中考几何证明题知识点分析
解析中考数学几何模型1:截长补短模型

中考数学几何模型1:截长补短模型有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”,就是将三者中最长的那条线段一分为二,使其中的一条线段与已知线段相等,然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”,就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后,使之构成某种特定的三角形进行求解.例1、如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,点E为AD中点,且BC=AB+CD,求证:CE平分∠BCD.证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE.在△BAE和△BFE中,,∴△BAE≌△BFE.∴EF=AE.∵E是AD的中点,∴DE=AE=EF.又∵BC=AB+CD,BF=AB,∴CD=CF,∴.∴△CED≌△CEF(SSS),∴∠FCE=∠DCE,即CE平分∠BCD.分析:在BC上截取BF=BA.根据SAS证明△BAE≌△BFE.再证明△CEF≌△CED即可.点评:此题考查全等三角形的判定和性质,运用了截取法构造全等三角形进行证明,这是解决有关线段和差问题时常作的辅助线.变形1 如图,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点.求证:CE⊥BE.证明:延长CE,BA,相交于点F.∵AB∥CD,∴∠DCE=∠F,∠D=∠FAE.又∵DE=AE,∴△CDE≌△FAE(AAS),∴FA=CD=1,CE=FE.∵AB=2,BC=3,∴BC=3=BA+AF=BF .∴CE ⊥BE .分析:由已知AB ∥CD 和E 是AD 中点,不难想到作延长CE ,BA ,相交于点F 的辅助线.则得△CDE ≌△FAE ,得CE=CF ,结合结论CE ⊥BE 易联想到只需证BC=BF ,这容易从题中的数值中推得.变形2、如图,在△ABC 中,∠B=2∠C ,∠BAC 的角平分线交BC 于D .求证:AB+BD=AC .证明:在AC 取一点E 使AB=AE ,在△ABD 和△AED 中,AB =AD ,∠BAD =∠EAD ,AD =AD∴△ABD ≌△AED ,∴∠B=∠AED ,BD=DE又∵∠B=2∠C ,∴∠AED=2∠C∵∠AED 是△EDC 的外角,∴∠EDC=∠C ,∴ED=EC ,∴BD=EC∴AB+BD=AE+EC=AC例2、已知△ABC 中,∠A=60°,BD ,CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ,BD 、CE 交于点O ,试判断BE ,CD ,BC 的数量关系,并说明理由.分析 在CB 上取点G 使得CG=CD ,可证△BOE ≌△BOG ,得BE ═BG ,可证△CDO ≌△CGO ,得CD=CG ,可以求得BE+CD=BC .解:在BC 上取点G 使得CG=CD ,∵∠BOC=180°-21(∠ABC+∠ACB )=180°-21(180°-60°)=120°,∴∠BOE=∠COD=60°,∵在△COD 和△COG 中,∴△CODF ≌△COG (SAS ),∴∠COG=∠COD=60°,∴∠BOG=120°-60°=60°=∠BOE ,∵在△BOE 和△BOG 中,∴△BOE ≌△BOG (ASA ),∴BE+CD=BG+CG=BC .点评 本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质,本题中求证CD=CG 和BE=BG 是解题的关键.分析:延长BD 至E ,使BE=AB ,连接AE 、CE ,可得△ABE 是等边三角形,即可求得AC=AE ,可得∠ACE=∠AEC ,即可求得∠DCE=∠DEC ,可得DE=CD ,即可解题.变形1、 已知:△ABC 中,AB =AC ,D 为△ABC 外一点,且∠ABD =60°,∠ADB =90°﹣ ∠BDC .试判 断线段 CD 、BD 与 AB 之间有怎样的数量关系?并证明你的结论AB=BD+CD ,证明1:延长CD 到E ,使DE=BD ,连接AE ,∵∠ADB=90°-21∠BDC , ∴∠ADE=180°-(90°-21∠BDC )-∠BDC=90°-21∠BDC ,∴∠ADB=∠ADE ,在△ABD 和△AED 中AD =AD∠ADB =∠ADE BD =DE∴△ABD ≌△AED (SAS ),∴∠E=∠ABD=60°,AB=AE ,∵AB=AC ,∴AE=AC ,∴△ACE 是等边三角形,∴AB=CE=CD+DE=BD+CD .证明2:以AD 为轴作△ABD 的对称△AB ′D (如图),则有B ′D=BD ,AB ′=AB=AC ,∠B ′=∠ABD=60°,∠ADB ′=∠ADB=90°- 21∠BDC ,所以∠ADB ′+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°,所以C 、D 、B ′在一条直线上,所以△ACB ′是等边三角形,所以CA=CB ′=CD+DB ′=CD+BD .证明3:(1)AB=BD+CD ;(2)延长BD 至E ,使BE=AB ,连接AE 、CE ,∵∠ABD=60°,∴△ABE 是等边三角形,∴AE=AB ,∠AEB=60°,∵AB=AC ,∴∠ACE=∠AEC,∵∠ACD=60°,∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB,即∠DCE=∠DEC,∴DE=CD,∴BE=BD+DE=BD+CD,∴AB=BD+CD例题 3. 如图所示,在五边形 ABCDE 中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求证:DA平分∠CDE.分析:连接AC,延长DE到F,使EF=BC,连接AF,易证△ABC≌△AEF,进而可以证明△ACD ≌△AFD,可得∠ADC=∠ADF即可解题.证明1:连接AC,延长DE到F,使EF=BC,连接AF,∵BC+DE=CD,EF+DE=DF,∴CD=FD,∵∠ABC+∠AED=180°,∠AEF+∠AED=180°,∴∠ABC=∠AEF,在△ABC和△AEF中,AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF∴△ABC≌△AEF(SAS),∴AC=AF,在△ACD和△AFD中,AC=AFCD=FDAD=AD∴△ACD≌△AFD(SSS)∴∠ADC=∠ADF,即AD平分∠CDE.变形1 如图,在五边形ABCDE中,AB=AE、BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°.求证:AD平分∠CDE.证明2:如图.连结AC,将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置.因为AB=AE,所以AB与AE重合.因为∠ABC+∠AED=180°,∠AEF=∠ABC,所以∠AEF+∠AED=180°.所以D、E、F三点在同一直线上,AC=AF,BC=EF.在△ADC与△ADF中,DF=DE+EF=DE+BC=CD,AF=AC,AD=AD.所以△ADC≌△ADF(SSS).因此∠ADC=∠ADF,即AD平分∠CDE.思路解析:要证AD平分∠CDE,则需证∠ADC=∠ADE;而∠ADC是在四边形ABCD中,∠ADE是在△ADE中,且已知BC+DE=CD,AB=AE,∠ABC+∠AED=180°,这时想到,连结AC,将四边形ABCD分成两个三角形,把△ABC绕A点旋转∠BAE的度数到△AEF的位置,这时可知D、E、F在同一直线上,且△ADC与△ADF是全等的,因此命题即可证得.变形2 如图,△ABC 是等边三角形,△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,M 是 AB 延长线上一点, N 是 CA 延长线上一点,且∠MDN=60°.试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系,并给出证明.解:CN=MN+BM证明:在CN上截取点E,使CE=BM,连接DE,∵△ABC为等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,又△BDC为等腰三角形,且∠BDC=120°,∴BD=DC,∠DBC=∠BCD=30°,∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°,在△MBD和△ECD中,,∴△MBD≌△ECD(SAS),∴MD=DE,∠MDB=∠EDC,又∠MDN=60°,∠BDC=120°,∴∠EDN=∠BDC﹣(∠BDN+∠EDC)=∠BDC﹣(∠BDN+∠MDB)=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°,∴∠MDN=∠EDN,在△MND与△END中,,∴△MND≌△END(SAS),∴MN=NE,∴CN=NE+CE=MN+BM.变形3、如图①△ABC是正三角形,△BDC是等腰三角形,BD=CD,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N,连接MN.(1)探究BM、MN、NC之间的关系,并说明理由.(2)若△ABC的边长为2,求△AMN的周长.(3)若点M是AB的延长线上的一点,N是CA的延长线上的点,其它条件不变,在图②中画出图形,并说出BM、MN、NC之间的关系.分析:(1)延长AC至E,使得CE=BM并连接DE,构造全等三角形,找到相等的线段MD=DE,再进一步证明△DMN≌△DEN,进而等量代换得到MN=BM+NC;(2)利用(1)中结论,将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答;(3)按要求作出图形,BM、MN、NC之间的关系是MN=NC-BM,理由为:先证△BMD≌△CED,再证△MDN≌△EDN(SAS),即可得证.解:(1)MN=BM+NC,理由如下:延长AC至E,使得CE=BM(或延长AB至E,使得BE=CN),并连接DE,如图1所示:∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°,又BD=DC,且∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30°,∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,∴∠MBD=∠ECD=90°,在△MBD与△ECD中,BD=CD∠MBD=∠ECDCE=BM∴△MBD≌△ECD(SAS),∴MD=DE,∠BDM=∠CDE,∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠CDE+∠CDN=60°,即∠EDN=60°,∴∠EDN=∠MDN,在△DMN和△DEN中,ND=ND∠EDN=∠MDNMD=ED,∴△DMN≌△DEN(SAS),∴MN=EN=NC+CE=BM+NC;(2)利用(1)中的结论得出:△AMN的周长=AM+MN+ANAB--BM+MN+AC--NC=AB--CE+NE+AC--NCAB+AC=2+2=4;(3)按要求作出图形,如图2所示,(1)中结论不成立,应为MN=NC-BM,理由如下:在CA上截取CE=BM,∵△ABC是正三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,又∵BD=CD,∠BDC=120°,∴∠BCD=∠CBD=30°,∴∠MBD=∠ECD=90°,又∵CE=BM,BD=CD,在△BMD和△CED中,∵CE=BM ∠MBD=ECD=90° BD=CD,∴△BMD≌△CED(SAS),∴DE=DM,在△MDN和△EDN中,∵ND=ND ∠EDN=∠MDN MD=ED ,∴△MDN≌△EDN(SAS),∴MN=NE=NC-CE=NC-BM.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质;此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力,要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质,转换各相等线段解答.变形4、操作:如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D 为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.探究:线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);(2)在你经历说明(1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明.注意:选取①完成证明得10分;选取②完成证明得5分.AN=NC(如图②);②DM∥AC(如图③).附加题:若点M、N分别是射线AB、CA上的点,其它条件不变,再探线段BM、MN、NC 之间的关系,在图④中画出图形,并说明理由.解:(1)BM+CN=MN证明:如图,延长AC至M1,使CM1=BM,连接DM1由已知条件知:∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°,∴∠ABD=∠ACD=90°.∵BD=CD,∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB=∠M1DC,DM=DM1∴∠MDM1=(120°-∠MDB)+∠M1DC=120°.又∵∠MDN=60°,∴∠M1DN=∠MDN=60°.∴△MDN≌△M1DN.∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB.(2)附加题:CN-BM=MN证明:如图,在CN上截取CM1,使CM1=BM,连接MN,DM1∵∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°,∴∠DBM=∠DCM1=90°.∵BD=CD,∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB=∠M1DC,DM=DM1∵∠BDM+∠BDN=60°,∴∠CDM1+∠BDN=60°.∴∠NDM1=∠BDC-(∠M1DC+∠BDN)=120°-60°=60°.∴∠M1DN=∠MDN.∵ND=ND,∴△MDN≌△M1DN.∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB.分析:根据已知先证明Rt△BDM≌Rt△CDM1从而得到BM=CM1,然后再证明△MDN≌△M1DN,从而推出MN=NM1=NC-CM1=NC-MB.在证明时,需添加辅助线,采用“截长补短”法,借助三角形全等进行证明.点评:此题主要考查等边三角形,等腰三角形的性质及三角形全等的判定等知识;正确作出辅助线是解答本题的关键.该题是一个纯图形探索证明题,注意培养自己的探索精神和钻研精神.例题 4. 在四边形 ABDE 中,C 是 BD 边的中点.(1)如图(1),若 AC 平分∠BAE,∠ACE=90°,则线段 AE、AB、DE 的长度满足的数量关系为;(直接写出答案)(2)如图(2),AC 平分∠BAE,EC 平分∠AED,若∠ACE=120°,则线段 AB、BD、DE、AE 的长度满足怎样的数量关系?写出结论并证明;(3)如图(3),BD=8,AB=2,DE=8,若 ACE=135°,求线段 AE 长度的最大值.分析(1)在AE上取一点F,使AF=AB,及可以得出△ACB≌△ACF,就可以得出BC=FC,∠ACB=∠ACF,就可以得出△CEF≌△CED.就可以得出结论;(2)在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG.可以求得CF=CG,△CFG是等边三角形,就有FG=CG=12BD,进而得出结论;(3)在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG.可以求得CF=CG,△CFG是等腰直角三角形,由勾股定理求出FG的值就可以得出结论.解:(1)AE=AB+DE;理由:在AE上取一点F,使AF=AB.如图1∵AC平分∠BAE,∴∠BAC=∠FAC.在△ACB和△ACF中,∵AB=AF∠BAC=∠FACAC=AC,∴△ACB≌△ACF(SAS),∴BC=FC,∠ACB=∠ACF.∵C是BD边的中点.∴BC=CD,∴CF=CD.∵∠ACE=90°,∴∠ACB+∠DCE=90°,∠ACF+∠ECF=90°∴∠ECF=∠ECD.在△CEF和△CED中,∵CF=CD∠ECF=∠ECDCE=CE,∴△CEF≌△CED(SAS),∴EF=ED.∵AE=AF+EF,∴AE=AB+DE,故答案为:AE=AB+DE;(2)如图(2),AC 平分∠BAE,EC 平分∠AED,若∠ACE=120°,则线段 AB、BD、DE、AE 的长 度满足怎样的数量关系?写出结论并证明;(2)猜想:AE=AB+DE+21BD . 证明:如图(2),在AE 上取点F ,使AF=AB ,连结CF ,在AE 上取点G ,使EG=ED ,连结CG . ∵C 是BD 边的中点,∴CB=CD=21BD .∵AC 平分∠BAE ,∴∠BAC=∠FAC .在△ACB 和△ACF 中,∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ,∴△ACB ≌△ACF (SAS ),∴CF=CB ,∴∠BCA=∠FCA .同理可证:CD=CG ,∴∠DCE=∠GCE .∵CB=CD ,∴CG=CF∵∠ACE=120°,∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°.∴∠FCA+∠GCE=60°.∴∠FCG=60°.∴△FGC 是等边三角形.∴FG=FC=21BD .∵AE=AF+EG+FG .∴AE=AB+DE+21BD .(3)如图(3),BD =8,AB =2,DE =8,若 ACE =135°,求线段 AE 长度的最大值.(3)如图(3),在AE 上取点F ,使AF=AB ,连结CF ,在AE 上取点G ,使EG=ED ,连结CG . ∵C 是BD 边的中点,∴CB=CD=21BD .∵AC 平分∠BAE ,∴∠BAC=∠FAC .在△ACB 和△ACF 中,∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ,∴△ACB ≌△ACF (SAS ),∴CF=CB ,∴∠BCA=∠FCA .同理可证:CD=CG ,∴∠DCE=∠GCE .∵CB=CD ,∴CG=CF∵∠ACE=135°,∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°.∴∠FCA+∠GCE=45°.∴∠FCG=90°.∴△FGC 是等腰直角三角形.∴FC=21BD .∵BD=8,∴FC=4,∴FG=42.∵AE=AF+FG+GE ,∴AE=AB+42+DE .∵AB=2,DE=8,∴AE=AF+FG+EG=10+42.点评 本题考查了和四边形有关的综合性题目,用到的知识点有:角平分线的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,等边三角形的性质的运用,勾股定理的运用,解答时证明三角形全等是关键.例题 5.在△ABC 中,∠BAC =90°.(1)如图 1,直线 l 是 BC 的垂直平分线,请在图 1 中画出点 A 关于直线 l 的对称点 A ′,连接 A ′C , A ′B ,A ′C 与 AB 交于点 E ;(2)将图 1 中的直线 A ′B 沿着 EC 方向平移,与直线 EC 交于点 D ,与直线 BC 交于点 F ,过点 F 作 直线 AB 的垂线,垂足为点 H .①如图 2,若点 D 在线段 EC 上,请猜想线段 FH ,DF ,AC 之间的数量关系,并证明; ②若点 D 在线段 EC 的延长线上,直接写出线段 FH ,DF ,AC 之间的数量关系.分析 (1)根据轴对称的性质画出即可;(2)过点F 作FG ⊥CA 于点G ,求出四边形HFGA 为矩形.推出FH=AG ,FG ∥AB 求出∠GFC=∠EBC ,根据线段垂直平分线的性质得出BE=EC ,求出∠ECB=∠EBC=∠GFC ,∠FDC=∠A=90°,∠FDC=∠FGC=90°,根据AAS 推出△FGC ≌△CDF ,推出CG=FD 即可;(3)过F 作FH ⊥BA 于H ,过点C 作CG ⊥FH 于G ,求出四边形ACGH 为矩形.推出AC=GH ,CG ∥AB ,证△FGC ≌△CDF ,根据全等三角形的性质得出FG=FD ,即可得出答案. 解:(1)如图:;(2)①DF+FH=CA ,①证明:过点F 作FG ⊥CA 于点G ,∵FH⊥BA于H,∠A=90°,FG⊥CA,∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°,∴四边形HFGA为矩形.∴FH=AG,FG∥AB,∴∠GFC=∠EBC,∵直线l是BC的垂直平分线,∴BE=EC,∴∠EBC=∠ECB,由(1)和平移可知,∠ECB=∠EBC=∠GFC,∠FDC=∠A=90°,∴∠FDC=∠FGC=90°.在△FGC和△CDF中∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF∴△FGC≌△CDF,∴CG=FD,∴DF+FH=GC+AG,即DF+FH=AC;②解:FH-DF=AC,理由是:过F作FH⊥BA于H,过点C作CG⊥FH于G,∵FH⊥BA于H,∠BAC=90°,CG⊥FH,∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°,∴四边形ACGH为矩形.∴AC=GH,CG∥AB,∴∠GCF=∠EBC,∵直线l是BC的垂直平分线,∴BE=EC,∴∠EBC=∠ECB=∠FCD,∴∠GCF=∠FCD,由(1)和平移可知,∠FDC=∠A=90°,∴∠FDC=∠FGC=90°.在△FGC和△CDF中∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF∴△FGC≌△CDF,∴FG=FD,∵FH-FG=GH,∴FH-DF=AC.点评本题考查了平移的性质,线段垂直平分线性质,全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,此题是一道综合性比较强的题目,难度偏大.变形1 (1)已知:如图1,在四边形ABCD中,BC⊥CD,∠ACD=∠ADC.求证:AB+AC>已知:如图2,在△ABC中,AB上的高为CD,试判断)(2BCAC与AB2+4CD2之间的大小关系,并证明你的结论.分析:(1)连接BD,利用三角形三边关系可得AB+AD>BD,再利用勾股定理和等量代换即可证明.(2)如图,作EB⊥AB,EB=2CD,利用(1)的结论即可证明.证明:(1)连接BD,∵∠ACD=∠ADC,∴AC=AD,∵AB+AD>BD,∵BC⊥CD,∴∠BCD=90°,∴BD=,∴AB+AC>;(2)大小关系是(AC+BC)2<AB2+4CD2,理由为:如图,作EB⊥AB,EB=2CD,∵AB+AC>(1)的结论;两边平方得(AC+AB)2>BC2+CD2,∴(AC+BC)2<AB2+4CD2.点评:此题主要考查三角形三边关系和勾股定理等知识点,难易程度适中,是一道典型的题目.例题 6. 如图 1,在△ABC 中,∠ACB=2∠B,∠BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D,点 H 为AO 上一动点,过点 H 作直线 l⊥AO 于 H,分别交直线 AB、AC、BC、于点 N、E、M.(1)当直线 l 经过点 C 时(如图 2),求证:BN=CD;(2)当 M 是 BC 中点时,写出 CE 和 CD 之间的等量关系,并加以证明;(3)请直接写出 BN、CE、CD 之间的等量关系.解:(1 )证明:连接ND ,∵AO 平分∠BAC ,∴∠1= ∠2 ,∵直线l ⊥AO 于H ,∴∠4= ∠5=90 °,∴∠6= ∠7 ,∴AN=AC ,∴NH=CH ,∴AH 是线段NC 的中垂线,∴DN=DC ,∴∠8= ∠9 .∴∠AND= ∠ACB ,∵∠AND= ∠B+ ∠3 ,∠ACB=2 ∠B ,∠B+ ∠3= ∠7+∠9=2 ∠B ∴∠B= ∠3 ,∴BN=DN ,∴BN=DC ;(2 )如图,当M 是BC 中点时,CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE 。
几何证明题解题思路研究——以近五年成都市中考数学试题为例

