微积分知识点小结演示教学
微积分重点内容回顾.完整版ppt资料
(d) x2 a2 可令x a se t. c
(3)并不是a 所 2x有 2, x含 2a2, x2a2的积分
用三角 ,也代 可换 凑 .如微 x a2分 x2d.x
(4)第二换元法 换 除 外 了 还 三 有 x 角 1倒 及 代 代 其 . t
类型一.被积函数a中 x， 含则 有 t令ax
例 1.计算 (1)x.x1dx(2).
例 3. 计算 lx i0m exex3x2x.
Solution.
ex ex 2x
lim
x0
x3
limex ex 2 x0 3x2
limex ex x0 6x
limex ex 1
x0 6
3
(2)一般规律如下：当被积函数中含有
(a) ax
可令 t ax
(b) a2 x2 (c) a2 x2
可令 xasitn ; 可令 xatat;n
f(1)1 00, f(2) 70, f(3)3 20.
至少1 存 (1 ,2 )在 使 , f(一 得 1 ) 0 .点 至少2 存 (2 ,3 )在 使 , f( 一 得 2 ) 0 .点
所以结论成立.
二.导数定义
1.f(x)在 xx0处的导 (变化数 率) 定义: 设 yf(x)在x 点 0的某个邻域 ,若 内有
本钱函数 C(q) 的导数 C (q) 称为边际本钱, 记为 MC, ① f(x)在x0连续与它在该点左右连续的关系有如下结论:
(3).
f(b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 . 对于区间的右端点只要左连续那么称为连续.
收益函数 R(q) 的导 数 R (q) 称为边际收益, 记为 MR,
经济数学基础(微积分)讲义全
经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。
2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。
4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。
5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。
● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。
知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。
数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。
微积分基本定理PPT课件
π 0
sinx dx = -cosx
π 0
= -cosπ - -cos0 = -cos2π - -cosπ = -cos2π - -cos0
=2
2π π
sinx dx = -cosx
2π π
= -2
2π 0
sinx dx = -cosx
2π 0
接下来让我们练一练吧
定积分的基本公式,又称牛顿 ----莱布尼兹公式.常表示为
b
a
f(x)dx = F(x) = F b - F a .
b a
例1. 计算 -1
3
1 解: 因为 arctanx = 1 + x2 由微积分基本定理得：
'
dx . 2 1+ x
dx 3 = arctanx -1 -1 1 + x2 = arctan 3 - arctan -1
从几何意义上看，设曲线y=y(t) 上与 t i-1 对应的点为P，PD是P点处 的切线，由导数的几何意义知，切 线PD的斜率等于y' ti-1 ，于是
Δs i ≈ h i = tan∠DPCgΔt = y t i-1 Δt
'
物体的总位移s
s = Δsi ≈ hi = v t i-1 Δt
教学目标
知识与能力
了解微积分的概念和推 导过程以及基本思想，并能利用 微积分的定义解决实际问题.
过程与方法
通过实例（如变速运动物体 在某段时间内的速度与路程的关 系），直观了解微积分基本定理的 含义．
情感态度与价值观
微积分是大学阶段的数学必 修，是高等数学的基础组成部分.高 中阶段的导数是其基础.
