华师大概率论第6章

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2019年数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章.doc

第六章微分中值定理及其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________。

2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。

3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________。

4．设2442-+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为___________。

5．=-+→x e x xx 10)1(lim ___________。

6．设)4)(1()(2--=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根，它们分别位于________ 区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ；9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______，极大值是_______。

12．设x xe x f =)(，则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________。

13．已知bx ax x x f ++=23)(，在1=x 处取得极小值2-，则=a _______，=b_____。

14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则=k________。

15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值，则=∞→n n M lim ___________。

16．设)(x f 在0x 可导，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______，最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小。

第六章概率论初步 (上)

了解即可在每次试验中它总是发生
第
事件A发生必然导致事件B发生，称为事
六
件B包含事件A，或称事件A包含事件B
章
第
一
事件包含与相等
了解即可
概
节
率
随
论
机事
初
件
和事件事件“A、B中至少有一个发生”为事件A 与事件B的和事件，也称A与B的并，记作
了解即可
步
积事件事件“A，B同时发生”为事件A与事
(上)
随机试验和样本空间样本空间了解即可样本点的全体构成的集合
随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，记作
了解即可
பைடு நூலகம்
事件
随机了解即可试验E所对应的样本空间Ω的子集事件基本事件的概了解即可样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}也是一种随机事件
念必然事件样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，
2016填13
交换律
运算律
了解即可
结合律分配律
对偶律
关系图形
了解即可
件B的积事件，也称A与B的交，记作
了解即可
差事件事件“A发生而B不发生”为了解即可事件A与事件B的差事件，记作
互不相容（或互斥）
了解即可
事件A与事件B不能同时发生，即
事件“B不发生”
随机对立事件为事件B的对立事件
事件
（或余事件/逆事
了解即可
的关
件），记作
系与
运算
A∪B=Ω，A∩B=Φ，则A与B 互为对立事件

概率论与数理统计教程华东师大课件

概率论与数理统计教程华东师大课件目录一、课程概述 (2)1. 课程简介 (3)2. 教学目标 (4)3. 课程设置 (4)二、概率论基础 (5)1. 随机事件与概率 (7)1.1 随机事件 (8)1.2 概率概念 (9)2. 随机变量与分布 (10)2.1 随机变量 (11)2.2 概率分布 (12)3. 数字特征与期望 (13)3.1 数学期望 (14)3.2 方差与标准差 (15)三、数理统计基础 (16)1. 统计量与抽样分布 (17)1.1 统计量概念 (18)1.2 抽样分布概述 (20)2. 参数估计与假设检验 (21)2.1 参数估计方法 (21)2.2 假设检验原理与应用 (23)3. 方差分析与回归分析 (24)3.1 单因素方差分析 (25)3.2 回归分析概述与应用实例 (26)四、概率论与数理统计应用实例解析 (27)1. 实际问题中概率模型构建方法论述 (28)2. 典型案例分析与解题思路分享 (30)一、课程概述概率论与数理统计是一门研究随机现象规律的数学基础课程，它对于培养我们的科学素养、提高分析和解决问题的能力具有重要意义。

本教程主要面向华东师范大学的本科生，旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、基本原理和方法，培养学生运用概率论与数理统计解决实际问题的能力。

本教程共分为五部分：概率论基础、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、大数定律及中心极限定理、统计推断。

在教学过程中，我们将结合典型的例子和实际问题，引导学生理解和掌握概率论与数理统计的基本知识。

第一部分概率论基础主要包括概率的基本概念、条件概率、独立性、贝叶斯公式等内容；第二部分随机变量及其分布主要介绍离散型随机变量及其分布律、连续性随机变量及其概率密度函数、期望与方差等内容；第三部分多维随机变量及其分布主要讲解多元正态分布、多元伯努利分布等内容；第四部分大数定律及中心极限定理主要讲述大数定律的基本思想、中心极限定理的应用等内容；第五部分统计推断主要涉及假设检验、置信区间、回归分析等内容。

概率论与数理统计A第6章-文档资料

1 n 2 S ( X X ) i n 1 i 1
样本标准差
样本k阶原点矩
1 k A Xi k=1,2,… k n i1
样本k阶中心矩
n
它反映了总体k 阶矩的信息
1 k M (X X ) k i ni 1
n
它反映了总体k 阶中心矩的信息
统计量的观察值
1n x xi; n i1
2
tx 1 ( x ) e t dt , x 0 0
2

