历年数学建模赛题题目与解题方法
数学建模题目及答案
09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。
由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。
数学建模试卷及参考答案
数学建模 试卷及参考答案一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。
二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0,由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。
2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)解:模型构成记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，k=1，2,........，k x ，k y =0，1，2，3。
将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。
安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。
高等数学建模题目及答案
典型谱方法的缺点：
当解u存在奇异点时，典型谱方法在奇异点 处不收敛，这时需要加密在奇异点附近的离散点。 对于奇异解的问题，多区域谱方法可以解决。
以下介绍多区域谱方法。
4.多区域谱方法
① p-refinement (M固定，N不固定)
x∈[-1,1]，先将[-1,1]等分为M个均分小区间， 再将每个小区间分为Ni (i=1,2,...M) 个小区间，分 别求M个小区间上的求导矩阵，然后按照相应规 则组装。
② 同样，对于简单函数u，可以利用定义直接计算它 的分数阶积分/导数，但是对于复杂函数u，无法利用 定义求解其分数阶积分/导数。解决方法是用正交多 项式逼近u,通过求正交多项式的分数阶积分/导数代 替求u的分数阶积分/导数。
2.第一种形式的谱方法
其中，正交系数Cij的求法如下：
3.第二种形式的谱方法
分数阶谱方法
1.分数阶积分/导数的定义 2.第一种形式的谱方法 3.第二种形式的谱方法 4.多区域谱方法 5.数值例子
1.分数阶积分/导数的定义
思考：
① 联想数学分析中的泰勒级数展开，对于简单函数u， 可以直接计算并讨论它的收敛性、连续性、可微性和 可积性，但对于复杂函数u，无法直接讨论它的以上 性质。解决方法是用泰勒级数逼近u，通过讨论级数 的性质代替讨论u的性质。
(cosx
i
sin
x)
(it
(
( 1) 1)
t
)
x [0,2 ], t [0,1]
IC : u(x,0) 0, BC：u(0,t) t 2, u(2 ,t) t 2
exact solution: u(x,t) t (cosx i sin x)
解题原理：
误差图：
2012-2013数学建模试题答案及讲解
5 284.572 255.428 11 292.299 247.701
6 286.766 253.234 12 292.793 247.207
可以看出A城公司支付基金数在逐步增加,但增幅逐步变
小;B 城公司的基金数变化则正好相反.然而ak是否有上界、 bk是否有下界? bk是否会小于220？我们还是不能断言.进 行更多的迭代或许得出更明显的提示,不过这里将不再进
在式(13)中取k=N而在式(14)中取k=M并注意到F0=0，
FM=0 ,这样只要消去FN,就可以导出关于r的一个方程:
0 p [(1 r)N 1 ](1 r)M N q [(1 r)M N 1 ]
r
r
整理得
(1r)M(1q)(1r)M Nq0
p
p
记x=r+1 ,且将已知数据代入,则只需求解方程
三、模型的分析及建立
以商业性贷款10000元为例来考察，一年期贷款的年 利率为6.12％，到期一次还本付息总计10612元， 这很
容 易理解. 然而二年期贷款的年利率为6.255％， 月还款数 444.356元为本息总额10664.54元的二十四分之一，这
后 两个数字究竟怎样产生的呢？是根据本息总额算出月还款 数还是恰好相反（从6.255％似乎不那么明显能得到 10664.54）？让我们稍微仔细一些来进行分析.由于贷款
B 1 B 2 B k B 1 [ 1 ( 1 r ) ( 1 r ) k 1 ]
(1r)k1 (A1A0)[ r ]
(1r)k1 [(1r)A 0m A 0][ r ]
从而得到差分方程(1)的解
A k1(1r)A km
A kA 0(1r)km r[(1r)k1] （7）
将A24 、A0 、r 的值和k=24代入，可解得 m=444.3560(元),这与表3中的数额完全一致,这样我们就 了解了还款额的确定方法.
数学建模国赛题目
数学建模国赛题目一、关于校园生活类- 逻辑：同学们在食堂排队打饭的时候，总是希望能尽快拿到食物。
这里面涉及到食堂窗口的数量、每个窗口打饭的速度（比如打不同菜品的复杂程度、工作人员的熟练程度等）、同学们到达食堂的时间分布等因素。
可以通过建立数学模型，来分析怎样安排窗口的服务或者调整同学们的排队方式，能让整体的排队等待时间最短，就像指挥一场让大家都能快速填饱肚子的战斗。
- 逻辑：在宿舍里，每个舍友用电用水的习惯都不太一样。
有人喜欢长时间开着电脑，有人洗澡特别久，水电费总是一笔糊涂账。
通过收集每个舍友的电器使用时长、用水次数和时长等数据，建立数学模型，来找出到底谁在水电费上贡献最大，就像侦探破案一样，揭开隐藏在宿舍里的“耗能大户”的神秘面纱。
二、环境保护类- 逻辑：城市里种了很多小树苗来美化环境，但是有些树苗活不了多久就夭折了。
这可能和种植的土壤质量、浇水的频率和量、周围的空气污染程度、光照等因素有关。
我们要建立一个数学模型，就像给小树苗当医生一样，找出影响它们存活的关键因素，然后提出提高树苗存活率的最佳方案，让城市里能有更多茁壮成长的绿树。
- 逻辑：城市每天都会产生大量的垃圾，这些垃圾要从各个小区、街道收集起来，然后运到垃圾处理厂。
但是垃圾车的行驶路线、垃圾收集点的分布、不同区域垃圾产量的不同等因素都会影响垃圾处理的效率。
我们要像给垃圾规划一场旅行一样，建立数学模型找到垃圾从产生地到处理厂的最优路径，让垃圾能够高效地被处理，减少对城市环境的污染。
三、经济与商业类- 逻辑：校园小卖部里的商品琳琅满目，但是怎么给这些商品定价可是个大学问。
如果定价太高，同学们就不买了；定价太低，又赚不到钱。
这里面要考虑商品的进价、同学们的消费能力、不同商品的受欢迎程度等因素。
通过建立数学模型，就像寻找宝藏的密码一样，找到能让小卖部利润最大化的定价策略。
- 逻辑：现在有很多网红店，门口总是排着长长的队伍。
这背后可能是因为独特的营销策略、美味的食物或者时尚的装修。
高数建模比赛真题答案解析
高数建模比赛真题答案解析高数建模比赛是大学生数学建模领域中的一项重要竞赛，对于培养学生的数学建模能力和创新思维具有重要意义。
在这篇文章中，我们将从几道典型的高数建模比赛真题入手，解析其中的解题思路和求解方法。
第一道题目是关于人口增长的问题。
假设某国当前的人口数量为P0，年增长率为r。
题目要求我们计算若干年后的人口数量。
首先，我们可以列出一个递推公式来表示人口数量的变化。
每年的人口数量可以表示为Pn+1 = Pn + rPn，其中Pn表示第n年的人口数量。
可以通过迭代计算的方式，得到若干年后的人口数量。
接下来的问题是如何求解这个递推公式。
我们可以采用MATLAB等数学软件来编写一个循环程序，计算若干年后的人口数量。
首先，我们需要给出初始条件P0和增长率r。
然后，设置一个循环，逐个计算每年的人口数量，直到达到预定的年份为止。
最后，程序会输出若干年后的人口数量。
第二道题目是关于微分方程的求解。
题目描述了某一过程的速率与其自身值之间的关系。
我们需要求解这个微分方程，并列出其解析解。
首先，我们将问题转化为一个微分方程的初值问题。
对于速率与值之间的关系，我们可以表示为dv/dt = kv，其中v表示过程的速率，t表示时间，k表示比例常数。
然后，我们可以通过分离变量和积分的方法，解出这个微分方程。
最后，我们还可以根据初值条件得到具体的解析解。
接下来的问题是如何求解这个微分方程。
我们可以采用数值方法来求解。
例如，我们可以采用欧拉法或龙格-库塔法进行数值计算。
首先，我们需要给出初始条件v0、时间步长Δt和求解的时间范围。
然后，我们可以通过迭代的方式，逐次计算出每个时间点的速率值，直到达到所求解的时间范围为止。
最后，我们可以绘制出速率随时间变化的曲线图。
在高数建模比赛中，还涉及到其他类型的题目，例如概率统计问题、最优化问题等。
对于这些题目，我们可以采用不同的方法来求解。
