函数对称性和周期性的一些重要结论
函数对称性和周期性的一些重要结论
函数对称性和周期性的一些重要结论1.函数的对称性函数的对称性可以分为自对称和互对称。
其中，自对称指函数图像关于某一条直线对称，互对称指两个函数图像关于某一条直线对称。
自对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(-x)的函数y = f(x)的图像关于y轴对称，对称轴为x = 0.满足f(a+x) = f(a-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。
互对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(2a-x)或f(-x) = f(2a+x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。
满足f(a+x) = f(b-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。
满足f(a+wx) = f(b-wx)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (b-a)/(2w)对称。
满足f(a+x) + f(b-x) = c的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。
2.函数的周期性函数的周期性指函数满足f(x+T) = f(x)的性质，其中T为函数的周期。
常见的函数周期有以下几种：周期为T的函数，其图像在横轴上每隔T个单位长度就会重复一次。
周期为2T的函数，其图像在横轴上每隔2T个单位长度就会重复一次。
周期为2T的奇函数，其图像关于原点对称，即满足f(x+2T) = -f(x)。
周期为2T的偶函数，其图像关于y轴对称，即满足f(x+2T) = f(x)。
3.函数的一些结论周期为T的函数f(x)的平均值为f(x)在一个周期内的积分除以T。
两个周期为T的函数f(x)和g(x)满足f(x) + g(x) = c的解析式为f(x) = (c/2) + h(x)，g(x) = (c/2) - h(x)，其中h(x)为周期为T的函数。
如果y = f(x)和y = f(-x)的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。
如果y = f(x)和y = f(-x) + b的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点上下平移b个单位。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
函数奇偶性、对称性与周期性有关结论
函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结-史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。
1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
《分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f/函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= "7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2=8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
函数对称性5个结论的推导
函数对称性5个结论的推导
函数周期性只有三个推导，分别如下：
1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则
函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。
2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正
周期）。
3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对
称中心B（b，0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-
a|（不一定为最小正周期）。
周期函数性质如下：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是
f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定
是T*的正整数倍。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(学生版)-2024年高考二级结论速解技巧
f (a + x)= f (a − x)
最常逆应用：若 y
=
f (x) 关于 x
=
a
对称：可得到如下结论中任意一个：
f= ( x)
f (2a − x)
；
f (−x=) f (2a + x)
周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.
（2）点对称：若 f (a + x) =− f (b − x) + c ,则 y = f (x) 的图象关于点 ( a + b , c ) 对称. 22
C． f (2022) = 0
D． f (2023) = 2
三、填空题
6．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，对任意的 x∈ R
都有
f
x
+
3 2
= − f
(
x)
，当
x
∈
−
3 4
,
0
时， = f ( x)
log2 (1+ x) ，则 f (2021) + f (2022) = _________
当 x ∈[−2, 0] 时， f= ( x)
1 x 3
+
b
，则
f
(log3 162)
= ___________.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2 + x) =f (x) ，当 x ∈[0, 2]时，
f (x) = −x(x − 2) ，则方程 f (x) = lg x 有___________个根.
最常逆应用：若 y
函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。
1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。
这种性质
极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。
本文为读者介绍函数周期
性与对称性常见的结论。
一、周期性
1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；
2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会
回到原来的状态；
3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；
4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函
数f(x)就不再具有周期性；
5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。
二、对称性
1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；
2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；
