“双星”问题及天体的追及相遇问题

“双星”问题及天体的追及相遇问题

一、双星问题

1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、

周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2

推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2

L2

＝m1ω2r1①

Gm1m2

L2

＝m2ω2r2②由①＋②得：

G m1＋m2

L2

＝ω2L ∴m1＋m2＝

ω2L3

G

4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”

(1)“两等”: ①它们的角速度相等。②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型

(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．

(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．

②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．

三、卫星的追及相遇问题

1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：

内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

2、某星体的两颗卫星从相距最近到相距最远遵从的规律：

内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的奇数倍。

3、对于天体追及问题的处理思路：

(1)根据GMm

r2

＝mrω2，可判断出谁的角速度大；

(2)根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于π的奇数倍。

在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。

题型一双星规律的应用

【例题】2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射硬X 射线调制望远镜卫星“慧眼”。“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国国X 射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的超越。“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等致密天体和爆发现象。在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为L ，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为T ，引力常量为G ，则双黑洞总质量为（）

A. 2324L GT π

B. 23243L GT π

C. 3224GL T π

D. 232

4T GL

π 【答案】A

【解析】对双黑洞中的任一黑洞：2121122m m G m r L T π⎛⎫= ⎪⎝⎭得2

212

2m G r L T π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 对另一黑洞：2122222m m G m r L T π⎛⎫

= ⎪⎝⎭得2

122

2m G r L T π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 又12r r L +=联立可得：2

2

21122222m m G G r r L L T T ππ⎛⎫⎛⎫

+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

则()()2

21122

2m m G r r L T π+⎛⎫=

+ ⎪⎝⎭即2

2

2M G L L T π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

双黑洞总质量23

2

4L M GT

π=。故A 项正确。 点睛：双星模型与卫星模型是万有引力部分的典型模型，要能熟练应用。

【类题训练1】引力波现在终于被人们用实验证实，爱因斯坦的预言成为科学真理．早在70年代有科学家发现高速转动的双星，可能由于辐射引力波而使质量缓慢变小，观测到周期在缓慢减小，则该双星间的距离将（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变

D. 可能变大也可能变小 【答案】B

【解析】:双星靠相互间的万有引力提供向心力,有:

2

12122

m m G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭

2

12222m m G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭

计算得出231224r m m GT π+= ,计算得出()

23124r T G m m π=+

【类题训练2】因为双星的总质量减小,周期减小,可以知道双星间距离在减小. 所以B 选项是正确的.

若某双星系统A 和B 各自绕其连线上的O 点做匀速圆周运动。已知A 星和B 星的质量分别为m 1和m 2，相距为d ，下列说法正确的是（ ）

A. A 星的轨道半径为

1

12

m d m m +

B. A 星和B 星的线速度之比为m 1：m 2

C. 若A 星所受B 星的引力可等效为位于O 点处质量为m '的星体对它的引力，则()

3

22

12'm m m m =

+

D. 若在O 点放一个质点，它受到的合力一定为零 【答案】C

【解析】试题分析：双星系统是一个稳定的结构，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，角速度相等，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解．

双星系统中两个星体做圆周运动的周期相同，即角速度相同，过程中，两者之间的引力充当向心力，故

22

121112222

m m G

m r m r d ωω==，又知道12r r d +=，解得2112m r d m m =+，1112

m r d m m =+，A 错误；两者的角速度相同，故有

1212v v r r =，即112221v r m v r m ==，B 错误；A 星受到的引力为122m m

F G d

=，放在O 点的星体对其的引力为