玻色分布和费米分布
波色统计和费米统计
A为常数，著名的斯特藩-玻尔兹曼定律
b
11
物理意义： 单位体积的辐射能只与温度有关， 与温度的四次方成正比。
b
12
适用量子分布的理想气体称之为简并气体。
1.费米分布 （适用自旋为1/2的电子系统）
FFD
1 e( )/kT
1
常记为 f ,称为费米能级
b
2
费米分布的性质
别：
b
3
费米能级的具体表示：
其中：n N 表示单位体积的自由电子数 V
b
4
f
f
0
1
2
8
Tc
2 2
mk
(N 2.612V
)2/3
玻色子的质量和粒子数密度决定。
b
7
物理意义：
超导体的正常态转化到超导态可用玻色凝聚解释
b
8
光子气体
平衡系统特点： 高频光子和低频光子总在不停地转换，因而光子数 量也在不断变化，系统中光子数不守恒。
b
9
上式称之为普朗克辐射公式。
b
10
上式为著名的维恩位移定律。 该定律可以用于确定很多星体表面的温度。
第十一章 玻色统计和费米统计
单
粒 子
经典分布 玻尔兹曼分布
态
上
的
三
费米分布
种 分 布
量子分布 玻色分布
经典分布考虑了微观粒子的测不准关系和能量量
子化的影响。但是却没有考虑粒子的全同性以及
泡利不相容原理。
b
1
粒子全同性的微观解释： 微观粒子具有波动性，它们在运动时无轨道可言， 因而无法用编号的方法追踪它们的运动，它们是 不可分辨的。 或者说，粒子的互换不产生新的微观态。
玻色分布和费米分布
玻色分布和费米分布现对费米分布推导如下 ： 对 ()∏-=Ωl l l l l D F a a !!!..ωω 取对数得：()[]∑---=Ωl l l l l D F a !ln !ln !ln ln ..εωω N>>1，若假设a l >>1 ， ωl >>1可得到：()()[]∑----=Ωll l l l l l l l D F a a a a ωωωωln ln ln ln ..约束条件：∑=llN a；∑=lll E a ε为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法，取未定因子为α和β则拉格朗日函数为：l l l l l lD F a a aE N δβεαωβδαδδ∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--Ωln ln .. 若令上式为零，则有：0ln=++-l l l l a a βεαω ， 即上式给出了费米系统粒子的最概然分布，称为费米——狄拉克分布。
玻色分布的推导作为练习，请同学们课后自己推导. 6．8 三种分布的关系 1 、由∑=llN a∑=lll E aε确定拉氏乘子a 和β的值.在许多实际问题中,也往往将β看作由实验确定的已知参量而由∑=l ll aεE 确定系统的内能.或将a 和β都当作由实验确定的已知参量,而由∑=llN a∑=lll E aε确定系统的平均总粒子数和内能.2 、能级的εl 有ωl 个量子态处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的,因此处在能量为εS 的量子态S 上的平均粒子数为: sss a f ω=即: sss a f ω=定域系统 ：seβεα--费米系统：11++se βεα 玻色系统：11++seβεα总粒子数和能量可分别表示为: N =∑ssf定域系统 =∑--sSe βεα“+”费米系统 “-”玻色系统 =∑±+sSe 11βεαE =∑sss f ε定域系统 =∑--ss Se βεαε“+”费米系统 “-”玻色系统 =∑±+ssSe 1βεαε(式中εs 为粒子的所有量子状态求和 )3 、若α满足 1>>αe ， 则 有: ss e e a lll βεαβεαωω++≈±=1这时玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布,由上式可知:11<<=+le a llβεαω（对所有l ）这时任一量子态上的平均粒子数都远小于1,这个式子就是前边提到的所谓的非简并性条件,当非简并条件满足时,费米分布和玻色分布都过渡到玻耳兹曼分布. 4 、在推导最概然分布时,应用了l >>1 ， ωl >>1, al -ωl >>1等条件,这些条件实际上是不满足的,这是推导过程的一个严重的缺点,我们将在后边的学习中用巨正则系统求平均分布的方法严格地导出这些分布.5 、定域系统和满足经典极限条件的玻色(费米)系统虽然遵从同样的分布,但它们的微观状态数是不同的.前者为ΩM.B.,后者为ΩM.B ./N!因此对那些直接由分布函数导出的热力学量,两者具有相同的统计表达式.然而,对于例如熵和自由能等与微观状态有关的热力学量,两者的统计表达式有差异.6最可几分布的推导也可以推广到含有多个组元的情况。
玻尔兹曼系统、玻色子系统、费米子系统的区别及统计规律
玻尔兹曼系统、玻色子系统、费米子系统的区别及统计规律当描述粒子行为时，玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统有着不同的特点和统计规律。
下面对它们进行详细说明：玻尔兹曼系统：描述：玻尔兹曼系统适用于经典粒子，如分子和原子等。
这些粒子之间可以相互交换位置和能量，且粒子可以具有任意能量。
玻尔兹曼系统假设粒子之间是无差别可区分的。
统计规律：玻尔兹曼系统中的粒子遵循玻尔兹曼分布。
