含时间的微扰论-量子跃迁 Ⅰ. 含时间的微扰论-量子跃迁 Ⅱ. 微扰引起的跃迁

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量子力学第9章-含时微扰【VIP专享】

Hm k
mk
2
2ie
i
mk
t
/
2
s
in(
1 2
mk
t
)
4|
Hm k
|2
sin2
(
1 2
mk
t
)
2mk 2
极限公式：
lim
sin2 (x) x2
( x)
则当t →∞ 时上式右第二个分式有如下极限值：
lim t
sin
2
(
1 2
mkt)
1 4
mk
2t
(
1 2
mk )
2 ( m k )
2 ( m k )
（1）引进一个小参量，用 H' 代替 H'（在最后结果中再令 = 1）；
（2）将 an(t) 展开成下列幂级数； an an(0) an(1) 2an(2)
（3）代入上式并按幂次分类；
i
dam(0)
dam(1)
2
dam(2)
dt
dt
dt
n
[an(0) an(1) 2an(2) ]Hˆ m neimn t
因此,我们只需讨论 ω≈ ± ωmk 的情况即可。
（3）跃迁几率
当 ω=ωm k 时，略去第一项，则
am(1)
Fmk
e i[mk ]t
mk
1
此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换： H’mk→ Fmk , ωmk → ωmk-ω，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微扰情况下的跃迁几率为：
m | Fˆ [eit eit ] | k
m | Fˆ | k [eit eit ] Fmk [eit eit ]

第5章微扰理论-量子跃迁

§6.含时微扰论前面，我们解决的是H ˆ与t 无关，但不能直接求解，而利用020V m2P H ˆ+=有解析解，并且01V V H ˆ-=较小，通过微扰法求解)r (E )r ()p ˆ,r (H ˆψψ=的近似结果。

有时也能用试探波函数，通过变分来获得。

现在要处理的问题是：体系原处于0H ˆ的本征态（或叠加），而有一与t 有关的微扰)t (H ˆ1附加到该体系。

显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1H ˆ在一段时间中不变），在0H ˆ的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。

而且无法获得解析结果。

有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0H ˆ的本征态的几率又不随时间变化。

当然，这与作用前的几率已有所不同。

也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。

这就需要利用含时间的微扰论。

总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。

H ˆ与t 有关，体系原处于)P ˆ,r (H ˆ0，随t 加一微动)t (V ψψH ˆti =∂∂ , )t (V H ˆ)t (H ˆ0+= 因0H ˆ不显含t ，而有 )r (E )r (H ˆn0n n 0ϕϕ= 则 ψψ0H ˆti =∂∂的通解为 ∑-=ψnt iEn n 0nea )t ,r (ϕ 0H 的定态∑=nn )t ,r (a ψt iEn ne )r ()t ,r (ϕψ=而 n a 是常数))0,r (),r (())t ,r (),t ,r ((a n n n ψ=ψ=ϕψ 不随t 变当nk n a δ=时，即0t =，处于)r (k ϕ时)t ,r (e )r ()t ,r (k t iEk kψϕ==ψ-即微扰不存在时，体系处于定态)t ,r (k ψ上。

当微扰存在时，特别是与t 有关时，则体系处于0H ˆ的各本征态（或定态）的几率将可能随时间发生变化。

56与时间有关的微扰理论

格成立，但偏离一点也跃迁，此时从经典观点看，
能量并不守恒，mk 不确定。
３） mk
不确定的范围：
mk
:
1 t'
(10)
由于k分立，m连续，所以
mk
( m
k h
)
1 h
m
(11)
结果(10),(11)式： t ' m : h (12)
这个微扰过程是测量末态能量的过程：以ω试，到达如何 mk 时跃迁，即可从初态推测到末态。（12）式说明，测量时间间隔t’与能量不确定
１、先求的第k个本征态（初态） k 和第m 个本征态（末态）之间的微扰矩阵元：
Hµ'mk m* Hµ'k d Fmk (eit eit ) (2)
Fmk (m, Fµk),不含时。 (3)
２、将(2)式代入上节 am (t) 公式（5.6-10）,即（14）式中积分：
am
(t)
1 ih
4
H
' mk
h2
2
sin2 mkt
2
2 mk
W 4 h
sin2 mkt
H
' mk
2
(m)
2
2 mk
dmk
(3)
(4)
利用公式
lim
t
sin2 xt
tx2
(x)
W 2t h
H
' mk
2
(m)mk dmk
(5)
如果对（5）式只考虑
H
' mk
和ρ(m)都随
m平滑变
化的情况，将他们移出积分号外。
dt
从k m （初态终态）。即发生量子跃迁，从一个定态另一个定态，系统有局部的能

