a+b=1，S2=21+a2+21+b2=2×2+a2+b21+a2+b2+a2b2=2×2+a2+b22+a2+b2=2，⋯，S100=1001+a100+1001+b100=100×1+a10+1+b101+a10+b10+a10b10=100∴S1+S2+⋯+S100=1+2+⋯⋯+100=5050故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得ab=1，找出的规律是本题的关键．变式拓展1.(2022·河南驻马店·模拟预测)斐波那契(约1170-1250)是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n(n为正整数)个数a n可表示为15[1+52n-1-52 n，且连续三个数a n-1，a n，a n+1之间存在以下关系a n-1+a n=a n+1(n≥2)．①第1个数a1=1；②第2个数：a2=2；③“斐波那契数列”中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第2017项的值是1．以上说法正确的有．(请把你认为正确的序号全都填上去)【答案】①②④【分析】将n=1和n=2代入15[1+52n-1-52 n即可求得a1和a2，再按照a n-1+a n=a n+1可以求得前八个数，根据“把‘斐波那契数列'中的每一项除以4所得的余数”求出来一部分特殊项，观察规律，即可得到第2017项的值．【详解】①a1=151+52-1-52=15×5=1，故正确；②a2=15[1+522-1-52 2=15×5=1，故错误；③“斐波那契数列”中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21，故正确；④1，1，2，3，5，8，13，21除以4所得的余数分别是1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，⋯，2017÷6=336⋯1，故在新数列中，第2017项的值是1，故正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了规律探究题，读懂题意，列出特殊项，观察一般规律是解决本题的关键．2.(2021·四川眉山市·中考真题)观察下列等式：x 1=1+112+122=32=1+11×2；x 2=1+122+132=76=1+12×3；x 3=1+132+142=1312=1+13×4；⋯⋯根据以上规律，计算x 1+x 2+x 3+⋯+x 2020-2021=．【答案】-12016【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1+1n 2+1(n +1)2，等式右边为1与1n (n +1)的和；利用这个结论得到原式=112+116+1112+⋯+112020×2021-2021，然后把12化为1-12，16化为12-13，12015×2016化为12015-12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】解：由题意可知，1+1n 2+1(n +1)2=1+1n (n +1)，x 2020=1+12020×2021x 1+x 2+x 3+⋯+x 2020-2021=112+116+1112+⋯+112020×2021-2021=2020+1-12+12-13+⋯+12015-12016-2021=2020+1-12016-2021=-12016．故答案为：-12016．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．热点必刷1.(2022·黑龙江绥化·中考真题)若式子x +1+x -2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是()A.x >-1B.x ≥-1C.x ≥-1且x ≠0D.x ≤-1且x ≠0【答案】C【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；【详解】解：由题意得：x +1≥0且x ≠0，∴x ≥-1且x ≠0，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．2.(2022·广西桂林·中考真题)化简12的结果是()A.23 B.3C.22D.2【答案】A【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为23．【详解】解：12=4×3=22×3=23，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．。
第2讲 整式及其运算,分式,二次根式
1．(2014·锦州)下列运算正确的是( D )
A．a2＋a5＝a7
B．(－ab)3＝－ab3
C．a8÷a2＝a4 D．2a2·a＝2a3
2．(2014·葫芦岛)下列运算正确的是( A )
A．a3÷a2＝a B．(－12)0＝0 C．(a3)4＝a7 D．(12)－3＝－18
3．(2014·抚顺)下列计算正确的是( D )
A．－2(a－1)＝－2a－1 B．(－2a)2＝－2a2
C．(2a＋b)2＝4a2＋b2 D．3x2－2x2＝x2
4．(2014·沈阳)下列运算正确的是( D )
A．(－x3)2＝－x6 B．x4＋x4＝x8
C．x2·x3＝x6
D．xy4÷(－xy)＝－y3
5．(2014·枣庄)如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边
7．乘法公式
(1)平方差公式： (a＋b)(a－b)＝a2－b2 ；
(2)完全平方公式： (a±b)2＝a2±2ab＋b2
.
