计算方法习题第一、二章答案

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第一章 误差

1 问,,7

22分别作为π的近似值各具有几位有效数字?

分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π= 592 65… 记x 1=,x 2=,x 3=7

22.

由π- x 1= 59…= 40…知

34111

10||1022

x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。

由π- x 2= 59…= 59…知

223102

1||1021--⨯≤-<⨯x π

因而x 2具有3位有效数字。

由π-7

22= 59 … 85…= 26…知

23102

1|722|1021--⨯≤-<⨯π

因而x 3具有3位有效数字。

2 已知近似数x*有两位有效数字,试求其相对误差限。 分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。

解 利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a 1是1到9之间的数字。

%5101

211021|*||

*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n r

a x x x x ε

3 已知近似数的相对误差限为%,问x*至少有几位有效数字?

分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。 解 a 1是1到9间的数字。

1112*10)

1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<

=a x r ε 设x*具有n 位有效数字,令-n+1=-1,则n=2,从而x*至少具有2位有效数字。

4 计算,问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于%。 分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。 解 设取n 位有效数字,由=…,故a 1=9。

411

*10%01.01021|*||

*||)(-+-=≤⨯≤-=

n r a x x x x ε

解不等式411

101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。

5 计算760

17591-,视已知数为精确值,用4位浮点数计算。

解 =-760

17591 8×10-2-0.131 6×10-2=×10-5

结果只有一位有效数字,有效数字大量损失,造成相对误差的扩大,若通分后再计算:

56101734.010

5768.01760759176017591-⨯=⨯=⨯=- 就得到4位有效数字的结果。 此例说明,在数值计算中,要特别注意两相近数作减法运算时,有效数字常会严重损失,遇到这种情况,一般采取两种办法:第一,应多留几位有效数字;第二,将算式恒等变形,然后再进行计算。例如,当x 接近于0,计算x

x sin cos 1-时,应先把算式变形为

x

x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 1sin cos 12+=+-=-

再计算。又例如,当x 充分大时,应作变换

x

x x x ++=

-+111

)

1(1111+=+-x x x x 6 计算6)12(-=a ,取4.12≈,采用下列算式计算: (1)

6

)12(1+; (2)27099-; (3)3)223(-; (4)

3

)223(1+. 问哪一个得到的结果最好?

解 显然

6

66

66

)12(1)12()12()12()12(+=++-=-=a []27099)223()12()12(33

26-=-=-=-

[]33266)223(1)12(1)12(1)12(+=+=+=

-

所以(1)≡(2)≡(3)≡(4),这4个算式是恒等的,但当取4.12≈计算时,因为(2),

(3)都涉及到两个相近数相减,使有效数字损失,而(1)在分母算式上的乘幂数比算式(4)大,所以算式(4)最好,事实上,当取4.12≈时,有|△x|<,再由)(x f 的误差

|||)4.1(||)()(x f x f x x f ∆'≈-∆+也可直接估计出每个算式的误差,显然,算式(4)误差最

小。

具体计算可行: (1)

36102.5)

12(1-⨯≈+; (2)0.127099≈- (3)33100.8)223(-⨯≈-; (4)

33101.5)

223(1-⨯≈+. 比较可得用第(4)个算式所得的结果更接近于a 。

7 求二次方程x 2-(109+1)x+109

=0的根。

解 由于x 2-(109+1)x+109=(x-109

)(x-1),所以方程的两个根分别为

x 1=109

,x 2=1

但如果应用一般二次方程ax 2

+bx+c=0的求根公式:

a

ac

b b x 2422,1-±-=

由于当遇到b 2

>>4|ac|的情形时,有ac b b 4||2-≈,则用上述公式求出的两个根中,总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠,如本例若在能将规格化的数表示到小

数点后8位的计算机上进行计算,则-b=109+1=×1010+ 000 0001×1010

,由于第二项最后两

位数“01”在机器上表示不出来,故它在上式的计算中不起作用,即在计算机运算时,-b=109

.

通过类似的分析可得

9210||4=≈-b ac b

所以,求得的两个根分别为

99

921102101024=+≈-+-=

a ac

b b x 02

1010249

922=+≈---=

a ac

b b x 显然,根x 2是严重失真的。

为了求得可靠的结果,可以利用根与系数的关系式:a

c x x =21,在计算机上采用如下

公式:

a

ac

b b b x 24)sgn(21---=

1

2ax c x =

其中,sgn (b )是b 的符号函数,当b ≥0时sgn (b )=1;当b<0时,sgn (b )=-1。显然,上述求根公式避免了相近数相减的可能性。

8 当N 充分大时,如何计算

++=1

11N N

dx x

I 分析 函数

2

11x +的原函数已知,我们自然考虑用Newton-Leibniz 公式求这个定积分的值。由于N 很大,这样会遇到两个相近的数相减,因此,应采用一些变换公式来避免这种

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