量子跃迁

n
Cnk (t) e−iEn t/ |ψn ⟩
Cnk (t) = ⟨ψn |ψ (t)⟩
我们增加k 的指标是为了表明扰动之前是处在|ψk ⟩这个本征态上，出现跃迁是从Ek 这个能级上跃迁出来的。按照统计诠释，t时刻测量力学量F ，得到Fn 的几率应该为 Pnk (t) = |Cnk (t)| = |⟨ψn |ψ (t)⟩|
) ′ ′ eiωmk t ∂Hmk (t′ ) ′ + dt |m⟩ e−iEm t/ = δmk − ωmk ωmk ∂t′ −∞ m ) ( ′ ∑ e−iEm t/ ∫ t ∂H ′ (t′ ) ∑ ′ Hmk ′ ′ mk |m⟩ e−iEk t/ − eiωmk t dt′ |m⟩ = |k ⟩ + ′ Ek − Em Ek − Em −∞ ∂t m m ∑ ( t) ∫
t > t0 t < t0
ˆ 0 ，在某个时刻开始加上一个扰也就是说，在无外界相互作用的时候，体系Hamiltonian 为不含时的H ˆ ′ (t)。动H ˆ 0 本征态|ψk ⟩上， t < t0 时是定态问题，系统处于H ˆ 0 |ψn ⟩ = En |ψn ⟩ H |ψk (t)⟩ = e−iEk t/ |ψk ⟩ (t < t0 )
t iωmk t′ ′ Hmk ′ ′
∫
(1) Cmk
(t)
当t < 0，H 有加上微扰，量子态随时间的演化只是一个非定态的不含时问题，各成分保持不变。从另一个角度也可以理解为跃迁出去多少，从所有别的态跃迁回来也是多少。当0 < t < T ， Cmk (t) = −
(1) ′ eiωmk t Hmk ( t) + ωmk
∫

高中物理竞赛量子力学第20讲量子跃迁的微扰理论

《量子力学》考试知识点

《量⼦⼒学》考试知识点《量⼦⼒学》考试知识点第⼀章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（⼀）、经典物理学困难的实例（⼆）、微观粒⼦波－粒⼆象性考核要求：（⼀）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量⼦、光电效应、康普顿效应。

2.领会：微观粒⼦的波－粒⼆象性、德布罗意波。

第⼆章：波函数和薛定谔⽅程考核知识点：（⼀）、波函数及波函数的统计解释（⼆）、含时薛定谔⽅程（三）、不含时薛定谔⽅程考核要求：（⼀）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的⾃然条件、⾃由粒⼦平⾯波2.领会：微观粒⼦状态的描述、Born⼏率解释、⼏率波、态叠加原理（⼆）、含时薛定谔⽅程1.领会：薛定谔⽅程的建⽴、⼏率流密度，粒⼦数守恒定理2.简明应⽤：量⼦⼒学的初值问题（三）、不含时薛定谔⽅程1. 领会：定态、定态性质2. 简明应⽤：定态薛定谔⽅程第三章：⼀维定态问题⼀、考核知识点：（⼀）、⼀维定态的⼀般性质（⼆）、实例⼆、考核要求：1.领会：⼀维定态问题的⼀般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应⽤：定态薛定谔⽅程的求解、第四章量⼦⼒学中的⼒学量⼀、考核知识点：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归⼀化”（四）、算符的共同本征函数（五）、⼒学量的平均值随时间的变化⼆、考核要求：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质1.识记：算符、⼒学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本⼒学量算符的对易关系（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征⽅程、本征值、本征函数、正交归⼀完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、⼒学量可取值及测量⼏率、⼏率振幅。

（三）、连续谱本征函数“归⼀化”1.领会：连续谱的归⼀化、箱归⼀化、本征函数的封闭性关系（四）、⼒学量的平均值随时间的变化（⼀）、表象变换，⼳正变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量⼦态的不同描述⼆、考核要求：（⼀）、表象变换，⼳正变换1.领会：⼳正变换及其性质2.简明应⽤：表象变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应⽤：平均值、本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应⽤：利⽤算符矩阵表⽰求本征值和本征函数（三）、量⼦态的不同描述第六章：微扰理论⼀、考核知识点:（⼀）、定态微扰论（⼆）、变分法（三）、量⼦跃迁⼆、考核要求:（⼀）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应⽤：简并态能级的⼀级，⼆级修正及零级近似波函数4.综合应⽤：⾮简并定态能级的⼀级，⼆级修正、波函数的⼀级修正。