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀2023 14几何证明题解题思路研究几何证明题解题思路研究㊀㊀㊀ 以近五年成都市中考数学试题为例Һ魏迎萍㊀(西华师范大学,四川㊀南充㊀637001)㊀㊀ʌ摘要ɔ基础教育数学课程改革中,几何学作为数学的重要组成部分,成为人们备受关注的问题之一.文章主要是以近五年成都市中考试卷几何证明题为例,结合学生目前对于几何证明所遇到的问题,就几何证明题的解题思路进行研究.回看近五年来成都市中考试卷,其中平面几何每年都会以选择㊁填空㊁解答或证明题形式出现,题型灵活多变.文章归纳总结了几何证明题的一般解题思路和解题技巧,将 理论用于实践 ,从未知到已知,进一步提升学生解决几何证明题的能力.ʌ关键词ɔ平面几何;几何证明题;解题思路;成都市中考试题引㊀言一直以来,几何学作为中学数学的重要部分,在课程改革中,几何学的改革早已成为人们非常关注的问题.几何证明题难度较大,很多学生会因为 节约时间 合理利用时间 等原因在未认真阅读题目的情况下放弃该题目,因此几何证明题也就成为拉开学生差距的题目.但几何证明题并不是非常高深的题型,如果学生能够掌握正确的解题思路,使用行之有效的解题技巧,不仅可以降低几何证明题的难度,也能够提高几何证明题的准确率.此外,学生对自己能够解决几何证明题的信心不足,也容易产生放弃的念头,如果教师在讲解几何证明题时能帮助学生整理解题思路,归纳解题技巧,长而久之,学生的解题能力自然会得到提升.下面笔者以成都市近五年中考真题为例,对几何证明题解题思路进行梳理.一㊁读已知信息,从题目中提取有效信息想要解几何证明题,审题非常重要.很多学生在拿到题目以后,没有标记的习惯,也没有分析所给已知信息的目的,这样不仅可能会导致审题错误,而且可能会导致无效审题.因此,学生在拿到一道题目后,首先要做的就是根据已知信息尽可能多地推测出与其相关的知识点.例如,题目中给出 RtәABC绕某点旋转得到әAᶄBᶄCᶄ ,学生便可以推测出:әABCɸәAᶄBᶄCᶄ,әABC中有一角等于90ʎ等信息,同时要考虑到初中所学过的所有与三角形有关的知识,如全等㊁相似㊁三角形外角和定理㊁中位线㊁等腰三角形的三线合一等,这些都是常考的知识点.因此,有效读题,并不仅是读题目中的已知信息,而是要尽量根据已知信息,快速推测出相关知识点.二㊁读题干,从题干中获取有效信息题干中的信息是学生最容易忽略的地方,很多学生在阅读题目时更在乎需要解决的问题.而很多难度比较大的题目,关键条件都隐藏在题干之中,需要结合已知信息进行延伸,找到解题思路.学会引申最有效的方法就是学生平时多多积累,需要对定理㊁知识点非常熟悉.对于特殊的图形,学生在平时要记忆,在读题干㊁审题时也一定要加以标注,要做到从隐藏条件中提取相关知识点.在图形中进行标注,不仅可以帮助学生区分已知和未知信息,也可以帮助学生进一步思考,获取有效信息.总之,读题时要做到以下几点,其一,细心读题,不要被陷阱给迷惑;其二,读题时要标记和记忆;其三,读题时要注意深度思考,很多信息不是题干直接给出的.下面以成都市中考真题进行说明:例1㊀(成都市2021年中考A卷第20题)如图1,AB为☉O的直径,C为☉O上的一点,连接AC,BC,D为AB延长线上的一点,连接CD,且øBCD=øA.图1(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若☉O的半径为5,әABC的面积为25,求CD的长;㊀㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀2023 14(3)在(2)的条件下,E为☉O上的一点,连接CE交线段OA于点F,若EFCF=12,求BF的长.分析㊀这个题目一眼便可以看出第三小问和第二小问有极大的关联,第一小问要求证切线.初中求证切线时,往往会利用切线定理,即圆的切线垂直于过其切点的半径.实际上,当题目是求证某一问题时,我们可以将此问题当做已知.如在求解第一小问时,我们可以直接认为CD就是☉O的切线,那么,过点C的半径CO一定和CD垂直,根据逆向思维,我们只需要找出符合该条件信息即可.在阅读第二小问的题干时,可以将第一小问已经证明出的结论作为已知,对第二小问进行分析.分析第二题的题干,给出的条件是☉O的半径长为5,әABC的面积为25,我们知道三角形的面积公式为12ah,题目中给出了әABC的面积,那么我们需要找到三角形的底和高,而在这个时候,很多学生只会从最明显的底和高去分析,往往会忘记三角形对应的有三组底和高,所以会忽略以AB为底边的一组高.要尽量将两条信息联系在一起,考虑到该条信息出现的目的,结合需要求解的CD的长度,将三者缩小到一个三角形内,利用两个相似三角形的知识点,让已知条件和未知条件产生联系,便更有利于得到题目的结果.第三小问的题干明确了和第二小问的关联,所以此时,我们完全可以将第二小问作为已知条件.也就是说,实际上,第三小问已知的条件有CD是☉O的切线㊁☉O的半径为5㊁әABC的面积为25㊁CD的长㊁EFCF=12这五个条件,结合题目中需要求解的BF的长,努力将这五个信息和BF联系起来.几何证明题中的任何一个已知信息都不是孤立的.把握基本图形的组合,掌握知识点间的常见联系,积累解题经验是很重要的.三㊁合理利用辅助线,降低题目难度作辅助线是解决近五年来成都市数学中考试卷B卷几何证明题必不可少的一步,也是学生在解几何证明题时最难的一步.几何证明题常常涉及比较复杂的图形,但其实再复杂的图形,也是用常见的基本图形通过一定的组合得到的.基本图形的定义㊁公理㊁定理和推论是我们必须熟悉和掌握的内容,另外还有一些常见组合形式:如角平分线形㊁八字形㊁双垂直图形等.在近五年成都市中考试卷中的几何证明题中,所做的辅助线主要有两种类型,即作某直线的平行线或者垂线.在作平行线时,会涉及平行线的性质,再利用与平行线相关的性质去证明某些图形的相似或者是三角形的全等,从而解决线段之间的关系;在作垂线时,会涉及三线合一或者与角度有关的知识,从而证明线段之间的关系.能否正确作出辅助线,实际上也在于平时的积累,教师在教授几何相关的知识时,可以侧重于使学生感受辅助线的自然生成.在几何证明题中,辅助线的添加也具有一定的规律.在三角形中,遇到中点,添加中位线或中线;遇到角平分线,过角平分线上的点,添线构造全等三角形;遇到中线,延长中线至原长的二倍,构造全等三角形;截长补短构造等长直线等;添加平行线构造全等或相似三角形.在梯形中,作平行线,构造平行四边形;连接对角线,构造三角形;作垂线,构造直角三角形或矩形;遇到中点,作中位线或构造全等三角形.在平行四边形中,有平行线构造平行四边形;有中点构造全等三角形;过交点作垂线;有垂线时,构造矩形或作平行线.四㊁理出思路,正确运用数学几何语言数学学科具有精准性和严谨性,数学语言的合理利用是数学中考着重考查的部分,学生正式接触数学语言便是从几何开始的.教师在教授数学语言时,应促使学生养成正确运用数学语言的习惯.数学语言的正确表达,有助于学生形成数学思维.几何语言有连接实验几何和论证几何的桥梁作用,教师通过对几何语言例题的示范和训练来加强学生对几何知识的使用,真正意义上提升学生运用几何知识的能力,能够帮助学生理解复杂晦涩的数学知识,帮助学生进行清晰㊁有条理的思考,从而引导学生合理㊁正确地解决数学问题,加强对数学学习的认识,不断激发学生的思维能力.五㊁回顾检查,是否有不符题意信息回顾检查是解题的最后一步,也是较为重要的一步,但是很多学生在完成几何证明题以后,并没有检查的习惯,认为只要思路正确,便不会出错.事实恰恰相反.在几何证明题中,学生经常出现看错题目所给角度㊁所给直线,导致在理解错误的基础上反复解题,却一直没有收获,不仅浪费时间,而且影响做题进度㊁解题思路.因此,学生在解题的过程中,没有思路时,也应该注意回顾,检查是否有漏读㊁错读的信息.在近五年成都市中考数学试卷中,关于几何证明题,如果题目㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀2023 14中没有涉及动点问题,所给出的图形一般来说是比较标准的.例如,学生可以根据对比已知直线的长度和所求解出来的直线的长度,判断最终结果是否符合题意信息.六㊁解题思路的应用下面以成都市2020年A卷第20题为例,对解题思路的五个步骤进行应用.㊀图2例2㊀(成都市2020年中考A卷第20题)如图2,在әABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC为半径画☉O,☉O与边AB相切于点D,AC=AD,连接OA交☉O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若AB=10,tanB=43,求☉O的半径;(3)若F是AB的中点,试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由.解题思路㊀根据上述所提供的的解题思路步骤,我们在拿到这道题后,先阅读题干的已知信息,整理有效信息,并且在已知信息的基础上,结合图形,引申出相关知识点,推测所给已知信息的目的.从题干中我们可以知道,所给的已知信息有:OC是☉O的半径㊁☉O与AB相切于点D㊁AC=AD,同时,我们可以利用已知信息结合图形推测出OC=OE㊁øODA=90ʎ.第二步是读问题,前文已经提到,几何证明中,如题目是要求证明某一知识,我们可以直接将该问题看做已知,进行逆向思考.若AC就是☉O的切线,那么过C点的半径一定是和AC垂直的,结合上段所提取的信息,可以推测出øODA=øOCA,进行到此时时,便可以看出әAOCɸәAOD,利用SSS定理便可以轻易得证.整理思路以后,再利用几何数学语言将解题过程表达出来即可.在阅读第二小问时,我们可以直接利用第一小问的结论,所以此时的已知条件有AB=10,tanB=43,әAOCɸәAOD,OC是☉O的半径,☉O与AB相切于点D,AC=AD.根据要求的☉O的半径,结合已知信息,可以初步猜想本题可能会利用到相似或者是勾股定理.这只是我们的初步猜想,此时要尽量将所有已知信息整合到一个图形或者两个全等三角形㊁两个相似三角形中.本题所给的AB的长度,AB=AD+DB,而AC=AD;tanB=43,正切函数一般会涉及直角三角形,我们在引申这一信息时,要考虑到包含øB的所有直角三角形,即әABC和әOBD,将所有的已知信息集中到了әABC和әOBD上,接着通过设OD的长度为x,找到这个两个三角形的线段对应关系,便可以得出答案.第三小问中给出了一个新的信息,F是AB的中点,要求探究BD+CE与AF的关系,这三条线段初看似乎没有任何联系,因此我们要结合已知信息进行分析,OC是☉O的半径,☉O与AB相切于点D,AC=AC,F是AB的中点,将信息尽量套到同一个图形之中.当我们在图中标注了这三条直线以后,会发现,由于F是AB的中点,且B,D,A三点在同一条直线上,此时最主要的就是解决CE和这两条线段的联系.连接ED,我们可以观察到,ED和FD之间似乎是相等的关系,如果可以证明他们两者相等,便把题目中一开始看似毫无关联的三条线段,放在了同一条直线AB上,题目也就得到了解决.结㊀语总之,对学生几何证明的思路及思维进行训练,有利于培养学生数学逻辑能力以及核心素养.几何证明虽然是初中生普遍认为的难点,但是也仍然有可以破解的方法.作为教师,在教授几何相关知识时,要注意有意识地培养学生的数感,在平时训练时要重视实践.实践是初中数学证明的基本出发点,贯穿于证明教学的全过程.同时,教师应该注意及时对学生进行纠错,特别是数学几何语言,促使学生养成好的数学习惯,端正对于几何证明题的学习态度.ʌ参考文献ɔ[1]秦晓.例谈初中几何证明中 辅助线的自然生成 [J].数学教学通讯,2019(11):42-44.[2]林丽红.初中几何证明题解题技巧探析[J].中国培训,2015(10):214.[3]李淑琴.初中数学证明题解题方法探讨[J].当代教研论丛,2015(09):53.[4]钟万明.浅谈平面几何证明中信息的处理[J].数学学习与研究,2013(12):94.[5]高长红.几何证明添加辅助线的技巧[J].科学大众(科学教育),2011(09):28.[6]王锡珠.初中数学几何图形语言的训练策略[J].理科考试研究,2016,23(02):4.。
中考数学专题复习八几何证明题

专题八:几何证明题问题解析几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力;几何证明题和计算题在中考中占有重要地位.根据新的课程标准;对几何证明题证明的方法技巧上要降低;繁琐性、难度方面要降低.但是注重考查学生的基础把握推理能力;所以几何证明题是目前常考的题型.热点探究类型一:关于三角形的综合证明题例题12016·四川南充已知△ABN和△ACM位置如图所示;AB=AC;AD=AE;∠1=∠2.1求证:BD=CE;2求证:∠M=∠N.分析1由SAS证明△ABD≌△ACE;得出对应边相等即可2证出∠BAN=∠CAM;由全等三角形的性质得出∠B=∠C;由AAS证明△ACM≌△ABN;得出对应角相等即可.解答1证明:在△ABD和△ACE中;;∴△ABD≌△ACESAS;∴BD=CE;2证明:∵∠1=∠2;∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE;即∠BAN=∠CAM;由1得:△ABD≌△ACE;∴∠B=∠C;在△ACM和△ABN中;;∴△ACM≌△ABNASA;∴∠M=∠N.点评本题考查了全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键.同步练2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE.1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证:AD=BE;②求∠AEB的度数.2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明:AE=2CM+BN.类型二:关于四边形的综合证明题例题22016·山东省滨州市·10分如图;BD是△ABC的角平分线;它的垂直平分线分别交AB;BD;BC 于点E;F;G;连接ED;DG.1请判断四边形EBGD的形状;并说明理由;2若∠ABC=30°;∠C=45°;ED=2;点H是BD上的一个动点;求HG+HC的最小值.考点平行四边形的判定与性质;角平分线的性质.分析1结论四边形EBGD是菱形.只要证明BE=ED=DG=GB即可.2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EMC中;求出EM、MC即可解决问题.解答解:1四边形EBGD是菱形.理由:∵EG垂直平分BD;∴EB=ED;GB=GD;∴∠EBD=∠EDB;∵∠EBD=∠DBC;∴∠EDF=∠GBF;在△EFD和△GFB中;;∴△EFD≌△GFB;∴ED=BG;∴BE=ED=DG=GB;∴四边形EBGD是菱形.2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EBM中;∵∠EMB=90°;∠EBM=30°;EB=ED=2;∴EM=BE=;∵DE∥BC;EM⊥BC;DN⊥BC;∴EM∥DN;EM=DN=;MN=DE=2;在RT△DNC中;∵∠DNC=90°;∠DCN=45°;∴∠NDC=∠NCD=45°;∴DN=NC=;∴MC=3;在RT△EMC中;∵∠EMC=90°;EM=.MC=3;∴EC===10.∵HG+HC=EH+HC=EC;∴HG+HC的最小值为10.点评本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识;解题的关键是利用对称找到点H的位置;属于中考常考题型.同步练2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO.1已知BD=;求正方形ABCD的边长;2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.类型三:关于圆的综合证明题例题32016·山东潍坊正方形ABCD内接于⊙O;如图所示;在劣弧上取一点E;连接DE、BE;过点D作DF∥BE交⊙O于点F;连接BF、AF;且AF与DE相交于点G;求证:1四边形EBFD是矩形;2DG=BE.考点正方形的性质;矩形的判定;圆周角定理.分析1直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;∠EDF=90°;进而得出答案;2直接利用正方形的性质的度数是90°;进而得出BE=DF;则BE=DG.解答证明:1∵正方形ABCD内接于⊙O;∴∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;又∵DF∥BE;∴∠EDF+∠BED=180°;∴∠EDF=90°;∴四边形EBFD是矩形;2∵正方形ABCD内接于⊙O;∴的度数是90°;∴∠AFD=45°;又∵∠GDF=90°;∴∠DGF=∠DFC=45°;∴DG=DF;又∵在矩形EBFD中;BE=D同步练枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE.1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由;2求证:BC2=CD 2OE;3若cos∠BAD=35;BE=6;求OE的长.类型四:关于相似三角形的证明问题例题42016·黑龙江齐齐哈尔·8分如图;在△ABC中;AD⊥BC;BE⊥AC;垂足分别为D;E;AD与BE 相交于点F.1求证:△ACD∽△BFD;2当tan∠ABD=1;AC=3时;求BF的长.考点相似三角形的判定与性质.分析1由∠C+∠DBF=90°;∠C+∠DAC=90°;推出∠DBF=∠DAC;由此即可证明.2先证明AD=BD;由△ACD∽△BFD;得==1;即可解决问题.解答1证明:∵AD⊥BC;BE⊥AC;∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°;∴∠C+∠DBF=90°;∠C+∠DAC=90°;∴∠DBF=∠DAC;∴△ACD∽△BFD.2∵tan∠ABD=1;∠ADB=90°∴=1;∴AD=BD;∵△ACD∽△BFD;∴==1;∴BF=AC=3.同步练2016·湖北武汉·10分在△ABC中;P为边AB上一点.1 如图1;若∠ACP=∠B;求证:AC2=AP·AB;2 若M为CP的中点;AC=2;① 如图2;若∠PBM=∠ACP;AB=3;求BP的长;② 如图3;若∠ABC=45°;∠A=∠BMP=60°;直接写出BP的长.达标检测1. 2016·黑龙江哈尔滨·8分已知:如图;在正方形ABCD 中;点E 在边CD 上;AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P .1求证:AP=BQ ;2在不添加任何辅助线的情况下;请直接写出图中四对线段;使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.2. 2016·四川内江9分如图6所示;△ABC 中;D 是BC 边上一点;E 是AD 的中点;过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F;且AF =BD;连接BF .1求证:D 是BC 的中点;2若AB =AC;试判断四边形AFBD 的形状;并证明你的结论.3. 烟台市 2015 中考 -23如图;以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC;BC 的交点分别为D 、E;且=.1试判断△ABC 的形状;并说明理由.2已知半圆的半径为5;BC=12;求sin∠ABD 的值.4. 2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟;第22题7分如图;在平行四边形ABCD 中;E 、F 分别为边AB 、CD 的中点;BD 是对角线.1求证:△ADE ≌△CBF ;2若∠ADB 是直角;则四边形BEDF 是什么四边形 证明你的结论.5. 烟台市 2014 中考 -24如图;AB 是⊙O 的直径;延长AB 至P;使BP=OB;BD 垂直于弦BC;垂足为点B;点D 在PC 上.设∠PCB=α;∠POC=β.求证:tanα tan=.DCEF B A 图66. 2015 梧州;第25题12分如图;在正方形ABCD中;点P在AD上;且不与A、D重合;BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点;垂足为Q;过E作EH⊥AB于H.1求证:HF=AP;2若正方形ABCD的边长为12;AP=4;求线段EQ的长.7. 2015 北海;第25题12分如图;AB、CD为⊙O的直径;弦AE∥CD;连接BE 交CD于点F;过点E作直线EP与CD的延长线交于点P;使∠PED=∠C.1求证:PE是⊙O的切线;2求证:ED平分∠BEP;3若⊙O的半径为5;CF=2EF;求PD的长.参考答案类型一:关于三角形的综合证明题同步练2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE.1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证:AD=BE;②求∠AEB的度数.2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明:AE=2CM+BN.考点等腰三角形的性质.分析1①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE;再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC;DC=EC”;利用全等三角形的判定SAS即可证出△ACD≌△BCE;由此即可得出结论AD=BE;②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC;再通过角的计算即可算出∠AEB的度数;2根据等腰三角形的性质结合顶角的度数;即可得出底角的度数;利用1的结论;通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度;二者相加即可证出结论.解答1①证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°;∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB;∠DCE=∠DCB+∠BCE;∴∠ACD=∠BCE.∵△AC B和△DCE均为等腰三角形;∴AC=BC;DC=EC.在△ACD和△BCE中;有;∴△ACD≌△BCESAS;∴AD=BE.②解:∵△ACD≌△BCE;∴∠ADC=∠BEC.∵点A;D;E在同一直线上;且∠CDE=50°;∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°;∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB;且∠CED=50°;∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°.2证明:∵△ACB和△DCE均为等腰三角形;且∠ACB=∠DCE=120°;∴∠CDM=∠CEM=×180°﹣120°=30°.∵CM⊥DE;∴∠CMD=90°;DM=EM.在Rt△CMD中;∠CMD=90°;∠CDM=30°;∴DE=2DM=2×=2CM.∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°;∠BEC=∠CEM+∠AEB;∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°;∴∠BEN=180°﹣120°=60°.在Rt△BNE中;∠BNE=90°;∠BEN=60°;∴BE==BN.∵AD=BE;AE=AD+DE;∴AE=BE+DE=BN+2CM.点评本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算;解题的关键是:1通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE;2找出线段AD、DE的长.本题属于中档题;难度不大;但稍显繁琐;解决该题型题目时;利用角的计算找出相等的角;再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角;最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键.类型二:关于四边形的综合证明题同步练2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO.1已知BD=;求正方形ABCD的边长;2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.考点正方形的性质.分析1根据正方形的性质以及勾股定理即可求得;2根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF;进一步得出∠BAF=∠BCN;然后通过证得△ABF≌△CBN得出AF=CN;进而证得△ABF∽△COM;根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN= CM.解答解:1∵四边形ABCD是正方形;∴△ABD是等腰直角三角形;∴2AB2=BD2;∵BD=;∴AB=1;∴正方形ABCD的边长为1;2CN=CM.证明:∵CF=CA;AF是∠ACF的平分线;∴CE⊥AF;∴∠AEN=∠CBN=90°;∵∠ANE=∠CNB;∴∠BAF=∠BCN;在△ABF和△CBN中;;∴△ABF≌△CBNAAS;∴AF=CN;∵∠BAF=∠BCN;∠ACN=∠BCN;∴∠BAF=∠OCM;∵四边形ABCD是正方形;∴AC⊥BD;∴∠ABF=∠COM=90°;∴△ABF∽△COM;∴=;∴==;即CN=CM.类型三:关于圆的综合证明题同步练枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE.1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由;2求证:BC2=CD 2OE;3若cos∠BAD=35;BE=6;求OE的长.思路分析:本题考查了切线的判定;垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点.故对于题1可以连接OD;BD;由AB为圆O的直径;得到∠ADB为直角;从而得出三角形BCD为直角三角形;E为斜边BC 的中点;利用斜边上的中线等于斜边的一半;得到CE=DE;利用等边对等角得到一对角相等;再由OA=OD;利用等边对等角得到一对角相等;由直角三角形ABC中两锐角互余;利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余;可得出∠ODE为直角;即DE垂直于半径OD;可得出DE为圆O的切线;对于题2首先可证明OE是△ABC的中位线;则AC=2OE;然后证明△ABC∽△BDC;根据相似三角形的对应边的比相等;即可证得;对于题3在直角△ABC中;利用勾股定理求得AC的长;之后根据三角形中位线定理OE的长即可求得.解题过程:1证明:连接OD;BD;∵AB为圆O的直径;∴∠ADB=90°;在Rt△BDC中;E为斜边BC的中点;∴CE=DE=BE=12 BC;∴∠C=∠CDE;∵OA=OD;∴∠A=∠ADO;∵∠ABC=90°;即∠C+∠A=90°;∴∠ADO+∠CDE=90°;即∠ODE=90°;∴DE⊥OD;又OD为圆的半径;∴DE为⊙O的切线;2证明:∵E是BC的中点;O点是AB的中点; ∴OE是△ABC的中位线;∴AC=2OE;∵∠C=∠C;∠ABC=∠BDC;∴△ABC∽△BDC;∴BC ACCD BC=;即BC2=AC CD.∴BC2=2CD OE;3解:∵cos∠BAD=35;∴sin∠BAC=45 BCAC=;又∵BE=6;E是BC的中点;即BC=12;∴AC=15.又∵AC=2OE;∴OE=12AC=152.规律总结:熟练把握切线的判定;垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点是解决本题的关键.要证某线是圆的切线;已知此线过圆上某点;连接圆心与这点即为半径;再证垂直即可.类型四:关于相似三角形的证明问题同步练2016·湖北武汉·10分在△ABC中;P为边AB上一点.1 如图1;若∠ACP=∠B;求证:AC2=AP·AB;2 若M为CP的中点;AC=2;① 如图2;若∠PBM=∠ACP;AB=3;求BP的长;② 如图3;若∠ABC=45°;∠A=∠BMP=60°;直接写出BP的长.考点相似形综合;考查相似三角形的判定和性质;平行线的性质;三角形中位线性质;勾股定理..答案 1证△ACP∽△ABC即可;2①BP=5;②71解析1证明:∵∠ACP=∠B;∠BAC=∠CAP;∴△ACP∽△ABC;∴AC:AB=AP:AC;∴AC2=AP·AB;2①如图;作CQ∥BM交AB延长线于Q;设BP=x;则P Q=2x∵∠PBM=∠ACP;∠PAC=∠CAQ;∴△APC∽△ACQ;由AC2=AP·AQ得:22=3-x35即BP②如图:作CQ⊥AB 于点Q;作CP 0=CP 交AB 于点P 0;∵AC =2;∴AQ=1;CQ =BQ; 设P0Q =PQ =1-x;BP -1+x;∵∠BPM=∠CP 0A ;∠BMP=∠CAP 0;∴△AP 0C∽△MPB;∴00AP P C MP BP =;∴MP P0C =2012P C ==AP 0 BP =1+x;解得x ∴BP =-11-.达标检测1. 2016·黑龙江哈尔滨·8分已知:如图;在正方形ABCD 中;点E 在边CD 上;AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P .1求证:AP=BQ ;2在不添加任何辅助线的情况下;请直接写出图中四对线段;使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.考点正方形的性质;全等三角形的判定与性质.分析1根据正方形的性质得出AD=BA;∠BAQ=∠ADP;再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA;判定△AQB≌△DPA 并得出结论;2根据AQ ﹣AP=PQ 和全等三角形的对应边相等进行判断分析.解答解:1∵正方形ABCD∴AD=BA;∠BAD=90°;即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPAAAS∴AP=BQ2①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ2. 2016·四川内江9分如图6所示;△ABC 中;D 是BC 边上一点;E 是AD 的中点;过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F;且AF =BD;连接BF .1求证:D 是BC 的中点;2若AB =AC;试判断四边形AFBD 的形状;并证明你的结论.考点三角形例行;特殊四边形的性质与判定..1证明:∵点E 是AD 的中点;∴AE =DE .∵AF ∥BC;∴∠AFE =∠DCE;∠FAE =∠CDE .∴△EAF ≌△EDC .∴AF =DC .∵AF =BD;∴BD =DC;即D 是BC 的中点.2四边形AFBD 是矩形.证明如下:∵AF ∥BD;AF =BD;∴四边形AFBD 是平行四边形.∵AB =AC;又由1可知D 是BC 的中点;∴AD ⊥BC .DC EF B A图6∴□AFBD是矩形.3. 烟台市 2015 中考 -23如图;以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC;BC的交点分别为D、E;且=.1试判断△ABC的形状;并说明理由.2已知半圆的半径为5;BC=12;求sin∠ABD的值.思路分析:1连结AE;如图;根据圆周角定理;由=得∠DAE=∠BAE;由AB为直径得∠AEB=90°;根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形;2由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6;再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8;接着由AB为直径得到∠ADB=90°;则可利用面积法计算出BD=;然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=;再根据正弦的定义求解.解题过程:解:1△ABC为等腰三角形.理由如下:连结AE;如图;∵=;∴∠DAE=∠BAE;即AE平分∠BAC;∵AB为直径;∴∠AEB=90°;∴AE⊥BC;∴△ABC为等腰三角形;2∵△ABC为等腰三角形;AE⊥BC;∴BE=CE=BC=×12=6;在Rt△ABE中;∵AB=10;BE=6;∴AE==8;∵AB为直径;∴∠ADB=90°;∴AE BC=BD AC;∴BD==;在Rt△ABD中;∵AB=10;BD=;∴AD==;∴sin∠ABD===.规律总结:本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中;同弧或等弧所对的圆周角相等;都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理.4. 2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟;第22题7分如图;在平行四边形ABCD中;E、F分别为边AB、CD的中点;BD是对角线.1求证:△ADE≌△CBF;2若∠ADB是直角;则四边形BEDF是什么四边形证明你的结论.考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.分析:1由四边形ABCD是平行四边形;即可得AD=BC;AB=CD;∠A=∠C;又由E、F分别为边AB、CD的中点;可证得AE=CF;然后由SAS;即可判定△ADE≌△CBF;2先证明BE与DF平行且相等;然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;再连接EF;可以证明四边形AEFD是平行四边形;所以AD∥EF;又AD⊥BD;所以BD⊥EF;根据菱形的判定可以得到四边形是菱形.解答:1证明:∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD=BC;AB=CD;∠A=∠C;∵E、F分别为边AB、CD的中点;∴AE=AB;CF=CD;∴AE=CF;在△ADE和△CBF中;∵;∴△ADE≌△CBFSAS;2若∠ADB是直角;则四边形BEDF是菱形;理由如下:解:由1可得BE=DF;又∵AB∥C D;∴BE∥DF;BE=DF;∴四边形BEDF是平行四边形;连接EF;在 ABCD中;E、F分别为边AB、CD的中点;∴DF∥AE;DF=AE;∴四边形AEFD是平行四边形;∴EF∥AD;∵∠ADB是直角;∴AD⊥BD;∴EF⊥BD;又∵四边形BFDE是平行四边形;∴四边形BFDE是菱形.点评:本题主要考查了平行四边形的性质;全等三角形的判定以及菱形的判定;利用好E、F 是中点是解题的关键.5. 烟台市 2014 中考 -24如图;AB是⊙O的直径;延长AB至P;使BP=OB;BD垂直于弦BC;垂足为点B;点D在PC上.设∠PCB=α;∠POC=β.求证:tanα tan=.解析:连接AC先求出△PBD∽△PAC;再求出=;最后得到tanα tan=.解答:证明:连接AC;则∠A=∠POC=;∵AB是⊙O的直径;∴∠ACB=90°;∴tanα=;BD∥AC;∴∠PBD=∠A;∵∠P=∠P;∴△PBD∽△PAC;∴=;∵PB=0B=OA;∴=;∴tana tan===.点评:本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识;本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC;再求出tanα tan=.6. 2015 梧州;第25题12分如图;在正方形ABCD中;点P在AD上;且不与A、D重合;BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点;垂足为Q;过E作EH⊥AB于H.1求证:HF=AP;2若正方形ABCD的边长为12;AP=4;求线段EQ的长.考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.所有分析: 1先根据EQ⊥BO;EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°.根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH;故∠QEM=∠HBM.由ASA定理得出△APB≌△HFE;故可得出结论;2由勾股定理求出BP的长;根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP;再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长;由1知;△APB≌△HFE;故EF=BP=4;再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论.解答: 1证明:∵EQ⊥BO;EH⊥AB;∴∠EQN=∠BHM=90°.∵∠EMQ=∠BMH;∴△EMQ∽△BMH;∴∠QEM=∠HBM.在Rt△APB与Rt△HFE中;;∴△APB≌△HFE;∴HF=AP;2解:由勾股定理得;BP===4.∵EF是BP的垂直平分线;∴BQ=BP=2;∴QF=BQ tan∠FBQ=BQ tan∠ABP=2×=.由1知;△APB≌△HFE;∴EF=BP=4;∴EQ=EF﹣QF=4﹣=.点评:本题考查的是正方形的性质;熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键.7.8. 2015 北海;第25题12分如图;AB、CD为⊙O的直径;弦AE∥CD;连接BE交CD于点F;过点E作直线EP与CD的延长线交于点P;使∠PED=∠C.1求证:PE是⊙O的切线;2求证:ED平分∠BEP;3若⊙O的半径为5;CF=2EF;求PD的长.考点:切线的判定.分析: 1如图;连接OE.欲证明PE是⊙O的切线;只需推知OE⊥PE即可;2由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°;根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4;结合已知条件证得结论;3设EF=x;则CF=2x;在RT△OEF中;根据勾股定理得出52=x2+2x﹣52;求得EF=4;进而求得BE=8;CF=8;在RT△AEB中;根据勾股定理求得AE=6;然后根据△AEB∽△EFP;得出=;求得PF=;即可求得PD的长.解答: 1证明:如图;连接OE.∵CD是圆O的直径;∴∠CED=90°.∵OC=OE;∴∠1=∠2.又∵∠PED=∠C;即∠PED=∠1;∴∠PED=∠2;∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°;即∠OEP=90°; ∴OE⊥EP;又∵点E在圆上;∴PE是⊙O的切线;2证明:∵AB、CD为⊙O的直径;∴∠AEB=∠CED=90°;∴∠3=∠4同角的余角相等.又∵∠PED=∠1;∴∠PED=∠4;即ED平分∠BEP;3解:设EF=x;则CF=2x;∵⊙O的半径为5;∴OF=2x﹣5;在RT△OEF中;OE2=OF2+EF2;即52=x2+2x﹣52;解得x=4;∴EF=4;∴BE=2EF=8;CF=2EF=8;∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2;∵AB为⊙O的直径;∴∠AEB=90°;∵AB=10;BE=8;∴AE=6;∵∠BEP=∠A;∠EFP=∠AEB=90°;∴△AEB∽△EFP;∴=;即=;∴PF=;∴PD=PF﹣DF=﹣2=.点评:本题考查了切线的判定和性质;圆周角定理的应用;勾股定理的应用;三角形相似的判定和性质;熟练掌握性质定理是解题的关键.。
江西中考简单几何证明题知识点总结

