量子力学微扰理论 ppt课件
合集下载
量子力学课件第六章
第二部分应用第6章不含时微扰理论6.1非简并微扰理论6.1.1 一般公式表达假设对于某些势场（比如，一维无限深势阱），我们已经解出了（定态）薛定谔方程：(6.1)ψ，从而可以得到一套完备的正交本征函数，0n(6.2)E。
现在，我们对这个势进行微小扰动(比方说,在势阱底部加入一个小突起−及对应的能量本征值0n图6.1)。
我们期望可以找到新的本征函数和本征值：(6.3) 但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的。
微扰理论是一套系统的理论，它可以利用已得的无微扰时地精确解求出有微扰时的近似解。
图6.1：受到小微扰的无限深势阱。
首先，我们将哈密顿量写成两项之和：(6.4)其中'H 是微扰（上标0总是表示非微扰量）。
此时，我们将λ取为一个很小的数；稍后我们会将取它为1，H 将为真实的哈密顿量。
下面我们把n ψ和n E 展为λ的幂级数：(6.5)(6.6)其中，1n E 为第n 个本征值的一级修正，1n ψ为第n 个本征函数的一级修正；2n E 和2n ψ为二级修正，以此类推。
将6.5和6.6式代入6.3式，得到：或（将λ幂次相同的项合并）对于零级（0λ）项1有，这没有什么新的内容（它就是6.1式）。
对于一级（1λ）项有，(6.7)对于二级（2λ）项有，(6.8)以此类推。
（方程中并没有λ——它仅仅用来更清楚地按数量级分出各方程——所以现在把λ取为1。
）6.1.2 一级近似理论将0n ψ与6.7式进行内积运算（即乘以(0n ψ)*后积分），1级数展开的唯一性（见第2章，脚标25）保证了相同幂次的系数是相等的。
但是0H 为厄米算符，所以它和右边第一项相抵消。
又有001n n ψψ=，所以，2(6.9)这就是一级近似理论的一个最基本的结果；在实际中，它也是量子力学最重要的方程。
它说明能量的一级修正就是微扰在非微扰态中的期待值。
例子6.1 无微扰的无限深势阱波函数为（2.28式）：图6.2：存在于整个势阱的常微扰。
高二物理竞赛课件：量子力学之氦原子(微扰法)
可得能量一级修正为：
(m n) (m n)
E(1) 1
2
[ n
*
(r1 ) m
* (r2
)
m
*
(r1 ) n
* (r2
)]
e
2 s
r12
[n (r1 )m (r2 ) m (r1 )n (r2 )]d1d2
1 {
2
n (r1 )
2
m (r2 )
2
e
2 s
r12
d1d 2
空间波函数反对称，量子数不能相同，则两电子有相互回避的
趋势，排斥力很大，能级偏低。
2.K 和 J 的物理意义
令 nn
( r1
)
e
n
( r1
)
2
；
mm (r2
)
e
m
( r2
)
2
mn (r1 )
e m
*
( r1
) n
( r1 )
；mn
*
( r2
)
e m
( r2
) n
*
( r2
)
则 K
一、氦原子的定态问题(忽略 L-S，S-S 耦合)
1.体系的哈密顿
将氦 原 子视 为 两个电 子 体系， 取 氦核 为 坐标原 点 ，以
r1
,
r2
,
s1
,
s2
表示两个电子的坐标和自旋，其哈密顿为:
Hˆ
2 2
12
2e
2 s
r1
2 2
2 2
2e
2 s
r2
e
2 s
r12
其中 r12
r1
量子力学概论第6章 不含时微扰理论
6.4.3 中间情况的塞曼效应
表6.2 存在精细结构和塞曼分裂的氢原子n=2能级
图6.12 弱场、中间场、强场下，氢 原子n=2能态的塞曼分裂
6.5 超精细分裂图6.1 基态氢原子的超精细分裂图6.14 两个相邻的极化原子
图6.6 例题6.2中的简并的消除
6.3 氢原子的精细结构
6.3.1 相对论修正 6.3.2 自旋-轨道耦合
表6.1 氢原子玻尔能量修正量级图
6.3.2 自旋-轨道耦合
图6.7 从电子看质子运动
图6.8 带电圆环绕轴旋转
图6.9 考虑了精细结构的氢原子能级图(未按比例大小给出)
6.4 塞曼效应
第6章 不含时微扰理论
6.1 非简并微扰理论 6.2 简并微扰理论 6.3 氢原子的精细结构 6.4 塞曼效应 6.5 超精细分裂
