高中文科数学高考模拟试卷(含答案)(2020年整理).doc
2020高考模拟考试文科数学含答案
2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！（第Ⅰ卷选择题部分，共60分）一、 选择题：（本大题共12小题，每个小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的）1、已知全集R ，集合},0)2)(2)(1(|{=-+-=x x x x A },0|{≥=y y B 则BC A R ⋂为 A.}2,2,1{- B.{1,2} C. }2{- D. }2,1{--2、在等差数列{}n a 中,57915a a a ++=,579535a a a +++、、成等比数列, 则等差数列的公差是( ) A 、–5或1 B 、1 C 、 –3 D 、–3或33、甲、乙各掷一次飞镖，假设二人击中目标的概率均为0.6，则至少有一人击中目标的概率为A 0.36B 0.16C 0.48D 0.84 4、给出下列条件（其中l 和a 为直线，α为平面）①α⊥l 内的一凸五边形的两条边，②α⊥l 内三条不都平行的直线， ③α⊥l 内无数条直线，④α⊥l 内正六边形的三条边。
其中是α⊥l 的充分条件的所有序号是（ ）A ②B ①③C ②④D ③④ 5、不等式5||6||>+x x 的解集是（ ） A.)2,2(- B. ⋃-)2,2(⋃+∞),3()3,(--∞ C. )3,(--∞),3(+∞⋃ D. )3,(--∞(3,1)⋃--⋃)1,1(-),2(+∞⋃6、样本（0，2，4，6，8）是随机地从总体M 中抽取的，则总体的方差是（ ）A.8B.6C.4.D.107、已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E 是BC 的中点，D 是AA 1上的一个动点，且m AA AD =1，若AE ∥平面DB 1C ，则m 的值等于 1112 (4323)A B C D8、53)(x y +展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为9、用0、1、2、3、4的五个数组成无重复数字的五位数，奇数数字相邻，偶位数也全相邻的有 A 、32个 （B ）24个（C ）20个 （D ）36个10、两个正数m,n 的等差中项是5，等比中项是4，且m>n ，则椭圆122=+ny m x 的离心率e 等于 A ．25 B. 21C. 22D. 2311、已知二次函数2()(,,0)f x ax bx c a b c a =++≠其中是常数,且在点0x 处的切线为y kx m =+，设函数.)(m kx x g +=若()()g x f x ≥恒成立，则A ．0a >B ．0a <C ．240b ac ∆=-≥；D ．240b ac ∆=-< 12、若右图，定圆的半径为a ，圆心为(b,c)则直线0ax by c ++=与直线10x y --=的交点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限(D)xyOxyOxy O(B)(A) xyO(C)第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分。
2020届高考模拟数学文科试题及答案
2020届数学文科高考模拟试题1、设集合22{|40},{|log 1}M x x N x x =-≤=<，则M N ⋂=( )A. ∅B. (0,2)C. (2,2)-D. [2,2)-2、已知复数312z i=- (i 是虚数单位)，则z 的实部为( ) A. 35- B. 35 C. 15- D. 153、等比数列{}n a 中，若4568a a a ⋅⋅=，且5a 与62a 的等差中项为2，则公比q =( )A.2B.12C.2-D.12-4、在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( )A.14 B. 13 C. 12 D. 345、已知α为第二象限角，且1sin cos 5αα+=，则sin2α= ( )A. 1225B. 2425C. 1225-D. 2425-6、执行如图所示程序框图，输出的S = ( )A. 25B. 9C. 17D. 207、函数2ln(1)3()x x x f x ++-=的图像大致为( ) A. B.C. D.8、若,x y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23z x y =-的最大值为9，则正实数m的值为( )A.1B.2C.4D.8 9、在△ABC 中， 3A π=，若2?a =，则△ABC 面积的最大值为( )A.2 B. 2 C. 6 D. 310、长方体1111ABCD A B C D -，11,2,3AB AD AA ===，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为( )A. 1414B. 8314C. 1313D. 1311、双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 3的直线与双曲线的左右两支分别交于点,?P Q ，若2QP QF =，则双曲线 C 的离心率为( )A. 7B. 6C.1312D. 131212、已知奇函数() f x 的导函数为()'f x ，当0x ≠时， ()()0xf x f x +>'，若()()11,,1a f b ef e c f ee ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是( ) A. a b c << B. b c a << C. a c b << D. c a b << 二、填空题13、已知函数()2ln 24f x x x x =+-，则函数() f x 的图象在1?x =处的切线方程为__________.14、已知向量a r 与b r的夹角是3π，且1,2a b ==r r，若)b a λ+⊥r r ，则实数λ=__________.15、已知抛物线28y x =的焦点F ，过F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则||4||FA FB +的最小值是 ．16、若对任意[1,2]t ∈，函数22()(1)f x t x t x a =-++总有零点，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题17、在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和(n *∈N )，且23a =，416S =. (1).求数列{}n a 的通项公式； (2).设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项为n T .18、某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表:（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y (百件)与该天返还点数 x 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于 x 的线性回归方程y bx a =+，并预测若返回6个点时该商品当天销量;（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表:将对返点点数的心理预期值在[1，3)和[11，13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.(参考公式及数据:①回归方程y bx a =+，其中ni ii=1n22ii=1x y -nxyb=,a=y-bx x-nx∑∑;②5i ii=1x y =18.8∑.)19、如图，在ABC △中，BC AC ⊥，,D E 分别为,AB AC 的中点，将ADE △沿DE 折起到PDE △的位置．（1）证明：BC PEC ⊥平面；（2）若7,3BP PC BC CD ===，，求四棱锥P BCED -的体积．20、在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在 x 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. （1）求椭圆的标准方程;（2）过椭圆内一点()1,3M 的直线与椭圆E 交于不同的,?A B 两点，交直线14y x =-于点N ，若,NA mAM NB nBM ==u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，求证: m n +为定值，并求出此定值21、已知函数()()()e ,2ln ,R xf x xg x a x x a ==+∈．（1）求()f x 单调区间；（2）若()()f x g x ≥在[)1+∞，上恒成立，求a 的取值范围．22、在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos {2sin x y ϕϕ=+= (ϕ为参数).以原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0π)θαα=<<，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且,A B 均异于原点 O ，AB =α的值.23、已知函数2()23f x x a =+.(1).当0a =时，求不等式()23f x x +-≥的解集；(2).若对于任意实数x ，不等式21()2x f x a +-<恒成立，求实数a 的取值范围．答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：24,22x x-≤∴-≤≤Q，[2,2]M∴=-，log21,02xx∴<<<∴，(0,2)N∴=，(0,2)M N∴⋂=，故选B．2答案及解析：答案：B解析：∵()()()312i336i 12i12i12i55z+===+--+，∴z的实部为35.故选B.3答案及解析：答案：B解析：根据题意，等比数列{}n a中，若4568a a a⋅⋅=，则35()8a=，解可得52a=，又由5a与62a的等差中项为2，则56()(2)4a a+=，解可得：61a=，则6512a q a ==； 故选B ．4答案及解析： 答案：A解析：在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数 ()1,2,3，()1,2,6，()1,3,6，()2,3,6共4个，则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有()1,2,31个.因此，数字2是这三个不同数字的平均数的概率是14.故应选A.5答案及解析： 答案：D解析：由1sin cos 5αα+=，两边平方得:221sin cos 2sin cos 25αααα++=.242sin cos 25αα=-，即24sin 225α=-.故选D.6答案及解析： 答案：C解析：按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =;9S =，2n =，044T =+=;17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =.故选C.7答案及解析： 答案：A解析：22ln(1)3ln(1)3()()0x x x x x xf x f x++-+-++-=+=，即()()f x f x-=-，故()f x为奇函数，排除C，D选项；ln(21)3(1)0f+-=<，排除B选项，故选A.8答案及解析：答案：B解析：,x y满足约束条件2030x yx y mx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩的可行域如图，则23z x y=-的最大值为9，所以直线0x y m+-=，过直线239x y-=和直线3x=的交点(3,1)-，2m∴=，故选B．9答案及解析：答案：D解析：△ABC中，,23A aπ==，由余弦定理得，2222cos3a b c bc π=+-，即42bc bc bc ≥⋅=，∴4bc ≤，当且仅当b c =时“=”成立; ∴△ABC 面积的最大值为11sin 422S bc A =≤⨯=故选D.10答案及解析： 答案：A解析：∵1111//C D A B ，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠.在11Rt AC D ∆中， 111C D =，1AD ==1AC ==，∴11111cos C D AC D AC ∠===.故选A.11答案及解析： 答案：C解析：双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点1F的直线为:)2,y x c QP QF =+=，122,4PF a PF a ==， 1212π2,3F F c PF F =∠=，可得: 222π1644222cos 3a a c a c =+-⨯⨯，解得2b a =，所以230,1e e e --=>， 可得131e +=12答案及解析： 答案：C解析：令()()g x xf x =，则()()()''0g x f x xf x =+>，所以()g x 为递增函数， 因为11e e>>，∴()()11g e g g e ⎛⎫>> ⎪⎝⎭∴()()111ef e f f e e ⎛⎫>> ⎪⎝⎭， 又() f x 为奇函数，所以()()ef e ef e --=， ∴b c a >>13答案及解析： 答案：30x y --=解析：∵()2ln 24f x x x x =+-，∴()1'44f x x x=+-，∴()'11f =，又()12f =-，∴所求切线方程为()21y x --=-，即30x y --=.14答案及解析： 答案：3-解析：∵向量a r 与b r的夹角是3π，且1,2a b ==r r ，∴11212a b ⋅=⨯⨯=r r ，∵()3a b a λ+⊥r r r ，∴则()2330a b a a a b λλ+⋅=+⋅=r r r r r r，∴30λ+=， ∴3λ=-15答案及解析： 答案：18解析：抛物线28y x =的焦点(2,0)F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212||4||24(2)410FA FB x x x x +=+++=++， 当直线AB 斜率不存在时，1||4||2421020FA FB x +=++⨯+=， 当直AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为，代入28y x =得222212(48)40,4k x k x k x x -++=∴=211144||4||41041018FA FB x x x x ∴+=++≥⨯=， 当且仅当11x =时取等号．||4||FA FB +的最小值是18．故答案为：18．16答案及解析： 答案：9(,]16-∞ 解析：∵函数22()(1)f x t x t x a =-++总有零点，22(1)40t at ∴∆=+-≥对任意[1,2]t ∈恒成立，∴22211()()222t a t t+1≤=+ 记11()22y t =+在[1,2]上单调递减， ∴211119()()2222216t +≥+=⨯ ∴916a ≤故答案为：9(,]16-∞17答案及解析：答案：(1).设等差数列{}n a 的公差是d ，由23a =，416S =，得113,4616,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11a =，2d =，∴21n a n =-，*N n ∈. (2).由(1).知，21n a n =-， ∴()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 12111111111123352121221n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即21n nT n =+，n *∈N .18答案及解析： 答案：（1）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455x y ++++++++====，522222211234555i i x ==++++=∑ ， ni ii=1n222i i=1x y -nxy18.853 1.04b==0.325553x -nx-⨯⨯=-⨯∑∑， a=y-bx 1.040.3230.08=-⨯=则y 关于 x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. （2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取 x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人， 由分层抽样的定义可知6301020x y==，解得2,4x y ==在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12,A A ，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为1234,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下:共20种，其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16()0.820P A ==19答案及解析： 答案：（1）证明：∵,D E 分别为,AB AC 的中点 ∴//DE BC ∵BC AC ⊥∴,,DE AE DE EC ⊥⊥PE EC E =I ∴DE ⊥平面PEC∴BC ⊥平面PEC（2）在Rt BCP △中，由PC BP ==得2BC =∵12,12BC CD DE BC ====∴AE EC ==在PEC △中，PE EC PC === ∴点P 到EC 的距离为32d =∴113332P BCED BCED V S d -=⋅==20答案及解析：答案：（1）椭圆的标准方程为:2211612x y += （2）设1122001(,),(,),(,)4A x yB x y N x x -， 由,NA mAM =u u u r u u u u r 得1010111(,)(1,3)4x x y x m x y -+=--所以0011134,11m x m x x y m m -+==++，00134(,)11m x m x A m m -+∴++，因为2211612x y +=上，所以得到0220134()()1111612m x m x m m -++++=，得到220139964804m m x ++-=; 同理，由NB nBM =u u u r u u u u r 可得220139964804n n x ++-= 所以,m n 可看作是关于 x 的方程220139964804x x x ++-=的两个根，所以323m n +=-为定值答案：（1）()()e 1xf x x '=+由()0f x '>，得()1,x ∈-+∞ 由()0f x '<，得(),1x ∈-∞∴()f x 分别在区间()1,-+∞上单调递增，在区间(),1-∞上单调递减（2）令()()()()[)2ln e ,1,xh x g x f x a x x x x =-=+-∈+∞则()()()12e 21e 11xxa x h x a x x x x -⎛⎫'=+-+=+ ⎪⎝⎭由1知()e xf x x =在[)1+∞，上单调递增 ∴e e x x ≥ 当e2e,2a a ≤≤即时，2e 0x a x -≤， ∴()h x 在[)1+∞，上单调递减，()()max 12e h x h a ==- 令()max 0h x ≤，得e2a ≤ ②e 2e,2a a >>即时，存在()01,x ∈+∞，使002e 0xa x -= 当()01,x x ∈时，()0h x >；当()0,x x ∈+∞时，()0h x < ∴()h x 在()01,x x ∈上单调递增，在()0,x x ∈+∞上单调递减；()()()()000002ln e 2ln 21x man h x h x a x x x a a ==+-=- ∵e 2a >∴2ln 210a ->∴()()00man h x h x =≤不能恒成立综上：e ,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦答案：（1）由22cos {2sin x y ϕϕ=+=消去参数ϕ，得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=.∵24sin 4sin ρθρρθ=⇒=，又cos {sin x y ρθρθ==，∴2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=（2）由（1）知曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，∴其极坐标方程为4cos ρθ=，∴π4sin cos 4A B AB ρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭∴又πππ3πsin 1ππ(Z)4424k k k ααα⎛⎫-=±⇒-=+⇒=+∈ ⎪⎝⎭， ∴0απ<<，∴34πα=.23答案及解析：答案：(1).当0a =时，()|2||2||2|3f x x x x +-=+-≥有0223x x x ≤⎧⎨--+≥⎩或02223x x x <<⎧⎨-+≥⎩或2223x x x ≥⎧⎨+-≥⎩解得13x ≤-或12x ≤<或2x ≥所以()|2|3f x x +-≥的解集为1(,][1,)3-∞-⋃+∞.(2)对于任意实数x ，不等式|21|()2x f x a +-<成立，即2|21||23|2x x a a +-+<恒成立。
2020年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(文科)(一)(有解析)
2020年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(文科)(一)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，若z2−i=1+i，则复数z=()A. 2+iB. 1+iC. 3+iD. 3−i2.设集合A={0,2，4}，集合B={x∈N|log2x≤1}，则A∪B=()A. {2,4}B. {0,1，4}C. {1,2，4}D. {0,1，2，4}3.设a∈R，则|a|>1是1|a|<1的()A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下图给出的是某市2017年2月至2018年1月二手房单价的大致情况，则下列说法错误的是()A. 这段时间该市的二手房的平均单价高于17500元/平方米B. 由图可知，2017年4月的二手房单价最低C. 2017年4月到5月二手房单价的增长率是这12个月份中最高的D. 2017年3月到4月二手房单价呈现负增长5.在等比数列{a n}中，a3=2，a3+a5+a7=26，则a7=()A. 12B. 18C. 24D. 366.已知a⃗为单位向量，b⃗ =(0,2)，且a⃗⋅b⃗ =1，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π4C. π3D. π27.已知α是第二象限的角，tan(π−α)=512，则sinα=()A. 15B. −15C. 513D. −5138.执行图的程序框图，若输出的S是62，则①应为()A. n≤5？B. n≤6？C. n≤7？D. n≤8？9.已知函数f(x)=e x+e−x，则y=f(x)的图象大致为()A. B.C. D.10.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2B. 43C. 23D. 1311.设双曲线x2−y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线x=1与双曲线的其中一条渐近线交于点P，则△PF1F2的面积是()A. 3√10B. 13√10 C. 6√2 D. 23√212.若函数f(x)={alnx−x2−2(x>0)x+1x+a(x<0)的最大值为f(−1)，则实数a的取值范围()A. [0,2e2]B. [0,2e3]C. (0,2e2]D. (0,2e3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=xe x−2x2+1在点(0,1)处的切线方程为______．14.袋中共有大小相同的4只小球，编号分别为1，2，3，4.现从中任取2只小球，则取出的2只小球的编号之和是奇数的概率为________．15.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=3，a4=27，S2n为该数列的前2n项和，T n为数列{a n a n+1}的前n项和，若S2n=kT n，则实数k的值为________．16.已知，在△ABC中B=π，b=2，S▵ABC的最大值为________．3三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人．为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成5组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰为一男一女的概率；(Ⅱ)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90％的把握认为“数学尖子生与性别有关”？附：随机变量k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(k2≥k0)0.250.150.100.050.025k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02418.已知数列{√a n−n}是等比数列，且a1=9，a2=36．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{√a n}的前n项和S n．19.在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2√3，∠DAC=30°，M为PB中点．(1)证明：AM//平面PCD；(2)若三棱锥M−PCD的体积为√3，求M到平面PCD的距离．620.已知函数f(x)=e xx+elnx−ax在x=1处取的极值．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)求证：f(x)≥0．21.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为E上的一个动点，且|PF2|的最大值为2+√3，E的离心率与椭圆Ω：x22+y28=1的离心率相等．