江西中考简单几何证明题知识点总结考点1:特殊的平行四边形(平行四边形)的判定及其性质1.已知:如图,在ABCD 中,点E 、F 分别在AD 、BC 上,且BE 平分ABC ,EF .求证:四边形ABFE是菱形.2.如图,四边形ABCD 是平行四边形,E ,F 分别是边AB ,CD 上的点,AE CF .证明AF CE.3.如图,已知:在ABC 中,90BAC ,延长BA 到点D ,使12AD AB,点E ,F 分别是边BC ,AC 的中点.求证:DF BE .4.如图,平行四边形ABCD 中,点E ,F 分别在线段BC ,AD 上,连接AE ,CF ,//AE CF ,BE AE AD ,求证:四边形AECF是菱形.严禁复制5.如图,在△ABC 中,AB =AC ,AE ⊥BC ,AD 平分∠FAC ,CD ⊥AD 于点D .求证:四边形AECD是矩形.6.已知:如图,在▱ABCD 中,AC 为对角线,∠BAC =∠DAC .求证:▱ABCD为菱形.7.如图,已知AE 是ABC 的角平分线,//ED AC 交AB 于点//D EF AB ,交AC 于点F .求证:四边形ADEF 为菱形.8.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,分别以AC 、BC 为底边,向△ABC 外部作等腰△ADC 和△CEB ,点M 为AB 中点,连接MD 、ME 分别与AC 、BC 交于点F 和点G .求证四边形MFCG是矩形.9.如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是BC ,AD 边上的点,且AE =CF ,若AC ⊥EF ,试判断四边形AECF 的形状,请说明理由.严禁复制10.如图,已知△ABC 中,AB =AC ,AD 是角平分线,F 为BA 延长线上的一点,AE 平分∠FAC ,DE ∥BA 交AE 于E .求证:四边形ADCE是矩形.11.如图,▱ABCD 中,对角线BD 平分∠ABC ,求证:▱ABCD是菱形.12.已知:如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点,求证:四边形AEDF 是菱形.严禁复制考点2:全等三角形的证明1.如图,正方形ABCD 中,G 为BC 边上一点,BE ⊥AG 于E ,DF ⊥AG 于F ,连接DE .求证:△ABE ≌△DAF.2.如图,已知△ABC 的BC 边的垂直平分线DE 与∠BAC 的平分线交于点E ,EF ⊥AB 的延长线于点F ,EG ⊥AC 于点G ,求证:(1)BF =CG;2.如图,90A D ,AC BD ,AC 与BD 相交于点O ,求证:OB OC .4.如图,点,E F 分别在菱形ABCD 的边,BC CD 上,且BE DF .求证:BAE DAF.5.如图点E ,F 分别是矩形ABCD 的边AD ,AB 上一点,若AE=DC=2ED ,且EF ⊥EC 严禁复制(1)求证:点F 为AB 的中点6.如图,点A ,D ,B ,E 在同一条直线上,AD=BE ,AC=DF ,AC ∥DF ,请从图中找出一个与∠E 相等的角,并加以证明.(不再添加其他的字母与线段)7.已知:如图,点D 是ABC 内一点,AB AC ,12 .求证:AD 平分BAC .8.如图,A ,E 两点在线段DB 上,EF =BC ,DF =AC ,DA =EB .求证:EF ∥BC.9.如图,已知ABC ,点E 在边AC 上,过点B 作//BD AC ,且AE BD ,连接DE 交AB 于点F .求证:AF BF .严禁复制10如图,已知四边形ABCD 为菱形,延长AB 到点E ,使得BE AB ,过点E 作//EF AD ,交DB 的延长线于点F ,求证:DC EF.11.如图,四边形ABCD 是菱形,DE BA ,交BA 的延长线于点E ,DF BC ,交BC 的延长线于点F ,求证:DE DF.12.如图,ABC 与ABD △中,AD 与BC 相交于O 点,12 ,请你添加一个条件(不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),使AC BD ,并给出证明.你添加的条件是:__________.13.如图,△ABC 与△ABD 中,AD 与BC 相交于O 点,∠1=∠2,请你添加一个条件(不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),使AC=BD ,并给出证明.你添加的条件是:.证明:严禁复制14.如图,在平行四边形AFCE 中,,D B 分别是,EC AF 的中点.求证:BC AD.15.如图,在△ABC 中,已知∠ABC=30°,将△ABC 绕点B 逆时针旋转50°后得到△A 1BC 1,若∠A=100°,求证:A 1C 1∥BC.16.如图,ABCD 的对角线AC BD ,相交于点O E F ,,分别为OC OA ,的中点.求证:BE DF .17.如图,已知,OA OB OC OD ,连接,,AD BC 两线相交于点P ,连接OP 1图中有对全等三角形;2请选择其中一对全等三角形给予证明.严禁复制18.如图,一块余料ABCD ,AD ∥BC ,现进行如下操作:以点B 为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA ,BC 于点G ,H ;再分别以点G ,H 为圆心,大于12GH 的长为半径画弧,两弧在∠ABC 内部相交于点O ,画射线BO ,交AD 于点E.(1)求证:AB=AE ;19.如图所示,已知点A ,D ,B ,E 在同一条直线上,且AD =BE ,BC =EF ,∠ABC =∠DEF ,求证:AC ∥DF .20.如图,AD 、BC 相交于点O ,AD =BC ,∠C =∠D =90°.(1)求证:△ACB ≌△BDA;20.如图,矩形ABCD 中,AB AD ,把矩形沿对角线AC 所在直线折叠,使点B 落在点E 处,AE 交CD 于点F ,连接DE .(1)求证:ADE CED ;严禁复制21.如图,C 是线段AB 的中点,CD 平分∠ACE ,CE 平分∠BCD ,且CD =CE.(1)求证:ACD BCE ;(2)若70A ,求E 的度数.22.如图,点A,D,B,E 在同一条直线上,且AD=BE,∠A=∠FDE,则△ABC ≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题请给出一个适当的条件使它成为真命题,并加以证明.考点3:等腰三角形和等边三角形的计算1.如图,在等边三角形ABC 中,∠APD =60°,AB =6,PC =4,求CD的长.2.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠CBA =32°,如果△ABC 绕点B 顺时针旋转至△EBD ,使点D 落在AB 边上,连接AE ,求∠EAB 的度数.严禁复制3.如图,在△ABC 中,AB =BC ,点E 为边AC 的中点,过点A 作AD ∥BC ,过点C 作CD ⊥AD 于点D ,且BE =CD .求证:△ABC为等边三角形.4.如图,已知AB AC AD ,且//AD BC .求证:2C D.5.如图,在四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,E ,F ,M 分别是AD ,DC ,AC 的中点,连接EF ,BM ,求证:EF =BM.6.如图,已知在△ABC 中,AB=AC ,且∠BAC=40°,BD 是AC 边上的高,求∠CBD 的度数.严禁复制7.如图,在ABC 中,AB AC ,120BAC ,AB 的垂直平分线交AB 于点E ,交BC 于点F ,连接AF ,求AFC的度数.考点4:相似三角形判定及其性质1.如图,AB=AC ,∠A=36°,BD 是∠ABC 的角平分线,求证:△ABC ∽△BCD.2.如图,点D 在△ABC 的边AB 上,AC 2=AD •AB ,求证:△ACD ∽△ABC .3.如图,D 是△ABC 的BC 边上一点,E 为AD 上一点,若∠DAC=∠B ,CD=CE ,试说明△ACE ∽△BAD.4.如图,在ABCD 中,E 是DC 上一点,连接AE 、F 为AE 上一点,且BFE C .求证:ABF EAD .严禁复制5.如图,在正方形ABCD 中,点E 是AD 的中点,点F 在CD 上,且4CD DF ,连接EF 、BE .求证:ABE DEF △△∽.6.如图,在ABC 中,点E 是AC 上一点,//DE BC ,1B ,AD AE ,求证:AB BC .7.如图,在ABC 中,//DE BC ,14AD DB ,2AE ,求EC的长.8.如图,已知菱形ABCD ,点E 是AB 的中点,AF ⊥BC 于点F ,连接EF ,ED ,DF ,DE 交AF 于点G ,且AE 2=EG •ED .求证:DE ⊥EF.9.如图,在△ABC 中,四边形DBFE 是平行四边形.求证:△ADE ∽△EFC .严禁复制10.如图,在△ABC 中,AB=AC ,点P ,D 分别是BC ,AC 边上的点,且∠APD=∠B .(1)求证:△ABP ∽△PCD;考点5:平行线的判定及其性质1.如图AB ∥CD .EF 交AB 于G ,交CD 于F ,FH 平分∠EFD ,交AB 于H ,∠AGE=50°,求∠BHF 的度数.2.如图,已知BC 平分∠ACD ,且∠1=∠2,求证:AB ∥CD.3.如图,已知BC 平分∠ACD ,且∠1=∠2,求证:AB ∥CD.4.如图,四边形ABCD 中,点E ,F 别在AD ,BC 上,G 在AB 延长线上,若180D GBC ,//AD BC ,//EF DC .求证://AB EF .严禁复制5.如图,直线AB ∥CD ,MN ⊥CE 于M 点,若∠MNC =60°,求∠EMB的度数.6.如图,已知∠CAE 是△ABC 的外角,∠1=∠2,AD ∥BC ,求证:AB =AC .严禁复制制复禁严试卷第15页,共1页。
高中数学证明几何的题的知识点总结 线面垂直线面平行点面面面的证明

高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明几何证明是高中数学中的重要组成部分,它不仅锻炼了学生的逻辑思维能力,还培养了严密的数学推理能力。
本文针对高中数学中常见的线面垂直、线面平行以及点面、面面关系证明的知识点进行总结,以帮助学生更好地掌握几何证明的技巧和方法。
一、线面垂直的证明1.定义:如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直,则这条直线与该平面垂直。
2.判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与该平面垂直。
3.证明方法:(1)利用垂直的定义,找出直线与平面内任意一条直线垂直的关系。
(2)利用判定定理,找出直线与平面内两条相交直线垂直的关系。
二、线面平行的证明1.定义:如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都没有公共点,则这条直线与该平面平行。
2.判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条平行直线都平行,则这条直线与该平面平行。
3.证明方法:(1)利用平行的定义,找出直线与平面内任意一条直线没有公共点的关系。
(2)利用判定定理,找出直线与平面内两条平行直线都平行的关系。
三、点面关系的证明1.定义:如果一点在一个平面内,则这个点与该平面有公共点。
2.判定定理:如果一点与一个平面内的任意一条直线都有且只有一个公共点,则这个点在该平面内。
3.证明方法:(1)利用定义,找出点与平面内任意一条直线有公共点的关系。
(2)利用判定定理,找出点与平面内任意一条直线有且只有一个公共点的关系。
四、面面关系的证明1.定义:如果两个平面有公共点,则这两个平面相交。
2.判定定理:如果两个平面内分别有两条相交直线互相平行,则这两个平面平行。
3.证明方法:(1)利用定义,找出两个平面有公共点的关系。
(2)利用判定定理,找出两个平面内分别有两条相交直线互相平行的关系。
通过以上对高中数学几何证明知识点的总结,相信同学们在解决相关问题时会更加得心应手。
中考数学必考题型分析及解题策略总结

中考数学必考题型分析及解题策略总结一、必考题型分析1、线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题,目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数,更重要的是对于整个做题过程中士气,军心的影响。
线段与角的计算和证明,一般来说难度不会很大,只要找到关键“题眼”,后面的路子自己就“通”了。
2、图形位置关系中学数学当中,图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数,坐标系以及几何问题当中,但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察,这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3、动态几何从历年中考来看,动态问题经常作为压轴题目出现,得分率也是最低的。
动态问题一般分两类,一类是代数综合方面,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。
所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才有机会拼高分。
4、一元二次方程与二次函数在这一类问题当中,尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象,构造,往往有时候一条辅助线没有想到,整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说,代数综合题倒不需要太多巧妙的方法,但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中,代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体,多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中,纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中,通常会和根的判别式,整数根和抛物线等知识点结合。
5、多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数,反比例函数以及二次函数。
这类题目本身并不会太难,很少作为压轴题出现,一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
初三数学几何知识点总结

初三数学几何知识点总结数学几何是初中数学的重要组成部分。
初三学生需要掌握一些基本的几何知识点。
下面是一份关于初三数学几何知识点的总结,希望对初三学生提供一些帮助。
一、平面几何知识点:1. 基本概念与性质:- 点、线、面的概念与性质;- 直线的判定方法,如使用两点确定一条直线,或通过斜率关系等;- 平行线、相交线、垂直线的判定方法;- 角的概念与性质,如对顶角、同位角、对顶角等;- 三角形的分类与性质,如直角三角形、等边三角形、等腰三角形等;- 四边形的分类与性质,如平行四边形、矩形、正方形等;- 圆的概念与性质,如圆心、半径、直径之间的关系等。
2. 图形的计算:- 三角形的面积计算公式与方法,如海伦公式、高度关系等;- 平行四边形的面积计算公式与方法;- 三角形的相似判定与计算;- 圆的面积与周长计算公式。
3. 平面几何的证明:- 等腰三角形的判定与证明;- 同位角、内错角、外错角的性质与证明;- 平行线与垂直线的证明;- 四边形平行条件的证明。
4. 三角函数:- 正弦、余弦、正切等三角函数的定义与性质;- 三角函数的计算问题,如已知两角关系,求三角比等。
二、空间几何知识点:1. 空间几何的基本概念:- 空间点、线、面之间的关系与性质;- 空间几何中的平行、垂直关系判定方法;- 空间中的角(二面角、立体角)概念与性质。
2. 空间图形的计算:- 空间几何中的柱体、圆锥、球体等图形的体积与表面积计算公式与方法;- 空间几何中的平面图形与立体图形的相互转化。
3. 空间几何证明:- 点、线、面之间的关系的证明;- 空间几何中的平行、垂直关系的证明;- 空间图形的特殊性质的证明。
三、向量与坐标几何知识点:1. 向量的定义与性质:- 向量的概念与表示方法;- 向量的加法、减法、数乘运算;- 向量的数量积、向量积的概念与性质。
2. 坐标几何的基本概念:- 直角坐标系的建立与使用;- 坐标点、线段、中点等的表示与计算方法;- 直线的斜率计算公式与性质。
中考数学常见几何模型专题02 全等模型-半角模型(解析版)