量子力学-含时间的微扰论-量子跃迁 Ⅱ. 微扰引起的跃迁 Ⅲ. 磁共振 Ⅳ. 绝热近似

a( 2) n
n'
)
则有
i
d dt
a(n0)
(
t)
0
i
d dt
a
(1) n
(
t
)
n'
Vnn
'einn'
ta
(0) n'
(t)
i
d dt
a
(2) n
(t)
n'
Vnn
'einn'
ta
(1) n'
(
t
)
于是有解 a(n0)(t) An ，它与 t 无关。
由初条件 t t0 时，体系处于 Hˆ 0 的定
可，则
a
k(1) n
(t)
1 i
tt0
Vnk
( t1 )eiω nk t1
dt1
这表明，体系在 t0 时刻处于 Hˆ 0定态
k (r, t0)。在 t 时刻，体系可处于 Hˆ 0 的
定态
n (r, t)
，而其概率幅为
a
k(1) n
(t)
（ n k ）。
因此，我们在 t 时刻，测量发现体系处于
这一态的概率为
Pkn
akn(1) (t) 2
1 2
tt0 Vnk (t1)einkt1dt1 2
例1 处于基态（ t ）的氢原
子，受位势
V(t) e x E0e t
（ 0 为实参数）扰动,
① 求 t 时，处于态 nlm 的
概率
Pnlm
1 2
eE0 nlm x 100 e t ei(EnE1)t dt 2
n1n2nm1
t

量子力学-含时间的微扰论 Ⅴ.贝利相位和贝利相位因子第十一章量子散射的近似方法Ⅰ.一些描述散射的物理量

K2 2
42
eiteit
普遍解为
((t))
Ac1 Ac2
Bc1 Bc2
A
K
Aeit Beit K 2 42 eit B K 2
K2 2
42
eit eit
若 t 0 ，电子处于 Hˆ 0本征值为 BB0 的本征态，其表示为
这要求
10
AB0
A K K2 42 B K K2 42 1
性，等概率）条件下：
单位时间跃迁概率，即跃迁率
wkn
e2 40
42 32
u(nk )
r nk
2
00
1 c2
H 1 A μ0
其中 u(nk ) 为辐射的能量密度分布，即光强度分布。
第二十七讲
第十章含时间的微扰论-量子跃迁
Ⅲ. 磁共振
A. 跃迁概率和跃迁率
B. 严格求解—Rabi 振荡
C. 一级近似公式的精确性
e2 4
(4)2 E02 4 (2)3(a03 ) 3
m 2
64a100k 3 (1 k2a02 )6
2
注意： 2m
k2
Ei
, Ei
e2 2a0
0 , 0
e2 2a0
k 2a02
0 0
,
1
k 2a02
0
40
256 3
a03E02
(
0
)6 (
0 0
)3
2
可以看到，在
4 3
0 处跃迁率达到极大。
0
1
2
Bb
2
ei(0 )t 1 2 i(0 )
Bbt
2
sin 1
2 1 ( 2

量子跃迁的微扰理论

北大本科生量子力学教学大纲

教学大纲（教学计划）掌握和理解量子力学的基本概念，新的数学方法（微积分、微分方程、线性代数、数理方程、复变等等）和能解决一些简单的量子力学问题。

第一章：定性了解经典困难的实例：微观粒子的波–粒二象性；第二章，第三章：要全面掌握：波函数与波动方程，一维定态问题，波函数的统计诠释，态叠加原理，薛定谔方程和定态；知0t =的波函数，给出t 时刻的波函数，概率通量矢，反射份额，透射份额，完全透射。

第四章：算符运算规则，厄密算符定义，厄密算符的本征方程，观测值的可能值，概率幅。

力学量完全集（包括H ˆ的，即为运动常数的完全集）。

共同本征态lm Y 的性质（lm m *lm Y )1(Y −=，宇称l)1(−）。

力学量平均值随时间变化，运动常数，维力定律。

第五章：变量可分离型的三维定态问题有心势下，dinger oSch &&equation 解在 0r → 的渐近行为。

氢原子波函数，能量本征值的推导和结论要全面掌握。

三维各向同性谐振子在直角坐标和球坐标中的解，能级的结果和性质。

Hellmann-Feynman Theorem 。

电磁场下的n Hamiltonia ，规范不变性，概率通量矢。

正常塞曼效应及引起的原因。

均匀磁场下的带电粒子的能量本征值磁通量量子化的现象。

第六章：量子力学的矩阵形式及表象理论算符本征方程，薛定谔方程和平均值的矩阵表示；求力学量在某表象中的矩阵表示；利用算符矩阵表示求本征值和本征函数。

表象变换。

dinger o Sch && Picture 和 Heisenberg Picture第七章：量子力学的算符代数方法-因子化方法哈密顿量的本征值和本征矢；因子化方法的一些例子；形状不变伴势和谱的对称性第八章：自旋自旋引入的实验证据。

