第课时 认识勾股定理
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《勾股定理第一节》课件
《勾股定理第一节》PPT 课件
欢迎来到《勾股定理第一节》的PPT课件！在这里，我们将深入了解勾股定理 的定义、历史、应用以及如何利用它解决几何问题。准备好迎接数学的奇妙 之旅了吗？
勾股定理的定义
1 直角三角形
在直角三角形中，勾股定理描述了三条边之间的关系，即c²= a²+ b²，其中c为斜边，a和b 为两条直角边。
2 广泛应用
勾股定理在现实世界中有广泛的应用，为我们解决实际问题提供了有力工具。
3 数学乐趣
通过深入研究勾股定理，我们不仅能够提升数学技巧，还可以享受数学的乐趣。
2 数学公式
勾股定理可以用数学公式表示为a²+ b²= c²，其中a、b、c分别代表直角三角形的三条边。
3 几何推理
通过勾股定理，我们能够得到直角三角形内角的相互关系，进而应用于解决各种几何问 题。
勾股定理的历史
古代秦国
勾股定理最早可以追溯到古代秦国，文献 中有记载了解决直角三角形的方法。
中国古代
中国古代数学家对勾股定理进行了独特的 研究，发现了更多的特性和应用。
古希腊
勾股定理的现代形式由古希腊数学家一并 提出，并以毕达哥拉斯之名命名。
欧洲文艺复兴
欧洲文艺复兴时期，勾股定理开始在欧洲 广为传播，并成为现代数学的基础。
勾股定理的应用
1
导航与测量
2Байду номын сангаас
勾股定理可以帮助我们在导航和
测量中确定距离和方向。
3
建筑设计
勾股定理在建筑设计中广泛应用， 例如测量直角墙角、设计稳固的 支撑结构等。
物理学
勾股定理在物理学中有广泛应用， 尤其是在力学、光学和电磁学等 领域。
利用勾股定理求解几何问题
欢迎来到《勾股定理第一节》的PPT课件！在这里，我们将深入了解勾股定理 的定义、历史、应用以及如何利用它解决几何问题。准备好迎接数学的奇妙 之旅了吗？
勾股定理的定义
1 直角三角形
在直角三角形中，勾股定理描述了三条边之间的关系，即c²= a²+ b²，其中c为斜边，a和b 为两条直角边。
2 广泛应用
勾股定理在现实世界中有广泛的应用，为我们解决实际问题提供了有力工具。
3 数学乐趣
通过深入研究勾股定理，我们不仅能够提升数学技巧，还可以享受数学的乐趣。
2 数学公式
勾股定理可以用数学公式表示为a²+ b²= c²，其中a、b、c分别代表直角三角形的三条边。
3 几何推理
通过勾股定理，我们能够得到直角三角形内角的相互关系，进而应用于解决各种几何问 题。
勾股定理的历史
古代秦国
勾股定理最早可以追溯到古代秦国，文献 中有记载了解决直角三角形的方法。
中国古代
中国古代数学家对勾股定理进行了独特的 研究，发现了更多的特性和应用。
古希腊
勾股定理的现代形式由古希腊数学家一并 提出，并以毕达哥拉斯之名命名。
欧洲文艺复兴
欧洲文艺复兴时期，勾股定理开始在欧洲 广为传播，并成为现代数学的基础。
勾股定理的应用
1
导航与测量
2Байду номын сангаас
勾股定理可以帮助我们在导航和
测量中确定距离和方向。
3
建筑设计
勾股定理在建筑设计中广泛应用， 例如测量直角墙角、设计稳固的 支撑结构等。
物理学
勾股定理在物理学中有广泛应用， 尤其是在力学、光学和电磁学等 领域。
利用勾股定理求解几何问题
1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理(教案)2022秋八年级上册初二数学北师大版(安徽)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和证明方法这两个重点。对于难点部分，我会通过构造图形和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际测量合作意识和表达交流素养，通过小组讨论和课堂分享，促进学生之间的交流与合作。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解勾股定理的概念及其表达形式：即直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这是本节课的核心内容，教师需通过直观的图形演示和实际操作，使学生深刻理解这一数学规律。
-掌握勾股定理的证明方法：通过不同的证明方法（如构造法、割补法、代数法等），让学生体会数学的严谨性和多样性，加强对定理的理解。
-灵活运用勾股定理解决问题：学生在解决问题时可能会出现对定理运用不灵活的情况，例如，无法将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题。
-掌握勾股定理的适用范围：学生需要明确勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形不适用。
举例：针对证明过程的难点，可以设计以下教学活动：
a.通过割补法证明勾股定理时，教师可以引导学生通过剪纸、拼接等实际操作，直观地感受证明过程，降低理解难度。
-应用勾股定理解决实际问题：将勾股定理应用于解决直角三角形边长计算等问题，使学生掌握定理在实际生活中的运用。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和证明方法这两个重点。对于难点部分，我会通过构造图形和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际测量合作意识和表达交流素养，通过小组讨论和课堂分享，促进学生之间的交流与合作。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解勾股定理的概念及其表达形式：即直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这是本节课的核心内容，教师需通过直观的图形演示和实际操作，使学生深刻理解这一数学规律。
-掌握勾股定理的证明方法：通过不同的证明方法（如构造法、割补法、代数法等），让学生体会数学的严谨性和多样性，加强对定理的理解。
-灵活运用勾股定理解决问题：学生在解决问题时可能会出现对定理运用不灵活的情况，例如，无法将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题。
-掌握勾股定理的适用范围：学生需要明确勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形不适用。