(1)求E的方程；(2)直线l与E交于M，N两点(M,N在x轴的同侧)，当F1M//F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为{x=3+tcosπ4y=2+tsinπ4(其中t为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθsin2θ．(Ⅰ)求C1和C2的直角坐标方程；(Ⅱ)过点P(3,2)作直线C1的垂线交曲线C2于M，N两点，求|PM|⋅|PN|．23.设函数f(x)=|x−a|．(1)当a=2时，解不等式f(x)≥4−|x−1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，1m +12n=a(m>0,n>0)，求证：m+2n≥4．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．解：由题意得z=(1+i)(2−i)=3+i故选C．2.答案：D解析：本题考查并集及其运算，属于基础题，先求出集合B，再求出A∪B即可．解析：解：由B={x∈N|log2x≤1}={1,2}，又A={0,2，4}，∴A∪B={0,1，2，4}，故选D．3.答案：C解析：解：根据倒数的性质可知：若|a|>1，则0<1|a|<1成立．若1|a|<1，则|a|>1成立．故|a|>1是1|a|<1的充要条件．故选：C．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．解析：本题主要考查了折线图，属于基础题．从图中提取数据，逐一分析选项即可．解：A：这段时间该市的二手房的平均单价高于17500元/平方米，正确；B：由图可知，2017年4月的二手房单价最低，正确；C：2017年4月到5月二手房单价的增长率没有5月到6月和6月到7月高，所以错误；D：2017年3月到4月二手房单价呈现负增长，正确；故选C．5.答案：B解析：本题考查了等比数列的通项公式，设等比数列{a n}的公比为q，由题意得a1q2=2，a3(1+q2+q4)= 26，解得q2=3，a1=2，即可得出结果．3解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2，a3+a5+a7=26，∴a1q2=2，a3(1+q2+q4)=26，，解得q2=3，a1=23×33=18，则a7=23故选B．6.答案：C解析：解：|a⃗|=1,|b⃗ |=2；∴a⃗⋅b⃗ =1⋅2cos<a⃗,b⃗ >=1；∴cos<a⃗,b⃗ >=1；2∴a⃗,b⃗ 夹角为π．3故选C．根据条件可知，|a⃗|=1,|b⃗ |=2，从而根据a⃗⋅b⃗ =1即可求出cos<a⃗,b⃗ >的值，从而得出向量a⃗与b⃗考查单位向量的概念，向量数量积的计算公式，以及向量夹角的概念．7.答案：C解析：解：由tan(π−α)=512，得−tanα=512，∴tanα=−512． 联立{sinαcosα=−512sin 2α+cos 2α=1，解得{sinα=513cosα=−1213或{sinα=−513cosα=1213．∵α是第二象限的角，∴sinα=513． 故选：C ．由已知求得tanα，再与平方关系联立即可求得sinα的值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．8.答案：A解析：本题考查了算法中的循环结构，以及等比数列求和，是基础题．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S =2+22+⋯+2n 的值，当不满足条件时，输出S ．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S =2+22+⋯+2n 的值，当不满足条件时，输出S ．∵S =2+22+⋯+26=62，再执行下一步n =n +1后，n 的值为6，此时应退出循环，不满足条件，∴①中应填n ≤5． 故选A ．9.答案：A解析：本题考查函数的图象以及应用，属于基础题．根据偶函数以及特殊点的函数值，运用排除法，即可得到答案． 解：因为f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故排除C ，D ；又f(0)=2，故排除B．故选A．10.答案：C解析：本题考查通过三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．通过三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：如图所示，由三视图可知，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，且底边长为2，高为1，故三棱锥的体积为V P−ABC=13⋅S△ABC⋅PA=13×12×2×1×2=23．故选C．11.答案：A解析：求得双曲线的a，b，c，可得焦距，求得双曲线的一条渐近线方程，代入x=1可得P的坐标，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查三角形的面积的求法，考查运算能力，属于基础题．解：双曲线x2−y29=1的a=1，b=3，c=√a2+b2=√10，即有|F1F2|=2c=2√10，双曲线的一条渐近线方程为y=3x，代入x=1，可得P(1,3)，即有△PF1F2的面积是12×3×2√10=3√10．故选：A．12.答案：B解析：解：由f(−1)=−2+a，可得alnx−x2−2≤−2+a在x>0恒成立，即为a(1−lnx)≥−x2，当x=e时，0>−e2显然成立；当0<x<e时，有1−lnx>0，可得a≥x2lnx−1，设g(x)=x2lnx−1，0<x<e，g′(x)=2x(lnx−1)−x(lnx−1)2=x(2lnx−3)(lnx−1)2，由0<x<e时，2lnx<2<3，则g′(x)<0，g(x)在(0,e)递减，且g(x)<0，可得a≥0；当x>e时，有1−lnx<0，可得a≤x2lnx−1，设g(x)=x2lnx−1，x>e，g′(x)=2x(lnx−1)−x(lnx−1)2=x(2lnx−3)(lnx−1)2，由e<x<e 32时，g′(x)<0，g(x)在(e,e 32)递减，由x>e 32时，g′(x)>0，g(x)在(e 32,+∞)递增，即有g(x)在x=e 32处取得极小值，且为最小值2e3，可得a≤2e3，综上可得0≤a≤2e3．故选：B．求得f(−1)，由题意可得alnx−x2−2≤−2+a在x>0恒成立，讨论x的范围，分x=e，0<x<e，x>e，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调区间，可得最值，进而得到a的范围．本题考查函数的最值的求法和应用，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，求出导数和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.答案：y=x+1解析：本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题．求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程．解：求导函数可得，y′=(1+x)e x−4x当x=0时，y′=1∴曲线y=xe x−2x2+1在点(0,1)处的切线方程为y−1=x，即y=x+1．故答案为：y=x+1．14.答案：23解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．先求出基本事件总数，再由列举法得到这两个球编号之和为奇数的事件个数，由此能求出这两个球编号之和是奇数的概率．解：一个袋子中有号码为1，2，3，4大小相同的4个小球，从袋中任取两个球(不放回)，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，基本事件总数为6个，这两个球编号之和为奇数的有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，∴则这两个球编号之和为奇数的概率为46=23，故答案为23．15.答案：43解析：本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式等知识，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算，属中档题．等比数列{a n}中，S2n=1×(1−32n)1−3=32n−12，数列{b n}为等比数列，公比q′=9，所以T n=3×(1−9n)1−9=3(32n−1)8，求实数k．解：因为各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=3，a4=27，所以a1=1，公比q=3，所以S2n=1×(1−32n)1−3=32n−12，a n=3n−1．令b n=a n a n+1=3n−1·3n=32n−1，所以b1=3，数列{b n}为等比数列，公比q′=9，所以T n=3×(1−9n)1−9=3(32n−1)8．因为S2n=kT n，所以32n−12=k⋅3(32n−1)8，解得k=43．故答案为43．16.答案：√3解析：先表示出三角形面积，利用正弦定理换元2sin B，剩下sin A sin C，利用两角和公式化简，求得面积的最大值．属难题．解：∵a sinA=b sinB=c sinC=2sinπ34√33，∴三角形面积S=12acsinB=12×4√33sinA4√33sinCsinB=83sinAsinBnC=4√33sinAsinC=2√33[cos(A−C)−cos(A+C)]=2√33[cos(A−C)+12]当A=C时，S max=√3故答案为√3．17.答案：解：(Ⅰ)由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名．分数小于110分的学生中，男生有60×0.05=3(人)，记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2(人)，记为B1，B2．从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1,A2)，(A1,A3)，(A2,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，故所求的概率P=610=35．(Ⅱ)由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生有“数学尖子生”60×0.25=15(人)，女生有“数学尖子生”40×0.375=15(人)．据此可得2×2列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生154560女生152540合计3070100所以得K2的观测值k=100×(15×25−15×45)260×40×30×70=2514≈1.79．因为1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．解析：解析：本题考查古典概型及独立性检验，同时考查分层抽样及频率分布直方图，属基础题．(Ⅰ)由直方图及分层抽样得男生和女生抽取的人数，然后利用古典概型求解即可; (Ⅱ)由已知得2×2列联表，然后计算K2的观测值即可求解．18.答案：解：(1)设等比数列{√a n−n}的公比为q，则q=√a2−2√a−1=6−23−1=2．从而√a n−n=(3−1)×2n−1，故a n=(n+2n)2．(2)∵√a n=n+2n，∴S n=n(n+1)2+2(1−2n)1−2，=2n+1+n2+n−42．解析：本题考查数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，属于基础题．(1)直接利用定义求出数列的通项公式．(2)利用分组法求出数列的和．19.答案：(本小题满分12分)解：取PC的中点为N，连结MN，DN(1)∵M是PB的中点，∴MN//BC,MN=12BC∵AD//BC，且BC=2AD，∴NM//AD且NM=AD，∴四边形AMND为平行四边形，∴AM//ND，又∵AM⊄平面PCD，ND⊂平面PCD所以AM//平面PCD(6分)(2)∵M是PB的中点，∴V三棱锥M−PCD =12V三棱锥B−PCD=√36∵V三棱锥B−PCD=V三棱锥P−BCD=13⋅S△BCD⋅PA=13×12×2√3×1×PA=√33PA=√33所以PA=1∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD 又∵PA=1,AD=√3，∴PD=2，∴S△PCD=1设点M到平面PCD的距离为h，则V三棱锥M−PCD =13⋅S△PCD⋅ℎ=13×1×ℎ=√36，∴ℎ=√32，故M到平面PCD的距离为√32(12分)解析：(1)取PC的中点为N，连结MN，DN，利用AD//BC，通过证明NM//AD，推出AM//ND，即可证明AM//平面PCD．(2)利用三棱锥M−PCD的体积为√36，转化求解V B−PCD，设点M到平面PCD的距离为h，通过体积，求解M到平面PCD的距离．本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力．20.答案：解：(Ⅰ)∵f′(x)=e x(x−1)x2+ex−a①，依题意知f′(1)=0，∴a=e；(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=e xx+elnx−ex(x>0)，则f′(x)=(x−1)(e x−ex)x2，令g(x)=e x−ex②，则g′(x)=e x−e，由g′(x)=0，得x=1，∵当0<x≤1时，g′(x)≤0，当x>1时，g′(x)>0，∴函数y=g(x)在(0,1]上递减，在(1,+∞)上递增，∴当0<x≤1时，g(x)≥g(1)=0，当x>1时，g(x)>g(1)=0，∴对∀x∈(0,+∞)，g(x)≥0，即e x≥ex③∴由②③，当0<x≤1时，x−1≤0，f′(x)≤0，当x >1时，x −1>0，f ′(x)>0，∴函数y =f(x)在(0,1]上递减，在(1,+∞)上递增， ∴f(x)≥f(1)=0．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题． (Ⅰ)由导数的几何意义直接求解即可．(Ⅱ)求导利用导函数研究函数的单调性，即可证明f(x)的最小值f(1)=0． 21.答案：解：(1)由题意可得{a +c =2+√3c a=√1−28， 解得a =2，c =√3 则b 2=a 2−c 2=1， 故E 的方程为x 24+y 2=1．(2)延长MF 1交E 于点M′， 由(1)可知F 1(−′√3,0)，F 2(√3,0)， 设M(x 1,y 1)，M′(x 2,y 2)，设直线MF 1的方程为x =my −√3，由{x =my −√3x 24+y 2=1可得(m 2+4)y 2−2√3y −1=0， ∴y 1+y 2=2√3mm 2+4，y 1y 2=−1m 2+4∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√12m 2(m 2+4)2+4m 2+4=4√m 2+1m 2+4，设F 1M 与F 2N 的距离为d ，则四边形的F 1F 2NM 面积S =12(|F 1M|+|F 2N|)d =12(|F 1M|+|F 2M′|)d =12|MM′|d =S △MF 2M′，∴S =S △MF 2M′=S △F 2MF 1+S △F 2M′F 1=12|F 1F 2||y 1−y 2|=4√3√m 2+1m 2+4=4√3√m 2+1+3√2≤4√32√3=2，故四边形F 1F 2NM 面积的最大值为2．解析：(1)由题意可得{a +c =2+√3c a=√1−28，解得a =2，c =√3则b 2=a 2−c 2=1，即可求出； (2)设直线MF 1的方程为x =my −√3，由{x =my −√3x 24+y 2=1可得(m 2+4)y 2−2√3y −1=0，利用韦达定理定理求出y 1−y 2|，由题意可得S =12|F 1F 2||y 1−y 2|，利用基本不等式求得最值．本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属中档题22.答案：解：(Ⅰ)直线C 1的参数方程为{x =3+tcos π4y =2+tsin π4(其中t 为参数)消去t 可得：x −y −1=0，由ρ=4cosθsin 2θ得ρ2sin 2θ=4ρcosθ，的y 2=4x.(x ≠0)(Ⅱ)过点P(3,2)与直线C 1垂直的直线的参数方程为：{x =3−√22ty =2+√22t (t 为参数)，代入y 2=4x 可得t 2+8√2t −16=0设M ，N 对应的参数为t 1，t 2，则t 1t 2=−16， 所以|PM||PN|=|t 1t 2|=16．解析：(Ⅰ)直线C 1的参数方程为{x =3+tcos π4y =2+tsinπ4(其中t 为参数)消去t 可得：x −y −1=0，由ρ=4cosθsin 2θ得ρ2sin 2θ=4ρcosθ，的y 2=4x.(x ≠0)；(Ⅱ)代入直线的参数方程到曲线C 2中，利用参数的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(I)当a =2时，不等式f(x)≥4−|x −1|，即为|x −2|≥4−|x −1|，①当x ≤1时，原不等式化为2−x ≥4+(x −1)，得x ≤−12，故x ≤−12；②当1<x <2时，原不等式化为2−x ≥4−(x −1)，得2≥5，故1<x <2不是原不等式的解；③当x ≥2时，原不等式化为x −2≥4−(x −1)，得x ≥72，故x ≥72．综合①、②、③知，原不等式的解集为(−∞,−12]∪[72,+∞)． (Ⅱ)证明：由f(x)≤1得|x −a|≤1，从而−1+a ≤x ≤1+a ， ∵f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}， ∴{−1+a =01+a =2得a =1，∴1m +12n =a =1．又m >0，n >0，∴m +2n =(m +2n)(1m +12n)=2+(2nm +m2n )≥2+2√2nm ⋅m2n =4， 当且仅当2nm =m2n 即m =2n 时，等号成立，此时，联立1m +12n =1，得{m =2n =1时，m +2n =4，故m +2n ≥4，得证．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及不等式证明，属中档题．(1)本小题考查绝对值不等式的解法，将a =2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可．(2)本小题考查不等式证明，先由已知解集{x|0≤x ≤2}确定a 值，再将“m +2n ”改写为“(m +2n)(1m +12n )”，展开后利用基本不等式可完成证明．。
2020年高考文科数学模拟试卷及答案(共五套)
2020年高考文科数学模拟试卷及答案（共五套）2020年高考文科数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1、设集合{}1 2 3 4U =，，，，集合{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（ ）A ．{}1 2，B ．{}1 4，C ．{}2 4，D ．{}1 3 4，，2、记复数z 的共轭复数为z ，若()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z =（）A ．2B ．1C ．22D ．23、命题p:∃x ∈N,x 3<x 2;命题q:∀a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a (x-1)的图象过点(2,0),则( )A. p 假q 真B. p 真q 假C. p 假q 假D. p 真q 真4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A ．18B ．20C ．21D ．255、已知 ，且，则A.B.C.D.6、已知 ， ， ，若 ，则A. B.—8 C. D. —27、执行如右图所示的程序框图，则输出 的值为A. B.C. D.8、等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ，则 的实轴长为 ( )A. B. C. D.9、已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则的外接圆面积为 A. B. 6π C. 7πD.10、一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）A ．3126cmB ．346cmC.3272cm D ．392cm11、已知，曲线 在点 ))1f(,1( 处的切线经过点，则有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值12、对实数 和 ，定义运算“ ”：．设函数 ，．若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13、 设变量 ， 满足约束条件则目标函数 的最大值为 ．14、已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为15、已知圆 ，则圆 被动直线 所截得的弦长是 .16、如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为．三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年全国统一高考文科数学模拟试卷(新课标I)含答案解析
2020年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，93．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里5．已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．7．执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}8．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．10．若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．211．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π12．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设（i为虚数单位），则=_______．14．已知向量，且，则=_______．15．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为_______．16．函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点，其生长状况如表：生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．2020年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】结合已知条件即可求解．观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，∴（∁A）={3，5，6}，∵B={1，3，5}，∴B∩（∁A）={3，5}．故选：B．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9【考点】极差、方差与标准差．【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数为，方差为32•σ2．【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴=5，∴+1=3×5+1=16，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的方差是32×2=18．故选：C．3．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线，则对应的标准方程为，则＞0，即m（m﹣2）＞0，解得m＞2或m＜0，故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的充分不必要条件，故选：A4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步故选：C5．已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求得渐近线方程，由题意可得=，运用点到直线的距离公式，解方程可得a=4，b=6，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，设一个焦点为（c，0），可得=6，可得c=2，即a2+b2=52，解得a=4，b=9，则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．6．设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性．【分析】求导y′=cosx，从而可得y=x2g（x）=x2cosx，从而判断．【解答】解：∵y=sinx，∴y′=cosx，由导数的几何意义知，g（x）=cosx，故y=x2g（x）=x2cosx，故函数y=x2g（x）是偶函数，故排除A，D；又∵当x=0时，y=0，故排除C，故选B．7．执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}【考点】程序框图．【分析】由框图知程序功能是计算并输出y=的值，由题意分类讨论即可得解．【解答】解：由框图知程序功能是计算并输出y=的值，当x＞0时，令x2﹣x=2，解得x=2或﹣1（舍去）；当x＜0时，令x2+x=2，解得x=﹣2或1（舍去）；故输入的值构成的集合是：{﹣2，2}．故选：D．8．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意知，圆心在直线上，解出b，再利用圆的半径大于0，解出a＜2，从而利用不等式的性质求出a﹣b的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，∴圆心（1，﹣3）在直线y=x+2b上，故﹣3=1+2b，∴b=﹣2．对于圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0，有4+36﹣20a＞0，∴a＜2，a﹣b=a+2＜4，故选A．9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．