专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位,也是学生必须掌握的一块内容,本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形,正三角形,等腰直角三角形等,解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成的三角形全等,再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转——证全等——得到相关结论. 1.(2022·湖北十堰·中考真题)【阅读材料】如图①,四边形ABCD 中,AB AD =,180B D ∠+∠=︒,点E ,F 分别在BC ,CD 上,若2BAD EAF ∠∠=,则EF BE DF =+.【解决问题】如图②,在某公园的同一水平面上,四条道路围成四边形ABCD .已知100m CD CB ==,60D ∠=︒,120ABC ∠=︒,150BCD ∠=︒,道路AD ,AB 上分别有景点M ,N ,且100m DM =,)501m BN =,若在M ,N 之间修一条直路,则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈).【答案】370【分析】延长,AB DC 交于点E ,根据已知条件求得90E ∠=︒,进而根据含30度角的直角三角形的性质,求得,EC EB ,,AE AD ,从而求得AN AM +的长,根据材料可得MN DM BN =+,即可求解.【详解】解:如图,延长,AB DC 交于点E ,连接,CM CN ,60D ∠=︒,120ABC ∠=︒,150BCD ∠=︒,30A ∴∠=︒,90E ∠=︒,100DC DM ==DCM ∴是等边三角形,60DCM ∴∠=︒,90BCM ∴∠=︒,在Rt BCE 中,100BC =,18030ECB BCD ∠=︒-∠=︒,1502EB BC ==,EC ==100DE DC EC ∴=+=+Rt ADE △中,2200AD DE ==+150AE ==,∴200100100AM AD DM =-=+=+()AN AB BN AE EB BN =-=--())15050501=--150=,100150250AM AN ∴+=+=+Rt CMB △中,BM =)50501EN EB BN EC =+=+==ECN ∴是等腰直角三角形()1752NCM BCM NCB BCM NCE BCE DCB ∴∠=∠-∠=∠-∠-∠=︒=∠由阅读材料可得))100501501MN DM BN =+=+=,∴路线M N →的长比路线M A N →→的长少)250501200370+=+≈m .答案:370. 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,理解题意是解题的关键.2.(2022·河北邢台·九年级期末)学完旋转这一章,老师给同学们出了这样一道题:“如图1,在正方形ABCD 中,∠EAF =45°,求证:EF =BE +DF .”小明同学的思路:∠四边形ABCD 是正方形,∠AB =AD ,∠B =∠ADC =90°.把∠ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置,然后证明AFE AFE '≌△△,从而可得=EF E F '. E F E D DF BE DF ''=+=+,从而使问题得证.(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题:如图2,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B =∠D =90°,12EAF BAD ∠=∠,直接写出EF ,BE ,DF 之间的数量关系.(2)【应用】如图3,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,12EAF BAD ∠=∠,求证:EF =BE +DF .(3)【知识迁移】如图4,四边形ABPC 是O的内接四边形,BC 是直径,AB =AC ,请直接写出PB +PC 与AP 的关系. ADE ,证明∠AEF EAF ='E AF ∠先利用圆内接四边形的性质证明为等腰直角三角形,等量代换即得结论.AD 重合,点ADE=180°知,BAD,∠∠BAF=∠EAF=∠,∠EF=E F'∠ABE绕点【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点.解题关键是利用旋转构造全等三角形.3.(2022·福建·龙岩九年级期中)(1)【发现证明】如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别是BC ,CD 边上的动点,且45EAF ∠=︒,求证:EF DF BE =+.小明发现,当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ,使AB 与AD 重合时能够证明,请你给出证明过程.(2)【类比引申】①如图2,在正方形ABCD 中,如果点E ,F 分别是CB ,DC 延长线上的动点,且45EAF ∠=︒,则(1)中的结论还成立吗?若不成立,请写出EF ,BE ,DF 之间的数量关系______(不要求证明) ②如图3,如果点E ,F 分别是BC ,CD 延长线上的动点,且45EAF ∠=︒,则EF ,BE ,DF 之间的数量关系是_____(不要求证明).(3)【联想拓展】如图1,若正方形ABCD 的边长为6,AE =求AF 的长.180ADF ADG ∴∠+∠=︒,F ∴,D ,G 三点共线,45EAF ∠=︒,45BAE FAD ∴∠+∠=︒,45DAG FAD ∴∠+∠=︒,EAF FAG ∴∠=∠,AF AF =,()EAF GAF SAS ∴∆≅∆,EF FG DF DG ∴==+,EF DF BE ∴=+;(2)①不成立,结论:EF DF BE =-;证明:如图2,将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆,EAB MAD ∴∠=∠,AE AM =,90EAM =︒∠,BE DM =,45FAM EAF ∴∠=︒=∠,AF AF =,()EAF MAF SAS ∴∆≅∆,EF FM DF DM DF BE ∴==-=-;②如图3,将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABN ∆,AN AF ∴=,90NAF ∠=︒,45EAF ∠=︒,45NAE ∴∠=︒,NAE FAE ∴∠=∠,AE AE =,()AFE ANE SAS ∴∆≅∆,EF EN ∴=,BE BN NE DF EF ∴=+=+.正方形Rt EFC中,2CF CE+解得:2x=.2DF∴=,226AF AD DF=+=【点睛】本题属于四边形综合题,主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用,解题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应边相等进行推导.4.(2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中)【模型引入】当几何图形中,两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系,我们称之为“半角模型”【模型探究】(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°,探究图中线段EF,AE,FC之间的数量关系.【模型应用】(2)如图2,如果四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,∠EAF=45°,且BC=7,DC=13,CF=5,求BE的长.【拓展提高】(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,点E、F分别在射线CB、DC上,且∠EAF12=∠BAD.当BC=4,DC=7,CF=1时,CEF的周长等于.(4)如图4,正方形ABCD中,AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上,AH∠MN,且AH=AB,连接BD分别交AM、AN于点E、F,若MH=2,NH=3,DF=EF的长.(5)如图5,已知菱形ABCD中,∠B=60°,点E、F分别是边BC,CD上的动点(不与端点重合),且∠EAF=60°.连接BD分别与边AE、AF交于M、N,当∠DAF=15°时,求证:MN2+DN2=BM2.又AH=AN,AB=AD,∠∠ABH∠∠ADN(SAS),∠DN=BH,∠ABH=∠ADN,∠∠B=60°,且∠EAF=60°.∠∠BAD=120°,∠∠DAF+∠BAE=∠EAF=60°,∠∠BAG+∠BAE=∠EAF,即∠MAH=∠MAN,而AH=AN,AM=AM,∠∠AMH∠∠AMN(SAS),∠MN=MH,∠AMN=∠AMH,∠菱形ABCD,∠B=60°,∠∠ABD=∠ADB=30°,∠∠HBD=∠ABH+∠ABD=60°,∠∠DAF=15°,∠EAF=60°,∠∠ADM中,∠DAM=∠AMD=75°,∠∠AMN=∠AMH=75°,∠∠HMB=180°-∠AMN-∠AMH=30°,∠∠BHM=90°,∠BH2+MH2=BM2,∠DN2+MN2=BM2.【点睛】本题是四边形综合题,主要考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题关键是学会用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用探究的结论解决新的问题,属于中考压轴题.课后专项训练:1.(2022·重庆市育才中学二模)回答问题(1)【初步探索】如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE∠∠ADG,再证明△AEF∠∠AGF,可得出结论,他的结论应是_______________;(2)【灵活运用】如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;(3)【拓展延伸】知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD的延长线上,如图3所示,仍然满足EF=BE+FD,请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系.2.(2022·江西九江·一模)如图(1),在四边形ABCD 中,180B D ∠+∠=︒,AB AD =,以点A 为顶点作EAF ∠,且12EAF BAD ∠=∠,连接EF .(1)观察猜想 如图(2),当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时,①四边形ABCD 是______(填特殊四边形的名称);②BE ,DF ,EF 之间的数量关系为______.(2)类比探究 如图(1),线段BE ,DF ,EF 之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.(3)解决问题 如图(3),在ABC 中,90BAC ∠=︒,4AB AC ==,点D ,E 均在边BC 上,且45DAE ∠=︒,若BD =,求DE 的长.证得ABE ADG ≌,得出证得AEF AGF ≌,之间的数量关系;(2)同(1)②即可得出,证得ABD ACM ≌,同(证得AEF AGF ≌,在Rt ECM 中,由勾股定理可解得90BAD B D =∠=∠=︒,ABCD 是矩形,又∠AB AD ,∠矩形CD 至点G ,使得DG=BE 90ADG ADF =∠=︒,∠∠,∠ABE ADG ≌,DG ,BAE DAG ∠=∠BAD ∠,∠BAE DAF ∠+∠∠AEF AGF ≌,∠EF DG EF =∠BE FD +在ABC 中,B ACB ∠=∠∠ABD ACM ≌,同(1)②的证明方法得DE ME =, 2BD =,22+BC AB AC ==DE ME =x -,Rt ECM 中,2EM ,2(2)(32+【点睛】本题考查了特殊的平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定及勾股定理的应用,熟练应用相关定理和性质是解决本题的关键.3.(2022·山东聊城·九年级期末)(1)如图1,点E ,F 分别在正方形ABCD 的边BC ,CD 上,45EAF ∠=︒,连接EF ,求证:EF BE DF =+,试说明理由.(2)类比引申:如图2,四边形ABCD 中,AB AD =,90BAD ∠=︒,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,∠EAF =45°,若B 、D ∠都不是直角,则当B 与D ∠满足等量关系______时,仍有EF BE DF =+,试说明理由.(3)联想拓展:如图3,在∠ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,点D ,E 均在边BC 上,且∠DAE =45,若1BD =,2EC =,求DE 的长.AB AD =∠ADC =∠B =90°∠则DAG ∠∠F AG =∠F AD理由:AB AD==∠BAE DAG∠=︒,BAD90∠+∠=ADC B在∠AFE和∠AFG∴=EF FG()3将∠ACE∠=BAC又∠∠F AB=∠则在∠ADF∠∠ADF∠∠∠∠C+∠ABD4.(2022·黑龙江九年级阶段练习)已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,(如图1),易证BM+DN=MN.(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时(如图2),线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明;(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时,线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想. 【答案】(1)BM DN MN +=,理由见解析;(2)DN BMMN -=,理由见解析【分析】(1)把ADN ∆绕点A 顺时针旋转90︒,得到ABE ∆,然后证明得到AEM ANM ∆∆≌,从而证得ME MN =,可得结论;(2)首先证明ADQ ABM ∆∆≌,得DQ BM =,再证明AMN AQN ∆∆≌,得MN QN =,可得结论; (1)解:BM DN MN +=.理由如下:如图2,把ADN ∆绕点A 顺时针旋转90︒,得到ABE ∆,90ABE ADN ∴∠=∠=︒,AE AN =,BE DN =,180ABE ABC ∴∠+∠=︒,∴点E ,点B ,点C 三点共线,90904545EAM NAM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒,又45NAM ∠=︒,在AEM ∆与ANM ∆中,AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,AEM ANM ∴∆∆≌(SAS ),ME MN ∴=, ME BE BM DN BM =+=+,DN BM MN ∴+=;(2)解:DN BM MN -=.理由如下:在线段DN 上截取DQ BM =,在ADQ ∆与ABM ∆中,AD AB ADQ ABM DQ BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,ADQ ABM ∴∆∆≌(SAS ),DAQ BAM ∴∠=∠,QAN MAN ∴∠=∠.在AMN ∆和AQN ∆中,AQ AM QAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,AMN AQN ∴∆∆≌(SAS ),MN QN ∴=,DN BM MN ∴-=.【点睛】本题是四边形综合题,考查正方形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题.5.(2022·重庆南川·九年级期中)如图,正方形ABCD 中,45MAN ∠=︒,MAN ∠绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交BC 、DC (或它们的延长线)于点M 、N .(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时(如图1),证明:2MN BM =;(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时(如图2),求证:MN BM DN =+;(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时,线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)DN BM MN -=,见解析【分析】(1)把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒,得到ABE △,证得B 、E 、M 三点共线,即可得到AEM △∠ANM ,从而证得ME MN =;(2)证明方法与(1)类似;(3)在线段DN 上截取DQ BM =,判断出ADQ △∠ABM ,同(2)的方法,即可得出结论.(1)证明:如图1,∠把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒,得到ABE △,ABE ∴∠ADN △,AE ANM ∴=,ABE D ∠=∠,四边形ABCD 是正方形,90ABC D ∴∠=∠=︒,90ABE ABC ∴∠=∠=︒,∴点E 、B 、M 三点共线.90904545EAM NAM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒,又45NAM ∠=︒,在AEM △与ANM 中,AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,AEM ∴△∠()ANM SAS ,ME MN ∴=,ME BE BM DN BM =+=+,DN BM MN ∴+=,BM DN =,2MN BM ∴=.(2)证明:如图2,把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒,得到ABE △,ABE ∴∠ADN △,AE ANM ∴=,ABE D ∠=∠,四边形ABCD 是正方形,90ABC D ∴∠=∠=︒,90ABE ABC ∴∠=∠=︒,∴点E 、B 、M 三点共线.90904545EAM NAM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒,又45NAM ∠=︒,在AEM △与ANM 中,AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,AEM ∴△∠()ANM SAS ,ME MN ∴=,ME BE BM DN BM =+=+,DN BM MN ∴+=. (3)解:DN BM MN -= 理由如下:如图3,在线段DN 上截取DQ BM =,连接AQ ,在ADQ △与ABM中,AD AB ADQ ABM DQ BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,ADQ ∴∠()ABM SAS ,DAQ BAM ∴∠=∠,QAN MAN ∴∠=∠.在AMN 和AQN △中,AQ AM QAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,AMN ∴∠()AQN SAS ,MN QN ∴=,DN BM MN ∴-=.【点睛】本题是四边形综合题,考查正方形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形是解题的关键.6.(2022·江西景德镇·九年级期中)(1)【特例探究】如图1,在四边形ABCD 中,AB AD =,90ABC ADC ∠=∠=︒,100BAD ∠=︒,50EAF ∠=︒,猜想并写出线段BE ,DF ,EF 之间的数量关系,证明你的猜想;(2)【迁移推广】如图2,在四边形ABCD 中,AB AD =,180ABC ADC ∠+∠=︒,2BAD EAF ∠∠=.请写出线段BE ,DF ,EF 之间的数量关系,并证明;(3)【拓展应用】如图3,在海上军事演习时,舰艇在指挥中心(O 处)北偏东20°的A 处.舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处,并且两舰艇在指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进,同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进,半小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ,D 处,且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°.请直接写出此时两舰艇之间的距离.【答案】(1)EF =BE +DF ,理由见解析;(2)EF =BE +DF ,理由见解析;(3)85海里【分析】(1)延长CD 至点G ,使DG =BE ,连接AG ,可证得∠ABE ∠∠ADG ,可得到AE =AG ,∠BAE =∠DAG ,再由100BAD ∠=︒,50EAF ∠=︒,可证得∠AEF ∠∠AGF ,从而得到EF =FG ,即可求解;(2)延长CD 至点H ,使DH =BE ,连接AH ,可证得∠ABE ∠∠ADH ,可得到AE =AH ,∠BAE =∠DAH ,再由2BAD EAF ∠∠=,可证得∠AEF ∠∠AHF ,从而得到EF =FH ,即可求解;(3)连接CD ,延长AC 、BD 交于点M ,根据题意可得∠AOB =2∠COD ,∠OAM +∠OBM =70°+110°=180°,再由(2)【迁移推广】得:CD =AC +BD ,即可求解.【详解】解:(1)EF =BE +DF ,理由如下:如图,延长CD 至点G ,使DG =BE ,连接AG ,∠90ABC ADC∠=∠=︒,∠∠ADG=∠ABC=90°,∠AB=AD,∠∠ABE∠∠ADG,∠AE=AG,∠BAE=∠DAG,∠100BAD∠=︒,50EAF∠=︒,∠∠BAE+∠DAF=50°,∠∠F AG=∠EAF=50°,∠AF=AF,∠∠AEF∠∠AGF,∠EF=FG,∠FG=DG+DF,∠EF=DG+DF=BE+DF;(2)EF=BE+DF,理由如下:如图,延长CD至点H,使DH=BE,连接AH,∠180ABC ADC∠+∠=︒,∠ADC+∠ADH=180°,∠∠ADH=∠ABC,∠AB=AD,∠∠ABE∠∠ADH,∠AE=AH,∠BAE=∠DAH,∠2BAD EAF∠∠=∠∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH,∠∠EAF=∠HAF,∠AF=AF,∠∠AEF∠∠AHF,∠EF=FH,∠FH=DH+DF,∠EF=DH+DF=BE+DF;(3)如图,连接CD,延长AC、BD交于点M,根据题意得:∠AOB=20°+90°+40°=150°,∠OBD=60°+50°=110°,∠COD=75°,∠OAM=90°-20°=70°,OA=OB,∠∠AOB=2∠COD,∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°,∠OA=OB,∠由(2)【迁移推广】得:CD=AC+BD,∠AC=80×0.5=40,BD=90×0.5=45,∠CD=40+45=85海里.即此时两舰艇之间的距离85海里.【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质,题目的综合性较强,难度较大,解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形,解答时,注意类比思想的应用.7.(2022·上海·九年级专题练习)小明遇到这样一个问题:如图1,在Rt∠ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E在边BC上,∠DAE=45°.若BD=3,CE=1,求DE的长.小明发现,将∠ABD 绕点A 按逆时针方向旋转90º,得到∠ACF ,联结EF (如图2),由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE =45°,可证△F AE ∠△DAE ,得FE =DE .解△FCE ,可求得FE (即DE )的长.(1)请回答:在图2中,∠FCE 的度数是 ,DE 的长为 .参考小明思考问题的方法,解决问题:(2)如图3,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°.E ,F 分别是边BC ,CD 上的点,且∠EAF =12∠BAD .猜想线段BE ,EF ,FD 之间的数量关系并说明理由. )根据旋转的性质,可得ADB AFC ≌,勾股定理解按逆时针方向旋转,使AB 与AD 重合,FG =DG +FD =BE +按逆时针方向旋转90º,得到∠ACF ∠ADB AFC ≌ACF ∴∠,90AB AC BAC ∠==45ACF ABD ∴∠=∠=在Rt FCE 中,BD 2EF CF ∴=+(2)猜想:EF =BE 如图,将∠ABE8.(2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习)已知四边形ABCD 是正方形,一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合,将此三角板绕A 点旋转时,两边分别交直线BC ,CD 于M ,N .(1)如图1,当M ,N 分别在边BC ,CD 上时,求证:BM +DN =MN(2)如图2,当M ,N 分别在边BC ,CD 的延长线上时,请直接写出线段BM ,DN ,MN 之间的数量关系(3)如图3,直线AN 与BC 交于P 点,MN =10,CN =6,MC =8,求CP 的长.【答案】(1)见解析;(2)BM DN MN -=;(3)3【分析】(1)延长CB 到G 使BG DN=,连接AG ,先证明AGB AND ≅△△,由此得到AG AN =,GAB DAN ∠=∠,再根据45MAN ∠=︒,90BAD ∠=︒,可以得到45GAM NAM ∠=∠=︒,从而证明AMN AMG △≌△,然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN +=;(2)在BM 上取一点G ,使得BG DN =,连接AG ,先证明AGB AND ≅△△,由此得到AG AN =,GAB DAN ∠=∠,由此可得90GAN BAD ∠=∠=︒,再根据45MAN ∠=︒可以得到45GAM NAM ∠=∠=︒,从而证明AMN AMG △≌△,然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN -=;(3)在DN 上取一点G ,使得DG BM =,连接AG ,先证明ABM ADG ≌,再证明AMN AGN △≌△,设DG BM x ==,根据DC BC =可求得2x =,由此可得6AB BC CD CN ====,最后再证明ABP NCP △≌△,由此即可求得答案.【详解】(1)证明:如图,延长CB 到G 使BG DN =,连接AG ,∠四边形ABCD 是正方形,∠AB AD =,90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒,在ABG 与ADN △中,AB AD ABG ADN BG DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()AGB AND SAS ∴△≌△,AG AN ∴=,GAB DAN ∠=∠,45MAN ∠=︒,90BAD ∠=︒,∠45DAN BAM BAD MAN ∠+∠=∠-∠=︒,45GAM GAB BAM DAN BAM ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒,GAM NAM ∴∠=∠,在AMN 与AMG 中,AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()AMN AMG SAS ∴△≌△,MN GM ∴=,又∠BM GB GM +=,BG DN =,BM DN MN ∴+=;(2)BM DN MN -=,理由如下:如图,在BM 上取一点G ,使得BG DN =,连接AG ,∠四边形ABCD 是正方形,∠AB AD =,90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒,在ABG 与ADN △中,AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()AGB AND SAS ∴△≌△,AG AN ∴=,GAB DAN ∠=∠,∠GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠,∠90GAN BAD ∠=∠=︒,又45MAN ∠=︒,45GAM GAN MAN MAN∴∠=∠-∠=︒=∠,在AMN 与AMG 中,AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()AMN AMG SAS ∴△≌△,MN GM ∴=,又∠BM BG GM -=,BG DN =,∠BM DN MN -=,故答案为:BM DN MN -=;(3)如图,在DN 上取一点G ,使得DG BM =,连接AG ,∠四边形ABCD 是正方形,∠AB AD BC CD ===,90ABM ADG BAD ∠=∠=∠=︒,//AB CD ,在ABM 与ADG 中,AB AD ABM ADG BM DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()ABM ADG SAS ∴△≌△,AM AG ∴=,MAB GAD ∠=∠,∠MAB BAG GAD BAG ∠+∠=∠+∠,∠90MAG BAD ∠=∠=︒,又45MAN ∠=︒,45GAN MAG MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠,在AMN 与AGN 中,AM AG MAN GAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()AMN AGN SAS ∴△≌△,10MN GN ∴==,设DG BM x ==,∠6CN =,8MC =,∠1064DC DG GN CN x x =+-=+-=+,8BC MC BM x =-=-, ∠DC BC =,∠48x x +=-,解得:2x =,∠6AB BC CD CN ====,∠//AB CD ,∠BAP CNP ∠=∠,在ABP △与NCP 中,APB NPC BAP CNP AB CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()ABP NCP AAS ∴△≌△,9.(2022·浙江·九年级阶段练习)如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,将此三角板绕点A旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC,DC于点E,F,连接EF.(1)猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想;(2)在图1中,过点A作AM∠EF于点M,请直接写出AM和AB的数量关系;∠BAD,(3)如图2,将Rt∠ABC沿斜边AC翻折得到Rt∠ADC,E,F分别是BC,CD边上的点,∠EAF=12连接EF,过点A作AM∠EF于点M,试猜想AM与AB之间的数量关系.并证明你的猜想.10.(2022·北京四中九年级期中)如图,在∠ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点P在线段AB上,作射线CP (0°<∠ACP<45°),射线CP绕点C逆时针旋转45°,得到射线CQ,过点A作AD∠CP于点D,交CQ于点E,连接BE.(1)依题意补全图形;(2)用等式表示线段AD,DE,BE之间的数量关系,并证明.【答案】(1)作图见解析.(2)结论:AD+BE=DE.证明见解析.【分析】(1)根据要求作出图形即可.(2)结论:AD+BE=DE.延长DA至F,使DF=DE,连接CF.利用全等三角形的性质解决问题即可.(1)解:如图所示:(2)结论:AD+BE=DE.理由:延长DA至F,使DF=DE,连接CF.∠AD∠CP,DF=DE,∠CE=CF,∠∠DCF=∠DCE=45°,∠∠ACB=90°,∠∠ACD+∠ECB=45°,∠∠DCA+∠ACF=∠DCF=45°,∠∠FCA=∠ECB,在∠ACF和∠BCE中,CA CB ACF BCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∠∠ACF ∠∠BCE (SAS ),∠AF =BE ,∠AD +BE =DE .【点睛】本题考查作图-旋转变换,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.。
中考数学点对点-几何问题辅助线添加技巧(解析版)