玻尔兹曼分布描述了粒子在可分辨的能级上的分布情况，其表达式为：P(E) ∝exp(-E/kT)，其中P(E)表示具有能量E的粒子的概率，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。
玻色子系统：描述：玻色子是具有整数自旋的粒子，如光子和声子等。
玻色子系统中的粒子可以占据相同的量子态，即多个粒子可以处于同一个量子态。
这种行为被称为玻色统计。
统计规律：玻色子系统中的粒子遵循玻色-爱因斯坦统计。
根据玻色-爱因斯坦分布，粒子的分布可以是任意整数，不受限制。
这意味着在低温条件下，大量玻色子可以集中在系统的最低能级，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚。
费米子系统：描述：费米子是具有半整数自旋的粒子，如电子和中子等。
费米子系统中的粒子由于遵循泡利不相容原理，每个量子态只能被一个粒子占据。
这意味着费米子之间无法处于同一个量子态，也无法彼此交换位置。
统计规律：费米子系统中的粒子遵循费米-狄拉克统计。
根据费米-狄拉克分布，每个量子态最多只能被一个粒子占据。
在多粒子费米子系统中，由于每个量子态只能占据一个粒子，系统的能级填充依次递增，满足所谓的泡利不相容原理。
总结：玻尔兹曼系统适用于经典粒子，粒子之间无限制；玻色子系统适用于具有整数自旋的粒子，允许多个粒子占据同一个量子态；费米子系统适用于具有半整数自旋的粒子，每个量子态最多只能有一个粒子占据。
玻尔兹曼系统服从玻尔兹曼分布，玻色子系统服从玻色-爱因斯坦统计，费米子系统服从费米-狄拉克统计。
这些统计规律决定了粒子在不同系统中的分布特征和行为方式。
凝聚态物理学中的玻色子与费米子
凝聚态物理学中的玻色子与费米子凝聚态物理学是研究物质在宏观尺度上的性质和行为的领域。
在这个领域中，玻色子和费米子是两个重要的概念。
本文将探讨这两种粒子在凝聚态物理学中的重要性和应用。
玻色子和费米子是基本粒子的分类方式之一。
前者是具有整数自旋的粒子，如光子、声子、玻色-爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein Condensate）中的粒子等；后者则是具有半整数自旋的粒子，如电子、质子和中子等。
这两种粒子的行为和性质有着显著的差异。
首先，玻色子和费米子的最显著区别之一是它们服从的统计分布。
根据玻色-爱因斯坦统计，多个玻色子可以占据同一个量子态，这就导致了Bose-Einstein凝聚的产生，其中所有粒子都处于同一个量子态，表现出量子相干性。
而根据费米-狄拉克统计，费米子不允许多个粒子处于同一个态，这也是为什么我们不能在同一时刻在同一个位置找到两个电子的原因。
这两种统计分布的不同给玻色子和费米子带来了截然不同的行为。
在凝聚态物理学中，玻色子和费米子有着不同的物理性质和相互作用。
作为最重要的实例之一，玻色-爱因斯坦凝聚是玻色子行为的一个突出例证。
在极低温度下，玻色子可以凝聚成一个巨大的波函数，而不再是彼此独立的实体。
这种凝聚体现了量子力学的特性，如相干性和波动性，是研究玻色子集体行为的有力工具。
与此相反，由于费米-狄拉克统计的限制，费米子之间的相互作用具有独特的属性。
著名的是，费米子统计下的电子导致了电子波函数的空间分布，进而导致了周期性的晶体结构。
这就是凝聚态物理学中晶体的形成原理之一。
费米子之间的排斥效应也导致了材料的稳定性，使得粒子之间不能靠得太近，从而形成凝聚态物质的基本结构。
除了上述的基本性质之外，玻色子和费米子在凝聚态物理学中还有广泛的应用。
玻色子激发态在超导体中扮演着重要的角色，通过与声子相互作用来传导电子。
费米子的行为则解释了诸如半导体和绝缘体等材料的电子结构，为材料的性质和行为提供了重要的基础。
玻色子 费米子 声速
玻色子费米子声速玻色子（Boson）和费米子（Fermion）是量子力学中两种重要的粒子类型，它们具有不同的行为特征和统计规律。
声速则是介质中传播声波的速度，它与介质的物理性质和分子结构有关。
本文将探讨玻色子和费米子的特点，并介绍它们在声速中的应用。
一、玻色子（Boson）玻色子是一类自旋量子数为整数的粒子，它们遵循玻色-爱因斯坦统计。
根据波尔兹曼分布和玻色子的能级分布形式，我们可以得到以下玻色子的特点：1. 非排斥性：玻色子之间不具有排斥力，多个玻色子可以占据同一个量子态。
例如，光子就是一种玻色子，多个光子可以处于同一个能级。
2. Bose-Einstein凝聚：当低温下玻色子数目越来越多时，它们会聚集到最低能级，形成Bose-Einstein凝聚。
这种凝聚相态的产生使得玻色子具有特殊的量子统计行为，如超流和超导。
3. 玻色-爱因斯坦统计：根据玻色-爱因斯坦统计，玻色子的分布遵循玻尔兹曼分布，其能级上粒子的平均数为玻色-爱因斯坦分布函数。
玻色子在声速中的应用：玻色子在声学中的应用可以追溯到声子理论，它描述了晶体中声波的传播行为。
声子可以看作是晶体中的一种玻色子，它们的存在导致晶格在振动时不同原子之间的相互作用。
根据声子理论，声速与晶格的弹性性质和原子间力常数有关。
二、费米子（Fermion）费米子是一类自旋量子数为半整数的粒子，它们遵循费米-狄拉克统计。
根据波尔兹曼分布和费米子的能级分布形式，我们可以得到以下费米子的特点：1. 排斥性：费米子之间具有排斥力，根据泡利不相容原理，每个量子态最多只能被一个费米子占据。