必修4-微积分知识点总结
必修4-微积分知识点总结
1. 导数与微分
- 导数的定义及其计算方法
- 微分的概念和应用
2. 导数的基本性质
- 导数的四则运算法则和链式法则
- 隐函数的导数和高阶导数
3. 极限与连续
- 极限的概念和性质
- 无穷小量与无穷大量的定义
- 连续函数的定义和性质
4. 幂指函数与对数函数的导数
- 幂函数和指数函数的导数公式
- 对数函数的导数公式和性质
5. 反函数与参数方程的求导
- 反函数的导数计算
- 参数方程的求导方法
6. 高阶导数与泰勒公式
- 高阶导数的定义和计算方法
- 泰勒公式及其应用
7. 常微分方程
- 常微分方程的概念
- 一阶线性常微分方程的求解方法
8. 微分方程的应用
- 生活中微分方程的应用案例
9. 偏导数与多元函数的微分
- 偏导数的定义和计算方法
- 多元函数的全微分和微分近似
10. 隐函数的偏导数和方向导数- 隐函数的偏导数计算
- 方向导数的概念和计算方法
11. 极值与最值
- 极值的定义和判断条件
- 最值的概念和计算方法
以上是必修4微积分课程的知识点总结。
希望对您的学习有帮助！。
微积分知识点总结ppt
微积分知识点总结ppt一、基本概念1. 导数的定义：导数的定义是函数在一点的导数，是该函数在这一点的切线的斜率。
2. 导数的性质：基本公式，和，积，商法则等。
3. 函数的极值：通过导数求函数的极值点及极值。
4. 函数的单调性：通过导数研究函数的单调性。
5. 函数的凹凸性：通过导数研究函数的凹凸性。
二、微分学1. 微分的概念：微分是函数在某一点处的导函数的表现，是切线的截距。
2. 微分的计算：通过导函数求微分。
3. 微分的应用：微分在函数的近似计算，误差估计及优化问题中的应用。
三、积分学1. 不定积分：通过求导数的逆运算求不定积分。
2. 定积分：通过Riemann和定积分求解面积及曲线弧长等问题。
3. 定积分的性质：定积分的基本性质及计算公式。
4. 定积分的应用：定积分在物理，力学，生物等领域的应用。
四、微积分基本定理1. 微积分基本定理的概念：微分与积分之间的关系。
2. 牛顿—莱布尼兹公式：微积分基本定理的应用。
3. 微积分基本定理的证明：微积分基本定理的几何和代数证明。
4. 微积分基本定理的应用：微积分基本定理在实际问题中的应用。
五、一元函数微积分1. 一元函数极限：一元函数极限的概念及计算方法。
2. 一元函数连续性：一元函数连续性的概念及计算方法。
3. 一元函数导数：一元函数导数的概念及计算方法。
4. 一元函数积分：一元函数积分的概念及计算方法。
六、多元函数微积分1. 多元函数极限：多元函数极限的概念及计算方法。
2. 多元函数连续性：多元函数连续性的概念及计算方法。
3. 多元函数偏导数：多元函数偏导数的概念及计算方法。
4. 多元函数积分：多元函数积分的概念及计算方法。
七、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义及分类。
2. 微分方程的解法：微分方程的解法及技巧。
3. 微分方程的应用：微分方程在物理，工程等领域的应用。
八、泰勒级数与麦克劳林级数1. 泰勒级数：泰勒级数的定义及计算方法。
经济数学—微积分(函数的知识点及结论)
集合与简易逻辑一、集合：1、知识点归纳①定义：一组对象的全体形成一个集合②特征：确定性、互异性、无序性③表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}韦恩图④分类：有限集、无限集、空集φ⑤数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N *、空集φ⑥关系：属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等＝⑦运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};补运算AC U＝{x|x∉A且x∈U}，U为全集⑧性质：A⊆A；φ⊆A；若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B；A∩C U A＝φ；A∪C U A＝I；C U( C U A)＝A；C U(A⋃B)＝(C U A)∩(C U B)方法：数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决2、注意：①区别∈与、与⊆、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②A⊆B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ③若集合A中有n)(Nn∈个元素，则集合A的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2-1, 所有非空真子集的个数是22-n④空集是指不含任何元素的集合}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为BA⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A的情况⑤理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值的取值？还是曲线上的点？可用列举法、数形结合等方法来理解集合中元素的意义海伦·凯勒：“当一个人感觉到有高飞的冲动时，他将再也不会满足于在地上爬。
”二、含绝对值的不等式及一元二次不等式知识点归纳1绝对值不等式①不等式)0(><aax的解集是{}axax<<-;②不等式)0(>>aax的解集是{}axaxx-<>或,③不等式｜ax+b｜<c, c>0的解集为{})0(|><+<-ccbaxcx;④不等式｜ax+b｜>c c>0的解集为{})0(,|>>+-<+ccbaxcbaxx或⑤两边都为非负数（或式）时，可两边平方⑥含有多个绝对值不等式时，可用零点分段法⑦含有两个绝对值的不等式可用几何意义解决。
(完整word版)微积分(知识点概要).(良心出品必属精品)
微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。
一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
P6）称幂函数x k（k为常数），指数函数a x ，对数函数loga x （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次．．．加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。
（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。
1．2极限概念与运算法则P11）当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ，则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。
称常数b 为它的极限，记为ax →lim f(x)=b 否则就称极限不存在。
第四章 §2 微积分基本定理
§2 微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答案 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?答案 不唯一．根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )； ②结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．(2)常用函数积分公式表1．若F ′(x )＝f (x )，则F (x )唯一．( × )2．微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( √ )3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( √ )类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分．(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ； (2)2π2sin cos d 22x x x⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰； (3)ʃ30(x －3)(x －4)d x .考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 解 (1)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ＝(ln x －3sin x )|21 ＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.(2)∵⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x 2 ＝1－sin x ， ∴2π2sin cos d 22x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝π20(1sin )d x x ⎰－＝π20(cos )|x x ＋＝⎝⎛⎭⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (3)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12，∴ʃ30(x －3)(x －4)d x ＝ʃ30(x 2－7x ＋12)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－72x 2＋12x 30＝⎝⎛⎭⎫13×33－72×32＋12×3－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F (x )．