专题29 几何问题辅助线添加技巧专题知识点概述全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题,在解答试题过程中,我们发现当题设条件不够,必须添加辅助线,把分散条件集中,建立已知和未知的桥梁,结合学过的知识,采用一定的数学方法,把问题转化为自己能解决的问题。
学会添加辅助线技巧,是培养学生科学思维、科学探究的重要途径。
所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。
一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略1.三角形问题方法1:有关三角形中线的题目,常将中线加倍。
含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题。
方法2:含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理。
方法4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形问题平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:(1)连对角线或平移对角线:(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形;(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线;(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。
3.梯形问题梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
中考冲刺几何综合问题—知识讲解及典型例题解析

;;中考冲刺:几何综合问题—知识讲解及典型例题解析【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型,大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题,它主要 考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量,不仅有选 择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题 ,还有更注重考查学生分析问题和解决问 题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂,覆盖面广、涉及的知识点较多, 题设和结论之间的关系较隐蔽,常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样,如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等,背景鲜活,具有 实用性和创造性,考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能 力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题:1、证明线段、角的数量关系(包括相等、和、差、倍、分及比例关系等)2、证明图形的位置关系(如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等)3、几何计算问题;4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题,常常涉及到以下各部分的知识:1、与三角形有关的知识;2、等腰三角形,等腰梯形的性质;3、直角三角形的性质与三角函数;4、平行四边形的性质;5、全等三角形,相似三角形的性质;6、垂径定理,切线的性质,与正多边形有关的计算;7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程,要注意以下几个方面:1、注意图形的直观提示,注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形;2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件,为解题创造条件打好基础,要由已知联想经验,由未知联想需要,不断转化条件和结论来探求思路,找到解决问题的突破点;3、要运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题,还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1.如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别是边 BC 、AB 上的点,且 CE=BF ,连接 DE ,过点 E 作 EG ⊥DE,使 EG=DE ,连接 FG ,FC .(1)请判断:FG 与 CE 的数量关系和位置关系;(不要求证明)(2)如图 2,若点 E 、F 分别是 CB 、BA 延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请出 判断判断予以证明;(3)如图 3,若点 E 、F 分别是 BC 、AB 延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直 接写出你的判断.【思路点拨】(1)结论:FG=CE,FG∥CE.如图1中,设DE与CF交于点M,首先证明△CBF≌△DCE,推出DE⊥CF,再证明四边形EGFC是平行四边形即可.(2)结论仍然成立.如图2中,设DE与CF交于点M,首先证明△CBF≌△DCE,推出DE⊥CF,再证明四边形EGFC是平行四边形即可.(3)结论仍然成立.如图3中,设DE与FC的延长线交于点M,证明方法类似.【答案与解析】解:(1)结论:FG=CE,FG∥CE.理由:如图1中,设DE与CF交于点M.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠ABC=∠DCE=90°,在△CBF和△DCE中,,∴△CBF≌△DCE,∴∠BCF=∠CDE,CF=DE,∵∠BCF+∠DCM=90°,∴∠CDE+∠DCM=90°,∴∠CMD=90°,∴CF⊥DE,∵GE⊥DE,∴EG∥CF,∵EG=DE,CF=DE,∴EG=CF,∴四边形EGFC是平行四边形.∴GF=EC,∴GF=EC,GF∥EC.(2)结论仍然成立.理由:如图2中,设DE与CF交于点M.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠ABC=∠DCE=90°,在△CBF和△DCE中,,∴△CBF≌△DCE,∴∠BCF=∠CDE,CF=DE,∵∠BCF+∠DCM=90°,∴∠CDE+∠DCM=90°,∴∠CMD=90°,∴CF⊥DE,∵GE⊥DE,∴EG∥CF,∵EG=DE,CF=DE,∴EG=CF,∴四边形EGFC是平行四边形.∴GF=EC,∴GF=EC,GF∥EC.(3)结论仍然成立.理由:如图3中,设DE与FC的延长线交于点M.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠ABC=∠DCE=90°,∴∠CBF=∠DCE=90°在△CBF和△DCE中,,∴△CBF≌△DCE,∴∠BCF=∠CDE,CF=DE∵∠BCF+∠DCM=90°,∴∠CDE+∠DCM=90°,∴∠CMD=90°,∴CF⊥DE,∵GE⊥DE,∴EG∥CF,∵EG=DE,CF=DE,∴EG=CF,∴四边形EGFC是平行四边形.∴GF=EC,∴GF=EC,GF∥EC.【总结升华】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形,注意这类题目的解题规律,图形变了,条件不变,证明的方法思路完全一样,属于中考常考题型.举一反三:【变式】已知:如图(1),射线AM//射线BN,AB是它们的公垂线,点D、C分别在AM、BN上运动(点D与点A不重合、点C与点B不重合),E是AB边上的动点(点E与A、B不重合),在运动过程中始终保持DE⊥EC,且AD+DE=AB=a.(1)求证:∆ADE∽∆BEC;(2)如图(2),当点E为AB边的中点时,求证:AD+BC=CD;(3)设AE=m,请探究:∆BEC的周长是否与m值有关?若有关,请用含有m的代数式表示∴1∆BEC的周长;若无关,请说明理由.【答案】(1)证明:∵DE⊥EC,∴∠DEC=90︒.∴∠AED+∠BEC=90︒.又∵∠A=∠B=90︒,∴∠AED+∠EDA=90︒.∴∠BEC=∠EDA.∴∆ADE∽∆BEC.(2)证明:如图,过点E作EF//BC,交CD于点F,∵E是AB的中点,容易证明EF=1(AD+BC).2在Rt∆DEC中,∵DF=CF,∴EF=12 CD.1(A D+BC)=CD.22∴AD+BC=CD.(3)解:∆AED的周长=AE+AD+DE=a+m,BE=a-m.设AD=x,则DE=a-x.∵∠A=90︒,∴DE2=AE2+AD2.即a2-2ax+x2=m2+x2.a2-m2∴x=.2a由(1)知∆ADE∽∆BEC,∆ADE的周长AD a+m2a=∴a2-m2==∆BEC的周长BE a-m2a.∴∆BEC的周长=2a⋅∆ADE的周长=2a.a+m∴∆BEC的周长与m值无关.2.在△ABC中,∠ACB=45º.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(1)如果AB=AC.如图①,且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论.(2)如果AB≠AC,如图②,且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立,为什么?(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=42,BC=3,CD=x,求线段CP的长.(用含x的式子表示)【思路点拨】(1)由题干可以发现,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解.(2)是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,和上题一样找AC的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解.(3)D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的,所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.【答案与解析】(1)结论:CF⊥BD;证明如下:ΘAB=AC,∠ACB=45º,∴∠ABC=45º.由正方形ADEF得AD=AF,∵∠DAF=∠BAC=90º,∴∠DAB=∠FAC,∴△DAB≌△FAC,∴∠ACF=∠ABD.∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º.即CF⊥BD.(2)CF⊥BD.(1)中结论仍成立.理由是:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG可证:GAD≌CAF∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º.即CF⊥BD(3)过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q,易证△AQD∽△DCP,∴ CP = CD ,∴ = , ∴CP = - + x . ∴ CP = CD , ∴ = , ∴CP = + x . ①点 D 在线段 BC 上运动时,∵∠BCA=45º,可求出 AQ= CQ=4.∴DQ=4-x ,CP x DQ AQ4 - x 4 x 2 4②点 D 在线段 BC 延长线上运动时,∵∠BCA=45°,∴AQ=CQ=4,∴DQ=4+x.过 A 作 AQ⊥BC,∴∠Q=∠FQC=90°,∠ADQ=∠AFC,则△AQD∽△ACF.∴CF⊥BD,∴△AQD∽△DCP,CP x DQ AQ4+x 4x 2 4【总结升华】此题综合性强,需要综合运用全等、相似、正方形等知识点,属能力拔高性的题目.3.如图,正方形ABCD 的边长为 6,点 E 是射线 BC 上的一个动点,连接 AE 并延长,交射线 DC 于点 F △,将 ABE 沿直线 AE 翻折,点 B 坐在点 B ′处.自主探究:(1)当=1 时,如图 1,延长 AB ′,交 CD 于点 M .①CF 的长为; ②判断 AM 与 FM 的数量关系,并证明你的结论.(2)当点 B ′恰好落在对角线 AC 上时,如图 2,此时 CF 的长为, 拓展运用:(3)当=2 时,求 sin ∠DAB ′的值.= .(【思路点拨】1)①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB即可得出答案;②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF,进而得出AM=FM;(2)根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF,进而得出AM=MF,利用△ABE∽FCE得出答案即可;(3)根据①如图1,当点E在线段BC上时,延长AB′交DC边于点M,②如图3,当点E在线段BC 的延长线上时,延长AD交B′E于点N,分别利用勾股定理求出即可.【答案与解析】解:(1)①当=1时,∵AB∥FC,∴△ABE∽FCE,∴==1,∴FC=AB=6,②AM=FM,理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥DC,∴∠BAF=∠AFC,∵△ABE沿直线AE翻折得到△AB′E,∴∠BAF=∠MAF,∴∠MAF=∠AFC,∴AM=FM;(2)如图2,∵当点B′恰好落在对角线AC上时,∴∠1=∠2,∵AB∥FC,∴∠1=∠F,∴∠2=∠F,∴AC=FC,∵AB=BC=6,∴AC=FC=6,∵AB∥FC,∴△ABE∽FCE,∴===,(3)①如图1,当点E在线段BC上时,延长AB′交DC边于点M,∵AB∥CF,∴△ABE∽△FCE,∴==2,∵AB=6,∴CF=3,∴DF=CD+CF=9,由(1)知:AM=FM,∴AM=FM=9﹣DM,在△Rt ADM中,由勾股定理得:DM′2=(9﹣DM)2﹣62,解得:DM=,则MA=,∴sin∠DAB′==,②如图3,当点E在线段BC的延长线上时,延长AD交B′E于点N,由(1)知:AN=EN,又BE=B′E=12,点∴NA=NE=12﹣B′N,在△Rt AB′N中,由勾股定理得:B′N2=(12﹣B′N)2﹣62,解得:B′N=,AN=,∴sin∠DAB′=故答案为:6;6=.,.【总结升华】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识,熟练利用相关性质和进行分类讨论得出是解题关键.类型二、几何计算型问题4.已知如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,M是AD的中点,△MBC是等边三角形.(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠MPQ=60︒保持不变.设PC=x,MQ=y,求y与x的函数关系式;(3)在(2)中,当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由.【思路点拨】(1)属于纯静态问题,只要证两边的三角形全等就可以了.(2)是双动点问题,所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°,其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通过相似三角形找比例关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题,由第二问所得的二次函数,很轻易就可以求出当x取对称轴的值时y有最小值,接下来就变成了“给定PC=2,求△PQC形状”的问题了,由已知的BC=4,自然看出P 是中点,于是问题轻松求解.【答案与解析】(1)证明:∵△MBC是等边三角形∴MB=MC,∠MBC=∠MCB=60︒∵M是AD中点∴AM=MD∵AD∥BC∴∠AMB=∠MBC=60︒,∠DMC=∠MCB=60︒∴△AMB≌△DMC∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形.∴ PC ∴ x 而(2)解:在等边 △MBC 中, MB = MC = BC = 4,∠MBC = ∠MCB = 60︒,∠MPQ = 60︒∴∠BMP + ∠BPM = ∠BPM + ∠QPC = 120︒∴∠BMP = ∠QPC∴ △BMP ∽△CQPCQ = BM BP∵ PC = x ,MQ = y ∴ BP = 4 - x ,QC = 4 - y4 - y 1 = ∴ y = x 2 - x + 4 4 4 - x4(3)解: △PQC 为直角三角形,∵ y = 1(x - 2)2 + 34 ∴当 y 取最小值时, x = PC = 2∴ P 是 BC 的中点, MP ⊥ BC , ∠MPQ = 60︒,∴∠CPQ = 30︒,∴∠PQC = 90︒∴ △PQC 为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件,例如某边相 等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解 .如果没有特殊条件,那么就需要研究在动点移动中 哪些条件是保持不变的.举一反三:【变式】已知:如图,N 、M 是以 O 为圆心,1 为半径的圆上的两点,B 是 MN 上一动点(B 不与点 M 、N 重合),∠MON=90°,BA⊥OM 于点 A ,BC⊥ON 于点 C ,点 D 、E 、F 、G 分别是线段 OA 、AB 、BC 、CO的中点,GF 与 CE 相交于点 P ,DE 与 AG 相交于点 Q .(1)四边形 EPGQ(填“是”或者“不是”)平行四边形;(2)若四边形 EPGQ 是矩形,求 OA 的值.【答案】(1)是.证明:连接OB,如图①,∵BA⊥OM,BC⊥ON,∴∠BAO=∠BCO=90°,∵∠AOC=90°,∴四边形OABC是矩形.∴AB∥OC,AB=OC,∵E、G分别是AB、CO的中点,∴AE∥GC,AE=GC,∴四边形AECG为平行四边形.∴CE∥AG,∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,∴GF∥OB,DE∥OB,∴PG∥EQ,∴四边形EPGQ是平行四边形;(2)解:如图②,∴ AD ,AE=1,在①的条件下,设 CP 1= x ,S VP FC = y ,求 y 与 x 之间的函数关系式, 3 ∵口 EPGQ 是矩形.∴∠AED+∠CEB=90°.又∵∠DAE=∠EBC=90°,∴∠AED=∠BCE.∴△AED∽△BCE,AE= , BEBC x y y : = : x 设 OA=x ,AB=y ,则 2 2 2得 y 2=2x 2,又∵OA 2+AB 2=OB 2, 即 x 2+y 2=12.∴x 2+2x 2=1,解得:x=3 . 3即当四边形 EPGQ 是矩形时,OA 的长度为3 3 .5.在 Y ABCD 中,过点 C 作 CE⊥CD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EF(如图 1)(1)在图 1 中画图探究:①当 P 为射线 CD 上任意一点(P 1 不与 C 重合)时,连结EP 1 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EC 1.判断直线 FC 1 与直线 CD 的位置关系,并加以证明; ②当 P 2 为线段 DC 的延长线上任意一点时,连结 EP 2,将线段 EP 2 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EC 2.判断直线 C 1C 2 与直线 CD 的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.4 (2)若 AD=6,tanB=1 1 并写出自变量 x 的取值范围.图1 备用图【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转 90°的条件.旋转 90°自然就是垂直关系,于是出现了一 系列直角三角形,于是证角、证线就手到擒来了.(2)是利用平行关系建立函数式,但是不要忘记分类讨论.【答案与解析】(1)①直线 FG 与直线 CD 的位置关系为互相垂直. 112,- - . , , 证明:如图 1,设直线 FG 与直线 CD 的交点为 H .1 G 1AE F G 2 P H 1 DBCP 2图 1∵线段 EC 、EP 分别绕点 E 逆时针旋转 90°依次得到线段 EF 、EG , 1 1∴ ∠PEG = ∠CEF = 90° EG = EP ,EF = EC . 1 1 1 1∵ ∠G EF = 90° ∠PEF , ∠PEC = 90° ∠PEF ,1 1 1 1∴ ∠G EF = ∠PEC .1 1∴ △G EF ≌△PEC .1 1∴ ∠G FE = ∠PCE .1 1∵ EC ⊥ C D ,∴ ∠PCE = 90°, 1∴ ∠G FE = 90° 1∴ ∠EFH = 90°.∴ ∠FHC = 90°.∴ FG ⊥ CD . 1②按题目要求所画图形见图 1,直线 G G 与直线 CD 的位置关系为互相垂直.1 2(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ ∠B = ∠ADC .∵ AD = 6,AE = 1 tan B = 4 3 , ∴ DE = 5 tan ∠EBC = tan B = 4 3. 可得 CE = 4 .由(1)可得四边形 EFCH 为正方形.∴ CH = CE = 4 .P 1 2 2 2 2 1 ①如图 2,当 P 点在线段 CH 的延长线上时,1 G 1A EFD H BC 图 2∵ FG = CP = x ,PH = x - 4 ,1 1 1 ∴ S△P FG 1 1 1 x( x - 4) = ⨯ FG ⨯ PH = 1 1 . ∴ y = 1 2x 2 - 2 x ( x > 4) . ②如图 3,当 P 点在线段 CH 上(不与 C 、H 两点重合)时, 1G 1 FB A ECD P 1 H图 3∵ FG = CP = x ,PH = x - 4 ,1 1 1 ∴ S △P FG 1 = 1 x(4 - x) FG ⨯ PH = 1 1 . 1 ∴ y = - x2 + 2 x (0 < x < 4) . 2③当 P 点与 H 点重合时,即 x = 4 时, △PFG 不存在. 1 1 1综上所述, y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围是 y =1 2 x 2 - 2 x ( x > 4) 或 1 y = - x 2 + 2 x (0 < x < 4) . 2【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况 等重要知识点,综合性强,能力要求较高.考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.举一反三: 【变式】已知,点 P 是∠MON 的平分线上的一动点,射线 PA 交射线 OM 于点 A ,将射线 PA 绕点 P 逆时针 旋转交射线 ON 于点 B ,且使∠APB+∠MON=180°.(1)利用图 1,求证:PA=PB ;(2)如图2,若点C是AB与OP的交点,当△SPOB=3S△PCB时,求PB与PC的比值;(3)若∠MON=60°,OB=2,射线AP交ON于点D,且满足且∠PBD=∠ABO,请借助图3补全图形,并求OP的长.【答案】(1)作PE⊥OM,PF⊥ON,垂足为E、F∵四边形OEPF中,∠OEP=∠OFP=90°,∴∠EPF+∠MON=180°,已知∠APB+∠MON=180°,∴∠EPF=∠APB,即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB,∴∠EPA=∠FPB,由角平分线的性质,得PE=PF,∴△EPA≌△FPB,即PA=PB;(2)∵S△POB=3S△PCB,∴PO=3PC,由(1)可知△PAB为等腰三角形,则∠PBC=又∵∠BPC=∠OPB(公共角),∴△PBC∽△POB,11(180°-∠APB)=∠MON=∠BOP,22∴PB PC=PO PB,即PB2=PO•PC=3PC2,∴PB=3PC(3)作BH⊥OT,垂足为H,当∠MON=60°时,∠APB=120°,由PA=PB,得∠PBA=∠PAB=12(180°-∠APB)=30°,又∵∠PBD=∠ABO,∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°,∴∠ABO=12(180°-30°)=75°,则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°,在△OBP中,∵∠BOP=30°,∴∠BPO=45°,在Rt△OBH中,BH=1OB=1,OH=3,2在Rt△PBH中,PH=BH=1,∴OP=OH+PH=3+1.。
2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)专题31 圆中的重要模型之四点共圆模型(解析版)