举例：针对证明过程的难点，可以设计以下教学活动：
a.通过割补法证明勾股定理时，教师可以引导学生通过剪纸、拼接等实际操作，直观地感受证明过程，降低理解难度。
-应用勾股定理解决实际问题：将勾股定理应用于解决直角三角形边长计算等问题，使学生掌握定理在实际生活中的运用。
《勾股定理》课件
《勾股定理》PPT课件
欢迎来到《勾股定理》PPT课件！跟随我一起探索这一古老而神奇的数学定理， 了解它的定义、历史、应用和证明方法。
什么是勾股定理
勾股定理是解决直角三角形边长关系的数学定理。它关联了三角形的三边， 为许多现实生活和科学领域提供了重要的应用基础。
勾股定理的历史发展
1
中国古代
古代中国数学家首次发现了勾股定理的特殊情形，应用于土地测量和农业。
于理解。
归纳法证明
利用归纳法和数学归纳原理，证明勾股定理 对于任意正整数的直角三角形都成立。
代数法证明
运用代数运算和平方差公式，将直角三角形 的边长代入公式，推导出勾股定理的等式。
勾股定理与形的关系
勾股定理与圆形密切相关，可推导出圆的周长、半径、直径等与直角三角形 边长之间的关系。
勾股定理的推广
勾股定理在直角三角形的应用
勾股定理可用于求解直角三角形的任一边长，或计算三角形的周长、面积和 角度，帮助解决实际问题，如建筑、航海和测绘。
勾股定理的证明方法
1
几何法证明
2
通过构图和几何推理，演示直角三角形中各 条边与角度之间的关系，从而证明勾股定理。
3
巧妙证明
4
介绍一些有趣的巧妙证明方法，如使用数学 图形和变换，让勾股定理变得更加直观和易
2
古希腊
古希腊数学家毕达哥拉斯将已知的勾股定理完善为通用公式，为后世的发展奠定 了基础。
3
现代
勾股定理在现代数学和科学领域扮演着重要角色，为三角学、几何学和物理学等 提供了关键工具。
勾股定理的定义
勾股定理表明在一个直角三角形中，三条边的长度满足a²+ b²= c²，其中c是斜边，a和b是两个直角边。
欢迎来到《勾股定理》PPT课件！跟随我一起探索这一古老而神奇的数学定理， 了解它的定义、历史、应用和证明方法。
什么是勾股定理
勾股定理是解决直角三角形边长关系的数学定理。它关联了三角形的三边， 为许多现实生活和科学领域提供了重要的应用基础。
勾股定理的历史发展
1
中国古代
古代中国数学家首次发现了勾股定理的特殊情形，应用于土地测量和农业。
于理解。
归纳法证明
利用归纳法和数学归纳原理，证明勾股定理 对于任意正整数的直角三角形都成立。
代数法证明
运用代数运算和平方差公式，将直角三角形 的边长代入公式，推导出勾股定理的等式。
勾股定理与形的关系
勾股定理与圆形密切相关，可推导出圆的周长、半径、直径等与直角三角形 边长之间的关系。
勾股定理的推广
勾股定理在直角三角形的应用
勾股定理可用于求解直角三角形的任一边长，或计算三角形的周长、面积和 角度，帮助解决实际问题，如建筑、航海和测绘。
勾股定理的证明方法
1
几何法证明
2
通过构图和几何推理，演示直角三角形中各 条边与角度之间的关系，从而证明勾股定理。
3
巧妙证明
4
介绍一些有趣的巧妙证明方法，如使用数学 图形和变换，让勾股定理变得更加直观和易
2
古希腊
古希腊数学家毕达哥拉斯将已知的勾股定理完善为通用公式，为后世的发展奠定 了基础。
3
现代
勾股定理在现代数学和科学领域扮演着重要角色，为三角学、几何学和物理学等 提供了关键工具。
勾股定理的定义
勾股定理表明在一个直角三角形中，三条边的长度满足a²+ b²= c²，其中c是斜边，a和b是两个直角边。
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
勾股定理课件
勾股定理课件
以下是一个关于勾股定理的课件内容例子：
标题：勾股定理
导言：勾股定理是数学中的重要定理，常用于解决直角三角形的问题。
本课件将介绍勾股定理的原理和应用。
一、勾股定理的定义
勾股定理又称毕达哥拉斯定理，指出：在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
二、勾股定理的表达式
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，根据勾
股定理，我们可以得到以下表达式：
a² + b² = c²
三、勾股定理的证明
勾股定理的证明有多种方法，这里我们介绍一种常见的证明方法——几何法证明。
四、勾股定理的应用
勾股定理在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：
1. 求解直角三角形的边长和角度；
2. 判断三条边长是否能构成直角三角形；
3. 解决与直角三角形相关的实际问题，如测量高度、投影距离等。
五、例题解析
通过几个实例题目的解析，让学生更好地理解勾股定理的应用。
六、小结
本课件通过介绍勾股定理的定义、表达式、证明和应用等内容，帮助学生掌握勾股定理的基本知识和应用方法。
参考资料：勾股定理教材、数学课本等。
注意：此课件仅为提供基本框架和内容示例，具体内容和形式可根据教学需要进行调整和补充。
1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张
正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
6.注重课后反思，让学生在反思中巩固所学知识，发现自己的不足，为下一节课的学习做好准备。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组图片，包括古代建筑、现代桥梁等，引导学生观察这些图形中的直角三角形，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们在数学中有什么特殊性质？”
2.学生观察后，教师总结直角三角形的定义，并引导学生回顾已知的直角三角形相关知识，为新课的学习做好铺垫。
5.针对教学难点，采取以下措施：
a.对勾股定理的证明过程进行详细讲解，通过画图、举例等方式，让学生在直观感知的基础上，理解证明的严密性。
b.专门安排一节课，让学生列举并分析勾股数的特点，总结规律，以便更好地辨识和应用勾股数。
c.结合实际情境，开展数学建模活动，让学生在小组内共同探讨、解决问题，提高他们的数学建模能力。
5.掌握勾股数的特点，能够辨识和列举出一组勾股数。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下方式来达成目标：