6.1 非简并微扰理论
6.1.1 6.1.2 6.1.3
一般公式 一级近似理论 二级能量修正
6.1.1 一般公式
图6.1 受到小微扰的无限深方势阱
对于零级(λ0)项1有H0ψ0n=E0nψ0n, 有 H0ψ0n=E0nψ0n,(6.1)
对于一级项(λ1)有，
H0ψ1n+H′ψ0n=E0nψ1n+E1nψ0n.(6.7)
对于二级项(λ2)有，
H0ψ2n+H′ψ1n=E0nψ2n+E1nψ1n+E2nψ0n， (6.8)
依次类推。(方程中并没有λ——它仅仅用来 更清楚地按数量级分出各方程——所以现在 把λ取为1。)
6.1.2 一级近似理论
E0nxnynz=π2ћ22ma2(n2x+n2y+n2z).(6.32) 注意到基态(ψ111)是非简并的；它的能量为：
大学课件 量子力学 微扰理论
a(1) kn
[
E
(0 k
)
E
(0 n
)
]
|
(0 k
)
[ Hˆ (1)
E n( 1 )
]
|
(0 n
)
k 1
左乘 <ψm (0) |
a(1) kn
[
E (0) k
E (0) n
]
(0) m
|
(0) k
(0) m
|
Hˆ (1)
|
(0 n
)
E (1) n
(0) m
|
(0) n
k 1
考虑到本征基矢的正交归一性：
2）体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论； 2.常微扰。
2. 非简并定态微扰理论
（1）微扰体系方程 （2）态矢和能量的一级修正 （3）能量的二阶修正 （4）微扰理论适用条件 （5）讨论 （6）实例
（1）微扰体系方程
微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的 天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算 中需要考虑其他行星影响的二级效应。
|
(1) n
|
(0 k
)
(0 k
)
|
(1) n
a (1) kn
|
( 0 )
k
k 1
k 1
代回前面的第二式并计及第一式得：
akn(1) = <ψk (0) |ψn (1) >
[ Hˆ (0) En(0) ]
a (1) kn
|
(0 k
)
[ Hˆ (1)
E n( 1 )
]
|
微扰法 ppt课件
Page 9
而 k 2 l,
Na
k 2 l
Na
上式分子为
1 ei(kk ) Na 1 ei 2 (ll ) 0
分母不为零，且
1
a
a e i(kk )V ( )d
0
Vn
为V（x）付里叶展开系数。因此有
H kk Vn ,
k k
将上式代入薛定谔方程谔方程第15第五章第五章晶体中电子能带理论晶体中电子能带理论page155353一维晶格中电子的布拉格反射一维晶格中电子的布拉格反射ikxikikxik上式分别左乘上式分别左乘并对xx积分由于积分由于第五章第五章晶体中电子能带理论晶体中电子能带理论page16得到两个线性方程组得到两个线性方程组5353一维晶格中电子的布拉格反射一维晶格中电子的布拉格反射第17第五章第五章晶体中电子能带理论晶体中电子能带理论page17方程组有非零解的条件方程组有非零解的条件由此解得能量本征值为由此解得能量本征值为把能量本征值分别代入把能量本征值分别代入55式可求得系数式可求得系数aa和和bb即可求出对应能即可求出对应能量本征值的本征函数
E
A
1 eikx B L
1 L
e
ik
x
( Ek0
E
Hˆ
)
A
0 k
( Ek0
E
Hˆ
)B
0 k
0
(4)
上式分别左乘
, 0 和
0
k
k
并对x积分，由于
第五章 晶体中电子能带理论
第 15 页
§5.3 一维晶格中电子的布拉格反射
Page 16
山东大学量子力学 第五章 微扰理论
(0) n
H kn ( 0) ( 0) k ( 0) k n En - Ek
(14)
(13)、(14)式成立的条件（逐步近似法适用的条件）为
| ck | 1,
即
( 0) ( 0) || En | Hkn - Ek |
(15)
(0) 如果紧靠着 En 存在别的 Ek(0) ，即使 H H 0 ，