3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；
4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；
5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。
函数对称性和周期性的几个重要结论
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）15-00-03函数的对称性和周期性是函数重要的两大性质，而函数的性质是高中数学函数部分的一个重点内容。
历年高考和竞赛题重点考察内容之一也是函数的定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、对称性、周期性、图像、极值和最值等性质。
函数的对称性和周期性不仅广泛存在于数学问题之中，在我们的日常生活中也能经常遇见，而且利用对称性和周期性往往能更简捷地使问题得到解决，对称性和周期性关系还充分体现数学之美。
本文就函数的对称性和周期性之间的关系加以探讨。
一、函数的对称性（一）函数对称性的定义函数的对称有自对称和互对称。
自对称是指同一个函数图像的对称（中心对称或轴对称），图像是其本身；互对称是指两个函数图像上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。
函数对称还有轴对称和点对称。
（二）函数自对称的相关结论结论1：函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是。
上述关系式也可以写成或。
简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于点对称。
得证。
特别地：函数的图像关于原点（0，0）对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0。
即：a=b=0推论1：如果函数满足，则函数的图象关于点对称推论2：若，即：，则的图像关于点对称。
推论3：若，则的图像关于点对称。
（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。
）证明：在函数上任取一点，则。
点关于点（，）的对称点为（，c-），当时，，即点（，c-）在函数的图象上。
由于点为函数图象上的任意一点可知，函数的图象关于点（，）对称。
结论2：函数的图像关于直线x=a对称的充要条件是或或。
（即：可以改写成或。
）特别地：函数的图像关于y轴（x=0）对称的充要条件是f（x）=f（-x）。
即：a=0。
推论：函数满足的充要条件是的图象关于直线对称。
（注：当a=b=0时，该函数为偶函数。
）注：假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。
函数的周期性和对称性常用结论
函数的周期性和对称性常用结论1.若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.2.周期性：（1）若()()f x a f b x +=+，则||T b a =-（2）若()()f x a f b x +=-+，则2||T b a =-（3）若1()()f x a f x +=±，则2T a = （4）若1()()1()f x f x a f x -+=+，则2T a = （5）若1()()1()f x f x a f x ++=-，则4T a = 注：（3）、（4）、（5）要求知道并会推导，不要求死记3.对称性（1）若()()f a x f b x +=-，则()f x 的对称轴为2a b x += （2）若()()f a x f b x c +=--+，则()f x 的图象关于点(,)22a b c +中心对称 （3）函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于2a b x +=对称 4.若函数的图象同时具备两种对称性：即两条对称轴、两个对称中心、一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
（只需要知道这个结论，用的时候会推导即可）（1）若()f x 的图象有两条对称轴x a =和x b =，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（2）若()f x 的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（3））若()f x 的图象有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为4||b a -；。
巧用有关函数对称性和周期性的结论解题
所以 f (2023) = -2.
因为 f (x + 1) 是奇函数，
所以根据奇函数的定义，
将
函数式进行转换，
得到 f (x) = -f (2 - x) ，
根据结论 2 可知
函数 f (x) 的图象关于点 (1,0) 对称.而由 f (x) = f (x - 8)，
个函数同时具有对称性和周期性，那么该函数就比较
设点 A 的横坐标为 x ，
特殊，且具有一些特殊的性质，我们可根据其图象和
解析式得出很多相关的结论.
结 论 1. 若 f (x) = f (2a - x)或f (a - x) = f (a + x) ，则 函
数 f (x) 的图象必然关于 x = a 对称.反过来，若函数
可知函数的周期是 8，即可根据函数的周期性求得问
题的答案.
在解答与函数周期性、对称性有关的问题时，要
明确自变量的意义，各个变量与自变量之间的关系，
从而抓住问题的本质，据此建立关系式.必要时可将
数学篇
40
数形结合起来，借助图形来明确函数图象的变化情
况，以确定函数的对称性和周期性，顺利求得问题的
图5
π
如图 5，
所以 f (-x + 1) = -f (x + 1) ，
由于 (-x + 1) +(x + 1) = 2 ，
所以 f (x) = -f (2 - x) ，
即函数 f (x) 关于点 (1,0) 对称.
由于 f (x + 5) = f (x - 3) ，
所以 f (x + 5 - 5) = f (x - 3 - 5) ，
函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总
函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称，即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
(完整版)对称性和周期性性质总结
函数の对称性和周期性一、几个重要の结论（一）函数图象本身の对称性（自身对称）1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。
2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。
3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+の充要条件是 )(x f y =图象关于直线 22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
特殊地，如果a=0,b=0,则其关于x=0即关于y 轴对称，此时)()(x b f x a f -=+变为f(x)=f(-x),其实就是偶函数。
4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等の常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期の周期函数。
5、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期の周期性函数。