1.通过观察直角三角形的特性，引导学生发现勾股定理，培养观察力和逻辑思维能力。
2.通过小组合作，探究勾股定理的证明方法，提高合作意识和解决问题的能力。
3.通过数学问题的解答，培养学生将理论知识应用于实际情境的能力。
4.利用数形结合的方法，让学生在直观的图形中理解抽象的数学公式，提高形象思维和抽象思维的能力。
5.通过分析勾股数的特点，让学生总结规律，增强数学归纳和总结的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探究数学问题的热情。
2.使学生体会到数学知识与现实生活的紧密联系，增强学生的数学应用意识。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
一、教学目标
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组图片，包括古代建筑、现代桥梁等，引导学生观察这些图形中的直角三角形，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们在数学中有什么特殊性质？”
2.学生观察后，教师总结直角三角形的定义，并引导学生回顾已知的直角三角形相关知识，为新课的学习做好铺垫。
5.针对教学难点，采取以下措施：
a.对勾股定理的证明过程进行详细讲解，通过画图、举例等方式，让学生在直观感知的基础上，理解证明的严密性。
b.专门安排一节课，让学生列举并分析勾股数的特点，总结规律，以便更好地辨识和应用勾股数。
c.结合实际情境，开展数学建模活动，让学生在小组内共同探讨、解决问题，提高他们的数学建模能力。
5.掌握勾股数的特点，能够辨识和列举出一组勾股数。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下方式来达成目标：
1.通过观察直角三角形的特性，引导学生发现勾股定理，培养观察力和逻辑思维能力。
2.通过小组合作，探究勾股定理的证明方法，提高合作意识和解决问题的能力。
3.通过数学问题的解答，培养学生将理论知识应用于实际情境的能力。
4.利用数形结合的方法，让学生在直观的图形中理解抽象的数学公式，提高形象思维和抽象思维的能力。
5.通过分析勾股数的特点，让学生总结规律，增强数学归纳和总结的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探究数学问题的热情。
2.使学生体会到数学知识与现实生活的紧密联系，增强学生的数学应用意识。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
一、教学目标
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
17.1勾股定理(第1课时)课件(共23张PPT)
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
C A B 9 C A B 图2-2 4 9 4 18 8
图2-1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 4 3318 2
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
弦 勾
股
图1-1
漂亮的勾股树
活动 2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC 直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ A a B b
Sa+Sb=Sc
c
C
2 2 2 a +b =c
b
a
c b (a+b )2
证 明 二
a
c
c
1 = c 4 ab 2
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
b a
c
b
a
可得: a2 + b2 = c2
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 6 2
2
1 8（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
八上-第一章勾股定理
第一章勾股定理第1课时认识勾股定理1 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称弦·直角三角形三边之间的关系称为勾股定理。
2 勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2＋b2＝c2 。
预学感知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，AB＝6，则则BC的长为。
知识点一勾股定理的认识【例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．当a＝9，c＝41时，则b= 。
【名师点拔】由于∠ACB＝90°，则有a2＝c2，因而只需把已知数据代入相应字母，即可求出第三条线段的长。
知识点二勾股定理的简单运用【例2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于点D。
求：（1）AB的长；（2）CD的长。
【名师点拔】由于△．ABC为直角三角形，就可先由匀股定理理求出AB，再根据面积求出CD的长。
1．已知直角三角形中两条边长，要弄清哪条是斜边，哪条是直角边，不能确定时，要分类讨论；2．在直角三角形中求斜边上的高，一般是借助面积这个中间量，21ab=21ch 。
1．在Rt △ABC 中，两直角边长分别为10和24，则斜边长等于 （ ）A.25B.26C.27D.282．在Rt △ABC 中，斜边长BC ＝3，则AB 2＋AC 2＝ 。
3. 如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，则正方形A 的面积是 ，B 的面积是 。
4. 要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m ，顶端离地面12m ，则梯子的长度为 。
5. 如图，有两棵树，一棵高12m ，另一棵高6m ，两树相距8m ，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树梢，则小鸟至少飞行 m 。