电子自旋算符，本征值及表示。

泡利算符性质，泡利矩阵。

自旋存在下的波函数和算符的表示。

)j ,j ,l ˆ(r 2的共同本征态的矩阵形式。

量子力学微扰理论

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量子力学微扰理论
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量子力学微扰理论的数学基础
PRT Five
量子力学微扰理论的近似方法
PRT Two
量子力学微扰理论的基本概念
PRT Four
量子力学微扰理论的具体应用
PRT Six
量子力学微扰理论的扩展和展望
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微扰项的应用：微扰项在量子力学中有广泛的应用例如在量子力学中微扰项可以用来描述系统的能量、波函数等物理量的变化也可以用来描述系统的微小变化。
量子力学中的微扰计算方法
微扰理论：量子力学中处理微小扰动的理论微扰计算方法：通过计算微扰项来求解量子力学问题微扰项：量子力学中微小扰动的表示微扰计算步骤：确定微扰项、求解微扰方程、计算微扰结果微扰计算应用：在量子力学、量子场论、量子光学等领域有广泛应用
微扰理论在量子力学中的具体应用实例
量子力学中的微扰理论可以用于求解量子系统的能量和波函数
微扰理论在量子力学中的具体应用实例包括：求解氢原子的能级和波函数、求解电子在磁场中的运动、求解光子的散射等
微扰理论在量子力学中的具体应用实例还包括：求解量子系统的能量和波函数、求解电子在磁场中的运动、求解光子的散射等
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微扰理论在量子力学中广泛应用于求解量子系统的能量和波函数
微扰理论在量子光学中也有应用用于求解量子光学中的各种物理量
量子力学微扰理论的数学基础
线性代数和矩阵运算
线性代数：研究线性方程组、向量空间、线性变换等矩阵运算：矩阵的加法、减法、乘法、转置等矩阵的特征值和特征向量：求解矩阵的特征值和特征向量矩阵的逆矩阵：求解矩阵的逆矩阵用于求解线性方程组

第10章含时微扰法与量子跃迁

i t ˆ 0 H mk exp imk t dt
10
在一级近似下
am t a m
1
i t ˆ t 0 H mk exp imk t dt
亦即，体系在微扰作用下，由态k跃迁到态m的概率为
Wk m am t
2
0
dt
dam t
1
0 i 0 ˆ an t H mn exp imnt n i 1 ˆ an t H mn exp imnt n
dt
dam t
2
dt
8
当t=0时，体系处于定态k，即
振动态的耦合->跃迁概率
17
电子振动跃迁的选律电子跃迁矩正比于电子跃迁矩, 并正比于相应两电子态的振动波函数之间的重叠积分. 由于振动基态在中间(平衡位置)有最大概率,而激发态在位能曲线附近都有较大的概率.
1, 2, 3,
18
两个态所对应的波函数的直积，至少与x,y,z所属的不可约表示之一相同时，则跃迁是允许的。
15
Franck-Condon原理
E Ee Ev
e v
mk e ke kv d v ke kv d me mv me mv mk
J 1
2. 双原子振动光谱的选择定则 1 E ( )h e (=0,1,2,3, ) 2 d , q q q d dr 1 and 0 跃迁允许若考虑偶极矩的高幂次展开，则也是跃迁允许 2, 3,
电偶极跃迁矩
跃迁矩x方向分量，决定吸收或发射吸收，跃迁选择定律。

量子跃迁理论

Equation Chapter 9 Section 1 §9.1 含时微扰理论（量子跃迁理论）第八章讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论体系的ˆH不含时间，因而求解的是定态薛定谔方程。

本章主要讨论体系哈密顿算符含有时间的微扰理论。

1、适用情况体系()ˆH t 由0ˆH 和()ˆH t '这两部分组成：()()0ˆˆˆH t H H t '=+ (9.1.1)其中0ˆH 为与时间无关，无微扰哈密顿算符，其本征值与本征函数为已知，本征方程为()()0ˆn n n H r E r φφ=，n E 为分立能级，第n 个定态波函数为()(),n iE tn n r t r eφ-Φ=⋅，薛定谔方程为()()0ˆ,,n nir t H r t t∂Φ=Φ∂。

()ˆH t '显含时间，且要求()0ˆˆ""Ht H '，并且()ˆH t 随时间变化，此时体系能量不是守恒量，体系不存在严格的定态。

此时求解定态薛定谔方程是很困难的，要求解含时薛定谔方程()()()ˆ,,ir t Ht r t tψψ∂=∂ (9.1.2)这时体系能量随时间变化，我们不再讨论能量，主要讨论跃迁几率 2、跃迁几率与跃迁几率（振）幅t 时刻将(),r t ψ按0ˆH 的本征函数系()n r φ完全展开()()()()()()(),,n n n niE tn n n n n nr t c t r a t er a t r t ψφφ-=≡⋅⋅=⋅Φ∑∑∑(9.1.3)相当于选取了能量表象。

