等差数列前n项和

2012年高一数学春季班专题讲座 第4讲 等差数列及前N 项和（1）
【知识点归纳】
1、⑴数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式．
⑵求通项公式的方法:①观察法；②公式法：任意数列}{n a 满足{
11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥；
③作商法：12()n a a a f n = ，则(1),(1)()
,(2)(1)
n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩；④累加法：1()n n
a a f n +-=； ⑤累乘法：1
()n n
a f n a +=． 2、等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥． （2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-． （3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=
，1(1)
2
n n n S na d -=+
． （4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2
a b
A +=
． 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称
作为基本元素．只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2．
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 3、等差数列的性质：
（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公
差d ；前n 和211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列． （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
(4) 若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*
{}(,)p nq a p q N +∈、
232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }
n a 是等差数列.
（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，
21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:
(1):奇偶
S S k k
=+．
（6）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则21
21n n S a n -=
-.
(7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和．法一：由不等式组⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨
⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
*n N ∈．上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.
【典型例题】
例1
____________.
例2 已知ΔABC 的三个内角A 、B ．C 成等差数列，其外接圆半径为1，且有22
)cos(22sin sin =-+-C A C A ．
（1）求A 、B ．C 的大小； （2）求ΔABC 的的面积．
例3 ⑴已知*2
()156
n n
a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__________；
⑵数列}{n a 的通项为1
+=bn an
a n ，其中
b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为_____________；
⑶一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*
1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）
A B C D 例4 ⑴已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，则n a =__________________；
⑵数列{}n a 满足12
2111
25222n n
a a a n +++=+ ，则n a =__________________；
⑶数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2
321n a a a a n = ，则=+53a a ______________；
⑷已知数列{}n a 满足11a =，n
n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =_______________；
⑸已知数列{}n a 满足11a =，11
n n n a a n
-+=
(2)n ≥，则n a =__________________．
例5 ⑴首项为-24的等差数列，前n 项和中9S 最小，则公差的取值范围是___________________；
⑵等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝________________；
⑶等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 ；
⑷在等差数列中，11S ＝22，则6a ＝______；
⑸设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3
41
3-+=
n n T S n n ， 那么
=n
n
b a ___________ ．
例6 ⑴等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值．
⑵在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则( )
A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0
B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0
C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0
D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0
⑶若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 ．
例7 项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.
例8 已知数列 {}n a 的前n 项和2
12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .。