玻色统计和费米统计

3 玻色－爱因斯坦凝聚
（已做习题，汪书 6.1）
4 平衡辐射（光子气体） 4.1 平衡辐射的热力学理论（宏观处理）
4.1.1 定义 只要有温度的物体,都存在热辐射.一般而言,热辐射的 强度按频率的分布与辐射体的温度和性质有关. 热辐射：电磁波 描述电磁波的参数：波矢+极化方向 主要观测物理量： 热力学量：
kT T 3 3 = CV = Nk ( ) Nk 2 µ 2 TF
，所以在室温范围，金 属中自由电子对热容的贡献远小于经典理论值，与离子振 动的热容相比可以忽略不计.
• 注：
强简并条件
−µ kT
e
T << 1 ⇒ << 1 TF
• 定量计算：
aε =
1 e
α + βε
−1
由于粒子数不守恒 化学势 µ = 0 α = 0
1 aε =2
4.2.3 态密度 D(ε )d ε 或 D(ω )d ω ① 等能面： ε
⇒ p = const.
= const.
2 2 ⇒ px + py + pz2 = const.
② 等能面包含的微观状态数
Ω( E )
gdxdydzdpx dp y dpz 2 ( g 2) 2 E 3 ∫px2 + p2y= + pz = h c2 = 2V ∫ 2
E2 2 2 kx + k y + kz = 2 2 c
dk x dk y dk z 8π 3
3 3 V 4 V E π k = 3 2 3 E c π 4π 3 3 k= c
第八章 玻色统计和费米统计
两个例子 光子气体 1 ε n w(n + ) 考虑一个谐振子，其能级结构为 = 2 根据 Boltzmann 统计，处于温度 T 的平衡态的该谐振子， 处于能级 ε n 的概率为 1 − βε n 1 (β ) pn = e = Z1 kT 其中单粒子配分函数 Z1 为
• 温度升高时，只在 µ 附近数量级为 kT 的能量范围内占 据情况发生改变，只有在此范围内的电子对热容量有贡 献。可以据此估算电子气体的热容量:
N eff . ≈
kT
µ
N
利用能量均分定理，第一有效电子对热容的贡献 3 为 kT ，则自由电子对热容量的贡献为 2
T 1 ≈ 对铜的估计，室温范围 T 270 F
ε = 3kT
⇒U = 3 NkT
⇒ CV = 3 Nk = 3nR
在室温和高温范围与实验结果符合地很好， 在低温范围与实验结果存在较大偏差.
④ 爱因斯坦理论 原子之间相互独立，每一个振子都定域在其平衡位置附 近作振动，因此振子是可以分辨的，都遵从玻尔兹曼分 布. 由于每一个原子受力情况都一样，得 3N 个谐振子的 频率都相同.
3 D
ωD 称作德拜频率
D(ω )d ω = U 0 + B ∫
ωD
⇒ U = U0 + ∫
ωD
0
e
ω kT
ω −1
ω 3 e
ω kT
0
dω
−1
可推得，高温下热容量为 3Nk ； 3 低温下，热容量 CV ∝ T ，对于非金属固体与实验符 合，对于金属固体还要考虑自由电子对热容的贡献.
强简并条件：
Z1
e 2 e = ∑ − β ω e − 1 n =0
∞
1 − β ω ( n + ) 2
−
β ω
∂ ω 3 N ω ln Z1 = 3N ⇒U = −3 N + β ω 2 e −1 ∂β
∂U ω ⇒C = = V 3 Nk ∂ T kT V
以
ω 为自变量
⇒ Ω(ω ) = V 3π c
2 3
ω
3
于是在
ω
处的态密度为
d Ω(ω ) D(ω )d ω = dω dω V = 2 3 ω 2 dω π c
4.2.4 能量密度 ① 在
u (ω , T )
ω 处的光子数密度 n(ω , T )
= 1 eω / kT V 2 dω ω 2 3 −1 π c
1 = Z ∑ = e −x 1 − e n =0
' 1 − xn
∞
= f1' ln(1 − e − x )
∂f1' 1 e− x N = = = ∂x 1 − e − x e x − 1 1 = β w e −1
w ：光子的能量
对比玻色分布： al =
eα + βε l − 1
ωl
1 热力学量的统计表达式
u(ω, T ), u(T ), J (ω, T ), J (T )
U , S , G , p ,V
4.1.2 主要结论 • 平衡热辐射的特性将只取决于温度,与辐射体的 其他特性无关
u1 (ω , T ) = u2 (ω , T )
热力学理论只关注 •
u1 (T ) = u2 (T ) u(T )
4.4 光子气体的热力学函数
5 自由电子气体
① 微观粒子 晶格中的各个原子 ② 能级及自由度 每个原子有三个自由度，可看作三个振子的振动. 振子的能级为
1 ε n =ω (n + ) n =0,1, 2, 2
③ 能量均分定理的简单应用 原子之间相互独立，是定域系统，用 Boltzmann 统计. 由能量均分定理，每个原子的平均简谐振动 的能量为
−µ α= − µβ = kT
配分函数取为
2 弱简并理想玻色气体和费米气体
本节以分子的平动自由度为例，讨论弱简并条件 （ 或 虽小但不可忽略）下的玻色气体 和费米气体的性质，为方便起见，我们将两种气 体的性质同时讨论.