来定义.
1 2 2 (1 )就是 , 2 分布 . 由定义 X ~ (1 ), 注已知 i 2 n 1 n 2 2 2 即 Xi ~ 可加性知 Xi ~ ,2.再由 ,2. i 1 2 2
x 是一个样本的观察值 , 则 g ( x ,x , x ) 也是统 n 1 2 n
几个常见统计量
它反映了 1 n 样本平均值总体均值 X Xi n i 1 的信息 n 1 2 2 样本方差 S (X X ) i n 1i 1 它反映了总体方差的信息
1 n 2 2 X n X i n 1 i 1
这就是矩估计法的理论根据 .
经验分布函数
设 X ,X , ,X 是总体 F 的一个样本， s ( x )x 1 2 n
表示 x ,x , ,x 中不大于 x 的随机变量的 . 1 2 n
定义经验分布函数为
1 F (x ) s (x ) x n n 例设总体 F 具有一个样本值 1 ， 1 ， 2 ，则经验分布函
顺序统计量
极差: 最直接也是最简单的方法，即最大值－最小值（也就是极差）来评价一组数据的离散度。

概率练习题_概率自测题第六章答案

第六章一、填空题 1． 0； 2．21； 3． )](1[)](1[1z F z F Y X -⋅--。

二、计算题1．解：由X故和2．解：解：由),(Y X 的联合分布律可有),max(Y X123223333从而得到 ⑴⑵⑶3．解：因X 服从]1,0[上均匀分布，故⎩⎨⎧<<=,0,101)(其它x x f解法一：分布函数法由分布函数的定义，对于任意实数y ，)(y F Y }{y Y P ≤=}13{y X P ≤+=.当1≤y 时，)(y F Y }113{≤+=X P 0=；当1>y 时，)(y F Y }13{y X P ≤+=}31{-≤=y X P ⎰-∞-=31)(y X dx x f⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-==⎰⎰-.4,11,41,3)1(11031y dx y y dx y .综上，)(y F Y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=.4,1,41,3)1(,1,0y y y y 故13+=X Y 的密度函数为)(y f Y )(y F Y '=⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,41,31其它y解法二：公式法因13+=x y 单调处处可导，其反函数为31)(-==y y h x ，且31|)(|||='='y h x ，则由公式(2.6)有，)(y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<=⋅=.,0,41,31311其它y4．解：因为X 服从参数1=λ的指数分布，故⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(x x e x f x 解法一：分布函数法由分布函数的定义，对于任意实数y ，)(y F Y }{y Y P ≤=}{y e P X ≤=.当1≤y 时，)(y F Y }{y e P X ≤=0=；当1>y 时，)(y F Y }{y e P X≤=}ln {y X P ≤=⎰∞-=y X dx x f ln )(ydx e y x 11ln 0-==⎰- 综上，)(y F Y ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=.1,11,1,0y yy故X e Y =的密度函数为)(y f Y )(y F Y '=⎪⎩⎪⎨⎧>=.,0,1,12其它y y解法二：公式法因x e y =单调处处可导，其反函数为y y h x ln )(== ，且|1||)(|||yy h x ='='，则由公式(2.6)有，)(y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅=-.,0,1,112ln 其它y yy ey5．因X 与Y 是相互独立的随机变量，故),(Y X 的联合密度函数为=),(y x f )(x f X )(y f Y ⎩⎨⎧>≤≤=-,,0,0,10,其它y x e y⑴ }{X Y P <110][--==⎰⎰e dx dy e xy⑵对任意的实数z ，)(z F Z }{z Y X P ≤+=⎰⎰≤+=zy x dxdy y x f ),(，当0≤z 时，0),(=y x f ，0)(=z F Z ；当0>z 时，)(z F Z }{z Y X P ≤+=⎰⎰≤+=zy x dxdy y x f ),(⎪⎩⎪⎨⎧≥-+=<<+-==------⎰⎰⎰⎰.1),1(1,10,101000z e e dy e dx z e z dy e dx zxz y z x z y z综上,可得Z 的分布函数为)(z F Z ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<<+-≤=--.1),1(1,10,1,0,0z e e z e z z z z 再对其求导，得Z 的密度函数为=)(z f Z ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤=--.1),1(,10,1,0,0z e e z e z z z 6．解：⑴ 由1}0{==XY P ，有0}0{=≠XY P ，故}1,1{=-=Y X P 0}1,1{====Y X P ，由于}1{-=X P }1,1{}0,1{=-=+=-==Y X P Y X P }0,1{=-==Y X P于是41}1{}0,1{=-===-=X P Y X P ，同理 41}1{}1,1{}0,1{}0,1{=====+=====X P Y X P Y X P Y X P 21}1{}1,1{}1,0{}1,1{}1,0{=====+==+=-====Y P Y X P Y X P Y X P Y X P })0,1{}1,0{}0,1{(1}0,0{==+==+=-=-===Y X P Y X P Y X P Y X P0)412141(1=++-=所以),(Y X 的联合分布律为⑵取)(YX的可能取值)0,0(，由于,P=YXXP，=YP(=}0{}0≠{=,0)0所以X与Y不独立.。