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练1 求下列定积分．(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)π222cos sin d 22x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰；(3)ʃ94x (1＋x )d x .考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3＋ln x 21＝⎝⎛⎭⎫12×22－13×23＋ln 2－⎝⎛⎭⎫12－13＋ln 1＝ln 2－56.(2)π222cos sin d 22x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝π20cos d x x ⎰＝π20sin |x ＝1. (3)ʃ94x (1＋x )d x ＝ʃ94(x ＋x )d x ＝3292421|32x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝322219932⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭－322214432⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭＝2716.命题角度2 求分段函数的定积分 例2 求下列定积分：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求ʃ40f (x )d x ；(2)ʃ20|x 2－1|d x .考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 解(1)ʃ40f (x )d x ＝π2sin d x x ⎰＋2π21d x ⎰＋ʃ42(x －1)d x＝π20(cos )|x －＋2π2|x ＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－x 42＝1＋⎝⎛⎭⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. (2)ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 21＝2. 反思与感悟 分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．跟踪训练2 (1)ʃ1－1e |x |d x ＝_______.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋e x，0≤x ≤1，x －1x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x ＝______.考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 (1)2e －2 (2)e ＋32－ln 2解析 (1)ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e xd x＝－e －x |0－1＋e x |10＝－e 0＋e 1＋e 1－e 0＝2e －2.(2)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10(2x ＋e x )d x ＋ʃ21⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝(x 2＋e x )|10＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x 21＝(1＋e)－(0＋e 0)＋⎝⎛⎭⎫12×22－ln 2－⎝⎛⎭⎫12×1－ln 1 ＝e ＋32－ln 2.类型二 利用定积分求参数例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt 0f (x )d x ＝6，则t ＝________. (2)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________． 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 (1)3 (2)⎣⎡⎦⎤23，2解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6， 解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3. (2)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.引申探究1．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝f ⎝⎛⎭⎫t 2，求t . 解 由ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ， 又f ⎝⎛⎭⎫t 2＝t －1，∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值． 解 F (t )＝ʃt 0f (x )d x ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14(t >0)， 当t ＝12时，F (t )min ＝－14.反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练3 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 (1)[0,2) (2)33解析 (1)f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2，x ∈(0,1]． ∴f (x )的值域为[0,2)．(2)∵ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . 又f (x 0)＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33. ∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.1．若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 D解析 ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.2．π2312sin d 2θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D 解析π2312sin d 2θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰＝π3cos d θθ⎰＝π30sin |θ＝32. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C解析 ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝ ⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝56. 4．已知函数f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则ʃ31f (－x )d x ＝________.考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用 答案 23解析 ∵f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nx n －1＋m ＝2x ＋2，解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (－x )＝x 2－2x ，∴ʃ31f (－x )d x ＝ʃ31(x 2－2x )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 231＝9－9－13＋1＝23. 5．求函数f (a )＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x 的最小值．考点 微积分基本定理的综合应用 题点 微积分基本定理的综合应用解 ∵ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2，∴f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1， ∴当a ＝－1时，f (a )有最小值1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1．ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2－ln 2 B ．e 2－e －ln 2 C ．