专题31圆中的重要模型之四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点,近年来,特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。
相对四点共圆性质的应用,四点共圆的判定往往难度较大,往往是填空题或选择题的压轴题,而计算题或选择中四点共圆模型的应用(特别是最值问题),通常能简化运算或证明的步骤,使问题变得简单。
本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。
四点共圆:若在同一平面内,有四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型(圆的定义)【模型解读】若四个点到一定点的距离相等,则这四个点共圆。
这也是圆的基本定义,到定点的距离等于定长点的集合。
条件:如图,平面内有五个点O、A、B、C、D,使得OA=OB=OC=OD,结论:A、B、C、D四点共圆(其中圆心为O)。
【答案】2【分析】首先连接OE,由角器上对应的读数.【详解】解:连接OE,A .13B .52∵在ABC 中,90BAC【答案】30【分析】连接AC 与BD 又易知在Rt ACD △中,【详解】解:连接AC 与∵四边形形ABCD 是矩形,12OA OB OC OD AC又∵DE BF 于E ,即是直角三角形,∴12OE BD ,∴OA OC OD OE ,∴点A B 、、,由旋转的性质可知:AF AB ,【答案】122【分析】(1)根据条件,证明AOD COD△△△△,代入推断即可.(2)通过AOG ABC证明ODF CBF△△,代入推断即可.又∵∵CE CF∴CEF CFE模型2、定边对双直角共圆模型C同侧型异侧型1)定边对双直角模型(同侧型)条件:若平面上A、B、C、D四个点满足90ABD ACD,结论:A、B、C、D四点共圆,其中AD为直径。
2)定边对双直角模型(异侧型)条件:若平面上A、B、C、D四个点满足90ABC ADC,结论:A、B、C、D四点共圆,其中AC为直径。
【点睛】本题考查了圆的直径所对的圆周角为【点睛】此题主要考查圆内接四边形,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知识点,解答此题的关键是添加辅助线构造特殊三角形,求出线段.模型3、定边对定角共圆模型条件:如图1,平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ADB ACB ,结论:A 、B 、C 、D 四点共圆.条件:如图2,AC 、BD 交于H ,AH CH BH DH ,结论:A B C D 、、、四点共圆.例1.(2023·江苏·九年级假期作业)如图,在Rt ABC 中,∠BAC =90°,∠ABC =40°,将 ABC 绕A 点顺时针旋转得到 ADE ,使D 点落在BC 边上.(1)求∠BAD 的度数;(2)求证:A 、D 、B 、E 四点共圆.【答案】(1)10°;(2)见解析【分析】(1)由三角形内角和定理和已知条件求得∠C 的度数,由旋转的性质得出AC =AD ,即可得出∠ADC =∠C ,最后由外角定理求得∠BAD 的度数;(2)由旋转的性质得到∠ABC =∠AED ,由四点共圆的判定得出结论.【详解】解:(1)∵在Rt ABC 中,∠BAC =90°,∠ABC =40°,∴∠C =50°,∵将 ABC 绕A 点顺时针旋转得到 ADE ,使D 点落在BC 边上,∴AC =AD ,∴∠ADC =∠C =50°,∴∠ADC =∠ABC +∠BAD =50°,∴∠BAD =50°-40°=10°证明(2)∵将 ABC 绕A 点顺时针旋转得到 ADE ,∴∠ABC =∠AED ,∴A 、D 、B 、E 四点共圆.【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定,解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等,对应角相等.例3.(2022·江苏无锡·中考真题)△ABC是边长为5的等边三角形,△DCE是边长为3的等边三角形,直线BD与直线AE交于点F.如图,若点D在△ABC内,∠DBC=20°,则∠BAF=________°;现将△DCE 绕点C旋转1周,在这个旋转过程中,线段AF长度的最小值是________.【答案】804##4【分析】利用SAS 证明△BDC ≌△AEC ,得到∠DBC =∠EAC =20°,据此可求得∠BAF 的度数;利用全等三角形的性质可求得∠AFB =60°,推出A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上,当BF 是圆C 的切线时,即当CD ⊥BF 时,∠FBC 最大,则∠FBA 最小,此时线段AF 长度有最小值,据此求解即可.【详解】解:∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形,∴AC =BC ,DC =EC ,∠BAC =∠ACB =∠DCE =60°,∴∠DCB +∠ACD =∠ECA +∠ACD =60°,即∠DCB =∠ECA ,在△BCD 和△ACE 中,CD CE BCD ACE BC AC,∴△ACE ≌△BCD (SAS ),∴∠EAC =∠DBC ,∵∠DBC =20°,∴∠EAC =20°,∴∠BAF =∠BAC +∠EAC =80°;设BF 与AC 相交于点H,如图:∵△ACE ≌△BCD ∴AE =BD ,∠EAC =∠DBC ,且∠AHF =∠BHC ,∴∠AFB =∠ACB =60°,∴A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上,∵点D 在以C 为圆心,3为半径的圆上,当BF 是圆C 的切线时,即当CD ⊥BF 时,∠FBC 最大,则∠FBA 最小,∴此时线段AF 长度有最小值,在Rt △BCD 中,BC =5,CD =3,∴BD 4,即AE =4,∴∠FDE =180°-90°-60°=30°,∵∠AFB =60°,∴∠FDE =∠FED =30°,∴FD =FE ,过点F 作FG ⊥DE 于点G ,∴DG =GE =32,∴FE =DF =cos 30DG∴AF =AE -FE 80;【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,圆周角定理,切线的性质,解直角三角形,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.例4.(2022·贵州遵义·统考中考真题)探究与实践:“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动,得出结论:对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.提出问题:如图1,在线段AC 同侧有两点B ,D ,连接AD ,AB ,BC ,CD ,如果B D ,那么A ,B ,C ,D 四点在同一个圆上.探究展示:如图2,作经过点A ,C ,D 的O ,在劣弧AC 上取一点E (不与A ,C 重合),连接AE ,CE 则180AEC D (依据1)B D ∵180AEC B点A ,B ,C ,E 四点在同一个圆上(对角互补的四边形四个顶点共圆)点B ,D 在点A ,C ,E 所确定的O 上(依据2)点A ,B ,C ,E 四点在同一个圆上(1)反思归纳:上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么?依据1:__________;依据2:__________.(2)图3,在四边形ABCD 中,12 ,345 ,则4 的度数为__________.(3)拓展探究:如图4,已知ABC 是等腰三角形,AB AC ,点D 在BC 上(不与BC 的中点重合),连接AD .作点C 关于AD 的对称点E ,连接EB 并延长交AD 的延长线于F ,连接AE ,DE .①求证:A ,D ,B ,E与判定,掌握以上知识是解题的关键.模型4、对角互补共圆模型P条件:如图1,平面上A、B、C、D四个点满足ABC ADC,结论:A、B、C、D四点共圆.条件:如图2,BA、CD的延长线交于P,PA PB PD PC,结论:A、B、C、D四点共圆.A.2B.22【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质可得,,,A B E D四点共圆,在以BE为直径的圆上,连接【答案】43/113【分析】过点B作BH AM交F,点A,M,B,C四点共圆,得法求解,12AMBS AM DE△【详解】解析:过点B作BH 于点,如图所示:【答案】52 2【分析】连接BD并延长,利用四点共圆的判定定理得到的性质和圆周角定理得到DBF性质解答即可得出结论.(1)求证:A ,E ,B ,D 四点共圆;(2)如图2,当AD CD 时,O 是四边形AEBD O 的切线;(3)已知1206BC ,,点M 是边BC 的中点,此时P 是四边形出圆心P 与点M 距离的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)32(3)解:如图所示,作线段AB 的垂直平分线,分别交∵120AB AC BAC ,,∴B课后专项训练1.(2023秋·河北张家口·九年级校考期末)如图①,若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边,则A、B、C、D在以BC为直径的圆上,则叫它们“四点共圆”.如图②,△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H,则图②中“四点共圆”的组数为()A.2B.3C.4D.6【答案】D【分析】根据两个直角三角形公共斜边时,四个顶点共圆,结合图形求解可得.【详解】解:如图,以AH为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(A、F、H、E),以BH为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(B、F、H、D),以CH为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(C、D、H、E),以AB为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(A、E、D、B),以BC为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(B、F、E、C),以AC为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(A、F、D、C),共6组.故选D.【点睛】本题考查四点共圆的判断方法.解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.,.下2.(2023·安徽合肥·校考一模)如图,O是AB的中点,点B,C,D到点O的距离相等,连接AC BD列结论不一定成立的是()A .12B .3=4C .180ABC ADCD .AC 平分BAD【答案】D 【分析】以点O 为圆心,OA 长为半径作圆.再根据圆内接四边形的性质,圆周角定理逐项判断即可.【详解】如图,以点O 为圆心,OA 长为半径作圆.由题意可知:OA OB OC OD .即点A 、B 、C 、D 都在圆O 上.A .∵ AB AB ,∴12 ,故A 不符合题意;B .∵ BCBC ,∴3=4 ,故B 不符合题意;C .∵四边形ABCD 是O 的内接四边形,∴180ABC ADC ,故C 不符合题意;D .∵ BC 和CD不一定相等,∴BAC 和DAC 不一定相等,∴AC 不一定平分BAD ,故D 符合题意.故选:D .【点睛】本题考查圆周角定理及其推论,充分理解圆周角定理是解答本题的关键.3.(2023·江苏宿迁·九年级校考期末)如图,在Rt ABC △中,90ACB ,3BC ,4AC ,点P 为平面内一点,且CPB A ,过C 作CQ CP 交PB 的延长线于点Q ,则CQ 的最大值为()【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆,掌握同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等确定四点共圆,利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键.4.(2023·北京海淀·九年级校考期中)如图,点接AC,BD.请写出图中任意一组互补的角为【答案】DAB【分析】首先判断出点【答案】130【分析】根据题意得到四边形【详解】解:由题意得到∴四边形ABCD为圆∵∠ABC=50°,∴∠【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质,熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键.6.(2023·浙江金华·A.3B.1∵PE AB 于点E ,PD AC 于点,∴90AEP ADP ,∴180AEP ADP ,∴A 、E 、D 四点共圆,PA 是直径,在Rt PDC 中,45C ,∴△是等腰直角三角形,45APD ∴APD △也是等腰直角三角形,45PAD ,∴PED PAD ∴45AED ,∴AED C ,∵EAD CAB ,∴AED ∽设2AD x ,则2PD DC x ,22x ,如图2,取AP 的中点O 则2AO OE OP x ,∵604515EAP BAC PAD ,过E 作EM AP 于M ,则EM x,cos30OM OE ,∴36222OM x x ,∴6226222AM x x x ,由勾股定理得: 222226222AE AM EM x x +【答案】3632 /323 【分析】数形结合,根据动点的运动情况判断点【详解】解:如图旋转,连接以BC 为直径作O ,以AE 为半径作在ABD △和ACE △中AB AC AD AE BAD CAEPBC PBA ACB PBC 90BAC BPC EAD ∵,122AB ∵,A 的半径为62∴又∵90BAC EAD ,CAD,∵33BC ,OP BC∵MQ,MC与圆O相切,1QOM COM COP 【答案】(1)见详解(2)证明:如下图所示由题意可知AC 逆时针旋转90得到边AE ,90E ACB ,则90ACB ∵,AE BF ∥,90 ∵,90EFC ,,F ,E 四点共圆..∵四边形ABCD是菱形,AC,且 GOC GCO90==∵, 点90DHC DOC=BDF OCH=,且BF OM ∵, 点==90AED AOD尝试应用如图2,点D 为等腰Rt ABC △外一点,AB AC ,BD CD ,过点A 的直线分别交DB 的延长线和CD 的延长线于点N ,M ,求证:12ABN ACM S S AN AM △△.问题拓展如图3,ABC 中,AB AC ,点D ,E 分别在边AC ,BC 上,60BDA BEA ,AE ,BD ,直接写出BE 的长度(用含a ,b 的式子)∵ABC 为等腰直角三角形,∴AB AC , 又∵BD CD ,即:=90BDC ,∴A 、B 在ABN 与ACE △中,AB AC ABN ACE BN CE,∴∴BAN BAE CAE BAE BAC ∴1122AME AMC S AE AM AN AM S S △△∴60AFB BAF ABF ,AB AF AC ,∵60BDA BEA ,∴A 、D 、E 、B 、F 五点共圆,则:13 ,24 ,60BEF AEB ,【答案】问题情境:见解析;问题解决:(1)102;(2)13522【分析】[问题情境]连结AC ,取AC 的中点O ,连结OB 、OD ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得OD OA OC OB ,以此即可证明;[问题解决](1)根据题意可得225AE AD DE ,由[问题情境]结论可知A 、D 、E 、据圆周角定理以及正方形的性质可得45PDE PAE ,则PAE △为等腰直角三角形,设AP 长为a ,根据勾股定理列出方程,求解即可;(2)由[问题情境]结论可知A 、D 、E 、P 四点共圆,过点O 作OG AD 于点G ,作OH 接OB 交O 于点P ,连接PB ,根据题意可得四边形MBNP 为矩形,则要求MN 的最小值,即求值,根据平行线的性质和中点的定义可得OG 为ADE V 的中位线,得1AG ,12OG ,同理可证四边形1【翻折】(1)如图1,将DEF 沿线段AB 翻折,连接CF ,下列对所得四边形ACBF 的说法正确的是平分CBF 、CAF ,②AB 、CF 互相平分,③12ACBF S AB CF 四边形,④A 、C 、B 、F 四点共圆.AB 垂直平分CF ,故②ABC ABF ACBF S S S 四边形1122AB AB FG 12AB CG 取AB 的中点O ,连接CO FO ,ABC ABF △、△均为直角三角形,∴OB OC OA OF ,∴A 、B 、F 四点共圆,故()沿线段向左平移,∴AB CF ,CF BE 的中点,∴BE BD BF特殊情况分析:(1)如图1,正方形ABCD 中,点P 为对角线时针旋转ADC 的度数,交直线BC 于点Q .小明的思考如下:连接DQ ,∵AD CQ ∥,90ADC DCQ ,∴ACQ DAC ∵90DPQ ,∴180DPQ DCQ ,∴点D P Q 、、PDQ PCQ DQP PCD∵在菱形ABCD 中BC AD ∥,180ADC DCQ ,DPQ ADC ,∵180DPQ DCQ ,∴点P C Q 、、、共圆,∴DQP ACD ,ACB PDQ ,∵AC 为菱形ABCD 的对角线,ACB ACD ,∴PDQ DQP ,∴ DP PQ ;(3)解:3PQ 或3.由于点P 为对角线AC 上一个动点,分两类情况讨论如下:所示:180302ADC ACD,。
初中数学几何证明题技巧

初中数学几何证明题技巧Revised by Petrel at 2021要掌握初中数学几何证明题技巧,熟练运用和记忆如下原理是关键。
下面归类一下,多做练习,熟能生巧,遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。
一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等*12.两圆的内(外)公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。
*6.同圆(或圆)中,等弦(或弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
三、证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。
北京中考几何知识点归纳

北京中考几何知识点归纳北京中考几何知识点归纳涵盖了初中阶段几何学的核心概念和定理,以下是对这一部分内容的详细总结:1. 几何基础知识:- 点、线、面、体的定义和特性。
- 平面几何与立体几何的区别。
2. 直线与角:- 直线、射线、线段的特点和性质。
- 角的分类(锐角、直角、钝角、平角、周角)和性质。
- 角度的度量和换算。
3. 三角形:- 三角形的分类(等边、等腰、直角、锐角、钝角三角形)。
- 三角形的内角和定理(内角和为180°)。
- 三角形的外角定理。
- 三角形的中线、高线、角平分线、中位线的性质。
4. 四边形:- 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定。
- 梯形的分类和性质。
- 四边形的对角线性质。
5. 圆:- 圆的定义和圆周角定理。
- 弧、弦、直径、半径、圆心角的性质。
- 切线的性质和判定。
- 圆的面积和周长的计算。
6. 相似与全等:- 相似图形和全等图形的定义与性质。
- 相似比和全等比的计算。
- 相似三角形的判定定理(AA、SAS、SSS、HL)。
7. 几何变换:- 平移、旋转、反射等几何变换的性质。
- 几何变换在图形证明中的应用。
8. 面积与体积:- 不规则图形面积的近似计算方法。
- 规则图形(如三角形、四边形、圆形)的面积计算。
- 立体图形(如长方体、圆柱、圆锥、球)的体积和表面积计算。
9. 几何证明:- 证明的基本方法和步骤。
- 常见几何证明的类型(如证明全等、相似、平行、垂直等)。
10. 坐标几何:- 坐标系中点的坐标表示。
- 坐标几何中图形的性质和计算。
结束语:通过以上对北京中考几何知识点的归纳,我们可以看到几何学在中考中的重要性和广泛性。
掌握这些基础知识点,不仅有助于解决中考中的几何问题,也为高中阶段的数学学习打下坚实的基础。
希望同学们能够认真学习和理解这些知识点,提高自己的几何解题能力。
【中考冲刺】2020中考数学专题总复习:专题五 几何的证明与综合应用

角三角形,∴DF= 2 AD,∴ DF = 2,∴ EB = 2.
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方法技巧
与三角形有关的证明与综合应用主要涉及证三角形全等和相似,看到证明
线段相等,要想到全等,看到证明线段之间成比例,要想到三角形相似,这是一种
定性思维,其中三角形相似有以下几种基本结构.
常见 结构
A字型
X字型 母子型
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DEB CDF, DBE CFD, ED DC,
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴EB=DF,∴EB=AD.
(3) EB = 2 .理由如下:作DF∥BC交AC于点F,如图3所示,同(1),得△DBE≌
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△CFD(AAS),∴EB=DF,∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC,∴△ADF是等腰直
(2)DH⊥HG.证明:如图,延长GH交CD于点N,
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∵FG⊥AD,CD⊥AD,∴FG∥CD.∴∠GFC=∠HCN,∠FGH=∠HNC.∴△FGH
∽△CNH.∴ FG = FH = GH ,
CN CH NH
又∵CH=FH,∴GH=HN,NC=FG.∴AG=FG=NC.又∵AD=CD,∴GD=DN,∴DH⊥
AG AC,
即∠GAB=∠CAE,在△GAB和△CAE中, GAB CAE,∴△GAB≌△CAE
AB AE,
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(SAS), ∴∠ABG=∠AEC,又∵∠AEC+∠AME=90°,∴∠ABG+∠BMN=90°,∴∠BNM= 90°,即CE⊥BG,∴四边形CGEB是垂美四边形,由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2, ∵AC=4,AB=5, ∴BC=3,CG=4 2 ,BE=5 2 ,∴GE2=CG2+BE2-CB2=73,∴GE= 73 .
几何证明与解析几何例题和知识点总结

几何证明与解析几何例题和知识点总结在数学的广袤领域中,几何证明与解析几何犹如两颗璀璨的明珠,闪耀着智慧的光芒。
它们既是数学学习中的重点,也是难点。
接下来,让我们一同深入探索这两个重要的数学分支,通过例题来加深对知识点的理解和掌握。
一、几何证明几何证明是通过逻辑推理和几何定理来证明几何图形的性质和关系。
(一)基本定理和公理1、两点确定一条直线。
2、两点之间线段最短。
3、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
(二)三角形的相关定理1、三角形内角和为 180 度。
2、三角形的任意两边之和大于第三边。
(三)全等三角形的判定1、 SSS(边边边):三边对应相等的两个三角形全等。
例:在三角形 ABC 和三角形 DEF 中,AB = DE,BC = EF,AC = DF,所以三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
2、 SAS(边角边):两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
例如:已知三角形 ABC 和三角形 DEF,AB = DE,∠A =∠D,AC = DF,可证明两个三角形全等。
3、 ASA(角边角):两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
4、 AAS(角角边):两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
5、 RHS(直角、斜边、边):在直角三角形中,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(四)相似三角形的判定1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
2、三边对应成比例的两个三角形相似。
3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
4、两角对应相等的两个三角形相似。
(五)例题分析例 1:已知在三角形 ABC 中,AB = AC,∠A = 36°,BD 是角平分线。
求证:AD²= CD × AC证明:因为 AB = AC,∠A = 36°,所以∠ABC =∠C = 72°。
因为 BD 是角平分线,所以∠ABD =∠DBC = 36°。
几何证明选讲知识点汇总与练习(内含答案)

⼏何证明选讲知识点汇总与练习(内含答案)《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理:如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1:经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。
推理2:经过梯形⼀腰的中点,且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。
平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理:三条平⾏线截两条直线,所得的对应线段成⽐例。
推论:平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成⽐例。
相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定:定义:对应⾓相等,对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。
相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐(或相似系数)。
由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似,需考虑6个元素,即三组对应⾓是否分别相等,三组对应边是否分别成⽐例,显然⽐较⿇烦。
所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法:(1)两⾓对应相等,两三⾓形相似;(2)两边对应成⽐例且夹⾓相等,两三⾓形相似;(3)三边对应成⽐例,两三⾓形相似。
预备定理:平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三⾓形与三⾓形相似。
判定定理1:对于任意两个三⾓形,如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等,那么这两个三⾓形相似。
简述为:两⾓对应相等,两三⾓形相似。
判定定理2:对于任意两个三⾓形,如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例,并且夹⾓相等,那么这两个三⾓形相似。
简述为:两边对应成⽐例且夹⾓相等,两三⾓形相似。
判定定理3:对于任意两个三⾓形,如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例,那么这两个三⾓形相似。
简述为:三边对应成⽐例,两三⾓形相似。
引理:如果⼀条直线截三⾓形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成⽐例,那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。
定理:(1)如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等,那么它们相似;(2)如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例,那么它们相似。
相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)(解析版)-2024年中考数学常见几何模型