-
n 2
1 ( 0) n -1 ( 0) (0) E n - E n -1
n1 2
-
e
n 2
1 (0) n -1
1
3
n1 2
1 (0) n1 -
(0) - n n -1
e
2
n 1
(0) n1
微扰论也不适用。
例
带电量为e的一维谐振子，受到恒定弱电场 的微 扰 H -ex 作用 试用微扰论求能级的变化，并与精确解比较。
将 Hamilton 量分成H0 + H’ 两部分，在弱电 场下，上式最后一项很小，可看成微扰。 （1）电谐振子Hamilton 量
2 2 d ˆ H 2 2 dx 1 2
n 1,2,Lk L
(3)
(6)
( 0) ( 0) ˆ ) ( 0) c ( E ( 0) H ˆ ) ( 0) E ( 0) E ( En H c k k n k n n n k k k n k n
用 n
(0)*
左乘（6）式并积分就得到
(0) c k H nk En H nn En k n
ˆ H ˆ ) E (H 0 n n n
(4)
ˆ H ˆ )( ( 0) C ( 0) ) E ( ( 0) c ( 0) ) (H k k k k 0 n n n
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第五章
E(2) n
l
a(1) l
Hˆ
(1) nl
l
Hˆ l(n1)
Hˆ
(1) nl
E(0) n
E(0) l
l
Hˆ
(1) nl
2
E(0) n
E(0) l
其中： Hˆ l(n1) Hˆ n(1l)*
(因 Hˆ l(n1)
(0)* l
Hˆ
(1)
(0) n
dx
[
Hˆ
(1)
E(1) n
)
(0) n
（2）
2 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(2) n
(Hˆ n(1)
E(1) n
)
(1) n
E(2) (0) nn
（3）
逐级求解。
6
一级近似：
（1）能量一级近似 由（2）式：
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(1) n
(Hˆ n(1)
E(1) n
En(0)
(1) n
2 En(0)
(2) n
En(1)
(0) n
E2 (1) (1) nn
E3 (1) (2) nn
L
5
比较的同次项
0 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(0) n
0
（1）
1 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(1) n
量子力学(第十章微扰论)
1
(0)
(2)
ˆ (0) 0 E 3 H
ˆ 利用 H 0 的厄米性，以上两边左边应相等，得
E
3
(1)
ˆ E 1 (1) H
利用此式，可以直接用微扰一级近似波函数来 计算能量的三级近似。
10.1.1 非简并态微扰论 1.一级近似解 令一级微扰近似波函数表示为 ˆ (0) E (0) (0) ,H (0) E (0) (0) ˆ H0 n n n 0 k k k
0 (1) 0 k
0
E E
0 k
(6a)
1
1
ˆ (0) E H k
(1)
(2)
ˆ E H
(6b) E
2
(0) k
(6c)
式（6b）、（6c）和（6d在书上p176）两边左 (0) 乘 k ，并利用式（5），可以得到 1 ˆ E (0) H (0) 7a
(1) (0) (1) ' an n n k n
用
得：
(0) k
ˆ ˆ | 左乘(6b)式 H 0 Ek 0 (1) E 1 H k(0)
(0) k
ˆ E 0 (1) (0) | E 1 H (0) ˆ | H0 k k k
例题1：电介质的极化率 考虑各向同性电介质在外电场作用下的极 化现象。当没有外电场作用时，介质中的粒子 在其平衡位置附近作小振动，可视为简谐运动。 设沿x方向加上以均匀外电场 e ，对带电 q 的离子，Hamilton量为
(0)
(2)
ˆ (0) 0 E 3 H