e 2＋e ＋ln 2D ．e 2－e ＋ln 2考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分 答案 D解析 ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x ＝(e x ＋ln x )|21 ＝(e 2＋ln 2)－(e ＋ln 1)＝e 2－e ＋ln 2. 2．若π2(sin cos )d x a x x ⎰－＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3D. 3考点 微积分基本定理的应用 题点 利用微积分基本定理求参数 答案 A 解析π2(sin cos )d x a x x ⎰－＝π20(cos sin )|x a x －－＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1，故选A.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1考点 利用微积分基本定理求定积分 题点 利用微积分基本定理求定积分答案 B解析 因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝⎪⎪13x 321＝13×23－13＝73， S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．又ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.4．ʃ30|x 2－4|d x 等于( )A.213B.223C.233D.253 考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 C解析 ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2，∴ʃ30|x 2－4|d x ＝ʃ32(x 2－4)d x ＋ʃ20(4－x 2)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 32＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫4x －13x 320＝⎣⎡⎦⎤(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－83－0 ＝－3－83＋8＋8－83＝233.5．若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用解析 对于①，ʃ1－1sin 12x cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝0， 所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，ʃ1－1x ·x 2d x ＝ʃ1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．6．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于() A ．－13 B ．－1C.13 D ．1考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ʃ10f (x )d x 10＝13＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝－13.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，则ʃ1－1f (x )d x ＝________. 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 sin 1－23解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )|10＝⎣⎡⎦⎤13×03－13×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23. 8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 －1或13解析 ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4， 2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13. 9.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 13解析 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝____________. 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f (f (1))＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3. 12．已知α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 π4解析 ʃα0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|α0＝sin α＋cos α－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1. ∵α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，34π， 当α＋π4＝π2，即α＝π4时， 2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1取得最大值． 三、解答题13．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用解 因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)2，－1≤x ≤0，1－x 2，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 等于( ) A.3π－812B.4＋3π12C.4＋π4D.－4＋3π12 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 B解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1(x ＋1)2d x ＋ʃ101－x 2d x ，ʃ0－1(x ＋1)2d x ＝ ⎪⎪13(x ＋1)30－1＝13， ʃ101－x 2d x 以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一， 故ʃ101－x 2d x ＝π4， 故ʃ1－1f (x )d x ＝13＋π4＝4＋3π12. 15．已知f ′(x )是f (x )在(0，＋∞)上的导数，满足xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，且ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x >0时，证明不等式2ln x ≤e x 2－2.考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用(1)解 由xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，得 x 2f ′(x )＋2xf (x )＝1x， 即[x 2f (x )]′＝1x， 所以x 2f (x )＝ln x ＋c (c 为常数)，即x 2f (x )－ln x ＝c .又ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1，即ʃ21c d x ＝1，所以cx |21＝1，所以2c －c ＝1，所以c ＝1.所以x 2f (x )＝ln x ＋1，所以f (x )＝ln x ＋1x 2. (2)证明 由(1)知f (x )＝ln x ＋1x 2(x >0)， 所以f ′(x )＝1x ×x 2－2x (ln x ＋1)x 4＝－2ln x －1x 3， 当f ′(x )＝0时，x ＝12e -，f ′(x )>0时，0<x <12e -，f ′(x )<0时，x >12e -，所以f (x )在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调减．所以f (x )max ＝12e f -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝e 2， 所以f (x )＝ln x ＋1x 2≤e 2， 即2ln x ≤e x 2－2.。
微积分基本公式ppt课件
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
微积分基础知识ppt课件
.
9
2.邻域:
设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数{x集 xa()}称为 a的 邻 点 ,域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
a
a
a x
点 a的去心 邻的 ,域 记U 作 (a,).
U (a , ) {x0 x a }.