相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容,常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型,其中“母子型”相似模型应用较为广泛,深入理解模型内涵,灵活运用相关结论可以显著提高解题效率,本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等;②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形;③第②步成立,直接从证这两个三角形相似,逆向证明到线段乘积相等;④第②步不成立,则选择替换掉线段比例式中的个别线段,之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形(通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点,由于小三角形寓于大三角形中,恰似子依母怀),也是有一个“公共角”,再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似.图1图2图3图41)“母子”模型(斜射影模型)条件:如图1,∠C=∠ABD;结论:△ABD∽△ACB,AB2=AD·AC.2)双垂直模型(射影模型)条件:如图2,∠ACB=90o,CD⊥AB;结论:△ACD∽△ABC∽△CBD;CA2=AD·AB,BC2=BD·BA,CD2=DA·DB.3)“母子”模型(变形)条件:如图3,∠D=∠CAE,AB=AC;结论:△ABD∽△ECA;4)共边模型条件:如图1,在四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠ADB=∠DCB,结论:BD2=BA⋅BC;1(2022·贵州贵阳·中考真题)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,AC:AB=1:2,则△ADC与△ACB的周长比是()A.1:2B.1:2C.1:3D.1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ,即有AC AB =AD AC =CD BC =12,则可得AC +AD +CD AB +AC +BC =12,问题得解.【详解】∵∠B =∠ACD ,∠A =∠A ,∴△ACD ∽△ABC ,∴AC AB =AD AC =CD BC ,∵AC AB =12,∴AC AB =AD AC =CD BC =12,∴AC AB =AD AC =CD BC =AC +AD +CD AB +AC +BC=12,∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2,故选:B .【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键.2(2022春·江苏·九年级专题练习)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,点D 在AB 上,且AD AC =AC AB.(1)求证△ACD ∽△ABC ;(2)若AD =3,BD =2,求CD 的长.【答案】(1)见解析;(2)6【分析】(1)根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,即可得出△ACD ∼△ABC(2)由△ACD ∼△ABC 得∠ADC =∠ACB =90°,∠ACD =∠B ,推出△ACD ∼△CBD ,由相似三角形的性质得CD AD =BD CD ,即可求出CD 的长.【详解】(1)∵AD AC =AC AB,∠A =∠A ,∴△ACD ∼△ABC ;(2)∵△ACD ∼△ABC ,∴∠ADC =∠ACB =90°,∠ACD =∠B ,∴∠CDB =180°-90°=90°=∠ACD ,∴△ACD ∼△CBD ,∴CD AD=BD CD ,即CD 2=AD ⋅BD =3×2=6,∴CD =6.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质,掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键.3(2022.山西九年级期中)如图,点C ,D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形,且∠APB =120°,求证:(1)△ACP ∽△PDB ,(2)CD 2=AC •BD .证明:(1)∵△PCD 是等边三角形,∴∠PCD =∠PDC =∠CPD =60°,∴∠ACP =∠PDB =120°,∵∠APB =120°,∴∠APC +∠BPD =60°,∵∠CAP +∠APC =60°∴∠BPD =∠CAP ,∴△ACP ∽△PDB ;(2)由(1)得△ACP ∽△PDB ,∴AC PD =PC BD ,∵△PCD 是等边三角形,∴PC =PD =CD ,∴AC CD=CD BD ,∴CD 2=AC •BD .4(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD 是斜边BC 上的高.(1)证明:△ABD ∽△CBA ;(2)若AB =6,BC =10,求BD 的长.【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°,根据等角的余角相等,得出∠BAD =∠C ,结合公共角∠B =∠B ,即可得证;(2)根据(1)的结论,利用相似三角形的性质即可求解.【详解】(1)证明:∵∠BAC =90°,AD 是斜边BC 上的高.∴∠ADB =90°,∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°,∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B ∴△ABD ∽△CBA ,(2)∵△ABD ∽△CBA ∴AB CB =BD AB,又AB =6,BC =10∴BD =AB 2CB =3610=185.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.5(2023.浙江中考模拟)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB .(1)图1中共有对相似三角形,写出来分别为(不需证明):(2)已知AB =5,AC =4,请你求出CD 的长:(3)在(2)的情况下,如果以AB 为x 轴,CD 为y 轴,点D 为坐标原点O ,建立直角坐标系(如图2),若点P 从C 点出发,以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动,点Q 出B 点出发,以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动,其中一点最先到达线段的端点时,两点即刻同时停止运动;设运动时间为t 秒是否存在点P ,使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)3,△ABC ∽△ACD ,△ABC ∽△CBD ,△ACD ∽△CBD ;(2)125;(3)存在,2740,32,98,910【分析】(1)根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形,分别为:△ABC ∽△ACD ,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD.(2)先在△ABC中由勾股定理求出BC的长,再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD=12AC•BC,即可求出CD的长.(3)由于∠B公共,所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,分两种情况进行讨论:①△PQB∽△ACB;②△QPB∽△ACB.【详解】解:(1)图1中共有3对相似三角形,分别为:△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD.证明:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠ACB=90°,又∵∠A=∠A,∴△ADC∽△ACB同理可证:△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD.故答案为:3;△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD.(2)如图2中,在△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=5,AC=4,∴BC=AB2-AC2=52-42=3.∵△ABC的面积=12AB•CD=12AC•BC,∴CD=AC⋅BCAB=125.(3)存在点P,使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,理由如下:在△BOC中,∵∠COB=90°,BC=3,OC=125,∴OB=95.分两种情况:①当∠BQP=90°时,如图2①,此时△PQB∽△ACB,∴BP AB =BQBC,∴3-t5=t3,解得t=98,即BQ=CP=98,∴BP=BC-CP=3-98=158.在△BPQ中,由勾股定理,得PQ=BP2-BQ2=1582-98 2=32,∴点P的坐标为2740,32;②当∠BPQ=90°时,如图2②,此时△QPB∽△ACB,∴BPBC=BQAB,∴3-t3=t5,解得t=158,即BQ=cP=158,BP=BC-CP=3-158=98,过点P作PE⊥x轴于点E.∵△QPB∽△ACB,∴⋅PECO=BQAB,即PE125=1585,∴PE=910.在△BPE中,BE=PB2-PE2=982-910 2=2740,∴OE=OB-BE=95-2740=98,∴点P的坐标为98,910,综上可得,点P的坐标为2740,32;98,910.【点睛】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.6(2022·陕西汉中·九年级期末)如图,CD是等腰直角△ABC斜边AB的中线,以点D为顶点的∠EDF绕点D旋转,角的两边分别与AC、BC的延长线相交,交点分别为点E、F,DF与AE交于点M,DE与BC 交于点N,且∠EDF=45°.(1)如图1,若CE=CF,求证:DE=DF;(2)如图2,若CE≠CF,求证:CD2=CE ⋅CF ;(3)如图2,过D 作DG ⊥BC 于点G ,若CD =2,CF =2,求DN 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)253.【分析】(1)由题意可得∠BCD =∠ACD =45°,∠BCE =∠ACF =90°,从而可得∠DCE =∠DCF =135°,于是可证得△DCE ≌△DCF ,则有DE =DF ;(2)结合(1)可求得∠CDF +∠F =45°从而可得∠F =∠CDE ,则△CDF ∽△CED ,利用相似三角形的性质即可求解;(3)由DG ⊥BC ,∠ACB =90°,∠BCD =∠ACD =45°,结合(2)可求得CE =22,从而可求得CG =DG =2,可证得△CEN ∽△GDN ,从而可求得GN =23,再利用勾股定理即可求得DN .(1)证明∶∵∠ACB =90°,AC =BC ,CD 是中线,∴∠BCD =∠ACD =45°,∠BCE =∠ACF =90°,∴∠DCE =∠DCF =135°∵在△DCE 与△DCF 中,CE =CF∠DCE =∠DCF CD =CD,∴△DCE ≌△DCF ,∴DE =DF ;(2)证明∶∵∠DCE =∠DCF =135°∴∠CDF +∠F =180°-135°=45°,∵∠CDF +∠CDE =45°,∴∠F =∠CDE ,∴△CDF ∽△CED ,∴CD CE =CF CD,即CD 2=CE ⋅CF ;(3)解:如图,∵DG ⊥BC ,∠ACB =90°,∠BCD =∠ACD =45°,∴∠DGN =∠ECN =90°,∠GCD =∠CDG =45°,∴CG =DG当CD =2,CF =2时,由CD 2=CE ⋅CF 可得,CE =22,在Rt △DCG 中,CG =DG =CD ∙sin ∠DCG =2×sin45°=2∵∠ECN =∠DGN ,∠ENC =∠DNG ,∴△CEN ∽△GDN ,∴CN GN =CE DG =222=2,∴GN =13CG =23,∴DN =GN 2+DG 2=23 2+(2)2=253.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理,作出适当的辅助线,并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键.7(2023·浙江·九年级期末)(1)如图1,在△ABC中,D为AB上一点,AC2=AD⋅AB.求证:∠ACD=∠B.(2)如图2,在▱ABCD中,E是AB上一点,连接AC,EC.已知AE=4,AC=6,CD=9.求证:2AD =3EC.(3)如图3,四边形ABCD内接于O,AC、BD相交于点E.已知O的半径为2,AE=CE,AB=2AE,BD=23,求四边形ABCD的面积.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)23【分析】(1)由AC2=AD⋅AB化比例,与∠A=∠A,可证△ACD∽△ABC即可;(2)由▱ABCD,可得AB=CD,AD=BC,根据线段比值计算AEAC =23,ACAB=23,可得AEAC=ACAB,由∠EAC=∠CAB,可证△ACE∽△ABC即可;(3)连接OA交BD于点F,连接OB,根据AE=CE,AB=2AE,可得AC=2AE,根据线段比值计算可得ABAC=AEAB,由∠BAC=∠EAB,可证△ABE∽△ACB,可证∠ABD=∠ADB,可得BF=DF,根据勾股定理OF=1,可求S△ABD=3,可证S△ABE=S△CBE,S△ADE=S△CDE,可得S△BCD=SΔABD即可.【详解】(1)证明:如图1,∵AC2=AD⋅AB,∴ACAB=ADAC,又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴∠ACD=∠B.(2)证明:如图2,∵▱ABCD,∴AB=CD,AD=BC,∵AE=4,AC=6,CD=9,∴AB=CD=9,∴AE AC =46=23,ACAB=69=23,∴AEAC=ACAB,∵∠EAC=∠CAB,∴△ACE∽△ABC,∴AE AC =ECBC,即46=ECBC=23,∴2BC=3EC.∴2AD=3EC;(3)解:如图3,连接OA 交BD 于点F ,连接OB ,∵AE =CE ,AB =2AE ,∴AC =2AE ,∴AB AC =2AE 2AE =22,AE AB =AE 2AE=22,∴AB AC =AE AB ,∵∠BAC =∠EAB ,∴△ABE ∽△ACB ,∴∠ABD =∠ACB ,∵∠ADB =∠ACB ,∴∠ABD =∠ADB ,∴点A 是弧BD 的中点,BD 为弦,OA 为半径,∴OA ⊥BD ,BF =DF ,∵OA =OB =2,BD =23,∴BF =DF =3,在Rt △OBF 中,根据勾股定理OF =OB 2-BF 2=4-3=1,∴AF =OF =1,∴S △ABD =12×BD ×AF =3,∵AE =CE ,∴S △ABE =S △CBE ,S △ADE =S △CDE ,∴S △BCD =S △BCE +S △DCE =S △ABE +S △CDE =S ΔABD ,∴S 四边形ABCD =S ΔABD +S ΔBCD =2S △ABD =23.【点睛】本题考查三角形相似判定与性质,垂径定理,勾股定理,与三角形高有关的计算,掌握三角形相似判定与性质,垂径定理,勾股定理,与三角形高有关的计算是解题关键.8(2022春·广东深圳·九年级校考期中)【基础巩固】(1)如图1,在四边形ABCD 中,对角线BD 平分∠ABC ,∠ADB =∠DCB ,求证:BD 2=BA ⋅BC ;【尝试应用】(2)如图2,四边形ABCD 为平行四边形,F 在AD 边上,AB =AF ,点E 在BA 延长线上,连结EF ,BF ,CF ,若∠EFB =∠DFC ,BE =4,BF =5,求AD 的长;【拓展提高】(3)如图3,在△ABC 中,D 是BC 上一点,连结AD ,点E ,F 分别在AD ,AC 上,连结BE ,CE ,EF ,若DE =DC ,∠BEC =∠AEF ,BE =16,EF =7,CE BC =34,求AF FC 的值.【答案】(1)见解析;(2)254;(3)75【分析】(1)据角平分线的定义及相似三角形的判定可知△ABD ∽△DBC ,再根据相似三角形的性质即可解答;(2)据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知△EBF ∽△FBC ,再根据相似三角形的性质即可解答;(3)据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知△ECM ∽△BCE ,再根据相似三角形的性质即可解答.【详解】(1)证明:∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =∠DBC ,∵∠ADB =∠DCB ,∴△ABD ∽△DBC ,∴AB BD =BD BC,∴BD 2=BA ⋅BC ;(2)解:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD ∥BC ,AD =BC ,∴∠AFB =∠FBC ,∠DFC =∠FCB ,∵AB =AF ,∴∠AFB =∠ABF ,∴∠ABF =∠FBC ,∵∠DFC =∠FCB ,∠EFB =∠DFC ,∴∠EFB =∠FCB ,∴△EBF ∽△FBC ,∴BE BF =BF BC ,即45=5BC,解得:BC =254,∴AD =254;(3)过点C 作CM ∥AD 交EF 的延长线于点M ,∵∠AEF +∠CEF +∠DEC =180°,∠BEC +∠CBE +∠BCE =180°,∴∠CEF =180°-∠AEF -∠DEC ,∠CBE =180°-∠BEC -∠BCE ,∵DE =DC ,∴∠DEC =∠DCE ,∴∠CEF =∠CBE ,∵CM ∥AD ,∴∠DEC =∠ECM ,∵∠DEC =∠DCE ,∴∠ECM =∠DCE ,∴△ECM ∽△BCE ,∴EM BE =EC BC =34,∵BE =16,∴EM =12,∵EF =7,∴FM =12-7=5,∵CM ∥AD ,∴∠ACM =∠EAC ,∵∠AFE =∠CFM ,∴△AEF ∽△CMF ,∴AF FC=EF FM =75.【点睛】本题考查了相似三角形的性质,平行四边形的性质,平行线的性质,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.课后专项训练1(2023成都市九年级期中)如图,矩形ABCD 中,F 是DC 上一点,BF ⊥AC ,垂足为E ,AD AB =12,△CEF 的面积为S 1,△AEB 的面积为S 2,则S 1S 2的值等于()A.116B.15C.14D.125【解答】解:∵AD AB=12,∴设AD =BC =a ,则AB =CD =2a ,∴AC =5a ,∵BF ⊥AC ,∴△CBE ∽△CAB ,△AEB ∽△ABC ,∴BC 2=CE •CA ,AB 2=AE •AC∴a 2=CE •5a ,4a 2=AE •5a ,∴CE =5a 5,AE =45a 5,∴CE AE =14,∵△CEF ∽△AEB ,∴S 1S 2=CE AE2=116,故选:A .2(2022·浙江衢州·统考中考真题)如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠B =36°.分别以点A ,C 为圆心,大于12AC的长为半径画弧,两弧相交于点D,E,作直线DE分别交AC,BC于点F,G.以G为圆心,GC长为半径画弧,交BC于点H,连结AG,AH.则下列说法错误的是()A.AG=CGB.∠B=2∠HABC.△CAH≅△BAGD.BG2=CG⋅CB【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A;先根据等腰三角形的性质可得∠CAG=∠C =36°,从而可得∠AGB=72°,再根据等腰三角形的性质可得∠AHG=∠GAH=54°,然后根据三角形的外角性质可得∠HAB=18°,由此即可判断选项B;先假设△CAH≅△BAG可得∠CAH=∠BAG,再根据角的和差可得∠CAH=90°,∠BAG=72°,从而可得∠CAH≠∠BAG,由此即可判断选项C;先根据等腰三角形的判定可得BG=AB=AC,再根据相似三角形的判定可得△ABC∼△GAC,然后根据相似三角形的性质可得AC2=CG⋅CB,最后根据等量代换即可判断选项D.【详解】解:由题意可知,DE垂直平分AC,CG=HG,∴AG=CG,则选项A正确;∵AB=AC,∠B=36°,∴∠C=∠B=36°,∵AG=CG,CG=HG,∴∠CAG=∠C=36°,AG=HG,∴∠AGB=∠CAG+∠C=72°,∠AHG=∠GAH=180°-∠AGB2=54°,∴∠HAB=∠AHG-∠B=18°,∴∠B=2∠HAB,则选项B正确;假设△CAH≅△BAG,∴∠CAH=∠BAG,又∵∠CAH=∠CAG+∠GAH=36°+54°=90°,∠BAG=∠HAB+∠GAH=18°+54°=72°,∴∠CAH≠∠BAG,与∠CAH=∠BAG矛盾,则假设不成立,选项C错误;∵∠BAG=72°=∠AGB,AB=AC,∴BG=AB=AC,在△ABC和△GAC中,∠B=∠CAG=36°∠C=∠C,∴△ABC∼△GAC,∴AC CG =CBAC,即AC2=CG⋅CB,∴BG2=CG⋅CB,则选项D正确;故选:C.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质,综合性较强,熟练掌握判定定理与性质是解题关键.3(2023·湖北恩施·校考模拟预测)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D点,下列关系中不正确的是()A.BC2=BD⋅ABB.CD2=AD⋅BDC.AC2=CD⋅ABD.AC2-BC2=AD2-BD2【答案】C【分析】求证△CDB∽△ACB,△DAC∽DCB,△ADC∽△ACB,相应得出相关线段的数量关系;由勾股定理,可得Rt△DAC中,AC2=CD2+AD2,Rt△DBC中,BC2=CD2+BD2,于是AC2-BC2=AD2-BD2,从而可得出结论.【详解】解:∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°,∴△CDB∽△ACB∴BCAB=BDBC∴BC2=BD⋅AB,故A正确,不符合题意;∵∠ACD+∠BCD=90°,∠DAC+∠ACD=90°,∴∠BCD=∠DAC又∠ADC=∠BDC=90°∴△DAC∽DCB∴DCDB=DADC∴CD2=AD⋅BD,故B正确,不符合题意;Rt△DAC中,AC2=CD2+AD2,Rt△DBC中,BC2=CD2+BD2,∴AC2-BC2=AD2-BD2,故D正确,不符合题意.∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB∴△ADC∽△ACB∴ACAB =AD AC∵AC2=AD⋅AB,故C错误,符合题意;故选:C【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,勾股定理,根据相似三角形得出线段间的数量关系是解题的关键.4(2023·山东济南·统考中考真题)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以点C为圆心,以BC为半径作弧交AC于点D,再分别以B,D为圆心,以大于12BD的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线CP交AB于点E,连接DE.以下结论不正确的是()A.∠BCE=36°B.BC=AEC.BEAC =5-12D.S△AECS△BEC=5+12【答案】C【分析】由题意得,BC=DC,CE平分∠ABC,根据三角形内角和及角平分线判断A即可;由角平分线求出∠ACE=36°=∠A,得到AE=CE,根据三角形内角和求出∠BEC=72°=∠B,得到CE=BC,即可判断B;证明△ABC∽△CBE,得到ABBC=BCBE,设AB=1,BC=x,则BE=1-x,求出x,即可判断C;过点E作EG⊥BC于G,EH⊥AC于H,由角平分线的性质定理推出EG=EH,即可根据三角形面积公式判断D.【详解】解:由题意得,BC=DC,CE平分∠ABC,∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°∵CE平分∠ABC,∴∠BCE=36°,故A正确;∵CE平分∠ABC,∠ACB=72°∴∠ACE=36°=∠A,∴AE=CE,∵∠ABC=72°,∠BCE=36°,∴∠BEC=72°=∠B,∴CE=BC,∴BC=AE,故B正确;∵∠A =∠BCE ,∠ABC =∠CBE ,∴△ABC ∽△CBE ,∴AB BC=BCBE ,设AB =1,BC =x ,则BE =1-x ,∴1x =x 1-x ,∴x 2=1-x ,解得x =5-12,∴BE =1-5-12=3-52,∴BE AC=3-52,故C 错误;过点E 作EG ⊥BC 于G ,EH ⊥AC 于H ,∵CE 平分∠ACB ,EG ⊥BC ,EH ⊥AC ,∴EG =EH∴S △AEC S △BEC =12⋅AC ⋅EH 12⋅BC ⋅EG =AC BC =5+12,故D 正确;故选:C .【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角,相似三角形的判定和性质,角平分线的作图及性质,解一元二次方程,熟练掌握各知识点是解题的关键.5(2023·云南临沧·统考三模)如图,在△ABC 中,D 是AB 上的点,∠B =∠ACD ,AC =1,AB =2,则△ACD 与△BCD 的面积比为()A.1:2B.1:2C.1:3D.1:4【答案】C【分析】证明△ACD ∽△ABC ,再利用相似三角形的性质即可解答.【详解】解:∵∠B =∠ACD ,∠CAD =∠BAC ,∴△ACD ∽△ABC ,∴S △ACD S △ABC =AC AB 2=12 2=14,设S △ACD =x ,则S △ABC =4x ,∴S △BCD =S △ABC -S △ACD =3x ,∴△ACD 与△BCD 的面积比为1:3,故选:C .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键.6(2023·山东东营·统考中考真题)如图,在△ABC 中,以点C 为圆心,任意长为半径作弧,分别交AC ,BC 于点D ,E ;分别以点D ,E 为圆心,大于12DE 的长为半径作弧,两弧交于点F ;作射线CF 交AB 于点G ,若AC =9,BC =6,△BCG 的面积为8,则△ACG 的面积为.【答案】12【分析】过点B 作BM ∥AC 交CG 的延长线于点M ,证明△ACG ∽△BMG ,得出AG GB =AC BM =ACBC,根据S △ACG S △BCG =AG GB =AC BC=96=32,即可求解.【详解】解:如图所示,过点B 作BM ∥AC 交CG 的延长线于点M ,∴∠ACM =∠CMB由作图可得CG 是∠ACB 的角平分线,∴∠ACM =∠BCM∵∠BCM =∠CMB ∴BC =BM ∵BM ∥AC ∴△ACG ∽△BMG∴AG GB =AC BM =AC BC ∴S △ACG S △BCG =AG GB =AC BC =96=32,∵△BCG 的面积为8,∴△ACG 的面积为12,故答案为:12.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,作角平分线,熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键.7(2020·山西·统考中考真题)如图,在Rt ΔABC 中,∠ACB =90°,AC =3,BC =4,CD ⊥AB ,垂足为D ,E 为BC 的中点,AE 与CD 交于点F ,则DF 的长为.【答案】5485【分析】过点F 作FH ⊥AC 于H ,则△AFH ∽△AEC ,设FH 为x ,由已知条件可得AH =32FH =32x ,利用相似三角形的性质:对应边的比值相等即可得到关于x 的方程,解方程求出x 的值,利用S △AFC =12AC ×FH =12CF ×AD 即可得到DF 的长.【详解】如解图,过点F 作FH ⊥AC 于H ,∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴FH⎳BC,∵BC=4,点E是BC的中点,∴BE=CE=2,∵FH⎳BC,∴△AFH∽△AEC∴AHFH =ACEC=32∴AH=32FH,设FH为x,则AH=32x,由勾股定理得AB=42+32=5,又∵S△ABC=12AC×BC=12AB×CD,∴CD=AC⋅BCAB=125,则AD=AC2-CD2=95,∵∠FHC=∠CDA=90°且∠FCH=∠ACD,∴△CFH∽△CAD,∴FHAD =CHCD,即x95=3-32x125,解得x=1817,∴AH=1817.∵S△AFC=12AC×FH=12CF×AD∴12×3×1817=12CF×95∴CF=3017∴DF=CD-CF=125-3017=5485故答案为:5485【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用,解题的关键是作垂直,构造相似三角形.8(2022·河北邢台·校考二模)如图1,在△ABC中,AB=AC,BC=24,tan C=512,点P为BC边上一点,则点P与点A的最短距离为.如图2,连接AP,作∠APQ,使得∠APQ=∠B,PQ交AC于Q,则当BP=11时,AQ的长为.【答案】 5 2【分析】根据等腰三角形的三线合一性作BC边上的高AM,再根据三角函数值求出AM的长,根据垂线段最短即可得到点P到A的最短距离即为AM长;,根据等腰三角形的三线合一性即可得到BN的长,利用线段的和差求出PN的长,再根据三角函数值求出AN的长,利于勾股定理即可得到AP长和AC长,再证△APQ相似于△ACP,即可得到AQ长;【详解】解如图1,过点A作AM⊥BC,垂足为M,∵AB =AC ,AM ⊥BC ,∴BM =MC =12BC =12,又∵tan C =512∴tan B =512∴AM =BM ⋅tan B =12×512=5,根据点到直线的距离垂线段最短,可得点P 与点A 的最短距离为5;∴AB =AC =AM 2+BM 2=13,如图2,过点A 作AN ⊥BC ,在Rt △APN 中,PN =PC -CN =1,又AN =5,∴AP 2=PN 2+AN 2=26,在△APQ 与△ACP 中,∵∠APQ =∠C ,∠PAQ =∠CAP ,∴△APQ ∽△ACP ,∴AP AQ =AC AP∴AP 2=AQ ⋅AC ,∴AQ =2故答案为:5;2.【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形、锐角三角函数,相似三角形的性质和判定,综合性较强,熟练相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的意义以及直角三角形的边角关系是解题的关键.9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图,AC ,AD ,CE 是正五边形ABCDE 的对角线,AD 与CE 相交于点F .下列结论:①CF 平分∠ACD ; ②AF =2DF ; ③四边形ABCF 是菱形; ④AB 2=AD ⋅EF 其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)【答案】①③④【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系,然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质,菱形的判定依次证明即可.【详解】解:①∵正五边形ABCDE ,∴∠ABC =∠BCD =∠CDE =∠DEA =180°×5-35=108°,AB =BC =CD =DE =AE ,∴∠BAC =∠BCA =∠DAE =∠ADE =∠DCE =∠CED =180°-108°2=36°,∴∠ACE =108°-∠BCA -∠DCE =36°=∠DCE ,∴CF 平分∠ACD ;正确;②∵∠ACE =∠DEC =36°,∠DFE =∠AFC ,∴△DEF ∽△ACF ,∴DF AF =DEAC,∵DE =AB ,2AB >AC ,∴DF AF≠12,即AF ≠2DF ,故②错误;③∵∠BAC =∠ACE ,∠ABC +∠BAD =108°+36°+36°=180°,∴BC ∥AD ,AB ∥CE ,∴四边形ABCF 是平行四边形,∵AB =BC ,∴四边形ABCF 是菱形;正确;④∵∠CED=∠DAE=36°,∠EDF=∠ADE,∴△DEF∽△DAE,∴DEAD=EFAE,∴ED⋅AE=AD⋅EF,即AB2=AD⋅EF,正确;故答案为:①③④.【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质,熟练掌握运用这些知识点是解题关键.10(2020·广东广州·统考中考真题)如图,正方形ABCD中,ΔABC绕点A逆时针旋转到ΔAB C ,AB ,AC 分别交对角线BD于点E,F,若AE=4,则EF⋅ED的值为.【答案】16【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明△AEF∼△DEA,利用相似的性质即可得出答案.【详解】解:在正方形ABCD中,∠BAC=∠ADB=45°,∵ΔABC绕点A逆时针旋转到ΔAB C ,∴∠B AC =∠BAC=45°,∴∠EAF=∠ADE=45°,∵∠AEF=∠AED,∴△AEF∼△DEA,∴AEDE =EFAE,∴EF•ED=AE2=42=16.故答案为:16.【点睛】本题考查了正方形的性质,旋转的性质,相似三角形的判定及性质,掌握正方形的性质,旋转的性质,相似三角形的判定及性质是解题的关键.11(2021·四川南充·中考真题)如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC=3AB=3BD,则AD:AC的值为.【答案】3 3.【分析】证明△ABD∽△CBA,根据相似三角形的性质即可解答.【详解】∵BC=3AB=3BD,∴ABBC=13=33,BDAB=33,∴ABBC=BDAB=33,∵∠B=∠B,∴△ABD∽△CBA,∴ADAC =BDAB=33.故答案为:33.【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质,证明△ABD∽△CBA是解决问题的关键.12(2022·四川宜宾·九年级期末)如图,在△ABC中,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=AB,∠DEC=∠B.(1)求证:△AED∽△ADC;(2)若AE=1,EC=3,求AB的长.【答案】(1)见解析;(2)2【分析】(1)利用三角形外角的性质及∠DEC =∠ADB 可得出∠ADE =∠C ,结合∠DAE =∠CAD 即可证出△AED ∽△ADC ;(2)利用相似三角形的性质可求出AD 的长,再结合AD =AB 即可得出AB 的长.【详解】解:(1)证明:∵∠DEC =∠DAE +∠ADE ,∠ADB =∠DAE +∠C ,∠DEC =∠ADB ,∴∠ADE =∠C .又∵∠DAE =∠CAD ,∴△AED ∽△ADC .(2)∵△AED ∽△ADC ∴AD AC =AE AD ,即AD 1+3=1AD,∴AD =2或AD =-2(舍去).又∵AD =AB ,∴AB =2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是:(1)利用“两角对应相等,两三角形相似”证出△AED ∽△ADC ;(2)利用相似三角形的性质,求出AD 的长.13(2022·江苏盐城·中考真题)如图,在△ABC 与△A B C 中,点D 、D 分别在边BC 、B C 上,且△ACD ∽△A C D ,若,则△ABD ∽△A B D .请从①BD CD =B D C D ;②AB CD =A BC D;③∠BAD =∠B A D 这三个选项中选择一个作为条件(写序号),并加以证明.【答案】见解析.【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可.【详解】解:若选①BD CD =B DC D,证明:∵△ACD ∽△A C D ,∴∠ADC =∠A D C ,AD A D =CDC D,∴∠ADB =∠A D B ,∵BD CD =B DC D ,∴BD B D =CD C D ,∴AD A D =BD B D ,又∠ADB =∠A D B ,∴△ABD ∽△A B D .选择②BA CD =B AC D,不能证明△ABD ∽△A B D .若选③∠BAD =∠B A D ,证明:∵△ACD ∽△A C D ,∴∠ADC =A D C ,∴∠ADB =∠A D B ,又∵∠BAD =∠B A D ,∴△ABD ∽△A B D .【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,解题的关键是掌握相似三角形的判定方法.14(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD 是斜边BC 上的高.(1)证明:△ABD ∽△CBA ;(2)若AB =6,BC =10,求BD 的长.【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°,根据等角的余角相等,得出∠BAD =∠C ,结合公共角∠B =∠B ,即可得证;(2)根据(1)的结论,利用相似三角形的性质即可求解.【详解】(1)证明:∵∠BAC =90°,AD 是斜边BC 上的高.∴∠ADB =90°,∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°,∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B ∴△ABD ∽△CBA ,(2)∵△ABD ∽△CBA ∴AB CB =BDAB,又AB =6,BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.15(2023·宁夏·统考中考真题)综合与实践问题背景:数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形,对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.探究发现:如图1,在△ABC 中,∠A =36°,AB =AC .(1)操作发现:将△ABC 折叠,使边BC 落在边BA 上,点C 的对应点是点E ,折痕交AC 于点D ,连接DE ,DB ,则∠BDE =°,设AC =1,BC =x ,那么AE =(用含x 的式子表示);(2)进一步探究发现:底BC 腰AC =5-12,这个比值被称为黄金比.在(1)的条件下试证明:底BC 腰AC=5-12;拓展应用:当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时,这个三角形叫黄金三角形.例如,图1中的△ABC 是黄金三角形.如图2,在菱形ABCD 中,∠BAD =72°,AB =1.求这个菱形较长对角线的长.【答案】(1)72°,1-x (2)证明见解析,拓展应用:5+12【分析】(1)利用等边对等角求出∠ABC ,∠ACB 的长,翻折得到∠ABD =∠CBD =12∠ABC ,∠BDC =∠BDE ,BC =BE ,利用三角形内角和定理求出,∠BDC ,AE =AB -BE =AB -BC ,表示出AE 即可;(2)证明△BDC ∽△ABC ,利用相似比进行求解即可得出底BC 腰AC=5-12;拓展应用:连接AC ,延长AD 至点E ,使AE =AC ,连接CE ,得到△ACE 为黄金三角形,进而得到CEAC=5-12,求出AC 的长即可.【详解】解:(1)∵∠A =36°,AB =AC ,∴∠ABC =∠C =12180°-36° =72°,∵将△ABC 折叠,使边BC 落在边BA 上,∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =36°,∠BDC =∠BDE ,BC =BE =x ,∴∠BDC =∠BDE =180°-∠CBD -∠C =72°,AE =AB -BE =AB -BC =1-x ;故答案为:72°,1-x ;(2)证明:∵∠BDC =72°=∠C ,∴BD =BC =x ,∵∠A =∠CBD =36°,∠C =∠C ,∴△BDC ∽△ABC ,∴BC AC=CDBC ,∵∠ABD =∠CBD =∠A =36°,∴AD =BD =BC =x ,∴CD =1-x ,∴x 1=1-xx ,整理,得:x 2+x -1=0,解得:x =5-12(负值已舍掉);经检验x =5-12是原分式方程的解.∴底BC腰AC=5-12;拓展应用:如图,连接AC ,延长AD 至点E ,使AE =AC ,连接CE ,∵在菱形ABCD 中,∠BAD =72°,AB =1,∴∠CAD =∠ACD =36°,CD =AD =1,∴∠EDC =∠DAC +∠ACD =72°,∠ACE =∠AEC =12180°-∠DAC =72°,∴∠EDC =∠AEC ,∴CE =CD =1,∴△ACE 为黄金三角形,∴CE AC =5-12,∴AC =25-1=5+12.即菱形的较长的对角线的长为5+12.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质,菱形的性质,相似三角形的判定和性质.解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义,利用相似三角形的判定和性质,得到黄金三角形的底边与腰长的比为5-12.16(2023·广东·九年级专题练习)定义:如图,若点P 在三角形的一条边上,且满足∠1=∠2,则称点P 为这个三角形的“理想点”.(1)如图①,若点D 是△ABC 的边AB 的中点,AC =22,AB =4,试判断点D 是不是△ABC 的“理想点”,并说明理由;(2)如图②,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =5,AC =4,若点D 是△ABC 的“理想点”,求CD 的长.【答案】(1)D 为△ABC 的理想点,理由见解析(2)125或94【分析】(1)由已知可得AC AD =ABAC,从而ΔACD ∽ΔABC ,∠ACD =∠B ,可证点D 是ΔABC 的“理想点”;(2)由D 是ΔABC 的“理想点”,分三种情况:当D 在AB 上时,CD 是AB 边上的高,根据面积法可求CD 长度;当D 在AC 上时,ΔBDC ∽ΔABC ,对应边成比例即可求CD 长度;D 不可能在BC 上.(1)解:点D 是ΔABC 的“理想点”,理由如下:∵D 是AB 中点,AB =4,∴AD =BD =2,AD ⋅AB =8,∵AC =22,∴AC 2=8,∴AC 2=AD ⋅AB ,∴AC AD =ABAC,∵∠A =∠A ,∴ΔACD ∽ΔABC ,∴∠ACD =∠B ,∴点D 是ΔABC 的“理想点”;(2)①D 在AB 上时,如图:∵D 是ΔABC 的“理想点”,∴∠ACD =∠B 或∠BCD =∠A ,当∠ACD =∠B 时,∵∠ACD +∠BCD =90°,∴∠BCD +∠B =90°,∴∠CDB =90°,即CD 是AB 边上的高,当∠BCD =∠A 时,同理可证∠CDB =90°,即CD 是AB 边上的高,在Rt ΔABC 中,∠ACB =90°,AB =5,AC =4,∴BC =AB 2-AC 2=3,∵S ΔABC =12AB ⋅CD =12AC ⋅BC ,∴CD =125,②∵AC =4,BC =3,∴AC >BC 有∠B >∠A ,∴ “理想点” D 不可能在BC 边上,③D 在AC 边上时,如图:∵D 是ΔABC 的“理想点”,∴∠DBC =∠A ,又∠C =∠C ,∴ΔBDC ∽ΔABC ,∴CD BC =BC AC,即CD 3=34,∴CD =94,综上所述,点D 是ΔABC 的“理想点”,CD 的长为125或94.【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识,解题的关键是理解“理想点”的定义.17(2022·江西·统考中考真题)如图,四边形ABCD 为菱形,点E 在AC 的延长线上,∠ACD =∠ABE .(1)求证:△ABC ∽△AEB ;(2)当AB =6,AC =4时,求AE 的长.【答案】(1)见解析(2)AE =9【分析】(1)根据四边形ABCD 是菱形,得出CD ∥AB ,AB =CB ,根据平行线的性质和等边对等角,结合∠ACD =∠ABE ,得出∠ACD =∠ABE =∠CAB =∠ACB ,即可证明结论;(2)根据ΔABC ∽ΔAEB ,得出AB AE =ACAB,代入数据进行计算,即可得出AE 的值.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD 为菱形,∴CD ∥AB ,AB =CB ,∴∠ACD =∠CAB ,∠CAB =∠ACB ,∵∠ACD =∠ABE ,∴∠ACD =∠ABE =∠CAB =∠ACB ,∴ΔABC ∽ΔAEB .(2)∵ΔABC ∽ΔAEB ,∴AB AE =AC AB ,即6AE=46,解得:AE =9.【点睛】本题主要考查了菱形的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,三角形相似的判定和性质,根据题意得出∠ACD =∠ABE =∠CAB =∠ACB ,是解题关键.18(2022·湖北武汉·校考模拟预测)已知,点D 在△ABC 的边BC 上,连接AD .(1)如图1,若∠BAD =∠C .求证:BA 2=BD ⋅BC ;(2)如图2,若AD ⊥BC ,BD =5,CD =3,tan ∠BAC =43.求线段AD 的长;(3)如图3,M 、N 分别是AC 、AB 上的两点,连接MN 交AD 于点P ,当AB =AC ,BD :BA :BC =2:5:6时,若∠APN =∠C ,直接写出MPMN的值.【答案】(1)证明见解析;(2)3+26(3)5051【分析】(1)先证明△ABD ∽△CBA ,再根据相似三角形的性质,即可证明结论;(2)延长BC 至点E ,使得∠AEB =∠BAC ,连接AE ,根据三角函数值,设AD =4x ,DE =3x ,进而得到AB 2=16x 2+25,BE =5+3x ,BC =8,证明△ABC ∽△EBA ,得出AB 2=BC ⋅BE ,从而得到关于x 的一元二次方程,解方程即可得到线段AD 的长;(3)过点C 作CF ∥MN 交AB 于点F ,交AD 于点K ,过点D 作DH ∥AB 交CF 于点H ,过点A 作AG ⊥BC 于点G ,设BD =2a ,AB =AC =5a ,BC =6a ,利用勾股定理,得到AG =4a ,AD =17a ,证明△ACD ∽△CKD ,得出CD 2=AD ⋅DK ,进而得到DK =161717a ,AK =1717a ,再证明△AKF ∽△DKH ,△CDH ∽△CBF ,得到KH KF =16,CH CF =23,进而得出CK CF =5051,最后证明△ANM ∽△AFC ,△APM ∽△AKC ,得出MN CF =MP CK,即可求出MP MN 的值.【详解】(1)证明:∵∠BAD =∠C ,∠ABD =∠ABC ,∴△ABD ∽△CBA ,∴BA BC =BD BA,∴BA 2=BD ⋅BC ;(2)解:如图,延长BC 至点E ,使得∠AEB =∠BAC ,连接AE ,∵tan ∠BAC =43,AD ⊥BC ,∴tan ∠AEB =AD DE =43,设AD =4x ,DE =3x ,∵BD =5,CD =3,∴AB 2=AD 2+BD 2=4x 2+52=16x 2+25,BE =BD +DE =5+3x ,BC =BD +CD =8,∵∠ABC =∠ABE ,∠AEB =∠BAC ,∴△ABC ∽△EBA ,∴BC AB=AB BE ,∴AB 2=BC ⋅BE ,∴16x 2+25=85+3x ,解得:x 1=3+264,x 1=3-264(舍),∴AD =4x =3+26;(3)解:如图,过点C 作CF ∥MN 交AB 于点F ,交AD 于点K ,过点D 作DH ∥AB 交CF 于点H ,过点A 作AG ⊥BC 于点G ,。
初中数学 几何证明题的知识点总结