例如，电子就是一种费米子，保证了原子内电子壳层填充的稳定性。
2. 费米-狄拉克统计：费米子的分布遵循费米-狄拉克统计，其能级上粒子的分布满足费米-狄拉克分布函数。
费米子在声速中的应用：费米子在声学中的应用较少，在固体物理中更为重要。
例如，费米子的行为解释了金属电导和半导体的性质。
电子作为一种费米子，在导体中由于费米能级的存在，只有能量小于费米能级的电子参与导电，这解释了金属的高电导性质。
玻色分布和费米分布
但遗憾的是，众多的实验物理 学家将自旋极化的氢原子气体降温， 并未观察到BEC现象。于是 Wieman和Cornell开始将兴趣转向 碱金属原 子气体，1995年，他们 将铷原子限制在磁阱中进行激光冷 却首次成功 的观察到原子气的 BEC现象。同年，MIT的Ketterle 也在钠原子气中实 现了BEC。 BEC的实现不仅在基础研究方面具 有重大意义，还可能在 “原子芯 片”和量子计算机等方面有广泛的 应用前景。因此2001年的诺 贝尔 物理学奖授予Wieman、Cornell和 Ketterle以表彰他们在BEC实验 方 面的开创性工作。
第八章 玻色统计和费米统计
在第六章，我们用最概然方法导出了这两种系统的 统计分布规律，本章将进一步介绍这两种分布在辐射场 和金属电子气体中的应用。
§8.1 热力学量的统计表达式
一、玻色分布和费米分布
玻色分布和费米分布可写为
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
al
l
e l
1
（8.1.1)
1 g
N V
h2
2 mkT
3/
2
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
Hale Waihona Puke U3 2NkT
1
1 23/ 2
1 g
N V
h2
2 mkT
3/ 2
讨论：
➢上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能； 第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微 观粒子的全同性原理有关。
➢费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排 斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表 现出吸引作用；
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
热力学 统计物理：第八章 玻色统计和费米统计
y
y l
e l • ( ) • ( l )
1
[ y
l
l
ln(1 e l
)]
1
l
l
y 1 e l
l
l l
e l 1 y
Y 1 ln p 1 ln
y
V
N ln
U ln
Y 1 ln
y
dN d ( ln )
dU d ( ln )
Ydy 1 ln dy
U ln ln[ (1 e l )l ]
l
[
l
l ln(1 e l )]
l
l
e l • ( l )
1 e l
l
ll
e l 1
广义力Y是 l 的统计平均值：
y
Y
l
l
y
al
l
l l
e l 1 y
Y也可通过配分函数求得：
Y 1 ln 1 ln[ (1 e l )l ]
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
d ( ln ) ln • d ln • d ln dy d ( ln ) ln • d ln • d
e l 1
在实际应用中，两种分布的区别在于将和看作已知常量（开系条件
的平均分布），还是将N和U看作已知常量（孤立系统的最概然分布）。
说明： 本节推导玻色系统和费米系统热力学量的 统计表达式时，采用平均分布观点，也就
是将、和y（粒子能量含外参量y）看作 已知参量，而将热力学量表达为、和y的
函数。
回顾：
玻色统计和费米统计
第八章 玻色统计和费米统计
复习. Boltzmann 统计，玻色统计和费米统计。
玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒 子数不受限制。 玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数 不受限制。 费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能够容纳一个 粒子。
玻耳兹曼统计是假设系统由大量全同近独立的粒子组成， 具有确 定的粒子数 N ，能量 E ，体积 V . 能级： 简并度: 离子数:
al
ωl
<< 1 ，
又叫做非
简并条件）都遵从玻耳兹曼分布。不满足上述条件的系统遵从玻 色统计分布或者费米统计分布。
玻色统计分布满足
al =
ωl
e
α + β El
−1
， 费米统计分布满足。 al
= E 确定。
=
ωl
e
α + β El
+1
系数 α 与 β 由 ∑ al = N 与
l
∑a E
l l
l
8.1 热力学量的统计表达式
U=
V π 2c3
∞
∫
0
ηω 3 dω e
ηω kT
=
π 2k 4
15c η
3 3
VT 4 。
−1