例如，对于概率统计问题，我们可以利用概率论和数理统计的知识，运用概率分布、期望和方差等概念进行分析和计算。
全国数学建模竞赛经典解题步骤
一、看清楚题目。
1.文字理解
2.专业词语要搞懂意思
二、搜集参考文献（三人分工搜索）
1.中国知网、百度一下
2.查看资料（没用的就剔除）分类浏览
三、精度有用的资料
（有用的记下来并标记可以解决什么问题、或者问题几）
四、分析
1.每个人想出一个或两个方法
2.经过讨论，选出两个较好的方法或思路
五、做题目
1.按照既定的方法进行分工
2.每个人都要积极的解决问题
3.要积极交流问题的进度和遇到的麻烦
队长：1.整个题目的全盘掌握（清楚和各题目的关系）
2.协调统筹问题的解决和分配
3.了解问题解决的进度（进度的安排和控制）
阅卷标准：
1.假设的合理性
2.建模的创新性
3.结果的合理性
4.文字表述水平。
电工杯数学建模历年赛题
电工杯数学建模历年赛题电工杯数学建模历年赛题是电工杯数学建模竞赛的试题集合，该竞赛是一个面向大学生的数学建模比赛，旨在培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
以下将介绍一些历年赛题的主要内容和解题思路。
一、历年赛题概述1. 2015年赛题：基于飞机导航的航线规划问题该赛题要求参赛选手通过对飞机导航系统的研究，设计一种新的航线规划算法，以提高飞机的飞行效率和安全性。
2. 2016年赛题：城市交通拥堵问题该赛题要求参赛选手通过对城市交通流量和交通信号灯的研究，设计一种新的交通调度算法，以缓解城市交通拥堵问题。
3. 2017年赛题：电力系统的配电规划问题该赛题要求参赛选手通过对电力系统的研究，设计一种新的电力配电规划算法，以提高电力系统的供电可靠性和经济性。
4. 2018年赛题：网络安全攻防问题该赛题要求参赛选手通过对网络安全攻防的研究，设计一种新的网络安全防御策略，以保护网络系统的安全和稳定。
二、解题思路1. 飞机航线规划问题针对飞机航线规划问题，可以通过建立数学模型来解决。
首先，需要考虑到飞机的起飞和降落点，以及途中的航点。
然后，可以利用图论中的最短路径算法，如迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法，来确定最优航线。
2. 城市交通拥堵问题对于城市交通拥堵问题，可以通过建立交通流量模型来解决。
可以利用微分方程或偏微分方程来描述交通流的变化规律，然后利用数值计算方法，如有限差分法或有限元法，来模拟和分析交通流的变化情况。
最后，可以根据模拟结果，设计一种新的交通调度算法，以缓解交通拥堵。
3. 电力系统的配电规划问题针对电力系统的配电规划问题，可以通过建立电力系统模型来解决。
首先，需要考虑到电力系统的供电需求和供电能力。
然后，可以利用优化方法，如整数规划或线性规划，来确定最优的配电方案。
最后，可以根据最优方案，设计一种新的配电规划算法，以提高电力系统的供电可靠性和经济性。
4. 网络安全攻防问题对于网络安全攻防问题，可以通过建立网络安全模型来解决。
数学模型习题参考解答
综合题目参考答案1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题) (1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程.(2)用多种方法可以证明n 支球队“各队每两场比赛最小相隔场次r 的上界”(如n =5时上界为1)是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ,如: 设赛程中某场比赛是i ,j 两队, i 队参加的下一场比赛是i ,k 两队(k ≠j ),要使各队每两场比赛最小相隔场次为r ,则上述两场比赛之间必须有除i ,j ,k 以外的2r 支球队参赛,于是32+≥r n ,注意到r 为整数即得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r . (3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的,即对任意的n 编排出达到该上界的赛程.如对于n =8, n =9可以得到:1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A每两场比赛相隔场次数相隔场次总数 1A × 1 5 9 13 17 21 25 3,3,3,3,3,3 18 2A 1 × 20 6 23 11 26 16 4,4,4,3,2,2 19 3A5 20 × 24 10 27 15 2 2,4,4,4,3,2 19 4A 96 24 × 28 24 3 19 2,2,4,4,4,3 19 5A 13 23 10 28 × 4 187 2,2,2,4,4,4 18 6A 17 11 27 14 4 × 8 22 3,2,2,2,4,4 17 7A 21 26 15 3 18 8 × 12 4,3,2,2,2,4 17 8A25 1621972212×4,4,3,2,2,2171A2A3A 4A5A 6A 7A 8A 9A每两场比赛相隔场次数 相隔场 次总数1A × 36 6 31 11 26 16 21 1 4,4,4,4,4,4,4, 28 2A 36 × 2 27 7 22 12 17 32 4,4,4,4,4,4,3 27 3A6 2 × 35 15 30 20 25 10 3,3,4,4,4,4,4 26 4A 31 27 35 × 3 18 8 13 23 4,4,4,4,3,3,3 25 5A 11 7 15 3 × 34 24 29 19 3,3,3,3,4,4,4 24 6A 26 22 30 18 34 × 4 9 14 4,4,3,3,3,3 23 7A 16 12 20 8 24 4 × 33 28 3,3,3,3,3,3,4 22 8A 21 17 25 13 29 9 33 × 5 3,3,3,3,3,3,3, 21 9A13210231914285×3,4,3,4,3,4,324可以看到, n =8时每两场比赛相隔场次数只有2,3,4, n =9时每两场比赛相隔场次数只有3,4,以上结果可以推广,即n 为偶数时每两场比赛相隔场次数只有22-n ,12-n ,2n,n 为奇数时只有23-n ,21-n . (4)衡量赛程优劣的其他指标如平均相隔场次 记第i 队第j 个间隔场次数为ij c ,2,2,1,,,2,1-==n j n i ,则平均相隔场次为∑∑=-=-=n i n j ij c n n r 121)2(1r 是赛程整体意义下的指标,它越大越好.可以计算n =8,n =9的r ,并讨论它是否达到上界.相隔场次的最大偏差 定义||,r c Max f ij j i -=∑-=--=21|)2(|n j ij r n c Max gf 为整个赛程相隔场次的最大偏差,g 为球队之间相隔场次的最大偏差,它们都是越小越好.可以计算n =8,n =9的f ,g ,并讨论它是否达到上界.参考文献工程数学学报第20卷第5期2003 2. 影院座位设计建立满意度函数),(βαf ,可以认为α和β无关, ()()βαβαh g f -=),(,g ,h 取尽量简单的形式,如αα=)(g ;0)(=βh (030≤β),0)(h h =β)30(0>β. (1)可030≤β将作为必要条件,以α最大为最佳座位的标准.在上图中以第1排座位为坐标原点建立坐标轴x ,可以得到⎪⎭⎫⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫⎝⎛+--=d x x h c H d x x c H d x x c H θθαθβtan arctan tan arctan ,tan arctan β是x 的减函数.可得x ≈1.7m,即第3(或4)排处030=β.又通过计算或分析可知α也是x 的减函数,所以第3(或4)排处是最佳座位.(2)设定一个座位间隔l (如0.5m), x 从0(或030≤β处)到d D -按l 离散,对于)20~0(00θ计算α的平均值,得020=θ时其值最大.(3)可设地板线是x 的二次曲线2bx ax +,寻求a ,b 使α的平均值最大. 实际上,还应考虑前排不应挡住后排的视线.3.节水洗衣机(1996年全国大学生数学建模竞赛B 题)该问题不要求对洗衣机的微观机制(物理、化学方面)深入研究,只需要从宏观层次去把握.宏观上洗衣的基本原理是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污物溶于水中,再脱去污水带走污物;洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水”程序的反复运行,使残留在衣物的污物越来越少,直到满意的程度;洗涤剂也是不希望留在衣物上的东西,可将“污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和.