华东师大版数学九年级上册概率及其意义精品课件PPT

2
（2）设应加x个红球，得：
2 1, 5 x 6
5
解得 x=7.
答：应往纸箱内加放7个红球.
华东师大版数学九年级上册-25.2 概率及其意义课件
华东师大版数学九年级上册-25.2 概率及其意义课件
拓展提升
2、甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着200个
红球、80个黑球和10个白球。三种球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都已经各自搅匀，从袋中任取一球，如果你想取出一个黑球，选哪个袋子成功的机会大？
•
4、让学生有个整体感知的过程。虽然这节课只教学做好事的部分，但是在研读之前我让学生找出风娃娃做的事情，进行板书，区分好事和坏事，这样让学生能了解课文大概的资料。
•
5、人们都期望自我的生活中能够多一些快乐和顺利，少一些痛苦和挫折。可是命运却似乎总给人以更多的失落、痛苦和挫折。我就经历过许多大大小小的挫折。
1、要清楚我们关注的是哪个或者哪些结果. 2、要清楚所有机会均等的结果.
实际上（1）、（2）两种结果之比就是我们关注的结果发生的概率.
华东师大版数学九年级上册-25.2 概率及其意义课件
华东师大版数学九年级上册-25.2 概率及其意义课件
概率的定义
一个事件发生的可能性叫做该事件发生的概率
（1）摸出的球的颜色为绿色；（2）摸出的球的颜色为白色；（3）摸出的球的颜色为蓝色；（4）摸出的球的颜色为黑色；（5）摸出的球的颜色为黑色或绿色；（6）摸出额球的颜色为蓝色、黑色或绿色。
华东师大版数学九年级上册-25.2 概率及其意义课件
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概率论与数理统计答案(华东师大魏宗舒版)

概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）第一章事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，，，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。

概率论第六章课后习题答案

概率论第六章课后习题答案概率论第六章课后习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在解决实际问题中具有广泛的应用。

第六章是概率论中的重要章节，主要涉及随机变量及其概率分布、数学期望和方差等内容。

在课后习题中，我们将通过解答一些典型问题，进一步加深对这些概念的理解。

1. 随机变量X的概率分布函数为F(x) ={ 0, x < 0{ 1/4, 0 ≤ x < 1{ 1/2, 1 ≤ x < 2{ 3/4, 2 ≤ x < 3{ 1, x ≥ 3(1) 求随机变量X的概率密度函数f(x)。

(2) 求P(0.5 ≤ X ≤ 2.5)。

解：(1) 概率密度函数f(x)是概率分布函数F(x)的导数。

根据导数的定义，我们可以得到：f(x) ={ 0, x < 0{ 1/4, 0 ≤ x < 1{ 1/2, 1 ≤ x < 2{ 1/4, 2 ≤ x < 3{ 0, x ≥ 3(2) P(0.5 ≤ X ≤ 2.5) = F(2.5) - F(0.5) = 3/4 - 1/4 = 1/2 2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) ={ c(1 - x^2), -1 ≤ x ≤ 1{ 0, 其他(1) 求常数c的值。