和热力学结果一致，区别在于热力学中比例系数由实验确定。而 统计物理可以直接求出比例系数。 2．由普朗克公式看出，辐射场的内能密度 U (ω , T ) 随频率 ω 的分布 有一个极大值 ω m ， 用数值计算方法可以求得 出 ω m 与温度成正比，这就是维恩位移定理。
S = k (ln Ζ + βU ) =
U
平衡辐射的通量密度 J u 与内能
说明玻尔兹曼系统玻色子系统费米子系统的区别
说明玻尔兹曼系统玻色子系统费米子系统的区别玻尔兹曼系统和玻色子系统以及费米子系统是统计力学中的三种重要模型。
它们描述了微观粒子在宏观尺度上的行为。
本文将逐步阐述玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统的区别。
1.玻尔兹曼系统：玻尔兹曼系统是一种描述粒子统计行为的模型。
在玻尔兹曼系统中，粒子可以以任意数量存在于相同的量子态。
这意味着多个粒子可以处于相同的能量状态，也就是说，它们之间没有排斥效应。
玻尔兹曼系统中的粒子是无标识的，它们之间是可以交换的。
2.玻色子系统：玻色子系统描述了玻色子的统计行为。
玻色子是一类具有整数自旋的粒子，例如光子、声子等。
玻色子系统中，多个粒子可以同时处于相同的能量状态，它们之间没有排斥效应。
这种行为被称为玻色-爱因斯坦统计。
玻色子系统的一个重要特点是它们会聚集到基态，即粒子会尽可能地集中在能量最低的状态。
3.费米子系统：费米子系统描述了费米子的统计行为。
费米子是一类具有半整数自旋的粒子，例如电子、质子等。
费米子系统中，根据泡利不相容原理，每个能级只能有一个粒子占据，它们之间存在排斥效应。
这种行为被称为费米-狄拉克统计。
费米子系统的一个重要特点是它们填充能级从低到高，直到达到所谓的费米能级。
根据以上的描述，可以总结出玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统的区别：1.统计行为：玻尔兹曼系统中粒子之间无排斥效应，玻色子系统中多个粒子可以处于相同的能级，费米子系统中每个能级只能有一个粒子占据。
2.粒子类型：玻尔兹曼系统中的粒子是无标识的，玻色子系统中的粒子具有整数自旋，费米子系统中的粒子具有半整数自旋。
3.基态分布：玻色子系统会聚集到能量最低的状态，费米子系统填充能级从低到高。
4.波尔茨曼系统、玻色子系统和费米子系统在实际应用中有着不同的物理特性和行为模式。
综上所述，玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统在统计行为、粒子类型、基态分布等方面存在着明显的区别。
这些模型在研究微观粒子的统计性质和宏观行为时提供了重要的理论基础和工具，对于理解物质的性质和行为具有重要意义。
玻尔兹曼分布,玻色分布,和费米分布的关系
玻尔兹曼分布,玻色分布,和费米分布的关系
玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布是统计物理中描述粒子分布的三种基本分布。
玻尔兹曼分布是描述经典粒子在能量状态间的分布情况的分布函数。
根据玻尔兹曼分布，粒子在不同能级上的分布概率与能级的能量成反比。
玻色分布是描述玻色子（具有整数自旋）的分布情况的分布函数。
根据玻色分布，玻色子能够在同一能级上具有任意多个粒子，并且各个粒子之间没有排斥作用。
费米分布是描述费米子（具有半整数自旋）的分布情况的分布函数。
根据费米分布，费米子不能在同一个能级上具有多个粒子，并且各个粒子之间存在排斥作用。
三种分布函数在经典极限情况下可以相互转化。
当粒子间的相互作用很弱或忽略不计时，玻色分布和费米分布在高温极限下会趋向于玻尔兹曼分布。
而在低温极限下，玻尔兹曼分布则趋向于费米分布（保守统计中的玻尔兹曼-玻色平衡）。
综上所述，玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布是三种不同情况下的统计分布，它们在特定条件下可以相互转化或者趋于相似的分布模式。
玻色湮灭和费米子分布的区别
玻色湮灭和费米子分布的区别在量子物理学中，存在两种不同类型的粒子：玻色子和费米子。
这两种粒子之间最大的区别在于它们的统计行为。
玻色子具有玻色-爱因斯坦统计，而费米子具有费米-狄拉克统计。
这种统计行为导致了在相同的能级下，玻色子和费米子的分布方式有所不同。
本文将简要介绍玻色湮灭和费米子分布的区别。
一、统计方法不同玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计是两种不同的统计方法。
在玻色-爱因斯坦统计中，多个粒子可以占据相同的量子态，而在费米-狄拉克统计中，每个粒子只能占据唯一的量子态。
二、玻色子和费米子基态能级不同在相同的温度和体积下，玻色子和费米子的基态能级不同。
玻色子可以聚集在相同的基态能级中，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚态，而费米子必须占据不同的基态能级。
这种分布方式导致，玻色子可以形成大规模的凝聚态，而费米子只能在很小的尺度上形成凝聚态。
三、处理方式不同在处理玻色子和费米子的问题时，需要采用不同的数学处理方法。
对于玻色子，可以采用玻色算子来描述其行为。
而对于费米子，则需要采用费米算子。
这种数学处理方式进一步反映出玻色子和费米子的统计行为的差异。
四、体系行为不同玻色子和费米子的统计行为直接影响了它们所处体系的行为。