【考点】解三角形．【分析】分别过C，D作AB的垂线DE，CF，则通过计算可得四边形DEFC为矩形，于是CD=EF=AB﹣AE+BF．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB交AB延长线于F，则DE∥CF，∠CBF=60°．DE=ADsinA==，CF=BCsin∠CBF=（）×=．∴四边形DEFC是矩形．∴CD=EF=AB﹣AE+BF．∵AE=ADcosA==，BF=BCcos∠CBF=（）×=．∴CD=1﹣+=．故选：A．10．若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．12．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】为去绝对值号，讨论a：（1）a＜0时，根据指数函数和增函数的定义便可判断函数在[，3]上单调递增，从而需满足g（﹣）≥0，这样可得到﹣1≤a ＜0；（2）a=0时，显然满足条件；（3）a＞0时，得到f（x）=，并可判断x=时取等号，从而需满足，可解出该不等式，最后便可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＜0时，函数在上单调递增；∴；∴﹣1≤a＜0；（2）当a=0时，f（x）=2x+1在上单调递增；（3）当a＞0时，，当且仅当，即x=时等号成立；∴要使f（x）在[]上单调递增，则；即0＜a≤1；综上得，实数a的取值范围为[﹣1，1]．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设（i为虚数单位），则=2﹣i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接由复数求模公式化简复数z，则答案可求．【解答】解：由=，则=2﹣i．故答案为：2﹣i．14．已知向量，且，则=5．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出x的值，再求的值．【解答】解：向量，且，∴•=x﹣2=0，解得x=2，∴﹣2=（﹣3，4）；==5．故答案为：5．15．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=5，所以x P=4，|y P|=4，所以，△PFO的面积S==．故答案为：2．16．函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得，本题即求函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，数形结合得出结论．【解答】解：满足的x的个数n，即为函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，如图所示，存在k∈（﹣∞，0），使得n取到最大值4，故答案为：4．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点，其生长状况如表：生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据表格数据计算；（II）采用独立检验方法列联表计算K2，与6.635比较大小得出结论；（III）根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理．【解答】解：（1）调查的500处种植点中共有120处空气质量差，其中不绝收的共有110处，∴空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例．（2）列联表如下：收绝收合计南区160 40 200北区270 30 300合计430 70 500∴K2=≈9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“．（3）由（2）的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关，因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED==30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE ⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE==30°…∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D…，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）讨论可判断出数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，从而结合8a2=3a1+a3+13可得λ2﹣4λ+4=0，从而解得；（Ⅱ）化简可得b n=，从而可得T n=1+++…+，T n=+++…+，利用错位相减法求其前n项和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1=（λ+1）S n+1，+1，∴当n≥2时，a n=（λ+1）S n﹣1∴a n+1﹣a n=（λ+1）a n，即a n+1=（λ+2）a n，又∵λ≠﹣2，∴数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，故a2=λ+2，a3=（λ+2）2，∵3a1，4a2，a3+13成等差数列，∴8a2=3a1+a3+13，代入化简可得，λ2﹣4λ+4=0，故λ=2，故a n=4n﹣1；（Ⅱ）∵a n b n=log4a n+1=n，∴b n=，故T n=1+++…+，T n=+++…+，故T n=1+++…+﹣=（1﹣）﹣，故T n=﹣．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆M和圆N的圆心及半径，设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．由圆P与圆M外切并与圆N内切，得到曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），由此能求出C的方程．（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．【解答】解：（Ⅰ）圆M：（x+1）2+y2=1的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N的圆心N（1，0），半径r2=3．设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．∵圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+r1+r2﹣R=r1+r2=4．…由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），∴C的方程为．…（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，…由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0，即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③…将①代入③即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．…21．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），即：x+ey﹣3=0；（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），所以，x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，设φ（x）=e x﹣（x+1），∵φ'（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即，所以．因此，对任意x＞0，恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）通过证明△AME∽△ONE，即可推出结果．（2）利用（1）的结论，设OE=x，求解x，然后在直角三角形中求解即可．【解答】（1）证明：∵M、N分别是AF、AB的中点．∴∠AME=∠ONE=90°，又∵∠E=∠E，∴△AME∽△ONE，∴，∴OE•ME=NE•AE．（2）设OE=x，（x＞0），∵BE==，∴NE=2，AE=3，又∵OM=，∴x=2，即：（x﹣4）（2x+9）=0，∵x＞0，∴x=4，即OE=4，则在Rt△ONE中，cos∠E===∴∠E=30°．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα即可得出曲线C的参数方程，直线l过原点，且斜率为tanθ，利用点斜式方程写出直线l的方程；（2）解方程组求出A，B坐标，得到AB，则P到AB的最大距离为C到AB的距离与圆C 的半径的和．【解答】解：（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα，则x=2+cosα，y=3+sinα，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．直线l的斜率k=tanθ=1，∴直线l的直角坐标方程为y=x．（2）解方程组得或．设A（2，2），B（3，3）．则|AB|==．∵圆C的圆心为C（2，3），半径r=1，∴C到直线AB的距离为=．∴P到直线AB 的最大距离d=+1．∴△PAB面积的最大值为=．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）将k=4代入g（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，根据x的范围求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）k=4时，f（x）+g（x）＜9，即|x﹣3|+|x﹣4|＜9，即或或，解得：﹣1＜x＜3或3≤x≤4或4＜x＜8，故原不等式的解集是{x|﹣1＜x＜8}；（Ⅱ）∵k∵≥2且x∈[1，2]，∴x﹣3＜0，x﹣k＜0，∴f（x）=|x﹣3|=3﹣x，g（x）=|x﹣k|=k﹣x，则∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，∴4≥2k，即k≤2，又∵k≥2，∴k=2．2020年9月9日。
2020最新高考模拟数学考试(文科)含答案
65C ． -33D ． - 63，第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 l2 小题，每小题 5 分．共 60 分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设集合 A = {x || x - 2 |≤ 2, x ∈ R }, B = { y || y = - x 2,-1 ≤ x ≤ 2}, 则等于（）A ．RB ． {x | x ∈ R 且x ≠ 0}C ．{0}D ． ∅R（A∩B ）2 ． 已 知 cos(α - β ) =3 ,sin β = - 5 , 且α ∈ (0, π ), β ∈ (- π ,0), 则 s in α =51322（）A ． 3365B ． 63653．对于平面α 和共面的直线m ，n 下列命题中真命题是（）A ．若 m ⊥ α , m ⊥ n , 则n // αC ．若 m ⊂ α，n // α，则m // nB ．若 m // α，n // α，则m // nD ．若 m ，n 与α所成的角相等，则m // n4．数列{a }中，若 a = 1 ， a =n12n1 1 - an -1(n ≥ 2, n ∈ N ) 则 a2007的值为A -1B1 C 1D225.如果 f '(x) 是二次函数, 且 f '(x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1,－那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()3),A. (0, 2π 3 ]B. [0, π 2π π 2π )∪[ , π)C. [0, ]∪[ 2 3 2 3, π) D.π 2π[ , ] 2 3a 2b 2| A ．(1,2 + 3 ⎤B (1, 3 ⎤⎡2+ 3, +∞)D ⎡2 - 3,2 + 3 ⎤11．如图, 直线 MN 与双曲线 C: x 2线相交于 P 点, F 为右焦点,若|FM|=2|FN|, 又NP= λPM (λ∈R), 则6．两直线 3x ＋y －2=0 和 y ＋a=0 的夹角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°7．已知函数 y = f ( x )( x ∈ R)满足f ( x + 2) = f ( x ) 且当 x ∈ [-1,1]时f ( x ) = x 2 ，则y = f ( x )与y = log x 的图像的交点个数为（）7A ．3B ．4C ．5D ．68．若关于 x 的方程 4cos x - cos 2 x + m - 3 = 0 恒有实数解，则实数 m 的取值范围是A. [ -1,+∞)B. [-1,8]C [0,8]D [0,5]9．如图，在杨辉三角中，斜线的上方从 1 开始按箭 头所示的数组成一个锯齿形数列 1，3，3，4，6，5，10，……，记此数列为{a } ，则 a 等于n21A ．55B ．65C ．78D ．6610．已知点 F 、F 为双曲线 x 2 - y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点， P 为右1 2支上一点，点 P 到右准线的距离为 d ，若 | PF | 、PF| 、d 依次成等差数列，12则此双曲线离心率的取值范围是（）⎦⎦C⎣ ⎣ ⎦a 2 － y 2b 2 = 1的左右两支分别交于 M 、N 两点, 与双曲线 C 的右准→ →实数λ的取值为 ( )11A. B.1 C.2 D.2312．△ABC的AB边在平面α内,C在平面α外,AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角,那么sin∠ACB的值为()1221A.1B.C.D.1或333第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．x2113．二项式(－)9展开式中的系数为________2x x14．一个五位数由数字0,1,1,2,3构成,这样的五位数的个数为_________15．过定点P(1,4)作直线交抛物线C:y=2x2于A、B两点,过A、B 分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________ 16．定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)+f(x)=0,且函数f(x+5)为奇函24数，给出下列结论：①函数f(x)的最小正周期是5；②函数f(x)的2图像关于点(5,0)对称；③函数f(x)的图像关于直线x=5对称；④42函数f(x)的最大值为f(5).2其中正确结论的序号是__________(写出所有你认为正确的结论的序号)三、解答题：本大题共６小题，共74分。
2020高考数学模拟试卷及答案(文科)
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，若复数i z -=11，i z +=22，则=⋅21z zA ．i -3B ．i -2C ．i -1D ．i 22+2．已知集合B A 、，{}22<≤-=x x A ，A B A =Y ，则集合B 不可能．．．为A ．∅B ．{}20≤≤x xC ．{}20<<x xD ．{}20<≤x x3．为了得到函数x y )31(3⋅=的图象，可以把函数x y )31(=的图象A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度4．下列函数中，周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的函数是A ．)32sin(2)(π+=x x f B ．)32sin(2)(π+=x x fC ．)62sin(2)(π-=x x f D ．)62sin(2)(π-=x x f5．双曲线)0(13222>=-a y a x 有一个焦点与抛物线x y 82=的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为A ．y =x 21±B ．y =x 2± C ．y =x 33±D ．y =x 3±6．执行如图所示的程序框图输出的结果是 A ．-3 B ．-2C．2D ．37．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于A ．13B ．23C ．15D ．62第6题图第7题图8．已知等比数列{}n a 的公比0>q 且1≠q ，又06<a ，则 A ．5748a a a a +<+ B ．5748a a a a +>+C ．5748a a a a +=+D ．5748||||a a a a +>+9．下列各命题中正确的命题是① “若b a ,都是奇数，则b a +是偶数”的逆否命题是“若b a +不是偶数，则b a ,都不是奇数”；② 命题“x x R x 31,2>+∈∃”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀” ；③ “函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π” 是“1=a ”的必要不充分条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0<⋅b a ” ．A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．③④10．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121，若目标函数y x z -=的最小值是1-，则此目标函数的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．511．设曲线)(*1N n x y n ∈=+在点)1,1(处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则++2201212012log log x x …20112012log x +的值为A ．2011log 2012- B ．1- C ．2011log 12012+- D ．112．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，＋∞ D ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－34 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量()52,5,2,1=-=⋅=b a b a a ，b 等于 14．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则角A=15．等差数列}{n a 中，20,873==a a ，若数列}1{1+n n a a 的前n 项和为254，则n 的值为 16．已知P 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =1，BC =3，PA =5，则球O 的表面积为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量)cos ,(sin ),1,(x x b m a =-=，b a x f ⋅=)(且满足()12f π=．（1）求函数()y f x =的最大值及其对应的x 值； （2）若51)(=αf ，求αααtan 1sin 22sin 2--的值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝4， G 为PD的中点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PDC ． （1）求证：AG ∥平面PEC ； （2）求点G 到平面PEC 的距离．19．（本小题满分12分）某同学在生物研究性学习中，想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 温差C x ︒/101113128A DCBPEG（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为n m ,，求事件“n m ,均不小于25”的概率．（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天．．．的数据，求出y 关于x的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的；如果选取的检验数据是4月1日与4月30日的两组数据，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx b1221ˆ，x b y a ˆˆ-=）（参考数据：97731=∑=i i i y x ，434312=∑=i ix）20． (本小题满分12分) 已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为21，且过点)23,1(．（1）求椭圆C 的方程； （2） 过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若AOB ∆的面积为726，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数1ln ()x f x x+=．（1）设a ＞0，若函数)(x f 在区间1(,)2a a +上存在极值，求实数a 的取值范围；（2）如果当x ≥1时，不等式2()1k kf x x -≥+恒成立，求实数k的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明与选讲如图，ABC ∆为直角三角形，ο90=∠ABC ，以AB 为直径的圆交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连OD 交圆O 于点M .（1）求证：E D B O ,,,四点共圆； （2）求证：AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22.23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ty t x 541531(t 为参数）.若以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为)4sin(2πθρ+=.（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 所截得的弦长.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 函数|2||1|)(-+-=x x x f（1）画出函数)(x f y =的图象；（2）若不等式),,0)((||||||R b a a x f a b a b a ∈≠≥-++恒成立，求实数x的范围.数学（文）参考答案一、选择题：1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．C 7．A 8．B 9．A 10．C 11．B 12．D二、填空题13．5 14．03015．16 16．9π三、解答题18．（1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA ，∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG，又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD．…………………………2分在平面PEC内，过点E作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD ，且交线为PC ， ∴EF⊥平面PCD ． …………………………4分∴EF ∥AG ，又AG ⊄面PEC ，EF ⊂面PEC ， ∴AG ∥平面PEC ． ………6分（2）由AG ∥平面PEC 知A 、G 两点到平面PEC 的距离相等由（1）知A 、E 、F 、G 四点共面，又AE ∥CD ∴ AE ∥平面PCD∴ AE ∥GF ，∴ 四边形AEFG 为平行四边形，∴ AE ＝GF ，PA ＝AB ＝4， G 为PD中点，FG 12CD ， ∴FG ＝2 ∴ AE ＝FG ＝2．……………9分 ∴ 1116(24)4323P AEC V -=⋅⋅⋅=， 又EF ⊥PC ，EF＝AG 22=∴EPC S ∆1143224622EPC S PC EF =⋅=⋅=V ． 又 P AEC A PEC V V --=，∴31631=⋅∆h S EPC ，即4616h =，∴26h =，∴ G 点到平面PEC 的距离为∥ ＝PA GDC BE FO26．………………………12分20．解： (1) 设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由题意可得21==ac e ，又222c b a +=，所以2243a b =．……………2分又椭圆C 经过点)23,1(，所以14349122=+a a ，解得2=a ．……………4分所以1=c ，3=b ，则椭圆C的方程为13422=+y x ． (6)分解法二：设直线l 的方程为1-=ty x ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ty x ，消去x ，得096)34(22=--+ty y t，显然0>∆恒成立．……8分 设),(),,(2211y x B y x A ，则221221349,346t y y t t y y+-=⋅+=+．……………9分所以222122121341124)(||t t y y y y y y ++=-+=-， 所以||||21211y y O F S AOB -⋅⋅=∆726341622=++=t t ． (10)分化简，得0171824=--t t，解得1817,12221-==t t (舍去)． 又圆O 的半径22111|100|t tt r +=++⨯-=，所以22=r ． (11)分故圆O 的方程为2122=+y x ．…………………12分22． 解：（1）连接BE ，则EC BE ⊥ ----------------1分又D 是BC 的中点，所以BD DE = ----------------3分又OD OD OB OE ==,，所以ODB ODE ∆≅∆，所以ο90=∠=∠OED OBD 故BO E D ,,,四点共圆． -------------5分(2) 延长DO 交圆于点H ．+⋅=+⋅=⋅=DO DM OH DO DM DH DM DE )(2ΘOH DM ⋅ ------------8分)21()21(2AB DM AC DM DE ⋅+⋅=∴，即AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22--------10分23． 解：(1) 由)4sin(2πθρ+=得：θθρsin cos +=两边同乘以ρ得：θρθρρsin cos 2+=-------------3分∴022=--+y x y x即21)21()21(22=-+-y x -----------5分（2）将直线参数方程代入圆C 的方程得：0202152=+-t t ------------6分4,5212121==+∴t t t t------------8分5414)(||2122121=-+=-=∴t t t t t t MN------------10分。