8．整式除法 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为 商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数 作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的 每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．
4．(2012·杭州)化简2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m ＋1)]，若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式 表示一个什么数？
解：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]＝2(m2－m ＋m2＋m)(m2－m－m2－m)＝－8m3.原式＝(－2m)3，表示3个 －2m相乘，或者说是一个立方数，8的倍数等
长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个
整式、分式、二次根式教学提纲
第二讲 整式、分式、二次根式1、合并同类项 例1: （2009烟台）m 523 n右3x y 与x y的和是单项式，则 nm 例2: （2009太原）已知一个多项式与3x 2 29x 的和等于3x4x 1，则这个多项式是（） A5x 1 B . 5x 1 C . 13x 1D. 13x 1 例3: （2009恩施）「 下列计算正确的是（)A# 3、3 6.(x ) x6 4 24B. a aaC. (be)4( be)2.226 3 2b eD . x x x例4: （2008天津）2若 x -9 , 则2x —的值为xx例5: （2008合肥）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（） A.x 2— xyB. x 2+ xyC. x 2— y 2D. x 2 + y 2例6: （2008南通）分解因式（x 2）（x 4） x 2 4 .例& (2007天津) 若分式1x| x 1的值为零，贝y 1x 的值等于例 9: (2009 长沙) 1 分式'11的计算结果是（a 1 a(a 1)1 a 1 a 1 AB .C.—D .a 1 a 1 aa例7: （2008南平）当x 时，分式 没有意义.x 22a 例10: （ 2008黑河）先化简: a 26a 9 a 2 2a 6 2，再任选一个你喜欢的数代入求值. 例11: （ 2007上海）在下列二次根式中，与 、.、a 是同类二次根式的是（ A . ' 2aC .D . • a 4例12: （ 2009烟台）化简：.18 3 .6 C.3 2)0 ■ (1 . 2)2 . 真题训练 （2007黄冈）下列计算正确的是 1、 3 2^5 a a 2a 3、2 ,6 B 、 ( 2a ) 4a (a b)2 a 2 b 22、 （2007济南）已知整式 6x 1的值是2, y 的值是 (5x 2 y 5xy 7x)(4x 2y5xy 7x)1 1 1亠11 1A . 或_B . 或C . 或_ 4 2 4 2 4 2 23、（ 2008金华）在a □ 4a □ 4空格□中，任意填上" +”或“一”，在所得到的这代数式中, 以构成完全平方式的概率是（ ） C . A . a(x 2)2 B . a(x 2)2 C . a(x 4)2 5、（ 2007 黄冈）「下列运算中，错误.的是（ )a ae, a bA 、 (e 0)B 、 1 b be a b0.5a b 5a 10b x y y x C 、 D 、0.2a 0.3b 2a 3b x y y x 4、（2007北京）把代数式 ax 4ax 4a 分解因式，下列结果中正确的是（ X 应满足的条件是 1 要使分式 有意义，则 X 1 D . a (X 2)(X 2) 6、 (2009常德) 使二次根式■■■ X ) D . X 1 ( )A . x 2B . X 2C . x 2D . X 2/ “ b 2a8、（2009 陕西） 化简 a — g 的结果是（ ) 2有意义的x 的取值范围是(2009宁波) 7、 a a b 9、（ 2007深圳）若单项式2x 2y m与 1 -x n y 3是同类项，则m 3 n 的值是 10、（2009天津）若分式 X 2 X 2 2的值为 x 2 2x 111、(2007 河北) 若a 22 a 0，则 2a 2a 2007的值为 12、（2009台州）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全 对称式，如a b c 就是完全对称式.下列三个代数式：①（a b ）2 •，②ab be ca ； ③a 2b b 2e e 2a .其中是完全对称式的是 ___________________________ 13、（ 2008南京）先化简，再求值：（2a 1）2 2（2 a 1） 3，其中a 、2 .25题图2 2 214、（2009吉林）在三个整式x 2xy, y 2xy, x中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.3x 3 3x 115、（2007福州）先化简再求值：2，其中x= 2。
整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧
1.整式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：ba 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．2. n 都是正整数)．．()n ab =再把注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项． ①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+ ④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)．单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的 322a ⨯；1=+a a ，不是)．123、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4.分式一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成BA的形式．如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义； (3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．B A =这个“适解：(1)b a b a b a 34124131413132-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎭⎝=-； (2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568yx y x -+=． 1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcadc d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛(n 为整数)．3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cba cbc a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：除运算，此类a 必①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式． 注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131)13)(13(13-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． (1))0()(2≥=a a a ．(4)b a 号里的(例烦，解：6321263212--+++--232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-．分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+=23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a ba +-的值．分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ， 又372<< ， 54<<∴x ．一、例1故有a 例2于是可以发现3+22=()221+，且()21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。
整式、分式、二次根式