对于玻色子，由于它们可以聚集在相同的基态能级中，所以是一种自发对称破缺体系，其表现出了宏观量子现象，如超流和玻色-爱因斯坦凝聚态等。
而费米子则表现出了泡利不相容原理，即两个具有相同自旋的费米子不能在同一个量子态中。
综上所述，玻色湮灭和费米子分布的区别主要在于它们的统计行为不同，基态能级不同，数学处理方式不同以及体系行为不同。
这些区别不仅在理论物理学中有着重要的应用，在其他领域中，例如量子信息处理中，也有着重要的意义。
量子电动力学中的费米子与玻色子
量子电动力学中的费米子与玻色子量子电动力学（Quantum Electrodynamics, QED）是物理学中的一门重要理论，它描述了电磁相互作用的量子力学性质。
在QED中，费米子和玻色子是两种重要的粒子类型，它们在物理学研究中扮演着不同的角色。
费米子是一类具有半整数自旋的粒子，根据费米统计，它们遵循的是泡利不相容原理，即同一量子态不能被两个费米子同时占据。
电子是最常见的费米子之一，它具有自旋1/2，负电荷和质量。
费米子在物质的组成中起着重要作用，例如电子构成了原子的外层电子壳，决定了原子的化学性质。
此外，费米子还是构成物质的基本组成部分，例如质子和中子也是费米子。
玻色子是另一类具有整数自旋的粒子，根据玻色统计，它们遵循的是玻色-爱因斯坦分布，即同一量子态可以被多个玻色子同时占据。
光子是最常见的玻色子之一，它是电磁相互作用的传播介质，没有质量和电荷。
玻色子在量子力学中具有重要的性质，例如能够形成玻色-爱因斯坦凝聚态，即大量玻色子聚集在同一量子态中，形成凝聚态物质。
费米子和玻色子在量子电动力学中的行为有所不同。
在QED中，费米子通过交换虚光子来相互作用，而玻色子则通过实光子来相互作用。
这种差异导致了不同的物理效应。
例如，在电子-电子散射中，由于费米子的泡利不相容原理，两个电子不能占据相同的量子态，因此它们之间的相互作用受到限制。
而在光子-光子散射中，由于玻色子的玻色-爱因斯坦分布，多个光子可以占据相同的量子态，因此它们之间的相互作用没有受到类似的限制。
费米子和玻色子的性质在粒子物理学中也有重要应用。
例如，在高能物理实验中，研究者使用加速器产生高能粒子，其中包括费米子和玻色子。
通过探测这些粒子的性质和相互作用，科学家可以深入理解基本粒子的性质和宇宙的组成。
费米子和玻色子的研究也对开发新的技术和应用具有重要意义，例如量子计算和量子通信等。
总之，量子电动力学中的费米子和玻色子是物理学中两种重要的粒子类型。
第八章 波色统计和费米统计
必有可观数目粒子出现在零能
级。 ——玻色—爱因斯坦凝聚。
热统
22
Tc
2
(2.612)2/ 3
2 mk
n2/ 3
因此，为了容易实现玻色－爱因斯坦 凝聚，需要提高临界温度。 为此，要提高气体密度，减小气体粒 子质量。
二、热力学量 T<T c时
n
2
h3
(2m)3/ 2
0
1/ 2d
e kT 1
热统
25
§8.4 光子气体
一、光子气体特性
光子——辐射场能量的量子化，自旋 1－玻色子。 平衡辐射场中，光子数不守恒。
空窖壁不断吸收和发射光子，保持能量守恒，但光子能量 有高有低，发射光子平均能量高发射光子数目少，被吸收的 光子平均能量低，被吸收的光子数目就多，因此不要求光子 数守恒。
光子气体服从玻色分布
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
l
l
l
热统
11
al
l
e l
1
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l )
l
l
ln
0
N
g(
2m kT
h2
)3
/
2Ve
(1
1 23/ 2
e )
热统
14
内能
U D( )a( ) d 0
3 2
g
(
2mk
h2
T
)3
/
热力学与统计物理学第八章__玻色统计和费米统计
§8.1 热力学的统计表达式 §8.2 弱简并玻色气体和费米气体 §8.3 玻色—爱因斯坦凝聚 §8.4 光子气体 §8.5 金属中的自由电子气体
1
§8.1 热力学的统计表达式
经典极限条件
e 1
e
Z1 N
V N
2m h2
3
2
1
V
1 3
h
1
1 2
N
2mkT
n3 1
又 d ln ln d ln d ln dy
y
dU
Ydy
dN
d
ln
ln y
dy
d
ln
d
ln
d
ln
ln
d
d
ln
ln
d
d
ln
ln
ln
6
dS
kd
ln
ln
ln
积分
S
k
ln
ln
ln
S kln N U k ln
S k ln
ln
ln
如果求得巨配分 函数，据此可以 求得系统内能、 物态方程和熵。 从而确定系统的 全部平衡性质。
巨配分函数是以 , , y 为自然变量的特性函数。
对简单系统就是 T ,V ,
热力学中巨热力学势是以 T ,V , 为自然变量的
特性函数：
J U TS N kT ln 9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
存在 n 个能量为 的光子
31
玻色分布给出在温度为 T 的平衡状态下 n
的平均值： n 1 e kT 1
从粒子观点看， n 是平均光子数；
玻色统计和费米统计
ln ln ln d ln d d dy y
根据前面求出的已知量，可求得 (拉氏乘法原理，加上一个为0的项)
第九章 玻色统计和费米统计
