天津市和平区2020届高三下学期第一次质量调查数学试卷及答案解析

天津市和平区2020届高三下学期第一次质量调查数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设全集}33,I x x x Z =-<<∈，{}1,2A =，{}2,0,2B =-，则()I A C B =( )A.{}1B.{}1,1,2-C.{}2D.{}0,1,22.“3k παπ=+（k Z ∈）”是“tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =（ ）A.4B.5C.2D.34.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()22:20C y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，若双曲线C 的离心率为2，AOB ，O 为坐标原点，则抛物线2C 的焦点坐标为（ ）.A.)B.()1,0C.,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为( )A.13B.12C.23D.346.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A.函数()f x 的最小正周期是2π B.函数()f x 在区间5[,]88ππ上是减函数C.函数()f x 的图象关于16x π=对称D.函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 7.函数f(x)是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1,x 2,(x 1<x 2)，都有f(x 1)x1>f(x 2)x 2，记a =25f(0.22)，b =f(1)，c =−log 53f(log 135)，则a,b,c 大小关系为（ ） A. c>b >a B. b >c >a C. a >b >c D. a >c >b8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（ ） A.378B.306C.268D.1989.已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且60,POQ AB ∠=是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+（R λ∈），则CA CB ⋅的最小值为（ ） A.-1B.-2C.-3D.-4第II 卷（非选择题）二、新添加的题型10.若0x >,0y >,且224log 3log 9log 81x y+=,则此时2x y +=__,233x y x y++的最小值为__．11.已知函数()[]()()11,2,022,0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()3log 2563f =_______；若方程()f x x a =+在区间[]2,4-有三个不等实根，则实数1a的取值范围为______.三、填空题12.已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则2020||1a ii+=+__．13.若8(x +的展开式中4x 的系数为448-，则实数a =__．14.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为__．15.函数()ln f x x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________.四、解答题、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，(cos cos )0C a B b A c ++=．（1）求角C 的大小；（2）若a =2b =．求：（ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．17.如图所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（Ⅰ）求证：//AF 平面CDE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，左、右焦点分别为12,F F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 与,M N 两个不同的点，记2QF M △的面积为1S ，2OF N △的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值.19.数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和*()n S n N ∈，{}n b 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为*():n T n N ∈ （ⅰ）求n T ；（ⅱ）若11312()n n n n n n T b b c b b +++++-=，记1n n n n R C ==∑，求n R 的取值范围．20.已知函数()xax b f x e x+＝，a ，b R ∈，且0a >. （1）若函数()f x 在1x =-处取得极值1e，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数()f x 的单调区间；（3）设()()()1xg x a x e f x -=-，()g x '为()g x 的导函数.若存在()01,x ∈∞＋，使()()000g x g x '+=成立，求ba的取值范围.参考答案1.B【解析】1.先利用补集运算求出I C B ，即可根据并集运算求出()I AC B ．因为{}{}33,2,1,0,1,2I x x x Z =-<<∈=--，所以{}1,1I C B =-， 故()I AC B ={}1,1,2-．故选：B ． 2.C【解析】2.分别从充分性和必要性入手进行分析，最后作出判断即可. 充分性：当3k παπ=+（k Z ∈）时，66k ππαπ-=+（k Z ∈），所以tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，充分性成立； 必要性：由tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得66k ππαπ-=+（k Z ∈），即3k παπ=+（k Z ∈），必要性成立；所以“3k παπ=+（k Z ∈）”是“tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的充分必要条件.故选：C . 