假设每轮漂洗后污物均匀地溶于水中;每轮脱水后衣物含水量为常数c .0x ~初始污水量,~k u 第k 轮加水量,k x ~第k 轮脱水量),,2,1( =k .设每轮脱水前后污物在水中的浓度不变.于是cx c u x c xc u x c x u x n n n =+=+=--11221110,,, , 得到)()(210c u c u u c x x n n n ++=. 在最终污物量与初始污物量之比0/x x n 小于给定的清洁度条件下,求各轮加水量k u ),,1(n k =,使总用水量最小,即∑=nk k u u Min k 1()ε<++)(..21c u c u u c t s n n等价于)()(21c u c u u Min n u k +++++α=++)()(..21c u c u u t s na 为常数可得c u c u u n +==+= 21,即第n ~2轮加水量u u k =(常数),第1轮加水量c u u +=1.令cx u =,问题简化为nx Min u n ,ε<⎪⎭⎫ ⎝⎛+nx t s 11.. 其解为0→x ,即0→u ,而∞→n .这与实际上是不合理的.应该加上对u 的限制:21v u v ≤≤.则得max min n n n ≤≤,其中 max min n n n ≤≤,1)/1ln(2min +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c v n α这样,n为有限的几个数,可一一比较,具体数据计算从略.参考文献:《数学的实践与认识》第27卷第1期,19974.教师工资调整方案(1995年美国大学生数学建模竞赛B 题)题目对职称提升年限表述得不甚清楚(如未提及助理教授的提升),教龄也未区分是什么职称下工作的年限,所以应该作出一些相应的简化假设.按所给信息,工资仅取决于职称和教龄.建立新方案的一种办法是将职称折合成教龄,如定义x=教龄t+7×k (对于讲师、助理教授、副教授、教授,k 分别取值0,1,2,3),然后寻求工资函数I(x),使之满足题目的要求,如I(0)=27000,I(7)=32000等,以及x 较大时022<dxId .另一种办法是职称、教龄分别对待,工资函数J(k,t)从多种函数中选择,如最简单的线性函数J(k,t)=k k k k b a t b a ,,+(k=0,1,2,3)根据一定条件确定.按照第一种办法得到的新工资方案,以职称和教龄综合指标为x 的教师的工资都应为I(x),而人们的目前工资会低于或高于它.根据题目要求,高工资不应降低,低工资则应逐渐提高,尽快达到理想值I(x).需要做的只是根据每人(目前)工资与(理想值的)差额,制定学校提供的提薪资金的分配方案.它应该是简单、合理、容易被人接受的.按以上原则可以建立不同的模型,应通过检验比较其恶劣.检验可基于题目所给数据,按照提薪计划运行若干年,考察接近理想方案的情况,即用过渡时期的情况检验模型;也可进行随机模拟,按照一定规则随机产生数据(可以包括聘用、提职、解聘、退休的人数和时间等),再按照提薪计划运行,考察接近理想方案的情况.参考文献：叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》（四），湖南教育出版社，2001 5. 一个飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A 题） 设ij a 为第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角（即)8arcsin(ijij r a =其中ij r 为这两架飞机连线的长度），ij β为第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对速度（矢量）与这两架飞机连线（从i 指向j 的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向为正，顺时针方向为负），i θ为第架飞机飞行方向角调整量.本问题中的优化目标函数可以有不同的形式：如使所有飞机的最大调整量最小；所有飞机的调整量绝对值之和最小等.以所有飞机的调整量绝对值之和最小，可以得到如下的数学规划模型：∑=61i i Min θs.t. ,)(21ij j i ij a >++θθβ j i j i ≠=,6,,1,30≤i θ , 6,,1 =i为了利用LINGO 求解这个数学规划模型，可以首先采用其他数学软件计算出ij α和ij β.其实，ij α和ij β也是可以直接使用LINGO 来计算的，这相当于解关于ij α和ij β的方程，只是解方程并非LINDO 软件的特长，这里我们作为一个例子，看看如何利用LINGO 计算ij α，可输入如下模型到LINGO 求解ij α：MIDEL ： 1]SETS:2] PLANE/1..6/：x0,y0; 3] link(plane,plane):alpha,sin2: 4]ENDSETS5] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J:6] sin2(I,J)=64/((X0(I)-X0(J))*(X0(I)-X0(J))+ 7] (Y0(I)-Y0(J))*(Y0(I)-Y0(J))); 8] ）；9] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J:10] (@SIN(alpha*3./180.0))^2=SIN2; 11] ); 12]DATA:13] X0=150,85,150,145,130,0; 14] Y0=140,85,155,50,150,0; 15]endata END 计算结果如下：ija j=1 2 3 4 5 6i =1 0.000 0 5.391232.2315.091820.96342.23452 5.391 2 0.0000 4.804 0 6.61355.807 9 3.81593 32.2310 4.8040.000 0 4.364722.83372.12554 5.091 8 6.6135 4.364 7 0.0004.4.537 2.98985 20.9634 5.807922.83374.53770.000 0 2.30986 2.234 5 3.8159 2.125 5 2.98982.309 8 0.000ijβ也可类似地利用LINGO求得，计算结果如下：ijβj=1 2 3 4 5 6i =1 0.000109.263 6-128.250 024.179 8173.065 114.474 92 109.263 60.000 0-88.871 1-42.243 6-92.304 89.000 03 -128.250 0-88.871 10.00012.476 3-58.786 20.310 84 24.179 8-42.243 612.476 30.000 05.969 2-3.525.65 173.065 1-92.304 8-58.786 25.969 20.000 01.914 46 14.479.000.310 -3.5 1.910.04 9 0 0 8 256 4 4 00 0于是，该飞机管理的数学规划模型可如下输入LINGO求解：MODEL:1]SETS2] plane/1..6/:cita:3] link(plane,plane):alpha,beta;4]ENDSETS5] min=@sum(plane:@abs(cita));6] @for(plane(I):7] @bnd(-30,cita(I),30);8] );9] @fpr(link(I,j)|I#NE#J:10] @ABS(beta(I,J)+0.5*cit(I)+0.5*cita(J))11] >alpha(I,J);12] ）;13]DATA:14] A;[JA=0.000 0 5.391.2…..…2.309 8 0.000 020] ;21] BETA=0.000 010 9.263 6………1.914 4 0.000 027] ;28]enddataEND[注] alpha,beta中数据略去，见上面表格.求解结果如下：OPTIMUM FOUND AT STEP 197SOLUTION OBJECTIVE VALUE= 3.630V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTCITA(1) 0.E-06 -1.000 000 CITA(2) -0.E-05 -0.715 033 4CITA(3) 2.557 866 1.000 000 CITA(4) -0.E-04 0.E+00 CITA(5) 0.E-05 -1.000 000 CITA(6) 1.071 594 0.E+00 ………. (以下略)由此可知最优解为：︒︒≈≈07.1,56.263θθ （其它调整角度为0）.评注：如果将目标改为最大调整量最小，则可进一步化简得到线形规划模型，也可用LINDO 或LINGO 求解.参考文献：《数学的实践与认识》第26卷第1期，1996 6. 降落伞的选择这个优化问题的决策变量是降落伞数量n 和每一个伞的半径r ，可先将n 和r 看作连续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求作适当调整.目标函数之降落伞的费用，可以根据表1数据拟合伞面费用1C 与伞的半径r 的关系。