上式指出是 dU Ydy d N 的积分因子。
1 与dS (dU Ydy dN )比较 T
玻色分布
9.1.1 玻色系统
把, 和y看作由实验确定的参量. 1 、巨配分函数
第九章 玻色统计和费米统计
取对数为 对取偏导为
ln l ln( 1 e l )
l
上下同乘e l
l ln l e 1 l
2、系统的平均总粒子数
kT
, 意味着：平衡状态下光子气体的化学势为零。
体积为V的空窖内,在p到p+dp的动量范围内，自由粒子可能 的量子态数为
光子自旋有两个投影.
第九章 玻色统计和费米统计
体积为V的空窖内, p到p+dp的动量范围内，光子的量子态数
(光子自旋有两个投影)
cp
态数
4V 2 p dp 3 h
2
d cdp
体积为V的空窖内，在到+d的圆频率范围内，光子的量子
h 2
每个量子态上的平均光子数
第九章 玻色统计和费米统计
9.3.2 辐射场的内能
U (, T )d N
普朗克公式
上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。 1、低频
1 kT
1 2 2 2 ( px p y pz ) 2m
第九章 玻色统计和费米统计
2、微观状态数 在体积V内，在到+d的能量范围内，分子可能的 微观状态数 g由粒子可能具有自旋而引入的简并度． 其中： ３、系统的总分子数
玻色统计和费米统计_热力学统计物理
ln F.D l lnl al lnal (l al ) ln(l al )
l
l
l
S k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
ห้องสมุดไป่ตู้
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
l
l
e l (1) 1 e l
l
y
l
l l
e l 1 y
l
al
l
y
Y
Y 1 ln
y
对比玻耳兹曼分布 Y N 1 ln Z1 y
压强
p 1 ln
V
p N ln Z1
V
5
4 其它热力学函数：熵
由开系的热力学公式 dU Ydy dN TdS
S k(ln U N )
能否推导出 k ln B.E k( (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal )
l
l
l
8
S k(ln U N )
al
l
e l
1
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 el ) (8.1.3)
l
ln
l ln(1 e l )
l
l
l
e l ( l )
1 e l
l
l l
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
4
3 广义力
Y
l
冷原子物理学中的费米气体和玻色气体
冷原子物理学中的费米气体和玻色气体费米气体和玻色气体是冷原子物理学中两个重要的概念。
它们是描述冷原子系统中粒子行为的理论模型，对于研究凝聚态物理和量子信息等领域具有重要意义。
本文将对费米气体和玻色气体的特点、性质以及在研究中的应用进行探讨。
首先，费米气体和玻色气体的区别在于粒子的统计特性。
费米气体中的粒子遵循费米-狄拉克统计，即每个量子态只能被一个粒子占据，而且不同粒子之间不能占据相同的量子态。
这样的性质导致费米气体中的粒子更趋于分散分布，且有一定的排斥效应，使得费米气体表现出了一些与能带结构相关的特征。
相比之下，玻色气体中的粒子遵循玻色-爱因斯坦统计，不同粒子可以占据相同的量子态，且可以在低能态中集体聚集，形成玻色凝聚。
这两种不同的统计特性决定了费米气体和玻色气体在性质上的差异。
在冷原子物理学中，费米气体和玻色气体被广泛研究。
对于费米气体而言，一个重要的问题是费米子间的相互作用和凝聚性质。
由于费米气体中粒子之间的排斥效应，费米子一般不会形成玻色凝聚，但可以通过调控外界条件和相互作用来研究费米子的配对、多体效应和超流等现象。
这对于理解高温超导和凝聚态物理中的一些基本问题具有重要意义。
相比之下，玻色气体的研究重点在于玻色凝聚和量子相干性。
玻色凝聚是玻色气体中粒子在低温下集体同一量子态的现象，也被称为玻色-爱因斯坦凝聚。
这种凝聚态具有超流性质，能够产生相干的粒子流动。
对玻色凝聚的研究不仅对于理解凝聚态物理和相干性有重要意义，还有助于开发原子激光、量子计算和量子通信等领域的应用。
近年来，随着冷原子技术的发展，对费米气体和玻色气体的研究取得了许多重要成果。
科学家们利用光腔技术、强磁场和激光冷却等手段，成功地制备出了超冷原子气体，并通过精确控制粒子间的相互作用和外场条件，实现了一些新奇的量子现象。
例如，在费米气体中观察到了花式的BCS-BEC跨越，而在玻色气体中实现了有序的Bose-Einstein凝聚和超流态。
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相应的宏观条件可表为:
l
l
e l
1
N
l
l l
e l 1
E
(8.1.2)
其中 表示对粒子的所有能级求和，式中的正号 l
对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
由式(8.1.1)可以看出，如果满足条件
e 1
(8.1.3)