3.C【解析】3.根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得()0g x 的值. 函数()ln 4f x x x =+-在(0,)+∞递增， 且(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->， 所以函数()f x 存在唯一的零点0(2,3)x ∈， 故()02g x =， 故选：C.4.B【解析】4.求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB ∆p 的值，可得所求焦点坐标．双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线方程是b y x a =±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-， 故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±， 又由双曲线的离心率为2，所以2c a =2=，则b a = A ，B两点的纵坐标分别是=y ， 又AOB ∆=，得2p =，所以抛物线2C 的焦点坐标为(1,0)， 故选： B 5.B【解析】5.由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x ＝1，解得x ＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝29212C C ＝611，P(ξ＝1)＝1139212C C C ⋅＝922，P(ξ＝2)＝23212C C ＝122，∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.选B.6.B【解析】6.先将()2221fx sin x sin x =-+化简为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再逐个选项判断即可．2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为16f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则()fx 的图象不关于直线16x π=对称，结论错误；D 选项，设()g x x ，则()2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误．故选：B 7.C【解析】7. 构造函数g(x)=f(x)x，则函数g(x)单调递减，且a= g (0.22)，b = g (1)，c =g (log 35)，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可.构造函数g(x)=f(x)x，则函数g(x)单调递减，a =25f(0.22) =f(0.22)0.2=g (0.22)，b =f(1) =f (1)1=g (1)，c =−log 53f(log 135) =f (log 35)log 35=g (log 35)，∵0.22<1<log 35，∴a >b >c .故选：C . 8.D【解析】8.分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可. 解：分两种情况讨论.①若选两个国内媒体一个国外媒体,有21263290C C A 种不同提问方式；②若选两个外国媒体一个国内媒体,有123633108C C A 种不同提问方式. 所以共有90108198种提问方式. 故选：D 9.C【解析】9.根据向量的运算法和向量的数量积的运算，得到224[(1)]4CA CB CO OP OQ λλ⋅=-=-+-2134[3()]24λ=--,结合二次函数的性质，即可求解.因为2()()()CA CB CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅, 由于圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径， 所以0OA OB +=，22(1)4OA OB ⋅=⨯⨯-=-，又60POQ ∠=，所以224[(1)]4CA CB CO OP OQ λλ⋅=-=-+-()()2222121?4OP OP OQ OQ λλλλ=-+-+-222134(331)44(33)4[3()]24λλλλλ=-+-=-=--,所以当12λ=时，2133[3()]244λ--=-，所以CA CB ⋅的最小值为34()34⨯-=-. 故选：C. 10.223+【解析】10.(1)由对数运算和换底公式,求得x y 、的关系为22x y +=即可. (2)根据22x y +=化简232233x y y x x y x y++=++,再利用基本不等式求最小值即可. (1)因为0x >,0y >,224log 3log 9log 81x y+=,所以()224222222log 33log3log 3log 3x yx y +⇒=⨯=,所以22x y +=.(2)因为22x y +=,故2323222333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+2=+ 当且仅当23y x x y =,22x y +=,即62x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩时取等号.所以最小值为2+故答案为：2；2+ 11.81 {}11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】11.（1）利用分段函数解析式求出()3f ，再根据对数、指数的运算法则计算可得. （2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数1a的取值范围. 解：由[]()11,2,0()2(2),0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩， 则()()()()()()3232212212414104f f f f f =-==⨯-=-=⨯-=， 所以()34log 256log 256433381f ===.作出函数()f x 在区间[]2,4-上的图象，如图所示，设y x a =+，由图象可知要使方程()f x x a =+在区间[]2,4-有3个不等实根， 则直线y x a =+应位于1l 与2l 之间或直线3l 的位置， 所以实数a 的取值范围为20a -<<或1a =. 所以，112a <-或11a=， 故答案为：81；{}11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】12.利用纯虚数的定义、复数的运算法及复数模的公式即可得到答案. 