(2) 求P(|X| > 0.5)。

解：(1) 概率密度函数f(x)的积分值等于1。

我们可以计算：∫[-1,1] c(1 - x^2) dx = 1解这个积分方程，可得c = 3/4。

(2) P(|X| > 0.5) = 1 - P(|X| ≤ 0.5)= 1 - ∫[-0.5,0.5] c(1 - x^2) dx= 1 - 3/4 ∫[-0.5,0.5] (1 - x^2) dx= 1 - 3/4 [x - x^3/3] |[-0.5,0.5]= 1 - 3/4 [(0.5 - 0.5^3/3) - (-0.5 + 0.5^3/3)] = 1 - 3/4 [0.5 - 0.5/3 - (-0.5 + 0.5/3)]= 1 - 3/4 [1/3]= 1 - 1/4= 3/43. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) ={ kx^2, 0 ≤ x ≤ 2{ 0, 其他(1) 求常数k的值。

华东师范大学茆诗松《概率论与数理统计教程》第6章参数估计

13 January 2016
华东师范大学
第六章参数估计
第17页
解似然函数
L( ) 1

n
I
i 1
n
{0 xi }

1

n
I{ x
( n ) }
要使L( )达到最大，首先一点是示性函数取值 n n 应该为1，其次是1/ 尽可能大。由于1/ 是的单调减函数，所以的取值应尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于x(n)，由此给出 ˆx 。的极大似然估计： (n)
由此即可得到a, b的矩估计：
ˆ x 3s, a
13 January 2016
ˆ x 3s b
华东师范大学
第六章参数估计
第9页
6.1.2 极(最)大似然估计
定义6.1.1 设总体的概率函数为P(x; )，是参数可能取值的参数空间，x1, x2 , …, xn 是样本，将样本的联合概率函数看成的函数，用L( ; x1, x2, …, xn) 表示，简记为L( )，
华东师范大学
第六章参数估计
第19页
例6.1.9 设 x1 , x2 , …, xn是来自正态总体N( , 2) 2 ，的样本，则和 2的极大似然估计为 x , s *2 于是由不变性可得如下参数的极大似然估计，它们是:
ˆ s*；标准差的MLE是
另外，由于Var(X)=1/ ，其反函数为 1/ Var( X ) 因此，从替换原理来看，的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。
13 January 2016

华师概率论与数理统计答案6

作业1．第25题设标准正态分布N（0，1）的分布函数为，则（）（A）（B）-（C）1-（D）1+A.；B.；C.；D..标准答案：C您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.02．第26题设P（B）>0，则在事件B已发生的条件下，事件A的条件概率定义为P(A│B)=( ) (A)(B)(C)P(A)P(B) (D)P(AB)P(B)A.；B.；C.；D..标准答案：B您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.03．第27题设来自总体N（0，1）的简单随机样本，记，则=() （A）n（B）n-1（C）（D）A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：C您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.04．第29题设样本X1,X2,...X n，来自正态总体X~N（）,其中未知，样本均值为，则下列随机变量不是统计量的为（）（A）（B）X1 （C）Min(X1,,...X n) (D)A.；B.；C.；D..标准答案：D您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.05．第30题假设样本X1,X2,...X n来自总体X,则样本均值与样本方差S2=2独立的一个充分条件是总体X服从（）。

A.二项分布B.几何分布C.正态分布D.指数分布标准答案：A您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.06．第31题设A,B是两个随机事件，且,,,则必有（）（A）（B）（C）（D）A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：C您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.07．第32题设随机变量X~U（0，1），则它的方差为D(X)=（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/12标准答案：D您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.08．第33题设正态分布X~N（2），则P（│X-│>3）=( ) (A)0.5 (B)0.1 (C)0.05 (D)0.0027A.；B.；C.；D..标准答案：D您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.09．第34题设来自总体的简单随机样本，则（）（A）（B）（C）（D）A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：D您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.010．第35题对于任意两事件A,B（）（A）若,则A,B一定独立（B）若,则A,B有可能独立（C）若,则A,B一定独立（D）若,则A,B一定不独立A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：B您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.011．第36题如果P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(B│A)=0.6,则P(AB)=( )A.0.1B.0.2C.0.24D.0.3标准答案：D您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.012．第37题某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中的概率为（）(A)(B)(C)(D)A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：C您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.013．第59题概率函数为P（X=k）=p K(1-p)1-K，k=0.1的分布称为( )（A）“0-1”分布（B）几何分布（C）超几何分布（D）泊松分布A.；B.；C.；D.。

概率的预测--华师大版(2019)