历年数学建模赛题题目与解题方法
数学建模题目浏览：1992--20091992年 (A) 施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝）(B) 实验数据分解问题（华东理工大学:俞文此; 复旦大学：谭永基）1993年 (A) 非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁）(B) 足球排名次问题（清华大学：蔡大用）1994年 (A) 逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可）(B) 锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）1995年 (A) 飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）(B) 天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾）1996年 (A) 最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福）(B) 节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂）1997年 (A) 零件参数设计问题（清华大学：姜启源）(B) 截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）1998年 (A) 投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平）(B) 灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康）1999年 (A) 自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽）(B) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）1999年(C) 煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）(D) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）2000年 (A) DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志）(B) 钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生）(C) 飞越北极问题（复旦大学：谭永基）(D) 空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年 (A) 血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭）(B) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光）(C) 基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）(D) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光）2002年 (A) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）(B) 彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚）(C) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）(D) 赛程安排问题（清华大学：姜启源）2003年 (A) SARS的传播问题（组委会）(B) 露天矿生产的车辆安排问题（吉林大学：方沛辰）(C) SARS的传播问题（组委会）(D) 抢渡长江问题（华中农业大学：殷建肃）2004年 (A) 奥运会临时超市网点设计问题(北京工业大学：孟大志)(B) 电力市场的输电阻塞管理问题(浙江大学:刘康生)(C) 酒后开车问题（清华大学：姜启源）(D) 招聘公务员问题（解放军信息工程大学：韩中庚）2005年 (A) 长江水质的评价和预测问题（解放军信息工程大学：韩中庚）(B) DVD在线租赁问题(清华大学:谢金星等)(C) 雨量预报方法的评价问题(复旦大学:谭永基)(D) DVD在线租赁问题(清华大学:谢金星等)2006年 (A) 出版社的资源配置问题(北京工业大学：孟大志)(B) 艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题（天津大学：边馥萍）(C) 易拉罐的优化设计问题（北京理工大学：叶其孝）(D) 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（解放军信息工程大学：韩中庚）2007年 (A) 中国人口增长预测(B) 乘公交，看奥运(C) 手机“套餐”优惠几何(D) 体能测试时间安排2008年（A）数码相机定位，（B）高等教育学费标准探讨，（C）地面搜索，（D）NBA赛程的分析与评价2009年（A）制动器试验台的控制方法分析（B）眼科病床的合理安排（C）卫星和飞船的跟踪测控（D）会议筹备历年全国数学建模试题及解法归纳赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局 0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建赛题解法01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析07A 人口问题微分方程、数据处理、优化07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图论、0-1规划08A 照相机问题非线性方程组、优化08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分析、回归分析赛题发展的特点：1. 对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B，某些问题需要使用计算机软件，01A。
全国大学生数学建模竞赛A题解析
三、解题思路（续）
（4）对于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油量
V与油位高度h及纵向倾斜角度 和 横向偏转角度 之间 的关系模型，即 V。F(,,h)
由于本问较复杂，需要分情况建立模型，可以先考 虑只发生纵向变位的情况。
三、解题思路（续）
球冠Ⅰ的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
球冠III的体积表达式为：
atabnhaaltanz a2z2a2arcsinaz2a2dz, 0hLltan
V( ,h) atabn
haltan haLltanz
a2z2a2arcsinaz2a2dz,
(Ll)tanh2altan
LabaahLltanz a2z2a2arcsinaz2a2dz, 0hLltan
180
190
200
L 19265.60 21941.18 24674.88 27450.77 30253.25 33066.99 35876.76 38667.27 41423.11 44128.48
h 210
220
230
240
250
260
270
280
290
3400
L 46767.21 49322.44 51776.40 54109.93 56302.12 58329.27 60163.39 61768.90 63093.63 64026.17