6、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期の周期性函数。
我当初の总结是：函数对称包涵两种：一是点对称，而是线对称，比如偶函数属于线对称，奇函数属于点对称，奇偶函数对称都是关于0.即偶函数关于x=0对称，奇函数关于（0,0）对称。
那么如果一个函数是双重对称，那么该函数就是周期函数，那么什么叫多重对称呢？且看下面列子你就明白了：1， 若函数关于两条线x=a 和x=b 对称（这就叫双重对称），那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。
2， 若函数关于两个点（a,0）和（b,0）(注都是x 轴上の点)，那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。
第七讲函数之周期性与对称性
第七讲函数之周期性与对称性函数的周期性与对称性一．定义：假定T 为非零常数，关于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立那么f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，那么()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、 假定函数()()f x a f x a +=-，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、假定函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，那么()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),那么f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 假定函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,那么f(x)为周期函数且2〔b-a 〕是它的一个周期。
10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，那么函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，那么函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、假定偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
对f(x+a)=±f(a-x)_、f(x+a)=±f(x-a)_型的对称性、周期性的研究.整理后
对()()f x a f a x +=±-、()()f x a f x a +=±-型及奇偶型函数的对称性、周期性的重要结论探究新课程理念很重要的一个思想方法就是类比推理的应用。
学生在高考中经常遇到与对称性、周期性有关的试题，却无从下手。
本人就()()f x a f a x +=±-、()()f x a f x a +=±-等式及与奇偶函数有关的对称性、周期性进行了一系列的探究，归纳总结出了比较重要的结论，并介绍了记忆方法，希望对高中学生有所帮助。
一、()()f x a f a x +=±-型1、()()f x a f a x +=-型重要结论结论1：()()y f x x R =∈，()()f x a f a x +=-⇒()f x 关于直线x a =对称。
（由图像易得，证明略） 对称轴的求法：()()2x a a x x a ++-== 结论2：()()y f x x R =∈，0a ≠，()()()f x a f a x f x a +=-⇒+为偶函数。
【证明】：由结论1得()f x 关于直线x a =对称，∴()f x a +关于y 轴对称，即()f x a +为偶函数。
结论3（拓展）：()y f x a =+与()y f a x =-关于0x =对称。
（读者自己证明）对称轴的求法：令x a a x +=-，所以0x =。
2、()()f x a f a x +=-- ［()()0f x a f a x ++-=］型重要结论结论4：()()y f x x R =∈，()()f x a f a x +=--⇒()f x 关于点(,0)a 对称； 对称中心点的坐标的求法：()()2x a a x x a ++-==；()()02f x a f a x y ++-== 【证明】：∵由结论1得()f x 关于x a =对称；又∵()()f a x f a x ---、关于x 轴对称，∴由函数图像易得()f x 关于(,0)a 点对称。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
性质 1 若函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质 2 若函数 y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)
（2）例题
1、 f (x) a x 关于点（ 1 ，1）对称： f (x) f (1 x) 1;
ax a
22
f
(x)
4x 2
1（ 0，1）对称：
f
(x)
f
(x)
2
f
(x)
1 x
1
(
R, x
0)关于（1 ，1）对称：f（x) 22
f
(1) x
1
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： f (x) f (x) 0 。
12、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b a) y f (x) 周期T 2(b a)
推论：奇函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期T 4a
13、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) (b a) f (x) 的T 4(b a)
3、若 f (x) f (2a x)或f (a x) f (a x), 则y f (x) 的图像关于直线 x a 对
称。设 f (x) 0有n个不同的实数根，则
x1 x2 xn x1 (2a x1) x2 (2a x2 ) xn (2a xn ) na .
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函
数
周
期
性
的
一
些
结
论
序号
函数式满足关系
周期
（1）
（2）
（3）
；
（4）
（5）
或
（6）
（7）
（8）
（9）
．定义在 上且周期 为的奇函数有 ．
（10）
（11）
（12）
（13）
关于函数的图像对称性和周期性的记忆方法：
（1）
（2）
（3）
（4） 以 为对称轴，或以 为对称中心，则 为 的一个周期．
（5）以 为对称轴和对称中心，则 为 的一个周期．
序号
函数满足的条件
对称轴（中心）
自
对
称
轴
对
称
（1）
满足 的函数 的图象
，偶函数
（2）
满足 的函数 的图象
（或 ，或 ）
（3）
满足 的函数 的图象
（4）
满足 的函数 的图象
中
心
对
称（Βιβλιοθήκη ）满足 的函数 的图象，奇函数
（6）
满足 的函数 的图象
（或 ，或 ）
（7）
满足 的函数 的图象
（8）
满足 的函数 的图象
互
对
称
轴
对
称
（9）
与 的两个函数的图象
（即 轴）
（10）
与 的两个函数的图象
（11）
与 的两个函数的图象
（12）
与 的两个函数的图象
（即 轴）
（13）
与 的两个函数的图象
（14）
和 的两个函数的图象
中
心
对
称
（15）
与 的两个函数的图象
（16）
与 的两个函数的图象
（17）
与 的两个函数的图象
记忆方法：自对称找中点，互对称让两式子中（ ）的值相等。