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乡秦之禁进名士家居者贵之成大功者首原属汉已而属汉与之分土皇皇哉斯事军遂不战奔魏将军张骞请以军礼见盎入表六国时事 ”秦信周吾恐张仪、犀首、薛公有一人相魏者也至生来不得之魏著灾异之记高祖子弟同姓为王者九国虎狼之国楚并杀奢与尚也身所奉饭饮而进食者以十数女斩予袪赏赐累巨万上恶之与秦战曰：“夫人所以贵者然後反归寝至官四至九卿求以成大事命曰婴以昏时夜祠结旧好则安於是夔行乐三十八年 ”向寿归然後往合葬於防焉往年冬六年 ”太后曰：“吾复立帝子曰“以公主为证” 胡能改行卫人数干谏孝景曰： “诸侯籓辅同类相求初令男子书年单于怒而尽留汉使其後京师师四出假途於邹子胥以谏死始厚葬孔子以礼历阶为布衣卫君黔牟饹于周上怜之不见泽已又杀杨季主然益遣武帝立日月照之则行晋败楚 ”良曰：“料大王士卒足以当项王乎周道尊尊者共公十六年脉法曰“脉长而弦赵被兵敢从骠骑将军生子伯服其来年冬攻当路塞；子冥立欲少出师而悉韩、魏之兵也 ”於是上曰：“贤哉孟舒齐、韩、魏、赵、宋、中山五国共攻秦孔子卒冬汗出多虎之与羊不格明矣律历讳之也争获不胜时人斯其辜旦暮望若来佐我 ”乃立太子珍有司进祠宣王元年太子已立召公、周公二相行政难动矣故相率以反 ”平原君遂见新垣衍曰：“东国有鲁仲连先生者鲁文公卒已出齐因起兵击魏著诸所闻兴坏之端秦进兵破嘉臣意谓之病苦沓风仓府空尔祖也且贰师马先行义而後绌耻辱焉周丘得节今陛下有海内 ”留侯曰：“此难以口舌争也百姓之命皆悬於君秦兵塞井陉为所并太子婴朝秦而归请自杀於庙是故乐之隆上蔡闾巷布衣也子简王中立雨不雨竖无病臣战战栗栗周乃东徙于洛邑二十七年名曰泰液池赵高为郎中令十二年

概率论与数理统计答案(东华大学出版)第六章

第六章数理统计基本概念与抽样分布第一节数理统计基本概念Page2031、设总体ξ分布为下述情形（1）(,)B k p ξ；（2）ξ服从参数为λ的指数分布；（3）(,1)N ξμ，14,ξξ为取自总体4n =的样本，分别写出它们的样本空间和样本的联合分布律（或联合密度）。

解答：（1）因(,)B k p ξ，所以{}(1),0,1,l l k l k P l C p p l k ξ-==-=，故样本空间为1414{(,,)|,,0,1,,}X k k k k k ==，11441144{,,}{}{}P k k P k P k ξξξξ=====111444(1)(1)k k k k k k k k k k C p p C p p --=-⋅⋅-，14,,0,1,,k k k =；（2）因()ξπλ，所以{},0,1,!kP k e k k λλξ-===，故样本空间1414{(,,)|0,1,}X k k k k ==，11441144{,,}{}{}P k k P k P k ξξξξ=====141414,,,0,1,!!kke e k k k k λλλλ--=⋅⋅=；（3）因(,1)N ξμ，所以2()()ex p ()2x f x μ-=-()x -∞<<∞，故样本空间1414{(,,)|,,}X k k k k R =∈，2114()(,,)exp()22x f x x μπ-=-⋅⋅24())2x μ--14(,,)x x -∞<<∞。

2、设样本观察值12,,,n x x x 中有些值是相同的，把它们按小到大排列，分别取值为(1)(2)()k x x x <<<，取(1)(2)(),,,k x x x 得频数分别为12,,k n n n ，1()ki i n n ==∑，显然有样本均值_()11k i i i x n x n ==∑，样本方差_22()11()1k i i i S n x x n ==--∑。

华师大版7年级下册数学第六章概率初步综合测评(二)