.
10
二、函数
１．定义 设数集 D，若存在对应法则 f ，使对 x D ，
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , a N b 因b 2 2 2 a a 此 ,收则x 敛当数n 3列a>a22bN的b时极xnx,限nx必n3满ba2唯2a足b一的. 不等式
.
37
两边夹准则
( 1 ) y n x n z n ( n 1 ,2 , )
n 1 1
2
.
7
具备的数学素质： ➢ 从实际问题抽象出数学模型的能力 ➢ 计算与分析的能力 ➢ 了解和使用现代数学语言和符号的能力 ➢ 使用数学软件学习和应用数学的能力
.
8
第0章 基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n }
基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数 和反三角函数）.
.
12
几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
y
1
o
x
-1
xsgxn x
.
13
(2) 取整函数 y=[x]
《高等数学(一)微积分》讲义
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
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注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
大学数学微积分第九、十章 多元函数积分学曲面积分 知识点总结
第九、十章 多元函数积分学§9.4 曲面积分一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）基本计算公式：设曲面S 的方程 ()(),,,z z x y x y D =∈，(),z x y 在D 上有连续偏导数，(),,f x y z 在S 上连续，则()(),,,,,SDf x y z ds f x y z x y =⎡⎣⎰⎰⎰⎰这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算 二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）基本计算公式：如果曲面S 的方程 ()(),,,xy z z x y x y D =∈()xy ,Z x y D 在上连续，(),,R x y z 在S 上连续，则()(),,,,,xySD R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 若曲面S 指定一侧的法向量与Z 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积分化为xy 平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。
三、两类曲面积分之间的关系：[]cos cos cos SSpdydz Qdzdx Rdxdy p Q R dS αβγ++=++⎰⎰⎰⎰其中()cos ,cos ,cos ,,S x y z αβγ为曲面在点处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦{}{}00,,,cos ,cos ,cos SSF P Q R n Pdydz Qdzdx Rdxdy F n ds αβγ==++=⎰⎰⎰⎰令四、高斯公式定理 设Ω是由分块光滑曲面S 围成的单连通有界闭区域，()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在Ω上有连续的一阶偏导数，则S P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰[]cos cos cos SP Q R dS αβγ=++⎰⎰其中cos ,cos ,cos αβγ为S 在点(),,x y z 处的法向量的方向余弦 五、斯托克斯公式定理：设L 是逐段光滑有向闭曲线，S 是以L 为边界的分块光滑有向曲面，L 的正向与S 的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在包含S 的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有L Sdydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q R∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰S R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 也可用第一类曲面积分cos cos cos L SPdx Qdy Rdz dS x y z P QRαβγ∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰ 六、梯度、散度和旋度(外侧)1、梯度 设(),,,,,u u u u u x y z gradu x y z ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭则称为u 