其中 g 是由于粒子可能具有的自旋而引进的简并度。 考虑到平动自由度的能级是准连续的，求和可以用 积分来近似，于是系统的总分子数为
压强与能量密度的关系(实验或统计物理得到)
p =u/3
• 内能
U (T ,V ) = u(T )V
⇒u = aT
• 熵
4
⇒S= (4 / 3)aVT 3
• 吉布斯函数
光子的化学势为0！
•
通量密度
J = (1 / 4)cu
4.2 平衡辐射的统计物理理论
目的：求能量密度 4.2.1 微观粒子的定义
2
e (e
ω kT
ω kT
− 1) 2
高温下与利用能量 均分定理得到结果一 致；低温下当 T0 时， Cv 0 ，与实验结果 能定性符合.
⑤ 德拜理论 固体中相邻原子间的距离很小（10^-10 量级），原子的 存在很强的相互作用. 通过线性变换可以将能量写成简正坐标和动量的平方和 的形式，共有 3N-6 个简正振动，N 很大时，可以近似 认为有 3N 个简正振动. 德拜将固体看作弹性媒介， 3N 个简正振动是弹性媒质 的波动，固体上任意的弹性波都可以分解为 3N 个简正 振动的叠加. 弹性波有纵波和横波两种，用 cl 和 ct 分别 表示纵波和横波的传播速度，按照推导平衡辐射频谱的 方法可以得到在 范围内简正振动数为
n(ω , T )d ω = aω D(ω )d ω
② 能量密度
u (ω , T )
V ω 3 = 2 3 ω / kT π c e −1
u (ω , T ) = ω n(ω , T )
ω 3 V u(ω , T ) = 2 3 ω / kT π c e −1
4.3 有关平衡辐射的经典公式 ——从普朗克公式出发
Z1 = ∑ e − βε n
n =0 ∞
如果用产生—湮灭算符 (creator-annihilator) 来描述该谐 振子，则处于能级 ε n 的谐振子的可以理解为有 n 个由产 生算符从“真空”中产生的粒子（如光子），则我们可以 计算该谐振子在温度 T 下的平均生成的粒子数： ∞ ) 1 ∞ − β w( n + 1 2 = = N ∑ npn ne ∑ Z1 n 0 = n 0=
= n 0= n 0
= ∑ ne
∞
− β wn
− β wn e ∑
∞
∞ 1 ∞ − xn − xn ' (Z , x β w) = = = ne e ∑ 1 ' ∑ Z1 n 0= = n 0
1 ∂ ∞ − xn ∂ ' ln = − ' = − e Z ∑ 1 ∂x Z1 ∂x n =0 ∂ ' = f1 ∂x
u (ω , T ) 及其它热力学函数.
具有一定的 动量 p 及极化方向的光子.
平面波与光子之间遵从德布罗意关系：
由波动方程可以推得 ω = ck ，于是有 ε = c p .
p = k
ε = ω
4.2.2 光子的统计分布 • 光子是玻色子，遵从玻色—爱因斯坦统计， 处于能量 ε 的一个相格的平均粒子数为
e << 1 ⇒ e
α
或
−µ kT
<< 1
nλ >> 1
3
• 定性分析：
按指数规律随 ε 变化，实际上 T > 0 时，函数 只有在 µ 附近数量级为 kT 的范围内，电子的分布与 T=0 时的分布有差异. 上面结论也可以从曲线的斜率来观察，可以算得
∂f −1 = >> 1 ∂ε ε = µ 4kT
(ω )d ω D= V 1 2 2 ( 3 + 3 )ω d ω 2 2π cl ct
2
= Bω d ω
V 1 2 B ( 3 + 3) = 2 2π cl ct
由于固体只有 3N 个简正振动，必须假设存在一个最大的 圆频率，令 ω D 2 B ω dω = 3N ∫