上式相当于将体系波函数(),r t ψ按0ˆH 的定态波函数(),n r t Φ做完全展开，展开系数()()(),,n n a t r t r t ψΦ。

根据展开假设()()()222n iE tn n n c t a t ea t -==，表示t 时刻，测量能量值为n E 的几率。

即体系()()2,,n r t r t ψ=Φ，处于()n r φ态的几率。

物理学相关第9章含时微扰与量子跃迁

(9.1-16)
4
Hm k 2
2
sin2 mkt 2
mk
2
可以证明 sin2 (mkt
2)
/
2 mk
在
t
足够大时为
函数的形式。首先证明公式
lim sin2 xt (x) t tx2 当 x 0 时，上式左边的极限为零；当 x 0 时
(9.1-17)
因而有
sin xt 1 xt
lim
t
sin2 xt tx2
含时薛定谔方程 9.1-2 式的等价表示形式。如果我们能够解出 9.1-8 式（当然需要给定初始
条件cn (0) ），我们问题就得到解决。但是在大多数情况下，9.1-8 式的严格解很难得到，
需要利用近似方法。
设 t 0 时，体系处于 Hˆ (0) 的第 k 个定态 k ，即初始条件为， ck (0) 1 ，其余
第9章含时微扰与量子跃迁
当体系哈密顿量中的势能部分不显含时间时，即V (r,t) V (r) ，含时薛定谔方程的一般解
可表示为定态的叠加
(r, t) cneiEnt/ n (r) n
其中叠加系数 cn 不依赖时间，因此对这个一般态测量能量时，它坍缩到某个定态的概率不随时间改变，它完全是由初始波函数 (r, 0) 所确定。用更通俗的语言来说，粒子处于某个
i
n
n
dcn (t) dt
i
n
cn
(t
)
t
n
n
cn (t)Hˆ
(0) n
n
cn (t)Hˆ n
(9.1-5)
由 Hˆ (0) 满足的定态方程，上式的左边第二项和右边第一项相互抵消，这样 5.6-5 式变为

高等量子力学含时微扰理论

跃迁速率：
费米黄金规则：
2阶微扰：
总跃迁速率：
五、简谐微扰
初态为|i>,
t∞时要求：
综合有：
由于故有精细平衡关系
§5.7 对与经典辐射场作用的应用
一、吸收与受激发射
根据初末态的能量关系，可知exp(-iωt)对应于吸收， exp(iωt)对应于受激发射。
对吸收项吸收截面：
§5.5 含时势：相互作用图像 H=H0+V(t),
态矢方程(耦合微分方程组)
§5.6 含时微扰理论
一、直接微扰法：
二、含时微扰的Dyson级数
三、跃迁几率
由
及
知
和
可见
取
则
将微扰展开代入Dyson级数得
其中
四、定势微扰：
据上述微扰理论，有
(时间-能量测不准关系)
末态为准连续态时对末态求和：因故
1 ih
i [x, px ] i
1
于是有(经典结构)：
偶极近似
由于有利用
得偶极近似下：
求和规则总吸收截面： Nhomakorabea振子强度
Thomas-Reiche-Kuhn求和规则：
n
fni
2m h
n
ni
n
xi
2 2m h
n
ni
n
xi
ixn
2 1
2
2m
h
n
i
n
px
i
i
xn
ih
i
xpx
i
ih
i
x ih [x, H0] i
m (ih)2
i [x,[x, H0 ]] i

量子化学第六章微扰理论简介

r2
例2. Variation treatment of the He atom ground state
The Hamiltonian operator
Trial wavefunction
23
量子化学第六章
Introducing a variational parameter
So, Minimizing the integral
例1：He原子的哈密顿算符，可分解成两部分。
H0
2m 2122re122m 22 22re22re122
H1
例2：一维非谐振子，其Hamilton能量算符为
H0
2m 2ddx2212kx2c1x3c2x4
H1
6
量子化学第六章
2．一级微扰理论
微扰体系:
H n E n n即： (H 0 H 1 ) n E n n
Limited CI is not size consistent.
26
目录
(4)
16
17
目录
量子化学第六章
6.2 简并态的微扰理论
如果未微扰体系的能级存在简并的情况，显然，
上述(2) 和(4)都将出现分母为零的项。
15
在非简并态微扰理论中，我们曾假定有微扰时的波函数与未微扰时的波函数相差很小，因而假设：
i i(0 ) i(1 )2 i(2 )
式中
是的本征函数:
变分法的精度与一级微扰相当。
24
目录
量子化学第六章
6.4 Comments on perturbation theory
(1)MØller-Plesset perturbation theory (MPPT) is sometimes called RSPT (Rayleigh-Schrödinger perturbation theory) or alternatively called many-body perturbation theory (MBPT).