2020高考文科数学模拟试卷含答案
一、选择题（每小题5分，共60分）1．如图，集合A ，B 分别用两个椭圆所围区域表示，若A ＝｛1，3，5，7｝，B ＝｛2，3，5｝，则阴影部分所表示的集合的元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．已知复数()R b a bi a z ∈+=,，则0≠b 是复数z 为纯虚数的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知|a |=3，|b |=1，且a 与b 方向相同，则a •b 的值是 A ．3- B ．0 C ．3 D ．–3或3 4．双曲线221kx y -=的一个焦点是(2,0)，那么它的实轴长是 A ．1B ．2C ．2D ．225．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为可为( )A ．)322sin(2π+=x y B ．)32sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=xyD ．)32sin(2π-=x y6．如果()f x 是定义在R 上的奇函数，它在),0[+∞上有0)(/<x f ，那么下述式子中正确的是 A ．)1()43(2++≥a a f f B ．)1()43(2++≤a a f fC ．)1()43(2++=a a f fD ．以上关系均不确定7．下面四个命题：AU B①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”； ④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“平面α内存在不共线三点到平面β的距离相等”。
其中正确命题的序号是A ①②B ②③C ②④D ③④ 8．函数)(sin 2)(R x x x x f ∈-=π的部分图象是9．运行如图所示的程序框图后，若输出的b的值为16，则循环体的判断框内①处应填A．2B．3C．4D．5 10．若a是从区间[03]，任取的一个数，b是从区间[02]，任取的一个数，则关于x的一元二次方程2220x ax b++=有实根的概率是：A．34B．12C．49D．2311．已知两点M（-3，0），N（3，0），点P为坐标平面内一动点，且=•+•NPMNMPMN，则动点P（x，y）到两点A（-3，0）、B（-2，3）的距离之和的最小值为A．4 B．5 C．6 D．1012.已知函数f(x)=ax2+bx-1（a，b且a＞0）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则a-b的取值范围为A．()+∞-,1B．()1,-∞-C．()1,∞-D．()1,1-二、填空题：（每小题4分，共16分）A B C DFA*ECO BDM13．命题p :∀x ≥0,x 2＞0,则⌝p 是 ．14．若幂函数y =(m 2-m -1)223m m x --在x ∈(0,+∞)上是减函数,则实数,m 的值为 ．15．已知函数在2sin1()log (65)f x x x =-+在(,)a +∞上是减函数,则实数a 的取值范围为 ．16．已知函数[]3()3,2,2f x x x x =-∈-和函数[]()1,2,2g x ax x =-∈-，若对于[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分。
2020届高三模拟卷文科数学附答案
2020届模拟06 文科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合{}3813x A x =>,{}212110B x x x =∈-+<N ，则A B =I （ ） A ．{}2,3,4 B ．{}2,3,4,5C ．{}5,6,7,8,9,10D ．{}6,7,8,9,102．已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为 （ ）A ．131i 55-+B ．131i 55-- C ．131i 55+ D ．131i 55-3．已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为 （ ）A ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x ->B ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥C ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x ->D ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -≥4．已知向量()2,m =-a ，()1,n =b ，若()-//a b b ，且2=b ，则实数m 的值为 （ ） A ．2 B ．4 C ．2-或2 D ．4-或4 5．运行如下程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框中可以填 （ ）6．()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒+=+︒（ ）A ．1323+B ．1323-C ．1323-+D ．1323--7．已知函数()321ln333xf x x x x x-=++++，则下列说法正确的是 （ ） A ．函数()f x 的图象关于1x =-对称B ．函数()f x 的图象关于1y =-对称C ．函数()f x 的图象关于()1,0-中心对称D ．函数()f x 的图象关于()1,1--中心对称8．将函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到的函数图象关于2x π=对称，则当ω取到最小值时，函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．()33,2010410k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z B ．()3113,4102010k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z C ．()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z D ．()3113,45205k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z 9．已知实数,x y 满足343125510x y x yx +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪-⎪⎪⎩≥≤≥，若3z mx y =--，且0z ≥恒成立，则实数m 的取值不可能为 （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．1010．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．已知椭圆222:19x y C b+=的离心率为223，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅uuu r uuu r的取值范围为 （ ）A ．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]25,1--D ．[]5,1--12．已知关于x 的不等式212ln x x mx +≤在[)1,+∞上恒成立，则m 的最小值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当23n =时，从左往右第22个数为 .14．已知双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：①双曲线C 的离心率为54； ②双曲线C 与椭圆22:13611x y C '+=共焦点； ③双曲线右支上的一点P 到12,F F 的距离之差是虚轴长的43倍.请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C 的方程为 . （注：以上三个条件得到的双曲线C 的方程一致）15．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且AB CD //，12AB CD =，PA PB AD ==，43PA AD CD +==，若平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为 .第15题图 第16题图16．如图所示，四边形MNQP 被线段NP 切割成两个三角形分别为MNP △和QNP △，若MN MP ⊥，2sin 24MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，22QN QP ==，则四边形MNQP 面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围.18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.19．（12分）已知四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90ABC ∠=︒，且AD BC //，222BC AD AB ===，F 为,AC BD 的交点，点E 在平面ABCD 内的投影为点F . （1）AF ED ⊥；（2）若AF EF =，求三棱锥D ABE -的体积.20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为,A B ，若12AF =，点3(,1)2-关于直线y x =的对称点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程与离心率；（2）过点()0,2做直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点,M N ； 若OM ON λ⋅<uuu r uuu r恒成立，求实数λ的取值范围.21．（12分）已知函数()2ln 2p f x x x =-. （1）当0p >时，求函数()f x 的极值点； （2）若1p >时，证明：()()33e 121p p x f x p ---<-.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 1004πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）将曲线C 向左平移2个单位，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()f x x m =-. （1）当2m =时，求不等式()23f x x >-的解集；（2）若不等式()1122f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.2020届模拟06文科数学答案与解析1．【答案】C 【解析】依题意，集合{}9293813332xx A x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=>=>=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，{}{}{}2121101112,3,4,5,6,7,8,9,10B x x x x x =∈-+<∈<<N =N =，故{}5,6,7,8,9,10A B =I ，故选C.2．【答案】A 【解析】依题意，()()()()35i 2i 35i 113ii 2i 2i 2i 5a b ----+===++-，故113,55a b ==-，故131i i 55z b a =-=--，故复数z 的共轭复数为131i 55z =-+，故选A.3．【答案】B 【解析】不妨取04x π=，此时003223sin 022x x π-=-<，故命题p 为真；特称命题的否定为全称命题，故:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥，故选B.4.【答案】C 【解析】依题意，向量()()3,-=--a b m n ；因为()-//a b b ，故3m n n -=-，故20m n +=；又2=b ，即1n =-或1，故2m =或-2，故选C. 5．【答案】B 【解析】运行该程序，第一次，2,2S k ==；第二次，6,3S k ==；第三次，14,4S k ==；第四次，30,5S k ==；第五次；62,6S k ==；第六次，126,7S k ==；观察可知，判断框中可以填“62S <”，故选B. 6．【答案】A 【解析】依题意，()cos240sin30sin 60sin120︒︒--︒︒sin30cos120cos30sin120=︒︒+︒︒1sin1502=︒=； 00tan 751tan 75tan 453tan 301tan 751tan 75tan 453-︒-︒==︒=++︒︒；故原式的值为1323+，故选A. 7．【答案】D 【解析】依题意，()()()()321ln 1121x f x x x -+=++-++，将函数()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后，得到函数32ln2xy x x-=++的图象，这是一个奇函数，图象关于()0,0中心对称，故函数()321ln333xf x x x x x-=++++的对称中心为()1,1--，故选D.8．【答案】C 【解析】依题意，将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到sin 43y x ωππω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，此时()2432k k ωπωππππ--=+∈Z ， 解得()546k k ωπππ=+∈Z ，故()1043k k ω=+∈Z ，故ω的最小值为103 故()10sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令()10222332k x k k πππππ--∈++Z ≤≤，解得()10522636k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，即()3320545k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，故选C.9．【答案】A 【解析】依题意，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，可以求出()()221,1,1,,5,25A B C ⎛⎫⎪⎝⎭；要使0z ≥恒成立，需且仅需130223055230m m m --⎧⎪⎪--⎨⎪⎪--⎩≥≥≥解得375m ≥；故m 的取值不可能为7，故选A. 10．【答案】B 【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体的最短棱长为AC 或BD ，均为2，故选B.11．【答案】A 【解析】依题意，()22PM MN PM PN PM PM PN PM PM ⋅=⋅-=⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；因为222193b e =-=，故21b =；设(),M x y ，则()2,PM x y =--uuu r ， 故()2222222282444414599x x PM x y x x y x x x =-+=-++=-++-=-+uuu r ，[]3,3x ∈-，可知，当3x =-时，2PM uuu r 有最大值25，当94x =时，2PM uuu r 有小值12；故PM MN ⋅u u u r u u u r 的取值范围为125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选A.12．【答案】A 【解析】依题意，222ln 112ln x x x mx m x x+⇔+≤≥，令()22ln 1x g x x x =+，故()()32ln 1'x x x g x x --=；令()ln 1h x x x x =--，则()'ln h x x =-，故当[)1,x ∈+∞时，()'ln 0h x x =-≤；故()22ln 1x g x x x=+在[)1,+∞上单调递减，故()()max 11m g x g ⎡⎤==⎣⎦≥，故m 的最小值为1，故选A. 13．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153，171,190,210,231,253，故所求数字为253.14．【答案】221169x y -=【解析】依题意，双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±，即0bx ay ±=，故223bc a b =+，即3b =；①双曲线C 的离心率为54，故54c a =；又3b =，且222a b c +=，故4,5a c ==，故双曲线C 的方程为221169x y -=； ②椭圆22':13611x y C +=的焦点坐标为()()5,0,5,0-，故5c =；又222a b c +=，故4a =，故双曲线C 的方程为221169x y -=； ③依题意，设双曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ，故12423PF PF b -=⋅，故4a =，故双曲线C 的方程为221169x y -=. 15．【答案】52π【解析】因为四边形ABCD 为等腰梯形，AB CD //，故AD BC =；因为PA PB =,12AB CD =,PA PB AD ==,43PA AD CD +==，=23PA PB AB AD BC ====，故3ADC π∠=； 取CD 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD 外接圆圆心；F 是PAB △外心，作OE ⊥平面ABCD ，OF ⊥平面PAB ，则O 是四棱锥P ABCD -的外接球的球心，且3,2OF GE PF ===；设四棱锥P ABCD -的外接球半径R ，则22213R PF OF =+=，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积是52π.16．【答案】524+【解析】因为2sin 24MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，故42MPN ππ∠+=，故4MPN π∠=，故MNP △是等腰直角三角形；在QNP △中，2,1QN QP ==，由余弦定理，254cos NP Q =-；2211os 42c 45MNP S MN NP Q =-==△；又1sin 2sin QNP S NQ P Q Q Q =⋅⋅=△，55cos sin 2sin()444MNQP S Q Q Q π=-+=+-；3π5（1）依题意，11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n na a +=-，故13n n a a +=；故数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为()21322a a a +=+，故()1112329a a a +=+， 解得11a =；故数列{}n a 的通项公式为13n n a -=；（6分） （2）依题意，1113n n a -=，故数列1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，故1231111n nT a a a a =++++L 111113133=1113323213nn n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++==-< ⎪⎝⎭-L ， 故32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（12分）18．【解析】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，故甲参加围棋比赛的概率为12；（4分）（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4， 则所有的可能为（1,2,1,2）,（1,2,1,3）,（1,2,1,4）,（1,2,2,3）,（1,2,2,4）,（1,2,3,4）,（1,3,1,2）,（1,3,1,3）,（1,3,1,4）,（1,3,2,3）,（1,3,2,4）,（1,3,3,4），其中满足条件的有（1,2,3,4）,（1,3,2,4）两种，故所求概率21126P ==.（12分） 19．【解析】（1）依题意，AFD CBF △△∽，12AF DF AD CF BF BC ===， 又Q 1,2AB BC ==,∴2,32AD AC ==，（2分） 在Rt BDA △中，2262BD AB AD =+=,∴1333AF AC ==，（3分）在ABF △中，2222236()()133AF BF AB +=+==，∴90AFB ∠=︒，即AC BD ⊥；Q EF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴AC EF ⊥；（6分）又Q BD EF F =I ,BD ⊂平面BDE ,EF ⊂平面BDE ,∴AC ⊥平面BDE ， 因为ED ⊂平面BDE ，故AC ED ⊥，即AF ED ⊥；（8分）（2）依题意，11123613322336D ABE E ABD ABD S EF V V --⋅=⨯⨯⨯⨯===△.（12分）20．【解析】（1）依题意，点3(,1)2-关于直线y x =的对称点为3(1,)2-， 因为12AF =，故222b c a +==，故椭圆222:14x yC b+=；将3(1,)2-代入椭圆222:14x y C b +=中，解得1b =；所以椭圆C 的方程为2214xy +=故离心率32c e a ==；（4分）（2）当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)M N -，所以1OM ON ⋅=-u u u u r u u u r． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+， 联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=， 由0∆>，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++， 所以1212OM ON x x y y ⋅=+uuu u r uuu r 21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OM ON -<⋅<uuu u r uuu r ，故134λ≥，综上实数λ的取值范围为13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（12分）（1）依题意，()2ln 2p f x x x =-，故()()()21111'px px px f x px x x x+--=-==； 可知，当0,p x p ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0f x <；,p x p ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0f x >； 故函数()f x 的极小值点为px p=，无极大值点；（4分）（2）Q 1p >，令()()()()211ln 2pg x p x f x p x x x =--=--+，故()()()11'px x g x x +-=-，可得函数()g x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞， ∴()g x 在1x =时取得极大值，并且也是最大值，即()max 112g x p =-． 又210p ->，∴()21(21)1ln (21)(1)22p p p x x x p p ⎡⎤---+--⎢⎥⎣⎦≤．设31(21)(1)2()e p p p h p ---=，则233(297)(1)(27)()2e 2e p p p p p p h p ---+--'=-=-，所以()h p 的单调递增区间为7(1,)2，单调递减区间为7(+)2∞，，所以1236794()()22e e h p h ⨯==≤,Q 2e 3>,∴99332e<=,∴()3h p <，又3e 0p ->Q ， ∴()23(21)1ln 3e 2p p p p x x x -⎡⎤---+<⎢⎥⎣⎦，即()()33e 121p p x f x p ---<-.（12分）22．【解析】（1）曲线：()22:24C x y -+=；直线::250l x y -+=；（4分） （2）依题意，曲线221:14y C x +=；又曲线1C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)， 设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则()cos 2sin 25255sin 10222P l d θθθϕ→-+-+==≥(其中1tan 2ϕ=-)，所以点P 到直线l 的距离的最小值为102.（10分） 23．【解析】（1）显然3x >；故()()()()22322343f x f x x x x x x >⇒>-⇒->-⇒<-，故不等式()23f x x >-的解集为()3,4；（5分）（2）依题意，当2m -≥，()31,21111,22231,22x m x m f x x x m x m x m x ⎧+-⎪⎪⎪++=-++-⎨⎪⎪-+--⎪⎩≥≤≤≤，故()min 111222mf x x ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦≥，解得2m ≥；当2m -≤时，()31,221111,22231,2x m x f x x x m m x x m x m ⎧+->-⎪⎪⎪++=--<-⎨⎪⎪-+-⎪⎩≤≤，故()min111222mf x x ⎡⎤++=--⎢⎥⎣⎦≥，解得6m -≤；综上所述，实数m 的值为(,6][2,)-∞-+∞U .（10分）。