则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布
al
el l
式(8.1.3)满足时，显然有
al 1（对所有l）
l
(8.1.4) (8.1.5)
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。
当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡 到玻耳兹曼分布。
二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式
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第八章 玻色统计和费米统计
Eric A. Cornell 埃里克·康奈尔
Wolfgang Ketterle 沃尔夫冈·克特勒
2001年诺贝尔物理学奖
Carl E. Wieman 卡尔·维曼
以表彰他们根据玻色－爱因斯 坦理论发现了一种新的物质状态— —“碱金属原子稀薄气体的玻色－ 爱因斯坦凝聚（BEC）”。
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
§8.3 玻色－爱因斯坦凝聚
诺贝尔奖自1901年颁发以来，一直是世人所公认
的最高荣誉奖项。 在它的六个奖项中，物理学、化学 和医学（或生理学）奖尤为引人注 目。下面我们谈谈 物理学奖的概况。2001年是诺贝尔 奖颁发百年纪念， 因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意 义， Nature、Science以及各种媒体都先后聚焦于10月9日。 美国麻省理 工学院（MIT）的Wolfgang Ketterle（沃 尔夫冈·克特勒）和科罗拉多大学JILA（实验天文物理 学联合学院）研究所的Carl Wieman（卡尔·维曼）， Eric Cornell（埃里克·康奈尔）因实验上实现玻色－爱 因斯坦凝聚（简称BEC） 现象而分享了本年度诺贝尔 物理学奖。
第八章 玻色统计和费米统计
在第六章，我们用最概然方法导出了这两种系统的 统计分布规律，本章将进一步介绍这两种分布在辐射场 和金属电子气体中的应用。
§8.1 热力学量的统计表达式
一、玻色分布和费米分布
玻色分布和费米分布可写为
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第八章 玻色统计和费米统计
al
leΒιβλιοθήκη l1（8.1.1)
爱因斯坦的预测引起了实验物理学家的广泛兴 趣。然而实现BEC 的条件极为苛刻和“矛盾”： 一方面希望达到极低的温度，另一方面 还要求原 子体系处于气态。实现低温的传统手段是蒸发制冷； 而斯坦福大学华裔物理学家朱棣 文、法国巴黎高 等师范学校的Cohen-Tannoudj和美国国家标准局 的Phillips发展的激光冷却和磁阱技术是另一种有 效 的制冷方法，他们三人因此分享了1997年度诺 贝尔物理学奖。1976年， Nosanow和Stwalley证明 在任意低温下处于自旋极化的氢原子始终能保 持 气态，则为实现第二个要求提供了希望。
3/
2
VkTe
1
1 25/ 2
e
将上面两式相除，得：
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
e
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第八章 玻色统计和费米统计
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
N Zl
N h2
V
2 mkT
3/ 2
1 g
代入前面的公式中，得：
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
1 g
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第八章 玻色统计和费米统计
系统的总粒子数和总能量为:
l
l
e l
1
N
l
ll
e l
1
U
近似用积分来处理，作对应：
l D( )d
l
0
代入自由粒子气体的D(ε)dε的表达式
D( )d
g
2V
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
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第八章 玻色统计和费米统计
思想开放，不迷信权威。创新就是要打 破某些已有的定论，因循 守旧，盲从权威是 不可能有所创新的。中国的知识分子经历了 太多的 苦难以及封建思想的残余，以至于思 想里保守成分多，权威意识过强， 传统教育 中以循规蹈矩为优等等都不利于创新。
科学文化的沉淀。任何重大创新不是 凭空冒出来的，创新必须以 继承已有的优 秀科学成果和思想方法为前提，这种科学 文化需要长时 间的积累。而中国内地真正 科学文化的萌芽起于1919年的五四运动， 后来又受文革的严重冲击，因此真正的科 学文化沉淀也就20来年时间， 比起西方三 四百年简直是小菜。
⑴ 平均粒子数:
N ln Ξ
(8.1.10)
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第八章 玻色统计和费米统计