第十一章含时微扰与量子跃迁

n
(22)
(23)
(24)
其中初始条件
kn ( Ek En ) /
Cnk (0) nk
在t时刻测量力学量F得到Fn值的概率是
Pnk (t ) Cnk (t )
2
(25)
即体系从初态ψk在t 时刻跃迁到ψn态的概率是Pnk(t) 单位时间内的跃迁概率（跃迁速率）为
d d 2 wnk Pnk (t ) Cnk (t ) dt dt
2 Z 3 ( Z 1)3 2 ( 2 Z 1) r / a 2 (4 ) e r dr 0 2a6
3 1 2 4Z
(1 Z 137)
如Z=10, 则P~0.9932
11.2.2 绝热微扰与突发微扰的极端情况相反，绝热近似假定施于体系的微扰作用时间足够长，变化足够慢。假定t→-∞时，体系处在无微扰状态，在(0,-∞)的足够长时间内加入微扰，在t=0时，体系的哈密顿量为
注: (1)
Pk k Pkk
(2)如果初态和末态有简并，求跃迁概率时，应对初始能级诸简并态求平均，对终止能级诸简并态求和
如在中心力场中
Enl Enl
(34)
Pnl nl
1 Pnl m,nlm 2l 1 m,m
Pnlm,nlm
是从nlm态到n´l´m´态的跃迁概率
2如果初态和末态有简并求跃迁概率时应对初始能级诸简并态求平均对终止能级诸简并态求和如在中心力场中量子跃迁并不意味着末态能量与初态能量不同也可在同能级间跃迁如弹性散射此时此时跃迁概率为例题2设在时一维谐振子处于基态问经过微扰1010定态微扰是含时微扰的一种近似事实上任何微扰总是与时间有关如stark效应外加电场的时间总是比原子的特征时间大很多因此微扰随时间的变化率可以认为是足够慢此时可用定态微扰处理

微扰理论及其应用

渤海大学本科毕业论文（设计）含时微扰理论及其应用Time-dependent perturbation theory and its application学院（系）：数理学院物理系专业：物理学（师范）学号：10030009学生姓名：庞涛入学年度：2010指导教师：韩萍完成日期：2014 年5 月5 日渤海大学Bohai University摘要在量子力学中，精确求解薛定谔方程是很困难的，一般只能求近似解，应用微扰理论可以求得近似解。

学好微扰理论在以后的学习中具有很大帮助。

微扰理论分为两类，不含时微扰理论和含时微扰理论。

在量子力学中，含时微扰理论研究的是一个量子系统的含时微扰所产生的效应.该理论是由英国物理学家狄拉克首先提出和发展建立起来的。

应用含时微扰理论可以近似的计算出有微扰时的波函数，从而计算无微扰体系在微扰作用下由一个量子态跃迁到另一个量子态的跃迁概率。

含时微扰包括常微扰和周期微扰，在这两种微扰作用下，得到的结果是不同的，我们分析计算了在常微扰和周期微扰两种微扰作用下的跃迁概率，得到了一些结论。

在常微扰作用下时，我们得到了一个重要公式，该公式被称为费米黄金定则。

常微扰是只在一段时间内起作用，时间足够长的话，则跃迁概率与时间无关；而通过计算无微扰体系在周期微扰作用下的跃迁概率，得出的结论是周时，期微扰的频率只有在一定范围内，才会发生跃迁。

只有当外界微扰含有频率mk才会出现明显跃迁。

此外，我们还讨论了光的发射和吸收，给出了偶极跃迁的选择定则。

最后对激光的产生和激光的应用进行了介绍。

关键词：选择定则；含时微扰；跃迁概率；黄金规则Time-dependent perturbation theory and its applicationAbstractIn quantum mechanics, the exact solution of Schrodinger equation is very difficult, generally only approximate solutions, using the perturbation theory can be obtained the approximate solution. To learn a great help to the perturbation theory of learning in the future. Perturbation theory is divided into two categories, not the time-dependent perturbation theory and time-dependent perturbation theory.In quantum mechanics, the time-dependent theory of perturbation is the effect of a quantum system with time-dependent perturbation generated. This theory was first proposed and developed by the British physicist Dirac. Calculated using time-dependent perturbation theory can be approximated by a wave function perturbation, thus calculated without perturbation system under the perturbation induced by a quantum state transition to the transition probability of another quantum state. The time-dependent perturbation included regular perturbation and periodic perturbation, in which two kinds of perturbations, the result is different, analysis of transition probability in constant perturbation and periodic perturbation two perturbation effect was obtained by us, some conclusions were obtained. In the constant under perturbations, we obtain a formula, the formula is called the Fermi golden rule. The perturbation is often work only in a period of time, time is long enough, the transition probability is independent of time; and through the calculation of transition probability without perturbation system in the period under perturbations, it was concluded that the periodic perturbation frequency only in a certain range, the transition will occur. Only when the external perturbation with frequency, will appear obvious transition. In addition, we also discuss the emission and absorption of light, gives the dipole transition selection rule. Application of laser and laser produced finally is introduced in this paper.Key Words：Selection rule；time-dependent perturbation；transition probability；The golden rule目录摘要 (I)Abstract (II)引言 (1)1 含时微扰理论的概述 (2)1.1 含时微扰理论下的薛定谔方程 (2)1.2 跃迁概率 (3)2 常微扰和周期微扰 (5)2.1 跃迁概率和费米黄金定则 (5)2.2 周期微扰 (7)3 含时微扰理论的应用 (10)3.1 光的发射和吸收 (10)3.1.1 爱因斯坦的发射和吸收系数 (10)3.1.2 用微扰理论计算发射和吸收系数 (11)3.2 选择定则 (14)3.3 典例分析 (16)4 激光简介 (18)4.1 激光的产生 (18)4.2 激光的应用 (19)结论 (21)参考文献 (22)引言在量子力学中，对于具体物理问题的薛定谔方程，可以准确求解的问题是很少的，一般只能求近似解。