ˆ 利用 H 0 的厄米性，以上两边左边应相等，得
E
3
(1)
ˆ E 1 (1) H
利用此式，可以直接用微扰一级近似波函数来 计算能量的三级近似。
10.1.1 非简并态微扰论 1.一级近似解 令一级微扰近似波函数表示为 ˆ (0) E (0) (0) ,H (0) E (0) (0) ˆ H0 n n n 0 k k k
0 (1) 0 k
0
E E
0 k
(6a)
1
1
ˆ (0) E H k
(1)
(2)
ˆ E H
(6b) E
2
(0) k
(6c)
式（6b）、（6c）和（6d在书上p176）两边左 (0) 乘 k ，并利用式（5），可以得到 1 ˆ E (0) H (0) 7a
(1) (0) (1) ' an n n k n
用
得：
(0) k
ˆ ˆ | 左乘(6b)式 H 0 Ek 0 (1) E 1 H k(0)
(0) k
ˆ E 0 (1) (0) | E 1 H (0) ˆ | H0 k k k
例题1：电介质的极化率 考虑各向同性电介质在外电场作用下的极 化现象。当没有外电场作用时，介质中的粒子 在其平衡位置附近作小振动，可视为简谐运动。 设沿x方向加上以均匀外电场 e ，对带电 q 的离子，Hamilton量为
量子力学第五章微扰理论
H
'ψ
(0) n
dx
=
〈ψ
(0) k
H
'
ψ
(0) n
〉
(5 .1.14)
并将它代人(5.1.13)式，当 n = k 时，得
当 n ≠ k 时，得
E
(1) n
=
H
' nn
a (1) k
=
k
(5.1.15) (5.1.16)
注意(5.1.16)式只在
n
≠
k
时成立。对(5.1.11)式右端中的展开系数，还有
第五章 微扰理论
在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可 数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。常用的近似方法有微扰论、 变分法等。不同的近似方法有不同的适用范围。在本章中将讨论分立谱的微扰理论、变分法。
由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用 于定态的和适用于非定态的两类。本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微 扰理论以及光的发射和吸收等问题。
在后面再详细说明。由于 H 不显含 t，因此，无论 H (0) 或是 H ' 均不显含 t。
(2) H (0) 的本征值和本征函数已经求出，即 H (0) 的本征方程
ψ ψ H = E (0) (0) n
(0) (0) nn
(5.1.4)
中，能级
E
(0 n
)
及波函数ψ
(0 n
)
都是已知的。微扰论的任务就是从
(1) n
+
λ2ψ
(2) n
+ ...)
量子化学课件--第十章 微扰理论
(1) n
mn
m(0)*Hˆ
'
(0) n
En(0) Em(0)
d
(0) m
令＝1，并只考虑一级校正值，可得近似的微扰波函数：
n
(0) n
mn
H m n
En(0) Em(0)
(0) m
符号 意指对于除n态外的所有未微扰态求和。
mn
现考虑能量的二级校正值。
当2项相等时，系数有：
(Hˆ 0
0 En(2) En(1)
(0) m
*
(1) n
d
n(0)*Hˆ
'
(1) n
d
上式表明：只需知道波函数的一级校正就可确定能量 的二级校正值。一般说来，如果知道波函数校正到第k 级，则就能够计算到能量的第2k+1级校正值。
又波函数的一级校正（上已求）为：
(1) n
kn
H kn En(0) Ek(0)
En(0)
)
(2) n
En(2)
(0) n
(En(1)
Hˆ
)
(1) n
展开波函数的二级校正，有：
(2) n
b
j
(0) j
j
代入上式，得：
b
j
(E
(0) j
En(0)
)
(0) j
En(2)
(0) n
(En(1)
Hˆ
)
(1) n
j
乘以 m(0
(0) j
En(0) ) mj
|0 ,
k 1,2,...