的梯度 ，令,,x y z ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭是算子则 gradu u =∇2、散度设()()()(),,,,,,,,F P x y z Q x y z R x y z =则P Q R divF F x y z∂∂∂=++=∇⋅∂∂∂ 称为F 的散度高斯公式可写成0SdivFdv F n dS Ω=⎰⎰⎰⎰⎰（外侧） 其中()0cos ,cos ,cos n αβγ=为外侧单位法向量 3、旋度()()()(),,,,,,,,,ij k F P x y z Q x y z R x y z rotF F x y z PQR∂∂∂==∇⨯=∂∂∂设 R Q P R Q P i j k y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝，称为F 的旋度。
根据微积分知识点归纳总结(精华版)
根据微积分知识点归纳总结(精华版)根据微积分知识点归纳总结（精华版）
一、导数与微分
1. 导数的定义与计算方法
2. 导数的几何意义与物理应用
3. 微分的概念与计算方法
4. 微分的几何意义与物理应用
二、函数的极限与连续
1. 函数极限的定义与性质
2. 常见函数的极限计算
3. 函数连续的定义与判定方法
4. 连续函数的性质与常见函数的连续性
三、微分中值定理与应用
1. 雅可比中值定理的概念与应用
2. 拉格朗日中值定理的概念与应用
3. 柯西中值定理的概念与应用
4. 罗尔中值定理的概念与应用
四、定积分与面积计算
1. 定积分的概念与性质
2. 定积分的计算方法与性质应用
3. 平面曲线弧长的计算方法
4. 平面图形面积的计算方法
五、微分方程与应用
1. 微分方程的定义与常见类型
2. 一阶微分方程的解法与应用
3. 高阶微分方程的解法与应用
4. 微分方程在科学与工程中的应用
本文档对微积分知识点进行了归纳总结，包括导数与微分、函
数的极限与连续、微分中值定理与应用、定积分与面积计算以及微
分方程与应用。
每个知识点简要介绍了其定义、性质、计算方法以
及常见应用，以帮助读者快速理解与掌握微积分的核心概念与技巧。
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微积分的总结
微积分的总结再学微积分初⼊微积分:不定积分定义:不定积分是求导运算和微分运算不完全的逆运算。
也是⼀种⾮构造的运算。
为什么是它是它的逆运算？为什么说是不完全的逆运算？为什么说它是⾮构造的运算？F′(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx∫f(x)dx=F(x)+C 所以,称它是它的逆运算。
证明:为什么f(x)的原函数是且仅是F(x)+C?假设f(x)的原函数不⽌⼀个,设F(x)是其中的特定的某⼀个。
G(x)代表其中的任意⼀个。
则,根据原函数的定义,有:F′(x)=f(x),且G′(x)=f(x),则有:h(x)=G′(x)−F′(x)=0。
所以,只要F(x)是f(x)的⼀个原函数,任意的⼀个原函数都可以被表⽰为:F(x)+C,所以f(x)的原函数是且仅是F(x)+C假设不定积分和求导,微分在两个空间之间建⽴起了联系,那么,假设运算从求导,微分开始:解空间C1对应的解空间C2所对应的解空间不是C1。
实际上C2是C1的⽗集。
故称它们是⼀对不完全的逆运算。
任何⼀个特定的不定积分的求解空间Y2是所有不定积分的求解空间的合空间Y1的⼀个很⼩的⼦集。
所以说它是⾮构造的运算。
基本的不定积分公式∫0dx=C∫1dx=∫dx=x+C∫x a dx=1a+1x a+1+C(a≠−1)∫x−1dx=ln|x|+C∫a x dx=a xlna+C∫e x dx=e x+C∫cosxdx=sinx+C∫sinxdx=−cosx+C∫sec2xdx=tanx+C∫csc2dx=−cotx+C∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=−cscx不定积分的四⼤法宝1. 不定积分的线性运算法则若∫f(x)dx,∫g(x)dx均存在∀α,β(不同时为零)则:∫[αf(x)+βg(x)]dx=α∫f(x)dx+β∫g(x)dx 例题1求∫tan2xdx∫tan2xdx=∫(sec2x−1)dx=∫sec2xdx−∫dx例题2求∫1sin2xcos2∫1sin2xcos2=∫sin2x+cos2sin2xcos2=∫(sec2x+csc2x)dx例题3求∫x4x2+1dx∫x4x2+1dx=∫x4−1+1x2+1dx=∫(x2−1+1x2+1)dx2. 不定积分的凑微分(第⼀换元法)定义:在保持被积表达式的值不变时,于内部进⾏微分运算,以同时改变被积函数和积分变量,在整体上达到被积表达式形式的改变,以使其形式更加便于求解。
《微积分》课件
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
微积分知识点总结
微积分知识点总结
嘿，朋友们！今天咱们要来好好聊聊微积分这个超级有意思的知识领域！
先来说说极限吧！极限就像是你追求梦想的过程，虽然可能永远达不到那个绝对完美的点，但一直在无限接近。
比如说，你想要跑第一名，虽然可能永远无法真的在所有比赛中都拿第一，但你每次努力都在向那个目标靠近，这就是一种极限的体现啊！