中考总复习：整式与因式分解—知识讲解【知识梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式单项式和多项式统称整式．4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．6.整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ③单项式与多项式相乘： ④多项式与多项式相乘：平方差公式： 完全平方公式：⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．考点二、因式分解 1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+± （3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解. 3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算若单项式是同类项，则的值是 ．下列各式中正确的是( )A. B.a 2·a 3=a 6C.(-3a 2)3=-9a 6D.a 5+a 3=a 8【变式】下列运算正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．【变式】下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12； (2)a 6÷a 3＝a 2； (3)a 5＋a 5＝a 10； (4)(a 3)2＝a 9； (5)(－ab 2)2＝ab 4； (6) 利用乘法公式计算：(1)(2x-3y)(2x+3y) (2) (3a-6b)2(3)(a+b+c)2(4)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2) (5)(m-3)(m+5)若多项式x 2+ax+8和多项式x 2﹣3x+b 相乘的积中不含x 2、x 3项，求（a ﹣b ）3﹣（a 3﹣b 3）的值．如果a 2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______. 已知 a+b=5，ab=3，求代数式的值 (1)a 2+b2（2） a ﹣b⋅=-22212x x已知25mx=，求6155m x -的值． 已知2a x =，3b x =．求32a b x +的值．类型二、因式分解因式分解（1）9x 2﹣81 （3）3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ） （4）6mn 2﹣9m 2n ﹣n 3．（4）（2x+y ）2﹣（x+2y ）2 （5）﹣8a 2b+2a 3+8ab 2． (6)多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________.【变式】多项式的最小值是____________. 把3443ax by ay bx +++分解因式．【变式1】分解因式：22244a b ab c +--16x 2－(x 2＋4)2；.4412+-x 22212-+-x x 4322+-x x 22233y xy y x x ++--类型三、因式分解与其他知识的综合运用已知a 、b 、c 是△ABC 的三边的长,且满足: a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【变式】已知，则xy= .【变式】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满足222166100a b c ab bc --++=， 求证：2a c b +=.【变式】已知，求的值． 【变式】【变式】321=+xx 441x x +0102622=+++-y y x x 的值，，求已知1013422+=+-x x x x 的值，，求代数式满足已知yx xy y x y x y x ++=++245,22中考总复习：分式与二次根式—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似（1）加减运算（2）乘法运算（3）除法运算（4）乘方运算（b≠0）2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．（公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．）6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 考点三、分式方程及其应用 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 4．分式方程的应用考点四、二次根式的主要性质；2.；(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 积的算术平方根的性质：00)a b =≥≥，；5. 商的算术平方根的性质：00)a b =≥>，. 6.若0a b >≥>.考点五、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (3)乘法公式的推广：123123(0000)n n n a a a a a a a a a ⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算0(0)a ≥≥2(0)a a =≥二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式： （1（2）a a +-互为有理化因式；一般地a a +-（3. 【典型例题】类型一、分式的意义及性质使代数式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C.且 D.一切实数 【变式】当x 取何值时，分式12922---x x x 有意义?值为零?【变式】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是 ．类型二、分式的运算.31211222=⎪⎭⎫⎝⎛+-÷++-x x x x x x ，其中先化简，再求值：12-x xx 0≥x 21≠x 0≥x 21≠x【变式】化简：•．.211-134422++⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷++-x x x x x x x 化简：已知,求下列各式的值. (1); (2).【变式】已知求的值.已知求的值.14x x+=221x x +2421x x x ++111,a b a b +=+b a a b +,b c c a a b a b c+++==()()()abc a b b c c a +++【变式】已知求的值.类型四、分式方程及应用如果方程 有增根, 那么增根是 . a 为何值时,关于x 的分式方程会产生增根?【变式】a 为何值时,关于x 的分式方程的解为正数?为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=abc ab bc ac++11322x x x-+=--223242ax x x x +=--+223242ax x x x +=--+【变式】莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨．受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每天售出多少吨？甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（ ）A ．B ．C ．D ． 类型五、二次根式的定义及性质要使式子有意义，则a 的取值范围为 ． 00253010(18060x x -=+）00253010(180x x -=+）00302510(18060x x -=+）00302510(180x x-=+）a a 2+若x-3+x-y+1=0，计算322x y+xy +4y . （1）当x 的值最小？最小值是多少？ （2）的最小值是是整数，则若m m 128 .化简=-2)3(π .=++-+-1449622x x x x .）（30≤≥x2222,,）（）（）（）（简是三角形的三边长，化已知a b c c a b c b a c b a c b a --+----++--类型六、二次根式的运算计算：1(46438)222-+÷； 328131126-+-；计算：．已知m 是的小数部分． 913x +（1）求m 2+2m+1的值； （2）求的值．的值。
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3 整式与分解因式
【知识梳理】
1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即
n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）
；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n
n
n
b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a
a 1
=
-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:
(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.