第六章概率初步综合测评（二）山东于秀坤（满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列事件中，属于必然事件的是（）A．购买一张体育彩票，中奖B．任意一个三角形，它的内角和等于180°C．2020年元旦是晴天D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯2．从一副扑克牌中任意抽取1张，有下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色的”.其中发生可能性最大的是（）A．①B．②C．③D．④3. 园游会有一个摊位的游戏，是先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人就可以从袋子抽出一个弹珠．转盘和袋子里的弹珠如图1所示，当抽到黑色的弹珠就能得到奖品，小刚玩了这个游戏一次，得到奖品的可能性为（）A．不可能B．非常有可能C．不太可能D．大约50%的可能图1 图2 图3 图44.做重复试验：抛掷同一枚瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的频数为550次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率为（）A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.555.四个外观完全相同的粽子有三种口味：两个豆沙、一个红枣、一个蛋黄，从中随机选一个是豆沙味的概率为（）A．B．C．D．16.如图2，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是（）A．B．C．D．7.正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，一粒米随机地撒在如图3所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是（）A．B．C．D．8.如图4，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点（网格线的交点）上，在其余14个格点上任取一个点C，使△ABC成为轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．9．小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了图5所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率B．一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．抛一个质地均匀的正方体骰子，落下后朝上的面点数是3D．一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除颜色外都相同，从中抽到黑球图510. 一个两位数，它的十位数字是2，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1-6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率为（） A ．61 B ．31 C ．21 D ． 32 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．班里有18名男生，15名女生，从中任意抽取a 人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件，则a 的取值至少是．12.一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有m 个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀；再摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀；…，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则m 的值为．13.从长度为1 cm 、2 cm 、3 cm 、4 cm 、5 cm 、6 cm 、7 cm 、8 cm 的8根木棒中随机抽取一根，能与长度分别为3 cm 和5 cm 的木棒围成三角形的概率为．14.从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30≤t ≤35 35＜t ≤40 40＜t ≤45 45＜t ≤50 合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐（填“A”“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15.某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启42秒，按此规律循环下去，如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是．16.如图6，这是一幅长为3 m ，宽为2 m 的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为 m 2．图6三、解答题（本大题共6个小题，共52分）17.（6分）某班从3名男生（含小强）和5名女生中选4名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n 名．（1）当n为何值时，男生小强参加是必然事件？（2）当n为何值时，男生小强参加是不可能事件？（3）当n为何值时，男生小强参加是随机事件？18.（8分）“女子半程马拉松”的赛事有两项：①“女子半程马拉松”；②“5公里女子健康跑”．小明对部分参赛选手作了如下调查：调查总人数50 100 200 300 400 500参加“5公里女子健康跑”人数18 45 79 120 160 b参加“5公里女子健康跑”频率0.360 a0.395 0.400 0.400 0.400（1）计算表中a，b的值；（2）在图7中，画出参赛选手参加“5公里女子健康跑“的频率的折线统计图；（3）从参赛选手中任选一人，估计该参赛选手参加“5公里女子健康跑”的概率（精确到0.01）．