C语言迭代法详细讲解
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迭代法
迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法),即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行,在每次执行这组指令(或这些步骤)时,都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题,需要做好以下三个方面的工作:
一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式,指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键,通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况:一种是所需的迭代次数是个确定的值,可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况,可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况,需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
例 1 :一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子,这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子,新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去,问到第12 个月时,该饲养场共有兔子多少只?
分析:这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为u 1 ,第 2 个月时兔子的只数为u 2 ,第 3 个月时兔子的只数为u 3 ,……根据题意,“这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子”,则有u 1 = 1 ,u 2 =u 1 +u 1 × 1 = 2 ,u 3 =u 2 +u 2 × 1 =4 ,……
根据这个规律,可以归纳出下面的递推公式:
u n =u n - 1 × 2 (n ≥ 2)
对应u n 和u n - 1 ,定义两个迭代变量y 和x ,可将上面的递推公式转换成如下迭代关系:
y=x*2
x=y
让计算机对这个迭代关系重复执行11 次,就可以算出第12 个月时的兔子数。参考程序如下:
cls
x=1
for i=2 to 12
y=x*2
x=y
next i
print y
end
例 2 :阿米巴用简单分裂的方式繁殖,它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内,45 分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴220,220个。试问,开始的时候往容器内放了多少个阿米巴?请编程序算出。
分析:根据题意,阿米巴每 3 分钟分裂一次,那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面,到45 分钟后充满容器,需要分裂45/3=15 次。而“容器最多可以装阿米巴2^ 20 个”,即阿米巴分裂15 次以后得到的个数是2^20 。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数,不妨使用倒推的方法,从第15 次分裂之后的2^20 个,倒推出第15 次分裂之前(即第14 次分裂之后)的个数,再进一步倒推出第13 次分裂之后、第12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。
设第 1 次分裂之前的个数为x 0 、第 1 次分裂之后的个数为x 1 、第 2 次分裂之后的个数为x 2 、……第15 次分裂之后的个数为x 15 ,则有x 14 =x 15 /2 、x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1)
因为第15 次分裂之后的个数x 15 是已知的,如果定义迭代变量为x ,则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式:
x=x/2 (x 的初值为第15 次分裂之后的个数2^20 )
让这个迭代公式重复执行15 次,就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值,我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下:
cls
x=2^20
for i=1 to 15
x=x/2
next i
print x
end
ps:java中幂的算法是Math.pow(2, 20);返回double,稍微注意一下
例 3 :验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象:对于任意一个自然数n ,若n 为偶数,则将其除以 2 ;若n 为奇数,则将其乘以 3 ,然后再加 1 。如此经过有限次运算后,总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。
要求:编写一个程序,由键盘输入一个自然数n ,把n 经过有限次运算后,最终变成自然数 1 的全过程打印出来。
分析:定义迭代变量为n ,按照谷角猜想的内容,可以得到两种情况下的迭代关系式:当n 为偶数时,n=n/2 ;当n 为奇数时,n=n*3+1 。用QBASIC 语言把它描述出来就是:
if n 为偶数then
n=n/2
else
n=n*3+1
end if
这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次,才能使迭代变量n 最终变成自然数 1 ,这是我们无法计算出来的。因此,还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求,不难看出,对任意给定的一个自然数n ,只要经过有限次运算后,能够得到自然数 1 ,就已经完成了验证工作。因此,用来结束迭代过程的条件可以定义为:n=1 。参考程序如下:cls
input "Please input n=";n
do until n=1
if n mod 2=0 then
rem 如果n 为偶数,则调用迭代公式n=n/2
n=n/2
print "—";n;
else
n=n*3+1
print "—";n;
end if
loop
end
迭代法开平方:
#include
#include
void main()
{
double a,x0,x1;
printf("Input a:\n");
scanf("%lf",&a);//为什么在VC6.0中不能写成“scanf("%f",&a);”?
if(a<0)
printf("Error!\n");
else
{