ax
h
三、解题思路（续）
利用积分可以计算出油位高度为h时实验罐的截面 面积，于是得到油位高度与储油量的计算公式：
V (H ) 2 a b b a (h b )2 b h h 2 a b a rc s in h b b L
其中a，b，L分别是实验罐截面椭圆的长半轴、短半轴 和罐体长度，h为油位高度。
数学建模cumcm历届竞赛赛题基本解法
数学建模（cumcm）历届竞赛赛题基本解法来源：蒋冰的日志赛题解法一些不必须用到的算法92A施肥效果分析回归分析，因子分析，相关分析，参数估计92B蛋白质氨基酸的组合问题线性不定方程式,离散最优化93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划线路设计，局部最优化，层次分析法94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划能量梯度算法，线性规划，非线性规划，逐步逼近搜索，95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论petri网，随机性分析96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划Gordon-Schaefer模型，97A零件的参数设计非线性规划敏感度分析、敏感度分析，统计检验，因素交替法，一维搜索，穷举法，随机模拟（MonterCarol)，模拟退火，最优速降法，97B截断切割的最优排列随机模拟、图论分支限界法，贪婪算法，最短路径（Dijkstra),启发式搜索（A*算法）98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划投资组合模型，灵敏度分析，多目标决策模型，偏好系数加权法，模糊线性规划法，多目标优化问题，随机投点法，98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化最小hamilton回路，最优旅行商路线99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟D检验方法，99B钻井布局0-1规划、图论强局算法，0-1规划，全局搜索算法00ADNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络广度优先，最小二乘法，欧氏距离vs 马氏距离，fisher分类法，人工神经网络（感知机模型，多层感知机，LVQ 矢量量化），隐马尔科夫模型，同源比较算法，傅立叶分析，动态规划，00B钢管订购和运输组合优化、运输问题线性规划，模拟退火，伏格尔法01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建快速傅立叶变换（FFT），网格法，极大似然法，01B工交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划数值模拟，微元法，函数最值，02B彩票问题单目标决策效用函数法，模糊数学中的隶属度函数，层次分析法，分类加权法，熵值法，logistic函数03ASARS的传播微分方程、差分方程负反馈系统，时间序列模型，神经网络，分支过程的MonteCarlo仿真，龙格-库塔法，曲线拟合，smallworldnetwork，sznajd模型，元胞自动机03B露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题贪心算法，04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化聚类分析，点阵模型，数据挖掘（apriori 算法）04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化huffman决策树，启发式算法05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理逼近理想解排序法，GM（1，1）模型，时间序列分析，反应扩散方程，二元线性回归预测，模糊综合评价法，置信水平，归一化法，主成份分析法，05BDVD在线租赁随机规划、整数规划0-1规划，贪婪算法，最小费用最大流06A出版社书号问题预测评价、数据处理出版社的资源配置06BHiv病毒问题随机规划、整数规划艾滋病疗法的评价07A人口问题整数规划、数据处理、优化人口预测，常微分方程，状态空间分析法07B公交车问题多目标规划、动态规划、图论、0-1规划最短路算法，集合求教算法，08A照相机问题非线性方程组、优化08B大学学费问题数据收集和处理、统计分析、回归分析09A制动器试验台的控制方法分析微元分析法09B眼科病床的合理安排层次分析法整数规划动态规划10A储油罐的变位识别与罐容表标定非线性规划多元拟合10B上海世博会影响力的定量评估数据收集和处理，层次分析法时间序列分析从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法：几何理论、组合概率、统计(回归)分析、优化方法（规划）、图论与网络优化、层次分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价、机理分析等方法。
全国大学生数学建模竞赛赛题基本解法
全国大学生数学建模竞赛赛题基本解法全国大学生数学建模竞赛是中国高校中最具权威和影响力的学科竞赛之一。
该竞赛由教育部、中共中央组织部、中国科学院及其他部门共同主办。
该竞赛旨在促进青年学生对于数学和工程的综合应用，培养学生的创新能力和实践能力。
竞赛模式全国大学生数学建模竞赛一般分为两个阶段：第一阶段为选拔赛，第二阶段为决赛。
选拔赛一般在当年11月份进行，由各高校数学系作为考场。
每个参赛队伍由3名学生组成，比赛时间为两天。
选手可以使用任何工具，比如计算器、软件、读者，但是不得使用互联网。
决赛一般在翌年1月份或2月份举行，由主办单位确定比赛地点。
决赛选手数量有限制，根据各省市选手数量的比例确定。
赛题解法全国大学生数学建模竞赛的赛题涵盖的面非常广，包括应用数学、工程数学、运筹学、优化理论等多个领域。
以下是该竞赛可能出现的赛题及其基本解法：1. 背包问题背包问题是计算机科学和数学中的一个经典问题，指在给定约束条件下，从若干种物品中选择若干件物品装入背包，使得背包能够承载的重量最大或体积最大。
解法：背包问题可以用动态规划、贪心算法、分支定界等算法解决。
2. 最优路径问题最优路径问题也就是指在一个有向加权图中，找到从起点到终点的最短路径或者最长路径。
解法：最优路径问题通常可以用Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd算法等解决。
3. 线性规划问题线性规划问题是运筹学中的一个重要问题，由一个线性目标函数和多个约束条件组成，目的是找出一组变量，使得目标函数最大或最小，并同时满足全部的约束条件。
解法：线性规划问题可以使用单纯性算法、内点法等算法进行解决。
4. 工程优化问题工程优化问题是指如何在给定资源的限制之下，设计和生产最符合要求的产品或系统。
工程优化问题常常包含多个目标和多个变量，并且这些变量之间具有复杂的相关性。
解法：工程优化问题可以使用遗传算法、蚁群算法、模拟退火等高级优化算法进行解决。
数学建模比赛例题解析
数学建模比赛例题解析
数学建模比赛通常提供一些实际问题，要求参赛者使用数学方法进行分析和解决。
以下是一个典型的数学建模比赛例题以及解析示例：
例题：某城市树木的生长速度问题
问题描述：某个城市的市政部门想要了解该城市内树木的生长速度，以便合理安排树木修剪和绿化工作。
为了解答该问题，需要参赛者进行如下任务：
1. 收集并分析该城市内树木的生长数据；
2. 建立数学模型，描述树木生长的规律；
3. 根据模型，预测未来某个时间点树木的高度；
4. 提出合理的树木修剪和绿化方案。
解析示例：
1. 收集并分析数据：参赛者可以通过实地调查和测量，收集不同树木在不同时间点的高度数据。
例如，可以选择20棵树木
作为样本，每个月测量它们的高度，记录在数据表中。
2. 建立数学模型：参赛者可以通过分析数据，找到树木生长的规律，建立数学模型描述树木的高度与时间的关系。
例如，可以假设树木的生长速度是线性增加的，即高度随时间的增加而增加。
3. 预测未来高度：根据建立的数学模型，参赛者可以使用已有数据预测未来某个时间点树木的高度。
例如，可以根据已有数据的拟合曲线，计算未来6个月后树木的预计高度。
4. 提出修剪和绿化方案：参赛者可以根据已有数据和预测结果，提出合理的修剪和绿化方案。
例如，可以根据树木的生长速度
和最佳高度范围，制定修剪方案，并根据城市规划要求，提出绿化方案。