所以上述台劳级数展开式变为：
n
(0) n
(1) n
2
(2) n
《微扰理论》PPT课件
小于前项，即
H m n
E
(0)
n
E
(0) m
1
(E
(0)
n
E
) (0)
m
14
14
5.1 非简并定态微扰理论（续10）
Chapter 5. Perturbation Theory
微扰适用条件表明：
（1）微扰矩阵元 H mn 要小；
（2）
E
(0)
n
E
(0) m
要大，即能级间距要宽。
例如：在库仑场中，体系能量（能级）
(0) n
ln
Hln
E(0) n
E(0) l
(0) l
（2）展开系数
a
(1) l
第 n 个扰动态矢 n
E的(nH0贡)lE献n l(0)有表多明大第。l展个开未系扰数动反态比于l0扰 对动
前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态
0
l
贡献的也
越强。因此波函数一阶修正无须计算无限多项。
（3）由
E
n
E
0
n
一 微扰体系方程
二 态矢和能量的一级修正
三 能量的二阶修正
四 微扰理论适用条件
五 讨论
六 实例
5
5
5.1 非简并定态微扰理论（续1）
Chapter 5. Perturbation Theory
一、基本方程
设体系的哈密顿算符不显含时间，则其定态薛定格方程为
Hˆ n En n
(1)
当 Hˆ 比较复杂，方程(1)难求解时，将Hˆ 写成：
0)
d
＝０
＝1
l
a
(1) l
(0)* n
量子力学微扰理论
E ( 2) n
E(0) n
H nn
m
Hm n 2
E(0) n
E(0) m
(23)
第五章 微扰理论 5.1、 非简并定态微扰理论
5.1.3、讨论
5.1.3、讨论
微扰理论适用的条件：级数收敛
Hm n 2 1
E(0) n
E(0) m
(
E(0) n
E(0) m
)
因此，要求，
a) 矩阵元 Hm n 很小，即： H 是一个小的扰动；
5.1.3、讨论
为求解能级 Enj
E(0) n
E (1) nj
所对应的零级近似波函数，
可以把
E (1) nj
的值带回(3)式，
k
( H li
E (1) n
il )ci(0)
0，
l 1,2,L ,k 。
(3)
i1
k
解出一组
c(0) i
，再带入(2)式，
(0) n
ci(
0) i
，即可。
i1
第五章 微扰理论 5.3、 氢原子的一级斯塔克效应
5.1.3、讨论
5.3、 氢原子的一级斯塔克效应
斯塔克(Stark)效应：将原子置于外电场中，它发射的光谱
线会发生分裂的现象。
氢原子：能级的裂距 E1(外电场)一级斯塔克效应
碱金属：… …
E2
第五章 微扰理论 5.3、 氢原子的一级斯塔克效应
5.1.3、讨论
无外场时，氢原子中，库仑势( es2 r )具有球对称性，
5.1.2、 非简并情况下的微扰
(b) 波函数的一级修正
当k
n
时，由
C (1) k
《微扰理论》课件
裂等
微扰论在量子力学 中的重要性在于它 可以帮助我们理解 量子系统与经典系 统相互作用的物理 过程，从而更好地 理解量子力学的基
本原理。
统计物理学中的微扰论
微扰论在统计物理学中的应用
微扰论在统计物理学中的重要 性
微扰论在统计物理学中的具体 应用
微扰论在统计物理学中的局限 性
凝聚态物理学中的微扰论
微扰理论在各领域的应用前景
量子力学：微扰理论在量子力学中的应 用，如量子场论、量子电动力学等
粒子物理：微扰理论在粒子物理中的应 用，如高能物理、粒子加速器等
凝聚态物理：微扰理论在凝聚态物理中 的应用，如超导、量子霍尔效应等
宇宙学：微扰理论在宇宙学中的应用， 如宇宙膨胀、暗物质等
生物物理：微扰理论在生物物理中的应 用，如蛋白质折叠、DNA序列分析等
共轭梯度法：通过迭代求解线性方程组，得到非线性问题的近似解。
微扰理论的近似计算方法
微扰理论的基本思想：通 过引入小参数，将非线性 问题转化为线性问题
微扰理论的近似计算方法： 包括级数展开法、变分法、 格林函数法等
级数展开法：将非线性问 题转化为线性问题，通过 级数展开求解
变分法：通过引入变分参 数，求解非线性问题的近 似解
量子信息科学：微扰理论在量子信息科 学中的应用，如量子计算、量子通信等
微扰理论面临的挑战和机遇
挑战：理论的复杂性和计算难度
机遇：在量子计算和量子信息领域 的应用
添加标题
添加标题
挑战：与其他理论的竞争和融合
添加标题
添加标题
机遇：在生物信息学和复杂系统领 域的应用