含时薛定谔方程的微扰理论

0 m
0 Q x ii n i
光谱选择律（n rule)
电偶极氢原子选律 Dn=0, ±1, ±2….. Dl=±1 Dm=0, ±1 Dms=0 自旋禁阻
氦原子三重态稳定性 1s12s1 2S+1=3 1s22s0 2S+1=1
2.3 分子体系的自洽场方法
（一）基本近似
单电子旋轨轨道为
i (n) i ( n) (n) i ( n) i ( n) ( n)
i 是空间轨道， , 是自旋状态，
n 是电子坐标
xn , y n , z n
多电子体系波函数，这里主要讨论闭壳层，即电子和电子数相等，所有轨道要么充满，要么全空，没有半充满出现。
E Ei
i i j
1928
1 | j |2 | i |2 d i d j Ei J ij rij i i j
Hartree-Fock Self-consistent-field method 波函数考虑自旋； Slater 行列式
i i j i i j
3、单电子近似
单电子独立近似,也称为轨道近似。状态波函数用单电子波函数乘积Slater行列式。
1 (1) 1 (2) 1 ( N ) 1 2 (1) (1,2, N ) N! N (1) N ( N )
(二）分子体系哈密顿算符
非相对论近似—B.O近似—轨道近似
bm (t ' ) mn
i t' 0 0 exp( i ( Em En )t / ) H 'mn dt 0
0 0 ψ bk (t ' )ψ 0 b ( t ' ) exp( iE t / ) k k k k k k