6. 某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2h 后相距 海里。
北师大版初中八年级数学上册 1.1.1 认识勾股定理 课件(共20张PPT)
( 55 ) 25
30
( 34)
95 61
( 42 ) 18
60
200 ( 350)
150
总结归纳
C A
B
SA+SB=SC
ac b
ac b
a2+b2=c2
a2+b2=c2
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的 两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
导入新课
情境引入
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发 现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.
数学家毕达哥拉斯的故事
相传2005年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现 朋友家的用砖铺成的地面…
毕达哥拉斯就从地面上这十分常见的图形中，发现了令世人震惊的定理：
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三 角形和一个小正方 形.
补成大正方形，用大正 方形的面积减去四个直 角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小 正方形，图中两块红色 （或绿色）可拼成一个小 正方形.
填一填：观察右边两 幅图：完成下表（每 个小
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
怎样计 算正方 形C的面 积呢？
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
C A
B
SA+SB=SC
结论：以直角三角形两 直角边为边长的小正方 形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的 面积.
人教版勾股定理第一课时
12
பைடு நூலகம்
拼图证明
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为a，b， 斜边c）；
2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方
形
吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边长的正 方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
13
拼图证明
如何利用下图证明a2+b2=c2？
赵爽弦图
图1-1
图1-2
古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、
研究它的证明，新证法不断出现。目前世界上共有500
多种证明“勾股定理”的方法。其中包括大画家达·芬奇
18
和美国总统加菲尔德的证法。
勾股定理运用1
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
青 出
青 入
朱朱
朱 出出 方
朱朱入入 青入
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
青出
29
证法欣赏3
④
⑤
b
c
③
a
①②
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
长分别为a、b，斜边长为c，那么 a2 + b2 = c2
数学方法：1.观察—探索—猜想—验证—归纳—应用
2.“割补、拼接”法
பைடு நூலகம்
拼图证明
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为a，b， 斜边c）；
2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方
形
吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边长的正 方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
13
拼图证明
如何利用下图证明a2+b2=c2？
赵爽弦图
图1-1
图1-2
古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、
研究它的证明，新证法不断出现。目前世界上共有500
多种证明“勾股定理”的方法。其中包括大画家达·芬奇
18
和美国总统加菲尔德的证法。
勾股定理运用1
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
青 出
青 入
朱朱
朱 出出 方
朱朱入入 青入
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
青出
29
证法欣赏3
④
⑤
b
c
③
a
①②
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
长分别为a、b，斜边长为c，那么 a2 + b2 = c2
数学方法：1.观察—探索—猜想—验证—归纳—应用
2.“割补、拼接”法
17.1第1课时勾股定理及验证
图 17－1－13
第1课时 勾股定理及验证
解：证明：连接 DB，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF＝b－a. 1 1 ∵S 五边形 ACBED＝S 梯形 ACBE＋S△AED＝ (a＋b)b＋ ab， 2 2 1 1 2 1 又∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ADB＋S△BED＝ ab＋ c ＋ a(b－a)， 2 2 2 1 1 1 1 2 1 ∴ (a＋b)b＋ ab＝ ab＋ c ＋ a(b－a)， 2 2 2 2 2 ∴a2＋b2＝c2.