然后是导数！导数就像是汽车的速度表，能告诉你事物变化的快慢。
想象一下你骑自行车加速的过程，导数就能告诉你那一刻你的速度变化有多快。
比如你从慢慢骑到突然加速冲出去，这中间导数就发生了变化。
再讲讲积分呀！积分就像是收集宝贝的过程。
比如你每天存一点零花钱，时间长了，积少成多，这就是积分啊！它能把很多小小的部分汇聚成一个整体。
就像你每天背几个单词，长时间积累下来，你就拥有了庞大的词汇量，这就是积分的力量呢！“哎呀，这积分的作用可真是大得很呐！”
微分和积分可是一对好伙伴呢，就像你和你最好的朋友一样，相互关联又相互支持。
它们在解决问题中发挥着巨大的作用！比如要计算一个不规则图形的面积，就得靠积分啦！
在学习微积分的过程中，有时候会觉得有点难，但是别灰心啊！“这就像爬山，过程中可能会累，但登顶后的风景多美好呀！”只要坚持，你就能掌握它！我觉得微积分就像一把神奇的钥匙，能打开很多知识和问题的大门，让我们看到更广阔的世界！所以，朋友们，别怕微积分，勇敢地去探索和学习吧！。
微积分学习总结
第一章 函数与极限第一节 函数§ 函数内容网络图区间定义域不等式 定义 集合对应法则表格法表达方法 图象法初等函数解析法非初等函数单调性函数的特性 奇偶性函数 周期性 有界性 定义反函数重要的函数 存在性定理 复合函数符号函数：⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=.0,1,0,0,0,1sgn x x x x几个具体重要的函数 取整函数：()][x x f =，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.狄里克雷函数：()⎩⎨⎧=.,0,,1为无理数为有理数x x x D§ 内容提要与释疑解难一、函数的概念定义:设A 、B 是两个非空实数集，如果存在一个对应法则f ，使得对A 中任何一个实数x ，在B 中都有唯一确定的实数y 与x 对应，则称对应法则f 是A 上的函数，记为 B A f yx f →-::或.y 称为x 对应的函数值，记为 ()A x x f y ∈=,.其中x 叫做自变量，y 又叫因变量，A 称为函数f 的定义域，记为D （f ），{}A x x f A f ∈=∆)()(, 称为函数的值域，记为R （f ），在平面坐标系Oxy 下，集合{}D x x f y y x ∈=),(),(称为函数y=f(x)的图形。
函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。
1、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域，而值域被定义域和对应法则完全确定，故确定函数的两要素为定义域和对应法则。
从而在判断两个函数是否为同一函数时，只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同，至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。
2、函数与函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除了用表达式来表示，还可以用表格法、图象法等形式来表示，不要把函数与函数表达式等同起来。
二、反函数定义 设y =f (x )，D x ∈，若对R (f )中每一个y ，都有唯一确定且满足y=f (x )的D x ∈与之对应，则按此对应法则就能得到一个定义在R （f ）上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作 ()()()f R y y fx D f R f∈=→--,:11或.由于习惯上用x 表示自变量，y 表示因变量，所以常把上述函数改写成()()f R x x fy ∈=-,1.1、由函数、反函数的定义可知，反函数的定义域是原来函数的值域，值域是原来函数的定义域。
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第一章 函数
一、本章提要
基本概念
函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数
第二章 极限与连续
一、本章提要
1.基本概念
函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式
(1) 1sin lim 0=→口
口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口
(口代表同一变量). 3.基本方法
⑴ 利用函数的连续性求极限；
⑵ 利用四则运算法则求极限；
⑶ 利用两个重要极限求极限；
⑷ 利用无穷小替换定理求极限；
⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0
0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求
∞∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；
⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限.
4.定理
左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.