⑵ 内能:
U ln Ξ
⑶ 广义力:
Y 1 ln Ξ
y
上式的一个重要特例是压强:
p 1 ln Ξ
V
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第八章 玻色统计和费米统计
(8.1.11) (8.1.12) (8.1.13)
N V
h2
2 mkT
3/
2
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第八章 玻色统计和费米统计
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
1 g
N V
h2
2 mkT
3/ 2
讨论：
➢上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能； 第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微 观粒子的全同性原理有关。
➢费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排 斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表 现出吸引作用；
从实现BEC的历程来看，有以下两个 必备的客观条件：首先是理 论准备（玻色 和爱因斯坦的工作），其次是实验手段的进 步（朱棣文 等人的工作）。剩下的就是个 人的素质了，要有眼光，走对路（Wieman、 Cornell和Ketterle选择碱金属原子气体作为 冷却的对象）。这样看来， 诺贝尔物理学 奖似乎不是什么神秘的东西。因此有人就会 问为什么中国内地就没有出现诺贝尔奖呢？ 我们在这里谈几点：
式(8.1.9)中的正号对应于费米分布，负号对应于玻 色分布。
2.热力学公式:
按照统计物理处理问题的一般程序，在计算出配分 函数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。
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第八章 玻色统计和费米统计
由于玻色和费米分布的热力学公式与巨正 则分布的热力学公式相同，所以，这里先给 出其表达式，详细推导在下一章介绍。
如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被 称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气 体的差异。
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
N
l
al
l
l
e l 1
(8.1.6)
U
l
all
l
ll (8.1.7)
e l 1
式中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
引入函数：
Ξ
1 e l l
l
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第八章 玻色统计和费米统计
(8.1.8)
其中,Ξ是系统的巨配分函数。对Ξ取对数，得:
ln Ξ l ln(1 el ) (8.1.9) l
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第八章 玻色统计和费米统计
BEC是物质的一种奇特的状态，处于这 种状态的大量原子的行为 像单个粒子一样。 打个比方，练兵场上的士兵刚解散不久，突 然指挥 官发令“向东齐步走”，于是所有 的士兵像一个士兵一样整齐的向东 走去。 如果将士兵缩小到原子尺度，以至于分辨不 出谁是谁，我们便看到了“BEC”。那为什 么冠以玻色－爱因斯坦的名字呢？有这样一 段插曲。
热情奔放而又执著追求科学的年轻人。据 中科院2001年科学发展 报告统计，诺贝尔物理 学奖得主作出代表性工作的平均年龄为36岁， 他们从很小就开始对物理学感兴趣并一直钟爱 着物理学。他们能如此 执著，一方面是经济条 件还不错，更重要的是他们从小所受的教育是 以充分发挥自己的个性为主。而内地的教育更 乐意将学生培养成标准 的螺丝钉，学生本人则 很少有太多的想法和目标，在经济大潮的影响 下立刻便沉到“海”里去了。
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
在体积V内，能量在ε-ε+dε内的粒子的可能微观状 态数为
D( )d g 2V (2m)3/2 1/2d
h3
其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度， D(ε)是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋 投影，g=2; 对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。
⑷ 熵:
S k(ln Ξ ln Ξ ln Ξ ) (8.1.14)
⑸ 巨热力势:
J kT ln Ξ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体