THANKS
汇报人：
微扰理论PPT课件
,
汇报人：
目录
微扰论在量子力学 中的重要性在于它 可以帮助我们理解 量子系统与经典系 统相互作用的物理 过程，从而更好地 理解量子力学的基
本原理。
统计物理学中的微扰论
微扰论在统计物理学中的应用
微扰论在统计物理学中的重要 性
微扰论在统计物理学中的具体 应用
微扰论在统计物理学中的局限 性
凝聚态物理学中的微扰论
微扰理论在各领域的应用前景
量子力学：微扰理论在量子力学中的应 用，如量子场论、量子电动力学等
粒子物理：微扰理论在粒子物理中的应 用，如高能物理、粒子加速器等
凝聚态物理：微扰理论在凝聚态物理中 的应用，如超导、量子霍尔效应等
宇宙学：微扰理论在宇宙学中的应用， 如宇宙膨胀、暗物质等
生物物理：微扰理论在生物物理中的应 用，如蛋白质折叠、DNA序列分析等
共轭梯度法：通过迭代求解线性方程组，得到非线性问题的近似解。
微扰理论的近似计算方法
微扰理论的基本思想：通 过引入小参数，将非线性 问题转化为线性问题
微扰理论的近似计算方法： 包括级数展开法、变分法、 格林函数法等
级数展开法：将非线性问 题转化为线性问题，通过 级数展开求解
变分法：通过引入变分参 数，求解非线性问题的近 似解
量子信息科学：微扰理论在量子信息科 学中的应用，如量子计算、量子通信等
微扰理论面临的挑战和机遇
挑战：理论的复杂性和计算难度
机遇：在量子计算和量子信息领域 的应用
添加标题
添加标题
挑战：与其他理论的竞争和融合
添加标题
添加标题
机遇：在生物信息学和复杂系统领 域的应用
THANKS
汇报人：
微扰理论PPT课件
,
汇报人：
目录
高等量子力学 受微扰的谐振子 受微扰的谐振子35页PPT
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
高等量子力学 受微扰Байду номын сангаас谐振子 受微 扰的谐振子
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
高等量子力学 受微扰Байду номын сангаас谐振子 受微 扰的谐振子
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
左乘 <ψm(0) |
(1) n
a(1) (0) kn k
k 1
[H ˆ(0) En (0)]
a(1) kn
(0) k
[H ˆEn (1)]
(0) n
k1
ak (1n )[Ek(0) En (0)]
(0) k
[H ˆEn (1)]
(0) n
k1
12
a k ( 1 ) [ E n k ( 0 ) E n ( 0 ) ] m ( 0 )|k ( 0 ) m ( 0 )|H ˆ |n ( 0 ) E n ( 1 ) m ( 0 )|n ( 0 )
n
n (2) )
乘开得：
H ˆ2[(0 H )ˆ(0 n () 0) n (2) [H ˆ H ˆ(0 (1 ))n (1 n (1 )) ] H ˆ(1 ) n (0)] E 2 n ([0 E )n (0 n () 0) n (2) [E E n (0 n (1 ))n (1 n (1 )) E E n (1 n () 2)n (0 n () 0 ])]
[H ˆ (1)
En(1)]
E (1)
(2)
n
n
(0) n
体系的能量 和态矢为
EnEn (0) En (1) En (2)
n
(0)
n
(1)
n
(2) n
10
二、非简并定态的微扰近似
1、态矢和能量的一级近似
(1)能量一级修正En (1)
左乘 <ψn(0) |
[H ˆ(0 ) E n (0 )]n (1 ) [H ˆ E n (1 )]n (0 )
而ψn(0) , λψn(1) , λ2 ψn(2) , ...分别是状态矢量 0 级近似、1级近似和2级近似等。
8
代入Schrödinger方程得：
(H ˆ(0)H ˆ(1)) (n (0)
(1) 2 (2)
n
n
)
(En (0)
En (1) 2En (2) )(n (0)
(1) 2
其中λ是很小的实数，表征微 扰程度的参量。
因为 En 、 ψn 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其 展开成λ的幂级数：
EnEn (0) En (1) 2En (2)
n
(0) n
(1)
2
n
(2) n