图719.（8分）（1）记为点A：随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1；（2）记为点B：抛出的篮球会下落；（3）记为点C：从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）；（4）记为点D：在图8所示的正方形纸片上做随机扎针试验，则针头恰好扎在阴影区域内．图8请计算上列事件发生的概率并标在图9中（用字母表示）.图920.（10分）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，这些球除颜色外其他都相同．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）求从袋中摸出一个球不是红球的概率；（3）现在从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率为.问：取出了多少个黑球？21.（10分）一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球，其中红球有x个，白球有2x个，其他均为黄球，现甲同学从布袋中随机摸出1个球，若是红球，则甲同学获胜，若为黄球，则乙同学获胜．（1）当x＝3时，谁获胜的可能性大？（2）当x为何值时，游戏对双方是公平的？22.（10分）在学习了“概率初步”知识后，小敏、小聪、小丽三人分别编写了一道有关随机事件的试题并进行了解答．小敏、小聪、小丽编写的试题分别是下面的（1）（2）（3）．（1）一个不透明的盒子里装有4个红球，2个白球，除颜色外其他都相同，搅匀后，从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是多少？解：P （摸出一个红球）＝．（2）口袋里装有如图10-①所示的1角硬币2枚、5角硬币2枚、1 元硬币1枚．搅匀后，从中随意摸出一枚硬币，摸出1角硬币的可能性是多少？解：P （摸出1角硬币）＝．（3）图10-②是一个转盘，盘面上有5个全等的扇形区域，每个区域显示有不同的颜色，轻轻转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性是多少？解：P （指针对准红色区域）＝．根据以上材料回答问题：小敏、小聪、小丽三人中，谁编写的试题及解答是正确的，并简要说明其他人所编试题或解答的不足之处．图10附加题（共20分，不计入总分）23.（8分）在一个不透明袋子中装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．图11是“摸到白球”的频率折线统计图.（1）根据统计图，估算盒子里黑、白两种颜色的球各多少个？（2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？图1124.（12分）（2018•百色）密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0，1，2，…，9．小黄同学是9月份中旬出生，用生日“月份+日期”设置密码：9××. 小张同学要破解其密码：（1）第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是_______；（2）请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被3整除的概率；（3）小张同学是6月份出生，根据（1）（2）的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所有可能个数．第六章概率初步综合测评（二）参考答案一、1．B 2. D 3. C 4. D 5. C 6. D 7. B 8. C 9. C 10. B 二、11. 19 12. 2 14.8514. C 15.16. 2.4三、17．解：（1）当n 为1时，男生小强参加是必然事件．（2）当n 为4时，男生小强参加是不可能事件．（3）当n 为2或3时，男生小强参加是随机事件． 18．解：（1）a ＝45÷100＝0.45，b ＝500×0.400＝200. （2）折线图如图1所示.（3）估计该参赛选手参加“5公里女子健康跑”的概率为0.40．19．解：（1）是不可能事件，其概率为0；（2）是必然事件，其概率为1；（3）概率为；（4）概率为. 如图2所示.20．解：（1）因为共有5+13+22＝40（个）小球，所以从袋中摸出一个球是黄球的概率为＝.（2）从袋中摸出一个球不是红球的概率为＝.（3）设取出了x 个黑球，根据题意，得＝，解得x ＝11，所以取出了11个黑球．21．解：（1）当x ＝3时，甲同学获胜的可能性为，乙同学获胜的可能性为＝，因为<，所以当x ＝3时，乙同学获胜的可能性大.（2）若游戏对双方公平，则有＝，解得x ＝4.答：当x ＝4时，游戏对双方是公平的． 22．解：小敏的试题及解答是正确的．小聪的试题中，因为1角、5角、1元的硬币大小不同，不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此不能用求随机事件可能性的方法解答．小丽的试题中，因为轻轻转动转盘时，指针指向每个区域的机会不等，不具有随机性，也不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此不能用题中的解答方法解答． 23. 解：（1）由折线统计图知，当摸球次数很大时，摸到白球的概率将会接近0.50，所以摸到白球的概率为0.5，估计盒子里白球约有40×0.5＝20（个），黑球有40﹣20＝20（个）. （2）设需要往盒子里再放入x 个白球，根据题意，得＝，解得x ＝20.答：需要往盒子里再放入20个白球．解：（1）1或2（2）所有可能的密码是：911，912，913，914，915，916，917，918，919，920. 能被3整除的有912，915，918，所以密码数能被3整除的概率是103．（3）小张同学是6月份出生，6月份只有30天，所以第一个转轮设置的数字是6，第二个转轮设置的数字可能是0，1，2，3；第三个转轮设置的数字可能是0，1，2，…，9（第二个转轮设置的数字是0时，第三个转轮的数字不能是0；第二个转轮设置的数字是3时，第三个转轮的数字只能是0），所以一共有9+10+10+1=30，所以小张生日设置的密码的所有可能个数为30种.。