总结：数学建模比赛的例题通常要求参赛者通过数据分析和数学建模，解决实际问题。
参赛者需要收集数据、建立模型、预测结果和提出解决方案。
数学建模典型例题
数学建模典型例题The document was prepared on January 2, 2021一、人体重变化某人的食量是10467焦/天,最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天.每天的体育运动消耗热量大约是69焦/千克天乘以他的体重千克.假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效,而1千克脂肪含热量41868焦.试研究此人体重随时间变化的规律.一、问题分析人体重Wt随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的,假设人体重随时间的变化是连续变化过程,因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程.二、模型假设1、以脂肪形式贮存的热量100%有效2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存3、假设体重的变化是一个连续函数4、初始体重为W三、模型建立假设在△t时间内：体重的变化量为Wt+△t-Wt；身体一天内的热量的剩余为Wt将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；转换成微分方程为：dWt+△t-Wt=Wtdt；四、模型求解d5429-69W/5429-69W=-69dt/41686W0=W解得：e-69t/416865429-69W=5429-69W即：Wt=5429/69-5429-69W/5429e-69t/41686当t趋于无穷时,w=81;二、投资策略模型一、问题重述一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案.5年后,它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输.在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车,将有净成本a ij二、问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径,即为最低成本的投资策略.三、条件假设除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；四、模型建立二511 7 三 64166 13 8四一 912 8 1120五10六运用Dijikstra算法1 2 3 4 5 60 4 6 9 12 206 9 12 209 12 2012 2020可发现,在第二次运算后,数据再无变化,可见最小路径已经出现即在第一年买进200辆,在第三年全部卖出,第三年再买进200第六年全部卖出.三、飞机与防空炮的最优策略一、问题重述：红方攻击蓝方一目标,红方有2架飞机,蓝方有四门防空炮,红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜.其中共有四个区域,红方可以其中任意一个接近目标,蓝方可以任意布置防空炮,但一门炮只能防守一个区域,其射中概率为1.那么双方各采取什么策略 二、问题分析该问题显然是红方与蓝方的博弈问题,因此可以用博弈论模型来分析本问题. 1、对策参与者为两方红蓝两方2、红军有两种行动方案,即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动.蓝军有三种防御方案,即四个区域非别布置防空炮记为1-1-1-1、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个记为2-1-1-0、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有记为2-2-0-0.显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的.三、问题假设：（1） 红蓝双方均不知道对方的策略.（2） 蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮,但是大炮数量大于飞机的数量,而一门大炮已经可以击落一架飞机,因而这种方案不可取.（3） 红方有两种方案,一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标,另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标.（4） 假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场,且双方必须同时作出决策.四、模型建立A= 1 0B= 0 1 没有鞍点,故用混合策略模型解决本问题设蓝方采取行动i 的概率为 xii=1,2,3,红方采取行动j 的概率为yjj=1,2,则蓝方与红方策略集分别为：S1=｛x=x1,x2,x30< xi<1,∑xi=1｝, S2=｛y=y1,y20< yi<1,∑yi=1｝. 五、模型求解下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x Max v10x1+x 2+x 3 >v1 x 1+x 2+x 3 >v1 x 1+x 2+x 3 =1xi<=1下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y Min v2 y 2 <v2 y 1+y 2 <v2 y 1+ y 2 <v2 y 1+y 2= 1 yi<=1四、雷达计量保障人员分配开展雷达装备计量保障工作中,合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键.所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上,并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益.现某雷达团共部署12种型号共16部雷达,部署情况及计量保障任务分区情说明：1．保障任务分区域进行保障；2．B 、H 、L 型雷达分为两个保障任务,分别为B 1、B 2、H 1、H 2、L 1、L 2,其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5．每个保障人员只能保障一个任务； 6．每个保障任务只由一个保障人员完成.雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定,即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同.各雷达的重要性如下表所示表中下标表示雷达该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员,他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示：问题：如何给该团三个营分配计量保障人员,使他们发挥最大军事效益一、问题分析：该问题是人员指派问题,目的是得到最大效益.根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵,用0—1整数规划方法来求解,得到最大效益矩阵.二、模型假设1．保障任务分区域进行保障；2．B、H、L型雷达分为两个保障任务,分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2,其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务；4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务；5．每个保障人员只能保障一个任务；6．每个保障任务只由一个保障人员完成.