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nljmj
eB
2 mj
eB 2
† ljm
j
sˆ z
ljm
j
d
eB 2
2l 2l
2 1
m
j
2l 2l
1
m
j
j l1 2 j l1 2
所以，当放入弱磁场中，能级由
E(0) nlj
E(0) nlj
L
2l
2l 2l
2 1
m
j
2l
m 1
j
L
eB 2
根据偶极跃迁选择定则
j l1 2 j l1 2
E(0) l
(Hˆ 1 )flfl
E(0) 1
(Hˆ 1
)11
(Hˆ 1)1f1
0
0
0
0
0
0
(Hˆ 1 )f11
E(0) 1
(Hˆ 1 )f1f1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E(0) l
(Hˆ 1)11
(Hˆ 1)1fl
0 0 0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
(Hˆ 1)fl1
E(0) l
就是如此
Hˆ 0
Lˆ 2 2
Hˆ 1 d cos （在 z 方向）
所以
Hˆ 0 的能级
E(0) l
l(l
1) 2
2
有
2l 1
重简并。由于
[Hˆ 0,Lˆ z ] [Hˆ 1,Lˆ z ] 0
Hˆ 1
' a (0) (1) lk ' k 'k
l'
l'
k'
E(0) l
E ' a (0) k(2) l' l'l
(1) lk
' a (0) k(1) l' l'l
E(1) lk
' a (0) (1) lk ' k 'k
E (2) (0) lk lk
l'
l'
k'
以
(0) lki
标积得
(Hˆ 1
)flfl
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E(0) l
(Hˆ 1
)ll
(Hˆ 1 )fll
(Hˆ 1 )lfl
E(0) l
(Hˆ 1
)flfl
应注意
★ 新的零级波函数 (ln0)之间是正交的
((ln0),(ln0) ) nn
★ Hˆ 1在 (ln0) 子空间中是对角的
(ln0) Hˆ 1 (ln0) E(ln1)nn
lkl 1 lk'
(1) lk1 k1k
Hˆ E (0)
(0)
lk2 1 lk"
(1) lk2 k 2k
E E (1)
(1)
lk1
lk2
即
Hˆ 1 对
(0) lkl
,
(0) lk2
对角且相等
2
Hˆ 0
' a (0) k(2) l' l'l
Hˆ 1
' a (0) k(1) l' l'l
2．简并能级下的一级微扰：选定了正确的零级波函数后，对于
E(1) ln
E(1) ln
n n
所相应的波函数 (ln0)作微扰出发点，就可
以当作非简并态进行微扰处理。
现讨论
（ (ln0)
E(1) ln
E(1) ln
对所有
n n）
（
这就是
Hˆ 1在
(0) lk
子空间求得的本征态
和本征值）。于是，能量的一级微扰修正
的态，anlk(0) 可唯一地被确定，而 E(ln1) 中有相等的 E(lm1) 的态，其零级波函数仍不能唯一地
确定。
E1(0)
(Hˆ 1)11
(Hˆ 1)1f1
(Hˆ 1)f11
E1(0) (Hˆ 1)f1f1
E(0) l
(Hˆ 1
)11
(Hˆ 1)1fl
(Hˆ 1 )fl1
l'
(0) l
Hˆ 1
(0) ln
E(0) l
E(0) l
'
l'
(0) l'
Hˆ 1
(0) ln
E( 0 ) l
E( 0 ) l'
2
（
, E(1) ln
E(1) ln
n n
）
第二十五讲
Ⅰ. 定态微扰论
D. 简并能级微扰的进一步讨论
Ⅱ. 变分法
A. 定理
B. Ritz 变分法
D. 简并能级微扰的进一步讨论
第二十四讲回顾
第九章量子力学束缚态的近似方法 Ⅰ. 定态微扰论 B. 碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应 C. 简并能级的微扰论
B. 碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应
1．碱金属光谱的双线结构
碱金属原子有一个价电子，它受到来
自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场作
用，V(r) ，价电子的哈密顿量为
态
(
(0) lk l
,
(0) lk 2
)
的零级波函数。由这样求出
的
E(2) lki
,
(0) lki
才是正确的能量二级修正及
零级波函数。
2. 简并态可用非简并微扰处理的条件
如 Hˆ 0与 Aˆ 对易，Hˆ 1 也与 Aˆ 对易。则
可选非微扰态为 (Hˆ 0, Aˆ )的共同本征态。
若
Hˆ 0u(lk0)
0
a(0) 3
0, a(40)
1
3．简并态的二级微扰（条件：E(ln1)
E(1) ln
）
2 方程为
n n
Hˆ 0
' a (0) n(2) l' l'l
Hˆ 1
' a (0) n(1) l' l'l
Hˆ 1
' a (0) (1) ln' n'n
l'
l'
n'
E(0) l
' a (0) n(2) l' l'l
(0) lk
(
' a (0) k(1) l' l'l
'
a (0) (1) lk ' k 'k
)
l'
k'
2(
' a (0) k(2) l' l'l
'
a (0) (2) lk ' k 'k
)
l'
k'
应注意二点：
ⓐ 求和 ' 不包括 k1, k 2 k'
ⓑ 显然
Hˆ E (0)
(0)
Hˆ 1
(0)
(0)
l'
l'
E(0) l
E(0) l'
Hˆ 1
(0) lk j
E(lk2)ij akj (0) 0
l'
'
(0) lk i
Hˆ 1
(0) l'
(0) l'
E(0) l
E(0) l'
Hˆ 1
(0) lk j
E(lk2)ij 0
i, j 1,2
由这解出
E(2) lki
若 E(lk21) E(lk2)2 ，则可唯一地确定简并
所以，这时每条能谱线的多重态是偶数；多重态的能级间距随不同能级而不同；而光谱线也是偶数条。
C. 简并能级的微扰论
当体系的一些能级是简并时，那考虑
这些能级所受的扰动影响时，就不一定能
利用上述公式。对简并能级的微扰问题的
处理与非简并问题的处理，实质的不同在
于零级波函数的选取。即要正确选取零级
波函数。
l 1 j 0,1 m j 0,1
P1 2 — S1 2 有四条光谱线
4 3
L
(0) 1 21
2
2 3
L
2 3
L
4 3
L
1 1 22 1 1 22
11 22 11 22
P3 2 — S1 2 有六条光谱线
5 3
L
L
(0) 3 21
2
1
3 1
3
L L
L
5 3
L
1 1 22
31 22 1 1 22 11 22 3 1 22 11 22
(0) ln
Hˆ 1
(0) l'n'
V(l, l ', n)nn'
所以，如选 Hˆ 0 ，Aˆ 的共同本征态作为零级波函数，(ln0)，则有
0l'n' Hˆ 1 0ln 0 n n （ l任意）
这时简并态
(ln0（)
n
n ）对
(0) ln
没有影
响。因此，可用非简并微扰方法处理。
例前述刚体转子在均匀电场中处理
a(0) 1
a(0) 2
a(0) 3
a(0) 4
0
E(1) 2
3ae
2(20)
1 2
(200
210 )
a(0) 1
a(20)
a(0) 3
a(0) 4
0