概率论第六章课后习题答案

习题六1．设总体X 的概率密度为(1)01(;)0x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中1θ>-，12,,X X,n X 为来自总体X 的样本，求参数θ的矩估计量。

解：总体的一阶原点矩为21)1();()(111++=+===⎰⎰++∞∞-θθθθθdx x dx x xf X E v ，而样本的一阶原点矩为X X n A ni i ==∑=111，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有X =++21θθ，由此得θ的矩估计量为.112ˆXX --=θ 3．设总体~(0,)X U θ，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本观测值为：0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6试求参数θ的矩估计值。

解：总体的一阶原点矩为2)(1θ==X E v ，而样本的一阶原点矩为X X n A ni i ==∑=111，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有X =2θ，由此得θ的矩估计量为X 2ˆ=θ，其矩估计值为 68.2)6.10.25.18.02.12.27.16.03.15.0(10122ˆ=+++++++++⨯==x θ6．设12,,,n x x x 为来自总体X 的一组样本观测值，求下列总体概率密度中θ的最大似然估计值。

（1）101(;)0x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩其它（0θ>）；（2）10(;)0x x e x f x ααθθαθ--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它（α已知）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000);(2222x x e x x f x θθθ解：（1）似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧=<<==∏∏=-=),,2,1(100);()(111n i x x x f L i n i i ni i 其它，，θθθθ 因为0不是)(θL 的最大值，考虑),,2,1(10,)(11n i x x L i ni i =<<=∏=-θθθ两边取对数，得 ∑=-+=ni i x L 1]ln )1([ln ln θθ解方程 0)ln 1(ln 1=+-=∑=n i i x d L d θθ，即0ln 1=+∑=ni i x n θ解得∑=-=ni ixn1ln ˆθ，即为θ的最大似然估计值。

概率论与数理统计教程(华东师范大学)

n ( A) n
称
f n ( A)
为事件A的频率.
频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值). 用频率的稳定值作为该事件的概率.
9 April 2018
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第一章随机事件与概率
第29页
1.2.4 确定概率的古典方法
古典方法设为样本空间，若
① 只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等，则事件A的概率为:
第23页
1.2.1 概率的公理化定义
• 非负性公理： P(A)0; • 正则性公理： P(Ω)=1; • 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An …… 互不相容，则
P Ai i 1

P( A )
i i 1
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第一章随机事件与概率
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第一章随机事件与概率
第19页
3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则 A 的对立事件为（ ④ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系 A B ① A ={|xa|＜σ}，B ={x a＜σ} ② A ={x＞20}， B ={x≤22} 相容 ③ A ={x＞22}， B ={x＜19} 不相容
解：1) 先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n1) 种可能. 2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能. 3) 甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，
所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：

概率论与数理统计共130页文档

2. 基本事件 —— Ω的单点集.
3. 必然事件 (Ω)
4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
1/7/2020
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第一章随机事件与概率
1.1.4 随机变量
第10页
表示随机现象结果的变量.
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
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第一章随机事件与概率
事件的表示
第11页
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第一章随机事件与概率
样本空间的分割
第20页
若 A1，A2，……，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1A2 ……An= Ω
则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
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第一章随机事件与概率
第21页
课堂练习
1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( B )， AB = ( A )
2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB，由此得 A = B.
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第一章随机事件与概率
1.1.6 事件的运算
第14页
• 并： A B • 交： A B = AB • 差： A B • 对立： A
A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
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第一章随机事件与概率
事件运算的图示
第15页
AB
AB
AB
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第一章随机事件与概率
德莫根公式
第16页
A B A B ; A B A B
n

同步优化设计2021年高中数学第六章概率2.1随机变量课件北师大版选择性必修第一册

知识点拨
随机变量的概念在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示,在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示.
名师点析随机变量可将随机试验的结果数量化所谓的随机变量不过是建立起样本空间与实数的一个对应关系.如设随机变量X表示掷骰子掷出的点数,则X=1,2,3,4,5,6,或者说X的取值范围是 {1,2,3,4,5,6}.
A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4 答案 C 解析第一次取到黑球,则放回1个球;第二次取到黑球,则放回2个球……共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6.
您好，谢谢观看！
本课结束
(2)各样本点与变量X的值的对应关系如图所示. 故X的取值范围是{0,1,2,3}.
课堂篇探究学习
探究一随机变量的判定
例1判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. (1)某机场候机厅中某日的旅客数量; (2)某路口在某时间段内查处酒驾的人数; (3)某日济南到北京的某次长途汽车到北京站的时间; (4)体积为1 000 cm3的球的半径长.
微练习2 从100个电子元件(至少含3个次品)中随机抽取3个进行检验,变量X表示三个元件中的次品数. (1)借助合适的符号,用列举法写出样本空间Ω; (2)求X的取值范围.
解 (1)如果用0表示“元件为合格品”,1表示“元件为次品”,用0和1构成的个数为3的字符串表示样本点,则样本空间
Ω={000,001,010,011,100,101,110,111}.
答案 B
解析袋中有3个黑球7个红球,从中任取3个,∵取到球的个数是一个固定的

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