2020届高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析01
2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}220P x x x =-≥，{}12Q x x =<≤，则P Q =I （ ） A ．[0,1) B ．{2}C ．(1,2)D ．[1,2]【答案】B2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称且12i z =+，则12z z =（ ） A ．－5 B ．5C ．－4＋iD ．－4－i【答案】A3．下列函数在(0,2)上是单调递增函数的是（ ） A ．12y x =- B ．12log (2)y x =- C ．21()2x y -=D ．2y x =-【答案】B4．已知 1.22a =，0.21()2b -=，5log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C5．若1cos()43απ+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ）A ．23B ．426+ C ．718D ．426- 【答案】D6．如果对于任意实数m ，[]m 表示不超过m 的最大整数，那么“[][]x y =”是“[]1x y -<成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A7．某空间几何体的三视图如图，且已知该几何体的体积为36π，则其表面积为（ ） A ．332π+B ．32πC ．334π+2D ．334π+【答案】A8．已知实数x ，y 满足不等式组：22221x y x y y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≥，则3z y x =-的取值范围为（ ）A ．[1,2]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[1,6]【答案】D9．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入20=a ，8=b ，则输出的结果为（ ） A ．4a =，3i =B ．4a =，4i =C ．2a =，3i =D ．2a =，4i =此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】A10．已知函数()2sin(2)6fx x π=+，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．12x π=B ．4x π=C ．3x π=D ．3x 2π=【答案】C11．以双曲线22221x y a b -=的两焦点为直径作圆，且该圆在x 轴上方交双曲线于A ，B 两点；再以线段AB 为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ．31+ B ．2C ．21+D ．3【答案】B12．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为[]()0,x x ∈π，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②函数()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭上为减函数；③任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()4f x f x +π-=；其中不正确．．．的是（ ）A ．①B ．③C ．②D ．②③【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(3,4)=a ，(,1)x =b ，若()-⊥a b a ，则实数x 为________． 【答案】714．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =________． 【答案】3π 15．已知x ，y +∈R ，且231x y +=，则11x y +的最小值是________．【答案】526+16．已知*1log (2)()n n a n n +=+∈N ，观察下列算式：1223log 3log 42a a ⋅=⋅=；126237log 3log 4log 83a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L L ；若1232016m a a a a ⋅⋅⋅⋅=L ，则m 的值为________． 【答案】201622-三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，25a =，823a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，12b a =，27b a =，求1000n S >的最小正整数n ． 【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，826235183a a d d -==-=⇒=．2(2)5(2)331n a a n d n n =+-=+-⋅=-，（2） ∵12b a =，2737120b a ==⋅-=，∴212045b q b ===， ∴25(14)5(41)100042601143nnn n n S --==>⇒=>-， ∵1021024=，92512=，∴210n =，∴ 最小正整数n 为5． 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积34为，求A 到平面PBC 的距离．【答案】（1）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，∵ABCD 是矩形，∴O 为BD 的中点，∵E 为PD 的中点，∴EO ∥PB ． EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC ： （2）∵1AP =，3AD =，三棱锥P ﹣ABD 的体积34V =， ∴133664V PA AB AD AB =⋅⋅==， ∴32AB =，23131()22PB =+=．作AH ⊥PB 交PB 于H ，由题意可知BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥AH ， 故AH ⊥平面PBC ．又在三角形P AB 中，由射影定理可得：31313PA AB AH PB ⋅==， ∴A 到平面PBC 的距离31313． 19．（本小题满分12分）某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月11日 3月12日 3月13日 3月14日 3月15日昼夜温差（C ︒） 10 11 13 12 8 发芽数（颗）2325302616（1）从3月11日至3月15日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率；（2）请根据3月12日至3月14日的三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程$$y bx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月11日与3月15日的两组数据检验，问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：2121ˆxn x yx n yx bni i ni ii --=∑∑==，x b y a-=ˆ） 【答案】（1）,m n 的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个，设“,m n 均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）， 所以103)(=A P ，故事件A 的概率为103．（2）由数据得12x =，27y =，3972x y =，31977i i i x y ==∑，321434i i x ==∑，23432x =，由公式，得977972434432b-=-$，$5271232a =-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程为$532y x =-． （3）当10x =时，$22y =，22223-<，当8x =时，^17y =，17216-<， 所以得到的线性回归方程是可靠的．20．（本小题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上下左右四个顶点分别为A ，B ，C ，D ，x 轴正半轴上的某点P 满足2PA PD ==，4PC =． （1）求椭圆的标准方程以及点P 的坐标；（2）过C 点作倾斜角为锐角的直线1l 交椭圆于点Q ，过点P 作直线2l 交椭圆于点,M N ，且12//l l ，是否存在这样的直线1l ，2l 使得CDQ △，MNA △，MND △的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．【答案】（1）设点P 的坐标为0(,0)x 0(0)x >，易知224a =+，3a =，041x a =-=，22023b x =-=．因此椭圆标准方程为22193x y+=， P 点坐标为(1,0)．（2）设直线的斜率为(0)k k >，00(,)Q x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1:(3)l y k x =+，2:(1)l y k x =-，MNA △、MND △的面积相等，则点,A D 到直线2l 的距离相等．22|3|11k k k --=++，解之得3k =33k =-（舍）． 当3k =2l 的方程可化为：13x =+，代入椭圆方程并整理得： 253120y -=，所以121235125y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以211212293()45y y y y y y -=+-=； 所以MND △的面积为12119393||||222PD y y ⋅-=⨯=当3k =1l 的方程可化为：33x =-，代入椭圆方程并整理得： 25330y y -=，解之得335y =0y =（舍）， 所以CDQ △的面积为1939362⨯=所以CDQ MND S S =△△． 21．（本小题满分12分） 已知函数2()e (1)x f x x x =-+．（1）当[1,2]x ∈-时，求()f x 的最大值与最小值；（2）如果函数()()1g x f x ax =-+有三个不同零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）因为2()e (1)x f x x x =-+， 所以()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x f x x x x '=+-+=+-，令()0f x '=得11x =-，2ln 2x =，()f x '，()f x 的变化如下表：x－1 (1,ln 2)- ln 2 ln 22（，）2 ()f x ' 0－ 0＋()f x1e-2(ln 2)1--22e -9()f x 在[1,2]-上的最小值是2(ln 2)1--，因为22e 90->，10e -<，212e 9e->-，所以()f x 在[1,2]-上的最大值是22e 9-．（2）2()1e (2)(e 2)x x f x ax x x a x x x a -+=--+=---， 所以()10f x ax x =-⇒=或e 20x x a ---=，设()e 2x g x x a =---，则()e 1x g x '=-，0x >时，()0g x '>，0x <时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，在(,0)-∞上是减函数，()(0)1g x g a =--≥， 且x →+∞，()g x →+∞，x →-∞，()g x →+∞，①当10a -->时，即1a <-时，()0g x =没有实根，方程()1f x ax =-有1个实根； ②当10a --=时，即1a =-时，()0g x =有1个实根为零，方程()1f x ax =-有1个实根； ③当10a --<时，即1a >-时，()0g x =有2不等于零的实根，方程()1f x ax =-有3个实根．综上可得，1a >-时，方程()1f x ax =-有3个实根．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0α<<π），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的最小值．【答案】（1）由2sin 4cos ρθθ=，得2(sin )4cos ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =，（2）将直线l 的参数方程代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=． 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-，∴12AB t t =-==2απ=时，AB 的最小值为4． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()1f x ax =-，不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤． （1）求a 的值； （2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）由13ax -≤，得313ax --≤≤，即24ax -≤≤．当0a >时，24x a a -≤≤，因为不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤，所以2142aa⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =；当0a <时，42x a a -≤≤，因为不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤，所以2241aa⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，无解． 所以2a =． （2）因为()()|21||21||(21)(21)|23333f x f x x x x x +--++--+==≥，所以要使()()3f x f x k +-<存在实数解，只需23k >．解得23k >或23k <-． 所以实数k 的取值范围是22(,)(,)33-∞-+∞U ．。
2020高考文科数学模拟试卷(含两套,解析版)
模拟试卷一(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ＝{x |4x 2－4x ＋1≥0}，B ＝{x |x －2≥0}，则∁U B ＝( ) A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 A [由4x 2－4x ＋1≥0，得x ∈R ，所以U ＝R .又B ＝{x |x －2≥0}＝{x |x ≥2}，所以∁U B ＝(－∞，2)．故选A.]2．已知复数z ＝2＋i 1＋i ，则|z |＝( )A.52B.10C.102D.5C [z ＝2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )1－i 2＝3－i 2，所以|z |＝102，故选C.] 3．已知向量a ＝(1,2－λ)，b ＝(－2,3)，a∥b ，则实数λ＝( ) A ．3 B.72 C ．4D.92B [由a∥b 得，1×3＝(2－λ)×(－2)，解得λ＝72，故选B.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＜e )，ln x (x ≥e )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝( ) A.1e B ．e C ．1D ．－1C [由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (e)＝ln e ＝1，故选C.] 5．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值．我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141 592 6,3.141 592 7)．如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点，那么落在图中阴影部分的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)( )A ．0.16B ．0.17C ．0.18D ．0.19B [设圆的半径为r ，则圆的面积为πr 2，正六边形的面积为6×12×r ×32r ＝332r 2，故所求概率为1－332r 2πr 2＝1－332π≈0.17，故选B.] 6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．－2B ．2 C.12D ．－1D [执行程序框图，n ＝1，a ＝f (2)＝1－12＝12，n ＝2，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝－1，n ＝3，a ＝f (－1)＝1－1－1＝2，n ＝4，a ＝f (2)＝12，…，易知a 的取值以3为周期，所以当n ＝8时，a ＝－1，当n ＝9时，退出循环．输出的a ＝－1，故选D.]7．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，2x ＋y ≥0，x ＋y －1≤0，则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，4B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4D [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B (－1,2)，作出直线y ＝2x ，平移该直线，当直线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时，目标函数取得最小值，z min ＝－2×12＋12＝－12，当直线经过点B (－1,2)时，目标函数取得最大值，z max ＝－2×(－1)＋2＝4，所以目标函数的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4，故选D.]8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32A [如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.]9．先将函数f (x )的图象向右平移2π5个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的14，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2)的图象．已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的图象的对称轴方程是( )A ．x ＝4k π＋2π5，k ∈ZB ．x ＝4k π＋7π10，k ∈ZC ．x ＝2k π＋2π5，k ∈ZD ．x ＝2k π＋7π5，k ∈ZD [法一：设g (x )的最小正周期为T ，由题意和题图可知A ＝2，T 4＝9π20－π5＝π4，∴T＝π，∴ω＝2，∴g (x )＝2sin(2x ＋φ)，∵g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫9π20，2，∴9π10＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－2π5，k ∈Z .又|φ|＜π2，∴φ＝－2π5，∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π5.将函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π5的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象，再将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象向左平移2π5个单位长度，得到f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π5－2π5＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π5的图象．令12x －π5＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .故选D. 法二：由题图可知，函数g (x )的图象的对称轴方程为x ＝9π20＋k π2(k ∈Z )，将函数g (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移2π5个单位长度后得到f (x )的图象，故f (x )的图象的对称轴方程为x ＝⎝⎛⎭⎪⎫9π20＋k π2×4－2π5＝7π5＋2k π，k ∈Z .]10．设函数f (x )＝ln x ＋1－ax x，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，若函数f (x )的极小值不大于a ，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B [易知函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，则1a ＞a ＞0，得0＜a ＜1.由f ′(x )＝1x －1x2＝0，得x ＝1，当x ∈(a,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )的极小值为f (1)＝1－a ，由题可知1－a ≤a ，所以a ≥12，又0＜a ＜1，所以12≤a ＜1，故选B.] 11．已知经过原点O 的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于M ，N 两点(M 在第二象限)，A ，F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF 平分线段AN ，且|AF |＝4，则该椭圆的方程为( )A.x 29＋y 25＝1 B.x 236＋y 24＝1C.x 236＋y 232＝1 D.x 225＋y 224＝1 C [法一：由|AF |＝4得a －c ＝4，设M (m ，n )，则N (－m ，－n )，又A (a,0)，所以线段AN 的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫a －m 2，－n 2，F (a －4,0)．因为点M ，F ，P 在一条直线上，所以k MF ＝k FP ，即n －0m －(a －4)＝－n2－0a －m 2－(a －4)，化简得a ＝6，所以c ＝2，b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.法二：如图，取AN 的中点P ，连接MA ，OP ，因为O 是MN 的中点，P 是AN 的中点，所以OP ∥MA ，且|OP |＝12|MA |，因此△OFP ∽△AFM ，所以|OF ||AF |＝|OP ||AM |＝12，即c 4＝12，因此c ＝2，从而a ＝c ＋|AF |＝2＋4＝6，故b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.]12．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2＝c 2＋2ac cos C ，a cos C ＋3c cos A ＝0，则角A 为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°D [由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＋2ac cos C ，可得b ＝c 或cos C ＝0.易知cos C ≠0，从而B ＝C .由正弦定理得，sin A cos C ＋3sin C cos A ＝0，则sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，从而sin(π－B )＋2sin B cos A ＝0，所以cos A ＝－12，所以在△ABC 中，A ＝120°，故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)13．设函数f (x )＝sin x ＋x cos xax2(a ∈R ，a ≠0)，若f (－2 018)＝2，则f (2 018)＝________. －2 [易知函数f (x )＝sin x ＋x cos x ax2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x )＝sin (－x )＋(－x )cos (－x )a (－x )2＝－sin x ＋x cos xax 2＝－f (x )，所以函数f (x )是定义域上的奇函数，所以f (2 018)＝－f (－2 018)＝－2.]14．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．73[在正方体中作出该几何体的直观图如图所示，不妨将其记为棱台ABC A 1B 1C 1，易知AC ＝BC ＝1，A 1C 1＝B 1C 1＝CC 1＝2.