第1课时 勾股定理及验证
C拓广探究创新练
15．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其 中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角 三角形如图 17－1－12 或图 17－1－13 摆放时， 都可以用“面积法” 来证明．下面是小聪利用图 17－1－12 证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图 17－1－12 所示的方式摆放，其中 ∠DAB＝90° ，求证：a ＋b ＝c .
第1课时 勾股定理及验证
14．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的 一种新的证明方法． 如图 17－1－11 所示， 火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到四边形 AB′C′D′的位置，连接 CC′，AC′，AC，设 AB＝a， BC＝b，AC＝c，请利用四边形 BCC′D′的面积验证勾股定理： a2 ＋b ＝c .
图17－1－7
第1课时 勾股定理及验证
10．[2018· 凉山州] 如图 17－1－8，数轴上点 A 对应的数为 2， AB⊥OA 于点 A，且 AB＝1，以 O 为圆心，OB 长为半径作弧， 交数轴于点 C，则 OC 的长为( D ) A．3 B. 2 C. 3 D. 5
17-1第1课时 勾股定理(共42张ppt)2022-2023学年八年级下学期数学人教版
C C. 49 D. 148
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
初中八年级数学课件 1.1 第1课时 认识勾股定理
度（口答）：
100
225 x
17
? 15
已知直角三角形两边， 求第三边.
二 利用勾股定理进行计算
例 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.由勾股定
理得:
152+ x2 =172，x2=172-152=289–225=64，
解得 x=±8（负值舍去），
想一 想
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b
和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？根据
前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？
C
A ac b
B
C
A ac b
B
a2+b2=c2
（2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三 角形，并测量斜边的长度. （1）中的规律对这
个三角形仍然成立吗？
要点归 纳
故直角三所).
积是:
2
当堂练习
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方
形的面36积
为 cm²
.
8
cm
10 cm
2.判断题.
①△RtABC的两直角边AB=5,AC=12,则斜边√
BC=13 ( )
△ABC的两边a=6,b=8,则c=10 (
② )
分割为四 个直角三 角形和一 个小正方 形.
补成大正方 形，用大正 方形的面积 减去四个直 角三角形的 面积.
将几个小块拼成 若干个小正方形， 图中两块红色 （或绿色）可拼 成一个小正方形.
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
100
225 x
17
? 15
已知直角三角形两边， 求第三边.
二 利用勾股定理进行计算
例 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.由勾股定
理得:
152+ x2 =172，x2=172-152=289–225=64，
解得 x=±8（负值舍去），
想一 想
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b
和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？根据
前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？
C
A ac b
B
C
A ac b
B
a2+b2=c2
（2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三 角形，并测量斜边的长度. （1）中的规律对这
个三角形仍然成立吗？
要点归 纳
故直角三所).
积是:
2
当堂练习
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方
形的面36积
为 cm²
.
8
cm
10 cm
2.判断题.
①△RtABC的两直角边AB=5,AC=12,则斜边√
BC=13 ( )
△ABC的两边a=6,b=8,则c=10 (
② )
分割为四 个直角三 角形和一 个小正方 形.
补成大正方 形，用大正 方形的面积 减去四个直 角三角形的 面积.
将几个小块拼成 若干个小正方形， 图中两块红色 （或绿色）可拼 成一个小正方形.
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
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第一章勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时认识勾股定理
1．若△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=5，b=12，则c= ；
（2）若a=6，c=10，则b= ；
（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .
2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为.
3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为.
4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.
A．30 cm2
B．130 cm2
C．120 cm2
D．60 cm2
5．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，
由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.
6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？
7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，
若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.
F
C。