其中En(0), λEn(1), λ2 En(2), ... 分别是能量的 0 级近似、1级近似和2级近似等。
3
§1 非简并定态微扰理论 §2 简并微扰理论及其应用 §3 变分法与氦原子基态
4
平衡态附近的泰勒展开
5
§1 非简并定态微扰理论
一、微扰体系的Schrödinger方程
H ˆn Enn
Hˆ Hˆ (0) Hˆ 其H ˆ中 H ˆ(0)
其中H(0) 所描写的体系是可以精确求解的， 其本征值En(0) ，本征矢 Ψn(0) 。则：
3[ ]
3[ ]
( a b ) na nn a n 1 b n a b n 1 b n
9
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等:
0:
பைடு நூலகம்
H ˆ(0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
1:
H ˆ(0)
n (1)H ˆ(1)
E (0)
n
(0) n
E (1)
(1)
n
n
(0) n
H ˆ(0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
6
H ˆ(0)
E (0) (0)
n
n
(0) n
当 H ≠ 0 时引入微扰，使体系能级发生移动， 由 En(0) → En ，状态由ψn(0)→ψn 。
7
微扰体系的定态Schrödinger方程
为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：
H ˆH ˆ(1)
Em(0)
m
E(0) n
Em(0)
15
低级微扰近似结果
E n (1 ) H n n n (0 )|H ˆ| n (0 )
(1) n
mn
'
m
2:
H ˆ(0)
n (2)H ˆ(1)
E (1)
(0)
n
n
E (2)
(1)
n
n
E (1)
(2)
n
n
(0) n
整理后得：
[H ˆ (0)
En(0)]
(0) n
0
[H ˆ (0)
En(0)]
(1) n
[H ˆ (1)
En(1)]
(0) n
[H ˆ(0) En(0)]
(2) n
量子力学 第五章 微扰理论
1
可解析求解模型
V(x)
V(x)
II I
II
II
I
x
II x
V(x)
II I II x
2
一、近似方法的出发点
近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求解 复杂问题的近似（解析）解。
二、近似解问题分为两类
1、体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 （1）定态微扰论；（2）变分法。 2、体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 （1）与时间 t 有关的微扰理论；（2）常微扰。
a(1) (0) kn k
k1
a a (1) (0) kn k
(1) (0) nn n
k1
H (1) a EE n
m n ' (1) (0)
m n m
m
m n '
m
m n (0)
(0) (0) m
n
m
14
能量高阶近似
[Hˆ (0)
En(0)]
(0) n
0
方程左乘态矢 ψn(0) |
k 1
a m (1 )[E n m (0 ) E n (0 )] H ˆm n E n (1 )mn
a m (1) nE n (0 H ) m E m (0 n )m E (0)n (0 |)H ˆE |m (0) n (0),m n
13
（2）态矢的一级修正ψn(1)
注意
(1) n
利用本征基矢的正交归一性：
E n (1 ) H n n n (0 )|H ˆ| n (0 )
其中能量的一级近似等于微扰Hamilton 量在 0 级态矢中 的平均值
11
二、非简并定态的微扰近似
（2）态矢的一级修正ψn(1)
[H ˆ(0 ) E n (0 )]n (1 ) [H ˆ E n (1 )]n (0 )
[Hˆ (0) [Hˆ (0)
En(0)]
(1) n
En(0)]
(2) n
[HˆEn(1)]n(0) [HˆEn(1)]n(1)
E(2) (0) nn
E(k) n
(0) n
Hˆ
(k 1) n
mn '
Hmn
(0)
m
E(0) n
Em(0)
m
mn
'
HmnHnm
mn
'
Hnm 2
m
E(0) n