解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-，所以20201|||1|1i i i +=-=+. 13.﹣2【解析】13.写出展开式通项公式，令x 的指数为4，求得4x 的项数，得其系数，由系数为－448可得a ．由题意展开式通项公式为4883188r rrr r rr T C xa C x --+==，令4843r -=，3r =，∴4x 系数为338448a C =-，解得2a =-．故答案为：2-．14.【解析】14.过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆，在此平面图形中求得半球的半径后可得体积， 过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆O ，矩形11AAC C 是正方体对角面，O 是11A C 中点，设正方体棱长为a ，则38a =，2a =，由图知球半径为OC ==，半球体积为332233V OC ππ=⋅=⨯=．故答案为：．15.6-或2.【解析】15.由题可知切线的斜率()11k f '==，又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-.圆心到切线的距离d =，则22213+=，求出实数a 的值.因为()ln f x x x a =+，所以()1ln f x x '=+代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率()11k f '==.又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，所以函数()ln f x x x a =+的图象 在1x =处的切线方程为1y x a =+-.又因为圆22:2440C x y x y +-+-=，圆心坐标为()1,2-，半径为3，所以圆心到切线的距离d =. 因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则22213+=，解得实数a 的值是6-或2. 故答案为：6-或2.16.（1）34C π=； （2）（ⅰ）c =ii ）sin(2)B C -=【解析】16.（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得角C 的大小. （2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边c ； （ⅱ）由两角差的正弦公式求得sin(2)B C -的值.解：（1(sin cos sin cos )sin 0C A B B A C ++=∴sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-，0C π<<， ∴34C π=（2）（ⅰ）因为2a b =，34C π=，由余弦定理得2222cos 2422(10c a b ab C =+-=+-⨯=，∴c =（ⅱ）由sin sin sin 5c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以cos 5B =4sin 22555B =⨯=，223cos 2cos sin 5B B B =-=，43sin(2)sin 2cos cos2sin (55B C B C B C -=-=⨯-=17.（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4π【解析】17.证明DC ⊥平面BCEF ，以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，（Ⅰ）CB 为平面CDE 的一个法向量，证明AF 平面CDE ，只需证明·0AF CB =;（Ⅱ）求出平面ADE 的一个法向量、平面BCEF 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求出平面ADE 一个法向量为()()10,1,1,2,2,0n EF ==-，利用向量的夹角公式，即可求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值.（Ⅰ）证明：四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，BC CE ∴⊥，BC CD ⊥，又平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD平面BCEF BC =，DC CE ∴⊥DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意,得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(20,0)B ，，(00,0)C ，，(00,4)D ，，(04,0)E ，，(22,0)F ， 则(0,2,4)AF =-，(20,0)CB =，． BC CD ⊥，BC CE ⊥， ∴CB 为平面CDE 的一个法向量．又·0AF CB =．AF ⊂/平面CDE ． //AF ∴平面CDE ．（Ⅱ）设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =， 则(20,0)AD =-，，(044)DE =-，，， ·20·440AD n x DE n y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩得(01,1)n =， DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则cos =4n CD n CDα⋅==⨯⋅因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为4π． （Ⅲ）根据（Ⅱ）知平面ADE 一个法向量为 得(01,1)n=， (2,2,0)EF =-，设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则1111sin cos ,2222EF n EF nEF n θ=〈〉===cos θ∴==因此，直线EF 与平面ADE 18.（1）22142x y +=；（2.【解析】18.（1）由离心率可得222a b =，再根据条件求出b =a ，写出椭圆方程；（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，直线OQ x my =：，则直线MN x my=+：，联立椭圆方程，根据弦长公式求出()22412m MN m +=+，再求出点O 到直线MN 的距离d =，即可表达出OMN 的面积，进而求出最大值.