2122对数函数及其性质运算1

4x0 x4
由 x0
x0
0 x 1,或 1 x 4.
x1
x1
(5) 求函数 y lo0g.5(4x3)的定义域.
解：要使函数有意义,必有
4x-3>0, log0.5(4x-3)≥0.
4x>3,
即 4x-3≤1.
解得3x1. 4
所以所求函数的定义域为{x| 3 x 1 }.
4
例2.比较下列各组数中两个值的大小： (1) log23.4 , log28.5; ⑵ log0.31.8, log0.32.7; ⑶ loga5.1 , loga5.9 (a＞0,a≠1 ).
∴ 数log(如67＞1或lo0g7等6;),间接比较∴这lo两g3π个＞log20.8. 对数的大小.
(6)log750 log67 log54 log40.5
例3.已知定义域为R的奇函数f(x),当x＞0 时, f(x)=log3x,求f(x). 解：当x=0时,f(0) = 0;
当 x＜0 时,－x ＞0,
练习2： 已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1)
答案: (1) m < n (3) m > n
对数y函l数oaxg (a0 且 a1 ) 的性质的助记口诀:
三、连线（将所描的点用平滑的曲线连 接起来）
作y=log2x图像
列
x
1/4 1/2 1 2 4 …
表 y=log2x -2 -1 0 1 2 …
描 点
连 线
y
1
O
1
ylog2 x ylog3 x y log6 x
x y log 1 x y log61 x y log13 x
2
对数函数的图象与性质：
又f(x) 为奇函数,
∴ f(x)=－f(－x) =－log3(－x).
故f(x)
l o 0,
g3 x,
x 0, x 0,
l og3(x),x0.
函数
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
图像
定义域 值域 单调性
R+ R 增函数
过定点
（1，0）
趋 势 底数越大，图象越靠近 x 轴
0<x<1时，y<0 取值范围 x>1时，y>0
注: 例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况 对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
练习1:
比较下列各题中两个值的大小: ⑴ log106 ＜ log108 ⑵ log0.56 ＜ log0.54 ⑶ log0.10.5 ＞ log0.10.6 ⑷ log1.51.6 ＞ log1.51.4
练习：判断下列函数是否是对数函数？
1yloagx1 2y2loagx 3yloagx1 4yloxgx
5ylo(g2)x 6ya25a4loagx
对数函数图像的作法：
作对数图像的三个步骤：
一、列表（根据给定的自变量分别计算 出应变量的值）
二、描点（根据列表中的坐标分别在坐 标系中标出其对应点）
函数 底数
图象
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
a＞1
0＜a＜1
y
y
o
1
x
1
o
x
定义域 值域 定点
值分布
单调性 趋势
(0,+∞)
R (1,0) 当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数 底数越大,图象越靠近x轴
(0,+∞) R
(1,0) 当 x＞1 时，y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0 在( 0 , + ∞ )上是减函数 底数越小，图象越靠近x 轴
讲解范例 例1.求下列函数的定义域： (1)y = log a x 2
解 ： 由Βιβλιοθήκη Baidux2 0， 得 x 0.
所以函 y数 loagx2的定义x域 |x是 0.
(2) y = log a ( 4－x ) 定义域:(－∞, 4 )
(3) y = log a ( 9－x 2 ) 定义域: (－3, 3 ) (4) y = log x ( 4－x ) 定义域:( 0 , 1 )∪( 1 , 4 )
(2) m < n (4) m > n
例2.比较下列各组中两个值的大小: (4) log 67 , log 7 6 ; (5) log 3π, log 2 0.8 .
分析 : （1） log aa＝1
（2） log a1＝0
(1)解:∵注 :lo比g6较7＞两lo个g6对6＝数1,的(2大)解小:∵时lo,g可3π＞log31＝0, 在log两76个＜对log数77中＝间1, 插入一个l已og2知0.8＜log21＝0,
R+ R 减函数 （1，0）
底数越小，图象越靠近 x 轴
0<x<1时，y>0 x>1时，y<0
1.对数函数定义: y = log a x ( a＞0 且 a ≠1 ). 2.对数函数的图象与性质：
函数 底数
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
a＞1
0＜a＜1
y
y
图象
o
1
x
1
o
x
定义域 值域 定点
值分布
趋势 单调性
(0,+∞)
R
( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0
当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0
当 x＞1 时，y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0
底数越大，图象越靠近 x 轴 底数越小，图象越靠近 x 轴
在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数
在( 0 , + ∞ )上是减函数
分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大 于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1 哪个大,因此需要对底数a进行讨论:
解:①当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函 数,于是log a5.1＜log a5.9;
②当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 减函数,于是log a5.1＞log a5.9.
解：⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2＞1,
所以它在(0,+∞)上是增函数. 因为3.4<8.5,
于是log23.4＜log28.5;
⑵因为函数y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数, 且1.8<2.7,所以log 0.31.8＞log 0.32.7.
⑶ loga5.1 , loga5.9 ( a＞0 , a≠1 )