因为CC 1⊥平面ABC ，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，A 1C 1⊥B 1C 1，所以V 棱台ABC A 1B 1C 1＝13CC 1·(S △ABC ＋S △A 1B 1C 1＋S △ABC ·S △A 1B 1C 1)＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＋12×2＝73.] 15．桌上共有8个球，甲、乙两人轮流取球，取到最后一球者胜利．规则：第一次取球至少1个，至多不超过总数的一半，每次取球的个数不超过前面一次取球的个数，且不少于前面一次取球个数的一半．如第一次甲取3个球，接着乙取球的个数为2或3.若甲先取球，为了有必胜的把握，第一次取球的个数应为________．3 [若甲取1个球，则乙取1个球，易知最终是乙胜．若甲取2个球，则乙可取2个球，然后，甲只能取2个球或1个球，无论如何都是乙胜．若甲取3个球，则乙只能取2个球或3个球，当乙取2个球时，接下来甲取1个球，乙取1个球，甲再取1个球，甲胜；当乙取3个球时，甲取完剩下的球，甲胜．若甲取4个球，则乙可取完剩下的球，乙胜．综上可知，甲第一次取3个球时有必胜的把握．]16．已知直线l ：x ＋2y －5＝0与定点A (1,2)，动点P 到点A 距离与到直线l 的距离相等，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，Q 是动点P 轨迹上的一点，|FQ |的最小值恰为双曲线C 的虚半轴长，则双曲线C 的离心率为________．5 [由题可知点A 在直线l 上，因而动点P 的轨迹为过点A 与直线l 垂直的直线，则点P 的轨迹方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，|FQ |的最小值即点F 到直线y ＝2x 的距离，由题知|FQ |的最小值恰为b ，那么直线y ＝2x 为双曲线的一条渐近线，从而ba＝2，则e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.]三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知递增数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝38，21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n (a n －a n ＋1)＝－a 2n ＋1，n ∈N *.(1)求a 2，并证明n ≥2时，a n ＋a n ＋1＝2n； (2)求S 2 019.[解] (1)令n ＝1，则2(a 1－a 2)＝－a 22，即a 22－2a 2＋34＝0，解得a 2＝12或a 2＝32，均符合题意．由21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n (a n －a n ＋1)＝－a 2n ＋1，得21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n －1(a n －1－a n )＝－a 2n ，n ≥2.两式相减得2n(a n －a n ＋1)＝a 2n －a 2n ＋1， ∵a n －a n ＋1≠0，∴a n ＋a n ＋1＝2n，n ≥2.(2)由(1)得S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝38＋22＋24＋…＋22 018＝38＋4×1－41 0091－4＝41 0103－2324.18．(本小题满分12分)2018年世界女排锦标赛于9月29日至10月20日在日本举行，为了解同学们观看现场直播的情况，对高一、高二年级各10个班级的同学进行问卷调查，各班观看人数统计结果如茎叶图所示．(1)①根据图中的数据，估计哪个年级平均观看人数较多？ ②计算高一年级观看人数的样本方差．(2)从高一年级观看人数不足20人的班级中随机抽取2个班，求这2个班分别是观看人数在10人以下与10人以上的概率．[解] (1)①设高一年级、高二年级观看人数的平均数分别为x ，y ， 那么x ＝8＋6＋12＋14＋16＋23＋25＋33＋33＋3210＝20.2，y ＝9＋11＋15＋14＋16＋22＋26＋28＋33＋3510＝20.9，所以高二年级平均观看人数较多．②由①知x ＝20.2，则高一年级观看人数的样本方差s 2＝110×[(20.2－8)2＋(20.2－6)2＋(20.2－12)2＋(20.2－14)2＋(20.2－16)2＋(20.2－23)2＋(20.2－25)2＋(20.2－33)2＋(20.2－33)2＋(20.2－32)2]＝97.16.(2)由茎叶图可知，高一年级观看人数不足20人的班级有5个，其中观看人数在10人以下的班级有2个，分别记为a ，b ，观看人数在10人以上且不足20人的班级有3个，分别记为C ，D ，E .从高一年级观看人数不足20人的班级中抽取2个班，抽取的结果有(a ，b )，(a ，C )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，C )，(b ，D )，(b ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种，设所求事件为事件A ，则事件A 包含(a ，C )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，C )，(b ，D )，(b ，E )，共6种不同的结果， 由古典概型概率计算公式得，P (A )＝610＝35.19．(本小题满分12分)如图所示的几何体B ACDE 中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，DC ⊥平面ABC ，DC ＝1，EA ⊥平面ABC ，EA ＝ 2.(1)若在EB 上存在点F ，使得BE ⊥平面AFC ，试探究点F 的位置； (2)在(1)的条件下，求三棱锥F BCD 的体积．[解] (1)由AB ⊥AC ，EA ⊥平面ABC ，得AC ⊥平面EAB ，所以AC ⊥BE ， 若BE ⊥平面AFC ，只需BE ⊥AF ， 在直角△ABE 中，EB ＝AB 2＋AE 2＝6，由射影定理AB 2＝BF ·BE ，可知BF ＝46＝263＝23BE ，所以点F 在BE 上靠近E 的三等分点处．(2)由题可知S 四边形AEDC ＝12×(1＋2)×2＝1＋2，则V B AEDC ＝13×S 四边形AEDC ×AB ＝2＋223，由(1)知，F 在BE 上靠近E 的三等分点处，因而V F AEDC ＝13V B AEDC ＝2＋229，又S △ABC ＝12×2×2＝2，所以V F ABC ＝13×S △ABC ×23EA ＝13×2×223＝429，所以V F BCD ＝V B AEDC －V F AEDC －V F ABC ＝49.20．(本小题满分12分)已知定点N (6,8)与圆O ：x 2＋y 2＝4，动点M 在圆O 上，MN 的中点为P .(1)若点P 的轨迹为圆C ，求圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，线段OC 的垂直平分线上，是否存在点Q ，过点Q 分别作圆O 与圆C 的切线(切点分别为A ，B )，使得|QA |＝|QB |，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，设P (x ，y )，则M (2x －6,2y －8)，因为点M 在圆O ：x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －6)2＋(2y －8)2＝4，从而可得圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1. (2)假设存在，设Q (x ，y )，若|QA |＝|QB |，则QC 2－1＝QO 2－4，即QO 2－QC 2＝3， 从而x 2＋y 2－(x －3)2－(y －4)2＝3，整理得，3x ＋4y －14＝0，故点Q 在直线3x ＋4y －14＝0上，而OC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，k OC ＝43，因而OC 的垂直平分线的方程为y －2＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，整理得，6x ＋8y －25＝0，易知直线3x ＋4y －14＝0与直线6x ＋8y －25＝0平行， 因此不存在满足题意的点Q .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－12ax 2＋b (a ＞0)，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值； (2)若函数f (x )有两个零点，求a 的值．[解] (1)由题可知f (0)＝1＋b ，f ′(x )＝e x－ax ，f ′(0)＝1，则函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y －1－b ＝x ，即y ＝x ＋1＋b ，由已知条件可得b ＝0，当a ＝1时，在[0,2]上，f ′(x )＝e x－x ＞0，函数f (x )在[0,2]上单调递增， 从而函数f (x )在[0,2]上的最小值为f (0)＝1，最大值为f (2)＝e 2－2.(2)法一：由(1)知f (x )＝e x－12ax 2，设g (x )＝f ′(x )＝e x－ax ，则g ′(x )＝e x－a ，令g ′(x )＝0，可得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．因而g (x )的最小值为g (ln a )＝a －a ln a ，若a －a ln a ≥0，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f (x )不会有两个零点，不合题意，因而a －a ln a ＜0，即a ＞e.因为g (0)＝1＞0，g (1)＝e －a ＜0，所以f ′(x )＝0在(0,1)内有解，即存在x 1∈(0,1)使f ′(x 1)＝0，同时存在x 2∈(1，＋∞)，使得f ′(x 2)＝0，即0＜x 1＜1＜x 2，e x 1＝ax 1，e x 2＝ax 2，当x ∈(－∞，x 1)时f (x )单调递增，当x ∈(x 1，x 2)时f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时f (x )单调递增，f (x )的大致图象如图所示．由于f (x 1)＝e x 1－12ax 21＝ax 1－12ax 21＝12ax 1(2－x 1)＞0，所以，若函数f (x )有两个零点，则函数f (x )的极小值f (x 2)＝0，f (x 2)＝e x 2－12ax 22＝ax 2－12ax 22＝12ax 2(2－x 2)＝0，得x 2＝2.由e x 2－12ax 22＝0，即e 2－12a ×22＝0，得a ＝e 22.法二：由(1)知，b ＝0，则函数f (x )＝e x－12ax 2，显然x ＝0不是零点，令f (x )＝0，分离参数，则a ＝2exx2，设h (x )＝2e x x 2(x ≠0)，则h ′(x )＝2e x(x －2)x3，令h ′(x )＝0，则x ＝2. 易知当x ∈(0,2)时h (x )单调递减，当x ∈(－∞，0)及x ∈(2，＋∞)时h (x )单调递增， 则h (x )的极小值为h (2)＝e 22，而当x ∈(－∞，0)时，h (x )＝2e xx 2＞0，数形结合可知，当a ＝e22时函数f (x )有两个零点．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝ 3.(1)写出曲线C 的普通方程以及直线l 的直线坐标方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积． [解] (1)消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1，2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3可化为3ρcos θ－ρsin θ＝3， 由极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得，直线l 的直角坐标方程为3x －y－3＝0.(2)易知原点O 到直线l 的距离d ＝32， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 24＋y 23＝1整理得，5x 2－8x ＝0，解得x ＝0或85，不妨令x 1＝0，x 2＝85，从而得A (0，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335，由两点间距离公式得|AB |＝165，所以S △OAB ＝12×|AB |×d ＝12×165×32＝435.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )≤|x |＋1；(2)若存在实数m ，使得f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＜m 有解，求m 的取值范围．[解] (1)由已知得，f (x )≤|x |＋1，即|2x －1|≤|x |＋1， 所以当x ＜0时，1－2x ≤－x ＋1，得x ≥0，此时无解； 当0≤x ＜12时，1－2x ≤x ＋1，得x ≥0，此时0≤x ＜12；当x ≥12时，2x －1≤x ＋1，得x ≤2，此时12≤x ≤2.从而不等式的解集为{x |0≤x ≤2}．(2)设g (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则g (x )＝|2x －1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤12，3x －2，12＜x ＜1，x ，x ≥1，作出函数g (x )的大致图象(图略)，数形结合可知，g (x )的最小值为－12，从而m ＞－12.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.模拟试卷二(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |x 3＝x }，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{0,1} C ．{－1,1} D ．{0,1，－1}A [法一：因为集合A ＝{x |x 3＝x }＝{0,1，－1}，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |(x －1)(x －2)≤0}＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{1}，故选A.法二：当x ＝－1时，(－1)2－3×(－1)＋2＞0，不满足集合B ，排除选项C ，D ；当x ＝0时，02－3×0＋2＞0，不满足集合B ，排除选项B ，故选A.]2．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝(1＋i)(2－i)，则z 的虚部为( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1C [由题意得，z ＝(1＋i )(2－i )1＋2i ＝(3＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－i ，所以z 的虚部为－1，故选C.]3．已知函数f (x )＝x e x(e 为自然对数的底数)的图象的一条切线的方程为y ＝x －2a ，则实数a 的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2A [由f (x )＝x e x 得，f ′(x )＝(x ＋1)e x，∵直线y ＝x －2a 为函数f (x )图象的一条切线，且f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴2a ＝0，∴a ＝0.]4．随着生活水平的提高，进入健身房锻炼的人数日益增加，同时对健身房的服务要求也越来越高，某健身房为更具竞争力，对各项服务都进行了改善，投入经费由原来的200万元增加到400万元，已知改善前的资金投入比例为：健身设施∶健身培训∶安全保障∶其他服务＝10∶5∶3∶2.改善后的经费条形统计图如图所示．则下列结论正确的是( )A ．改善后的健身设施经费投入变少了B ．改善后健身培训的经费投入是改善前的2.8倍C ．改善后安全保障的经费投入所占比例变大了D ．改善后其他服务的经费投入所占比例变小了B [A 项，改善前健身设施的经费投入为1020×200＝100(万元)，改善后为160万元，故A项错误．B 项，改善前健身培训的经费投入为520×200＝50(万元)，140÷50＝2.8，故B 项正确．C 项，改善后安全保障的经费投入所占比例为60400＝15%，改善前所占比例为320＝15%，改善前后安全保障的经费投入所占比例一样，故C 项错误．D 项，改善后其他服务的经费投入所占比例为40400＝10%，改善前所占比例为220＝10%，改善前后其所占比例没有变化，故D 项错误．故选B.]5．已知圆C 1：x 2－8x ＋y 2＋7＝0的圆心是双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线C 2的渐近线与圆C 1相切，则双曲线C 2的虚轴长为( )A ．3B ．6C ．7D ．27B [因为圆C 1：x 2－8x ＋y 2＋7＝0的标准方程为(x －4)2＋y 2＝9，所以圆C 1的圆心C 1(4,0)，半径为3.因为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，双曲线C 2的渐近线与圆C 1相切，所以|4b |a 2＋b2＝3，即7b 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2，c ＝4，所以b ＝3，所以双曲线C 2的虚轴长为2b ＝6.故选B.]6．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是教师，乙是医生，丙是记者B ．甲是医生，乙是记者，丙是教师C ．甲是医生，乙是教师，丙是记者D ．甲是记者，乙是医生，丙是教师C [由甲的年龄和记者不同与记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲是医生，故乙是教师．故选C.]7．设公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3(a 3＋a 5)，则S 11S 7＝( ) A.117 B.227 C.337 D.667D [法一：设数列{a n }的公差为d ，d ≠0，由a 6＝3(a 3＋a 5)得，a 1＋5d ＝3(a 1＋2d ＋a 1＋4d )＝6a 1＋18d ，所以a 1＝－135d ，所以S 11S 7＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－135d ＋55d7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－135d ＋21d＝667.故选D.法二：因为a 6＝3(a 3＋a 5)＝3(a 1＋a 7)，所以S 11S 7＝11(a 1＋a 11)27(a 1＋a 7)2＝11×2a 67×a 63＝667(易知a 6≠0)，故选D.]8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为()A ．126B ．62C ．30D ．14C [执行程序框图，S ＝0，S ＝0＋21＝2，(1－1)2＋(1－1)2＜16，n ＝1＋1＝2，x ＝1＋1＝2，y ＝1＋1＝2；S ＝2＋22＝6，(2－1)2＋(2－1)2＜16，n ＝2＋1＝3，x ＝2＋1＝3，y ＝2＋1＝3；S ＝6＋23＝14，(3－1)2＋(3－1)2＜16，n ＝3＋1＝4，x ＝3＋1＝4，y ＝3＋1＝4；S ＝14＋24＝30，(4－1)2＋(4－1)2＞16，退出循环．故输出S 的值为30.故选C.]9．将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到函数g (x )的图象，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上的最小值为( )A ．0B ．－12C ．－32D ．－3D [将函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π12的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3时，4x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π4，因此当4x －π12＝－π2，即x ＝－5π48时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上取得最小值－ 3.]10．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤y ＋1，x ＋1≥0，y ≤m 构成平面区域Ω，若∃(x ，y )∈Ω，3x －y ＜－5，则实数m 的值不可能为( )A. 3B. 5 C ．3 D ．23A [画出平面区域Ω如图中的阴影部分所示，因为∃(x ，y )∈Ω，3x －y ＜－5，所以应考虑目标函数z ＝3x －y ＋5的最大值，即图中交点P (－1，m )在直线3x －y ＋5＝0的上方，所以－3－m ＋5＜0，解得m ＞2.故选A.]11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan Atan B ＝2cb，则C ＝( )A.π4 B.π3 C.π6 D.3π4A [由1＋tan A tanB ＝2c b ，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sinC sin B，即cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cosA ，即sin(A ＋B )＝2sinC cos A ，又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ≠0，所以2cos A ＝1，cos A ＝12，所以A ＝π3.因为a ＝23，c ＝22，所以a ＞c ，所以A ＞C .由正弦定理a sin A ＝csin C 得23sinπ3＝22sin C ，所以sin C ＝22.又A ＞C ，所以C ＝π4.] 12．已知抛物线C ：y 2＝8x ，F 为其焦点，其准线l 与x 轴的交点为H ，过点H 作直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点E 到准线l 的距离为16，P 为直线m 上的动点，则点P 到点F 与点D (3,0)距离和的最小值为( )A ．3 B.14 C ．4 D.17D [由题意知，H (－2,0)，可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 2－8k 2，所以x E ＝－2＋4k 2，从而－2＋4k 2＋2＝16，解得k 2＝14，满足Δ＞0.由抛物线的对称性知k 的正负不影响结果，故可取k ＝12，则直线m 的方程为y ＝12(x ＋2)．设点D (3,0)关于直线m 的对称点为D ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－3＝－2，y 02＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋32＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝4，则D ′(1,4)，连接FD ′，PD ′，则|PF |＋|PD |＝|PF |＋|PD ′|≥|FD ′|＝(1－2)2＋(4－0)2＝17.故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上) 13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(k ，－6)，若a⊥(b －a )，则k ＝________.17 [由题意知，b －a ＝(k －1，－8)，a·(b －a )＝0，即k －1＋2×(－8)＝0，解得k ＝17.]14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤3，x ＋1，x ＞3，则使不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12成立的x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 212－1＝2，由f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12得，当0＜x ≤3时，|log 2x －1|＜2，得12＜x ≤3；当x ＞3时，x ＋1＜2，此时无解．综上所述，不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3.]15．设轴截面为正三角形的圆锥的体积为V 1，它的外接球的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 932[如图，设球O 的半径为R ，则由△ABC 是正三角形可得圆锥的底面圆半径r ＝BO 1＝32R ，高h ＝AO 1＝32R ，所以V 1＝13πr 2h ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2×32R ＝38πR 3，V 2＝43πR 3，所以V 1V 2＝932.] 16．数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2n －1a n ＋1a n .设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1－a n a n ＋1的前n 项和为T n ，则2n －1T n ＋12n －1＝________. 2 [∵a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2n －1a n ＋1a n ，a n ≠0，∴S n ＋1a n ＋1－S n a n ＝2n －1，则S 2a 2－S 1a 1＝1，S 3a 3－S 2a 2＝2，…，S n a n －S n －1a n －1＝2n －2(n ≥2，n ∈N *)．以上各式相加，得S n a n －S 1a 1＝1＋2＋…＋2n －2.