(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.
(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即2
2))((b a b a b a -=-+；
(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）
它们的积的2倍，即2
222)(b ab a b a +±=±
3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．
4.分解因式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±
5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：
⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）
A. a ＋2a=3a 2
B. 3a －2a=a
C. a 2∙a 3=a 6
D.6a 2÷2a 2=3a 2 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的
结果是（ ）
A ．m
B ．m
C ．m +1
D ．m -1
【例3】若2
320a a --=，则2
526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( )
A ．2
2
()()x y x y x y -=+- B ．22
69(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+
D ．2
2
2
()x y x y +=+
【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一
行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________
【例6】给出三个多项式：
21212x x +-，21412x x ++，21
22
x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
【检测】
1.分解因式：39a a -= ， _____________
22
3=---x x x 2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）
⊗（p ，q ）=（5，0）
，则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )
A. 2⨯107
B. 4⨯1014
C.3.2⨯105
D. 3.2⨯1014 ．
4.先化简，再求值：22
()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中22a b =-=．
5．先化简，再求值：22
()()()2a b a b a b a +-++-，其中133
a b ==-，．
4 分式与分式方程
【知识梳理】
1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式
B
A
叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算
4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．
5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】
1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）
2.检验
【例题精讲】
1．化简：222211
1x x x x x x
-+-÷-+
2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫
÷-- ⎪-+⎝⎭
，其中2x =
3．先化简1
1112
-÷-+x x
x ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．
4．解下列方程（1）
013522=--+x
x x x （2）416
22222
-=-+-+-x x x x x
5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【检测】
1．当99a =时，分式21
1
a a --的值是
．
2．当x 时，分式1
12
--x x 有意义；当x 时，该式的值为0． 3．计算2
2
()ab ab
的结果为 ．
4. ．若分式方程
x
x
k x --=
+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-2
5．若分式
3
2
-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x
6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x y
x 4y 5x y x 4xy
5x y 2xy x 22
22-+-+÷-++的值
7．先化简，再求值：4x
x 16
x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x
8.解分式方程． (1)22011
x
x x -=+- (2)
x 2)3(x 22x x -=--；
(3) 11322x
x x -=--- (4)11
-x 1x 1x 22
=+--
5 二次根式
【知识梳理】 1.二次根式：
(1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2．二次根式的化简：
3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号
4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：
（1
a 0b 0≥≥，）（2
a 0b 0≥ ，）
6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并
同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 【思想方法】 非负性的应用
【例题精讲】 【例1
有意义，x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠
B ．0x ≠
C ．10x x >-≠且
D ．10x x ≠≥-且
【例2
）． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间
D ．9到10之间
【例3】 若实数x y ，
2(0y =，则xy 的值是 ．
【例4】如图，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有52π7
-，，四个实数，从中任取两张卡片．
A B C D
（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．
【例5】计算：
（1）10
3130tan 3)14.3(27-+︒---）
（π （2）1
01(1)52-⎛⎫
π-+-+-- ⎪⎝⎭
【例6】先化简，再求值：)1()1112(2-⨯+--a a a ，其中33-=a ．
【检测】
1.计算：（10
32tan 60(1--+-
．
（2）cos45°·(－21)－2
－(22－3)0＋｜－32｜＋121-
（3）023cos 304sin 60
-++-
．
2.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简。