（1）由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===，即222a b =，又以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆为222x y b +=，且与直线20x y -+=相切，所以b ==2224a b ==，故椭圆C 的标准方程为22142x y+=.（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，直线OQ x my =：， 则直线MN x my =：由22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22220m y ++-=，1222y y m +=-+，12222y y m=-+. ∴22MN y y =-∣==()22412m m +=+ ， 因为MN OQ ∥，所以2QF M △的面积等于2OF M △的面积，12OMNS S S S =+=，因为点O到直线MN x my =+：d =，所以()224111222m S MN d m +=⋅=⨯=+∣∣t =，则()2211m t t =-≥，211S t t t==++，因为12t t +≥=，当且仅当1t t =，即1t =时，也即0m =时取等号，所以当0m =时，S. 19.（Ⅰ）12n n a =；1n b n =-；（Ⅱ）（i ）112n nT n =-+；（ii ）3[8，1)2．【解析】19.（Ⅰ）由等比数列的定义求得公比q ，得通项公式n a ，再由等差数列的定义求得1b 和d ，得n b ；（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列前n 项和公式求得n S ，由分组求和法求得n T ，（ⅱ）求得n c 后，用裂项相消法求得n R ，结合函数性质可得取值范围． 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为112a =，32114a a =+，可得121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得21120q q --=， 解得1q =-（舍)或 12q =，所以数列{}n a 通项公式为12n n a =． 设数列{}n b 的公差为d ，因为3461a b b =+，45712a b b =+，即1128831616b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得10b =，1d =，所以数列{}n b 的通项公式为1n b n =-；（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前n 项和公式可得11(1)12211212n n nS -==--，所以211111(111)()(1)122222n n n n T n n =++⋯+-++⋯+=--=-+；（ⅱ）由（ⅰ）可得111311121()(2)()(2)112(1)(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n T b b n c b b n n n n n n +++++++++-+-+====-+++， 所以{}n c 的前n 项和122231*********()()()122222322(1)22(1)2n n n n n R c c c n n n ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-++．又n R 在*n N ∈上是递增的，∴13182n R R =<． 所以n R 的取值范围为3[8，1)2．20.（1）()()210x x f x e x x +=≠；（2）调递增区间是(),1-∞-，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间是()1,0-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）()1,-+∞.【解析】20.（1）先求导函数，再由函数()f x 在1x =-处取得极值1e ，得1(1)(1)0f e f ⎧-=⎪⎨⎪'-=⎩，代入求解参数a ，b ，（2）由（1）可得()f x ，再求出函数的导函数，利用令()0f x '和()0f x '<求解函数的单调区间；（3）将()f x 代入()g x 化简，再求()g x '，然后得00()()g x g x +'，令其为0，得2(23)21b x x a x -=-，令2(23)()21x x h x x -=-，则问题转化为求()h x 在区间(1,)-+∞上的值域，利用导数求解．解：（1）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞.()22xax bx b f x e x +-'=，由题知()()1011f f e ⎧-=⎪⎨-'=⎪⎩即()()112011a b e a b e e --⎧-=⎪⎨-+⋅=⎪-⎩解得2a =，1b =，所以函数()()210xx f x e x x+=≠. （2）()()()2212121x xx x x x f x e e x x +-+-'=⋅=⋅ 令()0f x '>得1x <-或12x >， 令()0f x '<得10x -<<或102x <<. 所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞-，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减区间是()1,0-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）()2x b g x ax a e x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()0a >()2x b b g x ax a e x x ⎛⎫'∴=+-- ⎪⎝⎭22221()()23(23)x x xxxxe e x g x g x axe ae b e ax a b x x --∴+'=--=--，由条件存在0(1,)x ∈+∞，使00()()0g x g x +'=成立，得22230x xxxxe e axe ae bx ---=，对(1,)x ∈+∞成立，又0x e >221230x ax a bx-∴--=对(1,)x ∈+∞成立， 化简得2(23)21b x x a x -=-，令2(23)()21x x h x x -=-，则问题转化为求()h x 在区间(1,)+∞上的值域，求导得222(463)()(21)x x x h x x -+'=-，令2463y x x =-+，为二次函数，图象开口向上，△120=-<，则24630x x -+>，又0x >，则()0h x '>，()h x 在区间(1,)+∞上单调递增，值域为(1,)-+∞，b a 的取值范围是(1,)-+∞．所以。