三、模型建立根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=007.09.03.08.04.002.05.03.06.08.08.06.08.03.07.02.06.07.03.07.03.04.06.07.08.07.05.06.03.05.05.07.04.02.02.01.02.02.0001.02.02.02.06.01.006.04.02.08.05.03.03.06.03.0003.03.04.03.002.0004.09.05.02.01.08.08.08.08.06.08.08.008.06.07.08.06.08.005.07.03.03.03.03.07.07.05.03.003.06.03.07.06.07.08.05.02.02.07.02.02.05.08.06.02.002.05.005.05.0007.05.04.03.04.04.004.07.04.06.04.0000009.005.05.05.05.05.005.05.05.05.05.05.0005.005.09.08.07.0006.04.04.03.09.07.06.07.08.04.07.003.08.0A 根据题目,设保障任务的重要性向量),...,,(21i b b b B =,bi 表示第i 个任务的重要性.列出保障任务重要性向量：[]7.07.06.08.09.07.06.09.09.07.08.07.07.07.08.09.09.08.0=B 我们用二者的乘积表示效益矩阵： T *=B A R .我们设元素rij 表示第i 个人完成j 件事的效益,Xij 表示第i 个人去保障第j 件任务,如果是,其值为1,否则为0.利用这一个矩阵和0-1规划,我们就可以列出方程：∑=<=ni ij x 11,m<=nmodel: sets: M/1..10/; N/1..18/:a; allowedM,N:b,r,x; endsets data:a= ; b= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; enddatamax=sumallowedi,j:xi,jri,j;forMi:forNj:ri,j=ajbi,j;forMi:sumNj:xi,j=1;forNj:sumMi:xi,j<=1;forMi:forNj:binxi,j;End解得最大效益为,分配方案为：第5、7、8号保障人员分配到区域1,其中8号承担A型,5、7号承担B1,B2型；第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2,其中第9号保障人员承担F型2号G型,1、3号承担H1,H2型,4号I型；第6、10号保障人员分配到区域3,6号F型、10号J型.。
原题目：数学建模竞赛题目与解答
原题目：数学建模竞赛题目与解答
数学建模竞赛是一个经典的竞赛形式，旨在测试参赛者对数学
问题的理解和解决能力。
本文将介绍一些常见的数学建模竞赛题目
及其解答。
1. 题目：某公司需要根据过去的销售数据预测未来一年的销售额。
已知过去5年销售额的数据如下：(省略数据)
解答：为了预测未来一年的销售额，可以使用回归分析的方法。
首先，将过去的销售额数据作为自变量，时间作为因变量，建立回
归模型。
然后，利用该模型来预测未来一年的销售额。
2. 题目：某城市的交通拥堵问题日益严重，如何合理规划道路
网以减轻交通压力？
解答：为了合理规划道路网以减轻交通压力，可以使用网络优
化的方法。
首先，建立该城市的交通网络模型，包括各个道路的长度、拥堵情况等参数。
然后，通过优化算法，确定最佳的道路规划
方案，以减轻交通压力。
3. 题目：某餐厅需要确定每个菜品的最佳售价，以最大化利润。
已知每个菜品的成本和销售量如下：(省略数据)
解答：为了确定每个菜品的最佳售价，可以使用价格优化的方法。
首先，将每个菜品的成本和销售量作为参数，建立利润模型。
然后，利用优化算法，确定最佳的售价，以最大化利润。
以上是一些常见的数学建模竞赛题目及其解答。
通过深入理解
和灵活运用数学方法，可以有效解决各种实际问题，提高数学建模
能力。
自己弄的历年全国数学建模试题及解法归纳定义
历年全国数学建模试题及解法归纳定义93A非线性交调的频率设计拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λn)，使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。
如果待定函数是线性，就主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。
表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。
拟合的曲线一般可以用函数表示.根据这个函数的不同有不同的拟合名字。
在MATLAB中可以用polyfit 来拟合多项式。
93A数学规划学科的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化和整数规划、随即规划、模糊规划、非光滑优化、多层规划、全局优化、变分不等式和互补问题等。
数学规划学科的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化和整数规划、随即规划、模糊规划、非光滑优化、多层规划、全局优化、变分不等式和互补问题等。
93B足球队排名图论是研究由线连接的点集的理论。
点集中的点称为结点，连接某些点对的线称为边。
一些由结点及边构成的图称为线图。
在线图中，结点的位置分布和边的长短曲直都可以任意描画，这并不改变实际问题的性质。
我们关心的是它有多少个结点，在哪些结点间有边相连，以及整个线图具有的某些特性。
93B层次分析（AHP）（购物模型、选拔干部模型等）是将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。
将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。
层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
93B整数规划：依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规划、全整数规划、混合整数规划、0-1整数规划。
94A逢山开路图论94A插值：在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
历年全国数学建模试题及解法
一、历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A 非线性交调的频率设计拟合、规划93B 足球队排名图论、层次分析、整数规划94A 逢山开路图论、插值、动态规划94B 锁具装箱问题图论、组合数学95A 飞行管理问题非线性规划、线性规划95B 天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A 最优捕鱼策略微分方程、优化96B 节水洗衣机非线性规划97A 零件的参数设计非线性规划97B 截断切割的最优排列随机模拟、图论98A 一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B 灾情巡视的最灾情巡视的最佳佳路线图论、组合优化99A 自动化车动化车床床管理随机优化、计随机优化、计算算机模拟99B 钻井布局0-1规划、图论00A DNA 序列分类模式识别式识别、、Fisher 判别判别、、人工神经网络00B 钢管订购和运输组合优化、组合优化、运输运输运输问题问题01A 血管三维重建曲线拟合、线拟合、曲面重建曲面重建01B 工交车调度问题多目标规划02A 车灯线光源光源的优化的优化非线性规划02B 彩票彩票问题问题问题 单目标目标决决策 03A SARS 的传播传播 微分方程、微分方程、差差分方程分方程03B 露天矿生产矿生产的车的车的车辆安辆安辆安排排 整数规划、整数规划、运输运输运输问题问题问题 04A 奥运会临时超市网点奥运会临时超市网点设计设计设计 统计分析、数计分析、数据处据处据处理、优化理、优化理、优化 04B 电力市场电力市场的的输电阻塞输电阻塞管理管理管理 数据拟合、优化拟合、优化 05A 长江长江水水质的评价和预测评价和预测 预测评价预测评价、数、数、数据处据处据处理理 05B DVD 在线租赁租赁 随机规划、整数规划随机规划、整数规划二、赛题发展的特点1.对选手对选手的计的计的计算算机能力提出了更高能力提出了更高的的要求：要求：赛题的解赛题的解赛题的解决依赖决依赖决依赖计计算机，题目的数题目的数据较据较据较多多，手工，手工计计算不能完成，如03B ，某些，某些问题问题问题需要需要需要使用使用使用计计算机软件，01A 。
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数学建模题目浏览：1992--2009
1992年 (A) 施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝）
(B) 实验数据分解问题（华东理工大学:俞文此; 复旦大学：谭永基）