∵S 1a 1＝1，∴S n a n－1＝2n －1－1，∴S n ＝2n －1a n (n ≥2，n ∈N *)．∵n ＝1时上式也成立，∴S n ＝2n －1a n (n ∈N *)，∴S n ＋1＝2n a n＋1.两式相减，得a n ＋1＝2na n ＋1－2n －1a n ，即(2n －1)a n ＋1＝2n －1a n ，∴2a n ＋1－a n a n ＋1＝12n －1，∴T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1， ∴2n －1T n ＋12n －1＝T n ＋12n －1＝2.]三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝23.(1)若△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，求sin A 的值； (2)若b cos A ＋a cos B ＝2，a ＋b ＝6，求△ABC 的面积．[解] (1)法一：因为△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，所以A ＝B ， 则cos(A ＋B )＝cos 2A ＝－cos C ＝－23.又cos 2A ＝1－2sin 2A ，所以1－2sin 2A ＝－23，得sin A ＝306.法二：因为△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，所以A ＝B .因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝23，所以cos C 2＝306， 易知A ＋C 2＝90°，所以sin A ＝cos C 2＝306.(2)因为b cos A ＋a cos B ＝2，所以由余弦定理可得b ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋c 2－b 22ac ＝2，即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－43ab ＝(a ＋b )2－103ab ＝4.又a ＋b ＝6，所以ab ＝485.因为cos C ＝23，所以sin C ＝53，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×485×53＝855.18．(本小题满分12分)某市爱心人士举办宠物领养活动，为流浪猫、狗寻找归宿，共有560人参加了此次活动，该市宠物收留中心统计了其中70名参加活动的市民的领养意愿，得到如下的统计表．12(1)求出n 1，n 2的值，并以此样本的频率估计总体的概率，试估计此次参加活动的人中两种流浪宠物都愿意领养的人数；(2)在此次参加活动并有领养意愿的市民中，按分层抽样的方法选取6名市民，在这6名市民中随机抽取2名当场讲解宠物饲养经验，求抽取的2人恰为仅愿意领养一种流浪宠物的市民的概率．[解] (1)由题意可得，n 1＋n 2＝40，结合已知条件n 1∶n 2＝1∶3，可得n 1＝10，n 2＝30.用样本的频率估计总体的概率，可知两种流浪宠物都愿意领养的人数为3070×560＝240.(2)由(1)可知，n 1∶20∶n 2＝1∶2∶3，由分层抽样的方法可得，6名市民中仅愿意领养流浪狗的市民有6×11＋2＋3＝1(名)，仅愿意领养流浪猫的市民有6×21＋2＋3＝2(名)，两种流浪宠物都愿意领养的市民有6×31＋2＋3＝3(名)．这6名市民中，仅愿意领养流浪狗的1名市民记为A ，仅愿意领养流浪猫的2名市民分别记为B ，C ，两种流浪宠物都愿意领养的3名市民分别记为D ，E ，F .从这6名市民中随机抽取2名的结果有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，其中恰为仅愿意领养一种流浪宠物的情况有AB ，AC ，BC ，共3种， 故所求的概率为315＝15.19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 中，底面四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝BC ＝2AD ＝4，△PAB 是等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，E 是PB 的中点，点M 在棱PC 上．(1)求证：AE ⊥BM ；(2)若三棱锥C MDB 的体积为1639，且PM ＝λPC ，求实数λ的值．[解] (1)因为四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC 且AD ⊥AB ，所以BC ⊥AB . 又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ， 又AE ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AE .因为△PAB 是等边三角形，E 是PB 的中点，所以AE ⊥PB . 又AE ⊥BC ，BC ∩PB ＝B ，所以AE ⊥平面PBC ， 又BM ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BM .(2)过点P 作PF ⊥AB 于点F ，连接CF (图略)， 易知PF ⊥平面ABCD ，则PF ⊥CF .因为△PAB 是等边三角形，AB ＝4，所以PF ＝2 3. 过点M 作MN ⊥CF 于点N (图略)，易知MN ∥PF ，CM CP ＝MNPF. 因为V 三棱锥P BCD ＝13×12×4×4×23＝1633，V 三棱锥C MDB ＝1639＝V 三棱锥M BCD ，所以V 三棱锥M BCD V 三棱锥P BCD ＝16391633＝13.又V 三棱锥M BCD V 三棱锥P BCD ＝MN PF ＝13，所以CM CP ＝MN PF ＝13，PM CP ＝23，所以λ＝PM PC ＝23.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点E (2，1)，其左、右顶点分别为A ，B ，且离心率e ＝22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M (x 0，y 0)为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，MN ⊥AB 于点N ，直线l ：x 0x ＋2y 0y －4＝0.①证明：直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点；②设过点A 且与x 轴垂直的直线与直线l 交于点P ，证明：直线BP 经过线段MN 的中点．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(2)2a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①由题意知y 0≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，x 0x ＋2y 0y －4＝0得(x 20＋2y 20)x 2－8x 0x ＋16－8y 20＝0.因为点M (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20＋2y 20＝4，则x 2－2x 0x ＋x 20＝0，即(x －x 0)2＝0， 得x ＝x 0，y ＝y 0.所以直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即点M . ②由(1)知，A (－2,0)，B (2,0)，过点A 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－2， 结合方程x 0x ＋2y 0y －4＝0，得点P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，x 0＋2y 0. 直线PB 的斜率k ＝x 0＋2y 0－0－2－2＝－x 0＋24y 0， 则直线PB 的方程为y ＝－x 0＋24y 0(x －2)． 因为MN ⊥AB 于点N ，所以N (x 0,0)，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02. 令x ＝x 0，得y ＝－x 0＋24y 0(x 0－2)＝4－x 24y 0.因为x 20＋2y 20＝4，所以y ＝4－x 204y 0＝2y 204y 0＝y 02，所以直线PB 经过线段MN 的中点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，y 02.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1. (1)当a ＝1时，求证：f (x )≤12x －12；(2)若不等式f (x )≤0在[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 设g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12＝ln x －x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12＝ln x －x －12x ＋32，则g ′(x )＝1x －12x －12＝－x ＋x －22x ＝－(x －1)(x ＋2)2x .所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以g (x )≤g (1)＝0， 所以f (x )≤12x －12.(2)因为f (x )＝a ln x －x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x ＝－x －2a2x.①当a ≤0时，因为x ∈[1，e]，所以f ′(x )<0， 所以f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )≤f (1)＝0，所以a ≤0满足题意． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝4a 2，所以当x ∈(0,4a 2)时，f ′(x )＞0，当x ∈(4a 2，＋∞)时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在(0,4a 2)上单调递增，在(4a 2，＋∞)上单调递减． 当4a 2≥e ，即a ≥e2时，f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )≤f (e)＝a －e ＋1≤0，所以a ≤e －1，此时无解． 当1＜4a 2＜e ，即12＜a ＜e 2时，f (x )在(1,4a 2)上单调递增，在(4a 2，e)上单调递减，所以f (x )≤f (4a 2)＝a ln 4a 2－2a ＋1＝2a ln 2a －2a ＋1≤0. 设h (x )＝2x ln 2x －2x ＋1，则h ′(x )＝2ln 2x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2时，h ′(x )＞0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2上单调递增，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2时，h (x )＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，不满足题意．当0＜4a 2≤1，即0＜a ≤12时，f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )≤f (1)＝0，所以0＜a ≤12满足题意．综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2.(1)设点M ，N 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|MN |的最大值；(2)设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与曲线C 1交于P ，Q 两点，且|PQ |＝1，求直线l 的普通方程．[解] (1)曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)，半径r 1＝2. 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，圆心C 2(0,0)，半径r 2＝2， ∴|MN |max ＝|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝3＋2＋2＝7.(2)将直线l 的参数方程代入(x －3)2＋y 2＝4中，得(t cos α－4)2＋(t sin α)2＝4，整理得t 2－8t cos α＋12＝0，Δ＞0，设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1＋t 2＝8cos α，t 1t 2＝12，又|PQ |＝1，∴|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(8cos α)2－4×12＝1，解得cos α＝±78，满足Δ＞0，∴直线l 的斜率为tan α＝±157， ∴直线l 的普通方程为y ＝±157(x ＋1)． 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －5|－|x ＋1|. (1)解不等式：f (x )＜3x ；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤ax 2－x ＋3恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞52，x －6＜3x或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤52，4－3x ＜3x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，6－x ＜3x ，解得x ＞23，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞23.法二：如图，作出函数f (x )的图象，利用f (x )的图象解不等式，由4－3x ＝3x ，解得x ＝23，由图象可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞23. (2)法一：当x ∈[1,2]时，f (x )＝4－3x ，则不等式f (x )≤ax 2－x ＋3可化为ax 2＋2x －1≥0，令g (x )＝ax 2＋2x －1，易知函数g (x )＝ax 2＋2x －1的图象恒过点(0，－1)，由函数g (x )＝ax 2＋2x －1的图象可知，要使x ∈[1,2]时，f (x )≤ax 2－x ＋3恒成立，需a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，g (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，g (1)≥0，g (2)≥0，解得a ≥－34，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. 法二：当x ∈[1,2]时，f (x )＝4－3x ，则不等式f (x )≤ax 2－x ＋3可化为a ≥1x 2－2x，因为x ∈[1,2]，1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以1x 2－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1≤－34，所以a ≥－34，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞.。
2020高考文科数学模拟试卷含答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷文科数学(一)本试卷共23題,共150分，艾4页•考试皓束后，将本试卷和答题卜一并交回。
一、选择题：本大18共仁小题，每小题5分，共60分・在每小题给出的四个备选项中，只有一坝是符合U目要求的，■1. e®z=」一在复平面中所对应的点位于I-2iA.第一象限B.第二象限C.第三彖限D第四象限2. 已知函« f(x)是定义在R上的奇两数，且^3X> 0时，f(x) = \nx-x\则/(-1)=A・一1 B. 0 C. I e-13. 己知向=1-x), ^C = (x, 1),若4 B, C三点共线,则实数"A. 2B. -1C. 2 或一1D. -2或14. 已知集合A = {y\y = l-2x}t 8 = {x\x2-2x-3>0},则=A. 0B. [-1, 1)C. (1, 3]D. [-3, 1)5. 设等差数列{/}的前刀项和为S”，S5=\5f如=9,则几=A・ 60 B. 90 C. 120 D. 1506. 某孚校为了解学生的教学学习情况，从甲、乙两班各抽取广7名同学某次数学考试的成细，绘制成如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是ArrayA.平均数B.方差C.中位数D.极差7. 设a, b是两条不同的宜线，Q，0是两乍不同的平面，下面推理中疋确的是A. 若 a // b t aua , bu 卩、则a //B. 若a // P, aua、则a // 0C・若a〃0, a(za , hu ”、则a // bD.若a" b、a丄a, b丄0,则a卄卩8. 已知命題F;"若对任意的x>0都有2r-l>o,则则命趙p的否命题为A. 若存仕X>0使得2x-1 >a ,则a > -1B. 若存在x>0使得2x-lWa,则a>-f高考模揪*研卷文(-〉第】页共4页c - fta>I •則％ 便附2一1 *D 「八・1・X>O 伸博2J —1 .材由鼻塔"2—7 = 0卜- *卩・；|圆.J_2-“4y + 2 = 0的条切如切点为八則冲|的 为A. MA. 3㊉1二一】c.（xe （x-i ））e （x-2）= x-2己知刃曲绘冷•一与= 1（a >°，〃>0）的左、右焦点分别为F 7 ,点P 在双曲线的右支上, a b“且|P/7| = |/7/7|r 若点0是线段的中点•则"F 民的取值范圉是中，角彳、从C 肋対的边分别为2、bs c. U"in （号一〃）"&in （¥*H2・H10. J >/nC. 2丿5D. 2V7我国Jt*敕学家华罗庚先生曾说，数斌形时少豆观，形缺数时难入微.敷形结合白段好.隔裂 分家力事仏-A 数学的学习和研完中，常用踊数的图欽来研允函釵的性质，也带用函敗的解析 式来分析函数的图象的待征.如两数/（x ）=e^-2x 2-l 的图陨大效是n. 彳：一丫。
2020届高考文科数学模拟卷(含答案)
2020届高考文科数学模拟卷1、已知复数:2i z =+，则z z ⋅=( )C.3D.5 2、已知集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==，则 A B =I ()A.{}3B.{}5C.{}3,5D.{}1,2,3,4,5,73、若1sin =3α，则cos 2a =（ ） A.89B.79C.79-D.89-4、下列函数为奇函数的是（ ）A.()323f x x x =+B.()22x x f x -=+C.()sin f x x x =D.()3ln 3xf x x +=-5、生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23B.35C.25D.156、已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.B.12πC.D.10π7、已知双曲线221mx ny +=与抛物线28x y =有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（ ）A.2213y x -= B.2213x y -= C.2215y x -= D.2215x y -=8、已知数列{}n a ，对任意不相等的正整数m n ,均有2m na a m n-=-且2610a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） A.2n n -B.2122n n -C.22n n -D.223n n -9、如图所示的程序框图是为了求出满足321000n n -＞的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A.1000A >和1n n =+B.1000A >和2n n =+C.1000A ≤和1n n =+D.1000A ≤和2n n =+10、已知点(2)8,在幂函数()nf x x =的图像上，设0.512a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，()0.22b f =，21log 2c f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则a b c ,,的大小关系为（）A.b a c >>B.a b c >>C.c b a >>D.b c a >>11、ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则b c=( )A ．6B ．5C ．4D ．312、设12F F ，为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为 . 13、曲线2()32ln f x x x x =-+在1x =处的切线方程为________.14、设实数x y ,满足约束条件100240x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值为 。
2020年高考模拟试卷数学(文)含答案解析(WORD版)
图2由全国各地一线教师精心编制《 高考终极预测押题卷》对近十年全国各地高考试题的全方位精确分析，把握命题规律，找出命题趋势。
全网首发！百位名师呕血专研，只为高考最后一搏！高考模拟试卷 数 学(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数1ii+＝( ) A.1i + B.1i - C.1i -+D.i2.命题“∀x R ∈,2x x -≤0”的否定是( )A.∃x R ∈,20x x -≥ B.∀x R ∈,20x x -≥ C.∃x R ∈,20x x ->D.∀x R ∈,20x x ->3.集合{}|lg ,1A y y x x ==>,}{2,1,1,2B =--,则R A B =I ð( ) A.[2,1]-- B.(,0]-∞ C.}{1,2D.}{2,1--4.若某空间几何体的三视图如图１所示,则该几何体的表面积是( ) A.60 B. 54 C.48 D. 245.如果运行如图2的程序框图,那么输出的结果是( ) A.1, 8, 16 B.1, 7, 15 C.1, 9, 17D.2, 10, 186.若,x y 满足231x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则21S x y =+-的最大值为( )A. 6B.4C.3D. 2 7.设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22x f x x m =++(m 为常数),则(1)f -=( )A. 3B. 1C. 1-D. 3-8.在边长为1的正三角形ABC 中,若ABa u u u r r ＝,BCb =u u u r r ,CAc =u u u r r ,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r( ) 4俯视图侧视图正视图34 图1x 15 16 18 1922 y102 98 115 115120A.12-B.32－C.32D.09.已知正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ,则在正方体1111ABCD A B C D -内任取点M ,点M 在球O 内的概率是( ) A.4π B.6π C. 8π D.12π 10.定义在R 上函数()f x 满足:()()f x f x '>恒成立,若12x x <,则12()x e f x 与21()xe f x 的大小关系为( )A.1221()e ()x x e f x f x > B.1221()e ()x x e f x f x <C.1221()e ()x x ef x f x = D.1221()e ()x x e f x f x 与的大小关系不确定二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上. 11.经统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成绩(单位:分)近似于线性相关关系. 对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下:由表中样本数据求得回归方程为ˆybx a =+,且点(,)a b 在直线18x y m +=上, 则m = .12.在△ABC 中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,若a =9,b =6,A =060,则sin B =13.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,使极坐标系的单位长度与直角坐标系的单位长度相同.已知直线l 的参数方程为233x ty t=-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,则直线l 与曲线C 的交点个数为 .14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A 、B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB ∆的面积为3,则p = .15.已知数列满足:11a =,22a =,33a =,44a =,55a =,且当5n ≥时,有11231n n a a a a a +=-L ,若数列{}n b 满足对任意*n N ∈,有2221212n n n b a a a a a a =----L L ,则(1)5b = ; (2)当5n ≥时,n b = .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）110 112 118 116 114 直径/mm频率/组距0.0500.075 0.150a 图3 APEBCD图4已知函数2()2cos 2sin sin()2f x x x x π=++,(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域.17.