几何证明题的知识点总结知识点:一、线段垂直平分线(中垂线)性质定理及其逆定理:定理:线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
MPA BN二、角平分线的性质定理及其逆定理:定理:在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理:在一个角的内部(包括顶点)且到这个角两边距离相等的点,定在这个角的平分线上。
三、相交线、平行线1、对顶角相等2、平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行(2)内错角相等,两直线平行(3)同旁内角互补,两直线平行3、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等(2)两直线平行,内错角相等(3)两直线平行,同旁内角互补(4)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行四、三角形 1、等腰三角形(1)等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角平分线所在的直线 (2)等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,这个三角形就是等腰三角形(简称为“等角对等边”) 2、RT 的性质定理:(1)RT 的两个锐角互余。
(2)在RT 中,斜边上的中线等于斜边的一半。
推论:(1)在RT 中,如果一个锐角等于30度,那么这个角所对的边等于斜边的一半。
(2)在RT 中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30度。
2、勾股定理在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方即:c b a222=+3、三角形中位线定理:三角形两边中点连线平行于第三边,且等于第三遍的一半。
4、全等三角形的判定定理(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) (2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) (3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) (4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)(5)直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、全等三角形的性质(1)全等三角形的对应角相等(2)全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线相等五、平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质定理:(1)平行四边形的对边相等(推论:夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等) (2)平行四边形的对角相等(3)平行四边形的两条对角线互相平分(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点 判定定理:(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形. (3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形. (5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.六、矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 性质:(1)矩形的四个角都是直角(2)矩形的对角线相等判定定理:(1)有三个内角是直角的四边形是矩形(2)对角线相等的平行四边形是矩形七、菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质:(1)菱形的四条边都相等(2)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角判定定理:(1)四边都相等的四边形是菱形.(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.八、正方形定义:有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形性质:(1)正方形的四个角都是直角,四条边都相等.(2)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.判定定理:(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义,途径有两种:①先证它是矩形,再证它有一组邻边相等.②先证它是菱形,再证它有一个角为直角.(2)判定正方形的一般顺序:①先证明它是平行四边形;②再证明它是菱形(或矩形);③最后证明它是矩形(或菱形)九、(等腰)梯形梯形定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形等腰梯形性质:(1)等腰梯形两腰相等、两底平行.(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.等腰梯形判定定理:(1)两腰相等的梯形是等腰梯形.(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
初中数学几何证明题的答题技巧

初中数学几何证明题的答题技巧一要审题。
很多学生在把一个题目读完后,还没有弄清楚题目讲的是什么意思,题目让你求证的是什么都不知道,这非常不可取。
我们应该逐个条件的读,给的条件有什么用,在脑海中打个问号,再对应图形来对号入座,结论从什么地方入手去寻找,也在图中找到位置。
二要记。
这里的记有两层意思。
第一层意思是要标记,在读题的时候每个条件,你要在所给的图形中标记出来。
如给出对边相等,就用边相等的符号来表示。
第二层意思是要牢记,题目给出的条件不仅要标记,还要记在脑海中,做到不看题,就可以把题目复述出来。
三要引申。
难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来,所以我们要会引申,那么这里的引申就需要平时的积累,平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固,平时训练的一些特殊图形要熟记,在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论,然后在图形旁边标注,虽然有些条件在证明时可能用不上,但是这样长期的积累,便于以后难题的学习。
四要分析综合法。
分析综合法也就是要逆向推理,从题目要你证明的结论出发往回推理。
看看结论是要证明角相等,还是边相等,等等,如证明角相等的方法有(1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。
)结合题意选出其中的一种方法,然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件,把题目转换成证明其他的结论,通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现,这时再把这些条件综合在一起,很条理的写出证明过程。
五要归纳总结。
很多同学把一个题做出来,长长的松了一口气,接下来去做其他的,这个也是不可取的,应该花上几分钟的时间,回过头来找找所用的定理、公理、定义,重新审视这个题,总结这个题的解题思路,往后出现同样类型的题该怎样入手。
以上是常见证明题的解题思路,当然有一些的题设计的很巧妙,往往需要我们在填加辅助线,分析已知、求证与图形,探索证明的思路。
对于证明题,有三种思考方式:(1)正向思维。
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目录1、考点总分析2、知识点讲解3、出题的类型4、解题思路5、相关练习题几何证明题专题本题的主要知识点(中考中第3道,分值为8分)七年级上第4章几何图形初步七年级下第5章相交线与平行线八年级上第11章三角形第12章全等三角形第13章轴对称八年级下第17章勾股定理第18章平行四边形九年级上第23章旋转第24章圆九年级下第27章相似第28章投影与视图1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法:(1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决;(2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止;(3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。
3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。
几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力,能通过严密的"因为"、"所以"逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。
这类题目出法相当灵活,不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法,而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。
所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。
知识结构图0160160⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪==⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨⎩”’”直线:两点确定一条直线线射线:线段:两点之间线段最短,(点到直线的距离,平行线间的距离)角的分类:锐角、直角、钝角、平角、周角.角的度量与比较:, ;角余角与补角的性质:同角的余角(补角)相等,等角的余角(补角)相等,角的位置关系:同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角对顶角:对顶角相等.相交线几何初步垂线:定义,垂直的判定,垂线段最短.平行⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线线性质:两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补;同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,两直线平行判定:平行于同一条直线的两条直线平行平面内,垂直于同一条直线的两直线平行1C S 20.⎧⎨⎩⎧⎪⎨⨯⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩按边分类:不等边三角形、等腰三角形、等边三角形分类按角分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;边面积与周长:=a+b=c ,=底高.三角形的内角和等于18度,外角和等于360度;角三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和;三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角中线:一条中线平分三角形的面积一般三角形角线段三角形.⎧⎪⎨⎪⎩性质:角平分线上的点到角两边的距离相等;平分线判定:到角两边的距离相等的点在角的平分线上内心:三角形三条角平分线的交点,到三边距离相等.高:高的作法及高的位置(可以在三角形的内部、边上、外部)中位线:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;中垂线判定:到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.外心:三角形三边垂直平分线的交点.60.6060⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎧⎨⎩,到三个顶点的距离相等等腰三角形的两腰相等、两底角相等,具有三线合一性质,是轴对称图形性质等边三角形的三边上均有三线合一,三边相等,三角形等都为度有两边相等的三角形是等腰三角形;等腰三角形有两角相等的三角形是等腰三角形;判定有一个角为度的等腰三角形是等边三角形;有两个角是度的三角02220.30C 90.⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪=⎩形是等边三角形一个角是直角或两个锐角互余;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;性质直角三角形中,的锐角所对的直角边等于斜边的一半;勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的平方.直角三角形证一个角是直角或两个角互余;判定有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形;勾股定理的逆定理:若a +b =c ,则∠.ASA SAS AAS SSS HL ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩全等三角形的对应边相等,对应角相等,周长、面积也相等;性质全等三角形全等三角形对应线段(角平分线、中线、高、中位线等)相等判定:,,,,.00.⋅⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩多边形:多边形的内角和为(n-2)180,外角和为360定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.直角梯形性质:两腰相等、对角线相等,同一底上的两角相等.梯形特殊梯形两腰相等的梯形是等腰梯形;等腰梯形判定对角线相等的梯形是等腰梯形;同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形;两组对边分别平性质:平行四边形的平行四边形四边形...⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎩行且相等两组对角分别相等两条对角线互相平分两组对边分别平行一组对边平行且相等判定:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等对角线互相平分共性:具有平行四边形的所有性质性质个性:对角线相等,四个角都是直角矩形先证平行四边形,再证有一个直角;判定先证平行四边形,再证对角线相等;三个角是直角的四边形是矩形....1S=2⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪→→⎧⎨⎨⎪→→⎩⎩+共性:具有平行四边形的所有性质性质个性:对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角,四条边相等菱形先证平行四边形,再证对角线互相垂直;判定先证平行四边形,再证一组邻边相等;四条边都相等的四边形是菱形性质:具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质正方形证平行四边形矩形正方形判定证平行四边形菱形正方形梯形:(上底下底面积求法S=S S S ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⨯⨯⎪⎪⎪⎪⨯⎪⎪⎨=⨯⎪⎪⎪⎪⨯⎪⎪⎪=⨯⎩⎩)高=中位线高平行四边形:底高矩形:长宽菱形:=底高=对角线乘积的一半正方形:边长边长=对角线乘积的一半⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩点在圆外:d >r 点与圆的三种位置关系点在圆上:d =r 点在圆内:d <r 弓形计算:(弦、弦心距、半径、拱高)之间的关系圆的轴对称性定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧垂径定理推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分线所对的弧在同圆或等圆中,两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、五组量的关系:两条弦心距中有一组量相等,则其余的各组两也分别圆的中心对称性圆009090AB CD P PA PA PC PD..⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪=⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩g g 相等.同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半;圆周角与圆心角半圆(或直径)所对的圆周角是;的圆周角所对的弦是直径,所对的弧是半圆.相交线定理:圆中两弦、相交于点,则圆中两条平行弦所夹的弧相等相离:d >r 直线和圆的三种位置关系相切:d =r(距离法)相交:d <r 性质:圆的切线垂直圆的切线直线和圆的位置关系2PA PB PO APB PA PC PD.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩g 于过切点的直径(或半径)判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.弦切角:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角切线长定理:如图,=,平分∠切割线定理:如图,外心与内心:相离:外离(d >R+r ),内含(d <R-r )圆和圆的位置关系相切:外切(d=R+r ),内切(d=R-r )相交:R-r <d <R+r )圆的有关计算22n n 2360180n 1S 36021S 2(2S l r r r l r r l rl r l r rl πππππππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪==⎪⎪⎪⎪⎪==⋅⋅⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⋅⋅=⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎩⎩弧长弧长侧全弧长公式:扇形面积公式:圆锥的侧面积:为底面圆的半径,为母线)圆锥的全面积:⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩①轴对称指两个图形之间的关系,它们全等②对应点的连线段被对称轴垂直平分轴对称(折叠)③对应线段所在的直线相交于对称轴上一点(或平行)轴对称④图形折叠后常用勾股定理求线段长①指一个图形轴对称图形②轴对称图形被对称轴分成的两部分全等①平移前后两个图形全等②平移前后对应点的连线段相等且平行(或共线)平 移③平移前后的对应角相等,对应线段相等且平行(或图形的变化⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨⎩共线)④平移的两个要素:平移方向、平移距离①旋转前后的两个图形全等②旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等,且它们的夹角等于旋转角旋 转③旋转前后对应角相等,对应线段相等④旋转的三要素:旋转中心、旋转方向、旋转角①大小、比例要适中视图的画法②实线、虚线要画清平行投影:平行光线下的投影,物体平行影子平行或共线视图与投影中心投影:点光源射出的光线下的投影,影子不平投影2.........0)...AB C AC BC AC BC AC BC AB a c ad bc b d a c a b c d b d b d a c m a b m k k b d n b d n b d n ⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧=⇔=⎪⎪±±⎪=⇒=⎨⎪+++⎪====⇒=+++⎪+++⎩g 行视点、视线、盲区投影的计算:画好图形,相似三角形性质的应用基本性质:比例的性质合比性质:等比性质:,(条件≠黄金分割:线段被点分成、两线段(>),满足=, 相似形C AB ⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩ 则点为的一个黄金分割点性质:相似多边形的对应边成比例、对应角相等相似多边形判定:全部的对应边成比例、对应角相等①对应角相等、对应边成比例性质②对应线段(中线、高、角平分线、周长)的比等于相似比③面积的比等于相似比的平方①有两个角相等的两个三角形相似相似图形②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似相似三角形判定③三边对应成比例的两个三角形相似④有一条直角边与0222Rt ABC C 90CD AB AC AD AB BC BD AB CD AD BD ⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪=⋅⎪⎪⎪⎪⋅⋅⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨斜边对应成比例的两个直角三角形相似射影定理:在△中,∠,⊥,则=, =,=(如图)①位似图形是一种特殊的相似图形,具有相似图形的一切性质位似图形②位似图形对应点所确定的直线过位似中心③通过位似可以将图形放大或缩小⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩中考中主要考试的类型一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。