1993年 (A) 非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁）
(B) 足球排名次问题（清华大学：蔡大用）
1994年 (A) 逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可）
(B) 锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）
1995年 (A) 飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）
(B) 天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾）
1996年 (A) 最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福）
(B) 节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂）
1997年 (A) 零件参数设计问题（清华大学：姜启源）
(B) 截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）
1998年 (A) 投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平）
(B) 灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康）
1999年 (A) 自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽）
(B) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）
1999年(C) 煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）
(D) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）
2000年 (A) DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志）
(B) 钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生）
(C) 飞越北极问题（复旦大学：谭永基）
(D) 空洞探测问题（东北电力学院：关信）
2001年 (A) 血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭）
(B) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光）
(C) 基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）
(D) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光）
2002年 (A) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）
(B) 彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚）
(C) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）
(D) 赛程安排问题（清华大学：姜启源）
2003年 (A) SARS的传播问题（组委会）
(B) 露天矿生产的车辆安排问题（吉林大学：方沛辰）
(C) SARS的传播问题（组委会）
(D) 抢渡长江问题（华中农业大学：殷建肃）
2004年 (A) 奥运会临时超市网点设计问题(北京工业大学：孟大志)
(B) 电力市场的输电阻塞管理问题(浙江大学:刘康生)
(C) 酒后开车问题（清华大学：姜启源）
(D) 招聘公务员问题（解放军信息工程大学：韩中庚）
2005年 (A) 长江水质的评价和预测问题（解放军信息工程大学：韩中庚）
(B) DVD在线租赁问题(清华大学:谢金星等)
(C) 雨量预报方法的评价问题(复旦大学:谭永基)
(D) DVD在线租赁问题(清华大学:谢金星等)
2006年 (A) 出版社的资源配置问题(北京工业大学：孟大志)
(B) 艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题（天津大学：边馥萍）
(C) 易拉罐的优化设计问题（北京理工大学：叶其孝）
(D) 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（解放军信息工程大学：韩中庚）
2007年 (A) 中国人口增长预测
(B) 乘公交，看奥运
(C) 手机“套餐”优惠几何
(D) 体能测试时间安排
2008年
（A）数码相机定位，
（B）高等教育学费标准探讨，
（C）地面搜索，
（D）NBA赛程的分析与评价
2009年
（A）制动器试验台的控制方法分析
（B）眼科病床的合理安排
（C）卫星和飞船的跟踪测控
（D）会议筹备
历年全国数学建模试题及解法归纳
赛题解法
93A非线性交调的频率设计拟合、规划
93B足球队排名图论、层次分析、整数规划
94A逢山开路图论、插值、动态规划
94B锁具装箱问题图论、组合数学
95A飞行管理问题非线性规划、线性规划
95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论
96A最优捕鱼策略微分方程、优化
96B节水洗衣机非线性规划
97A零件的参数设计非线性规划
97B截断切割的最优排列随机模拟、图论
98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划
98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化
99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟
99B钻井布局 0-1规划、图论
00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工
神经网络
00B钢管订购和运输组合优化、运输问题
01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建
赛题解法
01B 公交车调度问题多目标规划
02A车灯线光源的优化非线性规划
02B彩票问题单目标决策
03A SARS的传播微分方程、差分方程
03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题
04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化
04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化
05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理
05B DVD在线租赁随机规划、整数规划
06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化
06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析
07A 人口问题微分方程、数据处理、优化
07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图
论、0-1规划
08A 照相机问题非线性方程组、优化
08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分
析、回归分析
赛题发展的特点：
1. 对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B，某些问题需要使用计算机软件，01A。
问题的数据读取需要计算机技术，如00A（大数据），01A（图象数据，图象处理的方法获得），04A（数据库数据，数据库方法，统计软件包）。
计算机模拟和以算法形式给出最终结果。
2. 赛题的开放性增大解法的多样性，一道赛题可用多种解法。
开放性还表现在对模型假设和对数据处理上。
3. 试题向大规模数据处理方向发展
4. 求解算法和各类现代算法的融合
/jpk/viewCharacterDetail.action?sectionId=60126&courseI d=4137
/home/%e6%95%b0%e6%a8%a1%e5%85%ac%e5%bc%80%e8%af%be。