第三章 导数与微分
一、本章提要
1. 基本概念
瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分．
2.基本公式
基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式．
3.基本方法
⑴利用导数定义求导数；
⑵利用导数公式与求导法则求导数；
⑶利用复合函数求导法则求导数；
⑷隐含数微分法；
⑸参数方程微分法；
⑹对数求导法；
⑺利用微分运算法则求微分或导数．
第四章微分学的应用
一、本章提要
1. 基本概念
未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线．
2.基本方法
⑴用洛必达法则求未定型的极限；
⑵函数单调性的判定；
⑶单调区间的求法；
⑷可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法；
⑸连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法；
⑹求实际问题的最大（或最小）值的方法；
⑺曲线的凹向及拐点的求法；
⑻曲线的渐近线的求法；
⑼一元函数图像的描绘方法．
3. 定理
柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则．
第五章不定积分
一、本章提要
1. 基本概念
原函数，不定积分．
2.基本公式
不定积分的基本积分公式（20个）；分部积分公式．
３．基本方法
第一换元积分法（凑微分法）；第二换元积分法；分部积分法；简单有理函数的积分方法．
第六章定积分
一、本章提要
1.基本概念
定积分，曲边梯形，定积分的几何意义，变上限的定积分，广义积分，无穷区间上的广义积分，被积函数有无穷区间断点的广义积分.
2．基本公式
牛顿-莱布尼茨公式.
3．基本方法
积分上限函数的求导方法，直接应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的方法，借助于换元积分法及分部积分法计算定积分的方法，两类广义积分的计算方法.
4．定理
定积分的线性运算性质，定积分对积分区间的分割性质，定积分的比较性质，定积分的估值定理，定积分的中值定理，变上限积分对上限的求导定理.
第七章定积分的应用
一、本章提要
1.基本概念
微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数．
2．基本公式
平面曲线弧微元分式．
3.基本方法
(1)用定积分的微元法求平面图形的面积，
(2)求平行截面面积已知的立体的体积，
(3)求曲线的弧长，
(4)求变力所作的功，
(5)求液体的侧压力，
(6)求转动惯量，
(7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值，
(8)求平面薄片的质心，也称重心．
第八章 常微分方程
一、 本章提要
1． 基本概念
微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根．
2． 基本公式
一阶线性微分方程 ()()y P x y Q x '+= 的通解公式:
()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦
⎰． 3． 基本方法
分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法．
4． 定理
齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构．
第九章 空间解析几何
一、本章提要
1．基本概念
空间直角坐标系，向量，向量的模，单位向量，自由向量，向径，向量的坐标与分解，向量的方向余弦，向量的点积与叉积，平面的点法式与一般式方程，直线的点向式及一般式方程，球面，柱面，旋转面，二次曲面，空间曲线在坐标面上的投影，失函数的导数，失函数的积分．
2．基本公式
两点间的距离公式，向量模与方向余弦公式，点积与叉积坐标公式，点到平面的距离公
式，平面与直线间的夹角公式．
3．方程
直线的点向式方程，直线的参数方程，直线的一般式方程，平面的点法式方程，平面的一般式方程．
第十章 多元函数微分学
一、 本章提要
１．基本概念
多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度．
２．基本方法
二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函
数求导法则求偏导数．
隐函数微分法：拉格朗日乘数法．
３．定理
混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件．
第十一章 多元函数积分学
一、本章提要
1． 基本概念
二重积分，三重积分，曲线积分，曲面积分，微元法，柱面坐标系，球面坐标系，积分与路径无关．
2． 基本公式
(1) 格林公式：d d d d L D Q P P x Q y x y x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰； (2) 高斯公式：d d d d d P Q R V P y z Q z x R x y x y z Ω∑
⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰d d ．
3． 基本方法
将二重积分化为二次积分，关键是确定积分的上下限：有直角坐标系下的计算方法和极坐标系下的计算方法；计算三重积分，有直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系的计算方法；计算对坐标的曲线积分，有基本法，格林公式法，与路径无关法；计算对坐标的曲面积分，有对坐标的曲面积分法，高斯公式法．
4． 定理
格林公式定理，积分与路径无关定理，高斯公式定理．
第十二章 级数
一、本章提要
1．基本概念
正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域．
2．基本公式
)1()(x f 在0x x =处的泰勒级数系数：)(00x f a =，!
)(0)(k x f a k k =； (2)傅里叶系数： ππππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππ
n n a f x nx x n b f x nx x n --====⎰⎰． 3．基本方法
比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法．
4．定理
比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理，傅里叶级数展开定理．。