（本小题满分12分）某工厂生产的产品A 的直径均位于区间[110,118]内(单位:mm ).若生产一件产品A的直径位于区间[110,112),[112,114),[114,116),[116,118]内该厂可获利分别为 10,20,30,10(单位:元),现从该厂生产的产品A 中随机100件测量它们的直径,得到如图3所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求a 的值,并估计该厂生产一件A 产品的平均利润;(Ⅱ)现用分层抽样法从直径位于区间[112,116)内的产品中随机抽取一个容量为5的样本,再从样本中随机抽取两件产品进行检测,求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的概率.18.（本小题满分12分）如图4,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD , 底面ABCD 是平行四边形,60BAD ∠=︒,2AD =,23AC =,E 是PC 的中点.(Ⅰ)求证:PC BD ⊥;(Ⅱ)若四棱锥P ABCD -的体积为4,求DE 与平面PAC 所成的角的大小.19.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且242n n n S a a =+对任意的*n N ∈恒成立.(Ⅰ)求1a 、2a 及数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设11n n n b a a +=,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,是否存在实数λ,使不等式11n n n S a T λ++> 对任意的正整数n 都成立.若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由 20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为1F 、2F ,离心率为23,椭圆C 与y 轴正半轴交于点P ,12PF F ∆的面积为25. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,求AOB ∆的面积的最大值,并求出此时直线l 的方程.21.（本小题满分13分）已知函数21()ln (0)2f x x ax bx a =-+>,(1)0f '=. (Ⅰ)试用含a 的式子表示b ,并求()f x 的单调区间; (Ⅱ)若()f x 在1(,)2+∞上有两个零点,求实数a 的取值范围;数学参考答案及评分标准(文科)一、选择题：1．B 2. C 3. D 4. A 5.Ｃ ６.Ａ 7.Ｄ ８.Ｂ ９.Ｂ 10.Ａ 二、填空题11． 110 12．3313． 1 14． 2 15． 65三、解答题16．解：(1)∵2()2cos 2sin cos f x x x x =+cos2sin 21x x =++2sin(2)14x π=++∴()f x 的最小正周期22T ππ== ………………………………………………………6分 (2) ∵02x π≤≤ ∴ 52444x πππ≤+≤……………………………………………………8分 ∴2sin(2)124x π-≤+≤…………………………………………………………………………10分 ∴0()12f x ≤≤+………………………………………………………………………………11分 ∴函数()f x 在区间[0,]2π上的值域为[0,12]+ ……………………………………………12分17．解:(1) 由频率分布直方图可知2(0.0500.1500.075)1a +++=所以0.225a =………3分 直径位于区间[110,112)的频数为10020.05010⨯⨯=,位于区间[112,114)的频数为10020.15030⨯⨯=,位于区间[114,116)的频数为10020.22545⨯⨯=,位于区间[116,118]的频数为10020.07515⨯⨯=,因此生产一件A 产品的平均利润为101020303045151022100⨯+⨯+⨯+⨯=(元) ………………………………………6分(2) 由频率分布直方图可知直径位于区间[112,114)和[114,116)的频率之比为2:3,所以应从直径位于区间[112,114)的产品中抽取2件产品,记为A 、B ，从直径位于区间[114,116)的产品中抽取3件产品，记为a 、b 、c ,从中随机抽取两件,所有可能的取法有, (,)A B ,(,)A a ,(,)A b ,(,)A c ,(,)B a ,(,)B b ,(,)B c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共10种,其中两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的取法有(,)A a ,(,)A b (,)A c ,(,)B a ,(,)B b ,(,)B c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共9种.所以所求概率为910P =……………12分 18．解(1) ∵ 在平行四边形ABCD 中,60BAD ∠=︒, ∴ 120ADC ∠=︒,∴由2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠ 得2280CD CD +-=解得2CD =,所以四边形ABCD 为菱形, ∴AC BD ⊥ 又PA ⊥底面ABCD ∴PA BD ⊥ ∵PA AC A =I∴BD ⊥平面PAC∴PC BD ⊥ ……………………………………………………………………………6分(2)由(1)易知2BD =,所以1232ABCD S AC BD =⋅= ∴ 由143P ABCD ABCD V S PA -=⋅=得23PA =……………………………………………8分设AC 与BD 交于点O ,连结OE由(1)知BD ⊥平面PAC ,所以DE 在平面PAC 的射影为OE∴DEO ∠就是DE 与平面PAC 所成的角…………………………………………………10分∵E 是PC 的中点 ∴ 132OE PA ==∴ 在Rt DOE ∆中13tan 33OD DEO OE ∠===∴30DEO ∠=︒ 即DE 与平面PAC 所成的角为30︒……………………………………12分19．解: 由题意知，当1n =时, 211142a a a =+,又10a >,所以12a = ……………………1分 当2n =时，212224()2a a a a +=+，又20a >，所以24a =………………………………2分 ∵242n n n S a a =+ ∴211142n n n S a a +++=+两式相减并整理得 11()(2)0n n n n a a a a +++--=…………………………………………4分 由于10n n a a ++> 所以120n n a a +--=…………………………………………………5分 所以数列{}n a 是以12a =为首项,2d =为公差的等差数列,∴ 2n a n =…………………………………………………………………………………6分 (2) ∵111111()4(1)41n n n b a a n n n n +===-++ A PEBC D O图3∴11111111[(1)()()()]42233414(1)n n T n n n =-+-+-++-=++L …………………………8分 又21(2)(1)4n n n S a a n n =+=+ ∴ 由11n n n S a T λ++>得(1)(1)(2)2(2)n n n n n λ+++>+∴2182(2)28n n n nλ>=+++…………………………………………………………………10分 ∵ 882822816n n n n ++≥⋅+= 当且仅当82n n=即2n =时取”=” ∴1181628n n ≤++ …………………………………………………………………………12分 ∴116λ>∴存在实数λ,使不等式11n n n S a T λ++>对任意的正整数n 都成立,且116λ>……………13分20．解: (1) 设椭圆C 的半焦距为c ,则由题意可知2325c e a bc ⎧==⎪⎨⎪=⎩又222a b c =+ 解得3,5,2a b c ===∴椭圆C 的方程为22195x y +=……………………………………………………………5分 (2)由题意可知直线l 的斜率不能为0,右焦点2F 的坐标为(2,0)设直线l 的方程为2x my -=,代入椭圆C 的方程并整理得22(59)20250m y my ++-= 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1222059m y y m +=-+,1222559y y m =-+………………………7分 ∴221212122301||()459m y y y y y y m +-=+-=+…………………………………………8分 12121||||||2AOBS OF y y y y ∆=-=- 222230130459511m m m m +==++++…………10分令21t m =+,则1t ≥,令4()5f t t t=+则222454()5t f t t t -'=-=,所以当1t ≥时()0f t '>,∴()f t 在[1,)+∞上为增函数,()f(1)9f t ≥=即2245191m m ++≥+当且仅当1t =即0m =时取”=”∴1003AOB S ∆<≤…………12分 ∴AOB ∆的面积的最大值为103,此时直线l 的方程为2x =…………………………13分21．解:(1) ()f x 的定义域为(0,)+∞,1()f x ax b x'=-+∴(1)101f a b b a '=-+=⇒=- …………………………………………2分 ∴1(1)(1)()1ax x f x ax a x x+-'=-+-=-………………………………………3分 由()0f x '>及0,0x a >>得01x <<由()0f x '<及0,0x a >>得1x >…………5分∴()f x 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)+∞ ………………………6分 (2)由(1)知()f x 在1(,1]2上单调递增,在[1,)+∞上单调递减, ∵()f x 在1(,)2+∞上有两个零点∴max 1()(1)1022f x f a a ==->⇒> …………………………………………8分 又2211111()1(1)(1)11022222f e ae a e a e a e a a e =-+-=--++-<-++-<∴()f x 在(1,)+∞上有且仅有一个零点 …………………………………………10分∴()f x 在1(,)2+∞上有两个零点的充要条件是()f x 在1(,1)2上有一个零点,即1()02f <,解得48ln 233a <+ ……………………………………………………………………………12分 综上知所求a 的范围为4(2,8ln 2)3+ ……………………………………………13分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中文科数学高考模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．如果复数)()2(Ra i ai ∈+的实部与虚部是互为相反数，则a 的值等于 A ．2 B ．1 C ．2- D ．1- 2．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线21//l l 的一个充分条件是A ．α//1l 且α//2lB ．α⊥1l 且α⊥2lC ．α//1l 且α⊄2lD ．α//1l 且α⊂2l 3．在等差数列}{n a 中，69327a a a -=+，n S 表示数列}{n a 的前n 项和，则=11SA ．18B ．99C ．198D ．2974．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是A ．π32B ．π16C ．π12D ．π85．已知点)43cos ,43(sinππP 落在角θ的终边上，且)2,0[πθ∈，则θ的值为 A ．4πB ．43πC ．45πD ．47π6．按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为A ．5i >B ．7i ≥C ．9i >D ．9i ≥7．若平面向量)2,1(-=与的夹角是︒180，且||=b A ．)6,3(- B ．)6,3(- C ．)3,6(- 8．若函数)(log )(b x x f a +=的大致图像如右图，其中则函数b a x g x+=)(的大致图像是A B C D9．设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和椭圆1222=+y x 的右准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．610．设()11xf x x +=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===L 则()2009=f xA ．1x -B ．xC ．11x x -+D ．11x x+-俯视图11. 等差数列{}n a 中，8776,S S S S ><，真命题有__________(写出所有满足条件的序号)①前七项递增，后面的项递减 ② 69S S <③1a 是最大项 ④7S 是n S 的最大项 A ．②④B ．①②④C ．②③④D ．①②③④12. 已知()f x 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，如果直线y x a =+与曲线()y f x =恰有两个交点，则实数a 的值为A ．0B ．2()k k Z ∈C ．122()4k k k Z -∈或 D ．122()4k k k Z +∈或 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。
13．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则=n 。
14．若关于x 的不等式2||20ax x a -+<的解集为∅，则实数a 的取值范围为 。
15．在ABC Rt ∆中，若a BC b AC C ===∠,,900，则ABC ∆外接圆半径222b a r +=。
运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R = 。
16. 在OAB V 中，O 为坐标原点，(1,cos ),(sin ,1),0,2A B πθθθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦。
⑴若,OA OB OA OB θ+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r则 ，⑵OAB ∆的面积最大值为 。
三、解答题：本大题6小题，满分74分。
17．（本小题满分12分）已知函数2()2cos cos()sin cos 6f x x x x x x π=--+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设]2,3[ππ-∈x ，求()f x 的值域．18．（本小题满分10分）先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子出现的点数．（Ⅰ）求点),(y x P 在直线1-=x y 上的概率； （Ⅱ）求点),(y x P 满足x y 42<的概率．19．（本小题满分13分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面 和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD . （Ⅰ）求证：⊥AF 平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（Ⅲ）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为ABCD F V -，CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:．20.（本题满分12分）已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，)(R x ∈在任意一点))(,(00x f x 处的切线的斜率为)1)(2(00+-=x x k 。
（1）求c b a ,,的值；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若)(x f y =在23≤≤-x 上的最小值为25，求)(x f y =在R 上的极大值。
21．（本题满分13分）如图，两条过原点O 的直线21,l l 分别与x 轴、y 轴成︒30的角，已知线段PQ 的长度为2，且点),(11y x P 在直线1l 上运动，点),(22y x Q 在直线2l 上运动． （Ⅰ）求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过定点)2,0(T 的直线l 与(Ⅰ)中的轨迹C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角,求直线l 的斜率k 的取值范围．22．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+n n n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的 值；若不存在，则说明理由.（Ⅲ）求证：21)1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a .2010年高中文科数学高考模拟试卷答案及评分标准一、ABBCD DABCD CC二、13．20. 14．)4+∞. 15．2222c b a ++． 16．8,23π. 三、解答题：本大题满分74分．17．解：（Ⅰ）∵2()cos sin )sin cos f x x x x x x x =++22sin )2sin cos x x x x =-+x x 2sin 2cos 3+=)32sin(2π+=x ．)(x f ∴的最小正周期为π．（Ⅱ）∵]2,3[ππ-∈x ，34323πππ≤+≤-∴x ， ………… 9分 又)32sin(2)(π+=x x f ，]2,3[)(-∈∴x f ，()f x 的值域为]2,3[-．18．解：（Ⅰ）每颗骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为3666=⨯个. 2分记“点),(y x P 在直线1-=x y 上”为事件A ，A 有5个基本事件：)}5,6(),4,5(),3,4(),2,3(),1,2{(=A ， .365)(=∴A P …… 5分（Ⅱ）记“点),(y x P 满足x y 42<”为事件B ，则事件B 有17个基本事件: 当1=x 时，;1=y 当2=x 时，2,1=y ； …………… 6分当3=x 时，3,2,1=y ；当4=x 时，;3,2,1=y ……………… 8分 当5=x 时，4,3,2,1=y ；当6=x 时，4,3,2,1=y ．.3617)(=∴B P………… 10分 19．（Ⅰ）证明： Θ平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面I ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ， ⊂AF Θ平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,又AB Θ为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，⊥∴AF 平面CBF 。
…………………… 5分（Ⅱ）设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 21，则MN //AO ，MNAO 为平行四边形，//OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，//OM ∴平面DAF 。
(Ⅲ)过点F 作AB FG ⊥于G ，Θ平面⊥ABCD 平面ABEF ，⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3231=⋅=∴-， ⊥CB Θ平面ABEF ，CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅==∴∆--31FG CB FG EF 612131=⋅⋅⋅=，ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ．20.（本小题满分12分）解：（1）c bx ax x f ++='23)(2（1分）而)(x f 在))(,(00x f x 处的切线斜率)1)(2(23)(000200+-=++='=x x c bx ax x f k∴ 2,12,13-=-==c b a ∴ 31=a ，21-=b ，2-=c （3分）（2）∵ d x x x x f +--=22131)(23由0)1)(2(2)(2≥+-=--='x x x x x f 知)(x f 在]1,(--∞和),2[+∞上是增函数 由0)1)(2()(≤+-='x x x f 知)(x f 在]2,1[-上为减函数（7分）（3）由)1)(2()(+-='x x x f 及23≤≤-x 可列表)(x f 在]2,3[-由d f +-=-215)3(，d f +-=310)2(知)2()3(f f <-（9分）于是25215)3(=+-=-d f 则10=d （11分）∴ 667)1()(=-=f x f 极大值 即所求函数)(x f 在R 上的极大值为667（12分）21.解：（Ⅰ）由已知得直线21l l ⊥，1l ：x y 33=， 2l ：x y 3-=， ……… 2分),(11y x P Θ在直线1l 上运动，),(22y x Q 直线2l 上运动，1133x y =∴,223x y -=， …………………… 3分 由2=PQ 得4)()(22222121=+++y x y x ，即44342221=+x x ，⇒132221=+x x ， …………………… 4分∴动点),(21x x M 的轨迹C 的方程为1322=+y x ． …………………… 5分（Ⅱ）直线l 方程为2+=kx y ，将其代入1322=+y x ， 化简得0912)31(22=+++kx x k ， ……… 7分设),(11y x A 、),(22y x B0)31(36)12(22>+⨯-=∆∴k k ，12>⇒k ，且221221319,3112k x x k kx x x +=+-=+， …………………… 9分 AOB ∠Θ为锐角，0>⋅∴OB OA ， 即02121>+y y x x ，⇒0)2)(2(2121>+++kx kx x x ，04)(2)1(21212>++++∴x x k x x k ．将221221319,3112k x x k kx x x +=+-=+代入上式， 化简得03131322>+-k k ，3132<⇒k ． …………………… 11分由12>k 且3132<k ，得339,1()1,339(Y --∈k ． ……………………13分 22．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+n n n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由.（Ⅲ）求证： 21)1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a .解：(Ⅰ)由题意可得：.0221=-++n n S a ①2≥n 时, .0221=-+-n n S a ② …………………… 1分①─②得()22102211≥=⇒=+-++n a a a a a n n n n n ，2122,12121=⇒=+=a a a a Θ …………………… 3分∴{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，.211-⎪⎭⎫⎝⎛=∴n n a ……………… 4分（Ⅱ）解法一:.2122112111--=--=n nn S Θ ……………… 5分 若⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n S 2λ为等差数列，则3322123,22,2λλλλλλ++++++S S S 成等差数列, ……………… 6分2,82547231492328252349312λλλλλλ+++=⎪⎭⎫⎝⎛+⇒+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+S S S 得.2=λ ……………… 8分又2=λ时，22222+=++n n S n n ，显然{}22+n 成等差数列，故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ成等差数列. ……………… 9分解法二: .2122112111--=--=n nn S Θ ……………… 5分 ().2122221221n n n n n n n n S -++=++-=++∴-λλλλλλ …………… 7分欲使⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+n n n S 2λλ成等差数列,只须02=-λ即2=λ便可. ……………8分故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ成等差数列. ……………… 9分（Ⅲ）=+++)1)(1(11k k a a Θ(21)121)(121(11k k k =++--+1211k )12111+-k …… 10分∑∑==+--+=++∴nk k nk kt k k a a 1111211()1)(1(2)12111+-k ………… 11分++-+=)1111211(Λ++-+)12111211(2-++1211(t )12111+-k ++-=1111211+k 21122-+=k k ………… 12分 又函数=+=122x x y 1211+x 在),1[∞+∈x 上为增函数，112212211<+≤+∴k k ， ………… 13分 211211222132-<-+≤-∴k k ，21)1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a ． ……… 14分向你推荐高考状元复习法：朱坤(北京大学光华管理学院学生，河南省高考文科状元)：数学是我最讨厌，也是最头疼的科目之一。